Ideales Fermigas und Thomas-Fermi-Näherung

2 Thomas-Fermi Näherung für Atome Theoretische Happen: Ideales FermigasAbbildung 1: Prinzip der Thomas-Fermi-Näherung.Ist Z genügend groß, werden sich aufgrund desPauliprinzips die meisten Elektronen in einemhochenergetischen Zustand befinden. Die De-Broglie Wellenlängen sind klein, und es darferwartet werden dass das effektive PotentialU(⃗x), in dem sich ein typisches Elektron bewegt,über viele Wellenlängen praktisch konstantist. Greift man sich nun ein bei ⃗x zentriertesVolumenelement ∆V heraus, das einerseitsso klein gewählt wurde, dass in ihm das Potentialüberall nahezu den Wert U(⃗x) hat, andererseitsgroß genug dass in ihm zu jedem Zeitunktgenügend viele Elektronen befinden, kann diesesSubsystem als ideales Fermigas behandelt werden.Der klassische Energiesatz ε = ⃗p22m + U(⃗x)besagt dann, dass der Fermiimpuls in diesem Volumenelement den Wertp F (⃗x) = √ 2m (ε F − U(⃗x)) für ⃗x mit U(⃗x) < ε F (24)annimmt, wobei ε F die Fermienergie des Gesamtsystems. Die Einschränkung berücksichtigt,dass der Fermi-Impuls nur im Inneren des Atoms definiert ist, also in einer Region, in denensich die Elektronen tatsächlich frei bewegen können.Nach (8) sind die Teilchendichte und der Fermiimpuls verknüpft n =Gl. (24) alsop3 F, angesichts3π 2 3n(⃗x) ={ 1[2m (ε3π 2 3 F − U(⃗x))] 3/2 , für ⃗x mit ε F − U(⃗x) > 00 sonst(25)Die Teilchendichte ist demnach eine Funktion des effektiven Potentials, das wiederum selbereine Funktional der Teilchendichte, vgl. Gl. (22). Um das Potential bzw. die Teilchendichtezu berechnen, erweist sich der Umweg über die Poissongleichung für U als zielführend,wobei n die in (25) angegebene Funktion von U.∆U = − e2 0ε 0n(⃗x) + Z e2 0ε 0δ (3) (⃗x) , (26)Im Grundzustand ist die Dichte n(⃗x) kugelsymmetrisch, lediglich eine Funktion der Radialkoordinater = |⃗x|. Die Poissongleichung reduziert sich auf eine gewöhnliche Differentialgleichung,1 d dr 2 dr r2 dr U(r) = − e2 03π 2 ɛ 0 [2m (ε 3 F − U(r))] 3/2 , r > 0 . (27)Die Randwert für r → 0 und r → ∞ lassen sich aus (22) ablesen. Unter der Annahmen,dass n für r → 0 endlich, und dass U überall stetig differenzierbarlim rU(r) = −Z e2 0,r→0 4πɛ 0lim rU(r) = 0 , (28)r→∞Physikalisch bringt dieser Randwerte zum Ausdruck, dass U für kleine Abstände in dasKernpotential übergeht (ein kernnahes Elektron ‘sieht’ vornehmlich den Kern, der je wenigerdurch die anderen Elektronen abgeschirmt erscheint je näher das Elektron ihm kommt)c○Martin Wilkens 5 2. November 2012