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Skript - Fachgebiet Leistungselektronik und Elektrische ...

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Mechatronik <strong>und</strong>elektrische AntriebeProf. Dr.-Ing. Joachim Böcker<strong>Skript</strong> zur VorlesungStand vom 20.11.2013Universität Paderborn<strong>Fachgebiet</strong> <strong>Leistungselektronik</strong> <strong>und</strong><strong>Elektrische</strong> AntriebstechnikDieses <strong>Skript</strong> ist vornehmlich für die Studenten der Universität Paderborn als vorlesungsbegleitende Unterlage gedacht. Über das Internetsteht es auch anderen Interessierten zur Verfügung. In jedem Fall ist nur die private, individuelle, nicht-kommerzielle Nutzung gestattet.Insbesondere ist nicht gestattet, das <strong>Skript</strong> oder dessen Bestandteile weiter zu verbreiten, zu vervielfältigen oder für andere Zwecke zunutzen. Ausnahmen bedürfen der Genehmigung des Verfassers. Der Verfasser ist für Hinweise auf Fehler oder Unzulänglichkeiten dankbar.


Mechatronik <strong>und</strong> elektrische Antriebe S. 2Inhalt1 Mechatronic Systems .......................................................................................................... 52 Magnetic Circuits ................................................................................................................ 72.1 Magnetic Reluctance ................................................................................................... 72.2 Energy and Power ........................................................................................................ 82.3 Magnetic Materials .................................................................................................... 152.4 Permanentmagnete ..................................................................................................... 223 Magnetlager ...................................................................................................................... 333.1 Magnetisches Joch ..................................................................................................... 333.2 Anordnung mit zwei Jochen ...................................................................................... 353.3 Regelung eines Magnetlagers mit Vorspannung durch separate Wicklung .............. 363.4 Magnetisches Joch mit Permanent-Magnet ............................................................... 443.5 Magnetlager mit Vorspannung durch Permanentmagnete ........................................ 463.6 Sensorik ..................................................................................................................... 463.7 Stromrichter ............................................................................................................... 473.8 Pulsweitenmodulation ............................................................................................... 483.9 Magnetlager mit Lagerung in zwei Freiheitsgraden .................................................. 534 Geschalteter Reluktanz-Motor .......................................................................................... 554.1 Konstruktiver Aufbau ................................................................................................ 554.2 Funktionsprinzip ........................................................................................................ 564.3 Dynamisches Verhalten ............................................................................................. 624.4 Stromrichter ............................................................................................................... 685 Schrittmotoren ................................................................................................................... 716 Gleichstrommotor ............................................................................................................. 736.1 Wirkprinzip ................................................................................................................ 736.2 Aufbau ....................................................................................................................... 756.3 Kommutator <strong>und</strong> Ankerwicklungsschemata ............................................................. 766.4 Kommutierung <strong>und</strong> Wendepolwicklung ................................................................... 776.5 Ankerrückwirkung, Kompensations- <strong>und</strong> Kompo<strong>und</strong>wicklung ................................ 786.6 Mathematische Modellierung .................................................................................... 796.7 <strong>Elektrische</strong> <strong>und</strong> mechanische Leistung, Wirkungsgrad ............................................. 826.8 Schaltungsarten, Klemmenbezeichnungen <strong>und</strong> Schaltzeichen .................................. 826.9 Fremderregter <strong>und</strong> permanent erregter Motor ........................................................... 836.10 Nebenschlussmotor ................................................................................................ 876.11 Reihenschlussmotor ............................................................................................... 886.12 Geregelter Betrieb .................................................................................................. 916.13 Betrieb an Strom- <strong>und</strong> Spannungsgrenzen ............................................................. 977 Electronically Commutated Motors ................................................................................ 1007.1 Functional Principle ................................................................................................. 1007.2 Induzierte Spannungen ............................................................................................ 1027.3 Ersatzschaltbild <strong>und</strong> Drehmoment........................................................................... 1057.4 Stromrichter ............................................................................................................. 1077.5 Kommutierung ......................................................................................................... 1087.6 Regelung .................................................................................................................. 1118 Entwurf von Strom- <strong>und</strong> Drehzahlregelung .................................................................... 1148.1 Reglerentwurf durch Pol-Nullstellen-Kürzung (Betragsoptimum) ......................... 1158.2 Symmetrisches Optimum ........................................................................................ 124


Mechatronik <strong>und</strong> elektrische Antriebe S. 3LiteraturR. IsermannMechatronische SystemeSpringer Verlag, 1999D. Schröder<strong>Elektrische</strong> Antriebe – Gr<strong>und</strong>lagenSpringer Verlag, 2. Aufl., 2000Germar Müller, Bernd PonickGr<strong>und</strong>lagen elektrischer MaschinenWiley-VHC, 9. Auflage, 2006Germar Müller, Bernd PonickTheorie elektrischer MaschinenWiley-VHC, 4. AuflageH. GoldsteinKlassische MechanikAkademische Verlagsgesellschaft, 1981D. HanselmanBrushless Permanent Magnet Motor DesignThe Writer’s Collective, 2003T. J. E. MillerBrushless Permanent-Magnet and Reluctance Motor DrivesOxford Science Publications, 1989D. Schröder<strong>Elektrische</strong> Antriebe – Gr<strong>und</strong>lagenSpringer Verlag, 2. Aufl., 2000Hans-Dieter Stölting, Eberhard KallenbachHandbuch <strong>Elektrische</strong> KleinantriebeHanser Verlag, 3. Auflage, 2006R. KrishnanElectric Motor DrivesPrentice Hall, 2001D. K. MiuMechatronics – Electromechanics and ContromechanicsSpringer-Verlag, 1993G. Schweitzer, A. Traxler, H. BleulerMagnetlagerSpringer-Verlag, 1993H. Lutz, W. WendtTaschenbuch der RegelungstechnikVerlag Harri Deutsch, 7. Auflage, 2007W. BoltonBausteine mechatronischer SystemePearson, 3. Auflage 2003Entwicklungsmethodik für mechatronische SystemeVDI-Richtlinie VDI 2206 (Entwurf), März 2003


Mechatronik <strong>und</strong> elektrische Antriebe S. 4Griechische BuchstabenMajuskel Minuskel NameΑ 1 α AlphaΒ 1 β BetaΓ γ GammaΔ δ DeltaΕ 1 ε EpsilonΖ 1 ζ ZetaΗ 1 η EtaΘ θ, ϑ 2 ThetaΙ 1 ι IotaΚ 1 κ KappaΛ λ LambdaΜ 1 μ MyΝ 1 ν NyΞ ξ XiΟ 1 ο 1 OmikronΠ π PiΡ 1 ρ RhoΣ σ, ς 1 SigmaΤ 1 τ TauΥ 1 υ YpsilonΦ φ, φ 2 PhiΧ 1 χ ChiΨ ψ PsiΩ ω Omega1 Wegen Übereinstimmung mit lateinischen Typen werden diese griechischen Buchstabenmeist nicht als mathematische Symbole verwendet, das Schluss-Sigma wird ebenfalls nichtbenutzt.2 Die typografische Darstellung dieser Minuskeln variiert je nach Schriftsatz.


Mechatronik <strong>und</strong> elektrische Antriebe S. 51 Mechatronische SystemeMechanischeSteuerungen <strong>und</strong>MechatronikInformationstechnikElektronikMaschinenbauElektrotechnikElektromechanikFig. 1-1: Mechatronik als Integration des Maschinenbaus, der Elektrotechnik<strong>und</strong> der Informationstechnik 1Ein System mit Komponenten oder Teilsystemen des Maschinenbaus, der Elektrotechnik <strong>und</strong>der Informationstechnik, die jeweils für sich separierbare Teilfunktionen wahrnehmen, wirdim engeren Sinne noch nicht als mechatronisches System bezeichnet. Wichtiges Kennzeichenmechatronischer Systeme ist vielmehr die Integration:• Funktionelle Integration: eine Funktion wird erst durch das Zusammenwirken derKomponenten der drei Bereiche bewirktBeispiel: Aktive Schwingungstilgung einer mechanischen Struktur (großeSatellitenstruktur mit ausgeklappten Photovoltaikflächen) mit regelungstechnischenMaßnahmen <strong>und</strong> elektromechanischen Aktoren. Die Komponenten (Aktor,Steuerungssystem, Sensorik, mechanische Struktur) sind ggf. räumlich/konstruktivseparat, die beabsichtigte Funktion kommt aber erst durch das Zusammenwirken allerbeteiligten Komponenten zustande<strong>und</strong>/oder1 Obwohl die ersten Rechenmaschinen <strong>und</strong> sogar der erste von Zuse gebaute programmierbare Computermechanischer Natur waren, ist heute die digitale mechanische Informationsverarbeitung kaum noch vonBedeutung. Allerdings gibt es in vielen mechanischen Systemen Vorrichtungen, die in gewissem Sinn als(analoge) mechanische Informationsverarbeitung aufgefasst werden können: Z. B. Königswellen,Kurvenscheiben, Zahnriemen <strong>und</strong> -scheiben, Hebel oder Kurbeln zur Übertragung von Stellungen <strong>und</strong>Positionen.


Mechatronik <strong>und</strong> elektrische Antriebe S. 6• Hohe räumliche bzw. konstruktive IntegrationBeispiel: Schreib-Lese-Arm einer Festplatte. Informationstechnische Teile, Aktuator<strong>und</strong> Mechanik sind konstruktiv <strong>und</strong> räumlich stark integriert• Fertigungstechnische Integration: Das mechatronische System wird nicht ausvorgefertigten elektrotechnischen, maschinenbaulichen <strong>und</strong> informationstechnischenKomponenten assembliert, sondern in einem integrierten Produktionsprozess gefertigtEin weiteres Kennzeichen mechatronischer Systeme ist die Verflechtung von Leistungsflüssen<strong>und</strong> Informationsflüssen.Elektrotechniku n , i nUmrichterSensorsMotorElektromechanikω me , TSollwerteSteuersignaleSteuerungngRückmeldungenMesswerteInformationstechnikFig. 1-2: Gr<strong>und</strong>struktur des elektrischen Antriebs,der Antrieb als mechatronisches Systemelectricenergy supplyPower flowMotormechanicalloadhigh-levelcontrolsSteuerungngInformation flowFig. 1-3: Power and information flows


Mechatronik <strong>und</strong> elektrische Antriebe S. 72 Magnetische Kreise2.1 Magnetische ReluktanzAnnahme stückweise homogener Felder (Feldstärke h k <strong>und</strong> Flussdichte b k ) in Elementen derLänge l k <strong>und</strong> des QuerschnittsMagnetischer Fluss:Es gilt bei linearem (passivem) MaterialA k . Magnetischer Spannungsabfall (Durchflutung):Damit lässt sich der magnetische Widerstand, die Reluktanz,θ = l h(2.1)kkkkkφ = A b(2.2)krkkb = µ h(2.3)µ 0kRkθlk k= =(2.4)φkµ 0µrk Akbzw. die magnetische Leitfähigkeit1 µ µ rk A= =k(2.5)l0ΛkRkdefinieren. Aus den Maxwellschen Gleichungen folgt im magnetischen Kreis mit mehrerenmagnetischen Elementenk∑θk = θ0=kNi(2.6)φ k = φ = const.(2.7)Berechnung von Fluss <strong>und</strong> magnetischer Spannung analog zu elektrischen Netzwerken mittelsKirchhoffscher Gesetze. Bei einem einschleifigen Kreis gilt:θ= 0 θφ = 0RΣ∑kR k(2.8)Durch Übergang auf den mehrfach verketteten Fluss (mit der Windungszahl N)


Mechatronik <strong>und</strong> elektrische Antriebe S. 8lässt sich schreiben:ψ = Nφ(2.9)ψ2N i = LiR= Σ(2.10)mit der Induktivität2NL = RΣ(2.11)Maßeinheiten der Größen:Größe Symbol Maßeinheit<strong>Elektrische</strong> Spannung u 1 VMagnetische Flussdichteb1 T = 1Vs/mMagnetischer Fluss φ 1 VsMagnetischerVerkettungsflussψ1 Vs<strong>Elektrische</strong>r Strom i 1 AMagnetische Feldstärke h 1 A/mMagnetische Spannung,magnetische Durchflutung 2 ϑ 1 AInduktivität L 1 H = 1Vs/AMagnetischer Leitwert Λ 1 H = 1Vs/AReluktanz R 1 A/Vs22.2 Energie <strong>und</strong> LeistungDie innere magnetische Energie für ein Element aus linearem Material mit homogenenFeldern in verschiedenen Darstellungen:2 In der Literatur findet man für die magnetische Spannung sehr häufig die Einheit „Ampere-Windungen“, wastrotz vielfältiger Wiederholungen leider falsch bleibt: Auch wenn die magnetische Spannung durch mehrereWindungen aufgebaut wird, beibt ihre Maßeinheit einfach nur das Ampere, denn die Zahl der Windungen isteine dimensionslose Zahl <strong>und</strong> führt zu keiner Veränderung der Maßeinheit. Blieben die Propagandisten dieserMerkwürdigkeit wenigstens in sich konsistent, müssten sie konsequenterweise bei einer induzierten elektrischenSpannung in einer Spule von „Volt-Windungen“ sprechen, denn meist tragen mehrere Windungen dazu bei.


Mechatronik <strong>und</strong> elektrische Antriebe S. 9Eki1= bkhkA l21= φkθk=2k k121=2µµR φk02krkb2kkA l1= θ2Rk k2k1= µ 0µrkh22kA lk k(2.12)Für nichtlineares, aber reversibles Material (d. h. mit eindeutiger Kennlinie, also ohneHysterese), muss die Energie durch Integration über die nichtlineare Magnetisierungskurvebestimmt werden:Eik= A lb∫k k0~ ~h( b )db(2.13).Bei Materialien mit Hysterese liefert das Differenziald W = A l h(b)db(2.14)k knur die am Material geleistete Arbeit, wobei ein Teil der Arbeit verloren geht (irreversibleMagnetisierungsverluste, Fläche der Hystereseschleife), also nicht zur magnetischen Energiebeiträgt, sondern den inneren Verlusten zugerechnet werden muss. In diesem Fall ist dasDifferenzial d W kein totales Differenzial <strong>und</strong> kann nicht zu einem Energiefunktionalintegriert werden.Die Gesamtenergie ergibt sich durch Summation über alle Teile:E11112 2i = ∑ Eik= ∑φkθk= φθ0= ψi= Li = ψ(2.15)k2k2 2 2 2LBei nichtlinearen Materialien folgtφ~ ~E = ∑ E = θ0( φ ) dφ= I(~ ψ ) d~i ikψ(2.16)kMagnetische Anordgungen mit einem kinematischem FreiheitsgradAnnahme: Die Reluktanzabhängig∫0ψ∫0R Σ sei von einem Geometrieparameter, z.B. einer Verschiebung x1RΣ = RΣ(x)(2.17)z. B. der Luftspalt x = d beim Joch oder später beim Reluktanzmotor der Drehwinkel x = ε .Damitoder äquivalentEi = Ei( i,x)(2.18)


Mechatronik <strong>und</strong> elektrische Antriebe S. 10Ei= E ( ψ , x)(2.19)iLeistungsbilanz:E & = p − p(2.20)iedi(t)Verbrauer-Zählpfeilsystemu(t)F(t)Erzeuger-Zählpfeilsystemx(t)Fig. 2-1: elektrisch <strong>und</strong> mechanisch freigeschnittenesallgemeines elektromechanisches ZweitorÄußere (externe) Leistung:pe= p − p = ui − vF(2.21)elmemitv = x&. (2.22)Die Vorzeichen ergeben sich aus der willkürlichen Festlegung der Zählrichtung. Für dieelektrischen Größen wurde das Verbrauchersystem, für die mechanischen das Erzeugersystemgewählt.Die innere dissipierte Leistung ist:2p d = Ri(2.23)p =pe−pd= ui − vF − Ri2= u i − vFi(2.24)mit der inneren oder induzierten Spannungu i= u − Ri . (2.25)Totales Differenzial der inneren Energie: Zunächst Festlegung der generalisiertenKoordinaten. Alle möglichen Koordinaten oder Verschiebungen sind im Prinzip gleichwertig.Vorteilhafterweise wählt man diejenigen, deren Zeitableitungen als Kovariablen imLeistungsausdruck auftreten, also x <strong>und</strong> ψ :E EE&∂i∂ii( ψ , x)= ψ&+ x&(2.26)∂ψ∂x


Mechatronik <strong>und</strong> elektrische Antriebe S. 11Induktionsgesetz:Kinematik:u =ψ&(2.27)iv = x&(2.28)Vergleich mit Leistungsausdruck liefert:E i∂i =∂ψx=const.<strong>und</strong>F∂Ei= −∂xψ =const.Hieraus kann die Kraft bei konstantem Fluss bestimmt werden. Also:bzw. als totales DifferenzialdE i& ( ψ , x)=ψ&i − xF &(2.29)E i( ψ , x)= i dψ− F d x(2.30)Die Kraft bei konstantem Strom wird aus der Ko- oder Ergänzungsenergie bestimmt, welchesich durch eine Legendre-Transformation aus der inneren Energie ergibt:E ( i,x)= ψ i − E ( ψ , x)(2.31)ciψE iE cFig. 2-2: Innere Energie <strong>und</strong> KoenergieiDie Ergänzungsenergie genügt der BilanzgleichungdE & c( i,x)= ( ψ i) − E&i( ψ , x)= ψ&i + ψi&− uii+ vF = i&ψ x&Fdt+(2.32)bzw. als totales Differenzial geschrieben:


Mechatronik <strong>und</strong> elektrische Antriebe S. 12dE c = ψdi + Fdx(2.33)Mathematisch betrachtet, werden durch die Legendre-Transformation die gewähltengeneralisierten Koordinaten, also die unabhängigen Variablen des Energiefunktionals,gewechselt. Interpretiert man die Energien geometrisch als Flächen unter der Magnetisierungskurveψ = ψ (i), ergänzen sich die beiden Energien zum Rechteck. Technischgesehen stellt der Term ψ i die während einer mechanischen Bewegung bei konstantgehaltenem Strom zugeführte elektrische Arbeit dar, die somit bei der Leistungsbilanzberücksichtigt wird.Aus der obigen Leistungsbilanz identifizieren wir:∂EcF =<strong>und</strong>∂xi=const.∂Eψ =∂icx=const.Bei linearem Materialgesetz sind die innere Energie <strong>und</strong> die Ergänzungsenergie wertemäßiggleich. Im Fall eines nichtlinearen Materialgesetzes führt die Differenziation ∂Ei / ∂x i = const.jedoch im Allgemeinen zum falschen Ergebnis für die Kraft!Interpretation der Energiebilanz, bzw. des EnergiedifferenzialsAnders als das totale DifferenzialdE (ψ , x)= idψ − Fdx = dW − dW(2.34)ieldE i sind die rechts stehenden Differenzialemed W = i dψ= iu dt(2.35)elid = F d x = Fv d t(2.36)W mekeine totalen Differenziale, sie sind die Differenziale der an der elektrischen bzw.mechanischen Seite geleisteten Arbeit (nicht Energie, da kein totales Differenzial!). Um diesin der Bezeichnung zu betonen, wird für nicht-totale Differenziale oft ein durchgestrichenes dverwendet: đW el , đW me.Das Differenzial der mechanischen Arbeit lässt sich unmittelbar durch die Änderung derErgänzungsenergie ausdrücken:dWme∂Ec= Fdx = dx = dEci=const.(2.37)∂xi=const.Diese Differenziale lassen sich grafisch in der Kennlinienschar ψ = ψ ( i,x)interpretieren.


Mechatronik <strong>und</strong> elektrische Antriebe S. 13ψdψx x + dx= 0dW el = idψx =x 0dW me = dE c i=const.E c i,x )( 0iFig. 2-3: Interpretation der Arbeitsdifferenzialeψx =x 2ψ 22W elψ 11W mex =x 1i1i 2iFig. 2-4: Mechanische <strong>und</strong> elektrische Arbeiten beim Übergang zwischen zwei ZuständenDie 2. Ableitungen der EnergieSind die Energiefunktionale zweifach stetig differenzierbar — was bei technischen Systemenin der Regel der Fall ist — darf die Reihenfolge der Differentialtion vertauscht werden. Ausden gemischten Ableitungen22∂ Ei∂ Ei=∂x∂ψ∂ψ∂x(2.38)folgt somit die Reziprozitätsbeziehung


Mechatronik <strong>und</strong> elektrische Antriebe S. 14∂ i( ψ , x)∂F(ψ , x= −)∂x∂ψ(2.39)Entsprechend folgt aus den gemischten Ableitungen der Koenergie2∂ Ec∂x∂i2∂ Ec=∂i∂x(2.40)die Reziprozitätsbeziehung∂ ψ ( i,x)∂F(i,x=)∂x∂i(2.41)Die (differenzielle) Steifigkeit der magnetischen Kraft ist die Ableitung der Kraft nach derVerschiebung. Wegen des gewählten Erzeugerzählpfeilsystems auf der Seite dermechanischen Größen wird diese als negative Ableitung definiert. Dann resultiert dieSteifigkeit z. B. einer konventionellen Feder wie gewohnt als positive Größe.Bei konstantem Strom ergibt sich die Steifigkeit des Magnetlagers zu2∂ Ec= −const 2i= . ∂xi = const..Die Steifigkeit bei konstantem Fluss ist hingegen∂FS i = −(2.42)∂x2ψ = const . ∂xψ = const.2∂F∂ Ei Sψ= − =(2.43)∂xDie Steifigkeiten S i <strong>und</strong> S ψ haben im Allgemeinen unterschiedliche Werte.Die (differenzielle) Induktivität ergibt sich entsprechend aus∂ψL =∂i2∂ Ec=const 2x= . ∂ix = const.(2.44)aber auch aus der inneren Energie über1 ∂i=L ∂ψ2∂ Ei=2x= const.∂ψx=const.(2.45)


Mechatronik <strong>und</strong> elektrische Antriebe S. 152.3 Magnetische WerkstoffeL +S −eFig. 2-5: Naives Bohrsches Atommodell zu Erklärung des Drehimpulses bzw.des magnetischen MomentsDie Magnetisierung der Materie hat ihre physikalische Ursache in den magnetischenMomenten der Atome bzw. der daraus zusammengesetzen Moleküle oder Kristallgitter. ImSinne des naiven Bohrschen Atommodells tragen die Elektronen über den mit ihrerBahnbewegung verb<strong>und</strong>enen Bahndrehimpuls L hierzu bei. Hinzu kommt der Eigendrehimpuls(Spin) S des Elektrons, elcher mit der „Bahnbewegung“ nichts zu tun hat. Der Betrag des Gesamtdrehimpulses J = L + S kann nach den Gesetzen der Quantenmechanik−34nur bestimmte Vielfache des Planckschen Wirkungsquantums h = 6.626⋅10Js annehmen,hJ = M j(2.46)2π,wobei M j ein ganz- oder halbzahliger Wert ist (0, 1/2, 1, 3/2, usw.). Mit dem Drehimpuls istdann das magnetische Momente ehM = J = M j(2.47)me2π me.−19−31verb<strong>und</strong>en. Hierbei ist e = 1.602 ⋅10As die Elementarladung <strong>und</strong> m e = 9.109⋅10kg dieMasse eines Elektrons.Zu einem gewissen Teil sind am magnetischen Moment eines Atoms auch die Spins derAtomkerne beteiligt, was bei der Magnetresonanztomographie (MRT) ausgenutzt wird. DieMaterialeigenschaften magnetischer Werkstoffe resultieren aber im Wesentlichen aus denEigenschaften der Elektronenhüllen. Je nach Art der beteiligten Atome <strong>und</strong> der sich darausbildenden Kristallgitter orientieren sich die resultierenden magnetischen Gesamtmomenteuntereinander parallel oder antiparallel bzw. richten sich an einem äußeren Feld aus. Dieunterschiedlichen Ausprägungen nennt man wie folgt:Diamagnetismus: Auch wenn das magnetische Moment im Gr<strong>und</strong>zustand Null ist, werdendurch quantenmechanische Wechselwirkung mit dem äußeren Feld Dipole induziert, die demäußeren Feld entgegenwirken <strong>und</strong> es abschwächen. Aus makroskopischer Sicht resultiertµ < 1. Beispiele: Wasser, Kohlenstoff, Kupfer, Wismut.r


Mechatronik <strong>und</strong> elektrische Antriebe S. 16Paramagnetismus: Atome <strong>und</strong> Moleküle mit einem von Null verschiedenen magnetischenMoment richten sich parallel zum äußeren Feld aus <strong>und</strong> verstärken dieses: µ r > 1.Akalimetalle <strong>und</strong> Seltene Erden zeigen paramagnetisches Verhalten.Ferromagnetismus: Die magnetischen Momente der Atome in einem Kristallgitter sind in densogenannten Weißschen Bezirken bereits ohne äußeres Feld untereinander parallelausgerichtet. Die Ausrichtung der Magnetisierung benachbarter Weißscher Bezirke variiertaber mehr oder weniger zufällig, so dass sich die Magnetisierungen in einer summarischenmakroskopischen Betrachtung aufheben. Durch ein äußeres Feld verschieben sich dieGrenzen benachbarter Weißscher Bezirke, die Bloch-Wände. Bezirke mit einerMagnetisierung in Richtung des erregenden äußeren Feldes wachsen rasch an, während dieanderen kleiner werden. Mit weiter zunehmendem äußerem Feld ändern die WeißschenBezirke auch sprungförmig die Richtung ihrer Magnetisierung (Barkhausen-Sprung). ImGegensatz zum Paramagnetismus reagiert das Material sehr stark auf äußere Felder: µ r >> 1.Dadurch entsteht auch der Effekt der Remanenz, dass also eine magnetische Vorzugsrichtungauch nach Wegfall des äußeren Feldes zurückbleibt. Die bekanntesten Vertreterferromagnetischer Materialien sind Eisen, Kobalt <strong>und</strong> Nickel.Ferrimagnetismus: Bei Ferriten sind die Magnetisierungen benachbarter Atome imKristallgitter jeweils antiparallel ausgerichtet. Sie haben sich daher teilweise auf.Tabelle einiger magnetischer WerkstoffebMaterialµˆmaxf maxrTkHzFerrite (NiZn, MnZn) 10-2000 0,1-0,5 10-100000Dynamobleche (Fe) 1000-10000 1-1,5 0,5-20Permalloy, MuMetall (FeNi) 10000-50000 1 0,1-100Fe-Pulverkerne 10-100 0,5-1,9 1000-350000FeNi-Pulverkerne 20-300 1-1,5 100-2000FeSiAl-Pulverkerne 25-120 1 200-10000Die in der Tabelle angegebene maximale Flussdichte ˆb max ist keine harte Grenze, die nichtüberschritten werden dürfte, sondern lediglich ein Hinweis für eine technisch sinnvolleBemessung. Oberhalb der maximalen Flussdichte <strong>und</strong> oberhalb des empfohlenenFrequenzbereichs steigen die Verluste typischerweise sehr stark an.Die Charakterisierung ferromagnetischer Materialien lediglich durch eine Permeabilitätszahlµ r ist problematisch, weil ein durch µ r charakterisierter linearer Zusammenhang zwischenFeldstärke <strong>und</strong> Flussdichte allenfalls für kleine Feldstärken gilt. Mit steigender Erregung zeigtsich eine zunehmende Sättigung. Besser wird das nichtlineare Materialverhalten durch eineMagnetisierungskennlinie beschrieben.


Mechatronik <strong>und</strong> elektrische Antriebe S. 17bFig. 2-6: Magnetisierungkennlinie mit SättigungBei der Berechnung magnetischer Kreise mit Elementen aus ferromagnetischem Materialkann man durch eine grafische Methode schnell einen Überblick gewinnen. Besteht dermagnetische Kreis aus einer Quelle θ0= Ni (magnetische Spannung der elektrischenWicklung, auch als magnetomotorische Kraft 3 , magnetomotive force, MMF bezeichnet), demWiderstand eines Luftspalts R L <strong>und</strong> einem Element aus ferromagnetischem Material, so kanndie lineare Kennlinie von Quelle <strong>und</strong> linearem Luftspaltwiderstand zum Schnitt mit dernichtlinearen Magnetisierungskennlinie des ferromagnetischen Materials gebracht werden.Dafür ist die Materialkennlinie b über h in eine Kennlinie Fluss φ über Spannung θumzurechnen oder umgekehrt die Größen θ 0 <strong>und</strong> R L in entsprechende Materialgrößenumzurechnen.hφR Lφθ0= Niθ Lθ Fe (φ)nichtlinearerarerFig. 2-7: Nichtlinearer magnetischer Kreis3 Dieser Begriff wird eher im Englischen verwendet, im Deutschen ist er dagegen weniger gebräuchlich.


Mechatronik <strong>und</strong> elektrische Antriebe S. 18φθ 0R Lθ 0=NiθFig. 2-8: Schnittpunkt der Kennlinien der magnetischen Quelle mit linearem Innenwiderstandmit der Kennlinie der nichtlinearen ReluktanzAlternativ: Bildung der gesamten magnetischen Spannungθ = θ L + θ Fe = R Lφ+ θ Fe (φ)(2.48)als neue nichtlineare Kennlinie. Die nichtlineare Kennlinie wird um die Luftspaltgeradegeschert:φLuftspaltgeradeθ = R φLL(φ) θ Feum die LuftspaltgeradeLuftspaltgeradeθ = R Lφ+ θFe(φ)Fig. 2-9: Gescherte Gesamt-Magnetisierungskennlinieθ


Mechatronik <strong>und</strong> elektrische Antriebe S. 19Neben der Sättigung kann eine mehr oder minder stark ausgeprägte Hysterese auftreten. Indiesem Fall gibt es keine eindeutige Magnetisierungskennlinie mehr. Vielmehr ist dieRelation zwischen Feldstärke <strong>und</strong> Flussdichte sowohl von der Vorgeschichte als auch von deraktuellen Richtung der Änderung abhängig. Typischerweise untersucht man symmetrischeAnregungen mit Variation der Aussteuerung.bb rNeukurve− h chFig. 2-10: Hystereseb r : remanente Flussdichte: Flussdichte bei Feldstärke Nullh c : Koerzitivfeldstärke: (negative) Feldstärke bei Flussdichte NullDie Kurve, die die Umkehrpunkte der aussteuerungsabhängigen Hystereseschleifenverbindet, heißt Kommutierungskurve. Der Kurve erstmaliger Magnetisierung aus einemunmagnetisierten Zustand heißt Neukurve.Die Form der Hysterese hängt von der Vorgeschichte ab, die Gestalt ändert sich auch mit derFrequenz. Bei nicht vollständigem Umlauf bzw. bei asymmetrischer Aussteuerung ergebensich weitere Abweichungen.Um Materialien mit Hysterese zuverlässig zu entmagnetisieren, werden Wechselfelder mitlangsam abnehmender Amplitude aufgeschaltet.


Mechatronik <strong>und</strong> elektrische Antriebe S. 20ψdψidw = idψW ViFig. 2-11:Wenn es keine eindeutige Kennlinie mehr gibt, sind die durch die Magnetisierungskennliniebzw. Hysterese gebildeten Flächen zwar immer noch als geleistete Arbeiten, aber nicht mehrals innere Energie <strong>und</strong> Koenergie deutbar. Das Integral der Leistungen wird also vomvorigen Weg abhängig. Das Integral über einen Umlauf∫ dw = ∫ p t)dt = ∫ u(t)i(t)dt = ∫ψ( t)i(t)dt = ∫ i(ψ ) dψ= ∫W V= ( & θ ( φ)dφ(2.49)gibt die Ummagnetisierungs- oder Hystereseverluste an.Handelt es sich um periodische Vorgänge <strong>und</strong> ist T die Periodendauer eines Umlaufs, so sinddie auf diese Zeit bezogene Verluste als mittlere Verlustleistung interpretierbar:WVP V = = f WV(2.50)TIn erster Näherung sind die Verluste also der Frequenz proportional.P V ~ f(2.51)Für höhere Frequenzen gilt dies nicht mehr, da sich zusätzlich auch die Gestalt der Hysteresefrequenzabhängig ändert. Die Verluste können dann überproportional steigen:


Mechatronik <strong>und</strong> elektrische Antriebe S. 21efP ~ f , e ≈ 1...2(2.52)VFür die Abhängigkeit von der Amplitude kann als grobe Näherung angesetzt werden:fˆeb P ~ b ; e ≈ 2...3(2.53)VbDie Zusammenfassung dieser beiden empirischen Gesetze führt zu der sogenanntenSteinmetz-GleichungPVe f e= K f bˆb(2.54)Die Steinmetz-Gleichung kann beispielsweise dafür benutzt werden, um Verluste, die ineinem Materialdatenblatt beispielsweise nur für eine bestimmte Aussteuerung <strong>und</strong> Frequenzzu finden sind (typischerweise finden sich solche Angaben in der Maßheit W/kg), auf einenanderen Arbeitspunkt umzurechnen.


Mechatronik <strong>und</strong> elektrische Antriebe S. 222.4 PermanentmagneteHeute werden hauptsächlich Magnetmaterialien aus• Neodym-Eisen-Bor (NdFeB)• Samarium-Cobalt (SmCo) oder• Ferriten (BaFeO oder SrFeO)verwendet. Die ersten beiden Materialien sind Legierungen aus Seltenen Erden (Neodym Ndoder Samarium Sm), welche paramagnetisch sind, <strong>und</strong> ferromagnetischen Materialien. Siewerden als Selten-Erd-Magneten bezeichnet. NdFeB ist das derzeit leistungsfähigsteMagnetmaterial. Die Rohstoffpreise Seltener Erden haben in den letzten Jahren einigeKapriolen geschlagen. Die größten Lagerstätten befinden sich in China.Permanentmagnete aus Seltenen Erden korrodieren leicht. Sie müssen durch eineOberflächenbeschichtung geschützt werden. Ferrite werden aufgr<strong>und</strong> der günstigen Kostenheute immer noch gern verwendet, sofern nicht höchste Energiedichten benötigt werden.Der Herstellungsprozess von Hochleistungsmagneten ist technologisch sehr anspruchsvoll.Das pulverisierte Magnetmaterial wird bei definierter Temperatur <strong>und</strong> Dauer in dergewünschten Form gepresst <strong>und</strong> gesintert (d. h. verbacken, aber nicht vollständigaufgeschmolzen, da eine feinkristalline Struktur angestrebt wird). Nach dem Sintern folgt eineAufmagnetisierung durch ein starkes äußeres Feld mittels eines starken Elektromagneten.Qualitativ stellt sich das Materialverhalten von Permanentmagneten ähnlich wie beiferromagnetischen Materialien als Hysterese dar. Die Form der Hysterese hat allerdings eineandere Form. Im Allgemeinen gilt der Zusammenhang zwischen Flussdichte b, Feldstärke h<strong>und</strong> Magnetisierung 4 mb µ h + m(2.55)= 0Die Magnetisierung m ist bei Permanentmagneten im üblichen Betriebsbereich völliggesättigt <strong>und</strong> dort nahezu konstant,m = msat = const.(2.56)Das heißt, in diesem Bereich ist die differenzielle relative Permeabilität1 dbµ r = = 1(2.57)µ dh0der Permanentmagnet verhält sich also bezüglich seines magnetischen Widerstandsweitgehend wie Luft oder Vakuum.4 Man beachte, dass in der Literatur der Begriff der Magnetisierung nicht einheitlich verwendet wird: Für diehier verwendeten Magnetisierung m = b − µ 0hwird gern auch das Symbol j benutzt <strong>und</strong> dies als magnetischePolarisation bezeichnet. Als Magnetisierung m findet man dann häufig die alternative Definition m b / µ − h .= 0


Mechatronik <strong>und</strong> elektrische Antriebe S. 23Typische Werte der Sättigungsmagnetisierung sindm sat≈⎧⎪⎨⎪⎩1,2 −1,4 T mit NdFeB0,9 T mit SmCo0,4 T mit ferritesDann resultiert für die remanente Flussdichte unmittelbar<strong>und</strong> für die Koerzitivfeldstärkesofern dieser Punkt noch im reversiblen Bereich liegt.bb r = m sat(2.58)mh c = (2.59)µ 0µ r=1b r− h ch ch− b rmm sat = b r− h ch ch− b rFig. 2-12: Typische Magnetisierungskennlinie eines Permanentmagnetmaterials


Mechatronik <strong>und</strong> elektrische Antriebe S. 24breversibler Bereich(üblicher Arbeitsbereich)irreversibleEntmagnetisierungb rµ r=1Neukurve− h ch ch− b rFig. 2-13: Reversible <strong>und</strong> irreversible EntmagnetisierungNdFeBbSmCoSmCoKennlinien verschiedener Permanentmagnetmaterialien für den reversiblen Bereich(Quelle: Vacuumschmelze)h


Mechatronik <strong>und</strong> elektrische Antriebe S. 25Die Magnetisierungskennlinie ist stark temperaturabhängig, die Magnetisierung nimmt mitsteigender Temperatur ab. Wird eine maximale Temperatur nicht überschritten, stellt sich beiAbkühlung die ursprüngliche Magnetisierung wieder her. Allerdings verschiebt sich mitsteigender Temperatur auch das „Knie“ der irreversiblen Magnetisierung in der Kennlinieimmer mehr nach rechts <strong>und</strong> oben, so dass die Gefahr einer Schädigung wächst.bnormalerBetriebsbereichTTemperaturhIrreversibleEntmagnetisierungFig. 2-14: Temperaturabhängigkeit der MagnetisierungskennlinieFig. 2-15: Kennlinien der Flussdichte <strong>und</strong> Magnetisierung über Feldstärkefür ein NdFeB-Material in Abhängigkeit von der Temperatur(Quelle: Vacuumschmelze)


Mechatronik <strong>und</strong> elektrische Antriebe S. 26Für ein gerades prismatisches Element aus Permanentmagnetmaterial mit dem QuerschnittA PM <strong>und</strong> der Länge l PM folgt bei angenommenen homogenen Feldern die Kennlinie desmagnetischen Flusses über der magnetischen Spannung durch Umskalierung derMaterialkennlinie,φ = A PM b , θ = l PM hEbenso lassen sich der Remanenzfluss <strong>und</strong> die koerzitive magnetische Spannung definieren:φ = A b , θ c = lPMhc.rPMrφφ r1/ R PM−θ cθFig. 2-16: Kennlinie des magnetischen Flusses über der Spannungfür ein MagnetelementIm reversiblen Bereich der Magnetisierungskennlinie folgt der Zusammenhang zwischenFluss <strong>und</strong> magnetischer SpannungoderHierbei istPM( φ −φ)θ = R(2.60)φθ + θrc= (2.61)RPMRPMθ =l=c PM(2.62)φrµ 0 APMder magnetische Widerstand des Magneten. Diese Gleichungen lassen sich als magnetischeErsatzschaltbilder entweder (s. u. Bild a) mit einer Flussquelle <strong>und</strong> parallelem


Mechatronik <strong>und</strong> elektrische Antriebe S. 27Innenwiderstand oder (b) mit Durchflutungsquelle <strong>und</strong> seriellem Innenwiderstandinterpretieren.φφRPMθR PMφ Rφ rθθ Rθ c(a)Ersatzschaltbildmit Flussquelle(b)Ersatzschaltbildmit DurchflutungsquelleFig. 2-17: Ersatzschaltbilder eines PermanentmagnetenErsatzmodelle für magnetisierte Materialien in einer lokalen FeldbetrachtungGehen wir von den Maxwellschen Gleichungen (in vektorieller Form) aus:∇ ⋅b = 0∇ ⋅ d= ρ ∂d∇× h = j +∂tDas magnetische Material werde durch die Beziehungbe ∂b∇× e = −∂t µ h + m(2.63)= 0mit der Magnetisierung m berücksichtigt. Schreiben wir b m mh = − = h −(2.64)µ00 µ 0 µ 0Die so eingeführte Größe h 0 ist als die magnetische Feldstärke zu verstehen, die sich beiVorgabe der Flussdichte b statt im magnetisierten Material im Vakuum einstellen würde. Wirsetzen dies in das Oerstedsche Gesetz ein:Mit ∇ × h = ∇ × h0 m ∂d− ∇ × = j +µ ∂t0(2.65)


Mechatronik <strong>und</strong> elektrische Antriebe S. 28j mm= ∇ ×(2.66)µ 0folgt ∂d∇× h = j + jm+(2.67)0∂tDas lässt sich so interpretieren, dass das ursprüngliche magnetisierte Material durch Vakuum<strong>und</strong> einer gedachten zusätzlichen Stromdichte j m ersetzt wird, die aus den Wirbeln derursprünglichen Magnetisierung berechnet wird. Dies lässt sich sehr anschaulich interpretieren:Nimmt man ein homogen magnetisiertes Material m = const.an, ist j m im Innern als auchaußerhalb des Materials Null. Auf Oberfläche gibt es aber eine sprungförmige Änderung derMagnetisierung, die über die Differentiation zu einer Ersatz-Flächenstromdichte der Größem / µ 0 führt. Die Richtung dieser Stromdichte ist senkrecht zur Flächennormalen <strong>und</strong> zurursprünglichen Magnetisierung. Dass es sich wirklich um einen zumindest gedanklichphysikalisch korrekt interpretierbaren elektrischen Strom handelt, der im stationären Fallquellfrei sein muss, wird durch Überprürfung von der Diverenz∇ ⋅j mm= −∇ ⋅∇ × = 0µ0(2.68)bestätigt. Dieser Strom zirkuliert also in der Oberfläche. Man spricht von einem Mantelstrom.Die Stärke dieses Mantelstroms kann direkt aus den Materialkennlinien abgelesen werden. Sieist gleich der koerzitiven Feldstärke. Bei Seltenerdmagneten liegen die Werte in derGrößenordnungmµ0= h c≈ 1000 kA/m = 1000 A/mm(2.69)Wollte man also einen Seltenerdmagneten durch eine elektrische Spule ersetzen, kann mannatürlich keinen idealen Flächenstrom realisieren, sondern muss eine gewisse Spulendicke inKauf nehmen. Geht man von einer technisch in Kupfer erreichbaren Stromdichte von210 A/mm aus (was bereits gute Kühlung erfordert), führt das also zu einer Spulendicke von100 mm , um einen derartigen Mantelstrom zu realisieren. Dabei ist der Füllfaktor derWicklung noch nicht berücksichtigt. Dieser Vergleich zeigt die enorme Stärke modernerMagnetmaterialien. Praktisch können Permanentmagnete mit Abmaßen von nur einigenMillimetern aufgr<strong>und</strong> der eben abgeschätzen Dicke der Spulen kaum durch solche ersetztwerden.Statt der Substitution der Magnetisierung durch Ersatzströme ist auch eine andereErsatzvorstellung möglich. Schreiben wir diesmal die Materialbeziehung alsb µ h + m = b + m(2.70)=00


Mechatronik <strong>und</strong> elektrische Antriebe S. 29Hier ist b 0 die sich zu einem gegebenen Feldstärkefeld h im Vakuum einstellendeFlussdichte. Wird diese Gleichung nun in die Quellengleichung eingesetzt, folgt 0 ∇ ⋅b= ∇ ⋅b+ ∇ ⋅ m(2.71)=0bzw.⋅b = ρ m, (2.72)∇ 0mit einer gedachten magnetischen Ladungsdichteρ = −∇ ⋅ m(2.73)mBei einem Material mit konstanter Magnetisierung ist im Innern ∇ ⋅ m = 0 . Es treten also nurErsatz-Flächenladungen auf der Oberfläche auf. Die Größe der Flächenladung ergibt sichdirekt aus der Magnetisierung m . Da das Ersatz-Flussdichtefeld b 0nicht mehr quellenfrei ist,sind die Feldlinien eines stationären Magnetfeldes nun nicht mehr wie gewohnt geschlossen,sondern laufen wie beim elektrostatischen Feld von einer positiven magnetischen Ladung zueiner negativen. Diese Vorstellung hat zwar keine technisch-physikalische Relevanz 5 , kannaber durchaus für die numerische Feldberechung nützlich sein.Die durch diese Vorstellungen eingeführten Ersatzfelderh0 m b = h − = bzw. b0 = b − m = µ 0 hµ µ00unterscheiden sich von den ursprünglichen Feldern h bzw. b nur innerhalb desmagnetisierten Materials. Außerhalb des Materials sind sie diesen gleich, da dort m = 0 gilt.j m+++m +−−−−ρ mFig. 2-18Ersatzmodell mitelektrischenMantelströmenhomogen magnetisiertesMaterial(Permanentmagnet)Ersatzmodell mitmagnetischenFlächenladungen5 Einige Theoretiker halten die Existenz magnetischer Einzelladungen für möglich. Bislang konnten diese abernicht nachgewiesen werden.


Mechatronik <strong>und</strong> elektrische Antriebe S. 30EnergieBei einer Hysterese lassen sich die durch die Magnetisierungskennlinie gebildeten Flächenzwar noch als geleistete Arbeiten interpretieren, aber nicht mehr einfach zu Energienwegunabhängig integrieren, da bei irreversiblen Vorgängen, insbesondere beim vollständigenUmlauf um die Hysterese, die aufgebrachte äußere Arbeit als Ummagnetisierungsverlusteverloren gehen. Im reversiblen Bereich der Kennlinie ist die Kennlinie aber eindeutig. Hierkann die Energie identifiziert werden, wobei der Bezugspunkt (die Integrationskonstante)willkürlich gewählt werden kann. Die innere Energie istEi1R2= ( φ −φ)PMr θ = ( φ −φr) . (2.74)22Für die Koenergie empfiehlt sich eine leicht veränderte DefinitionE1= φθ − + φrθc, (2.75)2c E iwobei die zusätzliche Konstante φ rθ c / 2 nur das Bezugniveau verschiebt, was aber, da stetsnur Änderungen oder Ableitungen der Energiefunktionale relevant sind, ohne weiteresmöglich ist. Wir erhaltenE1 1 1 1= φθ − + φrθc= ( φ + φr) θ + φrθc= φ(θ + θc), (2.76)2 2 2 2c E iwobei bei der Umformung der Zusammenhangφφ = φrr + θ(2.77)θbenutzt wurde. Die geometrische Interpretion beider Energien zeigt das folgende Bildcφφ rE iφE c−θ cθθFig. 2-19: Innere Energie <strong>und</strong> Koenergie bei einem Permanentmagneten


Mechatronik <strong>und</strong> elektrische Antriebe S. 31Vergleicht man die Darstellungen dieser Energien mit den obigen Ersatzschaltbildern mit denVarianten (a) <strong>und</strong> (b), so stellt man fest, dass sich im Ersatzschaltbild mit Flussquelle dieinnere EnergieEi21 1 θ= ( φ −φr) θ = φRθ=(2.78)2 2 2RPMals Energie des fiktiven Parallelwiderstands R PM interpretieren lässt, während sich dieKoenergie im Ersatzschaltbild mit Spannungsquelle (b) als Energie des ReihenwiderstandsR interpretieren lässt:PMMagnetischer Kreis mit Permanentmagnet1 1 1 2E c = φ(θ + θc)= φθR= RPMφ(2.79)2 2 2Besteht ein magnetischer Kreis aus einem Permanentmagneten, einem Luftspalt <strong>und</strong> einemhochpermeablen Kern, kann der Kernwiderstand meist gegenüber denen der Luft <strong>und</strong> desPermanentmagneten vernachlässigt werden, was zum unten stehenden Ersatzschaltbild führt.Der sich im Kreis einstellende Zustand kann grafisch skizziert werden, wobei zu beachten ist,dass üblicherweise die Kennlinien des Permanentmagneten in Verbraucherzählrichtunggezeichnet werden, so dass für den Luftspalt dann das Erzeugersystem verwendet werdenmuss, alsoθ = −RLφ, (2.80)so dass die Luftspaltgerade wie gezeichnet resultiert. Diese grafische Konstruktion kannsowohl in einem Diagramm φ über θ als auch direkt in der Materialkennlinie desPermanentmagneten über h durchgeführt werden. Im ersten Fall werden dieGeradensteigungen durch die magnetischen Widerstände bestimmt. Im letzten Fall führt manzuvor zweckmäßigerweise den PermeanzquotientenR=A l=PM L PMα , (2.81)RLAPMlLein, der die Steigung der Luftspaltgeraden im Verhältnis zur Steigung der Materialkennliniedes Permanentmagneten angibt.θ = 0.Extremfälle:Kein Luftspalt, alsoα = ∞ : dann ist der Fluss φ = φr<strong>und</strong> die magnetische SpannungGroßer Luftspalt im Verhältnis mit dem Magneten, also = 0der Fluss φ = 0 .α : Dann ist θ = θc<strong>und</strong>


Mechatronik <strong>und</strong> elektrische Antriebe S. 32φm satdFig. 2-20: Magnetischer Kreis mit PermanentmagnetφRPMθ cθRLFig. 2-21: Ersatzschaltbild eines magnetischen Kreises mit Permanentmagnet <strong>und</strong> Luftspaltφ−1/ R Lφ r1/ R PMφ−θ cθθFig. 2-22: Schnitt der Kennlinien von Magnet <strong>und</strong> Luftwiderstand


Mechatronik <strong>und</strong> elektrische Antriebe S. 33b−αµ 0b rµ 0b− h chhFig. 2-23: Schnitt der Materialkennlinien von Magnet <strong>und</strong> Luft


Mechatronik <strong>und</strong> elektrische Antriebe S. 343 Magnetlager3.1 Magnetisches JochiuA LdFFig. 3-1: Prinzipbild eines elektromagnetischen AktorsFFeWicklungFig. 3-2: Mögliche technische Ausführung als linearer AktorAnwendung der allgemeinen Gleichungen auf eine Anordnung wie skizziert. Annahme:was beiR Fe


Mechatronik <strong>und</strong> elektrische Antriebe S. 35Die Magnetische Spannung der elektrischen Spule seiθ = Ni(3.4)0Es ergibt sich1 1 1 1 θ0N i ALµ0Ec( i,d)= ψ i − ψi= ψi= φθ0= =(3.5)2 2 2 2 R 4d2L222 2∂EcN i ALµ0 1 1F( i,d)= = − = − φθ0= − 2ALbLhL= − pL22∂d4d2d2AL(3.6)mit dem magnetischem DruckpL1 F= bLhL= −(3.7)2 2ALSteifigkeit:∂FN i ALµ 0Si( i,d ) = − = −3∂d2d22=2F(i,d )d4 pLA= −dL< 0(3.8)Die Steifigkeit ist negativ, also instabil.Verkettungsfluss:2N iALµ0ψ ( i,d)= (3.9)2dInduktivität:2N ALµ0L(i,d)= (3.10)2d


Mechatronik <strong>und</strong> elektrische Antriebe S. 363.2 Anordnung mit zwei Jochenu 1i 1Fd 0+ xxd 0− xi 2u 2Fig. 3-3:NF1( i1,x)= −4F ( i2F(i , i1S ( i , ii1222N, x)=4N, x)= −dd12= d( d + x)( d − x)0= d, x)= F ( i , x)+ F ( i12 2i12 2i201N= −220A µA µLL02022A ⎡Lµ0⎢4 ⎣A ⎡Lµ0⎢2⎣02+ x− x, x)2( d + x) ( d − x)03( d + x) ( d − x)021i21i−+0022i22i23⎤⎥⎦⎤⎥ < 0⎦(3.11)(3.12)


Mechatronik <strong>und</strong> elektrische Antriebe S. 373.3 Regelung eines Magnetlagers mit Vorspannung durch separate WicklungIdee: Beaufschlagung beider Spulen mit einem gleichen konstanten Strom I 0 , dem einGegentaktanteil ∆ i überlagert wird:i = Ii120= I0+ ∆i− ∆i(3.13)Diese Aufteilung der Ströme in einen gemeinsamen konstanten Anteil <strong>und</strong> einen variierendenDifferenzanteil kann auch direkt durch die Wicklungsanordnung bewerkstelligt werden:I0∆iI0∆iFig. 3-4: Magnetlager mit separaten Wicklungen für Konstantstrom <strong>und</strong> „Regelungsstrom“2( I0+ ∆i)2( d + x)2( I )( ) ⎥ ⎤0 − id0− x ⎦2N A ⎡Lµ0∆F(∆ i,x)= − ⎢ −2(3.14)4⎣ 0Linearisierung um den Arbeitspunkt x = 0 <strong>und</strong> ∆ i = 0 :∂FF(∆i,x)= ∆i∂∆iN= −2∆i=0x=0A µ IL 020d∂F+ x∂x0∆i+∆i=0x=0N2L 03d020A µ Ix = −C∆i− Six(3.15)mit22 2N A 0I0N ALµ0I0= <strong>und</strong> S2i = −3d0d0C Lµ


Mechatronik <strong>und</strong> elektrische Antriebe S. 38Die Konstante C ist ein Strom-Kraft-Übertragungsverhältnis. Bei rotierenden Maschinen wirddiese Konstante als Motorkonstante bezeichnet.Der Gesamtfluss für die den Strom ∆ i führende Wicklung ergibt sich zu22N ( I 0 + ∆i)ALµ0 N ( I 0 − ∆i)ALµ0ψ ∆ ( ∆i,x)=−(3.16)2( d + x)2( d − x)Die Induktivität dieser Spule ist0∂ψ 2 ⎡ 1 1 ⎤L ( x)= ∆∆ = N ALµ0⎢+ ⎥(3.17)∂∆i⎣2(d0+ x)2( d0− x)⎦Für kleine x ist die Induktivität in 1. Näherung konstant <strong>und</strong> kann durch den Wert bei x = 0approximiert werden:02N A 0∆ (0) = (3.18)d0L LµRegelungsidee:Resultierende Gesamtsteifigkeit:∆ i = Kx(3.19)dFS = −dx= Si+ KC =N2ALµ0I02d0⎛ I⎜ K −⎝ d00⎞⎟⎠(3.20)WirdSi K =I0> Kmin= −(3.21)C d0gewählt, wird die Gesamtsteifigkeit S positiv.Genauere Betrachtung des Regelkreisverhaltens: Der Ort x muss durch einen Sensor erfasstwerden. Ein realer Sensor hat z.B. Tiefpassverhalten mit Zeitkonstante τ s :xˆ(s)1Gs( s)= =(3.22)x(s)1+τsDer Strom kann nicht ideal eingeprägt werden, Zeitkonstante eines unterlagertenStromregelkreises τ i sollte berücksichtigt werden:s


Mechatronik <strong>und</strong> elektrische Antriebe S. 39∆i(s)1Gi( s)= =* (3.23)∆i( s)1+τ siFµxmFF dmagnetisches Teilsystemmechanisches TeilsystemFig. 3-5: Schnittskizze zur gedanklichen Separationder magnetischen <strong>und</strong> der trägen MaterialeigenschaftenVerhalten der mechanischen Trägheit:GIm stationären Fall & x& = 0 gilt alsoDie Übertragungsfunktion (s)x(s)1( s)=2(3.24)F(s)− F ( s)msm =dF = F d(3.25).S zusammengefasst:G m wird mit Rückkopplung über iWeiterhin wird zusammengefasst:1Gm′ ( s)=2(3.26)S + msiG′ ( s)= G ( s C(3.27)i i )Der Regler wird nach erster Idee als P-Regler angesetzt:G c*∆i( s)( s)= = −K∆x(s)(3.28)


Mechatronik <strong>und</strong> elektrische Antriebe S. 40bzw. das negative Vorzeichen vom Summenpunkt des mechanischen Teilsystems wirddurchgeschoben <strong>und</strong> ein Regler*c =− ∆i( s)G′( s)= −Gc( s)=∆x(s)K(3.29)mit der üblichen positiven Verstärkung definiert.Regelfehler:*∆x= x − x(3.30)− F dx * = 0−G c (s)*∆i∆i− FG i (s) C G m (s)−SixxˆG s)(s)− F dx * = 0−G c′(s*− ∆iG i′(s)G m′ (s)xxˆ(s) G sFig. 3-6: Führungsübertragungsfunktion:x(s)Gc′( s)Gi′( s)Gm′( s)T ( s)= =*x ( s)1+Gc′( s)Gi′( s)Gm′( s)GGc′( s)Gi′( s)Gm′( s)=1+L(s)=( 1+τ ss)KC2( S + ms )( 1+τ s)( 1+τ s) + KCisis( s)(3.31)Störübertragungsfunktion


Mechatronik <strong>und</strong> elektrische Antriebe S. 41x(s)Gm′( s)Td( s)= =− F ( s)1+G′( s)G′( s)G′( s)G ( s)Gm′( s)=1+L(s)=( 1+τ ss)( 1+τis)2( S + ms )( 1+τ s)( 1+τ s) + KCidsciims(3.32)Mit der KreisübertragungsfunktionL( s)= G′( s)G′( s)G ( s)G ( s)(3.33)c i m′Der Kehrwert der Störübertragungsfunktion kann als dynamische Steifigkeit interpretiertwerden:s− Fd ( s)1S(s)= =(3.34)x(s)T ( s)dDie Übertragungsfunktionbesitzt die Polstellen1Gm′ ( s)=2(3.35)S + msiSiSis1 = − , s2= − −(3.36)mmBeide Pole sind reell (man beachte S i < 0 ). Ein Pol liegt in der rechten komplexenHalbebene. Alle anderen Teilübertragungsfunktionen sind dagegen stabil <strong>und</strong> besitzen Polemit negativem Realteil.Aus prinzipiellen Gründen kann ein P-Regler das System nicht stabilisieren.Regelungstechnische Argumentation: D-Anteil einfügen, um Phase anzuheben (z.B. Analysemittels Frequenzkennlinien) oder Wurzeln in die linke Halbebene zu ziehen(Wurzelortskurve). Mechanische Argumentation: Dämpfung einfügen (führt zum gleichenResultat wie D-Anteil). Ein zusätzlicher I-Anteil kann eingefügt werden, um einenverschwindenden stationären Regelfehler zu erreichen (unendliche stationäre Steifigkeit).Daher neuer Ansatz mit PID-Regler:⎛ 1Gc′( s)= −K⎜1+⎝ sTnsTv⎞ 1+s+ = −KsT⎟1+r ⎠2( Tn+ Tr) + s ( Tv+ Tr)sT ( 1+sT )nrTn(3.37)Skizze des Regelungsentwurfs im Frequenzbereich: Ein Pol der KreisübertragungsfunktionL (s) hat positiven Realteil (Beitrag vom G m′ (s)). Falls ein I-Anteil im Regler vorgesehen


Mechatronik <strong>und</strong> elektrische Antriebe S. 42wird, liegt ein weitere Pol auf der imaginären Achse. Die Nyquistortkurve 1+ L(jω)mussdaher (für positive ω ) eine Umschlingung von 3π / 2 aufweisen, wenn der geschlosseneKreis stabil sein soll. Ohne integralen Anteil, also bei einem PD-Regler, muss dieUmschlingung nur π / 2 sein. Im Fall des PD-Reglers lässt sich sofort eineMindestreglerverstärkung angeben, da die Umschlingung von π / 2 nur zu Stande kommenkann, wenn der Anfangspunkt der Ortskurve die BedingungL ( 0) < −1(3.38)erfüllt. Daraus folgtKCS i< −1(3.39)bzw.SiK > K min = −(3.40)CMan beachte wieder S i < 0 . Dieses Ergebnis deckt sich mit der obigen Überlegung zu einerpositiven Gesamtsteifigkeit.stabil(für PID-Regler)Imnicht stabilAstabil(für PD-Regler)L(0)−11+ L(jω)CB L(∞)ReFig. 3-7: Nyquist-OrtskurvenDer Regelungsentwurf ist in Frequenzkennlinien meist übersichtlicher als mit Ortskurven.Vorher empfiehlt sich noch eine Normierung der Teilübertragungsfunktionen <strong>und</strong> eineZusammenfassung der Kreisverstärkung in der Reglerverstärkung:1Gm′( s)= −SiGm′( s)= −m1+sSi2(3.41)


Mechatronik <strong>und</strong> elektrische Antriebe S. 43CGc ′ ( s)= − Gc′( s)(3.42)Sibzw.CK′ = − K′(3.43)SiG c′dB( | G ( jω)| )iG c′+20dB/Dek-20dB/DekL1/T nG m′A1/T v≈ s1G ′mL-20dB/DekBω cAmplitudenrandC1/T r-40dB/Dek1/ τ ,1/sτ i-20dB/DekG s , G iω-40dB/DekargG i( jω)-80dB/DekL90°G c′− 90°−180°− 270°G c′G m′LABPhasenrandCLG m′G s , G iω− 360°Fig. 3-8: Frequenzkennlinien zum RegelungsentwurfStichworte zum Regelungsentwurf:• D-Anteil hebt die Phase von L ( jω)im Bereich der Durchtrittsfrequenz ωcan.• Vorhaltzeit Tvkann gleich oder in der Nähe von 1/s1 = −1/s2gewählt werden.


Mechatronik <strong>und</strong> elektrische Antriebe S. 44• Reglerverstärkung so wählen <strong>und</strong> damit Verstärkung von L ( jω)so weit anheben,dass sich eine gewünschte Bandbreite bzw. Durchtrittsfrequenz ωcergibt.• Nachstellzeit Tndes Reglers möglichst klein wählen, also 1 /Tnmöglichst groß, abernur soweit, dass die Phase in der Nähe der Durchtrittsfrequenz ωcnicht zu sehrabgesenkt wird.• Knickfrequenzen der Sensorik <strong>und</strong> des Stromstellgliedes 1 / τs,1/τisowie des realenDifferenzierers 1 /Trmüssen genügend weit oberhalb der angestrebtenDurchtrittsfrequenz ω liegen. Alle drei Zeitkonstanten zusammen verursachencerhebliche Phasenabsenkung, selbst wenn sie nicht sehr dicht an ωcliegen.Genaue Reglerauslegung als Übungsaufgabe!I0∆iI0∆i


Mechatronik <strong>und</strong> elektrische Antriebe S. 453.4 Magnetisches Joch mit Permanent-MagnetiudFφφ rθ LR LR PMθ PMFig. 3-9: Magnetisches ErsatzschaltbildMagnetischer Kreis aus Permanentmagnet, Eisen <strong>und</strong> Luft, keine Spule: Reluktanz <strong>und</strong>Energie des Eisens werden vernachlässigt:φθ θ = 0(3.44)PM+ LR ( φ −φ) + R φ = 0(3.45)RPMGesamtenergie des magnetischen Kreises:rL= −PML PM= φrbzw. θLθcφrRL+ RPMRL+ RPM=RREi= EiL+ EiPM2L1 θ=2 RL+12θR2cPM1 2 RLR= φr2 R + RLPMPM(3.46)


Mechatronik <strong>und</strong> elektrische Antriebe S. 46In Abhängigkeit der Luftspaltlänge:2L1 θEi( lL)=2 RL+12θR2cPM1 2 RL( lL)R= φr2 R ( l ) + RLLPMPM(3.47)F(l )MitL∂E1∂⎛⎜⎝R ( l ) Ri 2L L PMPM= − = − φrrlL2 l ⎜L RL(lL)R ⎟ = − ⎢φ∂ ∂ + PM 2 µ 0ALRL(lL)+ RPM⎞⎟⎠A11⎡⎣R2⎤⎥⎦1= − ALb2Lh(3.48)L1= − A2LPM′PM(3.49)APMl = lLpLF(lLl′) = −2µA02PML2r( l + l′) 2LφPM(3.50)Steifigkeit:S2 2∂FlPMφr( lL)= − = −3∂lLµ 0ALL PM′2F(lL)=( l + l′) lL+ lPM′(3.51)Unter Verwendung des fiktiven Stroms I PMerhalten die Formeln weitgehend die gleicheGestalt wie diejenigen für den Elektromagneten:F(lLS(l2cθ ALµ0) = −2L) = −( l + l′) 2L2cPMθ A µ0( l + l′) 3LLPM(3.52)(3.53)Für eine Anordnung mit Permanentmagnet <strong>und</strong> Spule ergibt sichF(i,lS(i,lLL) = −) = −2( Ni + θc) ALµ02( l + l′) 2LPM2( Ni + θc) ALµ0( l + l′) 3LPM(3.54)(3.55)wobeil L= 2d(3.56)


Mechatronik <strong>und</strong> elektrische Antriebe S. 473.5 Magnetlager mit Vorspannung durch Permanentmagnete∆iPMPMxFig. 3-10: Statt einen konstanten Strom I 0 durch beide Wicklungen als Vorspannung fließenzu lassen, können Permanentmagnete eingesetzt werden, wobei<strong>und</strong> der effektiv wirksame LuftspaltNI 0 = θ = l h(3.57)cPMc∆id11AL′0= d0+ l′PM= d0+ lPM(3.58)2 2 APMzu berücksichtigen ist. Es wird dann nur noch eine Spule für den Strom ∆ i benötigt, diezweckmäßigerweise gleich um beide Joche gewickelt wird, so dass nur noch einKlemmenpaar mit Strom versorgt werden muss <strong>und</strong> nur noch ein Stromrichter benötigt wird.Die Gleichungen der vorangegangenen Abschnitte gelten entsprechend:( θc+ N∆i)2( d′+ x)2( θ )( ) ⎥ ⎥ ⎤c − N∆id0′− x ⎦⎡2ALµ0F(∆ i,x)= − ⎢ −2(3.59)4 ⎢⎣03.6 SensorikZur Messung des Abstandes kommen optische oder induktive Messverfahren in Betracht.Induktive Messverfahren ermitteln über die Veränderung der Induktivität den Abstand.Zweckmäßigerweise ordnet man mehrere Sensoren in einer Brückenschaltung an, um Offsetszu kompensieren. Die Induktivität wird über die Aufschaltung einer Wechselspannunggemessen.


Mechatronik <strong>und</strong> elektrische Antriebe S. 483.7 StromrichterZur Speisung der Wicklungen können prinzipiell linear arbeitende Leistungsverstärkereingesetzt werden. Wegen der prinzipbedingt hohen Verluste linearer Verstärker werdenvielmehr schaltend arbeitende Stromrichter eingesetzt. Da der Strom durch eine Wicklungsowohl positiv als auch negativ sein kann <strong>und</strong> sowohl positive als auch negative Spannungenzur schnellen Anregelung der Ströme benötigt werden, müssen alle 4 Quadranten des Strom-Spannungs-Bereichs vom Stromrichter beherrscht werden.uiFig. 3-11: Benötigter Strom-Spannungsbereich (alle 4 Quadranten)U dcS 1+−+∆iuL ∆S 2−Fig. 3-12: Prinzipdarstellung des benötigten Stromrichters mit idealen Schaltern(4-Quadranten-Steller)


Mechatronik <strong>und</strong> elektrische Antriebe S. 49U dcFig. 3-13: Stromrichter für Magnetlager (4-Quadranten-Steller)S 1S 2u+ − + U dc− + − U dc− − 0+ + 0Fig. 3-14: Ausgangsspannung in Abhängigkeit des Schaltzustandes3.8 PulsweitenmodulationDie Pulsweitenmodulation erlaubt es, vorgegebene kontinuierliche Wertedurch eine wertediskrete Zeitfunktion[ −1,1]*s ∈(3.60){ 1;1 }s ( t)∈ −(3.61)so „anzunähern“, dass das zeitliche Mittel über einer Schaltperiodegewünschten kontinuierlichen Wert ist:T s gleich dem( k + 1) Ts1s = s(t)dt = sT∫skTs*(3.62)


Mechatronik <strong>und</strong> elektrische Antriebe S. 50Das Prinzip zeigen die folgenden Bilders * ( t)−s(t)1-1Fig. 3-15: Realisierung der Pulsweitenmodulation durchDreiecksmodulationsträger <strong>und</strong> KomparatorFig. 3-16: Prinzip der PulsweitenmodulationDieses Prinzip kann angewendet werden, um durch den 4-Quadranten-Steller im zeitlichenMittel gewünschte wertekontinuierliche Spannungssollwerte zu realisieren. Der gewünschte*Spannungssollwert u wird zunächst normiert,*us* = (3.63)U dc<strong>und</strong> der Pulsweitenmodulation zugeführt, wobei man vorteilhafterweise für die beidenSchalter des Stellers um 180° versetzte Modulationen einsetzt, weil sich dadurch die effektivePulsfrequenz der Ausgangsspannung gegenüber der tatsächlichen der einzelnen Schalterverdoppelt als auch die Stufen der Ausgangsspannung halbieren (s. Bild).


Mechatronik <strong>und</strong> elektrische Antriebe S. 51Fig. 3-17: Pulsweitenmodulation für 4-Quadranten-Stellermit phasenversetzten Modulationsträgerns * ( t)−s 1(t )1-1−−1-1s 2 ( t)Fig. 3-18: Realisierung der PWM für einen 4-Quadranten-Steller


Mechatronik <strong>und</strong> elektrische Antriebe S. 52Der 4-Quadranten-Steller ist eine spannungseinprägende Struktur. Für dieMagnetlagerregelung wird jedoch eine Stromeinprägung benötigt, die durch eine unterlagerteStromregelung realisiert wird.+∆iL ∆Udc−+u−∆i*∆i∆i−Stromregler(s) G ci*u÷*sU dcPWMs1s2Fig. 3-19: Strukturbild der Stromregelung für einen 4-Quadranten-StellerUnter Vernachlässigung der pulsfrequenten Anteile in Spannung <strong>und</strong> Strom kann für eineregelungstechnische Modellbildung im Sinne einer zeitlich lokalen Mittelungu(t)≈ u * ( t)(3.64)angenähert werden, so dass für den regelungstechnischen Entwurf von dem starkvereinfachten folgenden Strukturbild ausgegangen werden kann, in dem von derPulsweitenmodulation abstrahiert wird 6 .*∆i∆i−*u ≈ uG ci (s)(s)G pi∆i*∆i(s) G i∆iFig. 3-20: Strukturbild der Stromregelung für einen 4-Quadranten-StellerDie Übertragungsfunktion der Stromregelstrecke wird durch die Induktivität L ∆ bestimmt.Ggf. findet noch ein Innenwiderstand der Wicklung Berücksichtigung:6 Die ausführliche Begründung für dieses Vorgehen liefert die Methode der dynamischen Mittelwertmodellierung,auf die hier jedoch nicht näher eingegangen werden kann.


Mechatronik <strong>und</strong> elektrische Antriebe S. 53Die Führungsübertragungsfunktion ergibt sich zu1G pi ( s)=(3.65)sL ∆ + R ∆Gci( s)Gpi(s)Gi( s)= (3.66)1+G ( s)G ( s)ciAls Regler könnte ein PI- aber auch ein einfacher P-Regler zum Einsatz kommen. Letztererkann zwar keinen Regelfehler von Null garantieren, doch wird ein stationärer Regelfehlerdurch den integralen Anteil im überlagerten Lageregler ausgeglichen. Mitfolgtmitci K ipiG ( s)=(3.67)K VGi( s)==(3.68)K + Rτiii∆ + sL∆1+siVi1= ,1+R / K∆iτ =iL∆K + Ri∆Für kleinen Innenwiderstand bzw. hohe Reglerverstärkung resultiert das weiter obenangenommene Verzögerungsverhalten des Stromstellglieds.


Mechatronik <strong>und</strong> elektrische Antriebe S. 543.9 Magnetlager mit Lagerung in zwei FreiheitsgradenDie bisherige eindimensionale Anordnung mit einem Freiheitsgrad kann auch in zweiorthogonalen Raumrichtungen aufgebaut werden, um zwei Freiheitsgrade zu fixieren. Dazubräuchte man insgesamt 4 Wicklungen, von denen jeweils zwei in Reihe geschaltet werden,sofern man eine magnetische Vorspannung mit Permanentmagneten vorsieht (s. Abschnitt3.5). Man würde demnach zwei Stromrichter für jeden Freiheitsgrad mit insgesamt 8Transistoren <strong>und</strong> 8 Dioden benötigen.Vorteilhaft sind jedoch Anordnungen mit 3 um 120° versetzt angeordneten Wicklungen, dieim Stern oder Dreieck geschaltet werden. Der Stromrichteraufwand reduziert sich dadurch auf6 Transistoren <strong>und</strong> 6 Dioden, die Zahl elektrischen Anschlüsse <strong>und</strong> ebenso die Zahl derWicklungen von 4 auf 3Fig. 3-21: Verschiedene Konstruktionen magnetischer Lager


Mechatronik <strong>und</strong> elektrische Antriebe S. 55U dcU dcFig. 3-22: Stromrichter für Magnetlager mit drei WicklungenAusführung mit IGBT (oben) oder MOSFET (unten)


Mechatronik <strong>und</strong> elektrische Antriebe S. 564 Geschalteter Reluktanz-Motor4.1 Konstruktiver Aufbau6/4-SRM8/6-SRMFig. 4-1:Der Geschaltete Reluktanz-Motor (Switched Reluctance Motor, SRM) zeichnet sich durcheine ausgeprägte Asymmetrie des Rotors aus. Diese führt zu einem stark positionsabhängigenmagnetischen Widerstand (Reluktanz). Die Wicklungen des Ständers sind als konzentriertePolwicklungen ausgeführt, von denen jeweils die gegenüberliegenden Spulen in Reihe oderparallel geschaltet werden. Je Strang findet man also zwei Ständerpole. Der Motor kann mitverschiedenen Zahlen von Ständer- <strong>und</strong> Rotorpolen ausgeführt werden. GängigeKombinationen von Ständer- <strong>und</strong> Rotorpolzahlen sind 6/8, 8/6, 8/10. Aber auch einsträngige2/2-Maschinen sind möglich.Die Ströme der einzelnen Stränge werden in der Regel blockförmig <strong>und</strong> nacheinanderangesteuert. Hierbei kommt es auf die Richtung des Stromflusses nicht an, was dieerforderliche Stromrichtertopologie vereinfacht.Das Prinzip des Geschaltete Reluktanz-Motors ist bereits seit 1838 bekannt. Aber erst in denletzten ein, zwei Jahrzehnten konnte sich dieses Motorprinzip breiter etablieren, denn dieAnsteuerung <strong>und</strong> Regelung des Motors ist technisch etwas aufwändiger <strong>und</strong> konnte frühernicht – zumindest nicht wirtschaftlich vertretbar realisiert werden.Der Geschaltete Reluktanz-Motor selbst ist kostengünstig zu fertigen. Die Polwicklungenkönnen separat vorgefertigt <strong>und</strong> dann als fertig gewickelte Spulen über die Pole geschobenwerden. Stator <strong>und</strong> Rotor sind konstruktiv sehr einfach <strong>und</strong> robust aufgebaut. Daher ist derMotor besonders auch für hohe Drehzahlen geeignet. Wirkungsgrad <strong>und</strong> Drehmomentausnutzungsind günstig.Nachteilig sind die Geräusche des Motors, die durch die pulsenden axialen magnetischenKräfte hervorgerufen werden. Die mechanische Konstruktion beeinflusst die Geräusche


Mechatronik <strong>und</strong> elektrische Antriebe S. 57maßgeblich. Der SRM ist für Positionierungsaufgaben mit Genauigkeiten unterhalb einerPolteilung <strong>und</strong> gleichmäßigen ruhigen Lauf bei kleinen Drehzahlen nicht prädestiniert;zumindest ist eine aufwändige Steuerung <strong>und</strong> Regelung notwendig, um dies zu beherrschen.4.2 FunktionsprinzipFig. 4-2: Veranschaulichung des Funktionsprinzips eines Switched Reluctance Motors:Die Stränge des Motors werden sukzessive eingeschaltetεFig. 4-3: Einsträngiger Motor (2/2-SRM)Für die Untersuchung des Betriebsverhaltens wird zunächst nur ein einzelner Strangbetrachtet. Für die Modellierung wird von einem einfachen magnetischen Kreis mit einemnichtlinearen magnetischen Element<strong>und</strong> einer linearer Reluktanz des Luftspaltsφ = φ Fe ( θ Fe ) bzw. θ = θ (φ)Feθ L = R L ( ε ) φ(4.1)


Mechatronik <strong>und</strong> elektrische Antriebe S. 58ausgegangen. Dieser magnetische Luftwiderstand ist von der Position ε abhängig. Für dieausgerichteten Positionen ε = 0 <strong>und</strong> ε = π wird der magnetische Widerstand R L minimal.Die magnetische Spannung der Wicklung ist θ 0 = Ni , wobei N die Gesamtwindungszahlbeider beteiligten Wicklungen ist.φR L (ε )φθ 0= Niθ Lθ Fe (φ)Fig. 4-4: Einfaches Reluktanzmodell des einsträngigen SRMNi = θ = θ + θ = R ( ε ) φ + θ ( )(4.2)0 L Fe L Fe φψ = Nφ(4.3)Die Darstellung des Stroms in Abhängigkeit vom mehrfach verketteten Fluss ψ = Nφ<strong>und</strong>Winkel ergibti = i(ψ , ε ) =RL( ε ) 1 ⎛ψ⎞ψ + θFe⎜ ⎟(4.4)2N N ⎝ N ⎠Wir gehen davon aus, dass daraus durch Umkehrabbildung die Magnetisierungskennlinieψ = ψ ( i,ε )(4.5)gef<strong>und</strong>en werden kann. Wie in Kapitel 2.2 entwickelt wurde, kann der Fluss bzw. dasDrehmoment auch aus der Koenergie gewonnen werden:∂Ecψ ( i,ε ) = ,∂iT ( i,ε )∂E∂ε=cAnhand der Magnetisierungskennlinie kann die Funktionsweise des SRM demonstiertwerden. Zunächst sei angenommen, dass das Material keine Sättigung zeigt, so dass dieMagnetisierungskennlinine eine Gerade ist, deren Steigung, also die Induktivität, von derWinkelposition abhängt.


Mechatronik <strong>und</strong> elektrische Antriebe S. 59ψε = 0W el , retW el max32′W meψ 03′2ε = ε 041i 0I maxiFig. 4-5: Zyklus der Energiewandlung des Geschalteten Reluktanz-Motorsmit linearem magnetischem MaterialDie Energiewandlung wird anhand eines idealisierten Zyklus betrachtet. Dabei werdeninsbesonders die Arbeitsdifferenziale<strong>und</strong>dWmechdW el = idψ(4.6)∂Ec= T dε= dε(4.7)∂εuntersucht, die als Flächen links <strong>und</strong> unter der Magnetisierungskurve interpretiert werdenkönnen (vgl. Abschnitt 2.2). Wir beginnen im• Zustand 1: i = 0 , ε = ε0Der Rotor befindet sich in einer nicht ausgerichteten Position ε = ε0. Die Spule iststromlos. Nun wird der Strom bis auf den Wert i = i 0 erhöht. Wir gehen im Gedankenexperimentdavon aus, dass sich der Rotor während dieser Aufmagnetisierung nichtbewegt bzw. festgebremt ist. Wir gelangen dann in den• Zustand 2: i = i 0 , ε = ε0Bis hierhin wurde die elektrische Arbeit2W el 1,2= ∫idψ(4.8)1


Mechatronik <strong>und</strong> elektrische Antriebe S. 60verrichtet, die sich als Dreiecksfläche zwischen der Geraden 1-2 <strong>und</strong> der ψ -Achseinterpretieren lässt. Bei Übergang zwischen Zustand 1 <strong>und</strong> 2 wurde keinerleimechanische Arbeit geleistet.Nun wird der Rotor freigegeben, so dass sich dieser in die ausgerichtete Positiondrehen kann. Dabei werde der Strom konstant gehalten:• Zustand 3: i = i 0 , ε = 0Der Rotor hat sich unter den Statorpolen ausgerichtet. Bis hierhin wurde dieelektrische Arbeit3Wel max = Wel1,3= ∫idψ(4.9)1geleistet. Das ist die Fläche zwischen dem Kurvenzug 1-2-3 <strong>und</strong> der ψ -Achse.Während des Übergangs von der Position 2 in die Position 3 wird die mechanischeArbeit3∂EcWme = ∫ ∂ ε dε(4.10)1geleistet. Das ist die vom Dreieck 1-2-3 gebildete Fläche, also die Änderung derFläche unter der Magnetisierungskurve.Im ausgerichteten Zustand wird der Rotor dann gedanklich wieder festgehalten <strong>und</strong>dann der Strom ausgeschaltet, so dass wir in den• Zustand 4: i = 0 , ε = 0gelangen. Während dieser Entmagnetisierung wird die noch in der Spule befindlicheinnere Energie an die elektrische Einspeisung zurückgegeben:W ret4= −∫el i dψ(4.11).Das ist die Dreiecksfläche zwischen der Geraden 3-4 <strong>und</strong> der ψ -Achse.3Unter Vernachlässigung von ohmschen <strong>und</strong> Ummagnetisierungsverlusten gilt in derGesamtbilanzWme= W = W max −W(4.12)elel.el ret


Mechatronik <strong>und</strong> elektrische Antriebe S. 61Da aber von der elektrischen Einspeisung zunächst einmal der Spitzenwert Wel maxaufgebrachtwerden muss, ist es gerechtfertigt, einen Leistungsfaktor ähnlich wie bei Wechsel- oderDrehstromsystemen zu definieren:W Wmeel retγ = = 1 −(4.13)W Wel maxel maxBei linearem Material kann dieser Leistungsfaktor prinzipiell nicht besser als 0,5 sein, wie ausder grafischen Darstellung sofort einsichtig wird:γ < 0.5(4.14)Ein modifizierter Arbeitszyklus wie 1, 2´, 3, 4 verspräche zwar einen günstigerenLeistungsfaktor, dieser ist wegen der Überschreitung der Stromgrenze Imaxnicht möglich.Durch Veränderung des Zyklus auf 1, 2, 3´, 4 verbessert sich zwar der Leistungsfaktor, dieAusbeute gewandelter Arbeit je Zyklus unter Ausnutzung eines maximalen Stromsverschlechtert sich jedoch, so dass der Zyklaus 1, 2, 3, 4 tatsächlich die größte Ausnutzungermöglicht. (Für Teillastbetrieb wäre der Zyklus 1, 2, 3´, 4 aber eine mögliche Alternative.)Der Leistungsfaktor verbessert sich allerdings bei Berücksichtigung der magnetischenSättigung (s. Bild). Dann sind auch Werte γ > 0. 5 möglich.W el , retW el maxψ3ε = 02ε = ε 0W me41i 0iFig. 4-6: Zyklus der Energiewandlung des Geschalteten Reluktanz-Motorsmit Berücksichtigung der EisensättigungNatürlich soll ein solcher Motor nicht immer volle Leistung übertragen. Teillastbetrieb wirderreicht, indem man entweder die Stromhöhe i 0 <strong>und</strong>/oder die Ein- <strong>und</strong> Ausschaltwinkelvariiert.


Mechatronik <strong>und</strong> elektrische Antriebe S. 62ψε = 0ψε = 0ε = ε offW meε = ε onW meε = ε 0ε = ε 0i 0I maxii 0 = I maxiFig. 4-7: Veränderung der gewandelten Energie bzw. des mittleren Drehmoments über dieStromamplitude oder über die SchaltwinkelDas mittlere Drehmoment T eines Arbeitstakts, welcher sich bei dem idealisierten 2/2-SRMnach 180° wiederholt, erhält man überWT = me(4.15)π.Bei einem Motor der Rotorpolpaarzahl N r dreht sich der Rotor während einer vollenelektrischen Periode (alle Statorphasen N s durchlaufen genau einen Arbeitstakt) dagegen nurum den Winkel ∆ ε = π / Nr. Außerdem leistet jeder der N s Statorstränge bzw. -Polpaare diegleiche Arbeit W me , also∆ ε T = N s W me(4.16).Hieraus bestimmt sich das mittlere Drehmoment eines 2N / 2N-Motors also zusrWmeT = NsNr(4.17)πDrückt man die Drehfrequenz des Rotors durch die Kommutierungsfrequenz f K (dieFrequenz der Arbeitstakte) aus, erhält man für die mechanische Winkelgeschwindigkeit∆εω = =N / fsTπ fKN Nsr(4.18)bzw. für die mittlere LeistungP = ω T = f K W me(4.19).


Mechatronik <strong>und</strong> elektrische Antriebe S. 634.3 Dynamisches VerhaltenBislang wurde die Energiewandlung des Geschalteten Reluktanz-Motors unterVernachlässigung der Dynamik betrachtet. Tatsächlich benötigen die Übergänge zwischenden verschiedenen Zuständen Zeit, während der sich der Motor weiterdreht.Ausgangspunkt ist das Induktionsgesetzψ& = u − Ri(4.20)Mitψ = ψ ( i,ε )(4.21)folgt für die Zeitableitung des Flussessowie für die Spannung∂ψ∂ψψ&= i & + & ε(4.22)∂i∂ε∂ψ∂ψu = Ri + i&+ & ε . (4.23)∂i∂εDie Auflösung nach der Stromableitung liefert2∂ψ∂ Ec∂Tu − Ri − ω u − Ri − ω u − Ri − ωi& = ∂ε= ∂ε∂i= ∂i, (4.24)∂ψL(i,ε ) L(i,ε )∂imitω = & ε(4.25)<strong>und</strong> der differenziellen Induktivität2Ec2∂ ∂L(i,ε ) = ψ =(4.26)∂i∂iBei konstantem Strom i = I = const.ist die erforderliche Spannung2∂ψ∂ EcU0 = RI + ω = RI + ω(4.27)∂ε∂ε∂i.


Mechatronik <strong>und</strong> elektrische Antriebe S. 64Im Folgenden wird vereinfachend lineares magnetisches Material mit einer dann konstantenReluktanz R Fe betrachtet. Die Induktivität ist unter dieser Annahme nicht mehr vom Strom,sondern nur noch vom Winkel abhängig:Für den Fluss gilt2L(ε ) =NR Fe + R L ( ε )(4.28).ψ = L (ε ) i(4.29).Die innere <strong>und</strong> die Ko-Energie resultieren zuDas Drehmoment ist2ψE i ( ψ , ε ) = , (4.30)2L(ε )E c1 2( i,ε ) = L(ε ) i . (4.31)2∂Ec 1 2T = = L′( ε ) i(4.32)∂ε2wobeidL(ε )L′ ( ε ) = . (4.33)dεDie Drehmomentbildung ist also maßgeblich auf die winkelabhängige Änderung derInduktivität angewiesen. Vom Vorzeichen des Stroms hängt das Drehmoment dagegen nichtab. Um das Drehmoment umzukehren <strong>und</strong> die Maschine generatorisch zu betreiben, muss (beiweiterhin positiver Drehzahl) im Bereich fallender Induktivität gearbeitet werden. Das läuftim Wesentlichen auf den umgekehrten Durchlauf des skizzierten Arbeitszyklus hinaus.


Mechatronik <strong>und</strong> elektrische Antriebe S. 65L(ε )0 π2πεi 0i(ε )0 π2πεFig. 4-8: Idealisierte Verläufe der Induktivität <strong>und</strong> des Stroms über der Position(motorischer Betrieb)L(ε )i 00 π2πεi(ε )0 π2πεFig. 4-9: Idealisierte Verläufe der Induktivität <strong>und</strong> des Stroms über der Position(generatorischer Betrieb)Anders als der im vorherigen Bild dargestellte idealisierte Stromverlauf lässt sich der Stromaber nicht momentan ein- <strong>und</strong> ausschalten, sondern er gehorcht der oben entwickeltenDifferenzialgleichungFür konstanten Strom ist die Spannungu Ri ωL( ε ) ii& − − ′=. (4.34)L(ε )U = ( R + ω L′( ))I. (4.35)0 ε


Mechatronik <strong>und</strong> elektrische Antriebe S. 66erforderlich. Diese Gleichungen erinnern an das Verhalten des Ankerkreises einesGleichstrommotors. Auch dort haben wir einen ohmschen <strong>und</strong> einen induktivenSpannungsabfall sowie eine drehzahlabhängige EMK als Gegenspannung.Abhängig von der Drehzahl sollen nun im Folgenden die zeitlichen Verläufe für denArbeitszyklus qualitativ skizziert werden. Hierbei wird die speisende elektrischeEnergieversorgung als ideal steuerbare Quelle betrachtet, wobei allerdings eineSpannungsbegrenzung − U < u( t < U berücksichtigt werden soll.max )maxLi 0επ= −2onε off = 0iε = ωtψε = 0U maxuε = ωtW meε = ε 0ε = ωt−U maxi 0iFig. 4-10: Verläufe bei kleiner DrehzahlBei kleiner Drehzahl wird der Strom bei kleinster Induktivität ein- <strong>und</strong> in der ausgerichtetenPosition wieder ausgeschaltet. Um den Strom möglichst schnell ein- <strong>und</strong> wiederauszuschalten, werden die maximal <strong>und</strong> minimal verfügbaren Spannungen verwendet. DerStromanstieg ist steiler als der Abfall beim Ausschalten, weil in der ausgerichteten Positiondie Induktivität größer ist als beim Einschalten. Wird Anstieg <strong>und</strong> Abfall des Strom in denBereichen mit näherungsweiser konstanter Induktivität bewerkstelligt, entspricht diegewandelte Energie dem aus der Idealisierung erwarteten Wert (s. linkes Teilbild).


Mechatronik <strong>und</strong> elektrische Antriebe S. 67Li 0π− 02iε = ωtψε = 0U maxuε = ωtW meε = ε 0εonεoffε = ωt−U maxi 0iFig. 4-11: Verläufe bei mittlerer DrehzahlBei etwas größerer Drehzahl verringert die drehzahlabhängige Gegenspannung denStromanstieg. Außerdem fällt dieser in der Darstellung über dem Drehwinkel zusätzlichflacher aus, weil der Winkelbereich schneller durchlaufen wird. Die Gegenspannung hilftallerdings bei der Entmagnetisierung. Aufgr<strong>und</strong> der stärker verschliffenen Stromform werdenEin- <strong>und</strong> Ausschaltwinkel zweckmäßigerweise gegenüber den geometrisch idealen Positionenvorgezogen, um das Drehmoment schnellstmöglich aufzubauen bzw. um den Strom zu Nullzu bringen, bevor die Induktivität wieder kleiner wird <strong>und</strong> ein negatives Drehmoment erzeugtwerden würde. Der zunehmende Verschliff des Stromverlaufs lässt das maximal erreichbareDrehmoment gegenüber dem idealisierten Verlauf spürbar abfallen.


Mechatronik <strong>und</strong> elektrische Antriebe S. 68Li 0π− 02iε = ωtψε = 0U maxuε = ωtW meε = ε 0ε onε offε = ωt−U maxi 0iFig. 4-12: Verläufe bei hoher DrehzahlBei hoher Drehzahl müssen Ein- <strong>und</strong> Ausschaltwinkel weit vorgezogen werden. DieGegenspannung ist nun so groß, dass der vorherige Stromscheitelwert trotz maximalerSpannungsaufschaltung nicht mehr erreicht wird. Die Drehmomentausbeute wird deutlichkleiner. In Näherung kann von einem umgekehrt zur Drehzahl abfallenden Drehmomentausgegangen werden.


Mechatronik <strong>und</strong> elektrische Antriebe S. 69T max ( ω)Tmax ≈ const.T max~ 1/ωKonstant-Drehmoment-BereichP max ( ω)Pmax ≈ const.ωP max~ ωKonstant-Leistungs-BereichFig. 4-13: Maximales Drehmoment <strong>und</strong> maximale Leistung in Abhängigkeit von derDrehzahlω4.4 StromrichterDas Drehmoment eines Geschalteten Reluktanz-Motors ist vom Vorzeichen des Stroms nichtabhängig. Der Stromrichter kann daher von vornherein auf nur eine Stromrichtung ausgelegtwerden. Allerdings werden beide Spannungspolaritäten benötigt, da die Stränge durchnegative Spannung schnell entmagnetisiert werden müssen. Der Stromrichter muss demnachein 2-Quadranten-Steller sein.uiFig. 4-14: Benötigter Strom-Spannungs-Bereich für einen Strang eines SRM


Mechatronik <strong>und</strong> elektrische Antriebe S. 70Der benötigte Stromrichter kann aus dem 4-Quadranten-Steller (s. Abschnitt 3.7) abgeleitetwerden, wobei alle für die gewählte Stromrichtung überflüssigen Transistoren <strong>und</strong> Diodengestrichen werden. Dadurch entsteht der 2-Quadranten-Steller des folgenden Bildes, welcherauch als asymmetrische Halbbrücke bezeichnet wird.T 1 kU dcu i kkT 2 kFig. 4-15: 2 Quadranten-Steller (Halbbrücke) als Stromrichterzur Speisung eines Strangs eines Geschalteten Reluktanz-MotorsU dcFig. 4-16: Stromrichter zur Speisung eines dreisträngigen Geschalteten Reluktanz-MotorsDie Wicklungen des Geschalteten Reluktanz-Motors müssen einzeln mit beiden Anschlüssenaus dem Motor herausgeführt werden <strong>und</strong> dürfen nicht wie bei Drehstrommotoren oder beimMagnetlager im Stern oder Dreieck geschaltet werden. Der Aufwand anVerbindungsleitungen ist daher höher als bei Drehstrommotoren. Der Stromrichter desdreisträngigen Geschalteten Reluktanz-Motors gleicht von der Zahl der notwendigenTransistoren <strong>und</strong> Dioden denen für Drehstrommotoren. Da die Stromrichtertopologie eine


Mechatronik <strong>und</strong> elektrische Antriebe S. 71andere ist, können Standard-Module der Drehstromtechnik leider nicht verwendet werdenkönnen.Die Spannung an einer Wicklung ergibt sich abhängig von den Zuständen der Transistorennach folgender Tabelle. Bei den mit * gekennzeichneten Zuständen sind nur Dioden imStrompfad leitend. Daher resultieren die angegebenen Spannungen nur unter der Annahme,dass tatsächlich ein Strom fließt, also i k > 0 . Erlischt der Strom, wird die Spannung von derLast selbst bestimmt.T 1 k T 2 k u kaus aus − udc*aus ein 0 *ein aus 0 *ein ein + udcDurch eine Pulsweitenmodulation oder durch direkte Strom-Schaltregelung werden dieTransistoren geeignet getaktet. Die Pulsweitenmodulation kann direkt aus Abschnitt 3.8übernommen werden.


Mechatronik <strong>und</strong> elektrische Antriebe S. 725 SchrittmotorenSchrittmotoren zeichnen sich dadurch aus, dass sie in aller Regel ohne Positionsgeberbetrieben werden. Vielmehr soll durch eine geeignete elektrische Ansteuerung (häufig durchblockförmige Ströme) sichergestellt werden, dass sich der Motor um einen genau definiertenWinkel weiterdreht bzw. bei linearen Motoren um eine Strecke weiterbewegt, so dass sichdurch Mitzählen der elektrischen Impulse die Position ergibt.Als Schrittmotoren können Geschaltete Reluktanz-Motoren oder bürstenlose, elektronischkommutierte Permanent-Magnet-Motoren eingesetzt werden. Beide Arten von Motorenerzeugen im stromlosen Zustand jedoch kein oder nur ein geringes Haltedrehmoment bzw.eine Haltekraft. Nach dem Abschalten des Stroms kann sich daher der Motor bewegen. SeinePosition ist beim nächsten Wiedereinschalten unbekannt. Für Anwenddungen, bei denen derMotor im ausgeschalteten Zustand seine Position nicht verändern soll, werden so genannteHybrid-Motoren, die das Reluktanz-Prinzip mit Permanentmagneten kombinieren, eingesetzt.Das Bild zeigt als Beispiel einen linearen zweiphasigen Schrittmotor. Die einfachsteBetriebsart ist die Einprägung blockförmiger Ströme, womit der Motor mit einer derPolteilung oder eines Bruchteils der Polteilung des passiven Teils entsprechendenGenauigkeit positioniert werden kann. Durch Überlappung der Ströme bzw. durchsinusförmige Speisung gelingt eine feinere oder sogar kontinuierliche Positionierunginnerhalb einer Polteilung.N SN SN SN SN SN SN SN SFig. 5-1: Linearer hybrider Schrittmotor


Mechatronik <strong>und</strong> elektrische Antriebe S. 73Fig. 5-2: Hybrider Schrittmotor


Mechatronik <strong>und</strong> elektrische Antriebe S. 746 Gleichstrommotor 7Fig. 6-1:6.1 Wirkprinzipi Ei Li Lu EbFPermanent-MagnetbFelektrischeErregungpermanenteErregungFig. 6-2: WirkprinzipKraftwirkung auf den stromdurchflossenen Leiter (Lorentzkraft):F= i bl(6.1)Ll : Länge des Leiters7 Die folgenden Seiten sind zum Teil lediglich eine Wiederholung des Stoffes aus den Gr<strong>und</strong>lagen derElektrotechnik B. Dieser Stoff ist Basis für weiterführende Betrachtungen <strong>und</strong> wird in diesem <strong>Skript</strong> nur derVollständigkeit halber noch einmal wiedergegeben.


Mechatronik <strong>und</strong> elektrische Antriebe S. 75uEi Ei LT LFFbdFig. 6-3: Drehmoment auf LeiterschleifeDrehmoment (torque):Td= 2 F = Fd iLb d l(6.2)2L =Induzierte Spannung in der Leiterschleife, entweder aus Induktionsgesetz:oder aus der Leistungsbilanz:Der Termud= ψ& L= 2bω l b d l ω(6.3)2L=p el = p mech(6.4)uL iL= TLω = i bd lω(6.5)Lu L = b d l ω(6.6)φ = b d l(6.7)0lässt sich als der magnetische Fluss deuten, der die Leiterschleife bei senkrechter Ausrichtung<strong>und</strong> bei homogener Flussdichte durchdringen würde. Hiermit:u = φ 0 ω(6.8)LTL φ0i L= (6.9)


Mechatronik <strong>und</strong> elektrische Antriebe S. 766.2 AufbauHauptpolErregerwicklungAnkerwicklungStänderjochAnker,Läufer oderRotorBürsteAnkerwicklungLuftspaltStänder oderStatorFig. 6-4: Schnittskizze eines GleichstrommotorsFig. 6-5: Gleichstrommotor mit zwei Polpaaren, p = 2


Mechatronik <strong>und</strong> elektrische Antriebe S. 776.3 Kommutator <strong>und</strong> Ankerwicklungsschemata1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 14 15 16Poli LKommutatoriAi AFig. 6-6: Wicklungsschema des AnkersSchleifenwicklung, hier für p = 2,Zahl der parallelen Zweige 2 a = 2 p13 ←14 ←12 ←15 ←i L→ 3→ 2→ 4→ 115 ←12 ←14 ←13 ←1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15→ 1→ 4→ 2→ 3iAi AFig. 6-7: Wicklungsschema des AnkersWellenwicklung , hier für p = 2,Zahl der parallelen Zweige 2 a = 2


Mechatronik <strong>und</strong> elektrische Antriebe S. 786.4 Kommutierung <strong>und</strong> WendepolwicklungStichworte:Kurzschluss der zu kommutierenden Leiterschleife durch den Kommutator.Kurzgeschlossene Leiterschleife friert den Fluss ein:ψ& = u = 0 ⇒ ψ const.(6.10)L LL=Daher vor dem Kurzschluss dafür sorgen, dass Leiterschleife frei vom Fluss des Ankerfeldeswird -> Einführung der Wendepolwicklung –> dadurch natürliche StromkommutierungMagnetische Durchflutung der Wendepolwicklung muss derjenigen der Ankerstromwicklungentsprechen.ErregerwicklungHauptpolKompo<strong>und</strong>wicklungKompensationswicklungAnkerwicklungWendepolwicklungWendepolFig. 6-8: Gleichstrommotor mit Erreger-, Anker-, Wendepol-, Kompo<strong>und</strong>- <strong>und</strong>Kompensationswicklung


Mechatronik <strong>und</strong> elektrische Antriebe S. 796.5 Ankerrückwirkung, Kompensations- <strong>und</strong> Kompo<strong>und</strong>wicklungStichworte:Ankerfeld verursacht Feldverzerrung in den Erregerpolen. Bei linearem Material wäre dieskein Nachteil. Die einseitige magnetische Sättigung im Erregerpol führt jedoch zur Erhöhungdes gesamten magnetischen Widerstands im Erregerkreis <strong>und</strong> somit zur Schwächung desErregerflusses.Gegenmaßnahmen• Erhöhung der magnetischen Spannung im magnetischen Erregerkreis durchKompo<strong>und</strong>wicklung, welche vom Ankerstrom durchflossen wird• Einführung der Kompensationswicklung zur Kompensation der Ankerrückwirkung,ebenfalls vom Ankerstrom durchflossen.


Mechatronik <strong>und</strong> elektrische Antriebe S. 806.6 Mathematische ModellierungBezeichnungen:T L Drehmoment einer LeiterschleifeT gesamtes Drehmoment des Ankers (Luftspaltdrehmoment)N A Zahl der Anker-LeiterschleifenN E Gesamtzahl aller Erregerwindungen2 a Zahl der parallelen Ankerstromzweigep Polpaarzahlα Polbedeckung, Verhältnis der aktiven Polflächen zur Ankeroberflächeφ E Erregerflussb E Erregerflussdichtel aktive Länge des Ankersd Ankerdurchmesserδ LuftspaltA PolflächepolResultierendes auf den Anker wirkendes Drehmoment:T= N T α = N φ0 α i = N b d lαi(6.11)ALALAELAnkerstrom i A teilt sich auf 2a Zweige auf:i1= (6.12)2aL i Aπ d lαφ E = bEApol= bE(6.13)2 pDamit:Tp Naπ′A= φEiA= cφEiA= ψ EiA(6.14)wobeip N Ac = , ψ E′= cφEaπDie induzierte Spannung (elektromotorische Kraft, EMK) folgt wieder aus derLeistungsbilanz,


Mechatronik <strong>und</strong> elektrische Antriebe S. 81u = cφω = ψ ′ ω , (6.15)iEoder alternativ durch Summation der induzierten Spannungen der in Reihe geschaltetenLeiterschleifen.Spannungsgleichung des Ankerkreises unter Berücksichtigung des AnkerwiderstandsAnkerinduktivität L A <strong>und</strong> des Bürstenspannungsabfalls u B :AiAAAEABR A , deru = u + L i& + R i + 2u(6.16)Mit guter Genauigkeit kann der Bürstenspannungsabfall u B also eine konstante, vomAnkerstrom unabhängige Spannung von etwa 1 V angesetzt werden.Erregerstromkreis:u = L i& + R i(6.17)EEEBeachte: Im Allgemeinen sind zwischen zwei Wicklungen Gegeninduktivitäten zuberücksichtigen. Die Flüsse von Erreger- <strong>und</strong> Ankerwicklung sind aber durch die zueinandersenkrechte Anordnung nicht miteinander verkettet, so dass die Gegeninduktivität zwischendiesen Wicklungen Null ist.Magnetischer Kreis der Erregung:Magnetische Leitfähigkeit des ErregerkreisesEEΛE1 µ APolµ 0 α π d l µ 0α π d l= =0 =R 2δ2δ2 p=(6.18)4 pδmagEInduktivität:LE22NENE= ΛEp = Λ2 E(6.19)p pErregerfluss:NLµ α π d l NE E 0EφE= ΛEiE= iE=i2 E(6.20)p NE4 p δcLψ ′ = φ,EEc E = iE= LE′iENEL′EcL=NEEµ 0αd l NEN=4apδAZusammenfassung der wichtigsten Gleichungen:T = ψ E ′ i Aψ ′E= L′ iEE


Mechatronik <strong>und</strong> elektrische Antriebe S. 82u = ψ ′ ω + L i&+ R i + 2u(6.21)AEEEAEAEAAEBu = L i& + R i(6.22)i ALARAi ELEREu Au = ψ E′ ωiu EFig. 6-9: Ersatzschaltbilder des Anker- <strong>und</strong> des ErregerkreisesDynamisches VerhaltenDas dynamische Verhalten des Anker- bzw. Erregerstroms entspricht dem einer RL-Gliedes.die maßgeblichen Anker- <strong>und</strong> Erregerzeitkonstanten sindLAτ A = <strong>und</strong>RAτE=LREE


Mechatronik <strong>und</strong> elektrische Antriebe S. 836.7 <strong>Elektrische</strong> <strong>und</strong> mechanische Leistung, Wirkungsgrad<strong>Elektrische</strong> Leistung (Verbraucherzählpfeilsystem):p = p + p = u i + u i(6.23)elelAelEA AMechanische Leistung (Erzeugerzählpfeilsystem):Energiebilanz:elAE Ep mech = ωT(6.24)p = w& + w&+ p + p(6.25)EVmechVerlustleistung:VVAVE2EiE2AiAP = P + P = R + R(6.26)Innere Energien:1 2w A = LAiA,2w =E12L2EiEWirkungsgrad des Ankerkreises (Vernachlässigung der Erregerverluste) im stationärenZustand für den motorischen Betrieb:η =PPmechelAωT=U IAA=ωT( R I + ψ ′ ω)AAEIA=⎛⎜ R⎝AωTT ⎞ T+ ψ E′ωψ⎟E′⎠ψE′ω=Rω +ψ ′T=A12E1R+ψ ′A2ETω(6.27)6.8 Schaltungsarten, Klemmenbezeichnungen <strong>und</strong> SchaltzeichenMan unterscheidet verschiedene Schaltungsarten:• Fremderregung: Erreger- <strong>und</strong> Ankerkreis werden aus verschiedenen elektrischenQuellen gespeist• Nebenschluss: Erreger- <strong>und</strong> Ankerkreis sind parallel geschaltet• Reihenschluss: Erreger- <strong>und</strong> Ankerkreis sind in Reihe geschaltet


Mechatronik <strong>und</strong> elektrische Antriebe S. 84WicklungAnkerwicklungWendepolwicklungKompensationswicklungErregerwicklung für ReihenschlussschaltungErregerwicklung für NebenschlussschaltungErregerwicklung für FremderregungKlemmenA1, A2B1, B2C1, C2D1, D2E1, E2F1, F2A1AnkerD1 D2 E1 E2 F1 F2Erregerwicklungen(alternativ)A2B1B2C1C2WendepolwicklungKompensationswicklungFig. 6-10:6.9 Fremderregter <strong>und</strong> permanent erregter MotorBeim fremderregten Betrieb werden Erreger- <strong>und</strong> Ankerwicklung unabhängig voneinandergespeist. Typischerweise wird der Erregerstrom <strong>und</strong> damit der Erregerfluss konstant gehalten,i= const. ⇒ φ = const.bzw. ψ ′ const.,(6.28)E EE =Dies gelingt durch Aufschaltung einer konstanten Erregerspannung u E allerdings nurunvollkommen, da sich der Strom aufgr<strong>und</strong> des temperaturabhängigen Widerstandsverändern kann. Ggf. wird eine Erregerstromregelung vorgesehen.Beim permanent erregten Motor wird der Erregerfluss von einem Permanentmagnetenerzeugt. Sein Verhalten gleicht dem des fremderregten Motors mit konstantem Erregerstrom.R E


Mechatronik <strong>und</strong> elektrische Antriebe S. 85i Au Ai Eω,Tu EFig. 6-11: Fremderregter GleichstrommotorStationäres Strom-Spannungs-Verhalten bei konstanter DrehzahlU = ψ ′ ω + R I(6.29)AEAAU Aω > 0R Aω = 0I A ~ Tω < 0Fig. 6-12: Stationäre Kennlinien von Ankerstrom <strong>und</strong> -spannungStationäres Drehmoment-Drehzahl-Verhalten bei konstanter SpannungEinsetzen der Drehmomentbeziehung in die Spannungsgleichung:UARA= T + ωψE′(6.30)ψ ′EAuflösen nach ω ergibt das stationäre Drehmoment-Drehzahlverhalten für konstanteAnkerspannung:ωURTA A= −2(6.31)ψ E′ψ E′


Mechatronik <strong>und</strong> elektrische Antriebe S. 86Tψ ′ 2E−RAωU A< 0U A> 0Fig. 6-13: Stationäre Kennlinien von Drehmoment <strong>und</strong> Drehzahl bei konstanterAnkerspannungU A= 0TT 0U A = const.ω 0ωFig. 6-14: Losbrech-Drehmoment <strong>und</strong> Leerlaufdrehzahl bei konstanter AnkerspannungLosbrech-Drehmoment <strong>und</strong> –Ankerstrom ( ω = 0 ):UI =AA0 ,RAT0U Aψ E′=RALeerlaufdrehzahl ( T = 0 bzw. I = 0)A


Mechatronik <strong>und</strong> elektrische Antriebe S. 87U Aω0 =(6.32)ψ ′EWird der Gleichstrommotor mit konstanter Ankerspannung betrieben, entsteht beimEinschalten aus dem Stillstand heraus ein sehr großer Anlaufstrom, der ggf. den zulässigenMaximalwert überschreitet. Bei kleinen Motoren mit geringer Trägheit, die schnellbeschleunigen, kann ein derartiger kurzzeitiger Überstrom ggf. hingenommen werden.Andernfalls muss der Anlaufstrom begrenzt werden. Die klassische Vorgehensweise arbeitetmit Anlaufwiderständen vorgenommen, die mit steigender Drehzahl dann überbrückt werden.R Vi AUi Eω,Tu EFig. 6-15: Betrieb mit VorwiderstandI AI maxψ E′−R + RAV1ψ E′−R + RAV 2ψ E′−RAU Aψ ′EωFig. 6-16: Anfahren mit Vorwiderständen


Mechatronik <strong>und</strong> elektrische Antriebe S. 886.10 Nebenschlussmotorii Aui Eu Aω,Tu EFig. 6-17: NebenschlussschaltunguA= R i + ψ ′ ω + L i& = R i + L′i ω + L i&(6.33)A AEA AA AE EA AuE= R i + L i&(6.34)E EE ET =ψ ′ i = L′i i(6.35)EAEEANebenschluss:u = u A = u E , i = i A + iEStationäres Verhalten:UI E = (6.36)REIAU − LE′IEω U − LE′U / REω 1−LE′/ REω= ==U(6.37)RRRAAAI= IE+ IA⎡ 1 1 LE′ω ⎤= ⎢ + − URARERAR⎥⎣E ⎦(6.38)T1−LE′/ REω 2= LE′I E I A = LE′U(6.39)R RAE


Mechatronik <strong>und</strong> elektrische Antriebe S. 896.11 ReihenschlussmotoruA= R i + ψ ′ ω + L i& = R i + L′i ω + L i&(6.40)A AEA AA AE EA AuE= R i + L i&(6.41)E EE ET =ψ ′ i = L′i i(6.42)EAEEAuiu Eu Aω,TFig. 6-18: ReihenschlussschaltungReihenschluss:u = u A + u E , i = i A = iER = R A + R E , L = L A + LEu = Ri + LE′iω+ Li&u = ( R + LE′ω)i + Li&u = R′(ω) i + Li&(6.43)Drehzahlabhängiger effektiver Widerstand:R ′( ω)=R + LE′ω(6.44)2T =ψ ′ i = L i(6.45)E E′Quadratische Abhängigkeit des Drehmoments vom Strom, Änderung des Vorzeichens ist nurdurch Wechsel der Verschaltung von Erreger- <strong>und</strong> Ankerwicklung möglich, i = i A = −i.Daher kann ein Reihenschlussmotor auch mit Wechselspannung gespeist werden.Sinusförmige Speisung mit der Frequenz ω el , Schreibweise mit komplexenEffektivwertzeigern:E


Mechatronik <strong>und</strong> elektrische Antriebe S. 90U= R′( ω ) I + jωLI(6.46)elI=UR′( ω ) +jω elL(6.47)Das Drehmoment pulsiert mit2 ωel. Drehmomentmittelwert:T22 2 LE′U= LE′i = LE′I =(6.48)22R′( ω ) + ω L2elDrehmoment-Drehzahl-Charakteristik:2 2 22( R′ ( ) + ω L ) T = L Uω (6.49)el E′2 2 22( R + L′) + ω L ) T = L Uω (6.50)E elE′Wird der Reihenschlussmotor mit konstanter Spannung betrieben <strong>und</strong> dabei mechanischentlastet, T → 0 , wächst die Drehzahl über alle Grenzen, ω → ∞ (s. Bild).Fig. 6-19: Drehmoment-Drehzahl-Kennlinien des Reihenschlussmotors fürverschiedene Spannungen U bei Gleichspannungsspeisung


Mechatronik <strong>und</strong> elektrische Antriebe S. 91Fig. 6-20: Drehmoment-Drehzahl-Kennlinien des Reihenschlussmotors für GS-Speisung <strong>und</strong>verschiedene Frequenzen bei WS-Speisung,die Höhe der Spannungen U ist für alle Kurven konstantUω > 0R ω = 0ω = −R / L E′ω < 0IFig. 6-21: Strom-Spannungs-Kennlinien des Reihenschlussmotors für verschiedeneDrehzahlen


Mechatronik <strong>und</strong> elektrische Antriebe S. 926.12 Geregelter BetriebUm gezielt einen bestimmten Betriebspunkt einzustellen, bedarf es veränderbarerSpeisespannungen. Im Fall von Wechsel- oder Drehspannung kann eine steuerbareThyristorbrücke zum Einsatz kommen. Steht eine Gleichspannung als Energieversorgung zurVerfügung, werden Gleichstromsteller eingesetzt. Die Art des Gleichstromstellers hängt vonder gewünschten Betriebsart des Motors ab. Soll der Motor nur in einer Richtung motorischbetrieben werden, reicht ein einfacher Tiefsetzsteller aus. Sind beide Drehrichtungen <strong>und</strong>beide Drehmomentrichtungen (motorischer <strong>und</strong> generatorischer Betrieb) zu beherrschen,muss für die Ankerspeisung ein 4-Quadranten-Steller verwendet werden. Für den Erregerkreisist jeweils ein einfacher Tiefsetzsteller ausreichend. Die Speisung mit linear arbeitendenEndstufen kommt wegen der hohen Verluste allenfalls nur für sehr kleine Leistungen inBetracht.U dcuAω, TFig. 6-22: Speisung des Ankerkreises durch einen TiefsetzstellerU dcuAω, TFig. 6-23: Speisung des Ankerkreises durch einen 4-Quadranten-StellerBei einfachen Drehzahlregelungen wirkt der Drehzahlregler direkt auf die Ankerspannung. Esempfiehlt sich jedoch eine Vorsteuerung oder Kompensation der EMK, so dass sich, wie manim Bild des regelungstechnischen Modells sieht, die Wirkungswege der Rückführung der


Mechatronik <strong>und</strong> elektrische Antriebe S. 93EMK im Streckenmodell <strong>und</strong> die EMK-Vorsteuerung des Reglers gegenseitig kompensieren.Man erhält damit eine Ersatz-Regelstrecke, die nur noch aus einem PT 1 -Glied <strong>und</strong> einemIntegrierer besteht. Für diese Struktur kann der Regler nach der Methode des SymmetrischenOptimums (Abschnitt 8.2) entworfen werden. Dort sieht man aber, dass die erreichbareBandbreite des geschlossenen Regelkreises zwar in gewissem Rahmen verändert werdenkann, dass diese in jedem Fall aber unterhalb der Knickfrequenz der Regelstrecke liegt. Diemaßgebliche Strecken-Zeitkonstante ist aber hier die Ankerzeitkonstante τA= LA/ RA. Beikleinen Zeitkonstanten oder geringen dynamischen Anforderungen an die Regelung kanndennoch diese Art der Regelung ausreichen. Bei höheren Anforderungen, insbesondere beigrößeren Maschinen, bei denen typischerweise die Ankerzeitkonstante groß ist, stößt manaber schnell an die prinzipiellen Grenzen dieser Art der Regelung.u dc*ωω−Drehzahl-Regler*∆u AEMK-Kompensation(Vorsteuerung)ψ E′0u A*u APWMsu Ai AωT,ωFig. 6-24: Einschleifige Drehzahlregelung(ohne unterlagerte Ankerstromregelung)*ωω−Drehzahl-Regler*∆u AEMK-Kompensationψ E′uAu iψ E′−1R A + sL AEMKi Aψ E′T LT−1sJωRegelungRegelstreckeFig. 6-25: Einschleifige Drehzahlregelung:regelungstechnisches Modell


Mechatronik <strong>und</strong> elektrische Antriebe S. 94*ωω−Drehzahl-Regler*∆u Aψ ′ER + sLAAi AT LT−1sJωErsatz-RegelungErsatz-RegelstreckeFig. 6-26: Einschleifige Drehzahlregelung:resultierendes regelungstechnisches ModellEin weiterer Nachteil der einschleifigen Drehzahl-Regelung ist, dass der Ankerstrom nichtdirekt kontrolliert wird. Der Ankerstrom ist eine kritische Größe, da bei Überschreitung derzulässigen Werte Schäden durch Erhitzung aufgr<strong>und</strong> der Stromwärmeverluste entstehenkönnen. Der Motor hat meist größere thermische Zeitkonstanten, so dass eine Überschreitungdes zulässigen Nennstroms sogar um ein Vielfaches für eine gewisse Zeit (meist im Bereicheiniger Sek<strong>und</strong>en) geduldet werden kann. Weit kritischer ist aber die speisende<strong>Leistungselektronik</strong>, die Überströme nur für sehr kurze Zeiten verträgt, da die thermischenZeitkonstanten der inneren Halbleiter-Struktur äußerst kurz sind (ggf. nur einigeMillisek<strong>und</strong>en). Aus diesem Gr<strong>und</strong> wird häufig gar keine kurzzeitige Überschreitung desmaximalen Stroms zugelassen. Eine Regelung, mit der keine definierte Beschränkung desStromes möglich ist, ist daher kritisch. Eine Kontrollmöglichkeit des Stromes bietet dagegeneine Regelungsstruktur mit unterlagerter Stromregelung, die außerdem vonRegelungsdynamik deutliche Vorteile bietet.Die Regelung wird nun kaskadiert aufgebaut. Der innere Stromregler hat die Aufgabe, denStrom auf den gewünschten Sollwert zu regeln, dessen Sollwert vom äußeren Reglervorgegeben wird. Das Ankerstrom <strong>und</strong> Drehmoment zueinander proportional sind, kann mandie innere Regelung auch als Drehmoment-Regelung interpretieren. Wie bei dereinschleifigen Regelung empfiehlt sich auch hier eine EMK-Vorsteuerung.


Mechatronik <strong>und</strong> elektrische Antriebe S. 95u dc*ωω−Drehzahl-Regler*T1ψ E′Strom-Begrenzung*i Ai A−Strom-ReglerEMK-Kompensation(Vorsteuerung)*∆u Aψ E′*u A0u APWMsi Au Ai AωT,ωFig. 6-27: Drehzahlregelung mit unterlagerter Ankerstromregelung*ω−ωDrehzahl-Regler*T1ψ E′*i A−Strom-ReglerEMK-ψ E′u Au iψ E′−1R A + sL AEMKiAψ E′T LT−1sJωRegelungRegelstreckeFig. 6-28: Drehzahlregelung mit unterlagerter Ankerstromregelung:regelungstechnisches Modell(die Stromsollwertbegrenzung wie auch die Begrenzung der Ankerspannungaufgr<strong>und</strong> des Umrichters sind hier zur Vereinfachung nicht dargestellt)


Mechatronik <strong>und</strong> elektrische Antriebe S. 96T L*ω−*T1ψ E′*i A−1R A + sL AiAψ E′T−1sJω*ω−G T (s)**T i Ai AT −1G cω (s)G (s) G ψ E′ψ E′ciA (s)G me (s)−T LωFig. 6-29: Vereinfachtes regelungstechnisches ModellBeim Regelungsentwurf wird nun zunächst die innere Ankerstromregelung entworfen. DieStreckenzeitkonstante ist auch hier wieder die Ankerzeitkonstante, aber diese Teil-Regelstrecke enthält – anders als weiter oben beim einschleifigen Drehzahlregler – keinenIntegrator. Ggf. könnte man in dieser Regelschleife noch eine weitere schnelle Zeitkonstanteergänzen, die Einflüsse der Reglerabtastung oder Messwandler-Zeitkonstanten berücksichtigt.Dies wäre nach den Bezeichnungen des Regelerentwurfs nach dem Betragsoptimums(Abschnitt 8.1) dann die schnelle Streckenzeitkonstante τσ. Die Ankerzeitkonstante τAspieltjetzt nur die Rolle der langsamen Streckenzeitkonstante. Die erreichbare Reglerbandbreiteorientiert sich nun an der kleinen Zeitkonstante τ σ, während die Ankerzeitkonstante,zumindest für das Führungsverhalten, gar keine Rolle spielt. Die erreichbare Dynamik desStromregelkreises ist damit um Größenordnungen besser als die Dynamik der einschleifigenRegelung.Auch die Drehzahlregelung profitiert von der höheren Dynamik der Stromregelung, da auchdiese jetzt weit dynamischer entworfen werden kann als bei der einschleifigen Struktur. Zudiesem Zweck wird der unterlagerte geschlossene Stromregelkreis G T(s)durch einVerzögerungsglied modelliert, dessen Zeitkonstante im Allgemeinen deutlich kleiner als dieAnkerzeitkonstante sein wird. Der Drehzahlregler kann damit wieder mit Hilfe desSymmetrischen Optimums entworfen werden, jetzt aber mit weit besseren Kennwerten.Die oben angesprochene Überwachung des Strommaximalwerts wird in dieser kaskadiertenStruktur durch eine Begrenzung des Stromsollwerts, also des Ausgangs des Drehzahlreglers,ausgeführt (im Bild nicht gezeigt). Zwar kann es durch Regelfehler Abweichungen zwischenStrom-Ist- <strong>und</strong> -Sollwert geben. Ist aber der Stromregler sehr gut ausgelegt, werden diese


Mechatronik <strong>und</strong> elektrische Antriebe S. 97Abweichungen gering sein, so dass durch die Begrenzung des Sollwerts (mit kleinenSicherheitabschlägen) auch der Istwert den vorgegebenen Betriebsbereich einhalten wird.Im Folgenden sind die Zusammenhänge im Regelkreis zusammengefasst:Differenzialgleichung für den Ankerstrom <strong>und</strong> Drehzahl:L i& = u − R i − u = u − R i −ω ψ ′(6.51)A AAAAiAAAEJω& = T −(6.52)T LLaplace-Transformierte:sLiA A= u ( s)− R i ( s)− u ( s)(6.53)AAAisJω ( s)= T ( s)−T( s)(6.54)LÜbertragungsfunktionen:Übertragungsfunktion des elektrischen Teilsystems (Ankeradmittanz):GDrehmoment-Führungsübertragungsfunktioni( s)1AA( s)= YA(s)==(6.55)uA(s)− ui( s)RA+ sLA( T ( s)Gci( s)GA(s)GTs)= =T* ( s)1+G ( s)G ( s(6.56))ciAÜbertragungsfunktion des mechanischen Teilsystems:Drehzahl-FührungsübertragungsfunktionGmeωA(s)( s)==T ( s)− T ( s)L1sJ(6.57)GωGcω( s)GT( s)Gme(s)( s)= (6.58)1+G ( s)G ( s)G ( s)cωTmeStörübertragungsfunktionGT LGme(s)( s)= (6.59)1+G ( s)G ( s)G ( s)cωTme


Mechatronik <strong>und</strong> elektrische Antriebe S. 986.13 Betrieb an Strom- <strong>und</strong> SpannungsgrenzenDie stationären Gleichungen für den fremderregten Motor lautenuA= R i ( s)+ ω ψ ′(6.60)AAET = ψ E ′ i A(6.61)Das Drehmoment ist (bei konstantem Erregerfluss) durch die Stromgrenze des Motors bzw.des speisenden Umrichtersbegrenzt,Tmax E I maxi A ≤ I max ,= ψ ′ , Tmin= ψ E′Imax.Auch die vom speisenden Umrichter gelieferte Spannung ist begrenzt:u A ≤ U max . (6.62)Wird der Erregerfluss konstant gehalten (was beim Permanentmagnet-Gleichstrommotorohnehin der Fall ist), erreicht die Spannung bei der DrehzahlUmax− RAiAUmaxRARAω1= = − T = ω0− Tψ ψ22(6.63)′ ′ ψ ′ ψ ′EEihre Begrenzung. Die Drehzahl kann darüber hinaus bei gleichbleibendem Fluss nicht weitergesteigert werden. Die Drehzahl ω 0 ist die Leerlaufdrehzahl, die als ungefähre Abschätzungder Drehzahlgrenze dienen kann. Die exakte Grenzdrehzahl ω 1 hängt aber nicht nur vomErregerfluss, sondern auch vom Ankerstrom bzw. vom Drehmoment ab. Bei Betrieb mitmaximalen Strom i A = ±Imaxresultieren für den motorischen <strong>und</strong> generatorischen Fall dieGrenzdrehzahlenEEωU− RAmot =max max1 ,ψ E′Iω1 genU+ Rψ ′max A max=EIHöhere Drehzahlen sind jedoch möglich, wenn der Erregerfluss verringert (geschwächt) wird.Der Fluss muss umgekehrt proportional zur Drehzahl reduziert werden,Umax− RAI A Umaxψ E′ =≈ , (6.64)ω ω


Mechatronik <strong>und</strong> elektrische Antriebe S. 99um die Spannungsbegrenzung einzuhalten. Dazu bedarf es natürlich einer steuerbarenErregerspeisung (bei permanent erregten Gleichstrommotoren ist das natürlich nicht möglich).Das verfügbare Drehmoment reduziert sich nun umkehrt proportional zur Drehzahl,bzw. für generatorischen BetriebDie verfügbare mechanische LeistungUmax− RA ImaxUmaxImaxTmax= Imax≈(6.65)ωωUmax+ R ImaxUmaxITmaxmin =AImax≈(6.66)ωω( Umax− R Imax) ImaxUmaxmaxP = ω =A ≈(6.67)max TmaxIkonstant. Dieser Bereich wird Flussschwächbereich bzw. Konstant-Leistungs-Bereichgenannt. Im unteren Drehzahlbereich ω < ω1, wo die Ankerspannung nicht ihre Grenzeerreicht, ist die verfügbare Leistung dagegen proportional zur DrehzahlPmax= ω T = ωψ ′ I(6.68)maxEmaxbzw.Pmin= ω T = −ωψ′ I . (6.69)minEmaxDieser Bereich heißt Anker-Stellbereich oder Spannungs-Stellbereich bzw. Konstant-Drehmoment-Bereich. Der Flussschwächbereich wird häufig als dimensionsloses Verhältnisder Drehzahl ω 1 zur maximalen Drehzahl ω max , welche in der Regel aus mechanischenGrenzen resultiert, angegeben.


Mechatronik <strong>und</strong> elektrische Antriebe S. 100TT = const .maxStromgrenzeSpannungs -Stellbereichψ E ′ = const .Spannungs grenzebei konstantem FlussFlussschwäch -bereichψ ′ U / ωE ≈maxT max ~ 1 / ωω 1 motω 0ω 1 genωT min~ 1 / ωT = − T = const .minmaxPP = const .maxP max ~ ωω 1 motω 0ω 1 genωP min~ ωPPmin const .min=< − PmaxFig. 6-30: Verläufe von verfügbarem Drehmoment <strong>und</strong> verfügbarer Leistung über derDrehzahl


Mechatronik <strong>und</strong> elektrische Antriebe S. 1017 Elektronisch kommutierte Motoren7.1 FunktionsprinzipElektronisch kommutierte Motoren gleichen in ihrem Funktionsprinzip konventionellenpermanent erregten Gleichstrommotoren. Wie bei diesen gibt es einen Anker <strong>und</strong> eineErregung mittels eines Permanentmagnets. Statt der mechanischen Kommutierung werden dieAnkerwicklungen jedoch elektronisch umgeschaltet. Um die Zuführungen zum elektronischenKommutator zu bewerkstelligen, wird beim elektronisch kommutierten Motor der Anker nichtdrehend, sondern als der feststehende Teil des Motors (Stator) ausgeführt. Der Erreger, alsodie Permanentmagneten, werden im Läufer (Rotor) angeordnet. Das Konstruktionsprinzip mitinnen liegendem Rotor ist zwar das das am weitesten verbreiteste, es gibt aber auchAusführungen mit Außenläufer.Je nach Hersteller werden elektronisch kommutierte Motoren als BLDC-Motoren (brushlessDC oder deutsch bürstenlos) bzw. als EC-Motoren (electronically commutated, elektronischkommutiert) bezeichnet.NAnker mitWicklungenεSRotor mitPermanentmagnetFig. 7-1: Gleichstrommotor mit rotierendem Erreger <strong>und</strong> stehendem AnkerDie Vorteile elektronisch kommutierter Motoren gegenüber mechanisch kommutierten sindFolgende:•• Durch den außenliegenden Anker kann dieser besser gekühlt werden als der innenliegende Anker des konventionellen Gleichstrommotors. Durch diese bessere Kühlungist eine kompaktere Konstruktion möglich.


Mechatronik <strong>und</strong> elektrische Antriebe S. 102• Der mechanische Kommutator nimmt ca. 1/3 der Baulänge eines Gleichstrommotorsin Anspruch. Ein elektronisch kommutierter Motor ist deshalb wesentlich kürzer.• Der Verschleiß der Bürsten entfällt. Ein elektronisch kommutierter Motor ist praktischwartungsfrei.(Noch) stehen diesen Vorteilen allerdings die etwas höheren Kosten für die elektronischeKommutierung gegenüber, welche allerdings einige zusätzliche funktionelle Vorteile mit sichbringt.Während man beim mechanisch kommutierten Motor eine Vielzahl von Ankerteilwicklungen<strong>und</strong> Kommutatorkontakten (häufig einige Zehn) vorfindet, findet man beim elektronischkommutierten Motoren meist nur drei Ankerwicklungen vor, obwohl das Funktionsprinzipnicht auf diese Zahl beschränkt ist. Anders als bei klassischen Gleichstrommotoren werdendiese Ankerwicklungen nicht ringförmig, sondern im Stern geschaltet.u Ai A (t))s c (t+− +s a (t)− +s b (t)−i ci ai buau bucSNεKommutatorAnkerwicklung(Stator)Permanentmagnet(Rotor)Fig. 7-2: Prinzipbild des elektronisch kommutierten MotorsJeder der Anschlüsse der Ankerwicklungen a, b, c kann über den Kommutator mit dempositiven oder dem negativen Potential der Speisespannung verb<strong>und</strong>en werden oder offenbleiben. Der Ankerstrom i A durchfließt also immer zwei der drei Ankerwicklungen, die drittebleibt stromlos. Mittels der Schaltfunktionens , s , s ∈{−1;0;+ 1} ,abcwobei der Wert „0“ die offene Schalterstellung repräsentieren möge, lassen sich dieZusammenhänge zwischen Ankerstrom bzw. -spannung <strong>und</strong> den Stranggrößen wie folgtdarstellen:iA=12∑s ik kk = a,b,c(7.1)


Mechatronik <strong>und</strong> elektrische Antriebe S. 103uA=∑s ukk = a,b,ck(7.2)7.2 Induzierte SpannungenαεNSFig. 7-3: Zur induzierten Spannung in einer einzelnen Ankerwindungε : Stellungswinkel des Rotors gegenüber dem Statorα : Rotorfeste Koordinate zur Beschreibung des Rotorfeldesi aicNεi bibSi ci aFig. 7-4: Zuordnung der Windungen zu den drei Wicklungen(Die Punkte <strong>und</strong> Kreuze sind hier nicht als tatsächliche Stromflussrichtung,sondern nur als Zählrichtungen zu verstehen)


Mechatronik <strong>und</strong> elektrische Antriebe S. 104bπ2παψ Lπ2πεe Lπ2πεψp= Nψ Lψ paπ62ψ−pπ2ψ pπ− π6π2πε−ψ pe a2ψ pωππ6− π6π2πεFig. 7-5: Konstruktion der induzierten Spannung einer Leiterschleife <strong>und</strong> einer Wicklung


Mechatronik <strong>und</strong> elektrische Antriebe S. 105e aebec2π3π4π32πεe bcecaeab2π34π3− π3π3π5π32πεs aπ2πεs bπ2πεs cπ2πεFig. 7-6: Strangspannungen <strong>und</strong> Leiter-Leiter-Spannungensowie notwendige Schalterstellungen des Kommutatorszur Gleichrichtung der Ankerspannungen


Mechatronik <strong>und</strong> elektrische Antriebe S. 1067.3 Ersatzschaltbild <strong>und</strong> Drehmomenti aRLe au abi bRMLMe bu cau bci cRLMe cu , u , uabcFig. 7-7: Ersatzschaltbild mit Ankerinduktivität <strong>und</strong> Ersatzspannungsquellen⎡u⎢⎢u⎢⎣uabc⎡⎢⎥ ⎥ ⎤ i= R⎢i⎥⎦⎢⎣iabc⎤ ⎡ia⎤ ⎡ψpa⎥ ⎥ ⎤⎥ d ⎥ d⎥+ L⎥+⎢ ⎢⎢ ⎥ ⎢ ⎢⎢ ibψ pb(7.3)dt dt⎦ ⎣i⎥⎦⎥c ⎣ψpc ⎦mitddt⎡ψ⎢⎢ψ⎢⎣ψpapbpc⎤ ⎡e⎥=⎢⎥ ⎢e⎥⎦⎢⎣eabc⎤⎥⎥⎥⎦(7.4)<strong>und</strong> der Induktivitätsmatrix⎡ L M M ⎤L =⎢ ⎥⎢M L M⎥(7.5)⎢⎣M M L ⎥⎦.Die Hauptinduktivität M gibt die Flussverkettung zwischen zwei Wicklungen an, sie istnegativ: M < 0 . Aufgr<strong>und</strong> der Symmetrie der dreiphasigen Wicklungen kann höchstens dieHälfte des magnetischen Flusses einer Wicklung mit einer der anderen beiden verkettet sein.Hierbei ist allerdings ein umgekehrtes Vorzeichen zu berücksichtigen. Für dieHauptinduktivität gilt demnach die Abschätzung1− M ≤ L . 2


Mechatronik <strong>und</strong> elektrische Antriebe S. 107Wird vom Kommutierungsvorgang abgesehen, ist immer einer der drei StrömeAlso wird das dynamische Verhalten im verbleibenden Strompfad z.B. im Falli , i , i Null.abci c = 0 , iA= ia= −ib, uA= ua− ubbeschrieben durchu = Ri + Li& + Mi&+ e(7.6)abababbaau = Ri + Li& + Mi&+ e(7.7)buA= uab= ua− ub= 2 RiA+ 2Li& A − 2Mi&A + eab(7.8)= R i + L i&+ eA AA ADer wirksame Ankerwiderstand <strong>und</strong> die wirksame Ankerinduktivität resultieren also zuR A = 2R , L A = 2L− 2Msowie die induzierte Spannung (die Erklärung von ψ p ergibt sich aus dem Bild weiter oben)zuA2 4eA= 2 ψpω= ψpω= ψ ′pω(7.9)π πiAR ALAuAeAFig. 7-8: Resultierendes Ersatzschaltbild für den AnkerkreisDas Drehmoment kann über die Leistungsbilanz gewonnen werden (die mechanischeLeistung ist gleich der an den Ersatz-Spannungsquellen e a , e b , e c anfallenden elektrischenLeistung):Pme∑= ω T = i e(7.10)mek kk=a,b,c


Mechatronik <strong>und</strong> elektrische Antriebe S. 108Unter der Annahme, dass stets einer der drei Ströme gleich Null ist <strong>und</strong> die anderen beidenentgegengesetzt gleich sind (<strong>und</strong> den Ankerstrom i A führen), folgt (p ist die Polpaarzahl)ω 2ψpωmeT= T = 2i Aω(7.11)p πT= 4 pψpiA= pψ′piA(7.12)π7.4 StromrichterUm den elektronisch kommutierten Motor mit variabler Spannung zu speisen, kann genausowie beim mechanisch kommutierten Gleichstrommotor ein Tiefsetzsteller verwendet werden.Wie dort ist auch hier keine gesonderte Stellerdrossel notwendig, da die Ankerinduktivitätbzw. die Induktivitäten der drei Stränge diese Aufgabe mit übernehmen. Ein Schaltbild desTiefsetzstellers in Kombination mit dem elektronisch kommutierten Motor zeigt dasnachfolgende Bild, was aber nicht als reale Schaltbild, sondern nur als Zwischenschrittbegriffen werden möge. In dieser Konfiguration arbeitet der elektronische Kommutatorgenauso wie das mechanische Vorbild polend, d.h. während einer Periode wechselt dieserSchalter nur einmal die Polarität. Demgegenüber arbeitet der Tiefsetzsteller pulsend mit einerin der Regel weit höheren Schaltfrequenz.(t) i dcU dci A (t)+u A− +− +ici ai buauc−u bTiefsetzsteller(pulsend)Kommutator(polend)AnkerwicklungFig. 7-9: Speisung durch einen TiefsetzstellerDie Ausführung der beiden Funktionen (pulsender Tiefsetzsteller <strong>und</strong> polender Kommutator)müssen aber keineswegs durch verschiedene Schalter bewerkstelligt werden. Der bislang nurals polend betrachtete elektronische Kommutator kann die Funktion des Pulsens mitübernehmen, wie im nachfolgenden Bild dargestellt ist. In dieser Struktur ist es aber nichtmehr möglich, Ankerstrom i A <strong>und</strong> Ankerspannung u A genau an einer Stelle der Schaltungmesstechnisch zu erfassen.


Mechatronik <strong>und</strong> elektrische Antriebe S. 109(t) i dcU dc+− +− +i bai icuaub−u cdreisträngiger Steller(polend <strong>und</strong> pulsend)Fig. 7-10: Vereinigung der Funktionen Pulsen <strong>und</strong> Polenin einem dreisträngigen StellerU dcFig. 7-11: Realisierung des dreisträngigen Stellers7.5 KommutierungFür die Untersuchung der Kommutierung z. B. zwischen Strang a <strong>und</strong> b wird angenommen,dass der Strom im dritten unbeteiligten Strang, z. B. also im Strang c näherungsweisekonstant bleibt.


Mechatronik <strong>und</strong> elektrische Antriebe S. 110i aLe au abi bLMe bi c= const.Fig. 7-12: Equivalent circuit diagram for the commuation Ersatzschaltbild für dieKommutierungIm Kommutierungskreis wirkt die effektive KommutierungsinduktivitätL K = 2L− 2M,die also gleich der effektiven Ankerinduktivität ist. Die ohmschen Widerstände werden beider Kommutierung vernachlässigt. Während der Kommutierung sucht sich der zukommutierende Strom bei bereits abgeschaltetem Transistor den Pfad durch dieentsprechende Freilaufdiode, so dass als Kommutierungsspannung die negative Spannung desGleichspannungskreises wirkt. Dies führt zu folgendem Ersatzschaltbild für denKommutierungsvorgang:iaLK−U dceabFig. 7-13: Vereinfachtes Ersatzschaltbild für den KommutierungskreisDie Anfangswerte zum Beginn der Kommutierung sindi ( t 1 ) = i , i ( 1 ) = 0 .aKAb t KNach abgeschlossener Kommutierung isti a( t K 2 ) = 0 , i b( tK2 ) = iA.Die Differenzialgleichung für den Kommutierungsvorgang lautetL i& = −U− e(7.13)K adcab


Mechatronik <strong>und</strong> elektrische Antriebe S. 111Für das dargestellte Beispiel sollte die Kommutierung um den Winkel ε K = −π / 6 stattfinden(s. obige Zeitverläufe). Zu diesem Zeitpunkt (<strong>und</strong> in Näherung in der Umgebung) ist aber dieinduzierte Spannung e ab = 0 , so dass nur die äußere Spannung U dc für die Kommutierungmaßgeblich ist. Es resultiert die Kommutierungszeit=i ( t L iALK−1)2 (7.14)Ua K KT K tKtK1= =U dcdcFür eine genauere Betrachtung wird der zeitliche Verlauf von e ab im Kommutierungsintervallberücksichtigt:tK 2K 2UdcTK1i A = ia( tK2)− ia( tK1)= ∫ i& a(t)dt = − − ∫ eab(t)dt(7.15)L LtK1KtK tK1Obwohl e ab (t)nicht als Null vorausgesetzt wird, fällt das Integral über e ab (t)weg, sofernder Kommutierungsvorgang genau symmetrisch um den Winkel ε K ausgelöst wird. DieZeitverläufe der Ströme ändern sich zwar durch Berücksichtigung von e ab (t), nicht aber dieKommutierungszeit.Der letzte Term ist aber gerade Null, so dass sich zwar der Verlauf der Ströme während derKommutierung verändert, nicht aber die Kommutierungszeit. Dies setzt aber einenentsprechenden Winkelvorhalt voraus. Die Kommutierung muss zum Winkelε= ε− ∆εK1 K K(7.16)ausgelöst werden, damit sie symmetrisch zum Winkel ε K abläuft <strong>und</strong> zum Winkelε = ε + ∆εabgeschlossen ist. Dieser Winkelvorhalt berechnet sich zuK 2 K K(7.17)T i L ωε = ω =K A K∆K(7.18)2 2UdcEin größerer Winkelvorhalt als dieser Wert kann dazu dienen, sich die induzierte Spannungzur Unterstützung der Kommutierung zu Nutze zu machen, so dass sich dieKommutierungszeit sogar verkürzt. Dies kann bei großen Drehzahlen sinnvoll sein, wenn esgilt, die Kommutierung während eines nicht zu großen Winkelintervalls durchzuführen. Eineverzögert ausglöste Kommutierung verlängert die Kommutierungszeit <strong>und</strong> wirkt sichinsbesondere bei hohen Drehzahlen ungünstig aus.


Mechatronik <strong>und</strong> elektrische Antriebe S. 112T Ki ai bLUKdcKommutierung beiBerücksichtigung derinduzierten SpannungtK1t K t K 2te abtFig. 7-14: Zeitverläufe bei der Kommutierung(Normalbetrieb)Anders als beim mechanisch kommutierten Gleichstrommotor, bei dem der zukommutierende Strom nur über Kommutatorkontakte <strong>und</strong> Bürsten fließt, aber an den äußerenAnkerklemmen nicht sichtbar ist, fließt beim elektronisch kommutierten Motor dieser Stromüber den speisenden DC-Kreis.7.6 Regelungu dc*ωω−Drehzahl--R l*T1ψ ′pStrom-Begrenzung *i Ai A−Strom-ReglerEMK-Kompensationn(V t )*∆u Aψ ′p*u A0u AωPWMi ADrehzahlbildungsSchaltwerkAnkerstrombildungs a,b,cεi a,b,cT,ωFig. 7-15: Drehzahlregelung mit unterlagerter Stromregelung <strong>und</strong> PWM


Mechatronik <strong>und</strong> elektrische Antriebe S. 113u dc*ωω−Drehzahl--Regler*T1ψ ′pStrom-Begrenzung*i Ai AStrom-Schaltregler−si ASchaltwerkAnkerstrombildungs a,b,ci a,b,cDrehzahlbildungεFig. 7-16: Drehzahlregelung mit unterlagerter Strom-SchaltregelungT,ωDie Bildung des Ankerstroms i A kann abhängig vom Stellungswinkel ε durchvorzeichengerechte Auswahl des passenden Strangstroms i a, ib, icnach folgender Tabellevorgenommen werden.Tabelle für die Kommutatorschalterstellungen <strong>und</strong> für den maßgeblichen Ankerstromεs as bs i =− 30° < ε < 30°0 + 1 − 1 ib= −ic30° < ε < 90°− 1 + 1 0 ib= −ia90° < ε < 150°− 1 0 + 1 ic= −ia150° < ε < 210°0 − 1 + 1 ic= −ib210° < ε < 270°+ 1 − 1 0 ia= −ib270° < ε < 330°+ 1 0 − 1 i = −icaAcWird eine Rückspeisung ausgeschlossen, ist also der Ankerstrom stets positiv, kann derAnkerstrom unabhängig von der Winkelstellung über die Beziehung1i A= ∑ i k2k = a,b,cbestimmt werden, was recht einfach zu realisieren ist.


Mechatronik <strong>und</strong> elektrische Antriebe S. 114u dc*ωω−Drehzahl--l*u APWMsSchaltwerks a,b,cDrehzahlbildungεT,ωFig. 7-17: Vereinfachte Drehzahlregelung ohne unterlagerte Stromregelung <strong>und</strong> EMK-Vorsteuerung


Mechatronik <strong>und</strong> elektrische Antriebe S. 1158 Entwurf von Strom- <strong>und</strong> DrehzahlregelungIn verschiedenen Zusammenhängen wie beim Magnetlager, beim GeschaltetenReluktanzmotor, beim Gleichstrommotor, auch bei seiner elektronisch kommutiertenVariante, sind unterlagerte Stromregelungen zu entwerfen, die alle eine sehr ähnliche Strukturbesitzen, <strong>und</strong> jeweils nach Standardverfahren entworfen werden können. Ähnliches trifft aufdie Drehzahlregelung zu.Bei einer Stromregelung gehen wir beispielsweise von einer Streckenübertragungsfunktion(der Admittanz) eines RL-Gliedes aus:I(s)1 1 1Y ( s)= = Gs(s)= =(8.1)U(s)R + sL R 1+sτsdw−e(s) G cG s (s)yFig. 8-1: Betrachteter Standardregelkreis mit Regelgröße y, Führungsgröße w <strong>und</strong> Störgröße dVon weiteren Einflüssen wie der EMK soll hier abgesehen werden. Wir nehmen an, dassdiese z. B. zuvor durch eine entsprechende Vorsteuerung im Regler kompensiert wird (imregelungstechnischen Sinn handelt es sich um eine Störgrößenkompensation).Zusätzlich zum Verhalten des RL-Gliedes soll noch eine weitere Zeitkonstante τ σberücksichtigt werden, die z. B. durch Sensoren oder durch eine Verzögerung desSpannungsstellgliedes verusacht wird. Allgemein soll daher von einerStreckenübertragungsfunktion der Formausgegangen werden. Hierbei nehmen wir1 1Gs( s)= Vs(8.2)1+sτ s 1+sτ στ s > τ σ(8.3)an. Der Regler wird nun als PI-Glied mit der Nachstellzeit T n <strong>und</strong> der Verstärkung V cangesetzt:


Mechatronik <strong>und</strong> elektrische Antriebe S. 116Damit ergibt sich die Kreisverstärkung 81+sTGnc( s)= Vc(8.4)sTn1 1L(s)= Gs(s)Gc(s)= VsVc1+sτ1+ssτ σ1+sTsTnn(8.5)8.1 Reglerentwurf durch Pol-Nullstellen-Kürzung (Betragsoptimum)Wird die Reglernachstellzeit gleich der Streckenzeitkonstanten gewählt,Tn= τ(8.6)skürzt sich in der Kreisverstärkung der betreffende Pol mit der Reglernullstelle <strong>und</strong> esresultiertDurch Übergang auf die normierte Verstärkung1 1L( s)= VsVc(8.7)sTn1+sτ στσ ~γ = V V = V V(8.8)τsscscergibt sich die Darstellung1 1L( s)= γ(8.9)sτ σ 1+sτ σ8 Obwohl für die Kreisverstärkung der gleiche Buchstabe verwendet wie für die Induktivität, besteht imFolgenden keine Verwechselungsgefahr, da von Induktivitäten im weiterem kein Gebrauch gemacht wird.


Mechatronik <strong>und</strong> elektrische Antriebe S. 117L( jω)-20 dB/Dek.0 dB1/T nωc1/τ σγ-40 dB/Dek.ω∠ L( jω)0°ω c1/T n1/τσω− 90°−135°−180°PhasenreserveT w ( jω)0 dBγggf. Resonanzüberhöhungen(abhängig von Phasenreserve)-40 dB/Dek.T d ( jω)ωV ~s+20 dB/Dek.γ-40 dB/Dek.ω c1/T n1/τσωFig. 8-2: Frequenzgänge bei Auslegung nach dem Betragsoptimumin doppelt-logarithmischer Darstellung


Mechatronik <strong>und</strong> elektrische Antriebe S. 118Fig. 8-3: Frequenzgang der Kreisübertragungsfunktion Lüber der normierten Frequenz Ω = ωτσfür verschiedene Werte vonγ verschiebt sich lediglich der AmplitudengangDie Führungsübertragungsfunktion erhält man zuL(s)γ1T w ( s)= ==1+L(s)sτσ(1 + sτσ) + γ τσ1+s + sγ.Der Vergleich mit der Standardform eines PT 2 -Gliedes,()L(s)T w s = ==21+L(s)τστσs1+s + s 1+2d+γ γ ω01122τσγ2sω20(8.10)(8.11)liefert


Mechatronik <strong>und</strong> elektrische Antriebe S. 119γω 0 =(8.12)τ σ,1 1d = =(8.13)2τ σ ω 2 γ0Vorteilhafterweise bezieht man die Frequenz auf die Zeitkonstante τ σ , alsoΩ0 = ω0τσ = γ(8.14).Der noch freie Verstärkungsparameter γ beinflusst also die Dämpfung d , aber auch dieKennkreisfrequenz ω 0 bzw. Ω 0 des Führungsverhaltens. Man sieht aber, dass derRegelungsentwurf die Kennkreisfrequenz in jedem Fall im Bereich von 1 /τσplatziert, wasbedeutet, dass die mögliche Dynamik des Systems, die ja durch die Zeitkonstante τ σ begrenztwird, sehr weit ausgeschöpft wird.Die resultierenden Frequenzgänge der Führungsübertragungsfunktion sind im folgenden Bilddargestellt. Wie man gut erkennt, gewinnt man eine höhere Bandbreite auf Kosten derDämpfung bzw. der Resonanzüberhöhung bzw. des Überschwingens im Zeitbereich.Typische Dämpfungswerte wählt man zwischen 1 / 2 <strong>und</strong> 1, je nachdem, welchesÜberschwingen man zulassen möchte. Die Wahl1γ = bzw.2d=12wird als Betragsoptimum 9 bezeichnet.Die Bandbreite des Führungsverhaltens (-3 dB-Grenzfrequenz) lässt sich analytischbestimmen. Zweckmäßigerweise bezieht man die Frequenz wieder auf die Zeitkonstante τ σ :γT w ( jΩ) =2γ + jΩ− Ω(8.15)2 1Tw( jΩ b)=2(8.16)2 2 2 2 2 4 2( γ − Ω ) + Ω = γ − 2γΩ+ Ω Ω2222γ γ + jΩb− Ωb= b bb b + b= (8.17)242(1 − 2γ) Ωb + Ωb− γ = 0(8.18)9 Zum Hintergr<strong>und</strong> <strong>und</strong> zur Motivation der Namengebung sei auf die ausführliche Literatur verwiesen, siehez. B. Lutz, Wendt: Taschenbuch der Regelungstechnik.


Mechatronik <strong>und</strong> elektrische Antriebe S. 12022 1 1⎤2b = γ − + γ γ(8.19)⎡Ω +2 ⎢ −⎣ 2⎥⎦21 ⎡ 1⎤2b = γ − + γ − γ(8.20)Ω2 ⎢+⎣ 2⎥⎦Für die Standardauslegung γ = 1/ 2 ergibt sich beispielsweise die Bandbreite Ω =1/ 2 .bFig. 8-4: Frequenzgang der Führungsübertragungsfunktion T wüber der normierten Frequenz Ω = ωτσfür verschiedene Werte von γ ,


Mechatronik <strong>und</strong> elektrische Antriebe S. 121Fig. 8-5: Antwort der Regelgröße y (t)auf einen Sollwertsprung w( t)= σ ( t)Das Betragsoptimum ist ein relativ einfaches Entwurfsverfahren, welches Regler mit guterFührungsdynamik liefert. Zu beachten ist aber auch das Störverhalten. Die Übertragungsfunktionvon einer Störung am Streckeneingang d zur Regelgröße ist yTs)=G ( s)= Vsτsσsd ( ss(8.21)1+L(s)( sτσ(1 + sτσ) + γ )( 1+sτs ) ( sτσ(1 + sτσ) + γ )( 1+sτs )bzw. mit der bezogenen Frequenz ausgedrückt:~= VsτT ( jΩ) = VdsjΩ2( − Ω + jΩ+ γ ) ( 1+jΩτ/ )sτ σ(8.22)Wie man sieht, tritt die im Führungsverhalten gekürzte Polstelle s = −1/ τ s im Störverhaltenweiterhin auf. Insbesondere, wenn τ s groß gegenüber τ σ ist, bedeutet das, dass ggf. vorhandeneStörungen nur langsam ausgeregelt werden. Wie das Bild der Störgrößensprungantwortzeigt, wird selbst bei großer Reglerverstärkung der Regelfehler erst durch ein langsameskriechendes Verhalten ausgeregelt. Im Stromregelkreis eines Gleichstrommotors kannbeispielsweise eine solche Störung auftreten, wenn die EMK durch die Vorsteuerung nichtoder nicht exakt kompensiert wird (vgl. Abschnitt 6.12). Beim Betrieb mit konstanter oderlangsam veränderlicher Drehzahl ist eine solche langsame Störausregelung hinnehmbar.Werden aber sehr schnelle Drehzahländerungen ausgeführt, so dass sich auch die EMK alsStörgröße sehr schnell ändert, sollte eine schnelle Störausregelung angestrebt werden. Das istmit dem im folgenden Abschnitt beschriebenen Symmetrischen Optimum besser möglich.


Mechatronik <strong>und</strong> elektrische Antriebe S. 122Fig. 8-6: Frequenzgang der Störübertragungsfunktion T d~über der normierten Frequenz Ω = ωτσmit Vs = 1, / = 10τ sτ σ


Mechatronik <strong>und</strong> elektrische Antriebe S. 123Fig. 8-7: Antwort der Regelgröße y (t)auf einen Störgrößensprung d( t)= σ ( t)~mit V = 1, / = 10sτ sτ σDie Amplitudendurchtrittsfrequenzbestimmen:Ω c der Kreisverstärkung lässt sich im Übrigen analytisch2 2 1 11 = L(jΩc) = γ(8.23)Ω 1+ΩΩ2c4c2( 1+Ω )c2c2 1Ωc= − +2= γ2142cΩ + Ω − γ = 02+ γ22c(8.24)1 1Ω 2 c = + γ −(8.25)4 2


Mechatronik <strong>und</strong> elektrische Antriebe S. 1248.2 Symmetrisches OptimumDas vorangegangene Verfahren legt die Reglernachstellzeit so fest, dass eine Pol-Nullstellen-Kürzung auftritt, mit der ein günstiges Führungsverhalten resultiert. Das Störverhalten wirdbeim Entwurf nicht beachtet. Soll ein besseres Störverhalten erreicht werden, muss man –unter Beibehaltung des PI-Reglertyps – die Reglernachstellzeit anders festlegen. Von derTendenz her muss diese verringert werden, damit der integrale Anteil schneller reagiert.Besonders einfach gestaltet sich der hier dargestellte Reglerentwurf, wenn man annimmt, dassdie langsame Streckenzeitkonstante τ s der Strecke sehr viel größer als die schnelleZeitkonstante τ σ <strong>und</strong> auch größer als die einzustellende Reglernachstellzeit T n ist:τ s >> τ σ , T n . In diesem Fall lässt sich diese Zeitkonstante gänzlich vernachlässigen <strong>und</strong> dasbetreffende T1-Glied durch einen Integrator approximieren:1 1 1 1 τσ1 1 ~ 1Gs( s)= Vs≈ Vs= Vs= Vs1+sτs 1+sτσsτs 1+sτστ s sτσ1+sτσsτσ(1 + sτσ)(8.26).Bei der Drehzahlregelung enthält die Regelstrecke ohnehin von vornherein einen Integrierer.Die Kreisübertragungsfunktion lautet nun~ 1+sTn1 1 ~ 1 1+sTnL(s)= Gc( s)Gs( s)= VsVc= VsVc2 (8.27)sTnsτσ 1+sτσ s Tnτσ1+sτσ.Der Regelungsentwurf kann sehr gut mit genäherten Amplitudengängen skizziert werden. Fürkleine Frequenzen fällt der Amplitudengang der Kreisverstärkung zunächst mit-40 dB/Dekade. Die Phasendrehung ist dementsprechend etwa -180°. Durch dieKnickfrequenz 1 /Tnwird die Phase angehoben (Nullstelle), durch die folgendeKnickfrequenz 1 /τσ(Polstelle) aber wieder abgesenkt. Der größte Phasenwinkel wird (beilogarithmischer Achsenskalierung) daher genau zwischen den beiden Knickfrequenzenerreicht. Den größten Phasenrand erhält man also, wenn die Verstärkung so gewählt wird,dass die Amplitudendurchtrittsfrequenz genau an dieser Stelle ω platziert wird. Sei alsoc2 T n= aτ σ(8.28)das Verhältnis von Nachstellzeit <strong>und</strong> schneller Streckenzeitkonstante, so soll dieAmplitudendurchtrittsfrequenz bei1ωc=aτ σ=aTn(8.29)zu liegen kommen. Das Verhältnis a lässt sich also durch zwei verschiedneFrequenzverhältnisse interpretieren (vgl. Bild):


Mechatronik <strong>und</strong> elektrische Antriebe S. 125aω1/ τc σ= =(8.30)1/ Tnωc.In Anlehnung an Begriffe der Geometrie wird a deshalb als Doppelverhältnis bezeichnet. Beieiner logarithmischen Skalierung der Frequenzachse im Bodediagramm sind also diegeometrischen Abstände der Knickfrequenzen 1 /τσ<strong>und</strong> 1 /Tnvon der Durchtrittsfrequenz ω cgenau gleich.Bei der Durchtrittsfrequenz muss der Betrag der Kreisverstärkung 1 sein,L( jω ) = 1, (8.31)cwas zur Festlegung der Reglerverstärkung führt:~ 1 1 + jωcTn~ 1 + ja ~ 1 + ja ~1 = VsVc= VsVc= VsVca = VsV2− ω T τ 1 + jω1 + j / a a + jcn σ cτ σca(8.32)1 ~s cV V= bzw.aV c =1~aVsDamit resultieren Kreis- <strong>und</strong> Führungsübertragungsfunktionen zu1 1+a sτσL(s)=3 2(8.33)a s τ 1+sτ2σ2σ22L(s)1+a sτσ1+a sτσT w ( s)==2 3 2 22 3 2 21+L(s)1+a sτσ+ a s τσ(1 + sτσ) 1+a sτσ+ a s τσ+= (8.34)a3 2 2s τσDie Reglerübertragungsfunktion lässt sich mit dem Doppelverhältnis a schreiben alsG ( s)c221 1+sτσa 1 1+sτσa= ~ =2 3 ~(8.35)aVssτσa a Vssτσ


Mechatronik <strong>und</strong> elektrische Antriebe S. 126L( jω)-40 dB/Dek. -20 dB/Dek.a1/τ σ0 dB1/T n ω c a1:a 1: a( jω)1/Tnω c 1/τσ0°− 90°−180°PhasenreserveT w ( jω)0 dBT d ( jω)∠ L-40 dB/Dek.ωωDie Durchtrittsfrequenz wirdgenau auf das Phasenmaximumeingestellt (Symmetrieachse desPhasengangs)ggf. Resonanzüberhöhungen(abhängig von Phasenreserve)-40 dB/Dek.ωV ~s+20 dB/Dek.-40 dB/Dek.1/T nω c1/τ σωFig. 8-8: Frequenzgänge bei Auslegung nach dem Symmetrischen Optimumin doppelt-logarithmischer Darstellung(insbesondere durch die von der Phasenreserve abhängige Resonanzüberhöhung werden dietatsächlichen Kurvenformen stark verschliffen, bessere Einsicht in die Konstruktion erlaubendie Approximationen durch Geradenstücke (gestrichelt))Die Bandbreite des Führungsfrequenzganges wird ungefähr durch die Amplitudendurchtrittsfrequenzω = 1 aτ bestimmt, wenn man die Näherungc /σL(jω)⎧L(jω)L(jω)> 1


Mechatronik <strong>und</strong> elektrische Antriebe S. 127beachtet. Um eine hohe Bandbreite zu erreichen, sollte a also möglichst klein gewähltwerden. Das geht aber auf Kosten der Phasenreserve <strong>und</strong> mit einer starkenResonanzüberhöhung einher. Das Ziel einer möglichst großen Durchtrittsfrequenz ω sorgtaber tendenziell auch für einen günstigen Störfrequenzgang, denn je größerccω <strong>und</strong> damit1 /T n , desto schmaler ist der Frequenzbereich ungünstiger großer Störübertragung zwischen1 /T n <strong>und</strong> ω c . Die Störübertragungsfunktion ergibt sich wie folgt:Gs( s)Tw( s)Td( s)= =1+L(s)G ( s)3 ~= a Vs1+a2csτσsτ+ aσ3 2 2s τσ+ a3 2 2s τσ(8.37)In den nachfolgenden Bildern sind Bodediagramme <strong>und</strong> Sprungantworten für verschiedeneWerte des Verhältnisses a dargestellt.Fig. 8-9: Frequenzgang der Kreisübertragungsfunktion Lüber der normierten Frequenz Ω = ωτσ


Mechatronik <strong>und</strong> elektrische Antriebe S. 128Fig. 8-10: Frequenzgang der Führungsübertragungsfunktion T wüber der normierten Frequenz Ω = ωτσ


Mechatronik <strong>und</strong> elektrische Antriebe S. 129Fig. 8-11: Frequenzgang der Störübertragungsfunktion T düber der normierten Frequenz Ω = ωτσmit V~ = s1Fig. 8-12: Antwort der Regelgröße y (t)auf einen Führungssprung w( t)= σ ( t)


Mechatronik <strong>und</strong> elektrische Antriebe S. 130Fig. 8-13: Antwort der Regelgröße y (t)auf einen Störgrößensprung d( t)= σ ( t)mit V~ = 1sEine beliebte Standardeinstellung des Symmetrischen Optimums ist a = 2 . Damit wird einePhasenreserve von 37° erreicht. Allerdings ist das Überschwingen bei Führungssprüngen von43% unbefriedigend. Dieses Überschwingen ist im Wesentlichen der Nullstelle der2Führungsübertragungsfunktion bei s = 1/( a τ σ ) geschuldet. Durch ein zusätzliches T 1 -FührungsfilterG1s)=1 + a τ sf (2σ1=1 + Tns(8.38)wird im Führungsverhalten die entsprechende Nullstelle gekürzt, wodurch sich dasÜberschwingen auf 8% reduziert, allerdings auch die Anregelzeit grob verdoppelt (siehefolgendes Bild).Für a = 3 resultiert der Spezialfall eines reellen Dreifachpols der Führungs- <strong>und</strong>Störübertragungsfunktion bei s = 1/(3τσ ). Mit Führungsfilter zeigt die Führungssprung-Antwort in diesem Fall keinerlei Überschwingen.


Mechatronik <strong>und</strong> elektrische Antriebe S. 131dwG f(s)−e(s) G cG s (s)yFig. 8-14: Regelkreis mit FührungsfilterFig. 8-15: Antwort der Regelgröße y (t)auf einen Führungssprung w( t)= σ ( t)mit zusätzlichem T 1 -FührungsfilterDas Symmetrische Optimum wurde hier nur für den Fall eines integrierenden Streckenanteilsdargestellt, wobei dies, wie eingangs ausgeführt, als Näherung für eine Strecke mit zwei starkunterschiedlichen Zeitkonstanten τ σ

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