Mathematik

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Informationsblatt für den Einstieg ins 2. Mathematikjahr AHSKursleiter: Manfred GurtnerStoff für den Einstufungstest Mathematik in das 2. Jahr AHS1) Gleichungen/ Gleichungssysteme/ Terme• Lineare Gleichungen• Quadratische Gleichungen (kleine und große Lösungsformel)• Sätze von Vieta (Anwendung)• Wurzelgleichungen (Bestimmung der Definitionsmenge, Probe)• Bruchgleichungen (mit Bestimmung der Definitionsmenge)• Gleichungssysteme von zwei Gleichungen in 2 Variablen (rechnerische und graphischeLösung, Textaufgaben: Bewegungs-, Mischungs- und Leistungsaufgaben)• Potenzen (Regeln für Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division, Klammern• mit Potenzen )• Wurzeln (teilweise Wurzelziehen, Multiplikation, Division )• Ungleichungen2) Funktionen• Lineare Funktionen (zeichnen, y = kx + d, Berechnung der Nullstelle)• Quadratische Funktionen (Wertetabelle, Berechnung der Nullstellen)• Rationale Funktionen (Bestimmen der Definitionsmenge, Asymptote)3) Trigonometrie und Vermessungsaufgaben• Sinus, Kosinus, Tangens am Einheitskreis (Berechnungen in allen vier Quadranten[0°; 360°])• Beziehungen zwischen sin, cos, tan• Berechnung des rechtwinkeligen Dreiecks mit sin, cos, tan• Berechnung des allgemeinen Dreiecks mit Hilfe von Sin- und Cos-Satz• Trigonometrische Flächenformel• Berechnung von Vermessungsaufgaben4) Vektorrechnung• Richtungsvektor (Länge, Einheitsvektor)• Normalvektor (linksgekippt, rechtsgekippt)• Strecken abtragen• Parameterdarstellung der Geradengleichung• Schnittpunkt und Schnittwinkel von 2 Geraden• Lagebezeichnung zweier Geraden• Dreieck (Berechnung der Winkel, des Umfangs, der Fläche)VorbereitungMathematik positiv! 5, ISBN: 978-3-7074-0955-0, Thorwartl et alMathematik positiv! 6, ISBN: 978-3-7074-0957-4, Thorwartl et albzw. Mathematik verstehen 5, ISBN: 978-3-209-07040-1, Malle et alMathematik verstehen 6, ISBN: 978-3-209-04624-6, Malle et alwww.2bw.eu/workroom/inhalte/mathematik.htm ... Website zur Wiederholung des Unterstufenstoffes sowiemit Lernpfaden zu den Oberstufen-ThemenTaschenrechner, Schreibzeug, Geodreieck, kariertes Papier (mindestens 8 Seiten) nichtvergessen!AHS-Matura für ExternistInnen VHS 21 – Juli 2013 Einstufung Mathematik 2. Jahr Seite 1/5


PROBEEINSTUFUNGSTEST – Mathematik / 3. Jahr:Gleichungen, Funktionen:1) Lösen Sie folgende lineare Gleichung und machen Sie die Probe:(2x – 3)² = (2x – 3) (2x + 4) – 12x + 92) Lösen Sie die folgende quadratische Gleichung:(x – 3)² – 20 = (x – 4)² – (2x + 3)²3) Zeichnen Sie folgende Funktion und bestimmen Sie rechnerisch und zeichnerischdie Nullstellen dieser Funktion (in RxR): y = x² + 2x – 84) Bestimmen Sie bei dieser Funktion die Asymptote und die Definitionsmenge und zeichnenSie die Funktion:1y =2x + 25) Lösen Sie folgende Gleichungssysteme:a) rechnerisch: I) x – 4y = 2II) 3x – 7y = 11b) graphisch (mit Hilfe von k und d): I) y = 2x – 1II) y = 3x – 36) Vom Ort A fährt um 6:30 Uhr ein Personenzug ab und holt den um 5:00 Uhr abgefahrenenGüterzug um 8:30 Uhr ein. Wenn der Personenzug um 9:30 Uhr im Ort B einfährt, ist derGüterzug noch 30 km von B entfernt. Berechnen Siea) die mittlere Geschwindigkeit beider Züge,b) um wie viel Uhr der Güterzug in B ankommt,c) wie weit der Ort B vom Ort A entfernt ist.7) Aus 80%igem und 70%igem Alkohol sollen durch Mischen 5 Liter eines 74%igen Alkoholshergestellt werden. Wie viel Liter jeder Sorte müssen genommen werden?8) Ein Vater ist 30 Jahre älter als sein Sohn. In 15 Jahren wird er zweimal so alt wie seinSohn sein. Wie alt ist der Vater und wie alt ist der Sohn heute?Potenzen, Wurzeln, Wurzelgleichungen, Ungleichungen:1) Vereinfachen Sie und stellen Sie mit positiven Hochzahlen dar:a) 5x -3 .7y -5 .x 214x 4 . 15y -7b) 3.(2xy) 4 .(-2x) 3 .7.(5y) -2 =−23−3−2⎛ b c ⎞ ( b.c )c) ⎜⎟ .4−3−⎝ a ⎠ ( a )−12−2⎛ b c ⎞.⎜⎟⎝ a ⎠⎡ −23−2−2⎤ −2⎛ x ⎞ ⎛ y z ⎞ ( y z)d) ⎢⎜⎟ :⎜⎟ ⎥.−3−22−2⎢⎝y z ⎠ ⎝ x ⎠ ⎥ ( x )⎣⎦3=−23=AHS-Matura für ExternistInnen VHS 21 – Juli 2013 Einstufung Mathematik 2. Jahr Seite 2/5


2) Ziehen Sie teilweise die Wurzel:a) 675 b) 1008 c) 24503) Vereinfachen Sie:a) (14 – 3. 6 ) . ( 5 + 2. 6 ) =b) 4. 27 + 243 – 48 – 5. 108 + 147 =4) Lösen Sie folgende Gleichung:4. x + 20 – 3. x + 6 = 7. x + 25) Lösen Sie folgende Ungleichung:(x – 3)² – (2x – 1)(x + 5) ≥ (2x – 5)² – 5x² + 7x – 176) Lösen Sie folgende Gleichung und bestimmen Sie die Definitionsmenge:4x+ 7 1 3x−1− =x²− 4 x + 2 x²− 4x+ 4Trigonometrie, Vermessungsaufgaben:1) Berechnen Sie die Winkel im Intervall [0°; 360°] auf 2 Dezimalstellen genau:a) sinα = 0,3428 b) cosα = - 0,8276 c) tanα = 7,23452) Von einem rechtwinkeligen Dreieck ist gegeben:a= 36,25 cm β = 56,25°Berechnen Sie mit Hilfe der Winkelfunktionen (auf 2 Dezimalstellen genau): b, c, α , A.3) Wie hoch ist der Eiffelturm, wenn er bei einem Sonnenstand von 65,45° einen 146,51mlangen Schatten wirft? (Auf 2 Dezimalstellen genau)4) Von einem allgemeinen Dreieck ist gegeben:a = 22,40 cm b = 16,70 cm γ = 109,22°Berechnen Sie (auf 2 Dezimalstellen genau): α,β,c, A5) Auf einem Berg der Höhe H befindet sich ein Turm. Von einem Geländepunkt P aussieht man die Spitze des Turmes unter dem Höhenwinkelα und den Fußpunkt desTurmes unter dem Höhenwinkel β . Berechnen Sie die Höhe des Turmes (auf 2Dezimalstellen genau).H= 315 m α = 34,41° β = 32,87°6) Von einem ebenen viereckigen Grundstück ABCD ist gegeben:AB = a = 41,53m BC = b = 57,34m AD = d = 49,65m α = 127,35° β = 84,97°Berechnen Sie den Umfang und die Diagonalen des Grundstücks (auf 2 Dezimalstellengenau).7) Die Spitze eines 22 m hohen Kirchturms wird von einem Aussichtsplatz unter einemTiefenwinkel α=11,5° gesehen. Wie weit ist die Turmspitze von der beobachtenden Personentfernt, wenn vom Fußpunkt des Turmes zum Aussichtsplatz ein Höhenwinkel β=15,2°gemessen wird?AHS-Matura für ExternistInnen VHS 21 – Juli 2013 Einstufung Mathematik 2. Jahr Seite 3/5


Lösungen: PROBEEINSTUFUNGSTEST – Mathematik 2. Jahr:Gleichungen, Funktionen:1) x = 62) x 1 = 1 x 2 = - 4,53) N 1 (2/0) N 2 (- 4/0)4) Asymptote: x = -1 D = R { −1}5) a) x = 6, y = 1 b) x = 2, y = 36) a) Personenzug: 70 km/h, Güterzug: 40km/h b) 10:15 Uhr c) 210km7) 80-prozentig: 2 Liter 70-prozentig: 3 Liter8) Vater: 45, Sohn: 15Potenzen, Wurzeln, Wurzelgleichungen, Ungleichungen:y²26887 y 23xa1) a) b) -c)546x25b.c2) a) 15. 3 b) 12. 7 c) 35. 23) a) 34 + 13. 6 b) – 6. 34) x = 0,255) x ≤ 36) x = -8 L = { −8}, D=R\{-2, 2}9y zd)4x6Trigonometrie, Vermessungsaufgaben:1) a) 20,05° ; 159,95° b) 145,85° ; 214,15° c) 82,13° ; 262,13°2) α = 33,75° b = 54,25cm c = 65,25cm A = 983,28cm²3) h = 320,74m4) α = 41,30° β = 29,48° c = 32,05cm A = 176,61cm²5) h = 18,91m6) U = 227,21m e = 67,79m f = 81,80m7) 328,99 mVektorrechnung:⎛ 4 ⎞ ⎛− 2⎞⎛ 4 ⎞ ⎛3⎞1) a) X = ⎜ ⎟ + t . ⎜ ⎟ b) X = ⎜ ⎟ + t . ⎜ ⎟⎝−1⎠⎝ 3 ⎠⎝−1⎠⎝2⎠2) S (1/-4)3) C (7/13) D (0/14) M (2,5/6,5)4) a) U = 31,81 b) α = 39,47° β = 47,12° γ = 93,41° c) A = 425) X 1 (5/5), X 2 (-3/1)6) h liegt parallel zu gAHS-Matura für ExternistInnen VHS 21 – Juli 2013 Einstufung Mathematik 2. Jahr Seite 5/5

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