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Kapitel 2

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Trägheitsprinzip und InertialsystemDas Verhalten der Kugel auf dem durch eine Kurvefahrenden Wagen wird von zwei verschiedenen Bezugssystemenaus betrachtet (Abb. 31.1).• In einem ortsfesten Bezugssystem I, gegenüber demsich der Wagen bewegt, gilt für die Kugel das Trägheitsprinzip.Bremst der Wagen oder fährt er in eine Kurve,so bewegt sie sich – zumindest anfänglich – geradeausmit konstanter Geschwindigkeit weiter. Sie ändert alsogegenüber dem Bezugssystem I ihre Geschwindigkeitnicht.• In einem mit dem Wagen verbundenen BezugssystemII urteilt der mitfahrende Beobachter nur nach dem,was er sieht: Obwohl es keine äußere Einwirkung aufdie Kugel gibt, bleibt sie nicht in Ruhe, sondern bewegtsich. Sie ändert im mitbewegten Bezugssystem II ihreGeschwindigkeit. Das Trägheitsprinzip gilt in diesemSystem nicht. Die Ursache dafür ist die Beschleunigungdes Bezugssystems mit dem Wagen, beim Anfahren,Bremsen oder bei der Kurvenfahrt.Bezugssysteme werden unterschieden in solche, in denenfür „frei“ bewegliche Körper das Trägheitsprinzipgilt, und in solche Bezugssysteme, in denen das Trägheitsprinzipnicht gilt. In allen beschleunigten Bezugssystemengilt das Trägheitsprinzip nicht.Ein Bezugssystem, in dem „frei“ bewegliche Körperdem Trägheitsprinzip folgen, heißt Inertialsystem(inertia, lat.: Trägheit).Wenn sich ein Körper in einem Inertialsystem mit konstanterGeschwindigkeit ​ ​__ ›υ ​ bewegt, so ist seine Geschwindigkeit​__ ›​υ ​′ in jedem anderen System, das sichrelativ zum ersten mit konstanter Geschwindigkeit ​ ​__ ›υ r ​bewegt, ebenfalls konstant: ​ ​__ ›υ ​′ = ​__ › ​__​υ ​ + υ ​ ›r ​ . Daraus folgt,dass es unendlich viele Inertialsysteme gibt. Denn wennfür einen Körper in einem System das Trägheitsprinzipgilt, so gilt es auch in allen anderen Systemen, die sichrelativ zum ersten mit konstanter Geschwindigkeit bewegen.Galilei’sches Relativitätsprinzip: Es gibt unendlichviele gleichberechtigte Inertialsysteme. Mit keinemExperiment der Mechanik lässt sich feststellen, obein Inertialsystem in Ruhe oder in Bewegung ist.Für fast alle Versuche kann der Physikraum, das Laborsystem,näherungsweise als Inertialsystem gelten, solangedie Rotationsbewegung der Erde, bei der sich dieRichtung der Geschwindigkeit ständig ändert, vernachlässigbarist. Der Foucault’sche Pendelversuch (→ ExkursS. 47) zeigt, dass die Erde und damit der Physikraumeigentlich keine Inertialsysteme sind.Das Trägheitsprinzip31.1 Wagen und Kugel haben zunächst gleiche Geschwindigkeit.Ändert der Wagen seine Bewegungsrichtung, so behältdie Kugel in einem ruhenden Bezugssystem ihre Geschwindigkeitbei.31.2 In a) hat der obere Faden Zugkraft und Gewichtskraft derKugel auszuhalten. Im Fall b) folgt die Kugel nicht sofort demplötzlichen Anziehen durch die Hand. Sie ist träge.Aufgaben1. Beschreiben Sie das Verhalten eines Fahrgastes in einem Busbei verschiedenen Verkehrssituationen und begründen Sie esmit dem Trägheitsprinzip.2. Geben Sie Beispiele aus anderen Bereichen als oben erwähntfür die Gültigkeit des Trägheitsprinzips an.3. Wird eine Postkarte zusammen mit einem Geldstück auf einGlas gelegt, so fällt das Geldstück ins Glas, wenn die Karteruckartig weggezogen wird.4. Legen Sie ein dünnes Brett auf eine Tischkante und breitenüber dem auf dem Tisch liegenden Teil eine Zeitung aus.Wird das über die Tischkante herausragende Brett leicht heruntergedrückt,so hebt sich die Zeitung. Schlägt man dagegenschnell und kräftig auf das Brett, so bleibt die Zeitungliegen und das Brett zerbricht. Führen Sie den Versuch durch.Erklären Sie die Beobachtungen.5. Begründen Sie die Anschnallpflicht in Fahrzeugen unter demAspekt der Trägheit.6. Beurteilen Sie die Einführung einer generellen Helmpflichtfür alle Zweiradfahrer.Dynamik31


DynamikDie Masse2.2 Die MasseNeben der Zeit und der Länge ist die Masse eines Körpersdie dritte Grundgröße der Physik. Die Masse einesKörpers wird mit der Balken- oder Tafelwaage durchVergleich mit Wägestücken normierter Massen gemessen.Bei dieser sogenannten statischen Massenbestimmungwird die Tatsache genutzt, dass auf alleKörper die von der Erde ausgeübte Gravitationskraftwirkt, die auch als Gewichtskraft bezeichnet wird.Das folgende Experiment, bei dem die Wirkung derGewichtskraft durch die Fahrbahn aufgehoben ist, zeigteine weitere Eigenschaft der Masse.Versuch 1: Auf einer Luftkissenfahrbahn werden zweimit Wägestücken belastete Gleiter an den einander zugewandtenSeiten mit elastischen Federbügeln versehen.Die Gleiter werden durch einen Faden so verbunden,dass beide Federbügel gespannt sind. Zu Beginn des Versuchsbefinden sich die Gleiter in Ruhe. Nach demDurchbrennen des Fadens entspannen sich die Federn,die Gleiter stoßen sich voneinander ab und bewegen sichschließlich mit konstanten Geschwindigkeiten. Ihre Geschwindigkeiten​υ​ 1​ und ​υ​ 2​ werden mit Lichtschrankengemessen (Abb. 32.1). Werden die Gesamtmassen der Gleitergeändert, so ergeben sich auch andere Geschwindigkeiten.Ergebnis: Die unterschiedlichen Endgeschwindigkeitender beiden Körper beruhen auf ihren unterschiedlichenMassen. Der Gleiter mit der größeren Masse erhält diekleinere Geschwindigkeit und umgekehrt. ◀Wird berücksichtigt, dass die Geschwindigkeiten derbeiden Gleiter entgegengesetzte Richtungen haben unddeswegen mit Vorzeichen versehen werden, so zeigt dieAuswertung der Versuche:Die Geschwindigkeiten der Gleiter stehen im umgekehrtenVerhältnis zu ihren Massen:​___​m​ 1 ​​m​ 2​ ​= ___ ​– ​υ​ 2 ​υ​ 1​ ​ (– ​υ​ 2 ​, da ​υ​ 2​< 0 ist)Diese Experimente hätten die gleichen Ergebnisse, wennsie weit entfernt von allen Planeten oder Sternen imWeltraum durchgeführt würden, wenn also auf die beteiligtenKörper keine Gewichtskraft wirkte. Die in diesemVerhalten der Körper sichtbare Eigenschaft ist dieTrägheit.Mit dieser Versuchsanordnung, dem sogenannten dynamischenMessverfahren der Masse, kann die Trägheiteines Körpers gemessen werden. Zwei Körper haben diegleiche Trägheit, wenn sie im obigen Versuch auf die betragsmäßiggleiche Geschwindigkeit beschleunigt werden.Da alle Körper mit gleicher Trägheit auch gleichschwer sind, ist es naheliegend, die Trägheit und dieSchwere als zwei verschiedene Merkmale der Masse anzusehen.Die Schwere eines Körpers zeigt sich in Anwesenheiteines anderen sehr massereichen Körpers, z. B.eines Planeten, in der Gewichtskraft; die Trägheit einesKörpers zeigt sich bei Vorgängen, in denen seine Geschwindigkeitverändert wird.Da zwei gleich schwere Körper auch stets gleich trägesind, sind Schwere und Trägheit eines Körpers zueinanderproportional. Diese Proportionalität ist durchausnicht selbstverständlich, sondern ein experimentellesErgebnis, das durch eine Vielzahl von Versuchen mitgroßer Genauigkeit bestätigt wurde. Deshalb kommenMessverfahren, die die Schwere oder die Trägheit verwenden,zu demselben Wert für die Masse eines Körpers.Die Größe Masse umfasst also die Eigenschaftender Trägheit und der Schwere.Diese Äquivalenz hat Einstein zum Ausgangspunkt derAllgemeinen Relativitätstheorie genommen. Die physikalischeGröße Masse m ist wie die Zeit t ein Skalar.Schwere und Trägheit sind Eigenschaften der Masseeines Körpers. Die Einheit der Masse ist das Kilogramm:[m] = 1 kg.32.1 Die Geschwindigkeiten der Gleiter auf der Luftkissenfahrbahnwerden nach dem Abstoßen registriert.Aufgaben1. Erläutern Sie Verfahren, mit denen Astronauten im Weltraumdie Masse eines Körpers bestimmen könnten.2. Untersuchen Sie Beispiele aus dem Alltag, in denen Schwere,Trägheit und Masse verwendet werden, auf den physikalischkorrekten Gebrauch dieser Begriffe.32


2.3 Der ImpulsNewtons Cradle (Newtons Wiege) ist ein dekorativesSpielgerät, bei dem mehrere gleiche Stahlkugeln alsPendel so in einer Reihe aufgehängt sind, dass sie sichgegenseitig berühren. Das Gerät hat eine verblüffendeEigenschaft: Wirddie erste Kugelausgelenkt undlos gelassen, soschwingt sie herabund stößt gegendie Kugelreihe.Dadurch kommt die Kugel augenblicklich zur Ruhe unddie letzte Kugel schwingt nach oben, ohne dass sich dieKugelreihe selbst in Bewegung gesetzt hätte. Die letzteKugel schwingt zurück und stößt ihrerseits gegen dieKugelreihe, worauf die erste Kugel ausgelenkt wird. Diesgeht mehrmals hin und her, klick-klack, klick-klack, …Ein Versuch auf der Luftkissenbahn erklärt es.Versuch 1: Bei zwei Gleitern werden an den StirnseitenFederbügel aufgesteckt, sodass sie elastische Stöße ausführenkönnen, d. h. sich nach einem Zusammenstoßvoneinander wegbewegen. Von den beiden Gleitern,die die gleiche Masse m haben, ruht der eine auf derSchiene, während der andere angestoßen wird und mitder Geschwindigkeit υ gegen den ruhenden stößt.Beobachtung: Nach dem Stoß bewegt sich der zuvorruhende Gleiter mit υ und der stoßende Gleiter ruht.Deutung: Durch das Anstoßen hat der erste Gleiteretwas erhalten, was in der Physik als Impuls (impulsus,lat.: Anstoß) bezeichnet wird. Beim Stoß wird dieserImpuls auf den ruhenden Gleiter übertragen.Fortsetzung: Werden zwei Gleiter ruhend hintereinandergestellt,so hat nach dem Stoß der hintere die Geschwindigkeitυ, während der mittlere in Ruhe bleibt.Bei genauem Beobachten lässt sich erkennen, wie sichder mittlere Gleiter beim Anstoß ein klein wenig bewegt.Indem er dadurch den dritten Gleiter anstößt, bewegter sich um die kleine Auslenkung wieder zurück.Ergebnis: Beim Kugelstoßversuch wird der Impuls derankommenden Kugel durch aufeinanderfolgende elastischeStöße von einer Kugel zur nächsten bis zur letztenKugel weitergegeben. ◀Um mehr über die physikalische Größe Impuls zu erfahren,sollen unelastische Stöße durchgeführt werden, beidenen die Gleiter nach dem Stoß zusammenbleiben.Versuch 2: Für den unelastischen Stoß wird an denStirnseiten der Gleiter Knetmasse angebracht. Wie zuvorstößt ein Gleiter mit der Geschwindigkeit υ gegeneinen ruhenden Gleiter. Die Massen der Gleiter von ​Der Impuls33.1 Unelastische Stöße eines bewegten Gleiters gegen einenruhenden Gleiter bei unterschiedlichen Massenverhältnissenm​ 1​= ​m​ 2​= m = 100 g können durch ein Zusatzgewicht∆ m = 100 g verdoppelt werden. Drei Versuche mit folgendenMassen werden durchgeführt:a) ​m​ 1​= m ​m​ 2​= m (Abb. 33.1 a)b) ​m​ 1​= m ​m​ 2​= 2 m (Abb. 33.1 b)c) ​m​ 1​= 2 m ​m​ 2​= m (Abb. 33.1 c)Beobachtung: Im Vergleich zum bewegten Gleiter vordem Stoß hat sich für die beiden Gleiter nach dem Stoßa) die Masse verdoppelt, die Geschwindigkeit halbiert;​b) ​die Masse verdreifacht, die Geschwindigkeit gedrittelt;c) ​die Masse um den Faktor ​_3 ​vergrößert, die Geschwindigkeitum den Faktor ​_2 ​verkleinert.32Ergebnis: Das Produkt aus Masse m und Geschwindigkeitυ ist vor und nach dem Stoß das Gleiche. ◀Wird das Produkt aus Masse m und Geschwindigkeit υals Impuls (Symbol p) eines Körpers definiert, so folgt,dass bei den durchgeführten Versuchen der Impuls desKörpers vor dem Stoß gleich dem Impuls nach demStoß ist. Dieses Prinzip der Impulserhaltung ist allgemeingültig,es wird in → 3.1 ausführlich behandelt.Der Impuls p eines sich mit der Geschwindigkeit υbewegenden Körpers der Masse m ist p = m υ.Die Einheit des Impulses ist [p] = [m υ] = 1 kg m/s.Aufgaben1. Bei einem Unfall stößt ein Kleinlaster (​m​ 1​= 1850 kg) unelastischgegen einen stehenden PKW (​m​ 2​= 850 kg). BerechnenSie die Geschwindigkeit υ′ nach dem Stoß.2. Bei Newtons Cradle schwingen zwei Kugeln weg, wenn zuBeginn zwei Kugeln gemeinsam angehoben und losgelassenwerden. Erklären Sie dies.3. In 2.2 wurde ein Versuch zur dynamischen Massenbestimmungdurchgeführt. Erklären Sie das Ergebnis ​m​ 1​/​m​ 2​=– ​υ​ 2​/​υ​ 1​mithilfe des Impulses.Dynamik33


DynamikDie Newton’schen Axiome2.4 Die Newton’schen AxiomeIm Jahr 1686 formulierte NEWTON in seinem Werk„Philosophiae naturalis principia mathematica“ erstmalsdie Grundgesetze der Mechanik, die als sogenannteAxiome als gültig vorausgesetzt und nicht weiter zurückverfolgtwerden. Aus ihnen können alle weiterenAussagen durch rein logisches Schließen hergeleitet unddurch Experimente überprüft werden.Im Bereich der makroskopischen Physik und bei Geschwindigkeiten,die wesentlich kleiner als die Lichtgeschwindigkeitsind, haben sich die Newton’schen Axiomebewährt. Bei größeren Geschwindigkeiten müssensie aber durch die Relativitätstheorie und im atomarenBereich durch die Quantenphysik ersetzt werden.2.4.1 Das erste Newton’sche AxiomNach dem Galilei’schen Trägheitsprinzip bewegt sichein Körper gleichförmig oder bleibt in Ruhe, d. h. seinImpuls bleibt konstant, solange er keinen äußeren Einwirkungenunterliegt. „Äußere Einwirkungen“, die dieGeschwindigkeit bzw. den Impuls eines Körpers ändern,sind Wechselwirkungen zwischen ihm und seiner Umgebung.NEWTONs Gedanke war es, die Wechselwirkung zwischenKörpern und ihrer Umgebung unter dem BegriffKraft zusammenzufassen und diese an ihrer Wirkung zumessen. Dazu erweiterte er das Galilei’sche Trägheitsprinzipmit der Feststellung, dass ein Körper, auf den keineKraft ausgeübt wird, sich nach dem Trägheitsprinzipverhält und dass sich daher weder der Betrag noch dieRichtung seiner Geschwindigkeit ändert.Erstes Newton’sches Axiom (Trägheitsprinzip):Ein Körper verharrt im Zustand der Ruhe oder dergleichförmigen Bewegung, solange keine äußerenKräfte auf ihn wirken.Ist ein Körper kräftefrei, dann bleibt seine Geschwindigkeitund damit auch sein Impuls (einschließlichp = 0) konstant. Umgekehrt kann keinesfalls aus einerkonstanten Geschwindigkeit bzw. aus der Konstanz desImpulses geschlossen werden, dass keine Kräfte auf denKörper wirken: Ist die Summe der äußeren Kräfte null,so bewegt sich der Körper, als wäre er kräftefrei.Unter Verwendung des Impulsbegriffs lautet NEWTONserstes Axiom:Der Impuls eines Körpers bleibt konstant, solangekeine äußeren Kräfte auf ihn wirken.2.4.2 Das zweite Newton’sche AxiomVon einer Kraft haben wir aufgrund unserer körperlichenErfahrung eine unmittelbare Vorstellung. Wirfühlen auch, ob für eine Tätigkeit mehr und wozuweniger Kraft nötig ist. Zum Aufheben und Tragen einesGegenstandes wird ebenso Kraft benötigt wie zumJoggen oder Fahrradfahren.Wir wissen, dass wir Kraft benötigen, um die Geschwindigkeiteines Körpers zu erhöhen, um einenbewegten Körper abzubremsen oder ihm eine andere Bewegungsrichtungzu geben. Die zu einer Geschwindigkeitsänderungnötige Kraft ist dabei von der Masse desKörpers abhängig. Es geht daher um eine Änderung desImpulses des Körpers. So überträgt z. B. der Athlet beimKugelstoßen der Kugel mit seiner Muskelkraft einen Impuls.Ist die Kraft groß, so ist auch die bewirkte Impulsänderunggroß.Versuch 1: Ein Gleiter auf einer Luftkissenfahrbahnwird über eine Rolle durch die Gewichtskraft auf einWägestück beschleunigt (Abb. 35.1). Die Auswertung derMessungen der Geschwindigkeit zeigt Abb. 35.2.In einer zweiten Messung wird die beschleunigendeGewichtskraft verdoppelt, wobei die insgesamt beschleunigteMasse (Gleiter und Wägestück) konstantgehalten wird.Ergebnis: Bei der Beschleunigung eines Körpers durcheine konstante Gewichtskraft wächst die Geschwindigkeitproportional zur Zeit an, d. h. die Beschleunigungist konstant. Abb. 35.2 zeigt ferner, dass eine doppelt sogroße Kraft einen doppelt so großen Anstieg der Geschwindigkeitverursacht, also eine doppelt so großeBeschleunigung. ◀Der Versuch zeigt, dass bei konstanter Masse m dieKraft F zur Beschleunigung a proportional ist:F ~ a bei m = konstantMit derselben Versuchsanordnung wird bei konstanterGewichtskraft die Abhängigkeit der Beschleunigungvon der Masse m (Gesamtmasse des Gleiters und desWägestücks) untersucht. Eine Versuchsreihe ergibt, dassbei konstanter Kraft F die Beschleunigung a umgekehrtproportional zur Masse m ist:a ~ 1 /m bei F = konstantWird also bei konstanter Kraft F die Masse des zu beschleunigendenKörpers verdoppelt bzw. verdreifacht,so sinkt die Beschleunigung auf die Hälfte bzw. auf einDrittel. Das bedeutet, dass bei konstanter Kraft F dasProdukt aus Beschleunigung a und Masse m ebenfalls34


Die Newton’schen AxiomeDynamik35.1 Ein Gleiter wird von einem Wägestück beschleunigt.Während des Vorgangs wirkt eine unveränderliche Kraft aufden Gleiter. Die Geschwindigkeit des Gleiters wird mithilfedes Computers registriert.35.2 Bei konstanter Zugkraft F wächst die Geschwindigkeitproportional zur Zeit, die Beschleunigung ist konstant. Einedoppelt so große Kraft ruft bei gleicher Masse eine doppelt sogroße Beschleunigung hervor.konstant ist. Diese Erkenntnis führt zur Definitionder Kraft als Produkt aus Masse und Beschleunigung,der sogenannten Grundgleichung der Mechanik. In einprägsamerKurzform:„Kraft gleich Masse mal Beschleunigung“.Grundgleichung der Mechanik:Die Kraft F, die einem Körper der Masse m dieBeschleunigung a erteilt, ist das Produkt aus derMasse m und der Beschleunigung a :F = m aIst F in der Zeit ∆ t konstant, folgt aus F = m a auchF = m ∆ υ /∆ t, da die Änderung der Geschwindigkeit ∆ υproportional zur Zeit ∆ t ist. Der Quotient m ∆ υ /∆ t beschreibtdie Änderung des Impulses der Masse m :F = m a = m ___ ​ ∆ υ ​ = ______ ∆ (m υ)​ ​= ___ ​ ∆ p∆ t ∆ t ∆ t ​Diese Gleichung gilt jedoch nur für den Fall, dass dieMasse m des Körpers unveränderlich ist. Auf diesemZusammenhang zwischen Kraft und zeitlicher Impulsänderungberuht die von NEWTON stammende Definitionder Kraft :Zweites Newton’sches Axiom (Aktionsprinzip):Die Kraft ​ ​__ ›F ​ ist der Quotient aus der Impulsänderung∆ ​__ ›​p ​ und der Zeit ∆ t , in der diese Änderungerfolgt:F = ___ ​ ∆ p∆ t ​ oder vektoriell ​​__ ›F ​= ​ ∆ ​​__ ›___p ∆ t ​Die Kraft ist ein Vektor, der in die Richtung der Impulsänderungweist.Die Kraft ist eine abgeleitete Größe, für die zu EhrenNEWTONs die Einheit Newton (1 N) eingeführt ist:[F ] = 1 ____ ​ kg m​s​ 2 ​ ​= 1 NBeim Bogenschießen wird der Pfeil durch die gespannteSehne beschleunigt, beim Flipperautomaten die Kugeldurch eine gespannte Feder. In beiden Fällen ist dieKraft während der Beschleunigungsphase nicht konstant.In solchen Fällen kann, analog zu den Überlegungenbei der Momentangeschwindigkeit (→ 1.1.3),auch für veränderliche Kräfte geschlossen werden, dassdie zur Zeit ​t​ 1​wirkende Kraft der Steigung der Tangenteim Zeit-Geschwindigkeit-Diagramm im Punkt P (​t​ 1​| ​υ​ 1​)entspricht. Mit mathematischen Methoden, die schonbei der Berechnung von Bewegungen angewandt wurden(→ S. 18), kann eine auch auf zeitlich veränder licheKräfte anwendbare Definition gegeben werden.Definition der Kraft: F = ​ lim ​ ___ ​∆ p∆ t → 0 ∆ t ​ = ___ ​d pd t ​ = p​ ​·Die Kraft ist die erste Ableitung des Impulses nachder Zeit.In der Newton’schen Definition der Kraft ist zugelassen,dass sich nicht nur die Geschwindigkeit υ ändert,sondern auch die Masse m. Dies geschieht z. B. beimRaketenantrieb durch den Ausstoß der Verbrennungsgase.Die zeitliche Impulsänderung ∆ p /∆ t = ∆ (m υ) /∆ tkann sowohl durch eine zeitliche Geschwindigkeitsänderung∆ υ /∆ t als auch durch eine zeitliche Massenänderung∆ m /∆ t zustande kommen.Aufgaben1. Ein PKW (m = 900 kg) erfährt eine Beschleunigunga = 4,5 m/​s​ 2 ​. Berechnen Sie die Kraft, die dabei von den Rädernauf den Wagen übertragen wird.2. Ein Junge bringt einen Ball der Masse m = 0,3 kg in der Zeit∆ t = 0,2 s auf die Geschwindigkeit υ = 8 m/s. Berechnen Sie,welche (durchschnittliche) Kraft er auf den Ball ausübt.3. Ein Zug der Gesamtmasse m = 600 t erreicht beim Anfahrenvon der Haltestelle aus auf der Strecke von 2,45 kmdie Geschwindigkeit 120 km/h. Berechnen Sie die konstanteKraft, mit der die Lokomotive den Zug zieht.35


DynamikDie Newton’schen Axiome2.4.3 Das dritte Newton’sche AxiomKräfte zwischen Körpern treten nie einzeln, sondernimmer paarweise auf. Dies zeigt ein Versuch mit Skateboards(Abb. 36.1). Immer ist die Kraft, die von der Personauf der einen Seite ausgeübt wird, entgegengesetztgleich groß der von der anderen Seite ausgeübten Kraft.Das gilt auch für abstoßende Kräfte. Es gilt:​__ ›​F 1​​= – ​__ ›​F ​2​Versuch 1: Auf einer Luftkissenfahrbahn werden zweiGleiter, zwischen denen eine Feder gespannt ist, durcheinen Faden zusammengehalten (Abb. 36.2).Beobachtung: Wird die Verbindung gelöst, so erhaltenbeide Gleiter durch die sich entspannende Feder währendder gleichen Zeit entgegengesetzt gerichtete Kraftstöße.Danach bewegen sich die Gleiter mit konstanterGeschwindigkeit auseinander.Ergebnis: Die Impulse sind, nachdem sich die Federzwischen den Gleitern entspannt hat, betragsmäßiggleich groß. In Vektorschreibweise ausgedrückt gilt:​__ ›​p 1​​= – ​__ ›​p 2 ​ ◀36.1 Unabhängig davon, ob sich die Personen auf beiden Seitenanziehen oder abstoßen, immer sind Kraft und Gegenkraft entgegengesetztgleich.36.2 Wird der Faden zwischen beiden Gleitern durchgebrannt,so übt die Feder, die sich nun entspannt, auf beide Gleitergleich große, aber entgegengerichtete Kräfte aus: Die Impulsesind entgegengesetzt gleich.Während des Versuchs ändern sich die Impulse derGleiter von 0 auf ​ ​__ ›p 1​​bzw. auf ​ ​__ ›p 2​​. Auch die Impulsänderungen∆ ​ ​__ ›p 1​​= ​ ​__ ›p 1​​– 0 und ∆ ​__ ›​p 2​​= ​__ ›​p 2​​– 0 sind betragsmäßiggleich groß, haben aber entgegengesetzte Richtungen:∆ ​ ​__ ›p 1​​+ ∆ ​__ ›​p 2​​= 0Da beide Impulsänderungen in der gleichen Zeit ∆ t vorsich gehen, ergibt sich nach Division durch ∆ t :​ ∆ ​​__ ›p 1 ​___∆ t ​= – ​∆ ​​__ p ›2 ___∆ t ​Da ​ ​__ ›F 1​​= ​ ∆ ​​__ p ›1​___∆ t ​bzw. ​​__ ›F 2​​= ​ ∆ ​​__ p ›2​___ ​gilt (→ 2.4.2), folgt:∆ t​__ ›​F 1​​= – ​__ ›​F 2 ​Die Erkenntnis, dass zu jeder Kraft (actio) auf einenKörper stets eine Gegenkraft (reactio) mit gleichem Betragauf einen anderen Körper existiert, formulierteNEWTON als drittes Axiom („actio gleich reactio“ ):Drittes Newton’sches Axiom (Reaktionsprinzip):Übt der Körper A die Kraft ​ ​__ ›F A​​auf den Körper B aus(actio), so übt auch B auf A die Gegenkraft ​ ​__ ›F B​​aus(reactio), die entgegengesetzt gleich der ersten Kraftist: ​ ​__ ›F A​​= – ​__ ›​F ​B​Die beiden Kräfte ​ ​__ ›F A​​ und ​ ​__ ›F B​​ werden als Wechselwirkungskräftebezeichnet. Wechselwirkungskräfte greifenimmer an zwei verschiedenen Körpern an.Beispiele für Wechselwirkungskräfte• Jeder Körper wird von der Erde mit der Ge wichtskraft ​F​ G​= m g angezogen. Umgekehrt zieht jeder Körper mitentgegengesetzt gleicher Kraft ​__ ›​F ​= – ​__ ›​F G​​ die Erde an.Angriffspunkt der Gewichtskraft ist der Schwerpunktdes Körpers, Angriffspunkt der Gegenkraft der Schwerpunkt(Mittelpunkt) der Erde (Abb. 37.1 a).• Stemmt man sich mit den Füßen gegen den Startblock(Abb. 37.1 b), so üben die Füße eine Kraft ​ ​__ ›F H​​auf denStartblock aus. Eine gleich große, entgegengesetzt gerichteteKraft ​ ​__ ›F W​ ​wirkt vom Startblock auf die Füße.• Beim Zusammenstoß zweier Autos sind die Kräfte,die beide Wagen erfahren, entgegengesetzt gleich groß,und zwar unabhängig von den möglicherweise unterschiedlichenMassen und Geschwindigkeiten der Wagen,die zusammenstoßen (Abb. 37.1 c).Wechselwirkungskräfte dürfen nicht mit Kompensationskräftenverwechselt werden. Die Wechselwirkungskräftegreifen nie am selben Körper an. Jedoch kann eine Kraftdurch eine Kompensationskraft, die am selben Körperin entgegengesetzter Richtung angreift, aufgehoben, d. h.kompensiert werden.36


KraftmessungDie Definition der Kraft als Impulsänderung ∆ p in derZeit ∆ t geht davon aus, dass eine auf einen Körperwirkende Kraft diesen beschleunigt. Der Quotient ausImpulsänderung und Zeit ist gleich der auf diesen Körperwirkenden Kraft. Das Verfahren der Kraft messung durchden Quotienten ∆ p /∆ t wird als dynamisches Messverfahrenbezeichnet.Im dynamischen Messverfahren wird eine Kraftdurch den Quotienten ∆ p /∆ t aus der Impulsänderung∆ p und der zugehörigen Zeit ∆ t oder durch dasProdukt aus Masse und Beschleunigung m a gemessen:F = ___ ​ ∆ p∆ t ​ oder F = m aWirkt eine Gewichtskraft ​F​ G​ auf eine fest aufgehängteSchraubenfeder, so verformt bzw. dehnt sich die Feder solange, bis die durch die Dehnung erzeugte Spannkraftder Feder ​F​ s​ der Gewichtskraft ​F​ G​ das Gleichgewichthält. Die auf die Feder wirkende Gewichtskraft ​F​ G​ unddie auf den Körper wirkende Federkraft ​F​ s​ sind Wechselwirkungskräfte,die im Gleichgewichtszustand entgegengesetztgleich groß sind.Im statischen Messverfahren wird eine Kraft F z. B.durch die von ihr erzeugte Verlängerung s einer Federgemessen. Dabei hält die Federkraft ​F​ s​ der zumessenden Kraft F das Gleichgewicht. Kraft F undFederkraft ​F​ s​sind Kompensationskräfte.37.1 Wechselwirkungskräfte: a) Die Erde zieht den Stein mitgleich großer Kraft an wie der Stein die Erde. b) Der Schwimmerübt auf den Startblock die gleich große Kraft aus wie der Startblockauf den Schwimmer. c) Beim Zusammenstoß übt jedesAuto auf das andere eine gleich große Kraft aus.Die Newton’schen Axiome2.4.4 Anwendungen der Newton’schenAxiomeAuf der Grundgleichung der Mechanik beruht die gesetzlichfestgelegte Definition der Krafteinheit 1 Newton:Die Krafteinheit 1 Newton (N) ist gleich der konstantenKraft, die einen Körper der Masse 1 kg in der Zeit 1 s ausder Ruhe auf die Geschwindigkeit 1 m/​s​ 2 ​beschleunigt.Die Kraft ​ ​__ ›F ​ und die Beschleunigung ​ ​__ ›a ​ sind Vektorenund haben beide dieselbe Richtung. Die Richtung derKraft ​ ​__ ›F ​ muss nicht die Richtung der Geschwindigkeit ​ ​__ ›υ ​sein, sie kann z. B. wie bei der Bewegung eines Körpersauf einer Kreisbahn senkrecht zum Geschwindigkeitsvektorstehen (→ 1.3.2 und 2.6).Die Grundgleichung der Mechanik ​ ​__ ›F ​ = m ​ ​__ ›a ​ ist eineder wichtigsten Beziehungen der Physik. Sie gibt denZusammenhang zwischen der Kraft, der Beschleunigungeines Körpers und seiner Masse an und lässt verschiedeneAnwendungen zu:• Sind die wirkende Kraft F und die Beschleunigung aeines Körpers bekannt, so kann die Masse durchm = F /a bestimmt werden.Beispiel: Die Massen m von Elementarteilchen (Elektron,Proton usw.) sind aus der Messung ihrer Beschleunigunga durch bekannte Kräfte F bestimmt worden.• Sind die auf einen Körper wirkende Kraft F und dessenMasse m bekannt, so ergibt sich seine Beschleunigungzu a = F /m.Beispiel: Bei einem Flugzeug sind die Schubkraft F unddas Startgewicht m bekannt, die Beschleunigung a kanndaraus berechnet werden. Damit ergibt sich dann auchdie Länge der benötigten Startbahn.Aus der beobachteten Beschleunigung ​ ​__ ›•a ​, die ein Körperbekannter Masse m erfährt, kann auf die wirkendeKraft ​ ​__ ›F ​ = m ​ ​__ ›a ​geschlossen werden.Beispiel Gewichtskraft: Im freien Fall (→ 1.1.5) fällt einKörper der Masse m mit der ortsabhängigen konstantenBeschleunigung a = g. Folglich wirkt nach der Grundgleichungauf ihn ständig eine ortsabhängige KraftF = m g, nämlich die Gewichtskraft ​F​ G​= m g.Die ortsabhängige Gewichtskraft ​F​ G​, die auf einenKörper der Masse m wirkt, ist das Produkt aus seinerMasse m und der Fallbeschleunigung g am Beobachtungsort:​F​ G​= m g.Die Grundgleichung F = m a enthält als Sonderfall dasTrägheitsgesetz (→ S. 30): Wenn auf einen Körper keineäußeren Kräfte wirken oder aber die Summe der äußerenKräfte null ist, so ist mit der (Gesamt-) Kraft F auch dieBeschleunigung a null, d. h. die Geschwindigkeit ändertsich nicht oder ist ebenfalls null.Dynamik37


DynamikDie Newton’schen AxiomeAufgaben1. Ein PKW mit der Masse m = 600 kg wird auf einer Streckevon 50 m durch die konstante Kraft F = 900 N abgebremst.Berechnen Sie die Anfangsgeschwindigkeit.*2. Ein PKW (m = 1000 kg) fährt bergan auf einer Straße mitdem Steigungswinkel α = 10°. Berechnen Sie (ohne Berücksichtigungvon Reibungskräften) die Kraft, die der Motorerzeugt, wenn das Auto bergan fährta) mit konstanter Geschwindigkeit;b) mit einer (konstanten) Beschleunigung von 0,2 m/​s​ 2 ​.c) Ermitteln Sie die Kraft, mit der das Auto in beiden Fällenauf die Straße drückt. Untersuchen Sie, wie sich diese Kraftverändert, wenn das Auto unter den Bedingungen a) und b)bergab fährt.*3. Im Aufbau nach Abb. 35.1 wird ein Gleiter der Massem = 200 g durch ein angehängtes Gewichtsstück von∆ m = 10 g beschleunigt. Bestimmen Sie die Beschleunigunga.*4. Über eine feste Rolle läuft eineSchnur, an deren beiden Endenzwei Körper mit den Massen ​m​ 1​und ​m​ 2​ (​m​ 1​< ​m​ 2​) gehängt werden.Beschreiben Sie den Bewegungsvorgang,der eintritt, wenn dieseAnordnung freigegeben wird.*5. Ein PKW (m = 720 kg) wird durch eine (konstante) BremskraftF = 4,37 kN auf einem Weg s = 68 m auf die Hälfte seinerGeschwindigkeit abgebremst.a) Berechnen Sie die Geschwindigkeit, aus der er abgebremstwurde.b) Ermitteln Sie, wie lange der Bremsvorgang gedauert hat.*6. Ein PKW (m = 900 kg) soll auf einer Strecke von l = 150 mvon der Geschwindigkeit ​υ​ 1​ = 10 m/s auf die Geschwindigkeit​υ​ 2​= 40 m/s beschleunigt werden. Bestimmen Sie die(konstante) Beschleunigung, die beschleunigende Kraft unddie Dauer des Vorgangs.7. Erläutern Sie, warum für einen Menschen hohe Beschleunigungenunmittelbar gefährlich sind, nicht aber hohe Geschwindigkeiten.8. Ein Verkehrsflugzeug (50 t) hebt nach dem Start bei einerGeschwindigkeit von 240 km/h ab, die Startbahn ist 1,2 kmlang.a) Berechnen Sie, wie lange der Startvorgang bei konstanterBeschleunigung dauert.b) Schätzen Sie ab, wie viel Zuladung noch mitgenommenwerden kann, wenn die Startbahn um 50 % länger ist.9. Ein Aufzug von 1,5 t Masse wird aus der Ruhe auf einerStrecke von 2,0 m auf eine Geschwindigkeit von 3,0 m/s bzw.– 3,0 m/s beschleunigt. Berechnen Sie die Kraft, mit der dasSeil am Fahrgastkorb zieht.10. a) Ein Fußballspieler tritt beim Elfmeter so heftig gegen denBall (m = 420 g), dass er für die 11 m bis zum Tor nur 0,4 sbenötigt. Der Beschleunigungsvorgang kann dabei als gleichmäßigauf einer 0,5 m langen Strecke angenommen werden.Berechnen Sie, mit welcher durchschnittlichen Kraft derSpieler gegen den Ball tritt.b) Der Torwart (m = 80 kg) springt hoch und fängt den Ballinnerhalb von 0,015 s. Ermitteln Sie, wie sich der durch denBall übertragene Impuls auswirkt.c) Statt zu fangen, entschließt sich der Torwart zu einerFaustabwehr. Berechnen Sie, welche Kraft dazu nötig ist,wenn der Ball in 0,01 s zurückgeschlagen wird und danneine Geschwindigkeit von 13 m/s hat.11. Ein mit Helium gefüllter Luftballon befindet sich an derDecke einer Straßenbahn. Begründen Sie, warum sich derBallon entgegen der Fahrtrichtung bewegt, wenn die Bahnbremst.12. Beobachten Sie die Libelle einerWasserwaage, wenn diese ruckartigzur Seite bewegt wird. ErklärenSie Ihre Beobachtungen.13. Eine Schwimmerin (m = 60 kg) drückt sich beim Start miteiner Kraft von F = 1 kN für 0,1 s vom Startblock ab. BerechnenSie, welche Geschwindigkeit sie dadurch erreicht.14. Erläutern Sie, warum ein Stuntman aus einem fahrendenZug nie gegen die Fahrtrichtung abspringt.15. Zeigen Sie an verschiedenen Beispielen, wie die Trägheiteines Autofahrers zu Verletzungen bei einem Unfall führenkann. Erklären Sie, in welchen Fällen Sicherheitsgurte, Kopfstützenund Airbags davor schützen können.16. Wenn eine Straßenbahn vor dem Halten allmählich abbremst,erfahren die Fahrgäste im Moment des Anhaltenseinen Ruck nach hinten.Erklären Sie diese Beobachtung.*17. Ein Schüler behauptet: „Ein Pferd zieht einen Pflug mitder Kraft F. Nach dem dritten Newton’schen Axiom ist dieReaktionskraft, die vom Boden auf den Pflug wirkt, – F. Dadie Summe beider Kräfte Null ist, kann das Pferd den Pflugnicht bewegen.“ Beurteilen Sie diese Überlegung.18. Der Lügenbaron Münchhausen erzählte, dass er sich, als ermit seinem Pferd in den Sumpf geraten war, selbst an seinemHaarschopf herausgezogen habe.Überprüfen Sie das Lügenmärchen unter Verwendungphysikalischer Begriffe.19. Untersuchen Sie was passiert, wenn ein schwerer Ball zusammenmit einem auf ihm liegenden leichteren zu Bodenfällt. Begründen Sie Ihre Beobachtung.20. Ein voll besetztes Kanu legt am Bootssteg an. Erläutern Sie,warum zuerst das Boot mit dem Steg fest verbunden werdensollte, bevor der erste Bootsfahrer an das Ufer springt.38


DynamikScheinkräfte und InertialsystemeExkursDie rotierende Erde – ein beschleunigtes BezugssystemDa die Erde sich dreht, ist sie kein Inertialsystem, sondernein beschleunigtes Bezugssystem, in dem Trägheitskräfteauftreten. Dies ist zum einen die Zentrifugalkraft und zumanderen die Corioliskraft, so genannt nach ihrem EntdeckerGaspard Gustave Coriolis (1792 – 1843).Die Corioliskraft bewirkt bei Bewegungen im beschleunigtenBezugssystem eine Ablenkung senkrecht zur Richtungder Geschwindigkeit. Das Zustandekommen dieserAblenkung zeigt die folgende Abbildung.Bewegt sich ein Körper ineinem ruhenden BezugssystemI geradlinig mit derGeschwindigkeit υ vomPunkt M zu einem festenPunkt Z, so hat er nach derZeit t die Strecke r = υ t zurückgelegt.Während dieserZeit dreht sich das BezugssystemII mit der Winkelgeschwindigkeitum denWinkel α = ω t, und derPunkt ​A​ 4​ des BezugssystemsII liegt auf der LinieMZ. Relativ zum rotierendenBezugssystem II hatder Körper also zusätzlichden Bogen b = r α =υ tω t = υ ω ​t​ 2 ​ zurückgelegt.Wird diese Bewegung alseine gleichmäßig beschleunigtemit der Gleichungb = _ ​ 1 ​​a​ 2 C ​​t​ 2 ​gedeutet, so ergibt der Vergleich die Coriolisbeschleunigung​a​ C​= 2 υ ω. Die Corioliskraft auf einen Körperder Masse m ist dann ​F​ C​ = 2 m υ ω. Die Punkte ​A​ 1​ , ​A​ 2​und ​A​ 3​liegen jeweils nach ​ _ 1 ​ t, ​ _ 1 ​ t und ​ _ 3 ​ t auf der Linie MZ. Die4 2 4Bahn des Körpers im rotierenden System ist eine Kurve. Füreinen Beobachter im rotierenden Bezugssystem erscheint diegekrümmte Bahn durch die Corioliskraft senkrecht zur Geschwindigkeitverursacht.Die Corioliskraft ist eine Trägheitskraft, die in rotierendenBezugssystemen auftritt. Sie wirkt senkrecht zur Richtungder Relativgeschwindigkeit eines Körpers im bewegtenBezugssystem. Auf der Nordhalbkugel der Erde bewirkt sieeine Rechtsablenkung, auf der Südhalbkugel eine Linksablenkung.der Erdoberfläche rotiertmit derselben Geschwindigkeitwie der Ort. DieBahngeschwindigkeit derOrte der Breite φ istυ = ω r = ω ​R​ E​cos φ , wobeiω die Winkelgeschwindigkeitder Erde ist. Die Bahngeschwindigkeitnimmtalso vom Äquator zum Polhin ab. Luftpakete, die aufgrundeines Druckgefällesauf der Nordhalbkugel vonNorden nach Süden strömen,haben eine kleinereBahngeschwindigkeit alsdie überströmten Orte. Siebleiben also hinter diesenzurück, was die Rechtsablenkungergibt. Für Luftmassen,die von Süden nachNorden strömen, die einegrößere Bahngeschwindigkeitals die überströmtenOrte haben und daher diesenvorauseilen, ergibt sichebenfalls eine Rechtsablenkung.Die Abbildungen zeigen,wie durch eine Rechtsablenkungder Luftmassenbeim Einströmen in einTiefdruckgebiet auf derNordhalbkugel ein linksdrehenderZyklon entsteht.Die Drehung der Erde wurde von Foucault im Jahre 1850im Pariser Pantheon eindrucksvoll mit einem 67 m langenPendel und einem 28 kg schweren Pendelkörper nachgewiesen.Auf den schwingenden Pendelkörper scheint dieCorioliskraft zu wirken, die an einem Ort auf der Erde mitder geografischen Breite φ den Betrag ​F​ C​= 2 m υ ω sin φ hat.Die Abbildung zeigt die prinzipielle Bahn des Pendels, wennder Pendelkörper die Pendelbewegung beginnt:a) ausgelenkt b) aus der Ruhelage herausDie Wirkung der Corioliskraft zeigt sich auf der Erde in derAblenkung von Wind- und Wasserströmungen. Die in dasäquatoriale Tiefdruckgebiet auf der Nordhalbkugel einströmendeLuft wird durch Rechtsablenkung zum Nordost-Passat. Auf der Südhalbkugel erfährt die zum Äquator strömendeLuft in entsprechender Weise eine Linksablenkung,sodass sie zum Südost-Passat wird. Dies erklärt sich infolgender Weise: Die Lufthülle über einem Ort der Breite φ46


2.8 Strömende MedienDas Verhalten strömender Medien, z. B. Flüssigkeiten oderGase, lässt sich mithilfe der Größen Geschwindigkeit undDruck beschreiben. Idealisierend wird angenommen:1. Die Strömung ist in jedem Raumpunkt gleichmäßig, d. h.weder Betrag noch Richtung der Geschwindigkeit sind zeitlichveränderlich.2. Das Medium ist inkompressibel.3. Im Medium bestehen keine Reibungskräfte.Abb. 47.1 zeigt den Verlauf der Luftströmung über einer Autokarosserie.Unter den obigen Annahmen gibt eine Stromliniedie Bahn von Teilchen des Mediums an. In jedem Punkt derStromlinie sind Betrag und tangential verlaufende Richtungder Geschwindigkeit zeitlich konstant.Grundsätzlich kann durch jeden Punkt des strömendenMediums eine Stromlinie gezeichnet werden. Abb. 47.2 zeigteine sogenannte Flussröhre, die von Stromlinien begrenzt ist.Da Stromlinien einander nicht kreuzen, tritt keine Materiedurch die Mantelfläche der Flussröhre. Daraus ergibt sich einZusammenhang zwischen dem Röhrenquerschnitt und derStrömungsgeschwindigkeit:An der Stelle P tritt in der Zeit ∆ t durch die Querschnittsfläche​A​ 1​ das Volumen ∆​V​ 1​ = ​A​ 1​ ​υ​ 1​ ∆ t mit der Masse∆ ​m​ 1​= ​ρ​ 1​∆​V​ 1​und bei Q durch die Querschnittsfläche ​A​ 2​ dasVolumen ∆​V​ 2​= ​A​ 2​​υ​ 2​∆ t mit der Masse ∆ ​m​ 2​ = ​ρ​ 2​ ∆​V​ 2​ . Da∆ ​m​ 1​= ∆ ​m​ 2​ist und wegen der Inkompressibilität ​ρ​ 1​ = ​ρ​ 2​ gilt,folgt daraus dieKontinuitätsgleichung: In einer idealen Strömung verhaltensich die Geschwindigkeiten an verschiedenenPunkten einer Stromlinie zueinander umgekehrt wie dieQuerschnittsflächen der Flussröhre:​A​ 1​​υ​ 1​= ​A​ 2​​υ​ 2​ bzw. ​υ​ 1​ : ​υ​ 2​ = ​A​ 2​ : ​A​ 1​Diese Gleichung wird durch alltägliche Erfahrungen bestätigt:Um z. B. mit einem Gartenschlauch weiter spritzen zukönnen, muss die Austrittsgeschwindigkeit des Wassers erhöhtwerden. Dies geschieht durch Verkleinern der Austrittsöffnung.In einem fließenden Gewässer ist die Fließgeschwindigkeitan einer Engstelle besonders groß.Aus der Kontinuitätsgleichung ergibt sich eine wichtigeInterpretation der Stromlinienbilder:Je enger die Stromlinien liegen, desto größer ist die Fließgeschwindigkeit.In einer Strömung ohne Einfluss der Schwerkraft sind Strömungsgeschwindigkeitund Druck durch das nach DanielBERNOULLI (1700 – 1782) benannte Gesetz verbunden:Gesetz von Bernoulli:​_1 ​ρ υ​22 1 ​+ ​p​ 1 ​= _ ​1 ​ρ υ​22 2 ​+ ​p​ 2 ​Dieses Gesetz sagt aus, dass in einer Strömung ohne Einflussder Schwerkraft der Druck in Bereichen hoher Strömungsgeschwindigkeitkleiner ist als in Bereichen geringerStrömungsgeschwindigkeit.Strömende Medien47.1 Untersuchung der Strömung im Windkanal. Der Strömungsverlaufwird durch Rauchteilchen sichtbar.47.2 Stromlinien begrenzen eine Flussröhre, durch derenMantelfläche keine Materie tritt. Materie, die an der StelleP eintritt, tritt an der Stelle Q wieder aus.47.3 In einer idealen Strömung wird das Volumenelement∆V = A ∆ x mit der Masse ∆ m = ρ ∆V durch die Druckdifferenzan den Stellen ​x​ 1​und ​x​ 2​in x-Richtung beschleunigt.Aufgaben1. Der Innendurchmesser eines Gartenschlauchs beträgt1,5 cm. Er ist an einen Sprenger mit 24 Öffnungen von1 mm Durchmesser angeschlossen. Bestimmen Sie die Geschwindigkeit,mit der das Wasser aus den Öffnungen desSprengers austritt, wenn es im Schlauch mit 1 m/s fließt.2. Bei einem Hurrikan strömt die Luft (Dichte ρ =1,2 kg/​m​ 3 ​) mit einer Geschwindigkeit von 90 km/h überein Hausdach. Berechnen Sie die Druckdifferenz zwischeninnen und außen sowie die Kraft, die auf ein Dachvon 100 ​m​ 2 ​Fläche wirkt.Dynamik47


DynamikStrömende MedienExkursVom Fliegen, Segeln und anderen StrömungseffektenDie aerodynamische AuftriebskraftObwohl das Fliegen mit einem Flugzeug heute alltäglich gewordenist, so ist doch das Phänomen „Fliegen“ faszinierendgeblieben. Welche gewaltigen Kräfte halten selbst sehr große,schwer beladene Transportflugzeuge noch in der Luft?Die dynamische Auftriebskraft, die ein Flugzeug gegen seineGewichtskraft in der Luft hält, entsteht durch die schnelle Bewegungdes Flugzeugflügels gegenüber der Luft. Dabei ist dasProfil des Flügels für die Luftströmung von entscheidenderBedeutung. Die Abbildung zeigt, dass die Stromlinien demFlügelprofil folgen. Ursache dafür ist, dass die Luft in einerdünnen Grenzschicht am Flügelmaterial haftet. Aus der Markierungvon Luftteilchen (a) vor und (b) nach der Umströmungist zu erkennen, dass die Luft an der gewölbten Oberseite desFlügels schneller als an der Unterseite fließt, d. h. eine größereRelativgeschwindigkeit hat.Weil Δ m = ρ A Δ r ist, folgtρ A Δ r __ ​ ​υ​ 2 r ​ = Δ p A, und deswegen gilt: ___ p​ΔΔ r ​ = ρ ​​υ​ __2 r ​ .Δ p ist die Druckdifferenz zwischen r und r + Δ r. Sie ist direktproportional zum Quadrat der Strömungsgeschwindigkeitund umgekehrt proportional zum Krümmungsradius derStromlinien.In einigem Abstand oberhalb des gekrümmten Flügelprofilsherrscht der Normaldruck ​p​ 0​. An der Flügeloberfläche ist derDruck also geringer als der Normaldruck. Das führt dazu, dassaufgrund des Druckgefälles in Strömungsrichtung die Luft ander Flügeloberfläche beschleunigt wird und so mit größererGeschwindigkeit strömt als an der Flügelunterfläche. Nachdem Gesetz von Bernoulli ist der Druck an der Flügeloberflächekleiner als an der Flügelunterfläche. Diese Druckdifferenz istdie Ursache für die dynamische Auftriebskraft ​F​ A​.Die größere Geschwindigkeit der Strömung an der Oberseitedes Flügels entsteht durch einen gegenüber dem Normaldruckgeringeren Luftdruck. Für diese Differenz des Luftdrucks istdie Krümmung der Stromlinien verantwortlich, wie die folgendeRechnung zeigt.Damit das LuftvolumenΔV = Δ r A mit der MasseΔ m = ρ ΔV der Krümmungfolgt, muss eine Beschleunigungzum Krümmungszentrumexistieren.Diese Zentripetalbeschleunigungentsteht durch eineDruckdifferenz Δ p = ​p​ a​ – ​p​ i​in Richtung des Krümmungsradius.Die zur konkavenSeite der Stromliniengerichtete Kraft ist dann ​F ​ Z​=​F​ a​ – ​F​ i​ = ​p​ a​ A – ​p​ i​ A = Δ p A.Für die Masse Δ m des Luftvolumensergibt sichΔ m ​υ​ 2 ​ /r = Δ p A.Die Abbildung zeigt im Querschnitt die Strömung der Luft umeinen schräg angestellten Flügel. Die Auftriebskraft ist dadurcherhöht, dass die Luftmassen einen nach unten gerichteten Impulserhalten. Der entgegengerichtete Impuls wirkt nach obenauf den Flügel. Dieser Effekt kann durch ausgefahrene Klappennoch verstärkt werden. Die gesamte Auftriebskraft entstehtdann durch die auf den Geschwindigkeitsunterschiedenberuhende Druckdifferenz zwischen Flügelunterseite und Flügeloberseiteund durch die Reaktionskraft der nach unten umgelenktenLuftmasse.Auftriebskraft ​F​ A​und Luftwiderstandskraft ​F​ L​bestimmen zusammenmit der Zug- oder Schubkraft ​F​ Z​des Antriebs die GesamtkraftF, die das Flugzeug (Gewichtskraft ​F​ G​) tragen muss.Betrachtet man statt des Querschnitts durch eine Tragflächeein dreidimensionales Modell, dann müssen auch die Randwirbelberücksichtigt werden, die an den Flügelenden entstehenund den Abwind hinter der Tragfläche stark beeinflussen.Diese Randwirbel entstehen durch den Ausgleich zwischendem Überdruck unter und dem Unterdruck über der Tragfläche.Die Luft strömt deshalb auf der Oberseite immer etwaszum Flugzeugrumpf hin und auf der Unterseite zu den Endender Tragflächen. Diese Querströmungen sorgen für Wirbel ander ganzen Hinterkante der Tragfläche, zusammen bilden sieeine Wirbelschleppe.48


Strömende MedienDynamikDer LuftwiderstandNeben der durch die Flügelformerzeugten Auftriebskraft wirktdie Luftwiderstandskraft ​F​ L​ =​ _ 1 ​ ​c​ 2 W ​ ρ A ​υ​2 ​auf Flugzeug und Flügel.Dabei sind ​c​W​der sogenannteWiderstandsbeiwert, ρ die vonHöhe, Luftdruck usw. abhängigeDichte der Luft, υ die Relativgeschwindigkeitvon Luft undFlugzeug und A die Querschnittsflächedes Profils.In Sportarten, in denen hohe Geschwindigkeitenerzielt werdensollen, versuchen Sportler ein Stromlinienprofil mit besondersgeringer Widerstandskraft zu erreichen. Das ist etwa bei vielenRad- und Wintersportarten der Fall.Kräfte beim SegelnBeim Segeln werden die Antriebskräfte beim „Am-Wind-Kurs“ und bei „Raumschots“ durch die Verformung der Luftströmungerzeugt.Bedingt durch das gewölbte Profil des Segels und den Anströmwinkeldes Windes strömt die Luft an der Luvseite mitgeringerer Geschwindigkeit als an der Leeseite am Segel vorbei.Dadurch entsteht auf der Luvseite ein Überdruck und aufder Leeseite ein Unterdruck. Dieser Druckunterschied führtzur aerodynamischen Kraft, zu der die Reaktionskraft der umgelenktenLuft hinzukommt.Ein weiterer Effekt ist die sogenannte „Düse“ zwischen Fockund Großsegel, die zum Zusammenpressen der Stromlinienund damit zu großer Strömungsgeschwindigkeit und damit zueinem noch geringerenDruck auf der Leeseitedes Großsegelsführt.Diese Kräfte setzensich zur Gesamtkraftzusammen, die jedochnicht in Fahrtrichtungdes Segelbootes wirkt.Erst durch das Unterwasserschiff,das zusammenmit dem Kieleine Abdrift in Richtungder Gesamtkraftverhindert, ergibt sicheine Komponente derGesamtkraft in Fahrtrichtung,die sogenannteVortriebskraft.Der Winkel zwischender Fahrtrichtung undder Windrichtung istim Allgemeinen größerals 40°.Kräfte auf rotierende BälleBei Ballspielen wie Fuß- und Handball, Tennis, aber vor allembeim Golf bringt die als Magnus-Effekt bezeichnete aerodynamischeErscheinung entscheidende Abweichungen vonder Bahn. Ein Tennisball, Golfball oder Fußball kann beimSchlag absichtlich oder unabsichtlich in eine Drehbewegungversetzt werden. Der rotierende Ball nimmt bei seiner Drehungdie in einer Grenzschicht an der Balloberfläche haftendeLuft mit. Um dies zu verstärken ist z. B. der Golfball mit einerVielzahl kleiner Dellen versehen.Die Abbildung zeigt (a) die Luftströmungum einen nicht rotierendenBall, (b) die Strömungum einen rotierenden Ball und(c) die Überlagerung beiderStrömungen. Dadurch ist dieStrömungsgeschwindigkeit inBezug auf die Bewegungsrichtungnicht mehr symmetrisch,und es tritt eine Kraft zur Seitemit der größeren Strömungsgeschwindigkeitauf. Diese Kraftsorgt je nach der Lage der Rotationsachsefür eine seitliche Abweichungvon der Flugbahn oderfür eine vertikale Abweichungvon der normalen, etwa parabelförmigenFlugbahn. Ein Golfballdreht sich 2000- bis 4000-mal inder Minute und fliegt bei 200 mReichweite mit einem Back-Spinetwa 20 m bis 30 m weiter als nach dem theoretischen Bahnverlauf.Diesen Effekt nutzte Anton FLETTNER (1885 – 1961) bei derErfindung der Flettnerrotoren: Auf einem Schiff werden zweihohe, stehende, rotierende Blechzylinder angebracht.Die Anströmung der sich drehenden Rotoren durch den Windbewirkt eine Kraft, die zum Antrieb des Schiffes genutzt wird.Diese Antriebsart ist sehr effizient und wird seit 1985 wiederauf Forschungsschiffen erprobt.49


DynamikGrundwissen DynamikMasseSchwere und Trägheit sind Eigenschaften der Masseeines Körpers.Die Einheit der Masse ist das Kilogramm: [m] = 1 kgImpulsDer Impuls eines Körpers ist das Produkt aus seinerMasse m und seiner Geschwindigkeit υ :p = m υ oder vektoriell: ​ ​__ ›p ​ = m ​ ​__ ›υ ​Die Einheit des Impulses ist: [ p] = 1 kg m/sNewton’sche AxiomeErstes Newton’sches Axiom (Trägheitsprinzip)Ein Körper verharrt im Zustand der Ruhe oder dergleichförmigen Bewegung, solange keine äußerenKräfte auf ihn wirken: ​ ​__ ›p ​ = konstant.Der Impuls eines Körpers bleibt konstant, solange keineäußeren Kräfte auf ihn wirken.Bezugssysteme, in dem frei bewegliche Körper demTrägheitsprinzip folgen, heißen Inertialsysteme.Galilei’isches Relativitätsprinzip:Es gibt unendlich viele gleichberechtigte Inertialsysteme.Zweites Newton’sches Axiom (Aktionsprinzip)Die Kraft ​ ​__ ›F ​ ist der Quotient aus der Impulsänderung∆ ​__ ›​p ​ und der Zeit ∆ t, in der diese Änderung erfolgt:F = ___ ​ ∆ p∆ t ​ oder vektoriell ​​__ ›F ​ = ∆ ​ ​​__ ›___p ∆ t ​Allgemein gilt: Die Kraft ​ ​__ ›F ​ist gleich der ersten Ableitungdes Impulses ​ ​__ ›p ​ nach der Zeit t :​__ ›​F ​ = ​lim ​ ​∆ ​​__ ›___p ∆ t → 0 ∆ t ​ = ___d ​ pd t ​ = ​__​ ​ · ›p ​Für Körper mit konstanter Masse m folgt:​__ ›​F ​ = d ​ (m ​​__ ›______ υ ​)​ = m ​ d ​​__ ›___ υ d t d t ​ = m ​​__ ›a ​Die Kraft ist ein Vektor, der in die Richtung der Impulsänderungweist. Sie hat die Einheit Newton:[F] = 1 ​____kg m​s​ 2 ​ ​= 1 NGrundgleichung der MechanikDie Kraft F, die einem Körper der Masse m die Beschleunigunga erteilt, ist das Produkt aus Masse undBeschleunigung: F = m a.Im Gravitationsfeld der Erde ist die Gewichtskraft aufeinen Körper der Masse m: ​F​ G​= m g.Drittes Newton’sches Axiom (Reaktionsprinzip)Übt der Körper A die Kraft ​ ​__ ›F ​A​auf den Körper B aus(actio), so übt auch B auf A die Gegenkraft ​ ​__ ›F B​​ aus(reactio), die entgegengesetzt gleich der ersten Kraftist: ​__ ›​F ​A ​= – ​​__ ›F B​​(Wechselwirkungskräfte).Den Impuls, den ein Körper bekommt, muss ein andererKörper abgeben.ReibungskräfteDie maximale Haftkraft und die Gleitreibungskraftsind direkt proportional zur Normalkraft, mit der einKörper auf die Unterlage drückt. Die Haftreibungsunddie Gleitreibungszahl hängen nur von der Beschaffenheitder Berührflächen zwischen Körper undUnterlage ab. Die Gleitreibungskraft ist unabhängigvon der Geschwindigkeit eines Körpers.KreisbewegungenDie zum Drehzentrum Z gerichtete Zentripetalkraft ​F​ Z​ , die einen Körper der Masse m bei konstanterWinkelgeschwindigkeit ω bzw. Bahngeschwindigkeit υauf einem Kreis mit dem Radius r hält, ist​F​ Z​= m ​ω​ 2 ​r = m ​υ​ 2 ​/r oder vektoriell ​ ​__ ›F Z​​= – m ​ω​ 2 ​​ ​__ ›r ​.Hört die Wirkung der Zentripetalkraft auf, so behältder Körper nach dem Trägheitsprinzip seinen momentanenImpuls bei: Er bewegt sich mit der Bahngeschwindigkeitgeradlinig weiter, tangential zur Kreisbahn.Trägheits- oder Scheinkräfte:Trägheitskräfte treten nur in beschleunigten Bezugssystemenauf, jedoch nicht in Inertialsystemen. FürScheinkräfte gibt es keine Wechselwirkungskräfte wiesonst nach dem 3. Newton’schen Axiom zu jederKraft.Im beschleunigten System einer Kreisbewegung ist dieZentrifugalkraft ​FZ∙​​ als Scheinkraft Kompensationskraftzur Zentripetalkraft ​ ​__ ›F Z​​= – m ​ω​ 2 ​​ ​__ ›r ​, sodass für dieZentrifugalkraft gilt: ​ ​__ ›FZ​′​​= – m ​ω​2 ​​ ​__ ›r ​50


1. Berechnen Sie die Antriebskraft einer Lokomotive, dieeinem Zug (m = 700 t) die Beschleunigung a = 0,2 m/​s​ 2 ​ erteilt.2. Auf einen Sportwagen (m = 900 kg) wirkt beim Beschleunigeneine Kraft von 1,5 kN. Berechnen Sie, in welcher Zeitder Wagen dadurch von 0 km/h auf 100 km/h beschleunigenkann.3. Stößt man einen Hammer mit dem Stiel nach unten aufden Boden, so wird der Hammerkopf auf den Stiel gekeilt.Erklären Sie diesen Vorgang.4. Erklären Sie, warum ein laufender Mensch, der stolpert,stets in Richtung seiner Bewegung fällt, während ein aufEis ausrutschender Mensch immer nach hinten fällt.5. Die bei der Beschleunigung einer Last am Kran auftretendenKräfte werden durch einen Zuschlag von 2,5 % zurLast kalkuliert. Ermitteln Sie, welche Beschleunigung dadurchberücksichtigt wird.6. Eine Kugel der Masse 2 kg bewegt sich mit der Geschwindigkeitυ = 10 m/s. Bestimmen Sie ihren Impuls.7. Bei der Klassenfahrt mit dem Reisebus verlangt der Fahrer,dass alle auf ihren Plätzen sitzen sollten, niemand sollteherumlaufen oder im Gang stehen. Untersuchen Sie, obdie Anweisungen des Busfahrers auch physikalische Gründehaben und bewerten Sie seine Anweisungen.8. Ein Boot der Masse 30 kg treibt auf einem See. Ein Junge(45 kg) springt mit 3 m/s in das Boot. Bestimmen Sie dieGeschwindigkeit des Bootes nach dem Sprung.9. Überprüfen Sie, wie sich der Bremsweg ändert, wenn derVorgang unter sonst gleichen Bedingungen auf dem Mondstattfindet.10. Ein Eisstock (m = 5 kg) wird mit υ = 10 m/s abgestoßen, ergleitet auf dem Eis 50 m weit. Berechnen Sie für diesenVorgang die Gleitreibungszahl.11. Ein Torwart (m = 70 kg) springt hoch und fängt den Ball(m = 450 g, υ = 30 m/s). Berechnen Sie die Geschwindigkeit,mit der beide zusammen nach hinten fliegen. UntersuchenSie, ob sich diese Geschwindigkeit ändert, wennsich der Torwart zu einer Faustabwehr entschließt und denBall nicht fängt.12. Berechnen Sie die Anzahl der Umdrehungen pro Minuteeines Fahrradreifens (Durchmesser = 711 mm = 28 Zoll)bei einer Geschwindigkeit von υ = 18 km/h.13. Aus der Gleichung F = m ​υ​ 2 ​/r folgt, dass F antiproportionalzu r ist; nach der Gleichung F = m ​ω​ 2 ​ r sind sie aberproportional zueinander. Erklären Sie dies.14. Berechnen Sie die Bahngeschwindigkeit durch die Erdrotationje einer Person am Äquator und in Kassel.Wissenstest Dynamik15. Eine Festplatte dreht sich mit 5400 Umdrehungen pro Minute.Der äußere Rand hat einen Abstand von 5 cm vonder Mitte. Berechnen Sie die Bahngeschwindigkeit einesPunktes in diesem Abstand.16. Eine Spielzeugautobahn enthältein Looping mit 50 cmDurchmesser.Ermitteln Sie die Geschwindigkeit,mit der ein Fahrzeugden höchsten Punkt durchfahrenmuss, um nicht herunterzufallen.17. Eine Waschmaschine (r = ) schleudert mit 1200 Umdrehungenpro Minute. Berechnen Sie die Kraft, mit der einWassertropfen (m = 1 g) dabei nach außen gedrückt wird.18. Begründen Sie, dass ein Auto in einer nicht überhöhtenKurve bei zu hoher Geschwindigkeit aus der Kurve getragenwird. Überprüfen Sie, ob diese zulässige Höchstgeschwindigkeitauf der Innen- und der Außenbahn der Kurve identischist, wenn alle anderen Bedingungen gleich sind.19. Bei einem Kettenkarussell sind alle Sitze jeweils an vier jeweils5 m langen Ketten in einem Abstand von 4 m von derDrehachse aufgehängt.a) Skizzieren Sie das Karussell und die während einerFahrt auf den Mitfahrer (m = 50 kg) wirkenden Kräfte. BeschreibenSie die Beziehungen dieser Kräfte zueinander.b) Bei einer Fahrt werden die Ketten um 40° ausgelenkt.Berechnen Sie dafür die Zeit für eine Umdrehung des Karussellsund die Zugkraft in den Ketten.20. Zur Vorbereitung auf Raumflüge trainieren Raumfahrermithilfe großer Zentrifugen. Hier setzen sie sich durchRotation einem sehr starken Andruck aus. Sie sitzen etwa9 m vom Drehpunkt der Zentrifuge entfernt in einer Kabine.Berechnen Sie die Umdrehungszahl, mit der die Kabinerotieren muss, damit ein Andruck von 8 g (das Achtfacheder Fallbeschleunigung auf der Erde) entsteht.21. Die untenstehende Abbildung zeigt zwei gleiche Sanduhrenauf einer Tafelwaage.a) Begründen Sie, dass die Waage im Gleichgewicht ist,während der Sand in der rechten Sanduhr aus dem oberenin den unteren Teil fließt.b) Was würde eine sehr empfindliche Tafelwaage beim Beginndes Versuchs anzeigen, wenn der fallende Sand nochnicht auf dem Boden angekommen ist; was würde sie amEnde anzeigen, wenn sich noch Sand im Fall befindet?Dynamik51

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