R - Grundlagen der Elektrotechnik - Prof. Palme

Feldstärken im geschichteten Dielektrikum:QD1 D 2QEE12r 2r1D im Abstand r einer Punktladung Q:EQ4 r 20 rrrmit Gl. (1.4) folgt:D(r) 0r E(r)Q r 24 r rQ erA(r)+QFalls D auf der Fläche A konstant ist, gilt: Q DA(r)Verallgemeinerung:Gauß'scher Satz: Q D dA(1.5)Veranschaulichung des Gauß'schen Satzes:G. Buch, T. Küpper, FK03 Grundlagen der Elektrotechnik 1.5

1.5. Das homogene elektrische Feld:QQQÄquipotentialflächen:Homogen:QDie elektrische Spannung im homogenen Feld: U E l(1.10)G. Buch, T. Küpper, FK03 Grundlagen der Elektrotechnik 1.8

1.6.3. Der Kugelkondensator:QRiQRaC4 RR Raai Ri(1.13)Herleitung: Vorlesung1.6.4. Der Zylinderkondensator:QQRiRa Ra R iC2 RalnRi(1.14)Herleitung: VorlesungG. Buch, T. Küpper, FK03 Grundlagen der Elektrotechnik 1.10

1.6.5. Energieinhalt eines Kondensators: Im Feld des Kondensators ist elektrische Energie gespeichert Bei Entladung kann Energie wiedergewonnen werdenElektrostatik: W12 Q U12Hier: Beim Aufladen nimmt die Spannung in Abhängigkeit derLadung auf den Platten ständig zu:Aufladevorgang: q(t) und u(t) sind zeitveränderliche GrößenCq(t)u(t)q(t)u(q)u(q)1C qWQ0 0Q0dW Q1 q dqC1 1 qC 21 2 Q2 Cu(q) dq2Q0Energieinhalt eines Kondensators:W12QC121222 QU CU(1.15)G. Buch, T. Küpper, FK03 Grundlagen der Elektrotechnik 1.11

1.6.6. Zusammenschaltung mehrerer KondensatorenParallelschaltung:Herleitung: VorlesungCgesn C1 C2 Cn Ci(1.16)i1Serienschaltung:Herleitung: Vorlesung111CgesC1C2Cni11n1Ci(1.17)G. Buch, T. Küpper, FK03 Grundlagen der Elektrotechnik 1.12

1.6.7. Kondensatoren mit inhomogenen Dielektrikaa)C Cd01 C2 r1 A1 r2 A2(1.18)b)C12 A d d2112(1.19)G. Buch, T. Küpper, FK03 Grundlagen der Elektrotechnik 1.13

B1 Übungsaufgaben zur Elektrostatik (Wermuth/Kortstock)Aufgabe 1Eine Punktladung Q = 10 nC befinde sich im Vakuum (weit entferntvon anderen Ladungen).1.1 Wie groß ist die el. Feldstärke E im Abstand r 1 = 24 cm?1.2 Skizzieren Sie den Verlauf der elektrischen Feldstärke E inAbhängigkeit vom Abstand r von der Punktladung Q.1.3 Welche Kraft wirkt im Abstand r 1 = 24 cm von der Punktladungauf ein Elektron (Elementarladung e = -1,6·10 -19 As)?1.4 Welche Spannung U besteht zwischen zwei Punkten, die vonder Punktladung r 1 = 24 cm bzw. r 2 = 50 cm entfernt sind?(E = 1,56 kV/m; F = -2,5·10 -16 N; U = 195 V)Aufgabe 2Zwei Kondensatoren C 1 = 1 µF und C 2 = 4 µF werden in Reihegeschaltet und an eine Spannung U = 5000 V gelegt.2.1 Wie groß ist die Gesamtkapazität C g der Serienschaltung?2.2 Wie groß sind die beiden Teilspannungen U 1 und U 2 an denbeiden Kondensatoren?(C g = 0,8 µF; U 1 = 4000 V; U 2 = 1000V)G. Buch, T. Küpper, FK03 Grundlagen der Elektrotechnik 1.14

B1 Übungsaufgaben zur Elektrostatik (Wermuth/Kortstock)Aufgabe 3Ein Plattenkondensator mit Luft als Dielektrikum hat einen Plattenabstandd = 1 cm und eine Kapazität C 0 = 60 pF. Dieser Kondensatorwird an eine Gleichspannungsquelle U = 5000 V angeschlossen.3.1 Wie hoch ist die elektrische Feldstärke E zwischen den Platten?3.2 Wie groß ist die im Kondensator gespeicherte el. Energie W el ?3.3 Parallel zu den Kondensatorplatten wird nun eine Glasplatte mitder Dicke a = 0,5 cm und der relativen Dielektrizitätskonstantenε r = 5 eingeschoben.3.3.1 Wie groß ist nun die Kapazität C ges ?3.3.2 Wie hoch sind die el. Feldstärken E L und E G in der Luft undim Glas?3.3.3 Wie groß ist die im Kondensator gespeicherte Energie W e2 ?(E = 500 kV/m; W e1 = 750 µJ; C ges = 100 pF; E L = 833 kV/m;E G = 167 kV/m; W e2 = 1,25 mJ)G. Buch, T. Küpper, FK03 Grundlagen der Elektrotechnik 1.15

2. Gleichstrom2.1. Stromstärke i,I:Potentialdifferenzen = Spannung elektrischer StromDefinition:dqi dt(2.1a)über Zeit konstant (Gleichstrom):QI t(2.1b)Betrachtung der Einheiten:Stromstärke: Ladungstransport pro Zeiteinheittechnische Stromrichtung:physikalische Stromrichtung:Erzeugung einer Potentialdifferenz: Quellenspannung UMechanischer Vergleich:G. Buch, T. Küpper, FK03 Grundlagen der Elektrotechnik 2.1

2.2. Stromdichte s, S:I1A1I2A2Definition:dis dA(2.2a)bei homogenem Material und Gleichstrom:(S über Zeit und Fläche konstant)IS A(2.2b)Betrachtung der Einheiten:G. Buch, T. Küpper, FK03 Grundlagen der Elektrotechnik 2.2

2.3. Ohmsches Gesetz:IURProportionalitätskonstante R: elektrischer WiderstandOhmsches Gesetz:UR I(2.3)Betrachtung der Einheiten:Elektrischer Leitwert:IG 1 R U(2.4)Betrachtung der Einheiten:Lineare Widerstände: R konstant (Strom-Spannungskennlinie)G. Buch, T. Küpper, FK03 Grundlagen der Elektrotechnik 2.3

2.4. Widerstand R und Leitwert G:Feststellung: R ist abhängig von: geometrischen Abmessungen MaterialeigenschaftenAl : spezifischer WiderstandRl A(2.5)bzw. mit 1: spezifischer LeitwertRl A(2.6)G. Buch, T. Küpper, FK03 Grundlagen der Elektrotechnik 2.4

Abhängigkeit des ohmschen Widerstandes von der Temperatur: Temperaturkoeffizient RR T RT2 RT1 R RT1T RT1Abhängigkeit des ohmschen Widerstandes von der Temperatur:RT2 RT1 1T(2.7)Allgemeine Angaben: , bei 20C R20 CLeiter: im allg. 0 Widerstand nimmt mit der Temperatur zu:Beispiele:Leiterwerkstoff in μ m in MS inm1 KSilber 0,0165 60,6 3,710Kupfer 0,0176 56,8 3,910Aluminium 0,0278 36 3,710Messing0,075 13,3(62% Cu, 38% Zn)1,610-3-3-3-3G. Buch, T. Küpper, FK03 Grundlagen der Elektrotechnik 2.5

B2 Übungsaufgaben zum Gleichstrom (Wermuth/Kortstock)Aufgabe 1In einer Wolfram-Glühlampe für Gleichstrom (12 V, 6 W, Blinkerim Kfz), fließt ein Strom I = 0,5 A.1.1 Wie groß ist die Stromdichte S 1 im Glühfaden (d 1 = 100 µm)?1.2 Wie groß ist die Stromdichte S 2 in der Zuleitung zur Glühlampe(d 2 = 1,5 mm)?(S 1 = 63,7 A/mm²; S 2 = 0,283 A/mm²)Aufgabe 2Berechnen Sie bei Raumtemperatur T = 20°C den Widerstand Reines Kupferdrahts mit der Länge l = 5 m und dem QuerschnittA = 3 mm² (spez. Widerstand ϱ Cu = 1,79·10 -8 Ωm).2.1 Wie groß ist der Widerstand R Cu ?2.2 Wie hoch ist die Stromdichte S, wenn durch diesen Draht einStrom I = 10A fließt?2.3 Welchen Widerstand R hat ein Draht mit den gleichenAbmessungen aus Aluminium? (ϱ Al = 2,6·10 -8 Ωm)(R Cu = 29,8 mΩ; S = 3,33 A/mm²; R Al = 43,3 mΩ)G. Buch, T. Küpper, FK03 Grundlagen der Elektrotechnik 2.6

B2 Übungsaufgaben zum Gleichstrom (Wermuth/Kortstock)Aufgabe 3Die mehrlagige Kupferwicklung einer Zylinderspule hat eineninneren Durchmesser d i = 50 mm und einen äußeren Durchmesserd a = 184 mm. Die Windungszahl beträgt N = 2160 Windungen undder Drahtdurchmesser d = 2,0 mm.3.1 Wie groß ist die gesamte Drahtlänge l?3.2 Wie groß ist der Widerstand R der Wicklung (κ = 56 MS/maus Tabelle) bei T 1 = 20°C und T 2 = 75°C (α = 4·10 -3 1/grd)?(l = 793,9 m; R 20°C = 4,51 Ω; R 75°C = 5,5 Ω)G. Buch, T. Küpper, FK03 Grundlagen der Elektrotechnik 2.7

3. Stromkreisberechnungen3.1. Zählpfeilsysteme:P U IErzeugerzählpfeilsystem:IVerbraucherzählpfeilsystem:IUU Leistungserzeugung LeistungsverbrauchG. Buch, T. Küpper, FK03 Grundlagen der Elektrotechnik 3.1

3.2. Knotenpunktregel (1. Kirchhoffsches Gesetz):In einem Knotenpunkt kann weder Ladung gespeichertnoch erzeugt werden, daher ist die Summe der zufließendenStröme gleich der Summe der abfließenden Ströme:Ik 0(3.1)kgrafische Veranschaulichung:Beispiel:3.3. Maschenregel (2. Kirchhoffsches Gesetz):Die Summe aller in einer Masche auftretenden Spannungenist Null:Uk 0(3.2)kgrafische Veranschaulichung:Beispiel:G. Buch, T. Küpper, FK03 Grundlagen der Elektrotechnik 3.2

3.4. Reihen- und Parallelschaltung von Widerständen:Reihenschaltung:IURgesR1 R2 R3Rn Ri(3.3)iSpannungsteiler:IUUR11UR22UR R12(3.4)G. Buch, T. Küpper, FK03 Grundlagen der Elektrotechnik 3.3

Parallelschaltung:IU1RGgesges1R G111R G221RGnniiG1Rii(3.5)Stromteiler:IUIGgesI1G1IG22(3.6)G. Buch, T. Küpper, FK03 Grundlagen der Elektrotechnik 3.4

3.5. Spannungs- und Strommessung:1. Strommessung:I IOAMAARMAU R URDie Stromstärke I soll durch das Amperemeter möglichst nichtbeeinflusst werden:R MA R(3.7)G. Buch, T. Küpper, FK03 Grundlagen der Elektrotechnik 3.5

Erweiterung des Strommessbereiches:Höherer Strom soll messbar sein: nur genau festgelegter Anteil des Gesamtstromes wirddurch das Messwerk geleitet Parallelschaltung eines Widerstandes RN (Shunt)IIMRAMAINRNWertebereich soll um das n-fache vergrößert werden:Wie groß mussRN sein?RMARN n 1(3.8)G. Buch, T. Küpper, FK03 Grundlagen der Elektrotechnik 3.6

2. Spannungsmessung:R1R1U R UMVU R UOVVRMVDie Spannungwerden:UR soll durch das Voltmeter möglichst nicht beeinflusstR MV R(3.9)G. Buch, T. Küpper, FK03 Grundlagen der Elektrotechnik 3.7

Erweiterung des Spannungsmessbereiches:Höhere Spannung soll messbar sein: nur genau festgelegter Anteil der zu messenden Spannungfällt am Messwerk ab Serienschaltung eines WiderstandesRVRURVVUMUVWertebereich soll um das n-fache vergrößert werden:Wie groß mussRV sein?RRn 1V MV(3.10)G. Buch, T. Küpper, FK03 Grundlagen der Elektrotechnik 3.8

3. Gleichzeitiges Messen von Strom und Spannung:stromrichtiges Messen:IRRMV VUVRMAARUAURspannungsrichtiges Messen:ARMAIARMV VIVUVIRRU RG. Buch, T. Küpper, FK03 Grundlagen der Elektrotechnik 3.9

3.6. Zweipoltheorie:Zweipol: zwei Anschlussklemmen („Pole“), auch „Eintor“1. passive lineare Zweipole:Zusammenfassung der Widerständezu einem Ersatzwiderstand:(nur passive Bauteile)Strom-Spannungskennlinie:2. aktive lineare Zweipole:ideale Quellen:U I00ideale Spannungsquelle:ideale Stromquelle:U U 0 unabhängig von der Belastung I I0unabhängig von der BelastungStrom-SpannungskennlinienG. Buch, T. Küpper, FK03 Grundlagen der Elektrotechnik 3.10

eale Quellen:reale Spannungsquelle:RiVerluste innerhalb der Quelle:reale Stromquelle:U I00RiMit zunehmender Stromentnahmenimmt die Quellenspannung abmit zunehmender Spannungsbelastungnimmt Quellenstrom abStrom-Spannungskennlinienäquivalent für:UU0L I 0R ibzw. (3.11)Ik R Herleitung: VorlesungBelastungskennlinie:iG. Buch, T. Küpper, FK03 Grundlagen der Elektrotechnik 3.11

Reihenschaltung von aktiven, linearen Zweipolen:R iRi,1U0,1ˆU0Ri,2U0,2URi0jjUR0, ji,j(3.12)Parallelschaltung von aktiven, linearen Zweipolen:RiU U0,10, 2ˆRi,1R i,2U 0Ri,1I I I0,2 Ik,20,1k,1I0 I kˆRiRi,2IkGRUii0jIj1GikIk , jGi,j RimitmitIk , jGi,jUR0, ji,j1Ri,j(3.13)Beispiele:G. Buch, T. Küpper, FK03 Grundlagen der Elektrotechnik 3.12

3.7. Arbeit und Leistung in Gleichstromkreisen:1. Elektrische Arbeit (Energie) W:IURW I Ut I22U R tRBetrachtung der Einheiten:t(3.14)2. Elektrische Leistung P:22 UP I U I R (3.15)RBetrachtung der Einheiten:G. Buch, T. Küpper, FK03 Grundlagen der Elektrotechnik 3.13

3. Leistungsanpassung:Verbraucher R an Quelle (aktiver Zweipol)Welche maximale Leistung kann am Verbraucher R umgesetzt werden?RiIU0U RPR I2 U20RRR 2i im Leerlauf R , d.h. I 0: P=0im Kurzschluss R 0,d.h. U 0: P=0Wie groß muss R sein, damit P maximal wird? Herleitung VorlesungLeistungsanpassung:Für R R wird P maximal (3.16)iDie Leistung beträgt in diesem Fall:2U0U0Pmax 4R 4R(3.17)Definition: AnpassungsverhältnisR ii2R (3.18)G. Buch, T. Küpper, FK03 Grundlagen der Elektrotechnik 3.14

4. Wirkungsgrad:Definition des Wirkungsgrades:Verhältnis der Leistung P, die am Verbraucher umgesetzt wird zurGesamtleistung P0 der Quelle:P (3.19)P 0 PP0RR Ri1für 1: 12(3.20)P und in Abhängigkeit von : GrafikBetriebszustände einer aktiven Quelle:LastLeistungQuelle P 0LeistungLast PWirkungsgradKurzschluss R = 02U 0P0=RiP =0 = 0UnteranpassungR < R iP=U20 0 1R+ Ri0 < P< Pmax 0< R iP=U20 0 Leerlauf R = 01R+ RP0 = 0i0 < P< Pmax 0,5<

B3 Übungsaufgaben zur StromkreisberechnungAufgabe 1Die in Abb. 1 gezeigte Schaltung (aktiver Zweipol) soll in eineErsatzschaltung nach Abb. 2 umgerechnet werden.Abb. 1 Abb. 21.1 Bestimmen Sie allgemein die Leerlaufspannung U 0 , den InnenwiderstandR i und den Kurzschlussstrom I k .1.2 Es sind nun folgende Werte gegeben: U e = 150 V, U a = 50 Vim Leerlauf. Bei einem Strom von I = 0,5 A soll U a = 45 Vbetragen. Wie groß müssen R 1 und R 2 sein?1.3 Wie groß muss ein Belastungswiderstand R a (passiver Zweipol)sein, damit er die größtmögliche Leistung P max aufnimmt?1.4 Wie groß ist diese Leistung P max ?1.5 Ermitteln Sie grafisch die Spannung U und den Strom I für denAnpassungsfall nach 1.4, indem Sie die U-I-Kennlinie für denaktiven und den passiven Zweipol zeichnen.(R 1 = 30 Ω; R 2 = 15 Ω; R a = 10 Ω; P max = 62,5 W)G. Buch, T. Küpper, FK03 Grundlagen der Elektrotechnik 3.16

B3 Übungsaufgaben zur StromkreisberechnungAufgabe 2An den Klemmen einer Autobatterie werden bei wechselnder Lastfolgende Wertepaare für Spannung und Strom gemessen:2.1 Bestimmen Sie die Leerlaufspannung U 0 und den InnenwiderstandR i der Batterie.2.2 Die Batterie wird mit einem Widerstand R = 0,2 Ω belastet.Wie hoch ist der Wirkungsgrad η dieser Schaltung?(U 0 = 12 V; R i = 20 mΩ; η = 0,91)Aufgabe 3Der Messbereich eines Amperemeters soll auf den zehnfachen Werterweitert werden. Dies geschieht durch Parallelschalten eines sog.Shunt-Widerstands. Ermitteln Sie allgemein den Wert R p des Shunt-Widerstands bei gegebenem Innenwiderstand R i des Amperemeters.(R p = R i / 9)G. Buch, T. Küpper, FK03 Grundlagen der Elektrotechnik 3.17

B3 Übungsaufgaben zur StromkreisberechnungAufgabe 4Drei lineare Zweipolquellen (Batterien) A, B, C mit den QuellenspannungenU a = 2,02 V, U b = 2,2 V, U c = 1,06 V und den innerenWiderständen R a = 0,6 Ω, R b = 0,01 Ω und R c = 3,0 Ω sind hintereinandergeschaltet und speisen einen Verbraucher vom WiderstandR = 6,95 Ω.4.1 Skizzieren Sie die Schaltung.4.2 Wie groß ist der vom Verbraucher aufgenommene Strom I?4.3 Wie groß ist der Strom I', wenn Batterie C entfernt wird?4.4 Geben Sie die beiden möglichen Zweipolersatzschaltbilder fürdie Zusammenschaltung der drei Batterien an.(I = 0,5 A; I' = 0,56 A)G. Buch, T. Küpper, FK03 Grundlagen der Elektrotechnik 3.18

Klausuraufgabe WS 2000/01Aufgabe 3In der dargestellten Schaltung soll die Spannung U a am Schleiferanschlussdes Potentiometers von U amin = 4 V bis U amax = 5 V(obere Endlage des Schleifers) veränderbar sein.3.1 Berechnen Sie die Werte von R 1 und R 2 für R 3 = 10 Ω.3.2 Nehmen Sie für die weitere Berechnung folgende Werte fürdie Widerstände an: R 1 = 380 Ω, R 2 = 80 Ω, R 3 = 20 Ω, derSchleifer sei an der unteren Endlage fixiert.3.2.1 Stellen Sie die Schaltung bezüglich der Klemmen a und bals Ersatzspannungsquelle dar und berechnen Sie die KenngrößenU qers , R i und I K des Spannungsquellen-Ersatzschaltbilds.(Ersatzwerte: U qers = 3 V, R i = 100 Ω, I K = 30 mA)3.2.2 Welche maximale Leistung P max kann an den Klemmen a-babgenommen werden?3.2.3 Wie groß muss der Lastwiderstand R a bei maximaler Leistungsabgabeder Quelle sein?3.2.4 Wie groß ist der Wirkungsgrad η der Gesamtschaltung beiLeistungsanpassung, wenn die an den Klemmen entnehmbareLeistung die Nutzleistung darstellt?G. Buch, T. Küpper, FK03 Grundlagen der Elektrotechnik 3.19

4.1. Das Magnetische Feld4. MagnetismusFestlegung:Der Pol, der Richtung Norden zeigt, heißt Nordpol.Wechselwirkungen zwischen magnetischen Dipolen:N SSNSNSNS N N S N S N SFestlegung:Die Richtung der magnetischen Feldlinien führt vomNordpol zum Südpol.SNElektrisches Feld:Magnetisches Feld:G. Buch, T. Küpper, FK03 Grundlagen der Elektrotechnik 4.1

Beobachtung: Bewegte Ladungen verursachen ein Magnetfeld.Stromdurchflossene Spule:Stromdurchflossener Leiter:Rechtsschraubenregel:Dreht man eine rechtsgängige Schraube so, dass sie sich in Stromrichtungfortbewegt, so findet man die Richtung der magnetischen Feldlinien aus derDrehrichtung der Schraube.(Rechte Handregel: Daumen StromrichtungFinger Feldlinienrichtung)G. Buch, T. Küpper, FK03 Grundlagen der Elektrotechnik 4.2

4.1.1. Die magnetische Feldstärke H ra) gerader stromführender Leiter:H =I2 ⋅π⋅ rBetrachtung der Einheiten:(4.1)b) Ringspule:H=N ⋅ Il=N ⋅ I2 ⋅π⋅ r(4.2)G. Buch, T. Küpper, FK03 Grundlagen der Elektrotechnik 4.3

4.1.2. Das Durchflutungsgesetzzu a)zu b)Definition: elektrische Durchflutung ΘΘ = I ⋅ N(4.3)Das Durchflutungsgesetz:r rΘ = N ⋅ I = ∫ H ( s)⋅ ds (4.4)G. Buch, T. Küpper, FK03 Grundlagen der Elektrotechnik 4.4

4.1.3. Die magnetische Flussdichte B rH r : von den Materialeigenschaften des Magnetfeldes unabhängigB r: magnetische Flussdichte: materialabhängigDie magnetische Flussdichte:r rB = μ 0⋅ μr⋅ Hr(4.5)= μ ⋅ Hmitμ = μ 0⋅ μr: Permeabilität (magnetische Eigenschaften des Raumes)−7V ⋅sμ0= 4⋅π⋅10: Permeabilität des leeren RaumesA ⋅ mμ : relative Permeabilität (materialabhängig)rBetrachtung der Einheiten:G. Buch, T. Küpper, FK03 Grundlagen der Elektrotechnik 4.5

4.1.4. Der magnetische Fluss φim homogenen Feld:vektoriell:φ = B r ⋅ Arskalar:φ = B ⋅ A⋅cos( α )(4.6)Betrachtung der Einheiten:im inhomogenen Feld:allgemeine Form:φ = ∫ Br⋅ dAr(4.7)AG. Buch, T. Küpper, FK03 Grundlagen der Elektrotechnik 4.6

4.2. Materie im magnetischen Feldbei gleicher Feldstärke H r : die Flussdichte B r ist vom Material abhängigr rB = ⋅ μ ⋅ Hμ 0Ursache: atomarer Aufbau der AtomeMagnetfeld Einbringen von Materie Verdrängung oder Verdichtung der Feldlinienr 3 unterschiedliche Klassen: diamagnetischparamagnetischferromagnetischdiamagnetische Stoffe:−5Beispiele: Kupfer: ( μr≈ 1−10)−6Wasser: ( μr≈ 1−9 ⋅10)−6Silber: ( μ ≈ 1−19⋅10)rparamagnetische Stoffe:−6Beispiele: Aluminium: ( μr≈ 1+24 ⋅10)−7Luft: ( μr≈ 1+4 ⋅10)−5Platin: ( μ ≈ 1+33 ⋅10)rG. Buch, T. Küpper, FK03 Grundlagen der Elektrotechnik 4.7

ferromagnetische Stoffe:Dipole (Elementarmagneten)Beispiele: Eisen, Nickel und Legierungen davonμ : keine Konstante (nichtlinear, hängt von der Vorgeschichte ab)rMagnetisierungskurve/HystereseschleifeBr : Remanenz (welche Magnetisierung bleibt nach vollständigem Verschwinden derErregung übrig)Hk : Koerzitivfeldstärke (welche äußere Feldstärke ist nötig um die Magnetisierungzum Verschwinden zu bringen)weiche Stoffe: Verwendung von Transformatorenharte Stoffe: PermanentmagnetBei weichem Eisen ist die Hysterese vernachlässigbar KommutierungskurveG. Buch, T. Küpper, FK03 Grundlagen der Elektrotechnik 4.8

Beispiel:d/2dI1I2Pgeg.: d = 2cmI1= I 2 =50Aferromagnetischer Stoff:Magnetisierungskurve (Kommutierungskurve):H in A/cm 6 8 14 24 30B in T 1 1,2 1,4 1,5 1,52ges.: H und B in Punkt PG. Buch, T. Küpper, FK03 Grundlagen der Elektrotechnik 4.9

4.3. Kräfte im magnetischen Feld4.3.1 Stromführender Leiter im Magnetfeldperspekt. Darstellung2-D-DarstellungSeitl. Darstellungvektoriell:r r rF = I ⋅ l × B( )skalar:F = I ⋅l⋅ B ⋅sin( ) α(4.8)Rechte Handregel:Daumen StromrichtungZeigefinger magn. FeldrichtungDann: Mittelfinger gibt die Kraftrichtung anG. Buch, T. Küpper, FK03 Grundlagen der Elektrotechnik 4.10

4.3.2. Bewegte Ladung im MagnetfeldHerleitung:Lorentzkraft:vektoriell:r r rF = Q ⋅ v × B( )skalar:F = Q⋅v⋅B ⋅sin( ) α(4.9)4.3.3. Kraftwirkung zwischen zwei stromdurchflossenen LeiternI1I2laI1⋅ I2F12 = μ ⋅ ⋅l 2 ⋅π⋅a(4.10)G. Buch, T. Küpper, FK03 Grundlagen der Elektrotechnik 4.11

4.3.4. Drehmoment einer stromdurchflossenen Spule:2 rlperspekt. Darstellung2-D-DarstellungBerechnung von F:F =I ⋅l⋅B ⋅sin= I ⋅l⋅B( α )Berechnung von FQ:F Q= F ⋅sin( β )= I ⋅l⋅B ⋅sinBerechnung von M:M( β )= 2⋅F ⋅rvektoriell:Qr r r= 2⋅I ⋅l ⋅ B ⋅sin⋅rM = I ⋅( A×B)= I ⋅ A⋅B ⋅sin( β )( β )Übergang auf N Windungen:vektoriell:rM = N ⋅ I ⋅r r( A×B)skalar :M = N ⋅ I ⋅ A⋅B ⋅sin( ) β(4.11)G. Buch, T. Küpper, FK03 Grundlagen der Elektrotechnik 4.12

4.4. Ohmsches Gesetz des magnetischen KreisesΘ ===H ⋅ lB⋅ lμ ⋅ μ0l⋅φA⋅μ ⋅ μ0rrMagnetischer WiderstandRm :Rm=μ 0l⋅ μ ⋅rA(4.12)Betrachtung der Einheiten:Ohmsches Gesetz des magnetischen Kreises:Θ=R ⋅φ(4.13)mG. Buch, T. Küpper, FK03 Grundlagen der Elektrotechnik 4.13

Analogie zum elektrischen Stromkreis:IφURG=1RΘRmΛ =1RmElektrischer KreisQuellenspannung UStromstärke IMagnetischer KreisDurchflutung ΘMagnetischer Fluss φElektrischer Widerstand R Magnetischer Widerstand RmElektrischer Leitwert GMagnetischer Eisenkern mit Luftspalt:A>> lLDann gilt:Magnetischer LeitwertΛ=1R m: Streuung vernachlässigbarφ= B = B E= BALlE: Länge des EisenkernslL: Länge des LuftspaltsA: Querschnittsfläche desEisenkernsErsatzschaltbild:θ = φ ⋅( R )Rm, E+m,LG. Buch, T. Küpper, FK03 Grundlagen der Elektrotechnik 4.14

4.5. Induktionsgesetz:bislang: fließender Strom magnetische WirkungVorgang umkehrbar: veränderliches Magnetfeld induzierter Strom4.5.1. Bewegung eines Leiterstücks im Magnetfeld:lLorenzkraft:r r r= Q+ ⋅ v × BF i( )Kraft aufgrund der elektrischen Feldstärke:r r= Q+ ⋅ EF eKräftegleichgewicht:r r r r rF = F ⇒ E = v × BieSpannung an den Leiterenden:= Er ⋅rlmitU folgt:r( v ×r) ⋅rlU = B (4.14)G. Buch, T. Küpper, FK03 Grundlagen der Elektrotechnik 4.15

4.5.2 Das Induktionsgesetz in allgemeiner Form:bewegtes Leiterstück (s.o.): v r , B r und l r jeweils senkrecht zueinander:Ur r r= ( v × B)⋅ l= B ⋅ l ⋅ vds= B ⋅ l ⋅dtdA= B ⋅dtEs gilt:Udφ=dt(o.B.)1. Möglichkeit: Leiter und Magnetfeld bewegen sich relativ zueinander(s.o.)2. Möglichkeit: Der von der Leiterschleife umfasste magnetische Flusswird bei ruhendem Leiter und Magnetfeld verändert:Ud= φ =dtd( A⋅B)dt=dBdt⋅A +dA⋅ BdtÜbergang auf N Windungen:Udφ= N ⋅dt(4.15)G. Buch, T. Küpper, FK03 Grundlagen der Elektrotechnik 4.16

4.5.3 Die Lenz'sche Regel:Polarität der induzierten Spannung:Die induzierte Spannung ist stets so gerichtet, dass ein durch siehervorgerufener Strom der Ursache ihrer Entstehung entgegenwirkt.bewegtes Leiterstück im Magnetfeld (s.o.):lallgemein: Leiterschleifeφdφ> 0dtG. Buch, T. Küpper, FK03 Grundlagen der Elektrotechnik 4.17

4.5.4 Die Selbstinduktion:bislang: Wechselwirkung eines fremden magnetischen Feldes auf eine Leiterschleifenun: Verkettung des stromdurchflossenen Leiters mit seinem eigenen Magnetfeld Selbstinduktioni: einstellbaru: induzierte SpannungOhmsches Gesetz des magnetischen Kreises:Θ i ⋅ N μ0⋅ μr⋅ Aφ = = = i ⋅ N ⋅R lmElEμ0⋅ μr⋅ Adφmit Gl. (4.15) u = N ⋅dtfolgt:u====d ⎛ μ0⋅ μr⋅N ⋅ i Ndt⎜ ⋅ ⋅⎝ lE2 μ0⋅ μr⋅ A diN ⋅ ⋅lEdt2 1 diN ⋅ ⋅R dtL ⋅didtmA ⎞⎟⎠G. Buch, T. Küpper, FK03 Grundlagen der Elektrotechnik 4.18

Proportionalitätskonstante L: Induktivität (Selbstinduktivität)Induktivität L einer Spule:L =NR2m=N2⋅μ 0⋅ μr⋅lBetrachtung der Einheiten:EA(4.16)Zusammenhang zwischen Strom und induzierter Spannung:diu = L ⋅dt(4.17)Schaltbild:Bei ferromagnetischen Stoffen:μr ist abhängig von i L ist nicht konstantEffekt wird reduziert durch Spule mit Luftspalt:G. Buch, T. Küpper, FK03 Grundlagen der Elektrotechnik 4.19

4.5.5 Zusammenschaltung von Induktivitäten:Reihenschaltung:iuLges=L1 + L2+ L3+ L + Ln= ∑ Li(4.18)iParallelschaltung:iu1Lges=1L1+1L2+ L +1Ln= ∑i1Li(4.19)G. Buch, T. Küpper, FK03 Grundlagen der Elektrotechnik 4.20

4.6 Energie des magnetischen Feldes:iU0U0= uR+ udi= i ⋅ R + L ⋅dtnach Gl.(3.14) folgt:dW = u ⋅ i ⋅ dt= i2L⋅ R ⋅ dt+ L ⋅ i ⋅didt⋅ dtDamit folgt für die Energie des Magnetfeldes:WmI= ∫ L ⋅ i ⋅didt1⋅ dt = ⋅ L ⋅ I022gespeicherte Energie in einer Induktivität L:1 2 U0W m= ⋅ L ⋅ I2mit I =R(4.20)Falls die Induktivität L nicht bekannt oder nicht konstant ist,kann die Energie des Magnetfeldes auch wie folgt berechnetwerden:gespeicherte Energie des Magnetfeldes:11 V 2Wm= ⋅ H ⋅ B ⋅V= ⋅ ⋅ B22 μ ⋅ μ (4.21)(Herleitung Vorlesung)G. Buch, T. Küpper, FK03 Grundlagen der Elektrotechnik 4.210r

4.7 Kräfte an Grenzflächen:dW==2B2 ⋅ μ02B2 ⋅ μ0⋅ dV⋅ 2 ⋅ A ⋅ dlmitdW= F′⋅ dlfolgt:2BF′ ⋅ dl = ⋅ 2 ⋅ A ⋅ dl⋅ μ⇒ F′=202Bμ0⋅ AAuf einer Seite auftretende Kraft:F=2B⋅ A2 ⋅ μ (4.22)0Anwendung: HubmagnetG. Buch, T. Küpper, FK03 Grundlagen der Elektrotechnik 4.22

B4 Übungsaufgaben zum MagnetismusAufgabe 1Ein Ringkern mit einem Eisenquerschnitt A = 1 cm² und einermittleren Eisenlänge l = 16 cm hat einen Luftspalt d = 0,1 mm.Seine H-B-Kurve ist durch folgende Wertetabelle gegeben:1.1 Zeichnen Sie die Kennlinie B = f(H).1.2 Der Ringkern wird mit N = 100 Windungen bewickelt.Welcher Strom I muss in dieser Wicklung fließen, damit imLuftspalt eine Induktion B = 0,8 T herrscht?(I = 0,96 A)G. Buch, T. Küpper, FK03 Grundlagen der Elektrotechnik 4.23

B4 Übungsaufgaben zum MagnetismusAufgabe 2Eine Drosselspule besteht aus einem Ringkern mit kreisförmigemEisenquerschnitt (µ r = 4000, l Fe = 20 cm, A Fe = 4 cm²) und einemLuftspalt der Länge l L = 0,05 cm. Auf das Eisenteil sind N = 50Windungen gewickelt, durch die ein Gleichstrom I = 2 A fließt.2.1 Berechnen Sie die magnetischen Widerstände R mFe und R mLunter Vernachlässigung der magnetischen Streuung imLuftspalt.2.2 Wie groß ist der magnetische Kraftfluss Φ?2.3 Wie groß sind die magnetische Induktion B und die magnetischeFeldstärke H im Eisen und im Luftspalt?2.4 Wie groß ist die Induktivität L der Spule?(R mFe = 9,95·10 4 1/H; R mL = 9,95·10 5 1/H; Φ = 91,4 µVs; B Fe =B L = 0,229 T; H L = 182 kA/m; H Fe = 45,6 A/m; L = 2,28 mH)G. Buch, T. Küpper, FK03 Grundlagen der Elektrotechnik 4.24

B4 Übungsaufgaben zum MagnetismusAufgabe 3An einer idealen Spule L treten folgende Spannungsverläufe auf.Tragen Sie die sich ergebenden zugehörigen Spulenströme ein.Aufgabe 4Bei einer langen Doppelleitung (Hin- und Rückleitung) beträgt derLeiterachsabstand a = 25 cm und der Leiterradius r = 3 mm. Der dieLeitung durchfließende Strom ist I = 100 A.4.1 Berechnen Sie allgemein den Betrag der magnetischen Feldstärkeauf der Verbindungslinie zwischen beiden Leitern.4.2 Skizzieren Sie den Verlauf der magnetischen Feldstärke.(Für den Mittelpunkt bei a/2 gilt H = 255 A/m)G. Buch, T. Küpper, FK03 Grundlagen der Elektrotechnik 4.25

Klausuraufgabe WS 2000/01Aufgabe 1Die abgebildete Spule mit einem Eisenkern hat folgende Werte:L = 1 mH A 1 = 4 cm² A 2 = A 3 = 2 cm²N = 50 I = 2 A Luftspaltlänge d unbekanntµ r ∞ (magn. Widerstände der Eisenschenkel vernachlässigbar)1.1 Bestimmen Sie den magnetischen Gesamtwiderstand R mgesder Anordnung.1.2 Zeichnen Sie ein elektrisches Ersatzschaltbild des magnetischenKreises und tragen Sie die Zählpfeile für die DurchflutungΘ = I·N und die magnetischen Flüsse Φ 1 , Φ 2 und Φ 3 inIhre Zeichnung ein.1.3 Berechnen Sie die magnetischen Flüsse Φ 1 , Φ 2 und Φ 3 in dendrei Schenkeln des Eisenkerns.1.4 Stellen Sie anhand Ihrer Zeichnung eine Formel zur Berechnungdes magnetischen Gesamtwiderstands R mges auf.1.5 Berechnen Sie mit Hilfe des Ergebnisses aus 1.4 die Luftspaltlänged.G. Buch, T. Küpper, FK03 Grundlagen der Elektrotechnik 4.26

5. Wechselstrom5.1. Grundlegende Begriffe und Definitionen5.1.1. Periodische Größen:Überlagerung von Gleich- und Wechselanteil:periodische FunktionGleichanteilWechselanteilT2TtWechselgrößen:‣ periodische Größen (Periodendauer T)‣ arithmetischem Mittelwert (vgl. Gl. 5.1) ist nullFourier: periodische Größen Überlagerung von SinusvorgängenTG. Buch, T. Küpper, FK03 Grundlagen der Elektrotechnik 5.1

5.1.2. Sinusförmige Ströme und Spannungen:u(t)i(t)tu(t) Uˆsin( t)i(t) Iˆsin( t)iuUˆ: Amplitude der SpannungIˆ : Amplitude des Stromesu(t) u : Momentanwert der Spannungi(t) i : Momentanwert des StromesT : Periodendauer der Schwingungf : Frequenz : Kreisfrequenzu: Nullphasenwinkel der Spannungi: Nullphasenwinkel des Stromes ui: Phasenverschiebung zwischen Spannung und Strom 0 : die Spannung eilt dem Strom voraus 0 : Spannung und Strom sind phasengleichBeispiele für sinusförmige Wechselgrößen in der Praxis:G. Buch, T. Küpper, FK03 Grundlagen der Elektrotechnik 5.2

5.1.3. Mittelwertea) arithmetischer Mittelwert:atT1 0 Tt0a(t)dt(5.1)Ttfür sinusförmige Wechselgrößen:a( t) Aˆsin( ta)gilt:a 0tT1 0 Tt0Aˆsin( t ) dta(grafische Darstellung Vorlesung)Ttb) Gleichrichtwert:at T1 0 Tt0a(t)dt(5.2)für sinusförmige Wechselgrößen:a t) Aˆsin( t)( aTtgilt (mit t 0 und 00 a ) :a1TT0Aˆsin( t)dt2T2TT/ 20Aˆsin( t)dtAˆ2T2 2 Aˆ(grafische Darstellung Vorlesung)TtG. Buch, T. Küpper, FK03 Grundlagen der Elektrotechnik 5.3

c) Effektivwert (quadratischer Mittelwert):________________________________________________________________________________physikalischer Hintergrund: Messgeräte Es interessiert derjenige Wert einer Wechselgröße, der in seinerWirkung bei Energieumformung einem Gleichstrom äquivalent ist:Bsp.:Wel2 I R TGleichstrom1 I TT0i2!Ti2( t)dt( t) R dt0Wechselstrom_____________________________________________________________________________________________aefft1 0 TTt0a2( t)dt(5.3)G. Buch, T. Küpper, FK03 Grundlagen der Elektrotechnik 5.4

für sinusförmige Wechselgrößen:a t) Aˆsin( t)( agilt (mit t 0 und 00 a ) :aeff1TT0Aˆ2 sin2( t)dt1TT0Aˆ212 1cos(2 tdt1TAˆ22t1 sin(2 t)2 T01TAˆ2Aˆ22TtT(grafische Darstellung Vorlesung)Beispiele:G. Buch, T. Küpper, FK03 Grundlagen der Elektrotechnik 5.5

5.1.4. Darstellung von Sinusschwingungen durch rotierende Zeigersinusförmige Wechselgrößen Zeiger in der komplexen EbeneHintergründe dieser Darstellung:komplexe Darstellung:zeitliche Darstellung:Re Imu(t)ReRe i(t)tT = 2Zeiger mit Winkelgeschw.: Länge des Zeigers: Uˆ (häufig auch:zum Zeitpunkt t 0,T,2T,... : uU eff )j ( ) ˆ u j tu t UeeUˆ: FestzeigerDrehzeiger u(t) Uˆ sin( t )uji jti(t) Iˆ e ejt Iˆ ei(t)Iˆ sin( t )iu(t)Uˆej(ut)Uˆcos(t) (Komponentenform)u(Polarform)jUˆsin(t)uG. Buch, T. Küpper, FK03 Grundlagen der Elektrotechnik 5.6

5.1.5. Komplexe Rechnungimaginäre Zahl:Einheit: j 1reelle Zahl + imaginäre Zahl komplexe ZahlRe ImZRjXReEuler'scher Satz:Komponentenform:Polarform:(Exponentialform)e j cos( )jsin()Z R j X(Summe zweier Komponenten)Realteil: ReZ R Z cos( )Imaginärteil: ImZ X Z sin()j jZ Z e Z e(Darstellung mit Betrag und Phase)Betrag:Phase:Z Z tan XRR2 arctanXXR2Beispiele:Umrechnung: Polarform KomponenformG. Buch, T. Küpper, FK03 Grundlagen der Elektrotechnik 5.7

Konjugiert komplexe Zahl*Z von Z :ZR jXZ ejZ*R jXZ e jImRe(grafische Darstellung Vorlesung)Addition:in Komponentenform vektoriellZZ1 Z2 ( R1 R2) j(X1 X 2)ImRe(grafische Darstellung Vorlesung)in Polarform:Z Z1Z ) Z cos( ) jZsin( ) Z sin( ) 1 Z2cos( 1 2 2 1 1 2 2G. Buch, T. Küpper, FK03 Grundlagen der Elektrotechnik 5.8

Subtraktion:in Komponentenform vektoriellZ Z1 Z2 ( R1 R2) j(X1 X 2)in Polarform:Z Z Z1Z ) Z cos( ) jZsin( ) Z sin( ) Multiplikation:in Polarform:1Z Z Z2cos( 1 2 2 1 1 2 211 Z Z22 ej in Komponentenform:Z R jX R jX 1 1 2 2 R R X X jR1Division:in Polarform:ZZ ZZZ12212 e112j 1212 X2 R2 X1Beispiel:Zwei Spannungsgeneratoren mit U V1 6 und U 2 4VliefernWechselspannung mit gleicher Frequenz. U2 eilt dabei der SpannungU1 um 45 voraus. Ermitteln Sie grafisch und rechnerisch dieSummenspannung.G. Buch, T. Küpper, FK03 Grundlagen der Elektrotechnik 5.9

5.2. Wechselstromwiderstände(Ohmsches Gesetz bei Wechselstrom)5.2.1. Grundelemente und Grundgleichungen:a) Ohmscher Widerstand:u(t) R i(t)(5.4)u R iiRub) Induktivität:diu L (5.5)dtc) Kapazität:dQi dtd(C u)dtiiLuCui C dudt(5.6)G. Buch, T. Küpper, FK03 Grundlagen der Elektrotechnik 5.10

5.2.2. Ohmscher Widerstand:u Uˆsin( t )i Iˆsin( t )iumit u R ifolgt:Uˆ sin( t) uR Iˆsin( t)ifür jeden beliebigen Zeitpunkt erfüllt, wenn: Amplituden gleich:Uˆ R Iˆ(5.7a) Sinus gleich: (5.7b)uiBei ohmschen Widerständen sind Strom und Spannungin Phase.u(t)i(t)tG. Buch, T. Küpper, FK03 Grundlagen der Elektrotechnik 5.11

Leistung am ohmschen Widerstand:(ohne Verlust der Allgemeinheit für: 0)uip(t) u(t) i(t) Uˆ sin( t) Iˆ sin( t) Uˆ Iˆsin Uˆ Iˆ 0122( t) 1cos(2t)Leistung wird ständig verbraucht Wirkwiderstandmittlere Leistung:p1 T1 TeffT012p(t)dtUˆ IˆUˆ Iˆ tT 2 Uˆ Iˆ T2 TUˆIˆ 2 2 U IeffT01cos(2t)1 sin(2t)2 T0dtG. Buch, T. Küpper, FK03 Grundlagen der Elektrotechnik 5.12

5.2.3. Kapazität:u Uˆsin( t )i Iˆsin( tmit )iudui C folgt:dtIˆsin( td Uˆsin( t u) i) C dt C Uˆ cos t C Uˆsintu u2 für jeden beliebigen Zeitpunkt erfüllt, wenn: Amplituden gleich: Sinus gleich:UˆIˆ C Uˆ1 (5.8a)Iˆ Ci u ui (5.8b)22Am Kondensator eilt der Strom der Spannung um 2 voraus.u(t)i(t)tG. Buch, T. Küpper, FK03 Grundlagen der Elektrotechnik 5.13

Leistung am Kondensator:(ohne Verlust der Allgemeinheit für:p(t) u(t)i(t)ˆ ˆ U sin(t) I sin(t )2 Uˆ Iˆsin(t) cos( t) Uˆ Iˆ Ueff12Isin(2t)effsin(2t)u 0 und )i2positive Leistung: Aufladen des Kondensatorsnegative Leistung: Entladung des Kondensatorsmittlere Leistung:1p T1T 0T0p(t)dt1 Uˆ Iˆ2im Mittel wird keine Leistung verbraucht:kapazitive Blindleistung Q C :T0sin(2t) dtBlindwiderstand BlindleistungQC Ueff IeffG. Buch, T. Küpper, FK03 Grundlagen der Elektrotechnik 5.14

5.2.4. Induktivität:u Uˆsin( t )i Iˆsin( tmit uUˆsin( t )iudi L folgt:dtd Iˆsin( t i) u) L dt L Iˆ cos t L Iˆsinti i2 für jeden beliebigen Zeitpunkt erfüllt, wenn:Uˆ Amplituden gleich: Uˆ L Iˆ L (5.9a)Iˆ Sinus gleich: u i ui (5.9b)22An der Induktivität eilt die Spannung dem Strom um 2 voraus.u(t)i(t)tG. Buch, T. Küpper, FK03 Grundlagen der Elektrotechnik 5.15

Leistung an der Induktivität:(ohne Verlust der Allgemeinheit für:p(t) u(t)i(t) Uˆ Iˆ12Isin(2t)usin(2t) und i 0)2ˆ U sin(t ) Iˆsin(t)2 Uˆ Iˆ cos( t)sin(t) Ueffeffpositive Leistung: Energie zum Aufbau des magn. Feldesnegative Leistung: Energie durch Abbau des magn. Feldesmittlere Leistung:1p T1T 0T0p(t)dt1 Uˆ Iˆ2sin(2t) dtim Mittel wird keine Leistung verbraucht:T0Blindwiderstand Blindleistunginduktive BlindleistungQLQ L: Ueff IeffG. Buch, T. Küpper, FK03 Grundlagen der Elektrotechnik 5.16

5.2.5. Darstellung der Wechselstromwiderstände in komplexerSchreibweiseImpedanz (komplexer Widerstand) Z:U U j u iZ e (5.10)I IAdmittanz (komplexer Leitwert) Y:I I j u iY e (5.11)U Ua) Z und Y für den ohmschen Widerstand:ImZRU eI Rj0ReY R 1R GImRe(grafische Darstellung Vorlesung)G. Buch, T. Küpper, FK03 Grundlagen der Elektrotechnik 5.17

) Z und Y für die Kapazität:ZC 1j 2 e C1 j C 1 j C j XCImImReYC C e j Cj BCj2Re(grafische Darstellung Vorlesung)c) Z und Y für die Induktivität:ImZL L e j Lj XLj2ReYL 1j 2 e L1 j L j BLImRe(grafische Darstellung Vorlesung)BeispieleG. Buch, T. Küpper, FK03 Grundlagen der Elektrotechnik 5.18

5.3. Grundschaltungen linearer Wechselstromwiderstände5.3.1. Serienschaltung von R und L:i(t)Imu(t)~u R (t)u L (t)RLReImU RR IReU Lj L IU URU R I j L I R j LI ZL(grafische Darstellung Vorlesung)ZUIZUIUˆIˆZ R Zmit :und ejZj LZR2 L arctan R L2Y1ZR j LR1Z2 L e2 j2G. Buch, T. Küpper, FK03 Grundlagen der Elektrotechnik 5.19

5.3.2. Parallelschaltung von R und L:i(t)i R (t)i L (t)Imu(t)~RLReUI R RI LUj LImReI IR IL 1 1 U R j LY(grafische Darstellung Vorlesung)Y1 R1 R1j L1j L1Z Y L R L 2 2 2R L R arctan LG. Buch, T. Küpper, FK03 Grundlagen der Elektrotechnik 5.20Zmit :und ejZZj R1R211 L2

5.3.3. Serienschaltung von R und C:i(t)Imu(t)~u R (t)u C (t)RCReU RR IImU C1j C IReU URU 1 R I j CZC(grafische Darstellung Vorlesung)Z R Zmit : eZj1j CZ R R 1 Cund arctanR21j C 1 C21 arctan C RY1Z C C R 2 2 21 C R1 j eZjG. Buch, T. Küpper, FK03 Grundlagen der Elektrotechnik 5.21

5.3.4. Parallelschaltung von R und C:i(t)i R (t)i C (t)Imu(t)~RCReUI R RI C U j CImReYIIR IC 1 j C U RRYj C1Z Y(grafische Darstellung Vorlesung)1 R 1j C R Zmit :und1 e2j C2 R21Z Z 1 C2R arctanC R2G. Buch, T. Küpper, FK03 Grundlagen der Elektrotechnik 5.22

Grundschaltungen von Wechselstromwiderständen:G. Buch, T. Küpper, FK03 Grundlagen der Elektrotechnik 5.23

Beispiel:Die Stromaufnahme einer Drosselspule (Widerstand und Induktivitätin Reihe) wurde bei einer Gleichspannung U 0 10 V mit I 0 5 Agemessen.Bei einer WechselspannungI ~ 2,69 A.U~ 10 Vmit f 50 Hz betrug der StromWie groß sind der ohmsche Widerstand R, der Scheinwiderstand Zund die Induktivität L?G. Buch, T. Küpper, FK03 Grundlagen der Elektrotechnik 5.24

5.4. Leistung bei Wechselstromverbraucherni(t)u R (t)Imu(t)~RLu L (t)ReZ R j L mit : uiZ ejWirkleistung an R: (vgl. Kap. 5.2.2)UˆˆR I2P UR I R I(5.12)2 2Induktive Blindleistung: (vgl. Kap. 5.2.4)QLUˆˆL I2 UL I L I(5.13)2 2G. Buch, T. Küpper, FK03 Grundlagen der Elektrotechnik 5.25

Scheinleistung:S P II22 U Ij Q ( R j L) Z e*Lj(5.14)Leistungsdreieck:S: komplexe Scheinleistung [VA]P: Wirkleistung [W]Q: Blindleistung [var]Leistungsfaktor:P cosS(5.15)Blindfaktor:Q sin S(5.16)G. Buch, T. Küpper, FK03 Grundlagen der Elektrotechnik 5.26

Beispiele:UBsp.1:ICCU1I 1I2R 1UL2U3R 2geg.:ges.:C 220 FRRU122 20 L 40 5 200 V/ 50 HzI, I1,I 2,U1,U 3,UP,Q,S,cos,sin Bsp.2:Ein Wechselstrommotor (Nennspannung U = 230 V, f = 50 Hz) gibtan seiner Welle ein Drehmoment M = 4 Nm bei einer Drehzahl vonn = 2800/min ab. Der Leistungsfaktor cosdes Motors ist mit0,75 angegeben, sein Wirkungsgrad beträgt 0, 8.a) Berechnen Sie die dem Netz entnommene Wirkleistung P, dieBlindleistung Q und die Scheinleistung S des Motors.b) Wie hoch ist der Motorstrom I?c) Welcher Kondensator C muss parallel zu den Motorklemmen geschaltetwerden, um die gesamte Blindleistung zu kompensieren?d) Warum darf man den Kondensator nicht in Reihe zum Motorschalten?e) Was ist der grundlegende Unterschied zwischen dem Leistungsfaktorcos und dem Wirkungsgrad ?G. Buch, T. Küpper, FK03 Grundlagen der Elektrotechnik 5.27

B5 Übungsaufgaben zur WechselstromtechnikAufgabe 1Die abgebildete Schaltung enthält folgende Schaltelemente:R = 1 kΩ; ωL 1 = 2 kΩ; ωL 2 = 0,75 kΩ;1/ωC 1 = 1 kΩ; 1/ωC 2 = 1,236 kΩ.Die gesamte Schaltung nimmt die Wirkleistung P = 16 mW auf.1.1 Ermitteln Sie I 3 und U 6 (Hinweis: Nur R kann Wirkleistung aufnehmen).1.2 Zeichnen Sie ein Zeigerdiagramm mit allen Spannungen undStrömen.1.3 Berechnen Sie alle Spannungen und Ströme komplex und vergleichenSie die Ergebnisse mit dem Diagramm aus 1.2.1.4 Ermitteln Sie die Gesamtimpedanz Z der Schaltung aus dem Zeigerdiagrammund durch komplexe Rechnung und vergleichen Siedie Ergebnisse.(I 3 = 4 mA; U 6 = 4 V; U 1 = 4,6 V; I 1 = 3,6 mA; Z=1,3 kΩ; φ = 16,5°)G. Buch, T. Küpper, FK03 Grundlagen der Elektrotechnik 5.28

B5 Übungsaufgaben zur WechselstromtechnikAufgabe 2Eine Leuchtstoffröhre mit Vorschaltdrossel (dargestellt durch dieReihenschaltung eines Widerstands R und einer Spule L; P = 40 W;I = 0,4 A) liegt am Wechselspannungsnetz U = 230 V, f = 50 Hz.2.1 Wie hoch ist die dem Netz entnommene Scheinleistung S?2.2 Wie groß ist cos φ ?2.3 Wie groß sind der ohmsche Widerstand R der Leuchtstoffröhreund der Blindwiderstand ωL der Vorschaltdrossel?2.4 Ein Kondensator C soll die gesamte Blindleistung kompensieren.Wie muss er geschaltet werden, damit die Wirkleistungsaufnahmeder Leuchtstoffröhre nicht verändert wird?2.5 Berechnen Sie den Wert des Kompensationskondensators C.2.6 Veranschaulichen Sie die Kompensation durch einZeigerdiagramm.(S = 92 VA; cos φ = 0,43; R = 250 Ω; ωL = 518 V/A; C = 4,98 µF)G. Buch, T. Küpper, FK03 Grundlagen der Elektrotechnik 5.29

B5 Übungsaufgaben zur WechselstromtechnikAufgabe 3An einem Lötkolben (reiner Wirkwiderstand; P = 100 W; U = 230 V)soll in den Lötpausen eine reduzierte Spannung U P = 150 V anliegen.3.1 Wie groß muss ein Vorwiderstand R V sein, damit die Spannungam Lötkolben von 230 V auf U P = 150 V reduziert wird?3.2 Welcher Kondensator C bewirkt bei f = 50 Hz dieselbe Spannungsminderung?3.3 Welchen Vorteil bietet der Kondensator gegenüber dem Widerstand?(R V = 282 Ω; C = 5,12 µF)Aufgabe 4Drei parallel geschaltete Wechselstromverbraucher nehmen folgendeStröme auf:I 1 = 10 A, cos φ 1 = 0,8 (induktiv),I 2 = 2 A, cos φ 2 = 0,43 (kapazitiv) undI 3 = 5 A (ohmsch).4.1 Ermitteln Sie den Gesamtstrom nach Betrag und Phase.(I = 14,5 A e –j·16,8° )G. Buch, T. Küpper, FK03 Grundlagen der Elektrotechnik 5.30

Klausuraufgabe WS 1999/00Aufgabe 3Gegeben ist die folgende Schaltung:Die Werte sind:U q = 230 V, R 1 = 220 Ω, R 2 = 1 kΩ, X C = 1 kΩ, X L = 500 Ω3.1 Berechnen Sie die komplexe Gesamtimpedanz Z der Schaltungrechts von den Klemmen A-B in der Normalform Z = R + jX(Ersatzwert: Z = 1000 Ω – j 500 Ω).3.2 Berechnen Sie den komplexen Strom I q und die komplexe SpannungU a , wenn die Spannung U q als reell angenommen wird.3.3 Ermitteln Sie den Phasenwinkel φ q zwischen U q und I q .3.4 Welche Wirkleistung P und welche Blindleistung Q nimmt diegesamte Schaltung (rechts von den Klemmen A-B) auf?G. Buch, T. Küpper, FK03 Grundlagen der Elektrotechnik 5.31

BB Buvwz yxzyxvxww uyuzvuu v wxzyw vx y zU/V300U U U1 2 32001000-100-200-300120° 240° 360° 480° 600° tωProf. Dr. G. BuchFachhochschule München Fachbereich 03 MB/FA Prof. R. Göhl08.12.02 16:25 Uhr Prof. Dr. J. HöchtDokument in Aufg_B5_1_8_12_02Dre_folie2_8_12_02.tcw

6. Drehstrom6.1. Symmetrisches Dreiphasensystem Einführungsfolie (Kap.6: Folie 0)I 1I2I3U 12LU 223L 1U 31L3UUU123INNUUII11, U12, IN, U22, I, U2333, U, U31Y:, USternspannung: Dreieckspannung, I : Außenleiterstrom: Strom im NeutralleiterΔMaschengleichungen:−U−U−U123+ U+ U+ U122331+ U+ U+ U231= 0= 0= 0⇒⇒⇒UUU122331= U= U1= U32−U−U2−U13G. Buch, T. Küpper, FK03 Grundlagen der Elektrotechnik 6.1

Zeigerdiagramm:Herleitung: Zusammenhang zwischenU Y undU Δ:U Δ = 3 ⋅U Y(6.1)G. Buch, T. Küpper, FK03 Grundlagen der Elektrotechnik 6.2

6.2. Symmetrische Verbraucher(Alle drei Verbraucherstränge sind mit dem gleichen Widerstand Z belastet)6.2.1 Verbraucher in Sternschaltung:L 1I 1NL2II2NU2ZZU 3U 1ZL3I3Strangströme = AußenleiterströmeWie groß ist der Strom durch den Neutralleiter?IUStrStrUY= I =ZUΔ= UY=3(6.2)G. Buch, T. Küpper, FK03 Grundlagen der Elektrotechnik 6.3

6.2.2 Verbraucher in Dreieckschaltung:L 1I 1U 12I 12U 31ZZL2I2I 23ZI 31L3I3U 23Strangspannungen = DreieckspannungenWie hängen die Außenleiterströme mit den Strangströmen zusammen?UIStrStr= UU=ZΔΔ==3 ⋅UI3Y(6.3)G. Buch, T. Küpper, FK03 Grundlagen der Elektrotechnik 6.4

6.3. Leistung im Drehstromsystem(Beschränkung auf symmetrische Verbraucher)SStr= U Str ⋅ IStr(Scheinleistung pro Strang)S= 33 ⋅ SStr= ⋅UStr ⋅ IStr(Gesamtscheinleistung)SternschaltungDreieckschaltungS= 3⋅UStrUΔ= 3⋅3=3 ⋅U⋅ I⋅ IΔ⋅ IStrS= 3⋅U= 3⋅U=StrΔ3 ⋅U⋅Δ⋅ IStrI3⋅ IS= Str Str Δ3 ⋅U⋅ I = 3 ⋅U⋅ I (6.4)P =Q=S ⋅cosS ⋅sin( ϕ)( ϕ)G. Buch, T. Küpper, FK03 Grundlagen der Elektrotechnik 6.5

6.4. BlindleistungskompensationSternschaltungDreieckschaltungQ= 3⋅U= 3⋅U= 3⋅UStrY⋅2Y⋅ IStr( U ⋅ω⋅ C)Y⋅ω⋅ CQ= 3⋅U= 3⋅U= 3⋅UStrΔ⋅2Δ⋅ IStr( U ⋅ω⋅C)Δ⋅ω⋅ CQC Y =(6.5)2⋅U⋅ω3 YQC Δ =(6.6)23⋅U⋅ωΔG. Buch, T. Küpper, FK03 Grundlagen der Elektrotechnik 6.6

B6 Übungsaufgaben zum DrehstromAufgabe 1Die Heizstäbe eines Heizofens (R = 1 Ω) liegen in Dreieckschaltungan einem Drehstromnetz mit U = 400/230 V.1.1 Wie groß sind die Strang- (I Str ) und die Außenleiterströme (I)?1.2 Welche Leistung P Δ wird umgesetzt?1.3 Welche Leistung P Y wird für den Fall der Sternschaltung inWärme umgesetzt?(I Str = 400 A; I = 693 A; P Δ = 480 kW; P Y = 159 kW)Aufgabe 2An einem Drehstromnetz (U = 400/230 V; f = 50 Hz) mit einem WirkleistungsverbrauchP 1 = 1 MW bei cos φ 1 = 0,75 (induktiv) soll nachträglichein weiterer Verbraucher mit P 2 = 500 kW und cos φ 2 = 0,5(induktiv) installiert werden. Durch die Parallelschaltung von Kondensatorensoll der cos φ des gesamten Netzes auf 0,9 verbessert werden.2.1 Berechnen Sie Blind- und Scheinleistung für beide Verbraucher.2.2 Welche kapazitive Blindleistung Q K müssen die Kompensationskondensatorenaufnehmen?2.3 Berechnen Sie die Werte der Kondensatoren für die beiden Fälle,dass die Kondensatoren im Dreieck (C Δ ) bzw. im Stern (C Y )geschaltet sind.(Q 1 = 882 kvar; S 1 = 1,33 MVA; Q 2 = 866 kvar; S 2 = 1 MVA;Q K = 1,01 Mvar; C Δ = 6,77 mF; C Y = 20,4 mF)G. Buch, T. Küpper, FK03 Grundlagen der Elektrotechnik 6.7

B6 Übungsaufgaben zum DrehstromAufgabe 3Ein Drehstromtrafo kann maximal eine Scheinleistung S = 10 kVAübertragen. Angeschlossen sind zwei Drehstrommotoren mit denfolgenden Kenndaten:Motor 1: P 1 = 5 kW; cos φ 1 = 0,8Motor 2: P 2 = 4 kW; cos φ 2 = 0,753.1 Weisen Sie rechnerisch nach, dass an diesem Trafo die beidenDrehstrommotoren nicht gleichzeitig betrieben werden können.3.2 Durch welche Schaltungsmaßnahme kann der Trafo doch für denBetrieb beider Motoren benutzt werden?3.3 Zeigen Sie qualitativ anhand eines Leistungsdreiecks die Auswirkungdieser Schaltungsmaßnahme.(S = 11,58 kVA)G. Buch, T. Küpper, FK03 Grundlagen der Elektrotechnik 6.8

7. Schaltvorgänge an Kapazitäten undInduktivitäten7.1. Das Schalten von Kapazitätena) Der Einschaltvorgang:u RiU 0uRCu Cu=⎧0für t ≤ 0⎨⎩U 0 für t > 0für t > 0 gilt: (Maschengleichung)U0= uR+ udu= C ⋅dtC= i ⋅ R + uCC⋅ R + uCges.: u C (t)Lösung der Differentialgleichung: Aufladevorgang eines KondensatorsHerleitung: VorlesungG. Buch, T. Küpper, FK03 Grundlagen der Elektrotechnik 7.1

Einschaltvorgang (Aufladevorgang eines Kondensators):uiCC⎛( t)= U ⎜0 ⋅ 1 − e⎜⎝tU −0( t)= ⋅ e τRt−τ⎞⎟⎟⎠mit : τ = R ⋅C(7.1)uC( t= 0) = 0duCU0( t = 0) =dt τu ( t → ∞)= UC0U0iC( t = 0) =RdiCU( t = 0) = −dtRi ( t → ∞)= 0C01⋅τG. Buch, T. Küpper, FK03 Grundlagen der Elektrotechnik 7.2

) Der Ausschaltvorgang (Entladevorgang eines Kondensators):u RiU 0uRCu Cu=⎧U⎨⎩00fürfürt ≤ 0t > 0für t > 0 gilt: (Maschengleichung)0 = uR+ udu= C ⋅dtC= i ⋅ R + uges.: u C (t)CC⋅ R + uLösung der Differentialgleichung:C Entladevorgang eines KondensatorsG. Buch, T. Küpper, FK03 Grundlagen der Elektrotechnik 7.3

Ausschaltvorgang (Entladevorgang eines Kondensators):uiCC( t)= U0U( t)= −R⋅ e0t−τ⋅ et−τmit : τ =R ⋅C(7.2)uC( t= 0) = UduCU0( t = 0) = −dtτu ( t → ∞)= 0C0U0iC( t = 0) = −RdiCU0( t = 0) =dt Ri ( t → ∞)= 0C1⋅τG. Buch, T. Küpper, FK03 Grundlagen der Elektrotechnik 7.4

7.2. Das Schalten von Induktivitätena) Der Einschaltvorgang:u RiU 0uRLu Lu=⎧0für t ≤ 0⎨⎩U 0 für t > 0für t > 0 gilt: (Maschengleichung)U0= u= iLR+ uLdi⋅ R + L ⋅dtLges.: i L (t)Lösung der Differentialgleichung: Aufbau des MagnetfeldesG. Buch, T. Küpper, FK03 Grundlagen der Elektrotechnik 7.5

Einschaltvorgang (Aufbau des Magnetfeldes):iLu( t)LUR( t)= U⎛⋅ ⎜1− e⎜⎝=0t−⋅ e τ0t−τ⎞⎟⎟⎠mit : τ =LR(7.3)iL( t= 0) = 0diLU0( t = 0) =dt RU0iL(t → ∞)=R1⋅τuL( t= 0) = UduLU0( t = 0) = −dtτu ( t → ∞)= 0L0G. Buch, T. Küpper, FK03 Grundlagen der Elektrotechnik 7.6

) Der Ausschaltvorgang:u RiU 0uRLu Lu=⎧U⎨⎩00fürfürt ≤ 0t > 0für t > 0 gilt: (Maschengleichung)0 = u= iLR+ uLdi⋅ R + L ⋅dtLges.: i L (t)Lösung der Differentialgleichung: Abbau des MagnetfeldesG. Buch, T. Küpper, FK03 Grundlagen der Elektrotechnik 7.7

Ausschaltvorgang (Abbau des Magnetfeldes):uLiLU( t)=R( t)= −U00⋅ e⋅ et−τt−τmit : τ =LR(7.4)U0iL(t = 0) =RdiLU( t = 0) = −dt Ri ( t → ∞)= 0L01⋅τuL( t= 0) = −U0duLU0( t = 0) =dt τu ( t → ∞)= 0LG. Buch, T. Küpper, FK03 Grundlagen der Elektrotechnik 7.8

Beispiele zu Kapitel 7:Beispiel 1:Ein Kondensator C = 0,1 µF wird über einen Widerstand R = 5 Ωentladen. In welcher Zeit t x ist die Spannung am Kondensator auf 10%des ursprünglichen Wertes gesunken?Beispiel 2:Der Datenspeicher eines Taschenrechners, ersatzweise dargestelltdurch einen Lastwiderstand R = 2,2 MΩ, soll während desBatteriewechsels aus einem Kondensator C gespeist werden, um einenDatenverlust zu vermeiden. Die Batteriespannung beträgt U B = 3 V .Dimensionieren Sie C so, dass bei einer angenommenenBatteriewechselzeit von t W = 30 s die Versorgungsspannung desDatenspeichers nicht unter den Wert U min = 0.8 V sinkt.U BCRG. Buch, T. Küpper, FK03 Grundlagen der Elektrotechnik 7.9

B7 Übungsaufgaben zu SchaltvorgängenAufgabe 1Ein Kondensator C = 10 µF wird zum Zeitpunkt t 1 an eine Gleichspannungsquellemit der Leerlaufspannung U 0 = 10 V und einemInnenwiderstand R 1 = 5 Ω angeschlossen.Im Ladekreis befindet sich ein begrenzender Widerstand der GrößeR 2 = 10 kΩ. Zum Zeitpunkt t 2 (t 1 « t 2 ) wird der Kondensator übereinen Widerstand R 3 = 5 kΩ entladen.1.1 Zeichnen Sie ein Ersatzschaltbild.1.2 Wie groß ist die maximal gespeicherte Energie W C imKondensator?1.3 Wie groß sind die Zeitkonstanten τ a und τ e für die Auf- undEntladung?1.4 Zeichnen Sie qualitativ den Verlauf von Strom und Spannungam Kondensator.(W C = 0,5 mJ; τ a = 0,1 s; τ e = 50 ms)G. Buch, T. Küpper, FK03 Grundlagen der Elektrotechnik 7.10

B7 Übungsaufgaben zu SchaltvorgängenAufgabe 2Eine geladene Spule L = 250 mH mit einem WicklungswiderstandR S = 5 Ω liegt an einer „idealen“ Spannungsquelle mit U 0 = 100 V.Zum Zeitpunkt t wird die Spule über einen idealen Schalter von derQuelle getrennt und an einen Entladewiderstand R = 50 Ω gelegt.2.1 Zeichnen Sie das Ersatzschaltbild.2.2 Wie groß ist die in der Spule gespeicherte magn. Energie W m ?2.3 Berechnen Sie die max. auftretende induzierte Spannung U max .2.4 Skizzieren Sie den Strom- und Spannungsverlauf an der Spule.(W m = 50 J; U max = 1100 V)G. Buch, T. Küpper, FK03 Grundlagen der Elektrotechnik 7.11