Mathematische Modellierung der Ausscheidung ... - OPUS-Datenbank

4 Methoden der physikalischen Modellierung 30
onen. Da diese Annahme im Allgemeinen aber nicht gültig ist, kann das Modell der subre-
gulären Lösung verwendet werden, bei dem der Interaktionsparameter konzentrations-
und temperaturabhängig ist. Der generellste Ansatz ist aber die Beschreibung der Konzentrationsabhängigkeit
mit einem Potenzansatz k-ter Ordnung [Sau98]:
0 1 2
2
k
( xi , xj, T) Lij Lij ( xixj) Lij( xixj) ∑ Lij ( xixj) Ω = + − + − + K = −
(4.6)
Der Interaktionsparameter k
L ij gibt die Wechselwirkung der Atome untereinander an. Für
k=0 vereinfacht sich der der Potenzansatz zur regulären Lösung und für k = 1 zur subregulären
Lösung. Die Gibbs’sche Freie Enthalpie wird mit diesem Ansatz nun durch die Redlich-Kister-Gleichung
beschrieben, welche für die meisten festen Lösungen gültig ist
[Sau98]:
G
kfz
0, kfz k
k
∑xiGi RT∑⎡xln
i ( xi) ⎤ ∑∑xx i j∑ Lij( xi − xj)
(4.7)
= + ⎣ ⎦ +
i i i
j> i k
Die Gleichung berücksichtigt lediglich binäre Wechselwirkungen zwischen den Atomen,
was oft eine ausreichend gute Näherung ist. Im Bedarfsfall kann aber die Gleichung (4.7)
noch um einen ternären Interaktionsparameter Ω ijl erweitert werden, so dass sich dann
folgende Gleichung ergibt:
0, kz f
k
∑ i i R ∑⎡ i ( i) ⎤ ∑∑ i j∑ ij( xi xj)
kfz
G xG T xln x xx L
= + ⎣ ⎦+
−
i i i j> i k
+
∑∑∑
i j> i l>
j
xx x Ω
i j l ijl
k
k
+
k
(4.8)
In der Praxis sind nach Saunders et al. (1998) fast nie höhere als ternäre Interaktionen
zwischen den Atomen notwendig, um die Thermodynamik gut zu modellieren [Sau98].
Dies lässt sich dadurch begründen, dass nur die unmittelbaren Koordinationspartner ein
bestimmtes Atom im Gitter beeinflussen und damit die Anzahl der Wechselwirkungen relativ
klein ist. Multikomponentensysteme werden daher durch Extrapolationen auf Basis binärer
und ternärer Wechselwirkungen fast immer hervorragend modelliert.
Extrapolation auf Multikomponentensysteme
Sämtliche Modelle zur Beschreibung von Multikomponentensystemen summieren die binären
und ternären Wechselwirkungsparameter mit Hilfe geometrischer Wichtungen der
Elementkonzentrationen. Es existieren verschiedene Modelle für diese Extrapolation, die
wichtigsten für metallische Systeme sind die Muggianu-Gleichung und die Kohler-
Gleichung. Bezüglich einer detaillierten Darstellung wird auf das Werk von Saunders et al.
(1998) verwiesen [Sau98].