7 Lie-Theorie

7 Lie-Theorie
7.1 Lie-Gruppen
7 LIE-THEORIE
Definition 7.1 Eine Lie-Gruppe G ist eine glatte Mannigfaltigkeit, die auch eine Gruppe
derart ist, dass die Gruppenverknüpfung (Multiplikation) G × G → G und Gruppeninverse
G → G glatte Abbildungen sind.
Beispiel 7.2
1. Ist V reeller Vektorraum, so ist auch V Lie-Gruppe mit Verknüpfung Addition.
2. S 1 = R/Z, wobei x genau dann äquivalent zu x ′ ist, wenn ∃n ∈ Z derart, dass
x ′ = x + n ist. Versehen mit Verknüpfung Addition ist S 1 eine Lie-Gruppe, die als
Mannigfaltigkeit kompakt und 1-dimensional ist.
3. Die Menge U(1) := {e 2π√ −1x : x ∈ R} versehen mit Multiplikation ist eine Lie-
Gruppe, die durch die Abbildung x ↦→ e 2π√ −1x diffeomorph (und auch homomorph,
wie wir sogleich definieren werden) zu S 1 ist.
4. Die allgemeine lineare Gruppe vom Grad n über einem Körper K
GL(n, K) := {g = (gij)n×n : det g �= 0, gij ∈ K}
ist die Menge aller n × n Matrizen mit K-wertigen Einträgen, die invertierbar sind.
Sie ist offene Untermannigfaltigkeit des K n (die Einträge sind Koordinaten), und
ist nichtkompakt.
Falls K = R ist die Dimension (als reelle Mannigfaltigkeit)
dim GL(n, R) = n 2 .
GL(n, R) besteht sich aus zwei Komponenten, einem von Matrizen positiver Determinante
und dem Anderen von Matrizen negativer Determinante.
GL(n, C) ist zusammenhängend (wesentlich weil die Determinante einer invertierbaren
komplexen Matrix in der zusammenhängenden Lie-Gruppe U(1) � S 1 ist)
und die Dimension der GL(n, C) als reelle Mannigfaltigkeit ist
dim GL(n, C) = 2n 2 .
5. Die spezielle lineare Gruppe über R (bzw. C) ist
SL(n, R) := {g ∈ GL(n, R) : det g = 1},
ist von Dimension n 2 − 1, und ist zusammenhängend.
6. Die orthogonale Gruppe ist
O(n) := {g ∈ GL(n, R) : t gg = g t g = 1n×n},
wobei 1n×n die n × n Einheitsmatrix ist. Es ist manchmal wichtig zu bemerken,
dass O(n) auch als die Menge aller Matrizen in GL(n, R) derart ist, die die Einheitsmatrix
erhalten, d.h.
O(n) = {g ∈ GL(n, R) : t g1n×ng = 1n×n}.
Geometrie der Quantisierung Dr. W. D. Kirwin 44

7.1 Lie-Gruppen 7 LIE-THEORIE
Da die Determinante einer Elemente in O(n) nur die Werte ±1 annehmen kann,
zerfällt O(n) in zwei disjunkte Teile.
Eine Verallgemeinerung der orthogonalen Gruppe ist
�
O(m, n) := g ∈ GL(n, R) : t � � � ��
1m×m 0 1m×m 0
g
g =
.
7. Die spezielle orthogonale Gruppe ist
0 −1n×n
SO(n, R) := SL(n, R) ∩ O(n),
0 −1n×n
und besteht sich aus Drehungen in R n .
SO(2, R) ist die Menge aller Drehungen in R 2 , die einfach S 1 ist. Tatsächlich ist
S 1 � U(1) � SO(2, R)
SO(3, R) ist die Menge aller Drehungen in R 3 . Weil eine Drehung durch einen
Winkel und die Achse der Drehung, die eine Gerade in R 3 ist, ist SO(3, R) � RP 3
als reelle Mannigfaltigkeit.
Die Verallgemeinerung O(m, n) der orthogonalen Gruppe erzeugt auch eine Verallgemeinerung
der speziellen orthogonalen Gruppe
SO(m, n) = SL(n, R) ∩ O(m, n).
Die Gruppe SO(3, 1) heißt Lorentz-Gruppe, und ist besonders wichtig in Physik,
weil sie sich aus Matrizen besteht, die die Minkowski-Metrik auf R 4 erhalten.
8. Die unitäre Gruppe ist die Mengen aller schiefhermitesche Matrizen, d.h.
9. Die spezielle unitäre Gruppe ist
U(n) := {g ∈ GL(n, C) : t ¯g1n×ng = 1n×n}.
SU(n) := SL(n, C) ∩ U(n).
SU(2) ist diffeomorph zu S3 , weil
��
ā ¯b SU(2) =
−¯ �
: a, b ∈ C, |a|
b ā
2 + |b| 2 �
= 1
� {(Re a, Im a, Re b, Im b) : Re a, Im a, Re b, Im b ∈ R, und
= S 3
(Re a) 2 + (Im a) 2 + (Re b) 2 + (Im b) 2 = 1}
ist.
10. Die symplektische Gruppe ist
�
Sp(2n, R) := g ∈ GL(n, R) : t �
g
0
� �
1n×n
g =
0
0
��
1n×n
.
0
−1n×n
−1n×n
Ist J eine zu ωkan passend fast komplexe Struktur auf einem reellen Vektorraum
V , ist auch die zugehörige Matrix von J bezüglich einer symplektischen Basis in
Sp(2n, R).
Geometrie der Quantisierung Dr. W. D. Kirwin 45
♦

7.1 Lie-Gruppen 7 LIE-THEORIE
Definition 7.3 Eine Lie-Gruppe ist genau dann abelsch, wenn
gilt.
g1g2 = g2g1 ∀g1, g2 ∈ G
Beispiel 7.4 Es stellt sich heraus, dass bis auf Homomorphismen die einzigen abelschen
Lie-Gruppen S 1 , R n und Produkte davon sind. Das Produkt von n Kopien der S 1 wird
n-Torus genannt und wird
T n := S 1 × · · · × S 1
� �� �
n-mal
geschrieben. Ein Torus kann auch als der Quotient T n = R n /Z n definiert werden. ♦
Definition 7.5 Linkstranslation von a ∈ G ist die Abbildung
und Rechtstranslation von a ∈ G ist
Konjugation von a ∈ G ist die Abbildung
Bemerkung 7.6
La : g ∈ G → La(g) := ag ∈ G,
Ra : g ↦→ Ra(g) := ga.
ca : g ∈ G ↦→ ca(g) := aga −1 ∈ G.
1. Für alle a ∈ G sind La und Ra Diffeomorphismen. Außerdem ist L −1
a = L a −1 und
R −1
a = R a −1.
2. Die Komposition zweier Linkstranslationen ist wieder Linkstranslation
La ◦ Lb = Lab,
und die Komposition zweier Rechtstranslationen ist wieder Rechtstranslation mit
der anderen Ordnung
Ra ◦ Rb = Rba.
Links- und Rechtstranslation kommutieren miteinander
La ◦ Rb = Rb ◦ La.
3. Konjugation kann bezüglich Links- und Rechtstranslation
ca = La ◦ R −1
a = R −1
a ◦ La
geschrieben werden. Im Allgemeinen ist Konjugation glatt, aber nicht unbedingt
surjektiv oder invertierbar. Konjugation erfüllt auch
ca ◦ cb = cab und c −1
a = c a −1.
Geometrie der Quantisierung Dr. W. D. Kirwin 46
♦

7.1 Lie-Gruppen 7 LIE-THEORIE
Definition 7.7 Seien G und H Lie-Gruppen. Dann ist Φ : G → H genau dann
Lie-Gruppenhomomorphismus, wenn Φ glatter Homomorphismus ist. Ist Φ auch
invertierbar, so heißt auch Φ Lie-Gruppenisomorphismus. Ist Φ : G → G Lie-
Gruppenisomorphismus, so heißt auch Φ Lie-Gruppenautomorphismus.
Bemerkung 7.8 Es stellt sich heraus, obwohl wir es hier weder beweisen noch gebrauchen
werden, dass ein Homomorphismus Φ : G → H zwischen zwei Lie-Gruppen bereits
glatt ist, wenn er stetig ist. ♦
Beispiel 7.9
1. Die Abbildung Φ : x ∈ R → e 2π√ −1x ∈ U(1) ist Lie-Gruppenhomomorphismus mit
Kern Z. Die Abbildung Φn : u ∈ U(1) → u n ∈ U(1) ist Lie-Gruppenhomomorphismus
mit Kern Z/nZ.
2. Die Abbildung
Φ :
� �
cos θ sin θ
∈ SO(2, R) ↦→ e
− sin θ cos θ
iθ ∈ U(1)
ist Lie-Gruppenisomorphismus.
3. Die Determinante ist Lie-Gruppenhomomorphismus
det : GL(n, R) → (R \ {0}, ×),
weil det(AB) = det A det B ist. Der Kern ist SL(n, R).
Die Determinante ist auch Lie-Gruppenhomomorphismus von U(n) nach U(1), in
welchem Fall der Kern SU(n) ist.
4. Eine Konjugation ca : G → G, die Isomorphismus ist, heißt innerer Automorphismus.
Komplex Konjugation von SU(n) nach SU(n) ist Lie-Gruppenautomorphismus.
Sie ist genau dann innerer Automorphismus, wenn n = 2.
5. Die Euklidische Grupp ist
�� �
g v
ISO(n) := : g ∈ SO(n), v ∈ R
0 1
n
�
,
und heißt so, weil �
g
� � �
v x
0 1 1
� �
gx + v
=
1
für alle x ∈ R n gilt. Die Gruppe kodiert dann die Euklidischen Transformationen
des R n .
Die Abbildung
π :
� �
g v
∈ ISO(n) ↦→ g ∈ SO(n, R)
0 1
ist Lie-Gruppenhomomorphismus mit Kern R n . Weil die Abbildung π surjektiv ist,
ist
SO(n) � ISO(n)/R n .
Geometrie der Quantisierung Dr. W. D. Kirwin 47
♦

7.2 Lie-Algebren 7 LIE-THEORIE
7.2 Lie-Algebren
Definition 7.10 Die Lie-Algebra einer Lie-Gruppe G ist der Tangentialraum der G
am neutralen Element und wird
geschrieben.
g := Lie(G) := TeG
Notation 7.11 Wenn schriftlich geschrieben, ist Lie(G) oft entweder mit kleinen und
unterstrichenen Buchstaben geschrieben, zum Beispiel g, oder mit Fraktur, zum Beispiel
g, geschrieben.
Definition 7.12 Es sei α ∈ Ω 1 (G) und X ∈ Γ(T G). Die 1-Form α heißt links- oder
rechtsinvariant, wenn
L ∗ aα = α bzw. R ∗ aα = α ∀a ∈ G,
und das Vektorfeld X heißt links- oder rechtsinvariant, wenn
(La) ∗ X = X bzw. (Ra)∗X = X ∀a ∈ G.
Ausführlicher ist X zum Beispiel linksinvariant, wenn für alle a ∈ G,
(La) ∗ Xg = Xag.
Beispiel 7.13 Das Vektorfeld ∂/∂x ∈ Γ(T R) ist links- und rechtsinvariant, und die
1-Form dx ∈ Ω 1 (R) ist auch so. ♦
Lemma 7.14
1. Sind X, Y linksinvariante Vektorfelder, so ist auch [X, Y ] linksinvarientes Vektorfeld.
2. Der Vektorraum aller linksinvarianten Vektorfelder ist isomorph zu Lie(G).
Beweis.
1. Sei a ∈ G, dann ist La Diffeomorphism, woraus folgt, dass (La)∗[X, Y ] =
[(La)∗X, (La)∗Y ]. Sind X, Y linksinvariant, so ist auch [(La)∗X, (La)∗Y ] = [X, Y ],
d.h. so ist auch [X, Y ] linksinvariant.
2. Wir definieren eine invertierbare lineare Abbildung zwischen {linksinvariante
Vektorfelder} und Lie(G) = TeG. Dem linksinvarianten Vektorfeld X ordnen wir
Xe ∈ TeG zu. Und umgekehrt ordnen wir dem Vektor Xe ∈ TeG das Vektorfeld X
derart zu, dass
Xg := (Lg)∗Xe.
Klar ist, dass (X)e = Xe ist, also, dass diese Abbildungen Umkehrfunktionen einander
sind. Es bleibt dann nur noch zu beweisen, dass X tatsächlich linksinvariant
ist. Wir berechnen, dass
ist, was das Lemma liefert.
(La)∗Xg = (La)∗(Lg)∗Xe = (Lag)∗Xe = Xag
Geometrie der Quantisierung Dr. W. D. Kirwin 48

7.2 Lie-Algebren 7 LIE-THEORIE
Bemerkung 7.15 Ein linksinvariantes Vektorfeld auf G ist bereits durch seinen Wert
bei e ∈ G definiert. ♦
Nun kommen wir zu einer zweiten Definition Lie-Algebren, die unabhängig von Lie-
Gruppen ist. Wir werden aber sogleich zeigen, dass die Lie-Algebra einer Lie-Gruppe
auch Lie-Algebra in diesem verallgemeinerten Sinne ist. Diese zweite Definition hilft uns,
die Algebra-Struktur der Lie-Algebra zu verstehen, da bis jetzt ist die Lie-Algebra einer
Lie-Gruppe eher ein Objekt differentialer Geometrie.
Definition 7.16 Eine (abstrakte) Lie-Algebra g ist (reeller oder komplexer) Vektorraum
versehen mit einer Lie-Klammer [·, ·] : g × g → g derart, dass
1. [X, Y ] linear in X, Y ist,
2. [X, Y ] = −[X, Y ] ∀X, Y ∈ g ist, und
3. [[X, Y ], Z] + [[Y, Z], X] + [[Z, X], Y ] = 0 ∀X, Y, Z ∈ g ist. (Diese Bedingung ist die
Jacobi-Identität.)
Die Jacobi-Identität besagt, dass eine abstrakte Lie-Algebra eine Art nichtkommutierend
assoziativer Algebra ist. Wir werden im nächsten Kapitel sie umformulieren, so
dass ihre Rolle deutlicher verstanden werden kann.
Da der Kommutator zweier Vektorfelder die Jacobi-Identität erfüllt, bekommen wir
unmittelbar folgendes Lemma.
Lemma 7.17 Ist G Lie-Gruppe, so ist auch Lie(G) abstrakte Lie-Algebra.
Definition 7.18 Eine Lie-Algebra g ist abelsch falls [X, Y ] = 0 ∀X, Y ∈ g ist.
Beispiel 7.19 1. Lie(R × ) = R und Lie(C × ) = C
2. Lie(S 1 ) = R, wobei Lie(U(1)) = √ −1R
Lemma 7.20 Sei V Vektorraum und G = GL(V ). Dann ist Lie(G) = gl(V ) = End(V ),
und die Lie-Klammer ist der Kommutator in End(V ).
Beweis. GL(V ) ist eine offene dichte Teilmenge des End(V ). Daher ist TgGL(V ) �
End(V ) ∀g ∈ GL(V ), insbesondere e, d.h. gl(V ) = End(V ).
Es sei f ∈ End(V ) ∗ , dann ist f| G ∈ C ∞ (G), und Xf = f(X) gilt für jeden Vektor
X ∈ gl(V ).Es sei Xe, Ye ∈ TeG � End(V ) und X, Y die entsprechenden linksinvarianten
Vektorfelder auf G, d.h. Xg = (Lg)∗Xe und Yg = (Lg)∗Ye. Dann gilt für alle f ∈ End(V ) ∗
[X, Y ]gf = Xg(Y f) − Yg(Xf)
= Xg(f(·Ye)) − Yg(f(·Xe))
= f((Lg)∗(Xe ◦ Ye) − (Lg)∗(Ye ◦ Xe))
= f((Lg)∗[Xe, Ye]).
Demzufolge ist [X, Y ]g = (Lg)∗[X e, Ye] und insbesondere ist [X, Y ]e = [Xe, Ye], wobei
die Klammer auf der rechten Seite beider Gleichungen der Kommutator der Endomorphismen
Xe, Ye ist.
Geometrie der Quantisierung Dr. W. D. Kirwin 49
♦

7.3 Die Exponentialabbildung 7 LIE-THEORIE
Beispiel 7.21
Gruppe Algebra
GL(n, R) gl(n, R) = {reelle n × n Matrizen}
GL(n, C) gl(n, C) = {komplexe n × n Matrizen}
SL(n, R) sl(n, R) = {spurlose reelle n × n Matrizen}
O(n, R) o(n, R) = {schiefsymmetrische reelle n × n Matrizen}
SO(n, R) so(n, R) = {schiefsymmetrische spurlose reelle n × n Matrizen}
U(n) u(n) = {schiefhermitesche komplexe n × n Matrizen}
SU(n) su(n) = {spurlose schiefhermitesche komplexe n × n Matrizen}
Man kann die obigen Algebren berechnen, dadurch, dass sie einfach Tangentialräume
sind. Die Lie-Algebra o(n, R) besteht sich zum Beispiel aus Ableitungen am Punkt
1n×n ∈ O(n, R) von Kurven die durch 1n×n verlaufen. Sei g(t) so eine Kurve Matrizen
in O(n, R) mit ˙g(0) = X ∈ o(n, R), dann gilt
t g(t)g(t) = 1.
Die Ableitung nach t bei t = 0 der Gleichung ist
d.h.
t Xg(0) + t g(0)X = 0,
t X + X = 0,
wovon wir sehen, dass o(n, R) sich aus schiefsymmetrischen Matrizen besteht. Die anderen
Lie-Algebren können ähnlich berechnet werden. ♦
Definition 7.22 Die Strukturkonstanten ck ij der Lie-Algebra g bezüglich der Basis
sind die Zahlen derart, dass
{Xi} n i=1
[Xi, Xj] = c k ijXk.
Die Strukturkonstanten ck ij bestimmen die Lie-Algebra, weil jede Klammer zweier
Elemente kann als eine Linearkombination der Basiselemente geschrieben werden. Da-
durch, dass die Lie-Klammer linear ist, wird sie durch die Klammern zweier Basiselemente
bestimmt, die durch die ck ij bestimmt werden.
Lemma 7.23 Sind c k ij Strukturkonstanten, so gilt auch ck ij = −ck jk und ck ii
Beweis. Das Lemma folgt aus der Schiefsymmetrie der Lie-Klammer.
7.3 Die Exponentialabbildung
Im Folgenden sei G eine Matrix-Lie-Gruppe, d.n. eine Untergruppe der GL(n, R) oder
GL(n, C). Es sei g die Lie-Algebra von G.
Definition 7.24 Die Exponentialabbildung exp : g → G ist die Abbildung
e A := exp(A) :=
∞�
j=0
1
j! Aj .
Die Menge {exp{tA} : t ∈ R} heißt Einparameter-Untergruppe.
Geometrie der Quantisierung Dr. W. D. Kirwin 50
= 0.

7.4 Untergruppen und Unteralgebren 7 LIE-THEORIE
Bemerkung 7.25
1. Eine Einparameter-Untegruppe ist tatsächlich eine Untegruppe der G, weil
exp(tA) exp(t ′ A) = exp((t + t ′ )A) ist (die anderen Bedingungen einer Gruppe
folgen unmittelbar daraus).
2. exp bildet eine Umgebung von 0 ∈ g diffeomorph nach einer Umbebung von e ∈ G.
Ist G aber kompakt, so kann exp kein globaler Diffeomorphismus sein. Auch wenn
G nichkompakt ist, ist oft exp kein globaler Diffeomorphismus. Eine Lie-Gruppe G
derart, dass exp globaler Diffeomorphismus ist, heißt exponentielle Lie-Gruppe.
3. Zwei wichtige Abbleitungen sind
d
dt (g · exp(tA)) = (Lg)∗A, und
d
(exp(tA) · g) = (Rg)∗A.
dt
Man sagt daher, dass linksinvariante Vektorfelder Rechtstranslation erzeugen, und
dass rechtsinvariante Vektorfelder Linkstranslation erzeugen.
4. Im Allgemeinen, also für Lie-Gruppen die keine Untergruppen von GL(n, K) sind,
kann man mit der Definition Einparameter-Untegruppen anfangen, und dadurch
die Exponentialabbildung definieren. Falls G keine Matrix-Gruppe ist, gilt nur nicht
mehr die Exponentialreihe-Formel für exp.
Zweite obige Bemerkung ist wichtiger Fakt, den wir als folgenden Satz wiederholen.
Der wird hier nicht bewiesen, obwohl der Beweis sich in fast jedem Buch über Lie-
Gruppentheorie befindet.
Satz 7.26 Ist G Lie-Gruppe mit Lie-Algebra g, so existieren eine offene Umgebung U
von 0 in g und eine offene Umgebung V von e in G derart, dass exp die Menge U
diffeomorph nach der Menge V abbildet.
Obiger Satz liegt mehreren Eigenschaften Lie-Gruppen zugrunde. Eine davon, die wir
im nächsten Kapitel anwenden wollen werden, erfassen wir im folgenden Satz.
Satz 7.27 Ist G zusammenhängende Lie-Gruppe, so kann jedes Element g ∈ G
g = e X1 e X2 · · · e Xk
für irgendeine X1, . . . , Xk ∈ g geschrieben werden.
7.4 Untergruppen und Unteralgebren
Lemma 7.28 Sei H Untergruppe einer Lie-Gruppe G, dann ist h Unteralgebra der Lie-
Algebra g.
Beweis. Es muss bewiesen werden, dass
X, Y ∈ h =⇒ [X, Y ] ∈ h.
Geometrie der Quantisierung Dr. W. D. Kirwin 51
♦

7.4 Untergruppen und Unteralgebren 7 LIE-THEORIE
Sei ΦXL(t, g) der Integralfluss des zu X zugehörigen linksinvarianten Vektorfeldes bzw.
ΦY L
, dann ist
[X, Y ] = [X L , Y L ]e = d
= d
dt e
√
tXe
weil e ±√ tX , e ± √ tY ∈ h sind.
L
ΦY (− √ t, ·)Φ XL
(− √ Y L
t, ·)Φ ( √ t, ·)Φ XL
( √ t, ·)
dt
√
tY −
e √ tX −
e √ tY
∈ h
Definition 7.29 Eine Abbildung φ : g → h ist Lie-Algebra-Homomorphism genau
dann, wenn φ linear ist und wenn für alle X, Y ∈ g
φ([X, Y ]) = [φ(X), φ(Y )]
gilt. (Isomorphismen und Automorphismen sind wie immer definiert.)
Lemma 7.30 Ist ϕ : G → H Lie-Gruppenhomomorphismus, so ist auch (ϕ∗)e Lie-
Algebra-Homomorphismus.
Beweis. Seien X, X ′ linksinvariante Vektorfelder auf G und Y, Y ′ linksinvariante Vektorfelder
auf H mit
Ye = (ϕ∗)eXe und Y ′
e = (ϕ∗)eX ′ e.
Dann ist
(ϕ∗)gXg = (ϕ∗)g(Lg)∗Xe = (ϕ ◦ Lg)∗Xe = (L ϕ(g) ◦ ϕ)∗Xe = Y ϕ(g),
wobei wir den Fakt in der dritten Gleichung angewandt haben, dass ϕ Homomorphismus
ist.
Für alle f ∈ C ∞ (H) ist
Beispiel 7.31
(ϕ∗)e[X, X ′ ](f) = [X, X ′ ]e(f ◦ ϕ)
= Xe(X ′ (f ◦ ϕ)) − X ′ e(X(f ◦ ϕ))
= Xe((ϕ∗X ′ )(f)) − X ′ e((ϕ∗X)(f))
= Xe(Y ′ f ◦ ϕ) − X ′ e(Y f ◦ ϕ)
= ϕ∗Xe(Y ′ f) − ϕ∗X ′ e(Y f)
= Ye(Y ′ f) − Y ′
e(Y f)
= [Y, Y ′ ]e(f).
1. x ∈ R ↦→ e2π√−1x ∈ U(1) erzeugt den Lie-Algebra-Homomorphismus x ∈ R ↦→
2π √ −1x ∈ u(1) = 2π √ −1R.
2. u ∈ U(1) ↦→ un ∈ U(1), wobei n ∈ N ist, erzeugt den Homomorphsmus 2π √ −1x ∈
u(1) ↦→ 2π √ −1nx ∈ u(1).
3. GL(n, R) det
−→ R × erzeugt gl(n, R) tr
−→ R.
U(n) det
−→ U(1) erzeugt u(n, R) tr
−→ 2π √ −1R.
Geometrie der Quantisierung Dr. W. D. Kirwin 52

7.5 Die Baker-Campbell-Hausdorff-Formel 7 LIE-THEORIE
4.
� �
g v
∈ ISO(n) ↦−→ g ∈ SO(N) erzeugt
0 1
� �
X v
∈ iso ↦−→ X ∈ so(n).
0 0
Satz 7.32 Es sei h Lie-Unteralgebra einer Lie-Gruppe G mit Lie-Algebra g. Dann
existiert eine eindeutig bestimmte zusammenhängende Lie-Untergruppe H < G mit
Lie(H) = h.
Beweis. (Skizze) Die Unteralgebra h bestimmt eine Verteilung, die sich aus den linksinvarianten
Vektorfeldern besteht, die bei e in h sind. Da h eine Algebra ist, also, da
[X, Y ] ∈ h falls X, Y ∈ h sind, ist die zugehörige Verteilung involutiv. Nach dem Satz
von Frobenius existiert eine maximale zusammenhängende dazu tangentiale Untermannigfaltigkeit
H ⊂ G. Man beweist dann, dass das Produkt zweier Elemente von H wieder
in H ist, und auch dass die Inverse jedes Element von H wieder in H ist, so dass H Lie-
Gruppe ist.
Bemerkung 7.33 Die algebraische Eigenschaften der Lie-Gruppe G sind oft bei Eigenschaften
der zugehörigen Lie-Algebra reflektiert. Zum Beispiel, ist H ⊳ G normale
Untegruppe, so ist auch h Ideal in g (h ist genau dann ideal, wenn X ∈ h, Y ∈ g ⇒
[X, Y ] ∈ h). ♦
7.5 Die Baker-Campbell-Hausdorff-Formel
Ist G nichtabelsche Lie-Gruppe, so ist auch e A e B oft ungleich e A+B (eigentlich fast
immer). Die BCH-Formel misst den Unterschied. Die genaue Formel ist ziemlich kompliziert,
und ist selbst nicht oft anwendbar oder sehr nützlich, aber ihre Existenz und
Eigenschaften liefern viele Eigenschaften Lie-Gruppen.
Satz 7.34 (Baker-Campbell-Hausdorff) exp(A) exp(B) = exp(µ(A, B)), wobei
µ(A, B) = A + B + 1 1
1
1
[A, B] + [A, [A, B]] − [B, [A, B]] − [B, [A, [A, B]]] + · · ·
2 12 12 24
ist. Darüber hinaus ist die Funktion µ(A, B) abhängig nur von A und B selbst und
mehrfache Lie-Klammern davon.
Die erste wichtige Folgerung der BCH-Formel ist, dass die Gruppenverknüpfung der
G durch die Lie-Klammer bestimmt wird. Darüber hinaus, können wir sogleich folgenden
Satz beweisen.
Folgerung 7.35 Seien φ, φ ′ : G → G Homomorphismen der Lie-Gruppe G derart, dass
die entsprechenden Homomorphismen φ∗, φ ′ ∗ der Lie-Algebra von G gleich sind, dann ist
φ = φ ′ .
Achtung: Sei g isomorph zu g ′ , dann ist G nicht unbedingt isomorph zu G. Das
Problem liegt daran, dass manche Lie-Gruppen Überlagerungen anderen Lie-Gruppen
sein können, und der Unterschied taucht beim Tangentialraum am neutralen Element
nicht auf.
Beispiel 7.36 so(2, R) � R � Lie(R), obwohl SO(2, R) �� R. ♦
Geometrie der Quantisierung Dr. W. D. Kirwin 53
♦

7.6 Haarsches Maß 7 LIE-THEORIE
Der nächste Satz besagt, dass das Überlagerungsproblem das einzige Problem ist.
Satz 7.37 Seien G, G ′ einfach zusammenhängende Lie-Gruppen mit g � g ′ , dann ist
G � G ′ .
Wir beenden dieses Unterkapitel mit noch einer einfachen Folgerung der BCH-Formel.
Folgerung 7.38 H < G ist genau dann abelsche Untegruppe, wenn h abelsche Unteralgebra
ist.
7.6 Haarsches Maß
Ein Maß µ auf einer lokalkompakten Gruppe G heißt linksinvariant, wenn für jede
messbare Menge A ⊂ G
µ(gA) = µ(A) ∀g ∈ G
gilt. Der Satz von Haar besagt, dass jede lokalkompakte Gruppe ein bis auf einen Faktor
eindeutig bestimmtes regülares linksinvariantes Borelmaß besitzt.
Definition 7.39 Das (linke) Haarsche Maß einer Lie-Gruppe ist das bis auf eine
Konstante eindeutig bestimmte reguläre Borelmaß.
Beispiel 7.40 Das Haarsche Maß auf GL(n, R) ist
�
1
µ(A) =
|det g| dλ(g),
wobei dλ das Lebesguemaß auf R n2
A
ist. ♦
Für manche Lie-Gruppen sind links- und rechtsinvariante Haarsche Maßen gleich.
Solche Gruppen heißen unimodulär, von welchen kompakte Lie-Gruppen, halbeinfache
Lie-Gruppen, und abelsche Lie-Gruppen Beispiele sind. Im Allgemeinen müssen aber
zum Beispiel auflösbare Lie-Gruppen nicht unimodulär sein.
7.7 Kleiner Überblick in die Einteilung Lie-Gruppen
Es gibt (ungefähr) eine eineindeutige Beziehung zwischen Lie-Algebren und einfach zusammenziehbaren
Lie-Gruppen. Um Lie-Gruppen zu klassifizieren, versucht man erst
Lie-Algebren zu klassifizieren. Es sind verschieden Arte von Lie-Algebren, die folgendermaß
heißen.
Definition 7.41 Eine Lie-Algebra g heißt
G.
1. auflösbar, falls g ≥ [g, g] ≥ [[g, g], [g, g]] ≥ · · · ≥ 0 (d.h. die ausgeleitete Reihe
nähert sich 0),
2. nilpotent, falls g ≥ [g, g] ≥ [[g, g], g] ≥ · · · ≥ 0,
3. halbeinfach, falls es existieren keine von Null verschiedenen abelschen Ideale, und
4. einfach, falls es existieren keine von Null verschiedenen Ideale.
Falls g = Lie(G) eine der obigen Arten Lie-Algebra ist, so heißt auch die Lie-Gruppe
Geometrie der Quantisierung Dr. W. D. Kirwin 54

7.7 Kleiner Überblick in die Einteilung Lie-Gruppen 7 LIE-THEORIE
Satz 7.42 (von Levi) Ist g Lie-Algebra, so existieren eine auflösbare Teilalgebra r und
eine halbeinfache Teilalgebra s derart, dass
ist.
g = r ⊕ s
Bemerkung 7.43 1. Die direkte Summe im Satz von Levi ist eigentlich semidirektes
Produkt, obwohl wir dies nicht definiert haben.
2. Nach dem Satz von Levi sehen wir, dass es hinreichend wäre, halbeinfache und auflösbare
Lie-Algebren zu verstehen. Halbeinfache Lie-Algebren können vollständig
klassifiziert werden. Hingegen sind auflösbare Lie-Algebren nicht klassifizierbar, in
dem die Eigenschaft Auflösbarkeit ist einfach zu wenig Struktur. Es ist im Allgemeinen
akzeptiert, dass keine sinnliche Klassifizierung auflösbare Lie-Algebren existiert
(genau wie eine Klassifizierung aller Mengen, die aus mehr als drei Elemente
bestehen, existiert). In kleinen Dimensionen kann man alle möglichen auflösbaren
Lie-Algebren ausführlich beschreiben, aber das Problem wird sehr schnell unüberschaubar.
Daher werden wir uns auf halbeinfache, und letztendlich auf einfache,
Lie-Algebren konzentrieren.
♦
Lemma 7.44 Die Folgenden sind äquivalent.
1. g ist halbeinfach.
2. Die Killing-Form B(X, Y ) := Spur(adXadY ) ist nichtausgeartet.
3. g besitzt keine von Null verschiedenen abelschen Ideale.
4. g besitzt keine von Null veschiedenen auflösbaren Ideale.
5. g ist direkte Summe einfacher Lie-Algebren.
Die Liste aller komplexen einfachen Lie-Algebren ist:
An := sl n
Bn := so 2n+1
Cn := sp 2n
Dn := so 2n
E6, E7, E8, F4, G2
n ≥ 1
n ≥ 2
n ≥ 3
n ≥ 4
Die Liste aller reellen einfachen Lie-Algebren ist länger (obwohl nicht so viel länger),
und wir verweisen auf Knapp oder Hall für Details. Reelle Lie-Algebren werden
erst durch ihre Komplexifizierungen klassifiziert. Diese Klassifizierung ist dann durch
die Untersuchung aller möglichen Komplexifizierungen (oder, äquivalent, aller möglichen
reellen Forme eine komplexen Lie-Algebra) verfeinert.
Die für uns interessantesten reellen Lie-Algebren sind die Kompakten. Jede kompakte
Lie-Algebra k besitzt eine eindeutig bestimmte Komplexifizierung g := kC := k ⊕ √ −1k,
die in der obigen Liste vorkommt. Mehrere interessante geometrische Phänomen (besonders
aus der Perspektive geometrischer Quantisierung) folgen aus der Beziehung zwischen
g, k und ihre Struktur.
Geometrie der Quantisierung Dr. W. D. Kirwin 55

7.8 Kompakte Lie-Gruppen 7 LIE-THEORIE
7.8 Kompakte Lie-Gruppen
Da wir uns für kompakte Lie-Gruppen interessieren, lohnt es sich, sie genauer zu besprechen.
Zuerst möchte ich die Einteilung kompakter Lie-Gruppen geben. Obwohl diese
List ziemlich explizit ist, ist sie auch nicht sehr nützlich. Wie es oft mit Einteilungen der
Fall ist, ist die Wichtigkeit dieser Einteilung eher, dass die Methode, die man benutzt,
sie zu erschaffen, hinreichend stark sind, die meisten Probleme zu lösen. Diese Methode
werden im nächsten Kapitel eingeführt.
Satz 7.45 Ist G kompakte (endlich dimensionale) Lie-Gruppe, so existieren eine endliche
Überlagerung ˜ G � T m × K und endliche Untergruppe A ⊂ Z(G) derart, dass
1 → A → ˜ G → G → 1.
Ferner ist die kompakte Lie-Gruppe K halbeinfach und einfach zusammenziehbar.
Satz 7.46 Die kompakten halbeinfachen einfach zusammenziehbaren Lie-Gruppen sind:
Sp(n) := {g ∈ GL(n, H) : t ¯gg = 1n×n} n ≥ 1
SU(n) n ≥ 3
Spin(n) n ≥ 7
G2, F4, E6, E7, E8
Kompakte Lie-Gruppen können auch von der Perspektive ihrer Lie-Algebren untersucht.
Eine kompakte Lie-Algebra heißt genau dann kompakt, wenn sie die Lie-Algebra
einer kompakten Lie-Gruppe ist. Diese Definition ist aber ziemlich äußerlich. Die Kompaktheit
einer Lie-Algebra kann glücklicherweise etwas direkter erkannt.
Satz 7.47 Eine Lie-Algebra g ist genau dann kompakt, wenn sie ein Ad-invariantes
inneres Produkt besitzt.
Die Killing-Form einer Lie-Algebra ist die Bilinearform
B(X, Y ) := Spur(adXadY ).
Es ist einfach zu zeigen, dass B Ad-invariant ist. Es stellt sich heraus, dass B negativ
definit ist, wenn G kompakt ist. Ist B negativ definit, muss aber G nicht unbedingt
kompakt sein. Der Unterschied ist, dass Tn und Rn besitzen dieselbe Lie-Algebra. Also
ist B negativ definit, so ist G Produkt von Rm und einer kompakten Lie-Gruppe.
Ist G kompakte Lie-Gruppe, so ist −B positiv definit. Linkstranslation von −B ergibt
dann eine links- und rechtsinvariante Metrik auf G. Die entsprechende Volumenform ist
daher auch links- und rechtsinvariant, und ist dann bis auf einen Faktor das Haarsche
Maß gleich.
Ist G kompakt, so ist das Volumen von G endlich. In diesem Fall existiert eine kanonische
Normalisierung des (links- und rechtsinvarianten) Haarschen Maßes dµ, und
zwar �
dµ = 1.
G
Es muss nicht unbedingt sein, dass diese Normalisierung dieselbe Normalisierung ist, die
von der Killing-Form erzeugt wird. Normalerweise werden wir die obige Normalisierung
annehmen, was heißt, dass die zugehörige Metrik am Punkt e nicht genau gleich −B ist,
sondern eher gleich −kB ist, wobei k = 1/vol(G) ist, wobei vol(G) ist das Volumen von
G bezüglich der Killing-Form erzeugten Haarschen Maß ist.
Geometrie der Quantisierung Dr. W. D. Kirwin 56