Aufgabenvariation im Mathematikunterricht - Fakultät für Mathematik ...

Aufgabenvariation im Mathematikunterricht (Teil 3) 

-Beispielsammlung- 

Technical Report Nr. 2 

2007 

Brigitte Leneke 

Institut für Algebra und Geometrie 

Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg 

Fakultät für Mathematik 

Postfach 4120 

39016 Magdeburg 

Germany

Aufgabenvariation im Mathematikunterricht (Teil 3) 

-Beispielsammlung- 

Fachberater Mathematik Regelschule Thüringen, Melanie Klomfass, 

Denny Funken, Juliane Stolpe, Vera Reinhard, Nadine Voigt, 

Christiane Fabian, Susanne Kroll, Mareike Winkler, 

Michael Märtens, Christoph Seidel, Sandra Kamieth, 

Inhaltsverzeichnis 

1. Einführung 

Institut für Algebra und Geometrie, Fakultät für Mathematik 

Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg 

Postfach 4120, 39016 Magdeburg 

2. Kompetenz- und Strategieentwicklung durch Aufgabenvariation 

3. Unterrichtsbeispiele 

2

1. Einführung 

Auf der Basis der vielfältigen Diskussionen zur Gestaltung eines handlungsorientierten und 

Problem lösenden Mathematikunterrichts nimmt seit mehreren Jahren die Methode der 

Aufgabenvariation eine beachtliche Position ein. Sie ist „Methode“ in mehrerer Hinsicht. 

Zuerst ist sie für die Schülerinnen und Schüler Methode 

1. zur Entwicklung von Problemfindungsstrategien zur Erzeugung neuer Aufgaben; 

2. um Probleme zu lösen, also Problemlösestrategie; 

3. um eigene Interessen, Leistungsstärken und Motivationen stärker zu nutzen; 

4. um auf die Auswahl von Unterrichtsinhalten und die Gestaltung von Unterricht 

größeren Einfluss nehmen zu können; 

5. um intensiver fächerübergreifende und innermathematische Vernetzungen erleben 

zu können; 

6. das eigene Bild vom Stellenwert der Mathematik und von der Mathematik selbst 

zu erweitern; 

7. neues Wissen zu erwerben; 

8. die Selbstkompetenz zustärken. 

Zum anderen ist sie Methode für die Lehrerinnen und Lehrer 

a. für eine offene Unterrichtsgestaltung; 

b. für einen differenziert gestalteten Unterricht; 

c. für einen schülerzentrierten Unterricht; 

d. das Wissen und Können der Schülerinnen und Schüler sowohl zu vertiefen 

(Festigung) als auch zu erweitern (Neueinführung); 

e. Vorgehensweisen und Strategien zum Problemlösen im Mathematikunterricht 

zu verallgemeinern und auf andere Bereiche zu übertragen, d. h. z. B. 

auch bei den Schülerinnen und Schülern metakognitives Wissen zu entwickeln. 

In diesem breiten Spektrum sind in Lehrveranstaltungen mit Studierenden im Lehramt Mathematik, 

bei Fortbildungsveranstaltungen von Mathematiklehrerinnen und Mathematiklehrern 

und in Workshops Materialien entstanden, die einige Vorschläge sowohl zur Aufgabenauswahl 

als auch zur unterrichtlichen Realisierung enthalten. Dabei wurden weitere 

Aspekte, wie z. B. der geschichtliche oder fächerübergreifende Aspekt betrachtet. 

2. Kompetenz- und Strategieentwicklung durch Aufgabenvariation 

Ein wesentliches Anliegen der Aufgabenvariation im Mathematikunterricht ist es, die Schülerinnen 

und Schüler zu bewegen und zu befähigen, bewusster Probleme anzugehen und 

sie zu motivieren Fragen und Aufgaben selbst zu stellen. Dabei ist sowohl die Entwicklung 

als auch die Anwendung von Problemlösestrategien unabdingbar. Die Entwicklung solcher 

Basisstrategien ordnet sich nicht nur in die Förderung prozessbezogener Basiskompetenzen 

für den Mathematikunterricht (wie z. B. mathematisch denken oder mathematisch 

modellieren) ein, sondern ermöglicht gleichzeitig, weitere wichtige andere Aspekte des Mathematikunterrichts 

in den Mittelpunkt zu stellen, wie z. B.: 

• Entwicklung und Anwendung von Fähigkeiten in unterschiedlichen, verständlichen 

und sinnstiftenden Kontexten 

• Vernetzen von Elementen aus verschiedenen Bereichen 

• Regelmäßiges und integratives Wiederaufgreifen im Laufe mehrerer Jahre (Leitideen!) 

• Systematisches Angebot von reichhaltigen Lernsituationen, die für eine selbstständige 

Auseinandersetzung geeignet sind 

• Förderung von Problemlösebereitschaft durch offene Probleme. 

3

Im Wesentlichen sollen folgende Basisstrategien entwickelt werden: 

1) geringfügig ändern („wackeln“) 

2) Analogisieren („ersetzen“) 

3) Verallgemeinern („weglassen“) 

4) Spezialisieren („hinzufügen“) 

5) Lücken beheben („dicht machen“) 

6) Zerlegen („trennen“) 

7) Kombinieren („zusammenlegen“) 

8) Umzentrieren („Blick wechseln“) 

9) Umkehren („Richtung wechseln“) 

10) Kontext ändern („Rahmen wechseln“) 

11) Iterieren („weitermachen“) 

12) Anders bewerten („interessant machen“) 

Für die Realisierung der Methode der Aufgabenvariation im Mathematikunterricht hat sich 

der folgende Ablauf bewährt: 

(1) Vorgabe der Einstiegsaufgabe (Initialaufgabe) und Lösen dieser Aufgabe, nach Möglichkeit 

auf mehreren Wegen (Einzel-/Partnerarbeit) 

(2) Aufforderung zum Variieren (im Unterrichtsgespräch ggf. Hinweise zu Strategien zum 

Variieren) und Sammeln der Vorschläge ohne Kommentierung von Seiten des Lehrers 

(Mindmap, Kartenabfrage) 

(3) Ordnen, Strukturieren, Bewerten der Vorschläge im Plenum (Mindmap, Cluster bilden) 

(4) Lösen ausgewählter Vorschläge, (Einzel-/Partnerarbeit oder Gruppenarbeit, dabei 

Begründungen und Ergebnisse schriftlich festhalten, z. B. auf Karten oder leeren Folien) 

(5) Vorstellen der Lösungen und ihrer Begründungen (Präsentation und Diskussion im 

Plenum) 

Bei den von uns durchgeführten Unterrichtsversuchen und aus den Erfahrungen anderer 

Mathematiklehrerinnen und Mathematiklehrer ergab sich, dass insbesondere in den Phasen 

(3) bis (5) von den Schülerinnen und Schülern weitere Strategien angewendet wurden: 

a) In Beziehung setzen („vergleichen“) 

b) Umorientieren (Ziel ändern) 

c) Sinnvoll machen (Be-sinnen) 

d) Frage anschließen („Nachfragen“) 

e) Daten ändern („Aktualisieren“) 

f) Visualisieren (Mache dir eine Zeichnung!) 

g) Kritisieren („Verbessern“) 

h) Variation variieren 

i) Schwierigkeitsgrad abändern („schwerer oder leichter machen“) 

j) Extremalisieren („ausreizen“) 

k) Einen Umweltbezug herstellen („anwenden“) 

4

3. Unterrichtsbeispiele 

Die hier aufgeführten Aufgaben sind sowohl unter Beachtung verschiedener o. g. Aspekte 

aufbereitet als auch von allgemeiner Art. So enthält die erste Gruppe Aufgaben, bei denen 

die angegebenen Variationsrichtungen sich spontan ergeben könnten, ohne dass nähere 

Orientierungen oder Richtungen von der jeweiligen Lehrerin oder vom Lehrer vorgegeben 

werden. Bei einer weiteren Aufgabengruppe sind die Variationen gezielter durch Anwendung 

der Basisstrategien erzeugt worden und in der dritten Gruppe sollen bereits in der 

Initialaufgabe aber auch bei den Variationen Beziehungen zu anderen unterrichtsrelevanten 

Aspekten (u. a. historische Bezüge, Fächer verbindende Inhalte, kumulatives Lernen, Arbeiten 

mit und am Computer) genutzt werden. 

3.1 Einführende Aufgabenbeispiele 

3.1.1 Triathlon – ab Klassenstufe 6 

Initialaufgabe: Bei einem Triathlonwettbewerb, der aus den drei Teildisziplinen Schwimmen, 

Radfahren, Laufen besteht, benötigte der Sieger eine Gesamtzeit von 2 Stunden, 12 

Minuten und 30 Sekunden. Der Sieger fuhr mit dem Rad zehnmal so schnell wie er 

schwamm und er lief dreimal so schnell wie er schwamm. Welche Durchschnittsgeschwindigkeit 

erreichte der Sieger auf der Gesamtstrecke? 

5 

Lösungsansatz: gegeben: t = 2 Std.12min30sek. = 2 Std. 

24 

sS = 1,5 km; sR = 40 km; sL = 10 km; 

Vermutete Variationsrichtungen: 

∆s 

km 

v = ; v ≈ 23,32 

∆t 

h 

(1) Wie schnell ist er durchschnittlich auf den Teilflächen? 

(2) Wie schnell wäre der Beste, wenn er die Gesamtstrecke mit dem Rad zurücklegen 

würde? 

(3) Wie lange braucht der Beste, wenn man die Schwimmstrecke von 1,5 km auf 

3,5 km verlängert und dafür die Radstrecke auf 38 km verkürzt? 

(4) Wie ist die Durchschnittsgeschwindigkeit beim Radfahren (Schwimmen, Laufen)? 

(5) Wie lange ist der Triathlet durchschnittlich geschwommen, Rad gefahren und gelaufen? 

3.1.2 Vierecke – ab Klassenstufe 6 

Initialaufgabe: Gegeben sind folgende Punkte durch ihre Koordinaten: 

A (2;1) B (7;1) C (9:4) D (4;4) 

E (14;4) F (14;7) G (9;7) H (21;7) 

J (21;9) K (16;9) L (18;4) M (21;1) 

N (24;4) 

a) Welche der Vierecke ABCD; CEFG; FHJK; MNHL sind Parallelogramme? Versuche zunächst 

die Frage zu beantworten, ohne die Vierecke zu zeichnen. 

b) Berechne jeweils den Flächeninhalt der Vierecke ABCD, CEFG, FHJK, MNHL. 

5

Lösungsansatz: Parallelogramme: Vierecke ABCD, CEFG (Rechteck), 

MNHL (Quadrat, Raute) 

Flächeninhalte: A ABCD = 15 FE; A CEFG = 15 FE; A FHJK = 12 FE 

A MNHL = 18 FE 

Für das Ermitteln der Flächeninhalte und für den weiteren Prozess bei der Gestaltung der 

Aufgabenvariation ist das Visualisieren der Figuren im Koordinatensystem hilfreich: 


(1) Bilde aus den angegebenen Punkten noch weitere Vierecke und untersuche sie auf 

Parallelogrammeigenschaft. 

(2) Wie viele verschiedene Vierecke kann man überhaupt aus den gegebenen Punkten 

bilden? 

(3) Wie kann man den Flächeninhalt derjenigen Vierecke bestimmen, die keine Parallelogramme 

sind? 

(4) Wie kann man schnell, ohne zu zeichnen, die Koordinaten von vier Punkten angeben, 

die ein Parallelogramm bilden? Auch dann, wenn keine Seite parallel zu den 

Koordinatenachsen liegt? 

(5) Finden anderer Flächen (Trapeze, Dreiecke,…) 

(6) Hinzufügen von Punkten, damit weitere Flächen entstehen, die dann untersucht 

werden 

(7) Bestimmen von Umfang, Höhen, … 

(8) „Ablaufen“ von Punkten – kürzeste und längste Strecken bestimmen 

(9) Anwendung: Wo findet man die Flächen im Alltag? 

(10) Koordinatensystem mit anderen Figuren auffüllen – Puzzle 

(11) Welche Bedingung muss zusätzlich erfüllt sein, damit ein Rhombus entsteht? 

(12) Spiegeln der gegebenen Vierecke an …Achse (Verschieben, Drehen) – 

Erkennen von Kongruenz 

(13) Verändern eines Innenwinkels – Auswirkungen auf Fläche? 

(14) Anwenden der Linearkombination, Vektorrechnung 

6

3.1.3 Abflussrinne – ab Klassenstufe 8 

Initialaufgabe: Eine Abflussrinne hat das im Bild dargestellte Profil. Wie viel Meter dieser 

Rinne können aus 1 m 3 Beton hergestellt werden? 

35 

Maßangabe in Millimeter 


(1) Änderung der Maßeinheiten 

(2) Grundformänderung (z. B. Kegelstumpf, Würfel, Pyramidenstumpf) 

(3) Volumenänderung (oder keine Angabe von Rauminhalten) 

(4) Mengenangabe in Masseeinheiten (V in Liter) 

(5) Variation der Form der Rinne 

65 

(6) Welche Neigung muss die Rinne haben, damit das Schmutzwasser bestmöglich ablaufen 

kann? 

(7) Wie lang wäre die Strecke in Zoll? 

∅ 25 

(8) Wie ändert sich die Länge der Rinne, wenn statt 1 m 3 Beton 1 m 3 Zement verwendet 

wird? 

(9) Finde einen Lösungsweg, wenn statt des Volumens eine Masse gegeben wäre. 

(10) Wie verändert sich die Länge der Rinne, wenn ihr Durchmesser größer wird? 

7 

x

3.1.4 Termberechnungen – ab Klassenstufe 7 

Initialaufgabe: Löse die Klammern auf und fasse zusammen: 

a) – 27,9 + (x – 63,5 + e) 

b) – 469 + (–y – 531 + f) + 1,37y. 


(1) Veränderung der Rechenzeichen/Klammern 

(2) Variablen dürfen mehrfach verwendet werden 

(3) Erzeuge einen Term, der durch Zusammenfassen zu 2a – 3b + 4,5c führt. 

(4) Einsetzen konkreter Werte und untersuchen, was bei deren Variation passiert 

(5) Angabe zweier Terme, untersuchen durch Einsetzen, ob sie den gleichen Wert annehmen 

(6) Geschichte zum Term vorgeben, Term wieder erkennen lassen 

(7) Geschichte zum Term erfinden 

(8) Der Term a – (b + c) soll umgeformt werden. Welche Terme können entstehen? 

3.1.5 Waffelverkauf – ab Klassenstufe 5 

Initialaufgabe: Bei einem Schulfest wurden 738 Waffeln verkauft, eine Waffel für 40 Cent. 

An Kosten waren 80,20 Euro entstanden. 

Wie hoch war der Gewinn beim Waffelverkauf? 

Lösung: 738 * 0,4 € = 295,20 € 

295,20 € - 80,20 € = 215,00 € 

Variationsbeispiele: 

1) Veränderung der Anzahl der verkauften Waffeln (500 Waffeln, 900 Waffeln) 

� Schüler überlegen, welche Anzahl realistisch ist 

2) Veränderung des Waffelpreises (20 Cent, 60 Cent, …) 

3) Veränderung der entstandenen Kosten (50 Euro, 100 Euro, … 

4) 

a) Stelle eine Preisliste auf für 1,…, 10 verkaufte Waffeln. 

b) Miriam soll für ihre Freunde auch Waffeln mitbringen. Sie kauft 15 Waffeln. Wie 

können die Waffelverkäufer den Preis möglichst schnell mit Hilfe ihrer Tabelle ermitteln? 

5) Die Schüler wollen von dem Waffelverkauf ihren Wandertag finanzieren. 

Sie brauchen dafür 300 Euro. 

Wie viele Waffeln müssen sie verkaufen? 

6) Wie viele Personen müssen die 30 Schüler in der Klasse jeweils bedienen, wenn jede 

Person 2 Waffeln kauft, um ihren Gewinn von 300 € einzunehmen? 

7) Die Schüler verkaufen die Waffeln in ihren beiden Hofpausen, aber nur an 2 Tagen. 

Jede Hofpause ist 30 Minuten lang. 

Man braucht 3 Minuten, um eine Person zu bedienen. 

a.) Wie viele Personen bedienen die Schüler dann an beiden Tagen und wie viel 

Geld nehmen sie ein, wenn jede Person nur eine Waffel bestellt? 

b.) Wie viele Waffeln müssen die Personen jeweils kaufen, wenn die Schüler einen 

Gewinn von 600 € benötigen? 

8) Die Schüler bieten die Waffeln mit Puderzucker, Nutella und Sahne mit 

heißen Kirschen an. Dabei haben sie folgende Verkaufspreise: 

Waffel mit Puderzucker: 0,40 € 

Waffel mit Nutella : 0,80 € 

Waffel mit Sahne und heißen Kirschen: 1,30 € 

8

An Kosten sind jetzt allerdings 120 € entstanden. 

1/5 der Kunden kaufen Waffeln mit Sahne und heißen Kirschen, 1/3 kauft Waffeln mit 

Nutella und der Rest der Kunden kaufen Waffeln mit Puderzucker. 

Insgesamt bedienen die Waffelverkäufer 500 Personen. Wie hoch ist nun ihr Gewinn? 

9) Neben den Waffeln überlegen sich die Schüler auch belegte Brötchen, Kuchen und 

Kaffee zu verkaufen. 

a.) Überlegt, wie hoch jetzt ungefähr die Ausgaben sind. 

b.) Wie hoch sollten die Preise gewählt werden, wenn insgesamt 180 Personen bedient 

werden, die jeweils 1 Waffel, 1Stück Kuchen, 1 belegtes Brötchen und einen 

Kaffee kaufen, um einen Gewinn von 250 € zu erzielen? 

3.1.6 Peter Lustig – ab Klassenstufe 8 

Initialaufgabe: Peter Lustig möchte aus vielen leeren Dosen (Abb.1) die Kanten eines riesengroßen 

Würfels nachbauen (Abb. 2). Der Würfel soll 3 m hoch sein. Eine Dose ist 12 cm 

hoch und hat einen Durchmesser von 10 cm. Vereinfacht wird angenommen, dass jede Kante 

des Würfels aus gleich vielen Dosen besteht. 

Die Dosen werden in Kartons zu je 50 Stück geliefert. Doch beim Transport wurden 14% der 

Dosen im Karton beschädigt und können nicht genutzt werden. 

Für seinen Würfel braucht Peter 300 Dosen. 

Wie viele Kartons mit Dosen muss Peter Lustig bestellen um seinen Würfel zu bauen? 

Abb.1 Abb.2 

Geg.: G = 50 St Ges.: W 

P =14% 

Lösung: G W 

= 

100 p 

G ⋅ p 

W = 

100 

⇛ 50 - 7 = 43 St im Karton sind brauchbar 

300 

⇛ = 6, 

9Kartons 

≈7 Kartons mit Dosen 

43 

W 

50 ⋅14 

= 

100 

W = 7 

Antwort: Peter Lustig muss 7 Kartons mit Dosen bestellen. 

9


1) Peter Lustig möchte aus vielen leeren Dosen (Abb.1) die Kanten eines riesengroßen 

Würfels nachbauen (Abb. 2). Der Würfel soll 3 m hoch sein. Eine Dose ist 12 cm hoch 

und hat einen Durchmesser von 10 cm. Vereinfacht wird angenommen, dass jede 

Kante aus gleich vielen Dosen besteht. Die Dosen werden in Kartons zu je 50 Stück 

geliefert. Doch beim Transport wurden 12% der Dosen im Karton beschädigt und 

können nicht genutzt werden. Für seinen Würfel braucht Peter 300 Dosen. Wie viele 

Kartons mit Dosen muss Peter Lustig bestellen um seinen Würfel zu bauen 

2) Die Dosen werden in Kartons zu je 50 Stück geliefert. Doch beim Transport wurden 

14% der Dosen im Karton beschädigt und können nicht genutzt werden. Wie viele 

Dosen pro Karton können problemlos verwendet werden? 

3) Peter Lustig möchte aus vielen leeren Dosen (Abb.1) die Kanten eines riesengroßen 

Würfels nachbauen (Abb. 2). Der Würfel soll 3 m hoch sein. Eine Dose ist 12 cm hoch 

und hat einen Durchmesser von 10 cm. Für seinen Würfel braucht Peter 300 Dosen. 

Wie schwer ist der Würfel, wenn eine Dose 90 g wiegt? 

4) Herr Lustig will seine 300 Dosen neu anordnen und legt sie zu zwei gleichgroßen 

Vierecken aus. Für die lange Seite braucht er 85 Dosen. Eine Dose ist 12 cm hoch 

und hat einen Durchmesser von 10 cm. Die Dosen werden so gelegt, dass jeweils 

Deckel und Boden zweier Dosen sich berühren. Aus wie vielen Dosen besteht die 

kurze Seite? Um wie viel cm ist sie kürzer als die lange Seite. Wie lang sind die Seiten 

der Vierecke? 

5) Im Handel kostet eine Einzeldose 5 Cent, ein Karton mit 50 Dosen und darin 14% fehlerhaften 

Dosen kostet 2,30 €. Eine Dose ist 12 cm hoch und hat einen Durchmesser 

von 10 cm. Welches Angebot ist preiswerter um die Kanten eines Würfels von 3 m 

Höhe zu bauen? Gib den Unterschied auch in Prozent an. 

10

3.2 Aufgaben für eine gezielte Anwendung der Basisstrategien 

Die folgenden Aufgaben sind aus unserer Sicht dazu geeignet, unter Anwendung ausgewählter 

Basisstrategien Variationen gezielt zu erzeugen. Kommen die Schülerinnen 

und Schüler auch auf anderem Wege zu diesen Variationen der jeweiligen Initialaufgabe 

sollte jedoch im Nachhinein über diese Variationen reflektiert werden, so dass im 

Ergebnis dieser Reflexion dann die Basisstrategien erkannt und herausgestellt werden. 

Bei der Zuordnung der jeweiligen Strategien zu den Variationen wird z. T. die Nummerierung 

aus 2. übernommen. Ansonsten sind die Strategien explizit benannt. 

3.2.1 Der Garten – ab Klassenstufe 7 

Initialaufgabe: Ein Garten ist rechteckförmig mit dem Umfang 80 m und dem Flächeninhalt 

375 m 2 . Bestimme die Seitenlängen des Gartens. 

Variation der Initialaufgabe Strategien 

Umfang, Flächeinhalt oder/und Flächenform 

ändern 

Kann ein Garten mit dieser Fläche und 

diesem Umfang auch eine andere geometrische 

Form haben? 

Fertige mögliche Zeichnungen an. Visualisieren 

Wie viele Bäume mit einem Kronendurchmesser 

von 3 m passen in den Garten? 

Wir legen Wege und Beete an. Welcher 

Anteil des Gartens wird dann gärtnerisch 

genutzt? 

Wie viel Zaunfarbe brauchst du, wenn 10 l 

für 25 m 2 reichen? (Zaunhöhe geben oder 

variieren lassen) 

Wie groß ist die maximale Fläche, die sich 

mit 80 m Zaun einzäunen lässt? 

Von dem Garten ist nur der Umfang oder 

die Fläche gegeben 

Ähnliche Problemstellung für Teppichboden, 

Fliesen … bei Wohnungsgestaltung 

oder bezogen auf Fußballplatz, Pferdekoppel 

… 

Was passiert, wenn sich jeweils Umfang 

und Flächeninhalt verdoppeln, verdreifachen, 

halbieren,…? 

11 

Geringfügig ändern, Analogisieren, Lücken 

beheben, Spezialisieren 

Nachfragen, Umorientieren, Umkehren, 

Iterieren 

Umkehren, Kontext ändern, Umzentrieren 

Spezialisieren, Umweltbezug herstellen, 

Umzentrieren 

Spezialisieren, Umzentrieren, Umweltbezug 

herstellen, anders bewerten, Nachfragen 

Umkehren, Extremalisieren 

Zerlegen, Analogisieren 

Analogisieren, Kontext ändern, Spezialisieren 

Iterieren, Analogisieren,

3.2.2 Der Kundendienstvertreter – ab Klassenstufe 7 

Initialaufgabe: Ein Kundendienstvertreter legt an zwei Tagen mit seinem Auto 750 km 

zurück. Am ersten Tag fuhr er 120 km mehr als am zweiten Tag. Welche Strecke legte er 

an jedem der beiden Tage zurück? 


Ändern der gegebenen Entfernungen: Gesamtstrecke, 

„Differenzstrecke“, beider 

Entfernungen 

Berechnen des Benzinverbrauchs für die 

zurückgelegte Strecke; Fahrtkostenberechnung 

Wie viele Tage würde er für 15000 km benötigen? 

Kundendienstvertreter muss an beiden 

Tagen 4 Orte (aus Region auswählen) aufsuchen. 

Kürzeste Reiseroute? 

3.2.3 Mischungen – ab Klassenstufe 10 

Geringfügig ändern, Analogisieren 

Spezialisieren, Umzentrieren, anders bewerten, 

in Beziehung setzen, Frage anschließen, 

einen Umweltbezug herstellen 

Umzentrieren 

Umzentrieren, anders bewerten, in Beziehung 

setzen, Variation variieren, Extremalisieren 

Initialaufgabe: Aus 74%igem und 82%igem Spiritus soll eine Mischung von einem Liter 

80%igem Spiritus hergestellt werden. In welchem Verhältnis müssen die zu mischenden 

Flüssigkeiten stehen? 


Aus 12%igem Sekt und 24%igem Curacao 

Blue und Orangensaft sollen 500 ml Grüne 

Wiese mit einem Alkoholgehalt von 6% 

gemixt werden. In welchem Verhältnis 

müssen die zu mischenden Flüssigkeiten 

stehen? 

Ein 18%iges alkoholisches Getränk soll 

hergestellt werden. Dazu sind drei verschiedene 

Getränke unterschiedlichen alkoholischen 

Gehaltes zu verwenden. Gib 

drei verschiedene Rezeptvorschläge an. 

4 cl Blue Curacao werden mit Orangensaft 

gemixt, so dass man 20 cl des Mixgetränkes 

erhält. Welchen Alkoholgehalt hat das 

Mixgetränk? 

12 

Kontext ändern, geringfügig ändern, Analogisieren, 

Umkehren, anders bewerten, Variation 

variieren, in Beziehung setzen 

Analogisieren, in Beziehung setzen, anders 

bewerten, Umzentrieren, Variation variieren

3.2.4 Fahrrad – ab Klassenstufe 6 

1 

4. Lenas Fahrrad legt eine Strecke von 2 m zurück, wenn sich ein Rad genau einmal dreht. 

5 

5 

Das Kinderfahrrad ihres Bruders Max legt bei einer Radumdrehung nur m zurück. 

4 

a. Welche Strecke legt jedes Fahrrad mit genau 

(1) 10 Umdrehungen; (2) 100 Umdrehungen; (3) 1000 Umdrehungen zurück? 

b. Beide fahren eine Strecke von (1) 100 m; (2) 1 km. 

Wie oft drehen sich die Räder jedes Fahrrades? 

c. 

3 

Der Weg zu Lenas Schule ist 2 km lang. Wie oft müssen sich die Räder ihres Fahrrades auf ihrem Schulweg drehen? 

4 

geringfügig ändern 

‚wackeln’ 

Analogisieren 

‚ersetzen’ 

Verallgemeinern 

‚weglassen’ 

Spezialisieren 

‚hinzufügen’ 

Lücken beheben 

‚dicht machen’ 

Zerlegen 

‚trennen’ 

Kombinieren 

‚zusammenlegen’ 

Umzentrieren 

‚Blick wechseln’ 

Umkehren 

‚Richtung wechseln’ 

Kontext ändern 

‚Rahmen wechseln’ 

Iterieren 

‚weitermachen’ 

Anders bewerten 

‚interessant machen’ 

Schroedel Mathematik heute Regelschule Thüringen 6 – Seite 114 – Aufgabe 4 

Lenas Fahrrad legt eine Strecke von 2 1 /5 m zurück, wenn sich ein Rad genau einmal dreht. Das Kinderfahrrad 

ihres Bruders Max legt bei einer Radumdrehung nur 5 /4 m zurück. 

Welche Strecke legt jedes Fahrzeug mit genau 100, 500, 1000 Umdrehungen zurück? 

Welche Strecke legt dein Fahrrad bei (1,) 10 (,20, 50, 70, 100, ...) Umdrehungen zurück? 

Willi weiß nicht, welche Strecke sein Fahrrad bei genau einer Umdrehung zurücklegt. Er weiß aber, 

dass er für eine Strecke von 1,3 km 550 Umdrehungen benötigt. Hat sein Fahrrad größere Räder als 

Lenas Fahrrad? 



Der Weg bis zu Lenas Schule ist 2 3 /4 km. 

Max behauptet: „Mit 1500 Umdrehungen erreichst du die Schule.“ Hat er recht? 



Beim letzten Ausflug mit dem Fahrrad benötigte Lena für 4 km eine Viertelstunde. 

Bis zu ihrer Oma sind es 12 km. Wie lange braucht Lena mit dem Fahrrad bis dahin? 



Beide fahren eine Strecke von 400 m. 

Wie oft drehen sich die Räder jedes Fahrrades? 

Bezug zur Physik herstellbar: gleichförmige Bewegung, Weg-Zeit-Diagramm, Tachometer, ... 



Lena: „Ich bin schneller.“ 

Wer hat Recht, wenn Pauls Rad 2,15 m pro Umdrehung zurücklegt? 

13 

1 /2 km 

Paul: „Nein ich.“

3.2.5 Figuren 

ab Klasse 8 


‚wackeln’ 

Initialaufgabe 

Iterieren 


Iterieren 


Den Schülern wir diese Aufgabe vorgelegt. 

1. Aus einem quadratischen 

Blech ( a = 10 cm ) wird 

folgende Figur ausgestanzt. 

Im zweiten Teil erhalten die Schüler die folgende Aufgabe. 

Klett Schnittpunkt Thüringen 8 – 

Seiten 108+109 – Aufgaben 19+21 

als Initialaufgaben denkbar 

Zeichne diese Figur in dein Heft. 

Berechne den Flächeninhalt und 

den Umfang. 

2. Finde weitere interessante Figuren, die man aus diesem Quadrat und Kreis(teil)en 

bilden kann. Berechne Flächeninhalt und Umfang. 

Es können folgende Figuren entstehen. 

... 

Im dritten Teil sollen die Schüler diese Aufgabe bearbeiten. 

3. Finde Figuren, die man aus anderen Flächen und Kreis(teil)en bilden kann. 

Berechne Flächeninhalt und Umfang. 

Es können folgende Figuren entstehen. 

Umkehren 



‚wackeln’ 

... 

Bei 2. und 3. entstehen Aufgaben, die nach Durchsicht und Auswahl für den weiteren Unterricht genutzt 

werden können. Es wäre auch denkbar, die Aufgabe 21 räumlich (als Würfel und Kugel) zu betrachten. 

Im vierten Teil werden die Aufgaben umgekehrt. 

4. Finde Figuren mit gleichem Flächeninhalt wie bei Aufgabe ... . 

5. Finde Figuren mit gleichen Umfang wie bei Aufgabe ... . 

Wenn die Aufgaben 2 bis 5 vom Lehrer gegeben werden, sollte am Ende unbedingt eine Reflexion über 

die Strategien erfolgen. 

Im letzten Teil sind Aufgaben für spätere Übungen durch Variation der Aufgabenstellung dargestellt. 

6. Welcher Flächenanteil ist grau (weiß)? 

7. Welcher Flächenbruchteil ist grau (weiß)? 

8. Welcher prozentuale Flächenanteil ist grau (weiß)? 

9. Welcher dezimale Flächenbruchteil ist weiß (grau)? 

14

3.2.6 Riesenrad – ab Klassenstufe 8 

18. Der Durchmesser des Wiener Riesenrades im 

Prater beträgt 61 m. 

a. Wie viel m legt ein Tourist in einer Gondel bei 

einer Umdrehung des Riesenrades zurück? 

b. Angabe in einem Prospekt: Das 

Riesenrad dreht sich mit einer Geschwindigkeit 

von 0,75 m pro Sekunde. Wie lange braucht das 

Riesenrad für eine Umdrehung (ohne Halt)? 


‚wackeln’ 

Initialaufgabe 

Analogisieren 








Zerlegen 

‚trennen’ 

Kombinieren 


Umzentrieren 


Umkehren 




Iterieren 



könnte als Initialaufgabe eingesetzt werden 

Der Durchmesser des Riesenrades im Wiener Prater beträgt 61 m. Es gibt 15 Gondeln. 

Das Riesenrad dreht sich mit einer Geschwindigkeit von 0,75 m pro Sekunde. 

Wie viel Meter hat eine Gondel bei einer Umdrehung zurückgelegt? 



Berechne den Umfang des Riesenrades. 



Wie lange dauert eine Umdrehung? 



Welcher ‚Abstand’ ist zwischen zwei benachbarten Gondeln? 



Bei einer Fahrt erreicht jede Gondel dreimal den höchsten Punkt. 

Wie lange dauert eine Fahrt (ohne Halt)? 



Variante a) Welchen Durchmesser hat ein Riesenrad mit einem Umfang von 150 m? 

Variante b) Wie viele Umdrehungen würde man in einer 1/2 h / halben Stunde machen? 



Wie viele Umdrehungen macht mein Fahrradreifen, um die gleiche Strecke zurückzulegen, wie eine 

Gondel bei einer vollständigen Umdrehung (ohne Halt)? 

Vergleich mit anderen stationären Riesenrädern möglich: London (größtes in Europa), Nanchang 

(China, größtes der Welt, d = 163 m, 1 h 30 min), ... 



Wie viel Zeit vergeht, bis die Spitze des 1,5 cm langen Minutenzeigers die gleiche Strecke zurückgelegt 

hat, wie eine Gondel bei einer vollständigen Umdrehung (ohne Halt)? 



Der Durchmesser eines anderen Riesenrades ist halb so groß. 

Wie ändert sich der Umfang? 

15

3.2.7 Dachstuhl 

ab Klassenstufe 9 


‚wackeln’ 

Analogisieren 








Zerlegen 

‚trennen’ 

Kombinieren 


Umzentrieren 


Umkehren 




Iterieren 


Anders bewerten 

‚interessant machen’ 

E 

E 

E 

E 

E 


Ein Dachstuhl ist 1,20 m hoch und 4,80 m breit. 

Wie lang ist eine der beiden gleich langen Dachschrägen? 

In einem 2,40 m hohen Dachstuhl soll ein Zimmer ausgebaut 

werden. Dazu werden Trennwände von 1,10 m Höhe 

errichtet. 

Welche Breite hat das ausgebaute Zimmer? 

In einem 1,20 m hohen Dachstuhl soll eine senkrechte 

Stütze aufgestellt werden. 

Gib zwei Möglichkeiten für eine Stützenhöhe mit dem dazugehörigen 

Abstand zum Ende des Dachstuhls E an. 

Ein Dachstuhl ist 1,20 m hoch und 4,80 m breit. 

Berechne den Neigungswinkel der Dachschräge. 

Vom Ende E des Dachstuhls soll in 1,40 m waagerechter 

Entfernung eine senkrechte Stütze aufgestellt werden. 

Berechne die Länge der Stütze. 

Die Spitzen eines Baumes und eines 38 m hohen Turmes, 

der 100 m von einem Marktbrunnen entfernt steht, werden von dort angepeilt. 

Wie hoch ist der Baum, der von dem Marktbrunnen 20 m entfernt steht? 

Der Dachstuhl hat eine Länge von 6,50 m. Wie viel Stauraum steht zur Verfügung? 

16

3.2.8 Der Rasensprenger – ab Klassenstufe 11 

Initialaufgabe: 

Ein Rasensprenger soll so bewegt werden, dass er einen rechteckigen Rasenstreifen 

gleichmäßig bewässert. Wie sieht die Bewegung aus? 

Lösung: 

Abbildung1: Normaler Rasensprenger Abbildung 2: Optimierter Rasensprenger 

Wasser verlässt mit Anfangsgeschwindigkeit v0 in jedem Augenblick den Rasensprenger 

Wasser bewegt sich auf Wurfparabeln mit einer (horizontalen) Wurfweite von: 

( ) = ⋅v ⋅sin 

2α 

w α 

1 2 

0 

g 

Maximale Entfernung des Wasserstrahls zum Rasensprenger liegt vor bei α= 45° 

Momentane Wandergeschwindigkeit erhält man folgendermaßen: 

v B = 

dw 

dt 

dw dα 

vB 

= ⋅ 

dα 

dt 

vB = konstant, ist: 

bei optimaler Bewässerung, d.h. bei 

Variablentrennung liefert: 

Integration schließlich ergibt: 

c 

Man erhält: t = 

0 

sin2α 

2 

Nun lässt sich α(t) berechnen: 

Ausweichformel (für lktl > 1): 

vB 

dα 

= 

dt c 

= 

0 

dt = c0 

cos 2αdα 

2 2 dα 

v cos 2α 

⋅ 

g 0 dt 

1 

cos 

dt = c0 

cos 2αdα 

∫ ∫ 

2α 

1 

α = arcsinkt 

2 

π 1 

α = + arcsin kt − 2 

2 2 

17 

( ) 

(Kettenregel) 

(c0 ist eine Konstante)

Variationen der Initialaufgabe 

1. Ein Rasensprenger soll so bewegt werden, dass er ein kreisförmiges Rasenstück mit 

einem Durchmesser von 12 m gleichmäßig bewässert. Berechne die Fläche, die dabei 

bewässert werden muss. 

2. Zur vollständigen Bewässerung eines rechteckigen Gartenbeetes soll kein rotierender 

Rasensprenger verwendet werden. Welche anderen Arten von Rasensprengern 

kennst du? Veranschauliche die Verwendung dieser Rasensprenger jeweils in einer 

Skizze. Bei welcher Variante wird am wenigsten Wasser verschwendet? Begründe. 

3. Ein Rasensprenger, der nicht rotiert, soll so bewegt werden, dass er einen rechteckigen 

Rasenstreifen mit den Maßen 5m x 8m gleichmäßig bewässert. Wie sieht die 

Bewegung aus? Versuche, hierbei auch Erkenntnisse aus der Physik anzuwenden. 

4. Der Rasen eines Fußballfeldes mit den Maßen von 100 m x 60 m soll vor dem Training 

der Spieler gleichmäßig bewässert werden. Während der Bewässerungszeit haben 

die Spieler Zeit sich warm zu laufen. Wie lang ist eine Runde, wenn man davon 

ausgeht, dass die Spieler um die zu bewässernde Fläche herumlaufen? 

5. Eine Firma will 100 Rasenflächen bewässern. Hierzu sollen Rasensprenger zur Anwendung 

kommen. Der Hersteller gibt an, dass im Durchschnitt drei Prozent der Rasensprenger 

nicht richtig funktionieren. Wie viele Rasen-sprenger muss die Firma 

vom Hersteller mindestens ordern, um mit 95 % Wahrscheinlichkeit alle Rasenflächen 

bewässern zu können. 

6. Frau Müller möchte ihrem Mann zu Weihnachten einen neuen Rasensprenger kaufen. 

In der Zeitschrift „Stiftung Warentest“ hat sie gelesen, dass drei Prozent der Rasensprenger 

„Maulwurf“ defekt sind. Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass 

Frau Müller aus einem Regal einen defekten Rasensprenger entnimmt. Überlegt 

euch, wie viele Rasensprengerpackungen in einem Regal stehen. 

7. In der Mitte eines rechteckigen Rasenstreifens ist ein Rasensprenger aufgestellt, der 

rotiert. Die Länge des ausgestoßenen Wasserstrahls beträgt genau halb soviel wie 

die kurze Seite des Rechtecks. Das Ende des Wasserstrahls beschreibt somit einen 

Kreis. Berechne die Position des Punktes auf diesem Kreis, der von einem der Eckpunkte 

des Rechtecks eine minimale Entfernung hat. Gib diese Entfernung an. 

8. Gib dir vier Punkte in der Ebene vor, so dass diese vier Punkte ein Rechteck bilden 

und die lange Rechtecksseite zweieinhalbmal so lang ist wie die kurze. Stelle dir dieses 

Viereck als Beet vor, in dessen Mittelpunkt ein Rasensprenger steht, der rotiert 

und einen Wasserstrahl ausstößt, dessen konstante Länge dem Abstand des Rasensprengers 

zum entferntesten Punkt des Beetes entspricht. Stelle die Gleichung der 

Figur auf, die das Ende des Wasserstrahls dabei beschreibt. 

9. Es sollen drei verschiedenförmige Beete mit dem gleichen Rasensprenger bewässert 

werden. Das erste Beet ist rechteckig und hat die Abmaße: 3 m x 5 m. Das 

zweite Beet ist quadratisch und hat eine Seitenlänge von 4 m. Das dritte Beet ist ein 

gleichseitiges Dreieck mit der Seitenlänge von 3,5 m. Der Rasensprenger ist immer 

im Zentrum des jeweiligen Beetes aufgestellt und rotiert. Die Länge des Wasserstrahls 

ist dabei jeweils so gewählt, dass auch der äußerste Punkt des Beetes erreicht 

wird. Bei welchem dieser Beete wird dabei am wenigsten Wasser verschwendet. 

18

Variation Strategien 

1 1, 2, 4, a 

2 2, 5, 7, 11, a, f, k, j 

3 1, 2, 4, 11 

4 1, 8, 10, 12, b, k 

5 3, 8, 10, b, k 

6 3, 8, 9, 10, k, i 

7 4, 8, 10, 12, d, j 

8 1, 4, 6, 8, 10, 12, f, j 

9 2, 3, 10, a, j 

3.2.9 Die Brücke – ab Klassenstufe 5 

Initialaufgabe: Ein Omnibus wiegt leer 13 150 kg und fährt über eine Brücke mit einer Belastbarkeit 

von 15 t. 

Wie viele der 49 Fahrgäste (durchschnittlich 75 kg pro Person) muss der Busfahrer bitten die 

Brücke zu Fuß zu überqueren, wenn er die Höchstbelastung nicht überschreiten will? 

Lösung: 

geg.: m Bus = 13 150 kg ges.: Fahrgäste im Bus bzw. zu Fuß 

m Brücke = 15 t = 15 000 kg 

49 Fahrgäste zu je 75 kg 

Lös.: m verfügbar = m Brücke – m Bus 

= 15 000 kg – 13 150 kg 

= 1 850 kg 

zulässige Personen im Bus = 1 850 kg : 75 kg 

= 24,67 Personen 

-> 24 Personen können im Bus bleiben (der Busfahrer + 23 Fahrgäste) 

Personen zu Fuß = 49 Personen – 23 Personen 

= 26 Personen 

Antwort: 26 Personen müssen die Brücke zu Fuß überqueren. 

19

Variation der Initialaufgabe Strategie 

Der Bus will eine Brücke überqueren, die 

eine Belastbarkeit von 16 t hat. Wie viele der 

Fahrgäste müssen die Brücke trotzdem zu 

Fuß überqueren? 

Im Bus befinden sich nur noch 30 Fahrgäste. 

Wie viele müssen davon die Brücke zu Fuß 

überqueren? 

Der Busfahrer sucht nach einer anderen 

Strecke, damit kein Fahrgast den Bus verlassen 

muss. Alle seine möglichen Umwege 

führen über Brücken. 

Wie hoch muss die Belastbarkeit einer Brücke 

mindestens sein, damit alle Fahrgäste 

im Bus bleiben können? 

Die besagte Brücke ist nicht für Busse oder 

andere Verkehrsmittel freigegeben – es dürfen 

nur Fußgänger die Brücke passieren. 

Wie viele Fußgänger dürfen dann maximal 

sich zur selben Zeit auf der Brücke befinden, 

ohne dass die Höchstbelastung überschritten 

wird? 

Der Bus will die Brücke überqueren und ist 

voller Schulkinder (durchschnittlich 40 kg pro 

Kind). 

Müssen von den 49 Schulkindern der 

5.Klasse welche den Bus verlassen, damit 

der Busfahrer die Höchstbelastung nicht 

überschreitet? Wenn ja, wie viele Kinder 

müssen die Brücke zu Fuß überqueren? 

Alle Schulkinder werden von ihrer Mutter 

oder ihrem Vater mit dem Auto zur Schule 

gebracht werden und befahren dazu diese 

Brücke. 

Wie viele Autos mit Insassen (ein Elternteil 

und ein Kind) passen gleichzeitig auf diese 

Brücke, ohne dass die Höchstbelastung überschritten 

wird. 

(dazu: Masse vom Auto ermitteln (ca.1,5t)) 

Auf einer Brücke, die eine Belastbarkeit von 

20 t hat, befindet sich eine Ampel, an der 

zwei Autos bei Rot stehen und ein Auto passiert 

bereits die Brücke in entgegen gesetzter 

Richtung. 

Wie viele der 49 Fahrgäste (durchschnittlich 

75 kg pro Person) muss der Busfahrer bitten 

die Brücke zu Fuß zu überqueren, wenn er 

die Höchstbelastung nicht überschreiten 

will? 

(Hinweis: die restlichen relevanten Daten 

sind der Skizze zu entnehmen) 

20 

Geringfügig ändern – an der Höchstbelastung 

der Brücke „wackeln“ 

Geringfügig ändern – Anzahl der Personen 

im Bus abändern 

Umkehren – Belastbarkeit berechnen 

lassen 

Umzentrieren – ausschließlich Personen 

auf der Brücke 

Analogisieren – Personen im Bus durch 

Schulkinder ersetzen 

Umzentrieren – Bus durch Autos ersetzen 

Spezialisieren – Situation wird abgeändert

Am 01. Mai 2005 wurde die neue Sternbrücke 

in Magdeburg feierlich eröffnet. Die Brücke 

ist nur für den Fahrrad- und Fußgängerverkehr, 

sowie für den öffentlichen Personennahverkehr 

(Busse und Taxis) frei gegeben. 

Wie viele Busse von 18 m Länge würden 

gleichzeitig auf die Brücke passen? (dazu: 

Länge der Brücke ermitteln (242,2 m)) 

Die Sternbrücke in Magdeburg hat eine Länge 

von 242,2 m und eine Breite von 15,25 

m. Wie groß ist damit die Brückenfläche? 

„Am 1. Mai 2005 fand die feierliche Einweihung 

im Beisein von Oberbürgermeister Dr. 

Lutz Trümper, dem Baubeigeordneten der 

Stadt Magdeburg Werner Kaleschky und 

dem Bauminister des Landes Sachsen- 

Anhalt Karl-Heinz Dähre vor 100.000 Menschen 

statt. Nur wenige Stunden nach der 

Eröffnung wurde die Brücke wegen zu starker 

Eigenschwingungen kurzzeitig gesperrt.“ 

(aus: Wikipedia) 

Wie hoch war die Belastung auf der Brücke 

durch die Menschen an diesem Tag? 

21 

Kontext ändern – Bezug zur Länge der 

Brücke 

Iterieren („weitermachen“ – Brückenfläche 

berechnen 

Umorientieren – Gewicht der Menschen auf 

der Brücke berechnen

3.3 Aufgaben für eine Vernetzung mit anderen Unterrichtsaspekten 

3.3.1 Alte Längenmaße – historische Aspekte – ab Klassenstufe 5 

Initialaufgabe: Alte Längenmaße in heutigen Einheiten: 

1 Zoll 1 Fuß 1 Elle 1 Rute 1 Meile 

Baden 3,0 cm 30 cm 60 cm 3,00 m 8,88 km 

Bayern 2,4 cm 29 cm 83 cm 2,92 m 7,42 km 

Preußen 2,6 cm 31 cm 67 cm 3,77 m 7,50 km 

Sachsen 2,4 cm 28 cm 57 cm 4,30 m 9,06 km 

Württemberg 2,9 cm 29 cm 61 cm 2,85 m 7,45 km 

Welche heutigen Maße hatte ein rechteckiges Feld der Länge 50 Ruten und der Breite 20 

Ruten in Baden? 

Lösung: 

1 Rute (Baden) = 3 m 

50 Ruten (Baden) = 50 * 3 m = 150 m 

20 Ruten (Baden) = 20 * 3 m = 60 m 

Das Feld hat eine Breite von 60 m und eine Länge von 150 m. 


• Veränderung der Variablen: 

� statt 50 Ruten ist das Feld 75 Ruten lang 

� ersetzen der Maßeinheit Rute durch z.B. Elle 

• Veränderung der Vorgaben: 

� man betrachtet nun das Land Bayern etc. 

• Veränderung oder Spezialisierung auf einen Kontext (Spielfeld �Ackerland) 

• Variation durch alltagsnahe Kontexte 

� Feld soll umzäunt werden 

� Feld soll mit Rollrasen ausgelegt werden 

• Variation der Variationen (z.B. statt Holzzaun ein Maschendrahtzaun o.Ä.) 

• Anwendungsorientierung: Anordnung der Latten, Zwischenräume beachten 


1) Wie lang ist der Weg, den man zurücklegen muss, wenn man einmal am Rande um 

das Feld herumgehen möchte? 

2) Berechne wie viele Latten Holz benötigt man, wenn man das Feld am Rande umzäunen 

will? Beachte dabei, dass eine Holzlatte 1,5 m lang ist. 

(weitere Variation über Berechnung der Kosten der Holzlatten) 

3) Das Feld hat nun die Form eines Trapezes. Die beiden parallelen Seiten des Feldes 

haben die Längen 20 Ruten und 30 Ruten (betrachte Sachsen). Sie haben einen Abstand 

von 10 Ruten. Berechne nun die Fläche in m². 

4) Man will das Feld mit Rollrasen bepflanzen. Ein laufender Meter (mit der Breite 1 m) 

kostet 3€. Wie viel Geld müsste der Besitzer zur Bepflanzung des Feldes einplanen? 

5) Der Acker soll bepflanzt werden. Für 1 m² werden 50 g Saatgut benötigt. Wie viel 

Saatgut muss der Bauer einkaufen, wenn in einem Sack 1kg Saatgut enthalten sind? 

22

3.3.2 Wasserzisterne – historischer Aspekt – ab Klassenstufe 7 

Initialaufgabe: Schon lange vor dem Mittelalter verwendete man unterirdische Zisternen 

um Regenwasser aufzufangen und bis zu weiteren Verwendung in diesen Sammelbehältern 

zu speichern. Oft findet man sie bei Burgen auf Bergen aus dem Mittelalter, wo man nicht so 

tiefe Brunnen graben konnte. Solch eine Zisterne von 150 Raumeinheiten erhält Wasser 

durch 1 Rohr, das in jeder Stunde 10 Einheiten Wasser bei starkem Regen liefert. In welcher 

Zeit wird die Füllung der Zisterne von dem Rohr bewirkt? 

Lösungsansatz: 

E 

x = 150 E 

10 h 

� x = 15 h 

Antwort: Es müsste 15 Stunden stark regnen, bis die Zisterne gefüllt ist. 


� Änderung der Vorraussetzungen: 

o Zisterne: 

� die Zisterne hat die Form eines Quaders, eines umgedrehten Kegels, 

eines Zylinders, eines umgedrehten Kegelstumpfes… 

o Rohre: 

� eines der Rohre ist nach 2 Stunden verstopft, da Blätter dem Wasser 

den Weg versperren 

• Variation: Angabe, welches Rohr verstopft ist 

� eines der Rohre hat ein Loch, so dass etwa 30% des Wassers nicht in 

der Zisterne ankommen 

� Änderungen der Angabeformate: 

o Zisterne: 

� statt Raumeinheit eine Maßeinheit wie m³ verwenden bzw. durch Angabe 

von Höhe, Breite und Tiefe 

� Volumenberechnung 

� Oberflächenberechnung (z.B. sollen bei Erneuerung der Anlage die 

Wände mit Fliesen ausgestattet werden; weitere Folgerechnungen: 

Berechnung der Anzahl der Fliesen; Kostenberechnung; Preisvergleich, 

bei verschieden großen Fliesen und Einzelpreisen…) 

o Regenmenge: 

� Angabe der Regenmenge in ml pro m² (1ml = 1cm³) mit einem Einzugsbereich 

für die Rohre von n m² 

� Umkehr der Rechnung 

o aus der Zisterne wird Wasser durch Eimer entnommen 

� Größe der Eimer kann variiert werden 

� Form der Gefäße mit denen man das Wasser entnimmt kann variiert 

werden 

o es regnet stark und die Zisterne bekommt Wasser durch die Rohre, jedoch 

wird gleichzeitig Wasser durch Eimer entnommen 

� Änderung der Fragestellung: 

o Zu wie viel Prozent ist die Zisterne gefüllt? 

� Änderung des Kontextes 

o Alltagsnähe: Suche im Internet eine Zisterne aus der Gegend, in der du lebst 

� Auftrag: Recherche 

� Wasserbedarf einer Familie 

23

� Konstruktion einer geeigneten Zisterne, die den Wasserbedarf 

deckt 

o Suche nach anderen Systemen mit gleichem Zweck (z.B. Brunnen) 

o Bau einer Zisterne: 

� eine Grube soll durch einen Schaufellader ausgehoben werden um eine 

Zisterne anzulegen 

• Angabe oder Berechnung von: 

o pro Schaufel x m³ Erde 

o pro Stunde x m³ Erde 

o Kosten pro Stunde für Schaufellader 

• Wandgestaltung der Zisterne: 

o Kosten: Wand aus Lehm und Stein; aus Zement der Dicke 

x; 

o Zisterne besitzt überirdische Auffangbecken, von denen aus das Wasser in 

die Zisterne geleitet wird 

� Variation der Form der Auffangbecken 

• ebene Geometrie: 

o Flächeninhalt 

o Umfang 

• dreidimensionale Geometrie: 

o Volumen 

o Mantelfläche 


1) Die Zisterne wird durch zwei Rohre mit Wasser beliefert. Berechne die Befüllungszeit 

einer Zisterne mit einem Fassungsvermögen von 150 Raumeinheiten. 

2) Der starke Regen hört nach etwa 2,5 Stunden auf. Wie viel Wasser befindet sich in 

der Zisterne? 

3) In der Zisterne befinden sich bereits 60 Raumeinheiten Wasser. Wie lange dauert es 

noch, bis sie voll ist, wenn es weiterhin stark regnet? 

4) Fünf Stunden lang regnet es stark, die nächsten drei Stunden wesentlich schwächer 

bis es schließlich aufhört zu regnen. Die Zisterne hat ein Fassungsvermögen von 100 

Raumeinheiten. Sie erhält Wasser durch 3 Rohre, deren ersten beiden in einer Stunde 

zwei und deren dritte in einer Stunde fünf Einheiten Wasser bei starkem Regen in 

die Zisterne befördern. Bei schwachem Regen gelangt jeweils nur die Hälfte in die 

Zisterne. Wie viel Wasser befindet nach den acht Stunden Regen in der Zisterne? 

5) Das Auffangbecken der Zisterne hat die Form eines Kegelstumpfes. Es sollen 100m³ 

Wasser in das Becken passen. Der untere Kreis des Kegelstumpfes hat einen Radius 

r von 20m. Der obere Kreis einen Radius R von 25m. Wie groß ist die Steigung des 

Kegelstumpfes? 

24

3.3.3 Zelte – kumulatives Lernen – ab Klassenstufe 6 

Initialaufgabe: Ein Zelt mit quadratischer Grundfläche hat eine Seitenlänge von 3 Metern. 

Wie viel Platz nimmt das Zelt auf einem Zeltplatz ein? 

� Berechnung des Flächeninhaltes eines Quadrates. 

Lösung: A = a 2 = (3 m) 2 = 9 m 2 

Variationsbeispiele: Berechnungsaufgaben an ebenen Figuren 

1) Änderung der Maßeinheiten und Maßzahlen: Seitenlänge von 40 dm; 0,6 km … 

� Schüler überlegen, welche Maßzahlen zur entsprechenden Einheit sinnvoll sind 

2) Änderung der Grundfläche des Zeltes: Dreieck, Rechteck, Rhombus, Trapez, Parallelogramm, 

Kreis und Berechnung des Umfangs und Flächeninhalts 

3) Der Zeltplatz ist 1 Hektar groß. Wie viele Zelte haben dann auf diesem Campingplatz 

Platz, wenn alle Zelte die gleichen Maße haben wie in der Initialaufgabe und zwischen 

den Zelten jeweils ein Zwischenraum von 2 m liegt. 

Wie viel Prozent nimmt dann das Zelt (aus der Initialaufgabe) von der 

Gesamtfläche des Zeltplatzes ein? (Kl.7) 

3 m 

3 m 

7 m 

� Ermittlung der neuen Maße 

� Flächenberechnung Quadrat 

� Raumvorstellungen -> Vorstellungen über die Größe von Flächen 

� Umrechnungen der Flächeneinheiten 

4) Gib mögliche Seitenlängen eines Zeltes mit rechteckiger Grundfläche an, das jedoch 

den gleichen Platz einnimmt wie das Zelt mit quadratischer Grundfläche (aus der Initialaufgabe). 

(Kl. 5/6) 

25

5) Ein Zelt mit quadratischer Grundfläche hat eine Höhe von 2 Metern. Anja, die 6 Meter 

vom Zeltmittelpunkt entfernt steht, beobachtet wie ein Vogel sich auf der Spitze des 

Zeltes niederlässt. Wie weit sind die beiden voneinander entfernt? (Kl.8) 

Vogel 

a 

b = 6 m 

A 

c 

Anja 

� Berechnungen am Dreieck 

� Anwendung Satz des Pythagoras (Begriffe Kathete, Hypotenuse) 

6) Anja betrachtet ihr neu erworbenes Zelt ganz stolz. Dazu schaut sie es sich von jeder 

Seite genau an. Dabei läuft sie dreimal um ihr Zelt herum. Der Kreis, den sie dabei 

zieht, berührt die Eckpunkte der Pyramidengrundfläche (Zelt mit den Angaben 

aus der Initialaufgabe). (Kl.8/9) 

Berechne den Flächeninhalt des Kreises und ziehe dabei die Grundfläche der 

Pyramide ab. 

Welchen prozentualen Anteil nimmt die Pyramidengrundfläche vom Kreis ein? 

Körperberechnungen 

7) Das Zelt mit quadratischer Grundfläche und einer Seitenlänge von 3m ist 2m hoch. 

a) Wie viel Zeltstoff benötigt man für die Herstellung des Zeltes? 

� Berechnung der Mantelfläche einer Pyramide 

� Satz des Pythagoras zur Ermittlung der Höhe 

b) Ein Quadratmeter Stoff kostet 1,70 Euro. Wie hoch sind die Gesamtkosten? 

c) Wie lang ist jeder der 4 Zeltstäbe (s)? 

s 

s 2 = h 2 + (1,5m) 2 = 6,25m 2 + 2,25m 2 

s = 2,92m 

3m 

d) An der Seite des Zelteingangs ist der Stoffbedarf 50% höher als der Bedarf für jede 

der anderen Seiten. Wie groß ist nun der Stoffbedarf? 

e) Berechne die Oberfläche des Zeltes. 

8) Ein Zelt hat die Form einer quadratischen Pyramide. Der Umfang der Zeltgrundfläche 

beträgt 12,80m und die Zelthöhe 1,80m. 

a.) Berechne das Volumen des Zeltinnenraumes! 

26

� Volumenberechnung von Pyramiden 

� Umfang- und Flächenberechnung 

b.) Vergleiche das Volumen, wenn man die Grundkante verdoppelt. 

9) 

Berechnung des Oberflächeninhaltes und Volumens eines Zeltes in Form eines Tet- 

raeders, einer regelmäßig sechsseitigen Pyramide, einer regelmäßig schiefen Pyramide, 

einer unregelmäßig geraden Pyramide. 

Finde 

weitere interessante Aufgaben zu den gegebenen Angaben zu Zelten in Werbeprospekten. 

10) Berechne das Volumen der Luft und den Oberflächeninhalt in folgenden Zelten. 

� weitere Variation: Berechnung der Grundfläche bei gegebener Höhe und Volumen. 

Abb.: Pyramidenzelt und Firstzelt 

Abb.: Tarps 

Abb.: Kuppelzelt Abb.: Tunnelzelt 

Nutze für die Beschaffung weiterer notwendiger Informationen folgende 

Internetadresse: 

http://www.unterwegs.biz/index.php?load=/info_images/zelte/zeltformen.php%3Fid= 

27

3.3.4 Zirkelminen – Leistungsdifferenzierung – ab Klassenstufe 10 

Initialaufgabe: Die Mine für einen Zirkel hat den nebenstehenden Längsschnitt; der Winkel 

an der Spitze beträgt 45°, die Gesamtlänge 25 mm, der Durchmesser 2 mm. Berechne den 

Flächeninhalt des Längsschnittes. 

Ø 2 mm 

Lösung: 

1) 

d 

tan α = 

x 

2 

tan 45° 

= 

x 

2 

x = 

tan 45° 

x = 2mm 

2) 

25 mm 

1 

A = ⋅ ( a + b) 

⋅ h 

2 

1 

A = ⋅ ( 25 + ( 25 − 2)) 

⋅ 2 

2 

2 

A = 48mm 

Unter dem Aspekt des differenzierten Arbeitens und der Möglichkeit der Aufgabenvariation, 

sein eigenes Leistungsvermögen auch real einschätzen zu lernen, bekommen die Schülerinnen 

und Schüler die Zusatzaufgabe, Aufgaben mit verschiedenen Schwierigkeitsstufen zu 

erstellen. So erhalten sie u. a. ein Gefühl für gestellte Aufgaben und können besser einschätzen, 

wie viel Zeit sie für bestimmte Aufgaben benötigen. Ergänzend zur Initialaufgabe 

erhalten die Schülerinnen und Schüler als Skizze noch zwei weitere Minenformen. 

28

Mine 1 Mine 2 

Mine 3 k = 3 mm 

29 

h = 26 mm 

d = 2 mm

Variationsbeispiele mit steigendem Anforderungsniveau: 

1. leicht 

• Durch unsachgemäße Handhabung ist die Mine abgebrochen und stellt jetzt nur noch 

einen geraden Zylinder dar. Berechne nun den Flächeninhalt des Längsschnittes. 

• Berechne den Flächeninhalt der Grundfläche. 

• Berechne den Flächeninhalt des Längsschnittes, wenn der Winkel an der Spitze jetzt 30° 

beträgt. 

• Berechne den Umfang der Trapezfläche. 

• Eine neue Minenart (Mine 2) wird getestet, die die Form eines geraden Kegels besitzt, 

der 25 mm hoch und einen Durchmesser von 2 mm hat. Berechne den Flächeninhalt des 

Längsschnittes der neuen Mine. 

2. mittel 

• Berechne das Volumen der Zirkelmine 2. 

• Berechne das Volumen der Zirkelmine 1. 

• Ein Zylinder von 26mm Höhe und dem Durchmesser von 2 mm wir zu einer Mine angespitzt. 

Berechne das Volumen der Mine 3, wenn k = 3 mm ist. 

• Die Zirkelmine 1 wird aus einem Zylinder gefertigt. Wie viel Abfall entsteht bei der Herstellung? 

• Mine 1 soll verpackt werden, so dass die Mine genau passt. Welche Arten gibt es die 

Mine zu verpacken. 

3. schwer 

• Wie viele Minen 1 müssen hergestellt werden, damit der Abfall, der bei der Herstellung 

entsteht, ausreicht um eine neue Mine 1 daraus herzustellen? 

• Berechne den prozentualen Anteil, den die Mine 2 einnimmt, wenn sie aus einem Zylinder 

hergestellt wird. 

• Die Mine 1 wird auf 115% vergrößert, berechne nun die neuen Maße der Mine. 

• Zeichne Mine 2 im Maßstab 4:1 im Schrägbild α = 45°, p = 1/2. 

• Mine 3 wird so stark angespitzt, dass sie nun genauso ausschaut wie Mine 2, wie viel 

Abfall entsteht. 

4. sehr schwer 

• Berechne die Masse von Mine 1, wenn man die Dichte von Graphit etwa mit 

2,1 g/cm 3 ansetzen kann. 

• In welchem Verhältnis steht das Volumen von Mine 1 und Mine 2 zueinander. 

• Mine 2 wurde 1,5 mm abgeschrieben. Berechne die somit entstandene Stichbreite. 

⇛Idee: Strahlensatz 

D 

1mm 

Z 

A B C 

E 

1,5mm 

• Zeichne Mine 3 im Maßstab 3:1 im Schrägbild mit α = 45°, p = 1/2. 

30 

1mm 

F 

⎛ ZB ⋅EF 

⎞ 

Breite = 2 ⋅ ⎜ ⎟ 

⎜ ⎟ 

⎝ ZE ⎠

3.3.5 Hürdenlauf – Modellfindung/ fächerübergreifend – ab Klassenstufe 10 

Initialaufgabe: Bestimme die Funktion f, die der Körperschwerpunkt eines Hürdenläufers 

bei der Überquerung der ersten Hürde beschreibt. 

Mit dieser sehr offenen, fächerübergreifenden Aufgabenstellung erschließen sich Wege 

zur Weiterentwicklung des Mathematikunterrichts in Bezug auf die Herausbildung sowohl 

von mathematischen als auch sozialen Kompetenzen, die durch die Recherchen im Internet 

unterstützt werden. Diese können von den Schülerinnen und Schülern zum Thema „Hürdenlauf“ 

selbst vorgenommen werden oder als zusätzliche Informationen zur Verfügung 

gestellt werden. 

Für die Realisierung einer entsprechenden Unterrichtssequenz können folgende Phasen 

beschrieben werden: 

1. Zusammentragen der Kriterien (Parameter zur Aufgabenbestimmung), Recherchen im 

Internet in Partnerarbeit 

• Wie lang ist ein Hürdenlauf 

• Wie viele Hürden stehen in welchem Abstand, wie hoch sind die Hürden 

• Wo liegt der Körperschwerpunkt eines Menschen 

• Welche Kurve beschreibt der Körperschwerpunkt 

• … 

2. Festlegen der Parameter und Lösen der Initialaufgabe in 4er Gruppen, Vorstellen der 

Lösung 

3. Brainstorming zur Variation von Aufgaben 

4. Schüler finden Aufgabenvariationen (3 je Gruppe) und stellen diese den Mitschülern vor 

5. Lösen von Aufgabenvariationen (1 Aufgabe der eigenen Gruppe, 1 Aufgabe einer anderen 

Gruppe) und Vorstellen der Lösungen jeder Gruppe 

6. Erstellen von Plakaten 

Für die Bearbeitung der Initialaufgabe in den Phasen 1 und 2, vor allem für das Finden des 

mathematischen Modells, sind Bilder oder Fotografien zum Bewegungsablauf beim Hürdenlauf 

sehr hilfreich. 

Für die Veranschaulichung der Bewegung bei der Überquerung einer Hürde wurde zum einen 

eine Bilderreihe zusammengesetzt, um den Schülerinnen und Schülern den Bewegungsverlauf 

darzustellen und des Weiteren eine illustrierte Bilderreihe aus dem Internet, die 

den Bewegungsablauf exemplarisch vorstellt, zur Verfügung gestellt. 

(vgl. /5/) 

31

(vgl. /6/). 

Bei der Fragestellung der Lage des Körperschwerpunktes kann eine Illustration angefügt 

werden, die zur Bestimmung hilfreich ist. Auch hier sind Festlegungen notwendig, denn der 

Körperschwerpunkt ist bei jedem Menschen in unterschiedlicher Lage. Und insbesondere für 

den Sprung müssen wir verallgemeinern, dass sich der Körperschwerpunkt während der 

Bewegung nicht ändert. 

(vgl. /7/) 

Um die Schülerinnen und Schüler auf die Idee zu bringen, dass man den Körperschwerpunkt 

mittels der Betrag-Sinusfunktion beschreiben kann (falls sie nicht von selbst darauf kommen), 

könnte die erste Bilderreihe mit einer Markierung des Körperschwerpunktes versehen 

und danach noch ein Koordinatensystem eingefügt werden. 

32

Ergänzend wurden in der gemeinsamen Diskussion folgende Parameter festgelegt: 

Art des Hürdenlaufes: 110 m der Herren 

Höhe der Hürde: 1,067 m 

Größe des Hürdenläufers: 1,800 m 

Höhe des Körperschwerpunktes vom Boden: 1,000 m 

Erreichen des höchsten Punktes des KSP (vor 

der Hürde): 

Erfolgreiche Überquerung der Hürde, wenn der KSP folgenden 

höchsten Punkt erreicht: 

0,250 m 

1,150 m 

Optimale Absprungweite vor der Hürde: 1,750 m 


Erstellen einer Wertetabelle: 

x in m 

f ( x) 

0 0,5 1 1,25 1,5 1,75 2 2,5 3 

y = in m 1,00 1,07 1,13 1,14 1,15 1,14 1,13 1,07 1,00 

33

Erstellen einer graphischen Darstellung: 

1,16 

1,14 

1,12 

1,10 

1,08 

1,06 

1,04 

1,02 

1,00 

Allgemeine Sinusfunktion: y = f ( x) 

= sin x 

Allgemeine Betrag-Sinusfunktion: y = f ( x) 

= sin x 

Betrag-Sinusfunktion mit benötigten Parametern: 

a… Amplitude 

y = f(x) in m 

0,00 0,50 1,00 1,25 1,50 1,75 2,00 2,50 3,00 

b… Anzahl der vollständigen Perioden im Intervall 

d… Verschiebung in positive y − Richtung 

34 

2π 

( x) 

= a bx d 

y = f sin + 

x in m

Festlegung der Parameter 

λ … Länge einer vollständigen Periode 

Aufstellen der Funktionsgleichung für die Überquerung der 

Hürde mit den festgelegten Parametern: 


Strategie 

Geringfügig ändern 

Analogisieren 

a = 0, 

150m 

2π 

b = ≈ 1, 

047 

λ 

d = 1, 

00m 

( x) 

= 0 , 15sin1, 

047 + 1 

y = f 

x 

Die Schüler ändern die festgelegten Parameter und Kriterien 

und erstellen somit eine Aufgabenvariation, die 

nach dem gleichen Lösungsprinzip gerechnet werden 

kann 

Verallgemeinern Die Schüler führen für die festgelegten Parameter und 

Kriterien Variablen ein, die zu einer allgemeinen Funktionsgleichung 

führen 

Spezialisieren Die Schüler fügen der Aufgabenstellung weitere Informationen 

hinzu und erweitern somit die Aufgabenstellung 

Lücken beheben Bei offenen Kriterien legen die Schüler Werte fest, um 

die Aufgabe lösen zu können 

Zerlegen Die Schüler teilen die Aufgabe so, dass mehrere Aufgabenstellungen 

entstehen, die mehr oder weniger unabhängig 

voneinander gelöst werden können 

Kombinieren Die Schüler legen verschiedene Aufgaben zusammen 

und entwickeln eine große komplexe Aufgabenvariation 

Umzentrieren Die Schüler könnten diskutieren, ob man die Funktion 

des Körperschwerpunktes auch durch eine quadratische 

Funktion darstellen kann 

Umkehren Die Schüler geben z.B. eine Funktion vor und die Aufgabe 

ist, die Parameter zu suchen. 

Kontext ändern Die Schüler könnten den Inhalt der Aufgabe wechseln, 

z.B. zu anderen Sportarten übergehen oder den Kontext 

Sport ganz verlassen 

Anders bewerten Die Schüler machen durch eine Aufgabenvariation die 

Aufgabe interessanter, sie übertragen die Aufgabenstellung 

auf Themen/Hobbys, die die Klasse interessieren 

35

3.3.6 Fluggastzahlen – Nutzung moderner Medien – ab Klassenstufe 5 


(vgl. /4/, S. 5) 


Flughafen Fluggastzahlen 1980 Fluggastzahlen 1990 

Zürich 8.000.000 12.000.000 

Paris (Charles de Gaulle) 16.000.000 22.000.000 

London (Heathrow) 28.000.000 40.000.000 

Frankfurt/ Main 18.000.000 30.000.000 


geringfügig ändern: 

Spezialisieren: 

Umzentrieren: 

- Ändern des Diagrammtyps (Nutzung von Tabellenkalkulationssoftware) 

- Ändern der Zahlenwerte 

- Hinzufügen weiterer Flughäfen (mit Hilfe des Internets) 

- Ermitteln neuerer Fluggastzahlen 

- Erstellen von Prognosen 

- Berechnung von Fluggastzahlen pro Woche/Tag etc. 

Kontext ändern: 

Iterieren: 

- „Einführung“ verschiedener Flugzeugtypen und Ermittlung wie, oft diese fliegen 

müssen um alle Passagiere zu transportieren 

- Vergleich der Bevölkerungszahlen z.B. von Sachsen-Anhalt mit den Fluggastzah- 

len 

36


1. Übertrage die abgelesenen Daten in zwei andere Diagrammtypen. 

Kreisdiagramm 

Punktdiagramm: 

45.000.000 

40.000.000 

35.000.000 

30.000.000 

25.000.000 

20.000.000 

15.000.000 

10.000.000 

5.000.000 

0 

Fluggastzahlen 1980 

Zürich 

Zürich 

Zürich 

Paris (Charles de 

Gaulle) 

London (Heathrow) 

Frankfurt/ Main 

London 

(Heathrow) 

London Frankfurt/ Main 

(Heathrow) 

Paris (Charles 

de Gaulle) 

Paris (Charles Frankfurt/ Main 

de Gaulle) 

0 1 2 3 4 5 



2. Ermittle mit Hilfe des Internets die aktuellen Fluggastzahlen der oben genannten Airports, 

trage diese dann in ein Kreisdiagramm ein und ermittle die Veränderung zwischen 

1990 und heute. 


Flughafen aktuelle Fluggastzahlen Veränderungen zu 1990 

Zürich 19.200.000 +7.200.000 

Paris ( Charles de Gaulle) 56.849.567 +34.849.567 

London Heathrow 67.342.900 +27.342.900 

Frankfurt/ Main 52.800.000 +22.800.000 

37

3. Stelle die aktuellen Fluggastzahlen der 10 größten Flughäfen der Welt in Form zweier 

Diagrammarten dar. (Quelle. www.Wikipedia.de) 


Kreisdiagramm: 

Balkendiagramm: 

100.000.000 

90.000.000 

80.000.000 

70.000.000 

60.000.000 

50.000.000 

40.000.000 

30.000.000 

20.000.000 

10.000.000 

0 

1. Atlanta, 

aktuelle Fluggastzahlen 1. Atlanta, USA 

aktuelle Fluggastzahlen 

3. London 

5. Los 

7. Paris- 

2. Chicago 

O'Hare, USA 

3. London 

Heathrow, GBR 

4. Tokio-Haneda, 

JPN 

5. Los Angeles, 

USA 

6. Dallas/Fort 

Worth, USA 

7. Paris-Charlesde-Gaulle, 

FRA 

8. Frankfurt, GER 

9. Las Vegas, 

USA 

10. Amsterdam, 

NLD 

9. Las 

aktuelle 

Fluggastzahlen 

4. Ein Airbus A 380 fasst in seiner Standardversion maximal 853 Passagiere. Wie oft 

muss der A 380 fliegen, um die täglichen Passagierzahlen des Frankfurter Airports zu 

bewältigen. 

5. Wie viele Flüge muss der kleinere A 320 mehr absolvieren, um ebenfalls das tägliche 

Fluggastaufkommen des Frankfurter Airports abzuwickeln. 

6. Wie oft muss ein A 380 fliegen, um die gesamte Bevölkerung von Sachsen-Anhalt 

einmal zu fliegen? 

38

3.3.7 Haushalte – Nutzung moderner Medien – ab Klassenstufe 7 


(1) Erstelle zu folgender Grafik eine Tabelle im Computerprogramm Excel! 

(2) Die Zahlenangaben im Text stehen im Widerspruch zu den Daten in der Grafik. Berechne, 

wie viele Einwohner tatsächlich im Jahr 1900 und 1996 in den verschiedenen Haushaltstypen 

lebten. Präsentiere deine Ergebnisse in einer Tabelle in Excel. 

39

Lösung: 

(1) Möglichkeit 1: 

Möglichkeit 2: 

(2) Der Fehler besteht darin, dass der Autor des Textes davon ausgegangen ist: im Jahr 

1996 gab es 347 (bzw. 317) von 1000 Haushalten Ein- (bzw. Zwei-)Personen-haushalte. 

Daraus folgt: 347 + 317 = 664 von je 1000 Einwohnern lebten in Ein- oder Zwei- 

Personenhaushalte. Das ist ein Irrtum, denn in einem Zwei-Personenhaushalt leben zwei 

Einwohner. 

Das bedeutet für einen Zwei-Personenhaushalt im Jahr 1996: 317 Haushalte x 2 Personen = 

634 Einwohner im Haushalt. 

40

In einem Haushalt mit 5 oder mehr Personen im Jahr 1900 lebten demnach mindestens 

2220 Einwohner (=> 444 Haushalte x 5 Personen). 

Mögliche Variationen 

1. Strategie: geringfügig ändern -> Jahre und Daten ändern 

Erstelle zu folgenden Werten eine Tabelle mit Excel und vergleiche diese Daten in einem 

Diagramm! 

1 Person 2 Personen 3 Personen 4 Personen 5 Personen 

und mehr 

im Jahr 1900 71 147 170 168 444 

Im Jahr 2000 361 336 143 113 43 

(Quelle: Statistisches Bundesamt, http://www.destatis.de/indicators/d/lrbev05ad.htm) 

2. Strategie: Aktualisieren -> Tabelle mit aktuellen Werten 

Erstelle eine Tabelle mit den Werten aus der Grafik und aktuellen Werten! 

3. Strategie: in Beziehung setzen -> mit aktuellen Daten vergleichen 

Forsche nach aktuellen Werten und vergleiche sie mit den Werten aus der Grafik in einem 

Diagramm! 

4. Strategie: Verallgemeinern -> Diagramm mit Werten aus der Grafik 

Erstelle ein Diagramm, in dem du die Werte von 1900 untereinander vergleichst! 

41

5. Strategie: Umzentrieren -> zu Prozentrechung wechseln 

Berechne mit Hilfe von Excel, wie viel Prozent die Haushaltstypen den jeweiligen Anteil an 

den gesamten Haushalten in Deutschland ausmachen! 

6. Strategie: Umzentrieren -> zu Prozentrechung wechseln 

Gib (in Excel) an, wie viel Prozent der Einwohner in Deutschland lebten a) im Jahr 1900 und 

b) im Jahr 1996 in Haushalten mit einer Person? 

Lösungsansatz: ohne Excel 

a) für 1900: Personen in allen Haushalten zusammen = 3 747 

Personen im Haushalt mit einer Person = 71 

=> 71 : 3 747 = 0,0189 = 1,9 % 

b) für 1996: Personen in allen Haushalten zusammen = 2 202 

Personen im Haushalt mit einer Person = 347 

=> 347 : 2 202 = 0,1575 = 15,8 % 

7. Strategie: Kritisieren -> Text verbessern 

Schreibe einen Leserbrief an die Zeitung! Begründe darin, warum die Zahlenangaben im 

Text falsch sind! 

Lösung: Hier ein „professioneller“ Leserbrief, der vier Tage nach dem Erscheinen der Grafik 

veröffentlicht wurde: 

42

3.3.8 Kostenrechnung –fächerübergreifend – ab Klassenstufe 10 

Initialaufgabe: Herr Müller benötigt einen neuen PKW. Zur Auswahl stehen zwei Modellvarianten 

eines sportlichen Mittelklassewagens: zum einen mit Dieselmotor und zum anderen 

mit Benzinmotor. Folgende Kosteninformationen stehen zur Verfügung: 

Die Kraftstoffpreise betragen 1,10 € je Liter Diesel bzw. 1,40 € je Liter Benzin. Ab welcher 

jährlichen Fahrleistung lohnt sich der Kauf des teureren Diesel-PKW? 


(Jahres)Kostenfunktionen: K(x) = Abschreibung + Fixkosten + variable Kosten 

Diesel K(x) = 5.100 + 0,066 x [0,066 = 6*1,10/100] 

Benzin K(x) = 4.440 + 0,112 x [0,112 = 8*1,10/100] 

Kritische Jahresfahrleistung: x = 14.347,83 km 

Variationsbeispiele 

1. Wie hoch sind die gesamten Betriebskosten pro gefahrenen Kilometer für das jeweilige 

Fahrzeug bei einer Jahresfahrleistung von 10.000 km, 20.000 km bzw. 30.000 km? 

Interpretieren Sie das Ergebnis. 

2. Die Kraftstoffpreise betragen 1,10 € je Liter Diesel bzw. 1,40 € je Liter Benzin, wobei Diesel 

monatlich 15% teurer wird und Benzin 10%. Lohnt sich der Kauf eines Diesel und wenn 

ja, ab welcher Fahrleistung? 

3. Die Kraftstoffpreise betragen 1,10 € je Liter Diesel bzw. 1,40 € je Liter Benzin. Ab welcher 

jährlichen Fahrleistung lohnt sich der Kauf des teureren Diesel-PKW, wenn die KFZ-Steuer 

nicht nach ccm, sondern nach dem CO2 Ausstoß berechnet wird? 

Welche Vor- und Nachteile entstehen durch die Emissionsbesteuerung? 

3.3.9 Flugbahn eines Basketballs – Modellfindung/fächerübergreifend – 

ab Klassenstufe 9 

Initialaufgabe: Die Flugbahn eines Basketballs ähnelt im Verlauf dem Graphen einer 

quadratischen Funktion. Der Korb befindet sich in einer Höhe von 3,05 m und der 

Scheitelpunkt der Flugkurve liegt 60 cm vor und 30 cm über dem Korb. Welche quadratische 

Funktion beschreibt die Flugkurve des Balles? 

43


Geg.: P1 (0,6/ 3,05) ges.: a, b ,c 

P2 (0/ 3,35) 

P3 (-0,6/ 3,05) 

ax 2 + bx + c = d 

1. Gleichungssytem aufstellen und lösen 

Lösung: Gleichungssystem 

I 3,35 = c 

II 3,05 = 0,36a + 0,6b + c 

III 3,05 = 0,36a – 0,6b + c 

aus I folgt 3,35 = c 

5 

a = — 

6 

b = 0 

5 2 

Gleichung aufstellen: f(x) = — x + 3,35 

6 

Mögliche Variationsaufgaben 

1. Beeinflusst der Abstand des Spielers zum Korb die Flugkurve des Balles? Wie 

sieht dann die Funktion aus? 

2. Welche Toleranzspanne kann der Parameter vor x 2 haben, damit der Spieler bei 

gleichem Abstand zum Korb trotzdem trifft? 

3. Wie hoch muss der Ball fliegen, damit ein Spieler, der außerhalb der 3 Punkte 

Linie steht, trifft? 

4. Wenn ein Ball nach einem erfolgreichen Korbwurf zur Ruhe kommt, prellt er zu- 

erst einige Zeit auf der Stelle. Hier spricht man von einer gedämpften Schwingung. 

Wie könnte der Verlauf des Graphen im Koordinatensystem aussehen? 

5. Bei einem indirekten Pass, steht ein Spieler 5 m von einem Passgeber entfernt. 

Wie sieht die Funktionsgleichung aus, wenn der Ball von 1,10 m Höhe abgeworfen 

wird und die Flugkurve des Balls einer Betragsfunktion ähnelt? 

44

Literatur 

/1/ Henning, H.; Leneke, B.: Aufgabenvariation als Unterrichtsgegenstand 

Technical Report Nr. 1, 2000 

Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg, Fakultät für Mathematik 

/2/ Schupp, Hans: Thema mit Variationen oder Aufgabenvariation im 

Mathematikunterricht 

Verlag Franzbecker, Hildesheim, Berlin, 2002 

/3/ Ambrus, A.; Schulz, W.: Wie gehen Lehramtsstudenten mit offenen Aufgaben und 

Aufgabenvariation um? 

Beiträge zum Mathematikunterricht 2003, S. 61 – 64 

/4/ Mathematik plus Klasse 5 Sachsen-Anhalt 

Cornelsen, Volk und Wissen, Berlin, 2004 

/5/ http://www.brianmac.demon.co.uk/hurdles/photoseq.htm 

/6/ http://www.brianmac.demon.co.uk/hurdles/index.htm 

/7/ http://www.sportunterricht.de/lksport/ksp.html 

/8/ http://www.destatis.de/indicators/d/lrbev05ad.htm 

45

Aufgabenvariation im Mathematikunterricht - Fakultät für Mathematik ...

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