Aufgabenvariation im Mathematikunterricht - Fakultät für Mathematik ...
Aufgabenvariation im Mathematikunterricht - Fakultät für Mathematik ...
Aufgabenvariation im Mathematikunterricht - Fakultät für Mathematik ...
Erfolgreiche ePaper selbst erstellen
Machen Sie aus Ihren PDF Publikationen ein blätterbares Flipbook mit unserer einzigartigen Google optimierten e-Paper Software.
<strong>Aufgabenvariation</strong> <strong>im</strong> <strong><strong>Mathematik</strong>unterricht</strong> (Teil 3)<br />
-Beispielsammlung-<br />
Technical Report Nr. 2<br />
2007<br />
Brigitte Leneke<br />
Institut <strong>für</strong> Algebra und Geometrie<br />
Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg<br />
<strong>Fakultät</strong> <strong>für</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
Postfach 4120<br />
39016 Magdeburg<br />
Germany
<strong>Aufgabenvariation</strong> <strong>im</strong> <strong><strong>Mathematik</strong>unterricht</strong> (Teil 3)<br />
-Beispielsammlung-<br />
Fachberater <strong>Mathematik</strong> Regelschule Thüringen, Melanie Klomfass,<br />
Denny Funken, Juliane Stolpe, Vera Reinhard, Nadine Voigt,<br />
Christiane Fabian, Susanne Kroll, Mareike Winkler,<br />
Michael Märtens, Christoph Seidel, Sandra Kamieth,<br />
Inhaltsverzeichnis<br />
1. Einführung<br />
Institut <strong>für</strong> Algebra und Geometrie, <strong>Fakultät</strong> <strong>für</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg<br />
Postfach 4120, 39016 Magdeburg<br />
2. Kompetenz- und Strategieentwicklung durch <strong>Aufgabenvariation</strong><br />
3. Unterrichtsbeispiele<br />
2
1. Einführung<br />
Auf der Basis der vielfältigen Diskussionen zur Gestaltung eines handlungsorientierten und<br />
Problem lösenden <strong><strong>Mathematik</strong>unterricht</strong>s n<strong>im</strong>mt seit mehreren Jahren die Methode der<br />
<strong>Aufgabenvariation</strong> eine beachtliche Position ein. Sie ist „Methode“ in mehrerer Hinsicht.<br />
Zuerst ist sie <strong>für</strong> die Schülerinnen und Schüler Methode<br />
1. zur Entwicklung von Problemfindungsstrategien zur Erzeugung neuer Aufgaben;<br />
2. um Probleme zu lösen, also Problemlösestrategie;<br />
3. um eigene Interessen, Leistungsstärken und Motivationen stärker zu nutzen;<br />
4. um auf die Auswahl von Unterrichtsinhalten und die Gestaltung von Unterricht<br />
größeren Einfluss nehmen zu können;<br />
5. um intensiver fächerübergreifende und innermathematische Vernetzungen erleben<br />
zu können;<br />
6. das eigene Bild vom Stellenwert der <strong>Mathematik</strong> und von der <strong>Mathematik</strong> selbst<br />
zu erweitern;<br />
7. neues Wissen zu erwerben;<br />
8. die Selbstkompetenz zustärken.<br />
Zum anderen ist sie Methode <strong>für</strong> die Lehrerinnen und Lehrer<br />
a. <strong>für</strong> eine offene Unterrichtsgestaltung;<br />
b. <strong>für</strong> einen differenziert gestalteten Unterricht;<br />
c. <strong>für</strong> einen schülerzentrierten Unterricht;<br />
d. das Wissen und Können der Schülerinnen und Schüler sowohl zu vertiefen<br />
(Festigung) als auch zu erweitern (Neueinführung);<br />
e. Vorgehensweisen und Strategien zum Problemlösen <strong>im</strong> <strong><strong>Mathematik</strong>unterricht</strong><br />
zu verallgemeinern und auf andere Bereiche zu übertragen, d. h. z. B.<br />
auch bei den Schülerinnen und Schülern metakognitives Wissen zu entwickeln.<br />
In diesem breiten Spektrum sind in Lehrveranstaltungen mit Studierenden <strong>im</strong> Lehramt <strong>Mathematik</strong>,<br />
bei Fortbildungsveranstaltungen von <strong>Mathematik</strong>lehrerinnen und <strong>Mathematik</strong>lehrern<br />
und in Workshops Materialien entstanden, die einige Vorschläge sowohl zur Aufgabenauswahl<br />
als auch zur unterrichtlichen Realisierung enthalten. Dabei wurden weitere<br />
Aspekte, wie z. B. der geschichtliche oder fächerübergreifende Aspekt betrachtet.<br />
2. Kompetenz- und Strategieentwicklung durch <strong>Aufgabenvariation</strong><br />
Ein wesentliches Anliegen der <strong>Aufgabenvariation</strong> <strong>im</strong> <strong><strong>Mathematik</strong>unterricht</strong> ist es, die Schülerinnen<br />
und Schüler zu bewegen und zu befähigen, bewusster Probleme anzugehen und<br />
sie zu motivieren Fragen und Aufgaben selbst zu stellen. Dabei ist sowohl die Entwicklung<br />
als auch die Anwendung von Problemlösestrategien unabdingbar. Die Entwicklung solcher<br />
Basisstrategien ordnet sich nicht nur in die Förderung prozessbezogener Basiskompetenzen<br />
<strong>für</strong> den <strong><strong>Mathematik</strong>unterricht</strong> (wie z. B. mathematisch denken oder mathematisch<br />
modellieren) ein, sondern ermöglicht gleichzeitig, weitere wichtige andere Aspekte des <strong><strong>Mathematik</strong>unterricht</strong>s<br />
in den Mittelpunkt zu stellen, wie z. B.:<br />
• Entwicklung und Anwendung von Fähigkeiten in unterschiedlichen, verständlichen<br />
und sinnstiftenden Kontexten<br />
• Vernetzen von Elementen aus verschiedenen Bereichen<br />
• Regelmäßiges und integratives Wiederaufgreifen <strong>im</strong> Laufe mehrerer Jahre (Leitideen!)<br />
• Systematisches Angebot von reichhaltigen Lernsituationen, die <strong>für</strong> eine selbstständige<br />
Auseinandersetzung geeignet sind<br />
• Förderung von Problemlösebereitschaft durch offene Probleme.<br />
3
Im Wesentlichen sollen folgende Basisstrategien entwickelt werden:<br />
1) geringfügig ändern („wackeln“)<br />
2) Analogisieren („ersetzen“)<br />
3) Verallgemeinern („weglassen“)<br />
4) Spezialisieren („hinzufügen“)<br />
5) Lücken beheben („dicht machen“)<br />
6) Zerlegen („trennen“)<br />
7) Kombinieren („zusammenlegen“)<br />
8) Umzentrieren („Blick wechseln“)<br />
9) Umkehren („Richtung wechseln“)<br />
10) Kontext ändern („Rahmen wechseln“)<br />
11) Iterieren („weitermachen“)<br />
12) Anders bewerten („interessant machen“)<br />
Für die Realisierung der Methode der <strong>Aufgabenvariation</strong> <strong>im</strong> <strong><strong>Mathematik</strong>unterricht</strong> hat sich<br />
der folgende Ablauf bewährt:<br />
(1) Vorgabe der Einstiegsaufgabe (Initialaufgabe) und Lösen dieser Aufgabe, nach Möglichkeit<br />
auf mehreren Wegen (Einzel-/Partnerarbeit)<br />
(2) Aufforderung zum Variieren (<strong>im</strong> Unterrichtsgespräch ggf. Hinweise zu Strategien zum<br />
Variieren) und Sammeln der Vorschläge ohne Kommentierung von Seiten des Lehrers<br />
(Mindmap, Kartenabfrage)<br />
(3) Ordnen, Strukturieren, Bewerten der Vorschläge <strong>im</strong> Plenum (Mindmap, Cluster bilden)<br />
(4) Lösen ausgewählter Vorschläge, (Einzel-/Partnerarbeit oder Gruppenarbeit, dabei<br />
Begründungen und Ergebnisse schriftlich festhalten, z. B. auf Karten oder leeren Folien)<br />
(5) Vorstellen der Lösungen und ihrer Begründungen (Präsentation und Diskussion <strong>im</strong><br />
Plenum)<br />
Bei den von uns durchgeführten Unterrichtsversuchen und aus den Erfahrungen anderer<br />
<strong>Mathematik</strong>lehrerinnen und <strong>Mathematik</strong>lehrer ergab sich, dass insbesondere in den Phasen<br />
(3) bis (5) von den Schülerinnen und Schülern weitere Strategien angewendet wurden:<br />
a) In Beziehung setzen („vergleichen“)<br />
b) Umorientieren (Ziel ändern)<br />
c) Sinnvoll machen (Be-sinnen)<br />
d) Frage anschließen („Nachfragen“)<br />
e) Daten ändern („Aktualisieren“)<br />
f) Visualisieren (Mache dir eine Zeichnung!)<br />
g) Kritisieren („Verbessern“)<br />
h) Variation variieren<br />
i) Schwierigkeitsgrad abändern („schwerer oder leichter machen“)<br />
j) Extremalisieren („ausreizen“)<br />
k) Einen Umweltbezug herstellen („anwenden“)<br />
4
3. Unterrichtsbeispiele<br />
Die hier aufgeführten Aufgaben sind sowohl unter Beachtung verschiedener o. g. Aspekte<br />
aufbereitet als auch von allgemeiner Art. So enthält die erste Gruppe Aufgaben, bei denen<br />
die angegebenen Variationsrichtungen sich spontan ergeben könnten, ohne dass nähere<br />
Orientierungen oder Richtungen von der jeweiligen Lehrerin oder vom Lehrer vorgegeben<br />
werden. Bei einer weiteren Aufgabengruppe sind die Variationen gezielter durch Anwendung<br />
der Basisstrategien erzeugt worden und in der dritten Gruppe sollen bereits in der<br />
Initialaufgabe aber auch bei den Variationen Beziehungen zu anderen unterrichtsrelevanten<br />
Aspekten (u. a. historische Bezüge, Fächer verbindende Inhalte, kumulatives Lernen, Arbeiten<br />
mit und am Computer) genutzt werden.<br />
3.1 Einführende Aufgabenbeispiele<br />
3.1.1 Triathlon – ab Klassenstufe 6<br />
Initialaufgabe: Bei einem Triathlonwettbewerb, der aus den drei Teildisziplinen Schw<strong>im</strong>men,<br />
Radfahren, Laufen besteht, benötigte der Sieger eine Gesamtzeit von 2 Stunden, 12<br />
Minuten und 30 Sekunden. Der Sieger fuhr mit dem Rad zehnmal so schnell wie er<br />
schwamm und er lief dre<strong>im</strong>al so schnell wie er schwamm. Welche Durchschnittsgeschwindigkeit<br />
erreichte der Sieger auf der Gesamtstrecke?<br />
5<br />
Lösungsansatz: gegeben: t = 2 Std.12min30sek. = 2 Std.<br />
24<br />
sS = 1,5 km; sR = 40 km; sL = 10 km;<br />
Vermutete Variationsrichtungen:<br />
∆s<br />
km<br />
v = ; v ≈ 23,32<br />
∆t<br />
h<br />
(1) Wie schnell ist er durchschnittlich auf den Teilflächen?<br />
(2) Wie schnell wäre der Beste, wenn er die Gesamtstrecke mit dem Rad zurücklegen<br />
würde?<br />
(3) Wie lange braucht der Beste, wenn man die Schw<strong>im</strong>mstrecke von 1,5 km auf<br />
3,5 km verlängert und da<strong>für</strong> die Radstrecke auf 38 km verkürzt?<br />
(4) Wie ist die Durchschnittsgeschwindigkeit be<strong>im</strong> Radfahren (Schw<strong>im</strong>men, Laufen)?<br />
(5) Wie lange ist der Triathlet durchschnittlich geschwommen, Rad gefahren und gelaufen?<br />
3.1.2 Vierecke – ab Klassenstufe 6<br />
Initialaufgabe: Gegeben sind folgende Punkte durch ihre Koordinaten:<br />
A (2;1) B (7;1) C (9:4) D (4;4)<br />
E (14;4) F (14;7) G (9;7) H (21;7)<br />
J (21;9) K (16;9) L (18;4) M (21;1)<br />
N (24;4)<br />
a) Welche der Vierecke ABCD; CEFG; FHJK; MNHL sind Parallelogramme? Versuche zunächst<br />
die Frage zu beantworten, ohne die Vierecke zu zeichnen.<br />
b) Berechne jeweils den Flächeninhalt der Vierecke ABCD, CEFG, FHJK, MNHL.<br />
5
Lösungsansatz: Parallelogramme: Vierecke ABCD, CEFG (Rechteck),<br />
MNHL (Quadrat, Raute)<br />
Flächeninhalte: A ABCD = 15 FE; A CEFG = 15 FE; A FHJK = 12 FE<br />
A MNHL = 18 FE<br />
Für das Ermitteln der Flächeninhalte und <strong>für</strong> den weiteren Prozess bei der Gestaltung der<br />
<strong>Aufgabenvariation</strong> ist das Visualisieren der Figuren <strong>im</strong> Koordinatensystem hilfreich:<br />
Vermutete Variationsrichtungen:<br />
(1) Bilde aus den angegebenen Punkten noch weitere Vierecke und untersuche sie auf<br />
Parallelogrammeigenschaft.<br />
(2) Wie viele verschiedene Vierecke kann man überhaupt aus den gegebenen Punkten<br />
bilden?<br />
(3) Wie kann man den Flächeninhalt derjenigen Vierecke best<strong>im</strong>men, die keine Parallelogramme<br />
sind?<br />
(4) Wie kann man schnell, ohne zu zeichnen, die Koordinaten von vier Punkten angeben,<br />
die ein Parallelogramm bilden? Auch dann, wenn keine Seite parallel zu den<br />
Koordinatenachsen liegt?<br />
(5) Finden anderer Flächen (Trapeze, Dreiecke,…)<br />
(6) Hinzufügen von Punkten, damit weitere Flächen entstehen, die dann untersucht<br />
werden<br />
(7) Best<strong>im</strong>men von Umfang, Höhen, …<br />
(8) „Ablaufen“ von Punkten – kürzeste und längste Strecken best<strong>im</strong>men<br />
(9) Anwendung: Wo findet man die Flächen <strong>im</strong> Alltag?<br />
(10) Koordinatensystem mit anderen Figuren auffüllen – Puzzle<br />
(11) Welche Bedingung muss zusätzlich erfüllt sein, damit ein Rhombus entsteht?<br />
(12) Spiegeln der gegebenen Vierecke an …Achse (Verschieben, Drehen) –<br />
Erkennen von Kongruenz<br />
(13) Verändern eines Innenwinkels – Auswirkungen auf Fläche?<br />
(14) Anwenden der Linearkombination, Vektorrechnung<br />
6
3.1.3 Abflussrinne – ab Klassenstufe 8<br />
Initialaufgabe: Eine Abflussrinne hat das <strong>im</strong> Bild dargestellte Profil. Wie viel Meter dieser<br />
Rinne können aus 1 m 3 Beton hergestellt werden?<br />
35<br />
Maßangabe in Mill<strong>im</strong>eter<br />
Vermutete Variationsrichtungen:<br />
(1) Änderung der Maßeinheiten<br />
(2) Grundformänderung (z. B. Kegelstumpf, Würfel, Pyramidenstumpf)<br />
(3) Volumenänderung (oder keine Angabe von Rauminhalten)<br />
(4) Mengenangabe in Masseeinheiten (V in Liter)<br />
(5) Variation der Form der Rinne<br />
65<br />
(6) Welche Neigung muss die Rinne haben, damit das Schmutzwasser bestmöglich ablaufen<br />
kann?<br />
(7) Wie lang wäre die Strecke in Zoll?<br />
∅ 25<br />
(8) Wie ändert sich die Länge der Rinne, wenn statt 1 m 3 Beton 1 m 3 Zement verwendet<br />
wird?<br />
(9) Finde einen Lösungsweg, wenn statt des Volumens eine Masse gegeben wäre.<br />
(10) Wie verändert sich die Länge der Rinne, wenn ihr Durchmesser größer wird?<br />
7<br />
x
3.1.4 Termberechnungen – ab Klassenstufe 7<br />
Initialaufgabe: Löse die Klammern auf und fasse zusammen:<br />
a) – 27,9 + (x – 63,5 + e)<br />
b) – 469 + (–y – 531 + f) + 1,37y.<br />
Vermutete Variationsrichtungen:<br />
(1) Veränderung der Rechenzeichen/Klammern<br />
(2) Variablen dürfen mehrfach verwendet werden<br />
(3) Erzeuge einen Term, der durch Zusammenfassen zu 2a – 3b + 4,5c führt.<br />
(4) Einsetzen konkreter Werte und untersuchen, was bei deren Variation passiert<br />
(5) Angabe zweier Terme, untersuchen durch Einsetzen, ob sie den gleichen Wert annehmen<br />
(6) Geschichte zum Term vorgeben, Term wieder erkennen lassen<br />
(7) Geschichte zum Term erfinden<br />
(8) Der Term a – (b + c) soll umgeformt werden. Welche Terme können entstehen?<br />
3.1.5 Waffelverkauf – ab Klassenstufe 5<br />
Initialaufgabe: Bei einem Schulfest wurden 738 Waffeln verkauft, eine Waffel <strong>für</strong> 40 Cent.<br />
An Kosten waren 80,20 Euro entstanden.<br />
Wie hoch war der Gewinn be<strong>im</strong> Waffelverkauf?<br />
Lösung: 738 * 0,4 € = 295,20 €<br />
295,20 € - 80,20 € = 215,00 €<br />
Variationsbeispiele:<br />
1) Veränderung der Anzahl der verkauften Waffeln (500 Waffeln, 900 Waffeln)<br />
� Schüler überlegen, welche Anzahl realistisch ist<br />
2) Veränderung des Waffelpreises (20 Cent, 60 Cent, …)<br />
3) Veränderung der entstandenen Kosten (50 Euro, 100 Euro, …<br />
4)<br />
a) Stelle eine Preisliste auf <strong>für</strong> 1,…, 10 verkaufte Waffeln.<br />
b) Miriam soll <strong>für</strong> ihre Freunde auch Waffeln mitbringen. Sie kauft 15 Waffeln. Wie<br />
können die Waffelverkäufer den Preis möglichst schnell mit Hilfe ihrer Tabelle ermitteln?<br />
5) Die Schüler wollen von dem Waffelverkauf ihren Wandertag finanzieren.<br />
Sie brauchen da<strong>für</strong> 300 Euro.<br />
Wie viele Waffeln müssen sie verkaufen?<br />
6) Wie viele Personen müssen die 30 Schüler in der Klasse jeweils bedienen, wenn jede<br />
Person 2 Waffeln kauft, um ihren Gewinn von 300 € einzunehmen?<br />
7) Die Schüler verkaufen die Waffeln in ihren beiden Hofpausen, aber nur an 2 Tagen.<br />
Jede Hofpause ist 30 Minuten lang.<br />
Man braucht 3 Minuten, um eine Person zu bedienen.<br />
a.) Wie viele Personen bedienen die Schüler dann an beiden Tagen und wie viel<br />
Geld nehmen sie ein, wenn jede Person nur eine Waffel bestellt?<br />
b.) Wie viele Waffeln müssen die Personen jeweils kaufen, wenn die Schüler einen<br />
Gewinn von 600 € benötigen?<br />
8) Die Schüler bieten die Waffeln mit Puderzucker, Nutella und Sahne mit<br />
heißen Kirschen an. Dabei haben sie folgende Verkaufspreise:<br />
Waffel mit Puderzucker: 0,40 €<br />
Waffel mit Nutella : 0,80 €<br />
Waffel mit Sahne und heißen Kirschen: 1,30 €<br />
8
An Kosten sind jetzt allerdings 120 € entstanden.<br />
1/5 der Kunden kaufen Waffeln mit Sahne und heißen Kirschen, 1/3 kauft Waffeln mit<br />
Nutella und der Rest der Kunden kaufen Waffeln mit Puderzucker.<br />
Insgesamt bedienen die Waffelverkäufer 500 Personen. Wie hoch ist nun ihr Gewinn?<br />
9) Neben den Waffeln überlegen sich die Schüler auch belegte Brötchen, Kuchen und<br />
Kaffee zu verkaufen.<br />
a.) Überlegt, wie hoch jetzt ungefähr die Ausgaben sind.<br />
b.) Wie hoch sollten die Preise gewählt werden, wenn insgesamt 180 Personen bedient<br />
werden, die jeweils 1 Waffel, 1Stück Kuchen, 1 belegtes Brötchen und einen<br />
Kaffee kaufen, um einen Gewinn von 250 € zu erzielen?<br />
3.1.6 Peter Lustig – ab Klassenstufe 8<br />
Initialaufgabe: Peter Lustig möchte aus vielen leeren Dosen (Abb.1) die Kanten eines riesengroßen<br />
Würfels nachbauen (Abb. 2). Der Würfel soll 3 m hoch sein. Eine Dose ist 12 cm<br />
hoch und hat einen Durchmesser von 10 cm. Vereinfacht wird angenommen, dass jede Kante<br />
des Würfels aus gleich vielen Dosen besteht.<br />
Die Dosen werden in Kartons zu je 50 Stück geliefert. Doch be<strong>im</strong> Transport wurden 14% der<br />
Dosen <strong>im</strong> Karton beschädigt und können nicht genutzt werden.<br />
Für seinen Würfel braucht Peter 300 Dosen.<br />
Wie viele Kartons mit Dosen muss Peter Lustig bestellen um seinen Würfel zu bauen?<br />
Abb.1 Abb.2<br />
Geg.: G = 50 St Ges.: W<br />
P =14%<br />
Lösung: G W<br />
=<br />
100 p<br />
G ⋅ p<br />
W =<br />
100<br />
⇛ 50 - 7 = 43 St <strong>im</strong> Karton sind brauchbar<br />
300<br />
⇛ = 6,<br />
9Kartons<br />
≈7 Kartons mit Dosen<br />
43<br />
W<br />
50 ⋅14<br />
=<br />
100<br />
W = 7<br />
Antwort: Peter Lustig muss 7 Kartons mit Dosen bestellen.<br />
9
Variationsbeispiele:<br />
1) Peter Lustig möchte aus vielen leeren Dosen (Abb.1) die Kanten eines riesengroßen<br />
Würfels nachbauen (Abb. 2). Der Würfel soll 3 m hoch sein. Eine Dose ist 12 cm hoch<br />
und hat einen Durchmesser von 10 cm. Vereinfacht wird angenommen, dass jede<br />
Kante aus gleich vielen Dosen besteht. Die Dosen werden in Kartons zu je 50 Stück<br />
geliefert. Doch be<strong>im</strong> Transport wurden 12% der Dosen <strong>im</strong> Karton beschädigt und<br />
können nicht genutzt werden. Für seinen Würfel braucht Peter 300 Dosen. Wie viele<br />
Kartons mit Dosen muss Peter Lustig bestellen um seinen Würfel zu bauen<br />
2) Die Dosen werden in Kartons zu je 50 Stück geliefert. Doch be<strong>im</strong> Transport wurden<br />
14% der Dosen <strong>im</strong> Karton beschädigt und können nicht genutzt werden. Wie viele<br />
Dosen pro Karton können problemlos verwendet werden?<br />
3) Peter Lustig möchte aus vielen leeren Dosen (Abb.1) die Kanten eines riesengroßen<br />
Würfels nachbauen (Abb. 2). Der Würfel soll 3 m hoch sein. Eine Dose ist 12 cm hoch<br />
und hat einen Durchmesser von 10 cm. Für seinen Würfel braucht Peter 300 Dosen.<br />
Wie schwer ist der Würfel, wenn eine Dose 90 g wiegt?<br />
4) Herr Lustig will seine 300 Dosen neu anordnen und legt sie zu zwei gleichgroßen<br />
Vierecken aus. Für die lange Seite braucht er 85 Dosen. Eine Dose ist 12 cm hoch<br />
und hat einen Durchmesser von 10 cm. Die Dosen werden so gelegt, dass jeweils<br />
Deckel und Boden zweier Dosen sich berühren. Aus wie vielen Dosen besteht die<br />
kurze Seite? Um wie viel cm ist sie kürzer als die lange Seite. Wie lang sind die Seiten<br />
der Vierecke?<br />
5) Im Handel kostet eine Einzeldose 5 Cent, ein Karton mit 50 Dosen und darin 14% fehlerhaften<br />
Dosen kostet 2,30 €. Eine Dose ist 12 cm hoch und hat einen Durchmesser<br />
von 10 cm. Welches Angebot ist preiswerter um die Kanten eines Würfels von 3 m<br />
Höhe zu bauen? Gib den Unterschied auch in Prozent an.<br />
10
3.2 Aufgaben <strong>für</strong> eine gezielte Anwendung der Basisstrategien<br />
Die folgenden Aufgaben sind aus unserer Sicht dazu geeignet, unter Anwendung ausgewählter<br />
Basisstrategien Variationen gezielt zu erzeugen. Kommen die Schülerinnen<br />
und Schüler auch auf anderem Wege zu diesen Variationen der jeweiligen Initialaufgabe<br />
sollte jedoch <strong>im</strong> Nachhinein über diese Variationen reflektiert werden, so dass <strong>im</strong><br />
Ergebnis dieser Reflexion dann die Basisstrategien erkannt und herausgestellt werden.<br />
Bei der Zuordnung der jeweiligen Strategien zu den Variationen wird z. T. die Nummerierung<br />
aus 2. übernommen. Ansonsten sind die Strategien explizit benannt.<br />
3.2.1 Der Garten – ab Klassenstufe 7<br />
Initialaufgabe: Ein Garten ist rechteckförmig mit dem Umfang 80 m und dem Flächeninhalt<br />
375 m 2 . Best<strong>im</strong>me die Seitenlängen des Gartens.<br />
Variation der Initialaufgabe Strategien<br />
Umfang, Flächeinhalt oder/und Flächenform<br />
ändern<br />
Kann ein Garten mit dieser Fläche und<br />
diesem Umfang auch eine andere geometrische<br />
Form haben?<br />
Fertige mögliche Zeichnungen an. Visualisieren<br />
Wie viele Bäume mit einem Kronendurchmesser<br />
von 3 m passen in den Garten?<br />
Wir legen Wege und Beete an. Welcher<br />
Anteil des Gartens wird dann gärtnerisch<br />
genutzt?<br />
Wie viel Zaunfarbe brauchst du, wenn 10 l<br />
<strong>für</strong> 25 m 2 reichen? (Zaunhöhe geben oder<br />
variieren lassen)<br />
Wie groß ist die max<strong>im</strong>ale Fläche, die sich<br />
mit 80 m Zaun einzäunen lässt?<br />
Von dem Garten ist nur der Umfang oder<br />
die Fläche gegeben<br />
Ähnliche Problemstellung <strong>für</strong> Teppichboden,<br />
Fliesen … bei Wohnungsgestaltung<br />
oder bezogen auf Fußballplatz, Pferdekoppel<br />
…<br />
Was passiert, wenn sich jeweils Umfang<br />
und Flächeninhalt verdoppeln, verdreifachen,<br />
halbieren,…?<br />
11<br />
Geringfügig ändern, Analogisieren, Lücken<br />
beheben, Spezialisieren<br />
Nachfragen, Umorientieren, Umkehren,<br />
Iterieren<br />
Umkehren, Kontext ändern, Umzentrieren<br />
Spezialisieren, Umweltbezug herstellen,<br />
Umzentrieren<br />
Spezialisieren, Umzentrieren, Umweltbezug<br />
herstellen, anders bewerten, Nachfragen<br />
Umkehren, Extremalisieren<br />
Zerlegen, Analogisieren<br />
Analogisieren, Kontext ändern, Spezialisieren<br />
Iterieren, Analogisieren,
3.2.2 Der Kundendienstvertreter – ab Klassenstufe 7<br />
Initialaufgabe: Ein Kundendienstvertreter legt an zwei Tagen mit seinem Auto 750 km<br />
zurück. Am ersten Tag fuhr er 120 km mehr als am zweiten Tag. Welche Strecke legte er<br />
an jedem der beiden Tage zurück?<br />
Variation der Initialaufgabe Strategien<br />
Ändern der gegebenen Entfernungen: Gesamtstrecke,<br />
„Differenzstrecke“, beider<br />
Entfernungen<br />
Berechnen des Benzinverbrauchs <strong>für</strong> die<br />
zurückgelegte Strecke; Fahrtkostenberechnung<br />
Wie viele Tage würde er <strong>für</strong> 15000 km benötigen?<br />
Kundendienstvertreter muss an beiden<br />
Tagen 4 Orte (aus Region auswählen) aufsuchen.<br />
Kürzeste Reiseroute?<br />
3.2.3 Mischungen – ab Klassenstufe 10<br />
Geringfügig ändern, Analogisieren<br />
Spezialisieren, Umzentrieren, anders bewerten,<br />
in Beziehung setzen, Frage anschließen,<br />
einen Umweltbezug herstellen<br />
Umzentrieren<br />
Umzentrieren, anders bewerten, in Beziehung<br />
setzen, Variation variieren, Extremalisieren<br />
Initialaufgabe: Aus 74%igem und 82%igem Spiritus soll eine Mischung von einem Liter<br />
80%igem Spiritus hergestellt werden. In welchem Verhältnis müssen die zu mischenden<br />
Flüssigkeiten stehen?<br />
Variation der Initialaufgabe Strategien<br />
Aus 12%igem Sekt und 24%igem Curacao<br />
Blue und Orangensaft sollen 500 ml Grüne<br />
Wiese mit einem Alkoholgehalt von 6%<br />
gemixt werden. In welchem Verhältnis<br />
müssen die zu mischenden Flüssigkeiten<br />
stehen?<br />
Ein 18%iges alkoholisches Getränk soll<br />
hergestellt werden. Dazu sind drei verschiedene<br />
Getränke unterschiedlichen alkoholischen<br />
Gehaltes zu verwenden. Gib<br />
drei verschiedene Rezeptvorschläge an.<br />
4 cl Blue Curacao werden mit Orangensaft<br />
gemixt, so dass man 20 cl des Mixgetränkes<br />
erhält. Welchen Alkoholgehalt hat das<br />
Mixgetränk?<br />
12<br />
Kontext ändern, geringfügig ändern, Analogisieren,<br />
Umkehren, anders bewerten, Variation<br />
variieren, in Beziehung setzen<br />
Analogisieren, in Beziehung setzen, anders<br />
bewerten, Umzentrieren, Variation variieren
3.2.4 Fahrrad – ab Klassenstufe 6<br />
1<br />
4. Lenas Fahrrad legt eine Strecke von 2 m zurück, wenn sich ein Rad genau einmal dreht.<br />
5<br />
5<br />
Das Kinderfahrrad ihres Bruders Max legt bei einer Radumdrehung nur m zurück.<br />
4<br />
a. Welche Strecke legt jedes Fahrrad mit genau<br />
(1) 10 Umdrehungen; (2) 100 Umdrehungen; (3) 1000 Umdrehungen zurück?<br />
b. Beide fahren eine Strecke von (1) 100 m; (2) 1 km.<br />
Wie oft drehen sich die Räder jedes Fahrrades?<br />
c.<br />
3<br />
Der Weg zu Lenas Schule ist 2 km lang. Wie oft müssen sich die Räder ihres Fahrrades auf ihrem Schulweg drehen?<br />
4<br />
geringfügig ändern<br />
‚wackeln’<br />
Analogisieren<br />
‚ersetzen’<br />
Verallgemeinern<br />
‚weglassen’<br />
Spezialisieren<br />
‚hinzufügen’<br />
Lücken beheben<br />
‚dicht machen’<br />
Zerlegen<br />
‚trennen’<br />
Kombinieren<br />
‚zusammenlegen’<br />
Umzentrieren<br />
‚Blick wechseln’<br />
Umkehren<br />
‚Richtung wechseln’<br />
Kontext ändern<br />
‚Rahmen wechseln’<br />
Iterieren<br />
‚weitermachen’<br />
Anders bewerten<br />
‚interessant machen’<br />
Schroedel <strong>Mathematik</strong> heute Regelschule Thüringen 6 – Seite 114 – Aufgabe 4<br />
Lenas Fahrrad legt eine Strecke von 2 1 /5 m zurück, wenn sich ein Rad genau einmal dreht. Das Kinderfahrrad<br />
ihres Bruders Max legt bei einer Radumdrehung nur 5 /4 m zurück.<br />
Welche Strecke legt jedes Fahrzeug mit genau 100, 500, 1000 Umdrehungen zurück?<br />
Welche Strecke legt dein Fahrrad bei (1,) 10 (,20, 50, 70, 100, ...) Umdrehungen zurück?<br />
Willi weiß nicht, welche Strecke sein Fahrrad bei genau einer Umdrehung zurücklegt. Er weiß aber,<br />
dass er <strong>für</strong> eine Strecke von 1,3 km 550 Umdrehungen benötigt. Hat sein Fahrrad größere Räder als<br />
Lenas Fahrrad?<br />
Lenas Fahrrad legt eine Strecke von 2 1 /5 m zurück, wenn sich ein Rad genau einmal dreht. Das Kinderfahrrad<br />
ihres Bruders Max legt bei einer Radumdrehung nur 5 /4 m zurück.<br />
Der Weg bis zu Lenas Schule ist 2 3 /4 km.<br />
Max behauptet: „Mit 1500 Umdrehungen erreichst du die Schule.“ Hat er recht?<br />
Lenas Fahrrad legt eine Strecke von 2 1 /5 m zurück, wenn sich ein Rad genau einmal dreht. Das Kinderfahrrad<br />
ihres Bruders Max legt bei einer Radumdrehung nur 5 /4 m zurück.<br />
Be<strong>im</strong> letzten Ausflug mit dem Fahrrad benötigte Lena <strong>für</strong> 4 km eine Viertelstunde.<br />
Bis zu ihrer Oma sind es 12 km. Wie lange braucht Lena mit dem Fahrrad bis dahin?<br />
Lenas Fahrrad legt eine Strecke von 2 1 /5 m zurück, wenn sich ein Rad genau einmal dreht. Das Kinderfahrrad<br />
ihres Bruders Max legt bei einer Radumdrehung nur 5 /4 m zurück.<br />
Beide fahren eine Strecke von 400 m.<br />
Wie oft drehen sich die Räder jedes Fahrrades?<br />
Bezug zur Physik herstellbar: gleichförmige Bewegung, Weg-Zeit-Diagramm, Tachometer, ...<br />
Lenas Fahrrad legt eine Strecke von 2 1 /5 m zurück, wenn sich ein Rad genau einmal dreht. Das Kinderfahrrad<br />
ihres Bruders Max legt bei einer Radumdrehung nur 5 /4 m zurück.<br />
Lena: „Ich bin schneller.“<br />
Wer hat Recht, wenn Pauls Rad 2,15 m pro Umdrehung zurücklegt?<br />
13<br />
1 /2 km<br />
Paul: „Nein ich.“
3.2.5 Figuren<br />
ab Klasse 8<br />
geringfügig ändern<br />
‚wackeln’<br />
Initialaufgabe<br />
Iterieren<br />
‚weitermachen’<br />
Iterieren<br />
‚weitermachen’<br />
Den Schülern wir diese Aufgabe vorgelegt.<br />
1. Aus einem quadratischen<br />
Blech ( a = 10 cm ) wird<br />
folgende Figur ausgestanzt.<br />
Im zweiten Teil erhalten die Schüler die folgende Aufgabe.<br />
Klett Schnittpunkt Thüringen 8 –<br />
Seiten 108+109 – Aufgaben 19+21<br />
als Initialaufgaben denkbar<br />
Zeichne diese Figur in dein Heft.<br />
Berechne den Flächeninhalt und<br />
den Umfang.<br />
2. Finde weitere interessante Figuren, die man aus diesem Quadrat und Kreis(teil)en<br />
bilden kann. Berechne Flächeninhalt und Umfang.<br />
Es können folgende Figuren entstehen.<br />
...<br />
Im dritten Teil sollen die Schüler diese Aufgabe bearbeiten.<br />
3. Finde Figuren, die man aus anderen Flächen und Kreis(teil)en bilden kann.<br />
Berechne Flächeninhalt und Umfang.<br />
Es können folgende Figuren entstehen.<br />
Umkehren<br />
‚Richtung wechseln’<br />
geringfügig ändern<br />
‚wackeln’<br />
...<br />
Bei 2. und 3. entstehen Aufgaben, die nach Durchsicht und Auswahl <strong>für</strong> den weiteren Unterricht genutzt<br />
werden können. Es wäre auch denkbar, die Aufgabe 21 räumlich (als Würfel und Kugel) zu betrachten.<br />
Im vierten Teil werden die Aufgaben umgekehrt.<br />
4. Finde Figuren mit gleichem Flächeninhalt wie bei Aufgabe ... .<br />
5. Finde Figuren mit gleichen Umfang wie bei Aufgabe ... .<br />
Wenn die Aufgaben 2 bis 5 vom Lehrer gegeben werden, sollte am Ende unbedingt eine Reflexion über<br />
die Strategien erfolgen.<br />
Im letzten Teil sind Aufgaben <strong>für</strong> spätere Übungen durch Variation der Aufgabenstellung dargestellt.<br />
6. Welcher Flächenanteil ist grau (weiß)?<br />
7. Welcher Flächenbruchteil ist grau (weiß)?<br />
8. Welcher prozentuale Flächenanteil ist grau (weiß)?<br />
9. Welcher dez<strong>im</strong>ale Flächenbruchteil ist weiß (grau)?<br />
14
3.2.6 Riesenrad – ab Klassenstufe 8<br />
18. Der Durchmesser des Wiener Riesenrades <strong>im</strong><br />
Prater beträgt 61 m.<br />
a. Wie viel m legt ein Tourist in einer Gondel bei<br />
einer Umdrehung des Riesenrades zurück?<br />
b. Angabe in einem Prospekt: Das<br />
Riesenrad dreht sich mit einer Geschwindigkeit<br />
von 0,75 m pro Sekunde. Wie lange braucht das<br />
Riesenrad <strong>für</strong> eine Umdrehung (ohne Halt)?<br />
geringfügig ändern<br />
‚wackeln’<br />
Initialaufgabe<br />
Analogisieren<br />
‚ersetzen’<br />
Verallgemeinern<br />
‚weglassen’<br />
Spezialisieren<br />
‚hinzufügen’<br />
Lücken beheben<br />
‚dicht machen’<br />
Zerlegen<br />
‚trennen’<br />
Kombinieren<br />
‚zusammenlegen’<br />
Umzentrieren<br />
‚Blick wechseln’<br />
Umkehren<br />
‚Richtung wechseln’<br />
Kontext ändern<br />
‚Rahmen wechseln’<br />
Iterieren<br />
‚weitermachen’<br />
Schroedel <strong>Mathematik</strong> heute Regelschule Thüringen 8 – Seite 101 – Aufgabe 18<br />
könnte als Initialaufgabe eingesetzt werden<br />
Der Durchmesser des Riesenrades <strong>im</strong> Wiener Prater beträgt 61 m. Es gibt 15 Gondeln.<br />
Das Riesenrad dreht sich mit einer Geschwindigkeit von 0,75 m pro Sekunde.<br />
Wie viel Meter hat eine Gondel bei einer Umdrehung zurückgelegt?<br />
Der Durchmesser des Riesenrades <strong>im</strong> Wiener Prater beträgt 61 m. Es gibt 15 Gondeln.<br />
Das Riesenrad dreht sich mit einer Geschwindigkeit von 0,75 m pro Sekunde.<br />
Berechne den Umfang des Riesenrades.<br />
Der Durchmesser des Riesenrades <strong>im</strong> Wiener Prater beträgt 61 m. Es gibt 15 Gondeln.<br />
Das Riesenrad dreht sich mit einer Geschwindigkeit von 0,75 m pro Sekunde.<br />
Wie lange dauert eine Umdrehung?<br />
Der Durchmesser des Riesenrades <strong>im</strong> Wiener Prater beträgt 61 m. Es gibt 15 Gondeln.<br />
Das Riesenrad dreht sich mit einer Geschwindigkeit von 0,75 m pro Sekunde.<br />
Welcher ‚Abstand’ ist zwischen zwei benachbarten Gondeln?<br />
Der Durchmesser des Riesenrades <strong>im</strong> Wiener Prater beträgt 61 m. Es gibt 15 Gondeln.<br />
Das Riesenrad dreht sich mit einer Geschwindigkeit von 0,75 m pro Sekunde.<br />
Bei einer Fahrt erreicht jede Gondel dre<strong>im</strong>al den höchsten Punkt.<br />
Wie lange dauert eine Fahrt (ohne Halt)?<br />
Der Durchmesser des Riesenrades <strong>im</strong> Wiener Prater beträgt 61 m. Es gibt 15 Gondeln.<br />
Das Riesenrad dreht sich mit einer Geschwindigkeit von 0,75 m pro Sekunde.<br />
Variante a) Welchen Durchmesser hat ein Riesenrad mit einem Umfang von 150 m?<br />
Variante b) Wie viele Umdrehungen würde man in einer 1/2 h / halben Stunde machen?<br />
Der Durchmesser des Riesenrades <strong>im</strong> Wiener Prater beträgt 61 m. Es gibt 15 Gondeln.<br />
Das Riesenrad dreht sich mit einer Geschwindigkeit von 0,75 m pro Sekunde.<br />
Wie viele Umdrehungen macht mein Fahrradreifen, um die gleiche Strecke zurückzulegen, wie eine<br />
Gondel bei einer vollständigen Umdrehung (ohne Halt)?<br />
Vergleich mit anderen stationären Riesenrädern möglich: London (größtes in Europa), Nanchang<br />
(China, größtes der Welt, d = 163 m, 1 h 30 min), ...<br />
Der Durchmesser des Riesenrades <strong>im</strong> Wiener Prater beträgt 61 m. Es gibt 15 Gondeln.<br />
Das Riesenrad dreht sich mit einer Geschwindigkeit von 0,75 m pro Sekunde.<br />
Wie viel Zeit vergeht, bis die Spitze des 1,5 cm langen Minutenzeigers die gleiche Strecke zurückgelegt<br />
hat, wie eine Gondel bei einer vollständigen Umdrehung (ohne Halt)?<br />
Der Durchmesser des Riesenrades <strong>im</strong> Wiener Prater beträgt 61 m. Es gibt 15 Gondeln.<br />
Das Riesenrad dreht sich mit einer Geschwindigkeit von 0,75 m pro Sekunde.<br />
Der Durchmesser eines anderen Riesenrades ist halb so groß.<br />
Wie ändert sich der Umfang?<br />
15
3.2.7 Dachstuhl<br />
ab Klassenstufe 9<br />
geringfügig ändern<br />
‚wackeln’<br />
Analogisieren<br />
‚ersetzen’<br />
Verallgemeinern<br />
‚weglassen’<br />
Spezialisieren<br />
‚hinzufügen’<br />
Lücken beheben<br />
‚dicht machen’<br />
Zerlegen<br />
‚trennen’<br />
Kombinieren<br />
‚zusammenlegen’<br />
Umzentrieren<br />
‚Blick wechseln’<br />
Umkehren<br />
‚Richtung wechseln’<br />
Kontext ändern<br />
‚Rahmen wechseln’<br />
Iterieren<br />
‚weitermachen’<br />
Anders bewerten<br />
‚interessant machen’<br />
E<br />
E<br />
E<br />
E<br />
E<br />
Schroedel <strong>Mathematik</strong> heute Regelschule Thüringen 9 – Seite 32 – Aufgabe 8<br />
Ein Dachstuhl ist 1,20 m hoch und 4,80 m breit.<br />
Wie lang ist eine der beiden gleich langen Dachschrägen?<br />
In einem 2,40 m hohen Dachstuhl soll ein Z<strong>im</strong>mer ausgebaut<br />
werden. Dazu werden Trennwände von 1,10 m Höhe<br />
errichtet.<br />
Welche Breite hat das ausgebaute Z<strong>im</strong>mer?<br />
In einem 1,20 m hohen Dachstuhl soll eine senkrechte<br />
Stütze aufgestellt werden.<br />
Gib zwei Möglichkeiten <strong>für</strong> eine Stützenhöhe mit dem dazugehörigen<br />
Abstand zum Ende des Dachstuhls E an.<br />
Ein Dachstuhl ist 1,20 m hoch und 4,80 m breit.<br />
Berechne den Neigungswinkel der Dachschräge.<br />
Vom Ende E des Dachstuhls soll in 1,40 m waagerechter<br />
Entfernung eine senkrechte Stütze aufgestellt werden.<br />
Berechne die Länge der Stütze.<br />
Die Spitzen eines Baumes und eines 38 m hohen Turmes,<br />
der 100 m von einem Marktbrunnen entfernt steht, werden von dort angepeilt.<br />
Wie hoch ist der Baum, der von dem Marktbrunnen 20 m entfernt steht?<br />
Der Dachstuhl hat eine Länge von 6,50 m. Wie viel Stauraum steht zur Verfügung?<br />
16
3.2.8 Der Rasensprenger – ab Klassenstufe 11<br />
Initialaufgabe:<br />
Ein Rasensprenger soll so bewegt werden, dass er einen rechteckigen Rasenstreifen<br />
gleichmäßig bewässert. Wie sieht die Bewegung aus?<br />
Lösung:<br />
Abbildung1: Normaler Rasensprenger Abbildung 2: Opt<strong>im</strong>ierter Rasensprenger<br />
Wasser verlässt mit Anfangsgeschwindigkeit v0 in jedem Augenblick den Rasensprenger<br />
Wasser bewegt sich auf Wurfparabeln mit einer (horizontalen) Wurfweite von:<br />
( ) = ⋅v ⋅sin<br />
2α<br />
w α<br />
1 2<br />
0<br />
g<br />
Max<strong>im</strong>ale Entfernung des Wasserstrahls zum Rasensprenger liegt vor bei α= 45°<br />
Momentane Wandergeschwindigkeit erhält man folgendermaßen:<br />
v B =<br />
dw<br />
dt<br />
dw dα<br />
vB<br />
= ⋅<br />
dα<br />
dt<br />
vB = konstant, ist:<br />
bei opt<strong>im</strong>aler Bewässerung, d.h. bei<br />
Variablentrennung liefert:<br />
Integration schließlich ergibt:<br />
c<br />
Man erhält: t =<br />
0<br />
sin2α<br />
2<br />
Nun lässt sich α(t) berechnen:<br />
Ausweichformel (<strong>für</strong> lktl > 1):<br />
vB<br />
dα<br />
=<br />
dt c<br />
=<br />
0<br />
dt = c0<br />
cos 2αdα<br />
2 2 dα<br />
v cos 2α<br />
⋅<br />
g 0 dt<br />
1<br />
cos<br />
dt = c0<br />
cos 2αdα<br />
∫ ∫<br />
2α<br />
1<br />
α = arcsinkt<br />
2<br />
π 1<br />
α = + arcsin kt − 2<br />
2 2<br />
17<br />
( )<br />
(Kettenregel)<br />
(c0 ist eine Konstante)
Variationen der Initialaufgabe<br />
1. Ein Rasensprenger soll so bewegt werden, dass er ein kreisförmiges Rasenstück mit<br />
einem Durchmesser von 12 m gleichmäßig bewässert. Berechne die Fläche, die dabei<br />
bewässert werden muss.<br />
2. Zur vollständigen Bewässerung eines rechteckigen Gartenbeetes soll kein rotierender<br />
Rasensprenger verwendet werden. Welche anderen Arten von Rasensprengern<br />
kennst du? Veranschauliche die Verwendung dieser Rasensprenger jeweils in einer<br />
Skizze. Bei welcher Variante wird am wenigsten Wasser verschwendet? Begründe.<br />
3. Ein Rasensprenger, der nicht rotiert, soll so bewegt werden, dass er einen rechteckigen<br />
Rasenstreifen mit den Maßen 5m x 8m gleichmäßig bewässert. Wie sieht die<br />
Bewegung aus? Versuche, hierbei auch Erkenntnisse aus der Physik anzuwenden.<br />
4. Der Rasen eines Fußballfeldes mit den Maßen von 100 m x 60 m soll vor dem Training<br />
der Spieler gleichmäßig bewässert werden. Während der Bewässerungszeit haben<br />
die Spieler Zeit sich warm zu laufen. Wie lang ist eine Runde, wenn man davon<br />
ausgeht, dass die Spieler um die zu bewässernde Fläche herumlaufen?<br />
5. Eine Firma will 100 Rasenflächen bewässern. Hierzu sollen Rasensprenger zur Anwendung<br />
kommen. Der Hersteller gibt an, dass <strong>im</strong> Durchschnitt drei Prozent der Rasensprenger<br />
nicht richtig funktionieren. Wie viele Rasen-sprenger muss die Firma<br />
vom Hersteller mindestens ordern, um mit 95 % Wahrscheinlichkeit alle Rasenflächen<br />
bewässern zu können.<br />
6. Frau Müller möchte ihrem Mann zu Weihnachten einen neuen Rasensprenger kaufen.<br />
In der Zeitschrift „Stiftung Warentest“ hat sie gelesen, dass drei Prozent der Rasensprenger<br />
„Maulwurf“ defekt sind. Berechne die Wahrscheinlichkeit da<strong>für</strong>, dass<br />
Frau Müller aus einem Regal einen defekten Rasensprenger entn<strong>im</strong>mt. Überlegt<br />
euch, wie viele Rasensprengerpackungen in einem Regal stehen.<br />
7. In der Mitte eines rechteckigen Rasenstreifens ist ein Rasensprenger aufgestellt, der<br />
rotiert. Die Länge des ausgestoßenen Wasserstrahls beträgt genau halb soviel wie<br />
die kurze Seite des Rechtecks. Das Ende des Wasserstrahls beschreibt somit einen<br />
Kreis. Berechne die Position des Punktes auf diesem Kreis, der von einem der Eckpunkte<br />
des Rechtecks eine min<strong>im</strong>ale Entfernung hat. Gib diese Entfernung an.<br />
8. Gib dir vier Punkte in der Ebene vor, so dass diese vier Punkte ein Rechteck bilden<br />
und die lange Rechtecksseite zweieinhalbmal so lang ist wie die kurze. Stelle dir dieses<br />
Viereck als Beet vor, in dessen Mittelpunkt ein Rasensprenger steht, der rotiert<br />
und einen Wasserstrahl ausstößt, dessen konstante Länge dem Abstand des Rasensprengers<br />
zum entferntesten Punkt des Beetes entspricht. Stelle die Gleichung der<br />
Figur auf, die das Ende des Wasserstrahls dabei beschreibt.<br />
9. Es sollen drei verschiedenförmige Beete mit dem gleichen Rasensprenger bewässert<br />
werden. Das erste Beet ist rechteckig und hat die Abmaße: 3 m x 5 m. Das<br />
zweite Beet ist quadratisch und hat eine Seitenlänge von 4 m. Das dritte Beet ist ein<br />
gleichseitiges Dreieck mit der Seitenlänge von 3,5 m. Der Rasensprenger ist <strong>im</strong>mer<br />
<strong>im</strong> Zentrum des jeweiligen Beetes aufgestellt und rotiert. Die Länge des Wasserstrahls<br />
ist dabei jeweils so gewählt, dass auch der äußerste Punkt des Beetes erreicht<br />
wird. Bei welchem dieser Beete wird dabei am wenigsten Wasser verschwendet.<br />
18
Variation Strategien<br />
1 1, 2, 4, a<br />
2 2, 5, 7, 11, a, f, k, j<br />
3 1, 2, 4, 11<br />
4 1, 8, 10, 12, b, k<br />
5 3, 8, 10, b, k<br />
6 3, 8, 9, 10, k, i<br />
7 4, 8, 10, 12, d, j<br />
8 1, 4, 6, 8, 10, 12, f, j<br />
9 2, 3, 10, a, j<br />
3.2.9 Die Brücke – ab Klassenstufe 5<br />
Initialaufgabe: Ein Omnibus wiegt leer 13 150 kg und fährt über eine Brücke mit einer Belastbarkeit<br />
von 15 t.<br />
Wie viele der 49 Fahrgäste (durchschnittlich 75 kg pro Person) muss der Busfahrer bitten die<br />
Brücke zu Fuß zu überqueren, wenn er die Höchstbelastung nicht überschreiten will?<br />
Lösung:<br />
geg.: m Bus = 13 150 kg ges.: Fahrgäste <strong>im</strong> Bus bzw. zu Fuß<br />
m Brücke = 15 t = 15 000 kg<br />
49 Fahrgäste zu je 75 kg<br />
Lös.: m verfügbar = m Brücke – m Bus<br />
= 15 000 kg – 13 150 kg<br />
= 1 850 kg<br />
zulässige Personen <strong>im</strong> Bus = 1 850 kg : 75 kg<br />
= 24,67 Personen<br />
-> 24 Personen können <strong>im</strong> Bus bleiben (der Busfahrer + 23 Fahrgäste)<br />
Personen zu Fuß = 49 Personen – 23 Personen<br />
= 26 Personen<br />
Antwort: 26 Personen müssen die Brücke zu Fuß überqueren.<br />
19
Variation der Initialaufgabe Strategie<br />
Der Bus will eine Brücke überqueren, die<br />
eine Belastbarkeit von 16 t hat. Wie viele der<br />
Fahrgäste müssen die Brücke trotzdem zu<br />
Fuß überqueren?<br />
Im Bus befinden sich nur noch 30 Fahrgäste.<br />
Wie viele müssen davon die Brücke zu Fuß<br />
überqueren?<br />
Der Busfahrer sucht nach einer anderen<br />
Strecke, damit kein Fahrgast den Bus verlassen<br />
muss. Alle seine möglichen Umwege<br />
führen über Brücken.<br />
Wie hoch muss die Belastbarkeit einer Brücke<br />
mindestens sein, damit alle Fahrgäste<br />
<strong>im</strong> Bus bleiben können?<br />
Die besagte Brücke ist nicht <strong>für</strong> Busse oder<br />
andere Verkehrsmittel freigegeben – es dürfen<br />
nur Fußgänger die Brücke passieren.<br />
Wie viele Fußgänger dürfen dann max<strong>im</strong>al<br />
sich zur selben Zeit auf der Brücke befinden,<br />
ohne dass die Höchstbelastung überschritten<br />
wird?<br />
Der Bus will die Brücke überqueren und ist<br />
voller Schulkinder (durchschnittlich 40 kg pro<br />
Kind).<br />
Müssen von den 49 Schulkindern der<br />
5.Klasse welche den Bus verlassen, damit<br />
der Busfahrer die Höchstbelastung nicht<br />
überschreitet? Wenn ja, wie viele Kinder<br />
müssen die Brücke zu Fuß überqueren?<br />
Alle Schulkinder werden von ihrer Mutter<br />
oder ihrem Vater mit dem Auto zur Schule<br />
gebracht werden und befahren dazu diese<br />
Brücke.<br />
Wie viele Autos mit Insassen (ein Elternteil<br />
und ein Kind) passen gleichzeitig auf diese<br />
Brücke, ohne dass die Höchstbelastung überschritten<br />
wird.<br />
(dazu: Masse vom Auto ermitteln (ca.1,5t))<br />
Auf einer Brücke, die eine Belastbarkeit von<br />
20 t hat, befindet sich eine Ampel, an der<br />
zwei Autos bei Rot stehen und ein Auto passiert<br />
bereits die Brücke in entgegen gesetzter<br />
Richtung.<br />
Wie viele der 49 Fahrgäste (durchschnittlich<br />
75 kg pro Person) muss der Busfahrer bitten<br />
die Brücke zu Fuß zu überqueren, wenn er<br />
die Höchstbelastung nicht überschreiten<br />
will?<br />
(Hinweis: die restlichen relevanten Daten<br />
sind der Skizze zu entnehmen)<br />
20<br />
Geringfügig ändern – an der Höchstbelastung<br />
der Brücke „wackeln“<br />
Geringfügig ändern – Anzahl der Personen<br />
<strong>im</strong> Bus abändern<br />
Umkehren – Belastbarkeit berechnen<br />
lassen<br />
Umzentrieren – ausschließlich Personen<br />
auf der Brücke<br />
Analogisieren – Personen <strong>im</strong> Bus durch<br />
Schulkinder ersetzen<br />
Umzentrieren – Bus durch Autos ersetzen<br />
Spezialisieren – Situation wird abgeändert
Am 01. Mai 2005 wurde die neue Sternbrücke<br />
in Magdeburg feierlich eröffnet. Die Brücke<br />
ist nur <strong>für</strong> den Fahrrad- und Fußgängerverkehr,<br />
sowie <strong>für</strong> den öffentlichen Personennahverkehr<br />
(Busse und Taxis) frei gegeben.<br />
Wie viele Busse von 18 m Länge würden<br />
gleichzeitig auf die Brücke passen? (dazu:<br />
Länge der Brücke ermitteln (242,2 m))<br />
Die Sternbrücke in Magdeburg hat eine Länge<br />
von 242,2 m und eine Breite von 15,25<br />
m. Wie groß ist damit die Brückenfläche?<br />
„Am 1. Mai 2005 fand die feierliche Einweihung<br />
<strong>im</strong> Beisein von Oberbürgermeister Dr.<br />
Lutz Trümper, dem Baubeigeordneten der<br />
Stadt Magdeburg Werner Kaleschky und<br />
dem Bauminister des Landes Sachsen-<br />
Anhalt Karl-Heinz Dähre vor 100.000 Menschen<br />
statt. Nur wenige Stunden nach der<br />
Eröffnung wurde die Brücke wegen zu starker<br />
Eigenschwingungen kurzzeitig gesperrt.“<br />
(aus: Wikipedia)<br />
Wie hoch war die Belastung auf der Brücke<br />
durch die Menschen an diesem Tag?<br />
21<br />
Kontext ändern – Bezug zur Länge der<br />
Brücke<br />
Iterieren („weitermachen“ – Brückenfläche<br />
berechnen<br />
Umorientieren – Gewicht der Menschen auf<br />
der Brücke berechnen
3.3 Aufgaben <strong>für</strong> eine Vernetzung mit anderen Unterrichtsaspekten<br />
3.3.1 Alte Längenmaße – historische Aspekte – ab Klassenstufe 5<br />
Initialaufgabe: Alte Längenmaße in heutigen Einheiten:<br />
1 Zoll 1 Fuß 1 Elle 1 Rute 1 Meile<br />
Baden 3,0 cm 30 cm 60 cm 3,00 m 8,88 km<br />
Bayern 2,4 cm 29 cm 83 cm 2,92 m 7,42 km<br />
Preußen 2,6 cm 31 cm 67 cm 3,77 m 7,50 km<br />
Sachsen 2,4 cm 28 cm 57 cm 4,30 m 9,06 km<br />
Württemberg 2,9 cm 29 cm 61 cm 2,85 m 7,45 km<br />
Welche heutigen Maße hatte ein rechteckiges Feld der Länge 50 Ruten und der Breite 20<br />
Ruten in Baden?<br />
Lösung:<br />
1 Rute (Baden) = 3 m<br />
50 Ruten (Baden) = 50 * 3 m = 150 m<br />
20 Ruten (Baden) = 20 * 3 m = 60 m<br />
Das Feld hat eine Breite von 60 m und eine Länge von 150 m.<br />
Vermutete Variationsrichtungen:<br />
• Veränderung der Variablen:<br />
� statt 50 Ruten ist das Feld 75 Ruten lang<br />
� ersetzen der Maßeinheit Rute durch z.B. Elle<br />
• Veränderung der Vorgaben:<br />
� man betrachtet nun das Land Bayern etc.<br />
• Veränderung oder Spezialisierung auf einen Kontext (Spielfeld �Ackerland)<br />
• Variation durch alltagsnahe Kontexte<br />
� Feld soll umzäunt werden<br />
� Feld soll mit Rollrasen ausgelegt werden<br />
• Variation der Variationen (z.B. statt Holzzaun ein Maschendrahtzaun o.Ä.)<br />
• Anwendungsorientierung: Anordnung der Latten, Zwischenräume beachten<br />
Variationsbeispiele:<br />
1) Wie lang ist der Weg, den man zurücklegen muss, wenn man einmal am Rande um<br />
das Feld herumgehen möchte?<br />
2) Berechne wie viele Latten Holz benötigt man, wenn man das Feld am Rande umzäunen<br />
will? Beachte dabei, dass eine Holzlatte 1,5 m lang ist.<br />
(weitere Variation über Berechnung der Kosten der Holzlatten)<br />
3) Das Feld hat nun die Form eines Trapezes. Die beiden parallelen Seiten des Feldes<br />
haben die Längen 20 Ruten und 30 Ruten (betrachte Sachsen). Sie haben einen Abstand<br />
von 10 Ruten. Berechne nun die Fläche in m².<br />
4) Man will das Feld mit Rollrasen bepflanzen. Ein laufender Meter (mit der Breite 1 m)<br />
kostet 3€. Wie viel Geld müsste der Besitzer zur Bepflanzung des Feldes einplanen?<br />
5) Der Acker soll bepflanzt werden. Für 1 m² werden 50 g Saatgut benötigt. Wie viel<br />
Saatgut muss der Bauer einkaufen, wenn in einem Sack 1kg Saatgut enthalten sind?<br />
22
3.3.2 Wasserzisterne – historischer Aspekt – ab Klassenstufe 7<br />
Initialaufgabe: Schon lange vor dem Mittelalter verwendete man unterirdische Zisternen<br />
um Regenwasser aufzufangen und bis zu weiteren Verwendung in diesen Sammelbehältern<br />
zu speichern. Oft findet man sie bei Burgen auf Bergen aus dem Mittelalter, wo man nicht so<br />
tiefe Brunnen graben konnte. Solch eine Zisterne von 150 Raumeinheiten erhält Wasser<br />
durch 1 Rohr, das in jeder Stunde 10 Einheiten Wasser bei starkem Regen liefert. In welcher<br />
Zeit wird die Füllung der Zisterne von dem Rohr bewirkt?<br />
Lösungsansatz:<br />
E<br />
x = 150 E<br />
10 h<br />
� x = 15 h<br />
Antwort: Es müsste 15 Stunden stark regnen, bis die Zisterne gefüllt ist.<br />
Vermutete Variationsrichtungen:<br />
� Änderung der Vorraussetzungen:<br />
o Zisterne:<br />
� die Zisterne hat die Form eines Quaders, eines umgedrehten Kegels,<br />
eines Zylinders, eines umgedrehten Kegelstumpfes…<br />
o Rohre:<br />
� eines der Rohre ist nach 2 Stunden verstopft, da Blätter dem Wasser<br />
den Weg versperren<br />
• Variation: Angabe, welches Rohr verstopft ist<br />
� eines der Rohre hat ein Loch, so dass etwa 30% des Wassers nicht in<br />
der Zisterne ankommen<br />
� Änderungen der Angabeformate:<br />
o Zisterne:<br />
� statt Raumeinheit eine Maßeinheit wie m³ verwenden bzw. durch Angabe<br />
von Höhe, Breite und Tiefe<br />
� Volumenberechnung<br />
� Oberflächenberechnung (z.B. sollen bei Erneuerung der Anlage die<br />
Wände mit Fliesen ausgestattet werden; weitere Folgerechnungen:<br />
Berechnung der Anzahl der Fliesen; Kostenberechnung; Preisvergleich,<br />
bei verschieden großen Fliesen und Einzelpreisen…)<br />
o Regenmenge:<br />
� Angabe der Regenmenge in ml pro m² (1ml = 1cm³) mit einem Einzugsbereich<br />
<strong>für</strong> die Rohre von n m²<br />
� Umkehr der Rechnung<br />
o aus der Zisterne wird Wasser durch E<strong>im</strong>er entnommen<br />
� Größe der E<strong>im</strong>er kann variiert werden<br />
� Form der Gefäße mit denen man das Wasser entn<strong>im</strong>mt kann variiert<br />
werden<br />
o es regnet stark und die Zisterne bekommt Wasser durch die Rohre, jedoch<br />
wird gleichzeitig Wasser durch E<strong>im</strong>er entnommen<br />
� Änderung der Fragestellung:<br />
o Zu wie viel Prozent ist die Zisterne gefüllt?<br />
� Änderung des Kontextes<br />
o Alltagsnähe: Suche <strong>im</strong> Internet eine Zisterne aus der Gegend, in der du lebst<br />
� Auftrag: Recherche<br />
� Wasserbedarf einer Familie<br />
23
� Konstruktion einer geeigneten Zisterne, die den Wasserbedarf<br />
deckt<br />
o Suche nach anderen Systemen mit gleichem Zweck (z.B. Brunnen)<br />
o Bau einer Zisterne:<br />
� eine Grube soll durch einen Schaufellader ausgehoben werden um eine<br />
Zisterne anzulegen<br />
• Angabe oder Berechnung von:<br />
o pro Schaufel x m³ Erde<br />
o pro Stunde x m³ Erde<br />
o Kosten pro Stunde <strong>für</strong> Schaufellader<br />
• Wandgestaltung der Zisterne:<br />
o Kosten: Wand aus Lehm und Stein; aus Zement der Dicke<br />
x;<br />
o Zisterne besitzt überirdische Auffangbecken, von denen aus das Wasser in<br />
die Zisterne geleitet wird<br />
� Variation der Form der Auffangbecken<br />
• ebene Geometrie:<br />
o Flächeninhalt<br />
o Umfang<br />
• dreid<strong>im</strong>ensionale Geometrie:<br />
o Volumen<br />
o Mantelfläche<br />
Variationsbeispiele:<br />
1) Die Zisterne wird durch zwei Rohre mit Wasser beliefert. Berechne die Befüllungszeit<br />
einer Zisterne mit einem Fassungsvermögen von 150 Raumeinheiten.<br />
2) Der starke Regen hört nach etwa 2,5 Stunden auf. Wie viel Wasser befindet sich in<br />
der Zisterne?<br />
3) In der Zisterne befinden sich bereits 60 Raumeinheiten Wasser. Wie lange dauert es<br />
noch, bis sie voll ist, wenn es weiterhin stark regnet?<br />
4) Fünf Stunden lang regnet es stark, die nächsten drei Stunden wesentlich schwächer<br />
bis es schließlich aufhört zu regnen. Die Zisterne hat ein Fassungsvermögen von 100<br />
Raumeinheiten. Sie erhält Wasser durch 3 Rohre, deren ersten beiden in einer Stunde<br />
zwei und deren dritte in einer Stunde fünf Einheiten Wasser bei starkem Regen in<br />
die Zisterne befördern. Bei schwachem Regen gelangt jeweils nur die Hälfte in die<br />
Zisterne. Wie viel Wasser befindet nach den acht Stunden Regen in der Zisterne?<br />
5) Das Auffangbecken der Zisterne hat die Form eines Kegelstumpfes. Es sollen 100m³<br />
Wasser in das Becken passen. Der untere Kreis des Kegelstumpfes hat einen Radius<br />
r von 20m. Der obere Kreis einen Radius R von 25m. Wie groß ist die Steigung des<br />
Kegelstumpfes?<br />
24
3.3.3 Zelte – kumulatives Lernen – ab Klassenstufe 6<br />
Initialaufgabe: Ein Zelt mit quadratischer Grundfläche hat eine Seitenlänge von 3 Metern.<br />
Wie viel Platz n<strong>im</strong>mt das Zelt auf einem Zeltplatz ein?<br />
� Berechnung des Flächeninhaltes eines Quadrates.<br />
Lösung: A = a 2 = (3 m) 2 = 9 m 2<br />
Variationsbeispiele: Berechnungsaufgaben an ebenen Figuren<br />
1) Änderung der Maßeinheiten und Maßzahlen: Seitenlänge von 40 dm; 0,6 km …<br />
� Schüler überlegen, welche Maßzahlen zur entsprechenden Einheit sinnvoll sind<br />
2) Änderung der Grundfläche des Zeltes: Dreieck, Rechteck, Rhombus, Trapez, Parallelogramm,<br />
Kreis und Berechnung des Umfangs und Flächeninhalts<br />
3) Der Zeltplatz ist 1 Hektar groß. Wie viele Zelte haben dann auf diesem Campingplatz<br />
Platz, wenn alle Zelte die gleichen Maße haben wie in der Initialaufgabe und zwischen<br />
den Zelten jeweils ein Zwischenraum von 2 m liegt.<br />
Wie viel Prozent n<strong>im</strong>mt dann das Zelt (aus der Initialaufgabe) von der<br />
Gesamtfläche des Zeltplatzes ein? (Kl.7)<br />
3 m<br />
3 m<br />
7 m<br />
� Ermittlung der neuen Maße<br />
� Flächenberechnung Quadrat<br />
� Raumvorstellungen -> Vorstellungen über die Größe von Flächen<br />
� Umrechnungen der Flächeneinheiten<br />
4) Gib mögliche Seitenlängen eines Zeltes mit rechteckiger Grundfläche an, das jedoch<br />
den gleichen Platz einn<strong>im</strong>mt wie das Zelt mit quadratischer Grundfläche (aus der Initialaufgabe).<br />
(Kl. 5/6)<br />
25
5) Ein Zelt mit quadratischer Grundfläche hat eine Höhe von 2 Metern. Anja, die 6 Meter<br />
vom Zeltmittelpunkt entfernt steht, beobachtet wie ein Vogel sich auf der Spitze des<br />
Zeltes niederlässt. Wie weit sind die beiden voneinander entfernt? (Kl.8)<br />
Vogel<br />
a<br />
b = 6 m<br />
A<br />
c<br />
Anja<br />
� Berechnungen am Dreieck<br />
� Anwendung Satz des Pythagoras (Begriffe Kathete, Hypotenuse)<br />
6) Anja betrachtet ihr neu erworbenes Zelt ganz stolz. Dazu schaut sie es sich von jeder<br />
Seite genau an. Dabei läuft sie dre<strong>im</strong>al um ihr Zelt herum. Der Kreis, den sie dabei<br />
zieht, berührt die Eckpunkte der Pyramidengrundfläche (Zelt mit den Angaben<br />
aus der Initialaufgabe). (Kl.8/9)<br />
Berechne den Flächeninhalt des Kreises und ziehe dabei die Grundfläche der<br />
Pyramide ab.<br />
Welchen prozentualen Anteil n<strong>im</strong>mt die Pyramidengrundfläche vom Kreis ein?<br />
Körperberechnungen<br />
7) Das Zelt mit quadratischer Grundfläche und einer Seitenlänge von 3m ist 2m hoch.<br />
a) Wie viel Zeltstoff benötigt man <strong>für</strong> die Herstellung des Zeltes?<br />
� Berechnung der Mantelfläche einer Pyramide<br />
� Satz des Pythagoras zur Ermittlung der Höhe<br />
b) Ein Quadratmeter Stoff kostet 1,70 Euro. Wie hoch sind die Gesamtkosten?<br />
c) Wie lang ist jeder der 4 Zeltstäbe (s)?<br />
s<br />
s 2 = h 2 + (1,5m) 2 = 6,25m 2 + 2,25m 2<br />
s = 2,92m<br />
3m<br />
d) An der Seite des Zelteingangs ist der Stoffbedarf 50% höher als der Bedarf <strong>für</strong> jede<br />
der anderen Seiten. Wie groß ist nun der Stoffbedarf?<br />
e) Berechne die Oberfläche des Zeltes.<br />
8) Ein Zelt hat die Form einer quadratischen Pyramide. Der Umfang der Zeltgrundfläche<br />
beträgt 12,80m und die Zelthöhe 1,80m.<br />
a.) Berechne das Volumen des Zeltinnenraumes!<br />
26
� Volumenberechnung von Pyramiden<br />
� Umfang- und Flächenberechnung<br />
b.) Vergleiche das Volumen, wenn man die Grundkante verdoppelt.<br />
9)<br />
Berechnung des Oberflächeninhaltes und Volumens eines Zeltes in Form eines Tet-<br />
raeders, einer regelmäßig sechsseitigen Pyramide, einer regelmäßig schiefen Pyramide,<br />
einer unregelmäßig geraden Pyramide.<br />
Finde<br />
weitere interessante Aufgaben zu den gegebenen Angaben zu Zelten in Werbeprospekten.<br />
10) Berechne das Volumen der Luft und den Oberflächeninhalt in folgenden Zelten.<br />
� weitere Variation: Berechnung der Grundfläche bei gegebener Höhe und Volumen.<br />
Abb.: Pyramidenzelt und Firstzelt<br />
Abb.: Tarps<br />
Abb.: Kuppelzelt Abb.: Tunnelzelt<br />
Nutze <strong>für</strong> die Beschaffung weiterer notwendiger Informationen folgende<br />
Internetadresse:<br />
http://www.unterwegs.biz/index.php?load=/info_<strong>im</strong>ages/zelte/zeltformen.php%3Fid=<br />
27
3.3.4 Zirkelminen – Leistungsdifferenzierung – ab Klassenstufe 10<br />
Initialaufgabe: Die Mine <strong>für</strong> einen Zirkel hat den nebenstehenden Längsschnitt; der Winkel<br />
an der Spitze beträgt 45°, die Gesamtlänge 25 mm, der Durchmesser 2 mm. Berechne den<br />
Flächeninhalt des Längsschnittes.<br />
Ø 2 mm<br />
Lösung:<br />
1)<br />
d<br />
tan α =<br />
x<br />
2<br />
tan 45°<br />
=<br />
x<br />
2<br />
x =<br />
tan 45°<br />
x = 2mm<br />
2)<br />
25 mm<br />
1<br />
A = ⋅ ( a + b)<br />
⋅ h<br />
2<br />
1<br />
A = ⋅ ( 25 + ( 25 − 2))<br />
⋅ 2<br />
2<br />
2<br />
A = 48mm<br />
Unter dem Aspekt des differenzierten Arbeitens und der Möglichkeit der <strong>Aufgabenvariation</strong>,<br />
sein eigenes Leistungsvermögen auch real einschätzen zu lernen, bekommen die Schülerinnen<br />
und Schüler die Zusatzaufgabe, Aufgaben mit verschiedenen Schwierigkeitsstufen zu<br />
erstellen. So erhalten sie u. a. ein Gefühl <strong>für</strong> gestellte Aufgaben und können besser einschätzen,<br />
wie viel Zeit sie <strong>für</strong> best<strong>im</strong>mte Aufgaben benötigen. Ergänzend zur Initialaufgabe<br />
erhalten die Schülerinnen und Schüler als Skizze noch zwei weitere Minenformen.<br />
28
Mine 1 Mine 2<br />
Mine 3 k = 3 mm<br />
29<br />
h = 26 mm<br />
d = 2 mm
Variationsbeispiele mit steigendem Anforderungsniveau:<br />
1. leicht<br />
• Durch unsachgemäße Handhabung ist die Mine abgebrochen und stellt jetzt nur noch<br />
einen geraden Zylinder dar. Berechne nun den Flächeninhalt des Längsschnittes.<br />
• Berechne den Flächeninhalt der Grundfläche.<br />
• Berechne den Flächeninhalt des Längsschnittes, wenn der Winkel an der Spitze jetzt 30°<br />
beträgt.<br />
• Berechne den Umfang der Trapezfläche.<br />
• Eine neue Minenart (Mine 2) wird getestet, die die Form eines geraden Kegels besitzt,<br />
der 25 mm hoch und einen Durchmesser von 2 mm hat. Berechne den Flächeninhalt des<br />
Längsschnittes der neuen Mine.<br />
2. mittel<br />
• Berechne das Volumen der Zirkelmine 2.<br />
• Berechne das Volumen der Zirkelmine 1.<br />
• Ein Zylinder von 26mm Höhe und dem Durchmesser von 2 mm wir zu einer Mine angespitzt.<br />
Berechne das Volumen der Mine 3, wenn k = 3 mm ist.<br />
• Die Zirkelmine 1 wird aus einem Zylinder gefertigt. Wie viel Abfall entsteht bei der Herstellung?<br />
• Mine 1 soll verpackt werden, so dass die Mine genau passt. Welche Arten gibt es die<br />
Mine zu verpacken.<br />
3. schwer<br />
• Wie viele Minen 1 müssen hergestellt werden, damit der Abfall, der bei der Herstellung<br />
entsteht, ausreicht um eine neue Mine 1 daraus herzustellen?<br />
• Berechne den prozentualen Anteil, den die Mine 2 einn<strong>im</strong>mt, wenn sie aus einem Zylinder<br />
hergestellt wird.<br />
• Die Mine 1 wird auf 115% vergrößert, berechne nun die neuen Maße der Mine.<br />
• Zeichne Mine 2 <strong>im</strong> Maßstab 4:1 <strong>im</strong> Schrägbild α = 45°, p = 1/2.<br />
• Mine 3 wird so stark angespitzt, dass sie nun genauso ausschaut wie Mine 2, wie viel<br />
Abfall entsteht.<br />
4. sehr schwer<br />
• Berechne die Masse von Mine 1, wenn man die Dichte von Graphit etwa mit<br />
2,1 g/cm 3 ansetzen kann.<br />
• In welchem Verhältnis steht das Volumen von Mine 1 und Mine 2 zueinander.<br />
• Mine 2 wurde 1,5 mm abgeschrieben. Berechne die somit entstandene Stichbreite.<br />
⇛Idee: Strahlensatz<br />
D<br />
1mm<br />
Z<br />
A B C<br />
E<br />
1,5mm<br />
• Zeichne Mine 3 <strong>im</strong> Maßstab 3:1 <strong>im</strong> Schrägbild mit α = 45°, p = 1/2.<br />
30<br />
1mm<br />
F<br />
⎛ ZB ⋅EF<br />
⎞<br />
Breite = 2 ⋅ ⎜ ⎟<br />
⎜ ⎟<br />
⎝ ZE ⎠
3.3.5 Hürdenlauf – Modellfindung/ fächerübergreifend – ab Klassenstufe 10<br />
Initialaufgabe: Best<strong>im</strong>me die Funktion f, die der Körperschwerpunkt eines Hürdenläufers<br />
bei der Überquerung der ersten Hürde beschreibt.<br />
Mit dieser sehr offenen, fächerübergreifenden Aufgabenstellung erschließen sich Wege<br />
zur Weiterentwicklung des <strong><strong>Mathematik</strong>unterricht</strong>s in Bezug auf die Herausbildung sowohl<br />
von mathematischen als auch sozialen Kompetenzen, die durch die Recherchen <strong>im</strong> Internet<br />
unterstützt werden. Diese können von den Schülerinnen und Schülern zum Thema „Hürdenlauf“<br />
selbst vorgenommen werden oder als zusätzliche Informationen zur Verfügung<br />
gestellt werden.<br />
Für die Realisierung einer entsprechenden Unterrichtssequenz können folgende Phasen<br />
beschrieben werden:<br />
1. Zusammentragen der Kriterien (Parameter zur Aufgabenbest<strong>im</strong>mung), Recherchen <strong>im</strong><br />
Internet in Partnerarbeit<br />
• Wie lang ist ein Hürdenlauf<br />
• Wie viele Hürden stehen in welchem Abstand, wie hoch sind die Hürden<br />
• Wo liegt der Körperschwerpunkt eines Menschen<br />
• Welche Kurve beschreibt der Körperschwerpunkt<br />
• …<br />
2. Festlegen der Parameter und Lösen der Initialaufgabe in 4er Gruppen, Vorstellen der<br />
Lösung<br />
3. Brainstorming zur Variation von Aufgaben<br />
4. Schüler finden <strong>Aufgabenvariation</strong>en (3 je Gruppe) und stellen diese den Mitschülern vor<br />
5. Lösen von <strong>Aufgabenvariation</strong>en (1 Aufgabe der eigenen Gruppe, 1 Aufgabe einer anderen<br />
Gruppe) und Vorstellen der Lösungen jeder Gruppe<br />
6. Erstellen von Plakaten<br />
Für die Bearbeitung der Initialaufgabe in den Phasen 1 und 2, vor allem <strong>für</strong> das Finden des<br />
mathematischen Modells, sind Bilder oder Fotografien zum Bewegungsablauf be<strong>im</strong> Hürdenlauf<br />
sehr hilfreich.<br />
Für die Veranschaulichung der Bewegung bei der Überquerung einer Hürde wurde zum einen<br />
eine Bilderreihe zusammengesetzt, um den Schülerinnen und Schülern den Bewegungsverlauf<br />
darzustellen und des Weiteren eine illustrierte Bilderreihe aus dem Internet, die<br />
den Bewegungsablauf exemplarisch vorstellt, zur Verfügung gestellt.<br />
(vgl. /5/)<br />
31
(vgl. /6/).<br />
Bei der Fragestellung der Lage des Körperschwerpunktes kann eine Illustration angefügt<br />
werden, die zur Best<strong>im</strong>mung hilfreich ist. Auch hier sind Festlegungen notwendig, denn der<br />
Körperschwerpunkt ist bei jedem Menschen in unterschiedlicher Lage. Und insbesondere <strong>für</strong><br />
den Sprung müssen wir verallgemeinern, dass sich der Körperschwerpunkt während der<br />
Bewegung nicht ändert.<br />
(vgl. /7/)<br />
Um die Schülerinnen und Schüler auf die Idee zu bringen, dass man den Körperschwerpunkt<br />
mittels der Betrag-Sinusfunktion beschreiben kann (falls sie nicht von selbst darauf kommen),<br />
könnte die erste Bilderreihe mit einer Markierung des Körperschwerpunktes versehen<br />
und danach noch ein Koordinatensystem eingefügt werden.<br />
32
Ergänzend wurden in der gemeinsamen Diskussion folgende Parameter festgelegt:<br />
Art des Hürdenlaufes: 110 m der Herren<br />
Höhe der Hürde: 1,067 m<br />
Größe des Hürdenläufers: 1,800 m<br />
Höhe des Körperschwerpunktes vom Boden: 1,000 m<br />
Erreichen des höchsten Punktes des KSP (vor<br />
der Hürde):<br />
Erfolgreiche Überquerung der Hürde, wenn der KSP folgenden<br />
höchsten Punkt erreicht:<br />
0,250 m<br />
1,150 m<br />
Opt<strong>im</strong>ale Absprungweite vor der Hürde: 1,750 m<br />
Lösungsansatz:<br />
Erstellen einer Wertetabelle:<br />
x in m<br />
f ( x)<br />
0 0,5 1 1,25 1,5 1,75 2 2,5 3<br />
y = in m 1,00 1,07 1,13 1,14 1,15 1,14 1,13 1,07 1,00<br />
33
Erstellen einer graphischen Darstellung:<br />
1,16<br />
1,14<br />
1,12<br />
1,10<br />
1,08<br />
1,06<br />
1,04<br />
1,02<br />
1,00<br />
Allgemeine Sinusfunktion: y = f ( x)<br />
= sin x<br />
Allgemeine Betrag-Sinusfunktion: y = f ( x)<br />
= sin x<br />
Betrag-Sinusfunktion mit benötigten Parametern:<br />
a… Amplitude<br />
y = f(x) in m<br />
0,00 0,50 1,00 1,25 1,50 1,75 2,00 2,50 3,00<br />
b… Anzahl der vollständigen Perioden <strong>im</strong> Intervall<br />
d… Verschiebung in positive y − Richtung<br />
34<br />
2π<br />
( x)<br />
= a bx d<br />
y = f sin +<br />
x in m
Festlegung der Parameter<br />
λ … Länge einer vollständigen Periode<br />
Aufstellen der Funktionsgleichung <strong>für</strong> die Überquerung der<br />
Hürde mit den festgelegten Parametern:<br />
Vermutete Variationsrichtungen:<br />
Strategie<br />
Geringfügig ändern<br />
Analogisieren<br />
a = 0,<br />
150m<br />
2π<br />
b = ≈ 1,<br />
047<br />
λ<br />
d = 1,<br />
00m<br />
( x)<br />
= 0 , 15sin1,<br />
047 + 1<br />
y = f<br />
x<br />
Die Schüler ändern die festgelegten Parameter und Kriterien<br />
und erstellen somit eine <strong>Aufgabenvariation</strong>, die<br />
nach dem gleichen Lösungsprinzip gerechnet werden<br />
kann<br />
Verallgemeinern Die Schüler führen <strong>für</strong> die festgelegten Parameter und<br />
Kriterien Variablen ein, die zu einer allgemeinen Funktionsgleichung<br />
führen<br />
Spezialisieren Die Schüler fügen der Aufgabenstellung weitere Informationen<br />
hinzu und erweitern somit die Aufgabenstellung<br />
Lücken beheben Bei offenen Kriterien legen die Schüler Werte fest, um<br />
die Aufgabe lösen zu können<br />
Zerlegen Die Schüler teilen die Aufgabe so, dass mehrere Aufgabenstellungen<br />
entstehen, die mehr oder weniger unabhängig<br />
voneinander gelöst werden können<br />
Kombinieren Die Schüler legen verschiedene Aufgaben zusammen<br />
und entwickeln eine große komplexe <strong>Aufgabenvariation</strong><br />
Umzentrieren Die Schüler könnten diskutieren, ob man die Funktion<br />
des Körperschwerpunktes auch durch eine quadratische<br />
Funktion darstellen kann<br />
Umkehren Die Schüler geben z.B. eine Funktion vor und die Aufgabe<br />
ist, die Parameter zu suchen.<br />
Kontext ändern Die Schüler könnten den Inhalt der Aufgabe wechseln,<br />
z.B. zu anderen Sportarten übergehen oder den Kontext<br />
Sport ganz verlassen<br />
Anders bewerten Die Schüler machen durch eine <strong>Aufgabenvariation</strong> die<br />
Aufgabe interessanter, sie übertragen die Aufgabenstellung<br />
auf Themen/Hobbys, die die Klasse interessieren<br />
35
3.3.6 Fluggastzahlen – Nutzung moderner Medien – ab Klassenstufe 5<br />
Initialaufgabe:<br />
(vgl. /4/, S. 5)<br />
Lösungsansatz:<br />
Flughafen Fluggastzahlen 1980 Fluggastzahlen 1990<br />
Zürich 8.000.000 12.000.000<br />
Paris (Charles de Gaulle) 16.000.000 22.000.000<br />
London (Heathrow) 28.000.000 40.000.000<br />
Frankfurt/ Main 18.000.000 30.000.000<br />
Vermutete Variationsrichtungen:<br />
geringfügig ändern:<br />
Spezialisieren:<br />
Umzentrieren:<br />
- Ändern des Diagrammtyps (Nutzung von Tabellenkalkulationssoftware)<br />
- Ändern der Zahlenwerte<br />
- Hinzufügen weiterer Flughäfen (mit Hilfe des Internets)<br />
- Ermitteln neuerer Fluggastzahlen<br />
- Erstellen von Prognosen<br />
- Berechnung von Fluggastzahlen pro Woche/Tag etc.<br />
Kontext ändern:<br />
Iterieren:<br />
- „Einführung“ verschiedener Flugzeugtypen und Ermittlung wie, oft diese fliegen<br />
müssen um alle Passagiere zu transportieren<br />
- Vergleich der Bevölkerungszahlen z.B. von Sachsen-Anhalt mit den Fluggastzah-<br />
len<br />
36
Variationsbeispiele:<br />
1. Übertrage die abgelesenen Daten in zwei andere Diagrammtypen.<br />
Kreisdiagramm<br />
Punktdiagramm:<br />
45.000.000<br />
40.000.000<br />
35.000.000<br />
30.000.000<br />
25.000.000<br />
20.000.000<br />
15.000.000<br />
10.000.000<br />
5.000.000<br />
0<br />
Fluggastzahlen 1980<br />
Zürich<br />
Zürich<br />
Zürich<br />
Paris (Charles de<br />
Gaulle)<br />
London (Heathrow)<br />
Frankfurt/ Main<br />
London<br />
(Heathrow)<br />
London Frankfurt/ Main<br />
(Heathrow)<br />
Paris (Charles<br />
de Gaulle)<br />
Paris (Charles Frankfurt/ Main<br />
de Gaulle)<br />
0 1 2 3 4 5<br />
Fluggastzahlen 1980<br />
Fluggastzahlen 1990<br />
2. Ermittle mit Hilfe des Internets die aktuellen Fluggastzahlen der oben genannten Airports,<br />
trage diese dann in ein Kreisdiagramm ein und ermittle die Veränderung zwischen<br />
1990 und heute.<br />
Lösungsansatz:<br />
Flughafen aktuelle Fluggastzahlen Veränderungen zu 1990<br />
Zürich 19.200.000 +7.200.000<br />
Paris ( Charles de Gaulle) 56.849.567 +34.849.567<br />
London Heathrow 67.342.900 +27.342.900<br />
Frankfurt/ Main 52.800.000 +22.800.000<br />
37
3. Stelle die aktuellen Fluggastzahlen der 10 größten Flughäfen der Welt in Form zweier<br />
Diagrammarten dar. (Quelle. www.Wikipedia.de)<br />
Lösungsansatz:<br />
Kreisdiagramm:<br />
Balkendiagramm:<br />
100.000.000<br />
90.000.000<br />
80.000.000<br />
70.000.000<br />
60.000.000<br />
50.000.000<br />
40.000.000<br />
30.000.000<br />
20.000.000<br />
10.000.000<br />
0<br />
1. Atlanta,<br />
aktuelle Fluggastzahlen 1. Atlanta, USA<br />
aktuelle Fluggastzahlen<br />
3. London<br />
5. Los<br />
7. Paris-<br />
2. Chicago<br />
O'Hare, USA<br />
3. London<br />
Heathrow, GBR<br />
4. Tokio-Haneda,<br />
JPN<br />
5. Los Angeles,<br />
USA<br />
6. Dallas/Fort<br />
Worth, USA<br />
7. Paris-Charlesde-Gaulle,<br />
FRA<br />
8. Frankfurt, GER<br />
9. Las Vegas,<br />
USA<br />
10. Amsterdam,<br />
NLD<br />
9. Las<br />
aktuelle<br />
Fluggastzahlen<br />
4. Ein Airbus A 380 fasst in seiner Standardversion max<strong>im</strong>al 853 Passagiere. Wie oft<br />
muss der A 380 fliegen, um die täglichen Passagierzahlen des Frankfurter Airports zu<br />
bewältigen.<br />
5. Wie viele Flüge muss der kleinere A 320 mehr absolvieren, um ebenfalls das tägliche<br />
Fluggastaufkommen des Frankfurter Airports abzuwickeln.<br />
6. Wie oft muss ein A 380 fliegen, um die gesamte Bevölkerung von Sachsen-Anhalt<br />
einmal zu fliegen?<br />
38
3.3.7 Haushalte – Nutzung moderner Medien – ab Klassenstufe 7<br />
Initialaufgabe:<br />
(1) Erstelle zu folgender Grafik eine Tabelle <strong>im</strong> Computerprogramm Excel!<br />
(2) Die Zahlenangaben <strong>im</strong> Text stehen <strong>im</strong> Widerspruch zu den Daten in der Grafik. Berechne,<br />
wie viele Einwohner tatsächlich <strong>im</strong> Jahr 1900 und 1996 in den verschiedenen Haushaltstypen<br />
lebten. Präsentiere deine Ergebnisse in einer Tabelle in Excel.<br />
39
Lösung:<br />
(1) Möglichkeit 1:<br />
Möglichkeit 2:<br />
(2) Der Fehler besteht darin, dass der Autor des Textes davon ausgegangen ist: <strong>im</strong> Jahr<br />
1996 gab es 347 (bzw. 317) von 1000 Haushalten Ein- (bzw. Zwei-)Personen-haushalte.<br />
Daraus folgt: 347 + 317 = 664 von je 1000 Einwohnern lebten in Ein- oder Zwei-<br />
Personenhaushalte. Das ist ein Irrtum, denn in einem Zwei-Personenhaushalt leben zwei<br />
Einwohner.<br />
Das bedeutet <strong>für</strong> einen Zwei-Personenhaushalt <strong>im</strong> Jahr 1996: 317 Haushalte x 2 Personen =<br />
634 Einwohner <strong>im</strong> Haushalt.<br />
40
In einem Haushalt mit 5 oder mehr Personen <strong>im</strong> Jahr 1900 lebten demnach mindestens<br />
2220 Einwohner (=> 444 Haushalte x 5 Personen).<br />
Mögliche Variationen<br />
1. Strategie: geringfügig ändern -> Jahre und Daten ändern<br />
Erstelle zu folgenden Werten eine Tabelle mit Excel und vergleiche diese Daten in einem<br />
Diagramm!<br />
1 Person 2 Personen 3 Personen 4 Personen 5 Personen<br />
und mehr<br />
<strong>im</strong> Jahr 1900 71 147 170 168 444<br />
Im Jahr 2000 361 336 143 113 43<br />
(Quelle: Statistisches Bundesamt, http://www.destatis.de/indicators/d/lrbev05ad.htm)<br />
2. Strategie: Aktualisieren -> Tabelle mit aktuellen Werten<br />
Erstelle eine Tabelle mit den Werten aus der Grafik und aktuellen Werten!<br />
3. Strategie: in Beziehung setzen -> mit aktuellen Daten vergleichen<br />
Forsche nach aktuellen Werten und vergleiche sie mit den Werten aus der Grafik in einem<br />
Diagramm!<br />
4. Strategie: Verallgemeinern -> Diagramm mit Werten aus der Grafik<br />
Erstelle ein Diagramm, in dem du die Werte von 1900 untereinander vergleichst!<br />
41
5. Strategie: Umzentrieren -> zu Prozentrechung wechseln<br />
Berechne mit Hilfe von Excel, wie viel Prozent die Haushaltstypen den jeweiligen Anteil an<br />
den gesamten Haushalten in Deutschland ausmachen!<br />
6. Strategie: Umzentrieren -> zu Prozentrechung wechseln<br />
Gib (in Excel) an, wie viel Prozent der Einwohner in Deutschland lebten a) <strong>im</strong> Jahr 1900 und<br />
b) <strong>im</strong> Jahr 1996 in Haushalten mit einer Person?<br />
Lösungsansatz: ohne Excel<br />
a) <strong>für</strong> 1900: Personen in allen Haushalten zusammen = 3 747<br />
Personen <strong>im</strong> Haushalt mit einer Person = 71<br />
=> 71 : 3 747 = 0,0189 = 1,9 %<br />
b) <strong>für</strong> 1996: Personen in allen Haushalten zusammen = 2 202<br />
Personen <strong>im</strong> Haushalt mit einer Person = 347<br />
=> 347 : 2 202 = 0,1575 = 15,8 %<br />
7. Strategie: Kritisieren -> Text verbessern<br />
Schreibe einen Leserbrief an die Zeitung! Begründe darin, warum die Zahlenangaben <strong>im</strong><br />
Text falsch sind!<br />
Lösung: Hier ein „professioneller“ Leserbrief, der vier Tage nach dem Erscheinen der Grafik<br />
veröffentlicht wurde:<br />
42
3.3.8 Kostenrechnung –fächerübergreifend – ab Klassenstufe 10<br />
Initialaufgabe: Herr Müller benötigt einen neuen PKW. Zur Auswahl stehen zwei Modellvarianten<br />
eines sportlichen Mittelklassewagens: zum einen mit Dieselmotor und zum anderen<br />
mit Benzinmotor. Folgende Kosteninformationen stehen zur Verfügung:<br />
Die Kraftstoffpreise betragen 1,10 € je Liter Diesel bzw. 1,40 € je Liter Benzin. Ab welcher<br />
jährlichen Fahrleistung lohnt sich der Kauf des teureren Diesel-PKW?<br />
Lösungsansatz:<br />
(Jahres)Kostenfunktionen: K(x) = Abschreibung + Fixkosten + variable Kosten<br />
Diesel K(x) = 5.100 + 0,066 x [0,066 = 6*1,10/100]<br />
Benzin K(x) = 4.440 + 0,112 x [0,112 = 8*1,10/100]<br />
Kritische Jahresfahrleistung: x = 14.347,83 km<br />
Variationsbeispiele<br />
1. Wie hoch sind die gesamten Betriebskosten pro gefahrenen Kilometer <strong>für</strong> das jeweilige<br />
Fahrzeug bei einer Jahresfahrleistung von 10.000 km, 20.000 km bzw. 30.000 km?<br />
Interpretieren Sie das Ergebnis.<br />
2. Die Kraftstoffpreise betragen 1,10 € je Liter Diesel bzw. 1,40 € je Liter Benzin, wobei Diesel<br />
monatlich 15% teurer wird und Benzin 10%. Lohnt sich der Kauf eines Diesel und wenn<br />
ja, ab welcher Fahrleistung?<br />
3. Die Kraftstoffpreise betragen 1,10 € je Liter Diesel bzw. 1,40 € je Liter Benzin. Ab welcher<br />
jährlichen Fahrleistung lohnt sich der Kauf des teureren Diesel-PKW, wenn die KFZ-Steuer<br />
nicht nach ccm, sondern nach dem CO2 Ausstoß berechnet wird?<br />
Welche Vor- und Nachteile entstehen durch die Emissionsbesteuerung?<br />
3.3.9 Flugbahn eines Basketballs – Modellfindung/fächerübergreifend –<br />
ab Klassenstufe 9<br />
Initialaufgabe: Die Flugbahn eines Basketballs ähnelt <strong>im</strong> Verlauf dem Graphen einer<br />
quadratischen Funktion. Der Korb befindet sich in einer Höhe von 3,05 m und der<br />
Scheitelpunkt der Flugkurve liegt 60 cm vor und 30 cm über dem Korb. Welche quadratische<br />
Funktion beschreibt die Flugkurve des Balles?<br />
43
Lösungsansatz:<br />
Geg.: P1 (0,6/ 3,05) ges.: a, b ,c<br />
P2 (0/ 3,35)<br />
P3 (-0,6/ 3,05)<br />
ax 2 + bx + c = d<br />
1. Gleichungssytem aufstellen und lösen<br />
Lösung: Gleichungssystem<br />
I 3,35 = c<br />
II 3,05 = 0,36a + 0,6b + c<br />
III 3,05 = 0,36a – 0,6b + c<br />
aus I folgt 3,35 = c<br />
5<br />
a = —<br />
6<br />
b = 0<br />
5 2<br />
Gleichung aufstellen: f(x) = — x + 3,35<br />
6<br />
Mögliche Variationsaufgaben<br />
1. Beeinflusst der Abstand des Spielers zum Korb die Flugkurve des Balles? Wie<br />
sieht dann die Funktion aus?<br />
2. Welche Toleranzspanne kann der Parameter vor x 2 haben, damit der Spieler bei<br />
gleichem Abstand zum Korb trotzdem trifft?<br />
3. Wie hoch muss der Ball fliegen, damit ein Spieler, der außerhalb der 3 Punkte<br />
Linie steht, trifft?<br />
4. Wenn ein Ball nach einem erfolgreichen Korbwurf zur Ruhe kommt, prellt er zu-<br />
erst einige Zeit auf der Stelle. Hier spricht man von einer gedämpften Schwingung.<br />
Wie könnte der Verlauf des Graphen <strong>im</strong> Koordinatensystem aussehen?<br />
5. Bei einem indirekten Pass, steht ein Spieler 5 m von einem Passgeber entfernt.<br />
Wie sieht die Funktionsgleichung aus, wenn der Ball von 1,10 m Höhe abgeworfen<br />
wird und die Flugkurve des Balls einer Betragsfunktion ähnelt?<br />
44
Literatur<br />
/1/ Henning, H.; Leneke, B.: <strong>Aufgabenvariation</strong> als Unterrichtsgegenstand<br />
Technical Report Nr. 1, 2000<br />
Otto-von-Guericke-Universität Magdeburg, <strong>Fakultät</strong> <strong>für</strong> <strong>Mathematik</strong><br />
/2/ Schupp, Hans: Thema mit Variationen oder <strong>Aufgabenvariation</strong> <strong>im</strong><br />
<strong><strong>Mathematik</strong>unterricht</strong><br />
Verlag Franzbecker, Hildeshe<strong>im</strong>, Berlin, 2002<br />
/3/ Ambrus, A.; Schulz, W.: Wie gehen Lehramtsstudenten mit offenen Aufgaben und<br />
<strong>Aufgabenvariation</strong> um?<br />
Beiträge zum <strong><strong>Mathematik</strong>unterricht</strong> 2003, S. 61 – 64<br />
/4/ <strong>Mathematik</strong> plus Klasse 5 Sachsen-Anhalt<br />
Cornelsen, Volk und Wissen, Berlin, 2004<br />
/5/ http://www.brianmac.demon.co.uk/hurdles/photoseq.htm<br />
/6/ http://www.brianmac.demon.co.uk/hurdles/index.htm<br />
/7/ http://www.sportunterricht.de/lksport/ksp.html<br />
/8/ http://www.destatis.de/indicators/d/lrbev05ad.htm<br />
45