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Digitaltechnik
TI-Tutorium
22. November 2011

Themen
•Anmerkungen zum 2. Übungsblatt
• Wiederholung zum Gleitkommaformat IEEE-754
• Wiederholung BCD- vs. Gleitkommazahlen
•Schaltalgebra
• Würfelkalkül
• NANDk- und NORk-Formen
•Nächstes Übungsblatt
2

Gleitkommaformat IEEE-754
Wie viele normalisierte und nicht-normalisierte Gleitkommazahlen
gibt es im IEEE-754-Standard in einfacher Genauigkeit?
Bis auf die Null gibt es keine zwei gleichen Zahlen.
=> also alle möglichen Zahlen zählen
dazu gehören...
normalisiert nicht-normalisiert
alle Zahlen mit:
Charakt. != 0000 0000 und
Charakt. != 1111 1111
alle Zahlen mit:
Charakt. == 0000 0000
Vorzeichen 1 Bit => 2 1 = 2 Möglichkeiten
Charakteristik 8 Bit => 2 8 - 2 Möglichkeiten nur 0...0 => 1 Möglichkeit
Mantisse 23 Bit => 2 23 Möglichkeiten
Anzahl an Zahlen insg. 2 * (2 8 - 2) * 2 23 2 * 1 * 2 23
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Gleitkommaformat IEEE-754
Wie viele normalisierte und nicht-normalisierte Gleitkommazahlen
gibt es im IEEE-754-Standard in einfacher Genauigkeit?
Bis auf die Null gibt es keine zwei gleichen Zahlen.
=> also alle möglichen Zahlen zählen
dazu gehören...
normalisiert nicht-normalisiert
alle Zahlen mit:
Charakt. != 0000 0000 und
Charakt. != 1111 1111
alle Zahlen mit:
Charakt. == 0000 0000
Vorzeichen 1 Bit => 2 1 = 2 Möglichkeiten
Charakteristik 8 Bit => 28 - 2 Möglichkeiten nur 0...0 => 1 Die Möglichkeit Null haben
wir sonst
doppelt gezählt
Mantisse 23 Bit => 2 23 Möglichkeiten
Anzahl an Zahlen insg. 2 * (2 8 - 2) * 2 23 2 * 1 * 2 23 - 1
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Gleitkommaformat IEEE-754
Kleines Wettspiel - wer ist am schnellsten?
1. Berechne den dezimalen Wert der folgenden im IEEE-754
Standard gegebenen Zahlen
1 0111 1111 110 0000 0000 0000 0000 0000
1 0111 1110 110 0000 0000 0000 0000 0000
0 1000 0111 000 0000 0000 0000 0000 0000
0 1001 0010 101 1010 0000 0000 0000 0001
2. Gib den dezimalen Wert der folgenden ZK-Zahl an
1111 0000 0000 0000 0000 0000 0000 1010ZK
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Gleitkommaformat IEEE-754
3. Gib die Zahl 0,110 im IEEE-754 Standard mit 32-Bit an.
0,110 = 0,000112 = 1,10011001100110011001... * 2 -4
0 0111 1011 100 1100 1100 1100 1100 1100
4. Wir legen ein Festkommaformat für BCD fest
die ersten 16 Bit sind vor dem Komma,
weitere 16 Bit dahinter
Gib die Zahl 0,110 in diesem Format an.
0000 0000 0000 0000 0001 0000 0000 0000
6

Schaltalgebra
Wie kann man eine Booleschen Funktion beschreiben?
Funktionstabelle
Menge der Null- oder Einsstellen der Funktion
=> Angabe der Min- oder Maxterme
Angabe aller Würfel, die die Funktion überdecken
?
a b f
0 0 0
0 1 0
1 0 1
1 1 0
MINt(0, 2, 4, 5, 6)
MAXt(1, 3, 7)
7

Würfelkalkül
Um den
gesamten
Würfel zu
beschreiben,
muss jede
Variable in
jeder
Kombination
einmal 1 und
einmal 0 sein.
=> (-,-,-)
c
1
(0,0,0)
Schaltalgebra
(0,1,1)
1 b
1
a
(1,1,1)
(1,1,0)
Der gesamte
Würfel (-,-,-)
wird auch als
Universum
bezeichnet.
8

Würfelkalkül
c
1
(0,0,0)
Schaltalgebra
(0,1,1)
1 b
1
a
(1,1,1)
(1,1,0)
Minterme sind
kleinstmögliche
Würfel
9

Würfelkalkül
c
1
(0,0,0)
Schaltalgebra
1 b
1
a
(1,1,1)
Der Würfel (-,0,1)
ist ein eindimensionaler
Unterraum
des Universums.
(1,1,0)
Er überdeckt die Würfel
(0,0,1) und (1,0,1).
10

Würfelkalkül
c
1
(0,0,0)
Schaltalgebra
(0,1,1)
1 b
1
a
(1,1,1)
Der Würfel (-,-,1)
ist ein zweidimensionaler
Unterraum
des Universums.
(1,1,0)
11

Würfelkalkül
Zeichnet die
Funktion f im
Würfel ein
und gebt
möglichst
wenige Wüfel
an, um f zu
beschreiben.
c
1
(0,0,0)
Schaltalgebra
f(a, b, c) = abc ⋁ abc ⋁ abc ⋁ abc
(0,1,1)
1 b
1
a
(1,1,1)
(1,1,0)
12

Würfelkalkül
Zeichnet die
Funktion f im
Würfel ein
und gebt
möglichst
wenige Wüfel
an, um f zu
beschreiben.
c
1
(0,0,0)
Schaltalgebra
f(a, b, c) = abc ⋁ abc ⋁ abc ⋁ abc
(0,1,1)
1 b
1
a
(1,1,1)
(1,1,0)
Cf = {(0,0,1), (1,0,1), (0,1,0), (1,1,0)}
13

Würfelkalkül
Zeichnet die
Funktion f im
Würfel ein
und gebt
möglichst
wenige Wüfel
an, um f zu
beschreiben.
c
1
(0,0,0)
Schaltalgebra
f(a, b, c) = abc ⋁ abc ⋁ abc ⋁ abc
(0,1,1)
1 b
Cf = {(-,0,1), (-,1,0)}
1
a
(1,1,1)
(1,1,0)
14

Würfelkalkül
b
1
(0,0)
Schaltalgebra
1
(1,1)
a
Ist natürlich nicht auf drei
Dimensionen beschränkt.
(Nur ist es mit drei am anschaulichsten.)
15

Würfelkalkül - Formal
Schaltalgebra
Ein Produktterm K lässt sich im Würfelkalkül beschreiben.
Würfel:
mit:
C := (c1,c2,...,cn) 2 {0, 1, } n
ci :=
8
<
:
0, falls das Literal ¯xi in K vorkommt
1, falls das Literal xi in K vorkommt
, falls die Variable xi in K nicht vorkommt
don’t care
Die Anzahl an don’t cares gibt die Dimension eines Würfels an:
0 don’t care => 0-dimensional
1 don’t care => 1-dimensional
n don’t care => n-dimensional
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Schaltalgebra
Wie führt man eine Boolesche Funktion in beliebiger Form in
ihre disjunktive bzw. konjunktive Normalform um?
algebraische Erweiterungen und Umformungen
Ablesen der Min- bzw. Maxterme aus der Funktionstabelle
Anwenden des Shannonschen Entwicklungssatzes
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Gegeben sei die Boolesche Funktion
Aufgabe 1
f(c, b, a) =MINt(1, 2, 3, 6, 7)
1. Stellen Sie die Funktionstabelle der Funktionen und
(Komplement von f) auf.
2. Geben Sie die konjunktive Normalform (KNF) der Funktionen f und f.
3. Geben Sie die disjunktive Normalform (DNF) von f.
f(c, b, a)
4. Vereinfachen Sie die Ausdrücke der DNF und KNF von f mit Hilfe der
Regeln der Booleschen Algebra. Die resultierenden Ausdrücke sollen so
wenig Literale wie möglich enthalten.
5. Geben Sie Würfelüberdeckungen an, durch die f und f beschrieben
werden.
¯ f(c, b, a)
18

Aufgabe 1
5. Geben Sie Würfelüberdeckungen an, durch die f und f beschrieben
werden.
c b a f f
0 0 0 0 1
0 0 1 1 0
0 1 0 1 0
0 1 1 1 0
1 0 0 0 1
1 0 1 0 1
1 1 0 1 0
1 1 1 1 0
Cf = {(-,0,0), (1,0,-)}
Cf = {(0,-,1), (-,1,1), (-,1,0)}
a
1
1 b
1
c
19

Aufgabe 1
5. Geben Sie Würfelüberdeckungen an, durch die f und f beschrieben
werden.
c b a f f
0 0 0 0 1
0 0 1 1 0
0 1 0 1 0
0 1 1 1 0
1 0 0 0 1
1 0 1 0 1
1 1 0 1 0
1 1 1 1 0
Cf = {(-,0,0), (1,0,-)}
Cf = {(0,-,1), (-,1,-)}
a
1
1 b
1
c
20

Aufgabe 2
Vereinfachen Sie folgende Booleschen Ausdrücke.
(b _ ā)(c _ ā)
(b _ ā)(c _ ā)
= bc _ bā _ āc _ āā
= bc _ ā
((¯c _ ¯ b) ^ ( ¯ b _ ā)) _ (c ^ ā)
((¯c _ ¯ b) ^ ( ¯ b _ ā)) _ (c ^ ā)
=(¯c ¯ b _ ¯cā _ ¯ b ¯ b _ ¯ bā) _ (cā)
=¯c ¯ b _ ¯cā _ ¯ b _ ¯ bā _ cā
=¯cā _ ¯ b _ cā
= ¯ b _ ā
21

Aufgabe 3
Gegeben ist die folgende Tabelle mit den zwei
Schaltfunktionen si(ai, bi, cin) und cout(ai, bi, cin)
ai bi cin si cout
0 0 0 0 0
0 0 1 1 0
0 1 0 1 0
0 1 1 0 1
1 0 0 1 0
1 0 1 0 1
1 1 0 0 1
1 1 1 1 1
1. Geben Sie die disjunktive
Normalform (DNF) der
Schaltfunktion si an.
si = aibicin _ aibicin _
aibicin _ aibicin
22

Aufgabe 3
Gegeben ist die folgende Tabelle mit den zwei
Schaltfunktionen si(ai, bi, cin) und cout(ai, bi, cin)
ai bi cin si cout
0 0 0 0 0
0 0 1 1 0
0 1 0 1 0
0 1 1 0 1
1 0 0 1 0
1 0 1 0 1
1 1 0 0 1
1 1 1 1 1
1. Geben Sie die disjunktive
Normalform (DNF) der
Schaltfunktion si an.
2. Geben Sie die konjunktive
Normalform (KNF) der
Schaltfunktion cout an.
cout = (ai _ bi _ cin)(ai _ bi _ cin)
(ai _ bi _ cin)(ai _ bi _ cin)
23

Aufgabe 3
Gegeben ist die folgende Tabelle mit den zwei
Schaltfunktionen si(ai, bi, cin) und cout(ai, bi, cin)
ai bi cin si cout
0 0 0 0 0
0 0 1 1 0
0 1 0 1 0
0 1 1 0 1
1 0 0 1 0
1 0 1 0 1
1 1 0 0 1
1 1 1 1 1
1. Geben Sie die disjunktive
Normalform (DNF) der
Schaltfunktion si an.
2. Geben Sie die konjunktive
Normalform (KNF) der
Schaltfunktion cout an.
3. Zeigen Sie schaltalgebraisch, dass
si = (ai ⇹ bi) ⇹ cin
gilt.
24

Aufgabe 3
Gegeben ist die folgende Tabelle mit den zwei
Schaltfunktionen si(ai, bi, cin) und cout(ai, bi, cin)
3. Zeigen Sie schaltalgebraisch, dass si = (ai ⇹ bi) ⇹ cin gilt.
Für si hatten wir vorhin:
Und erhalten durch schaltalgebraische Umformungen:
si = (ai = bi) = cin
= (aibi _ aibi) = cin
si = aibicin _ aibicin _ aibicin _ aibicin
= (aibi _ aibi)cin _ (aibi _ aibi)cin
= (aibicin _ aibicin) _ (aibi ^ aibi)cin
= (aibicin _ aibicin) _ ((ai _ bi) ^ (ai _ bi))cin
= (aibicin _ aibicin) _ (aiai _ aibi _ biai _ bibi)cin
= aibicin _ aibicin _ aibicin _ biaicin
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NANDk-Baustein
k Eingänge
NANDk und NORk
&
NORk-Baustein
k Eingänge
≥1
nicht
nicht
NAND2 entspricht ^
NOR2 entspricht
_
26

Um die NANDk-Form zu
erhalten:
1. disjunktive Form
2. doppelte Negierung
3. DeMorgansche Regel
anwenden
a _ b $ a ^ b
NANDk und NORk
f(a, b, c) =ābc _ a ¯ b(ā _ ¯c)
f(a, b, c) =ābc _ a ¯ b¯c
f(a, b, c) =ābc _ a ¯ b¯c
f(a, b, c) =ābc ^ a ¯ b¯c
f(a, b, c) = NAND2(NAND3(ā, b, c), NAND3(a, ¯ b, ¯c))
27

Um die NORk-Form zu
erhalten:
1. disjunktive Form
2. Negieren
3. Konjunktionen doppelt
negieren
4. DeMorgansche Regel
anwenden
f(a, b, c) = NOR2( ¯ f, ¯ f)
NANDk und NORk
f(a, b, c) =ābc _ a ¯ b(ā _ ¯c)
f(a, b, c) =ābc _ a ¯ b¯c
f(a, b, c) =ābc _ a ¯ b¯c
f(a, b, c) =ābc _ a ¯ b¯c
f(a, b, c) =(a _ ¯ b _ ¯c) _ (ā _ b _ c)
f(a, b, c) =f _ f
¯f(a, b, c) = NOR2(NOR3(a, ¯ b, ¯c), NOR3(ā, b, c))
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Aufgabe 4
Geben Sie die folgenden Schaltfunktionen sowohl in NANDk-
als auch in NORk-Form an.
(Die Variablen stehen sowohl bejaht als auch negiert zur Verfügung).
1. y = c ^ (a = b) ^ ¯ d
2. y =(c $ b)^a
3. y =(a _ b ^ (b _ c)) ^ (a _ c)
4. y = ba _ cba _ edc
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Richtig - Falsch?
Jeder Minterm einer Booleschen Funktion f ist zugleich auch Implikant
von f.
Jeder Implikant einer Booleschen Funktion f ist zugleich auch Minterm
von f.
Die Funktion f(a, b, c) = ā ⋁ b ⋁ c ist in KNF.
Ein Würfel der Funktion f, der das Universum überdeckt, hat nur don’t
cares.
(a ⊼ b) ⊼ c = a ⊼ (b ⊼ c)
NAND3(a, b, c) = a ⊼ b ⊼ c
30

Richtig - Falsch?
Jeder Minterm einer Booleschen Funktion f ist zugleich auch Implikant
von f.
Jeder Implikant einer Booleschen Funktion f ist zugleich auch Minterm
von f.
Die Funktion f(a, b, c) = ā ⋁ b ⋁ c ist in KNF.
Ein Würfel der Funktion f, der das Universum überdeckt, hat nur don’t
cares.
(a ⊼ b) ⊼ c = a ⊼ (b ⊼ c)
NAND3(a, b, c) = a ⊼ b ⊼ c
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Noch Fragen?
Noch Unklarheiten?

Bis nächste Woche :)