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Beispiele mechatronischer Systeme

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xxx 9 Beispiele mechatronischer Systeme lässigen der nichtlinearen Terme kann man eine solche aus Gl. (9.25) ableiten: ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ 0 1 0 0 ẋ = ⎢ 0 0 1 ⎥ ⎣ ⎦ x+ ⎢ 0 ⎥ ⎣ ⎦u , (9.41) − c FR M J R L − c F M JR − K M 2 ü 2 G J R L − R K M M ü G M LM J R L M } {{ } } {{ } à B y = [ 1,0,0 ] x . (9.42) } {{ } C Die Polvorgabe erfolgt anhand der zeitdiskreten Zustandsraumdarstellung x k+1 = à d x k + B d u , (9.43) die in diesem Fall offline und damit exakt bestimmt werden kann (Erläuterung ab Seite 377): à d = eÃT 0 , (9.44) B d = à −1 (à d − I )B . (9.45) Die Zustandsrückführung nach ACKERMANN ergibt sich zu [Lun14b] k T = s T r [ ] a 0 I + a 1 à d + a 2 à 2 d + Ã3 d , (9.46) wobei s T r die letzte Zeile der inversen Steuerbarkeitsmatrix Q S (zur Steuerbarkeit vgl. Abschnitt 7.1.2) s T r = [ 0,0,1 ][ B d à d B d à 2 d B d } {{ } Q S ] −1 (9.47) ist und die Parameter a i die Koeffizienten des gewünschten charakteristischen Polynoms des geschlossenen Regelkreises sind. 9.3.4 Ergebnisse Bild 9.29 zeigt exemplarisch simulierte Verläufe der Parameteradaption. Das EKF ist dabei mit Nominalparametern (20 ◦ C Raumtemperatur) initialisiert worden. Bereits nach kurzer Zeit konvergieren alle Parameter gegen stationäre Werte, die sehr gut mit den wahren übereinstimmen. In Bild 9.30 ist schließlich der Einfluss der Parameteradaption auf das Zeitverhalten des geschlossenen Regelkreises zu sehen. In der linken Bildhälfte ist die Adaption deaktiviert, so dass die Zustandsschätzung und die Vorsteuerung anhand der Nominalparameter berechnet werden. Infolgedessen unterscheidet sich das Zeitverhalten für verschiedene Bauteiltemperaturen deutlich und weist für die maximale Temperatur einen Überschwinger auf, der insbesondere im Verlauf der Stellgröße sichtbar ist. Die rechte Bildhälfte zeigt den gleichen Sprung mit identischer Einstellung von Regler und Beobachter, jedoch mit adaptierten Parametern. Die Verläufe der Position sind in diesem Fall

9.3 Zustandsregelung zeitvarianter Systeme am Beispiel einer Drosselklappe xxxi Motorwiderstand R M Motorkonstante K M Reibmoment M R R M,IV K M,I M R,I K M,II R M,III K M,III M R,II R M,II M R,III R M,I K M,IV M R,IV 0 10 20 30 0 10 20 30 0 10 20 30 Zeit t [s] Zeit t [s] Zeit t [s] Bild 9.29 Adaption der temperaturabhängigen Parameter −40 ◦ C +20 ◦ C +80 ◦ C +160 ◦ C 75 Ohne Parameteradaption 75 Mit Parameteradaption Position [%] 70 65 Soll 60 −40 ◦ C +20 ◦ C 55 +80 ◦ C +160 ◦ C 50 0 50 100 150 200 Position [%] 70 65 Soll 60 −40 ◦ C +20 ◦ C 55 +80 ◦ C +160 ◦ C 50 0 50 100 150 200 Stellgröße [%] 100 50 0 −40 ◦ C −50 +20 ◦ C +80 ◦ C −100 +160 ◦ C 0 50 100 150 200 Zeit [ms] Stellgröße [%] 100 50 0 −40 ◦ C −50 +20 ◦ C +80 ◦ C −100 +160 ◦ C 0 50 100 150 200 Zeit [ms] Bild 9.30 Vergleich zweier Sprungantworten mit (links) und ohne (rechts) Parameteradaption nahezu identisch und weisen für keine Bauteiltemperatur einen Überschwinger auf. In den Verläufen der Stellgröße ist hingegen der größere Stellaufwand für hohe Temperaturen zu erkennen, der mit dem schwächer werdenden Antrieb zu begründen ist. Durch die Online-Parameteradaption mithilfe des EKF ist es demnach möglich, einen großen Anteil der zeitvarianten Streckenanteile zu schätzen, so dass das Modell für die Berechnung der vorgesteuerten Stellgröße im Vorwärtspfad eine hohe Güte besitzt. Dadurch bleiben die Abweichungen der Zustände von ihren Trajektorien klein. Als Folge ist die an einem stark vereinfachtem System entworfene Zustandsrückführung ausreichend, um ein nahezu zeitinvariantes Verhalten des geschlossenen Regelkreises zu erzeugen. Somit kann auch bei stark variierenden Umgebungseinflüssen die in einem Kfz erforderliche Regelgüte trotz Verwendung eines einfachen Regelalgorithmus sichergestellt werden.

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