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Beispiele mechatronischer Systeme

xxxviii 9

xxxviii 9 Beispiele mechatronischer Systeme z Basis x r A r r C i z A Basis y l₁ B B i i l₂cos( ) E r r C i r CE C r CE C Endeffektor Bild 9.36 Vereinfachte Darstellung einer kinematischen Kette des Deltaroboters mit Winkeldefinitionen. links: xz-Ebene, rechts: r BC y-Ebene E bzw. durch ∆r = r 0 − r E zu (i ) ⎡ ⎣ x− ∆r y z ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ cos(ϕ 1i ) cos(ϕ 3i )cos(ϕ 1i + ϕ 2i ) ⎦−l 1 ⎣ 0 ⎦=l 2 ⎣ sin(ϕ 3i ) ⎦. (9.53) sin(ϕ 1i ) cos(ϕ 3i )sin(ϕ 1i + ϕ 2i ) Durch Quadrieren der Gleichung lassen sich die passiven Winkel eliminieren: l 2 2 = ( x i − ∆r − l 1 cos(ϕ 1i ) ) 2 + y 2 i +( z i − l 1 sin(ϕ 1i ) ) 2 . (9.54) Die inverse kinematische Transformation ergibt sich nun, indem Gleichung 9.54 ausmultipliziert 2∆r x i − x 2 i − y 2 i − z2 i − ∆r 2 − l1 2 + l 2 2 = 2l 1 (x i − ∆r ) cos(ϕ } {{ } } {{ } 1i )+2l 1 z i sin(ϕ } {{ } 1i ) (9.55) r i s i t i und unter Zuhilfenahme der Hilfsgrößen r i , s i und t i nach den Antriebswinkeln ϕ 1i aufgelöst wird: ⎛ √ ϕ 1i = arctan⎝ r i t i ∓ s i sign(t i ) s 2 i + t 2 i − r ⎞ 2 i √ ⎠. (9.56) r i s i ±|t i | s 2 i + t 2 i − r 2 i Es lässt sich leicht erkennen, dass diese Transformation mehrdeutig ist, da für jede kinematische Kette zwei Lösungen je Endeffektorposition existieren. Direkte Kinematik Auch wenn die meisten Applikationen im Taskspace, in diesem Fall also im kartesischen Umweltkoordinatensystem definiert und programmiert werden, ist für den Betrieb einer Robotersteuerung die mathematische Beschreibung des direkten kinematischen Problems erforderlich. Wie oben erwähnt, sind der Robotersteuerung in der Regel lediglich Informationen über

9.4 Deltaroboter mit PLCopen Funktionsbausteinen xxxix die Winkelstellung der Antriebe zugänglich. Zur Bewegungsführung muss jedoch zusätzlich die daraus resultierende Lage des Endeffektors ermittelt werden, um sicherzustellen, dass dieser dem geforderten Pfad folgt. Da bei PKM lediglich die aktiven Gelenkkoordinaten sensorisch erfasst werden und im Allgemeinen keine Informationen bzgl. der passiven Gelenke vorliegen, ist das direkte kinematische Problem bei PKM in der Regel wesentlich komplexer als die inverse kinematische Transformation. Außerdem existieren meist mehrere Lösungen, wobei jede Lösung einer (Montage- )Konfiguration entspricht. Dies sind unterschiedliche Konfigurationen einer Kinematik, die nicht ineinander überführt werden können. Beim hier behandelten Deltaroboter kann der Endeffektor beispielsweise bei gleichem q a sowohl über als auch unter der Basisplattform montiert werden. Daher wird häufig auf eine iterative Berechnung mithilfe der differentiellen Kinematik, bzw. der JACOBI-Matrix zurückgegriffen (vgl. Abschnitt 6.1.6). Aufgrund der speziellen Struktur des Deltaroboters kann für die direkte Kinematik stattdessen ein geometrischer Ansatz angewendet werden [Cla91]. Um eine analytische Lösung zu erhalten, werden die geometrischen Zwangsbedingungen (Gl. 9.54) als Kugeln mit dem Radius l 2 um die Endpunkte B der Kniehebel aufgefasst. Die Schnittpunkte der drei Kugeln ergeben die Lösungen der direkten Kinematik. 9.4.5 Inverse Dynamik des Deltaroboters Um den Regler zu entlasten und damit die Genauigkeit des Gesamtsystems zu verbessern, bietet es sich an, Kräfte und Momente vorzusteuern (vgl. Abschnitt 9.4.3). Wie für die kinematischen Transformationen muss ein Softwarebaustein zur Berechnung der inversen Dynamik bereitgestellt werden, der die resultierenden Antriebsmomente τ a ermittelt. Folglich ist, entsprechend Abschnitt 6.2, das inverse dynamische Problem zu lösen, um die allgemeine Bewegungsgleichung τ= M(λ) ¨λ+c(λ, ˙λ)+ g (λ) (9.57) des Mehrkörpersystems mit der Massenmatrix M(λ), den Zentrifugal- und CORIOLIS-Termen c(λ, ˙λ) und dem Einfluss der Gravitation g (λ) zu erhalten. In diesem Fall gilt für die Minimalkoordinaten, wie bereits erwähnt, λ = x E . Entsprechend resultieren die für die Berechnung von Gleichung 9.57 erforderlichen Geschwindigkeiten und Beschleunigungen aus den zeitlichen Ableitungen der Minimalkoordinaten ˙λ = ẋ E sowie ¨λ = ẍ E . Folglich stellt τ auch nicht die Antriebsmomente τ a der Motoren, sondern virtuelle, auf den Endeffektor wirkende Kräfte F in Richtung der kartesischen Koordinatenachsen dar. Diese können jedoch mithilfe der JACOBI-Matrix (Invertierbarkeit vorausgesetzt) ( ) ∂q −1 J = a (9.58) ∂x E auf die Antriebsachsen projiziert werden: τ a = J T τ. (9.59) Grundsätzlich stellt sich in der praktischen Anwendung auch heute noch das Problem der begrenzten Rechenkapazität, da neben der Sollwertberechnung der Großteil der verfügba-

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