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Beispiele mechatronischer Systeme

lxiv 9

lxiv 9 Beispiele mechatronischer Systeme mit dem in Gl. (9.93) abgeleiteten Moment. Damit ergeben sich die Bewegungsgleichungen τ G = (2m W + 2J W r W r 2 + m P )ẍ+ m P l P cos(ψ) ¨ψ−m P l P sin(ψ) ˙ψ 2 (9.105) W −τ G = (J P + m P l 2 P ) ¨ψ+m Pl P cos(ψ)ẍ− m P l P ẋ ˙ψsin(ψ)−m P g l P sin(ψ), (9.106) in die man nun Gl. (9.93) einsetzt, um eine Abhängigkeit vom Motorstrom i zu erhalten. Dieses System wird im Arbeitspunkt x 0 = ẋ 0 = ψ 0 = ˙ψ 0 = 0 linearisiert. Nach einer Umstellung der Terme ergibt sich schließlich die linearisierte Zustandsraumdarstellung mit dem Zustandsvektor x = [ ψ, ˙ψ, x, ẋ ] T ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ 0 1 0 0 0 a 1 0 0 a 4 ẋ = ⎢ ⎥ ⎣ 0 0 0 1 ⎦ x+ b 1 ⎢ ⎥i und den folgenden Abkürzungen (9.107) ⎣ 0 ⎦ a 2 0 0 a 3 b 2 β=m P + 2m W + 2 J W r 2 , (9.108) W α= J P β+2m P l 2 P (m W+ J W r 2 ), (9.109) W a 1 = β α m P g l P , (9.110) a 2 =− m2 P g l 2 P , (9.111) α ( ) 2γ 2 ηk f m P l P + 2γ2 ηk f r W r 2 (J P + m P l 2 P ) , (9.112) W a 3 =− 1 α ( a 4 = 1 α b 1 =− 1 α b 2 = 1 α β 2γ2 ηk f r W ) + 2γ2 ηk f r 2 m P l P , (9.113) W ( β2γηk M + 2γη k M r W m P l P ) , (9.114) ( 2γηk M m P l P + 2γη k M r W (J P + m P l 2 P ) ) . (9.115) Für die Systembeschreibung in Gl. (9.107) (Nick- und Längsdynamik) kann man den Regler z. B. über ein quadratisches Gütemaß entwerfen. Bild 9.57 zeigt die gesamte Regelkreisstruktur (etwas vereinfacht, nicht alle Abhängigkeiten sind illustriert). Darin zusätzlich beinhaltet ist die Regelung der Lastkarre um die Hochachse mit einem Zustandsregler zweiter Ordnung. Dabei wurde angenommen, dass die Dynamik um die Hochachse (Gierwinkel) praktisch entkoppelt von der Nick- und Längsdynamik ist. Die Herleitung der entsprechenden Systembeschreibung sei kurz skizziert.

9.6 Inertiale Stabilisierung einer Lastkarre mit Momentenkreiseln lxv i soll Unterlagerter Regler ’Radbewegung’ i ist Antriebsräder τ Räder Inverses Pendel (resultiert in einem PT 1 -Verhalten) Kopplung i △i Zustandsregler 4. Ordnung Zustandsregler 2. Ordnung ψ, ˙ψ, x, ẋ Nick-, Längs- Dynamik ϑ, ˙ϑ Gierdynamik Bild 9.57 Regelkreisstruktur für Stabilisierung mit Antriebsrädern (vereinfacht) Mit dem Radmotor-Moment τ M = k M i gilt für die von den Radmodulen aufgebrachten Momente um die Hochachse exemplarisch am rechten Rad (Index r) folgender Zusammenhang: Moment um Hochachse { }} { τ r = γη ( ) 1 τ M,r − k f ˙θW,r b . (9.116) } {{ } Motormoment r W } {{ } Kraft Hierbei entspricht b dem Abstand zwischen Mittelpunkt der Radachse und einem Rad. Vernachlässigt man Radschlupf, dann kann man die Drehwinkel des rechten und linken Rades θ W,r ,θ W,l in Abhängigkeit des Weges x darstellen. Es gilt mit dem Winkel ϑ um die Hochachse θ W,r = ẋr ẋ+ b ˙ϑ = , (9.117) r W r W θ W,l = ẋl ẋ− b ˙ϑ = (9.118) r W r W und für die entsprechenden Momente gilt dann für rechts (Index r) und links (Index l) ( ẋ+ b ˙ϑ ) 1 τ r = γη k M i r − k f b , (9.119) r W r W ( ẋ− b ˙ϑ ) 1 τ l = γη k M i l − k f b . (9.120) r W r W Eine Momentenbilanz um die Hochachse liefert nun J ϑ ¨ϑ=τr − τ l ( ẋ+ b ˙ϑ ) ( 1 ẋ− b ˙ϑ ) 1 = γη k M i r − k f b− γη k M i l − k f b r W r W r W r W ( ) ( ) k M b = γη (i r − i l )− 2b2 k f k M b ˙ϑ r W r 2 = γη ∆i − 2b2 k f ˙ϑ r W W r 2 W ( ) bzw. (9.121) k M b ¨ϑ=γη ∆i − 2b2 k f ˙ϑ J ϑ r W J ϑ r 2 W , (9.122)

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