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Beispiele mechatronischer Systeme

lxvi 9

lxvi 9 Beispiele mechatronischer Systeme wobei ∆i = i r − i l die Stromdifferenz und J ϑ das Massenträgheitsmoment um die Hochachse J zz inklusive der STEINER-Anteile der beiden Räder darstellen. Mit x = [ϑ, ˙ϑ] T gilt ⎡ ⎤ 0 1 [ ] 0 ẋ = ⎣ 0 − 2γηb2 k f ⎦ x+ γηk M b ∆i . (9.123) J ϑ r 2 J W ϑ r W Zur Kopplung der Gln. (9.107) und (9.123) wurde die folgende Kopplungsmatrix angesetzt, die die Sollströme für den linken und rechten Motor i soll , i soll l r berechnet i soll = [ i soll] [ ] l 1 i ir soll = . (9.124) 1 −0.5][ ∆i Die Rückführverstärkungen selbst ergeben sich aus dem Reglerentwurf. Bild 9.58 zeigt das Regelverhalten am Beispiel einer Matlab ® Simulation, bei der aber wesentliche Störanteile und Unsicherheiten des realen Systems Berücksichtigung finden. Das betrifft Rauschen in den Messgrößen, die Rekonstruktion des Nickwinkels ψ über einen Beobachter (in diesem Experiment kommt der SMI540 zum Einsatz, der lediglich einen Drehratenund zwei Beschleunigungssensoren aufweist) und Quantisierungseffekte und Fehler der Inkrementalgeber, die etwa zur Rekonstruktion des Weges x und des Winkels ϑ um die Hochachse zum Einsatz kommen. Der Startwert des Pendelwinkels lautet ψ(0)=15 ◦ π 180 ◦ ≈ 0,25rad, der Startwert des Beobachters ˆψ(0) = 0. Zusätzlich wurde für den Winkel ϑ ein Sollverlauf in Form einer Sinusschwingung vorgegeben gemäß ϑ soll (t) = 0,3sin(2π0,25 t). Es wurde ein zeitdiskreter Regel mit der Abtastzeit T 0 = 10 ms implementiert. Bild 9.58 zeigt neben den wesentlichen Zuständen die vom Regler erzeugten Stellwerte (auf Spannungen für die Antriebsmodule umgerechnet), um die Bewegungen in ψ und ϑ zu realisieren. Stabilisierung mit TwinGyro-Modul und Antriebsräder Die exakte Modellierung dieses nun voll ausgebauten Systems kann – wie im letzten Abschnitt gezeigt – mit der LAGRANGE’schen Methode erfolgen. Hier gelangt man aber durch Überlagerung der beiden hergeleiteten Modelle schneller zu einer approximierten, aber akzeptablen Systembeschreibung. Dabei machen wir von der Annahme Gebrauch, dass sich die TwinGyro- Bewegung und die Radbewegung nicht gegenseitig beeinflussen sollen und überlagern die Gln. (9.89) und (9.107). Der von der potentiellen Energie herrührende Anteil ist nur einmal zu berücksichtigen, ansonsten lassen sich die die Beschleunigung von ψ beinflussenden Anteile einfach addieren. Man gelangt schließlich mit dem Zustandsvektor x = [ψ, ˙ψ, x , ẋ , ϕ P , ˙ϕ P ] T zu ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ 0 1 0 0 0 0 0 0 a 1 a 2 0 a 3 0 a 4 b 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 [ ] i ẋ = x+ a ⎢ 5 0 0 a 6 0 0 b ⎥ ⎢ 2 0 ω ⎥ soll P ⎣ 0 0 0 0 0 1 ⎦ ⎣ 0 0 ⎦} {{ } u 0 0 0 0 0 a 7 0 b 3 } {{ } } {{ } A B mit (9.125)

9.6 Inertiale Stabilisierung einer Lastkarre mit Momentenkreiseln lxvii 1 0,5 x in [m] ẋ in [m/s] 0,4 0,2 ϑ in [rad] 0 0 −0,5 −1 0 0,2 0 −0,2 0 1 1 2 2 3 3 4 t [s] ψ in [rad] ˆψ in [rad] 4 t [s] 5 5 −0,2 −0,4 0 4 3 2 1 0 −1 −2 0 ˙ϑ in [rad/s] 1 2 u ψ in [V] 1 3 4 t [s] u ϑ in [V] t [s] 5 2 Bild 9.58 Regelverhalten bei Stabilisierung über die Antriebsräder a 1 = β α m P g l P ; a 2 =− d (9.126) J ( P ) a 3 = 1 β 2γ2 ηk f + 2γ2 ηk f α r W r 2 m P l P ; a 4 = 2 J G ω (9.127) J W P a 5 =− m2 P g l 2 ( ) P ; a 6 =− 1 2γ 2 ηk f m P l P + 2γ2 ηk f α α r W r 2 (J P + m P l 2 P ) ; a 7 =− 1 (9.128) T W 1 b 1 =− 1 α b 2 = 1 α ( β2γηk M + 2γη k M r W m P l P ) (9.129) ( 2γηk M m P l P + 2γη k M r W (J P + m P l 2 P ) ) ; b 3 = 1 T 1 (9.130) Die Korrektur der Rotation um die Hochachse erfolgt wie bei der Radstabilisierung mit den Gln. (9.123) und (9.124). Bild 9.59 zeigt die implementierte Regelkreisstruktur und Bild 9.60 das Regelverhalten aus einer Matlab ® Simulation. Der Startwert des Pendelwinkels lautet wiederum ψ(0)=15 ◦ π 180 ◦ ≈ 0,25rad. Es sind das Regelverhalten für den Pendelwinkel ψ, die Lastkarrenposition x und für den Präzessionswinkel ϕ P dargestellt. Der Vergleich mit Bild 9.55 zeigt das verbesserte (dynamischere) Regelverhalten durch die Verwendung von zwei Stelleinrichtungen. 9.6.3 Implementierungsaspekte Abschließend sei noch auf einige Implementierungsaspekte hingewiesen.

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