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O+P Fluidtechnik 4/2018

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SIMULATION FORSCHUNG UND

SIMULATION FORSCHUNG UND ENTWICKLUNG PEER REVIEWED der Strömung liegt. Die Konzentrationsgrenzschicht ist in der Regel viel dünner als die Strömungsgrenzschicht, sodass diese Forderung häufig erfüllt ist (große Schmidt-Zahlen ). Die rechte Skizze zeigt eine Phasengrenzfläche, die von einem Profil mit homogener Geschwindigkeitsverteilung (Blockprofil) angeströmt wird. Diese Konfiguration repräsentiert den Fall der an einer Rauheit oder einer Stufe anhaftenden Gasblase, vgl. Bild 02. Hier ist l die typische Länge, die die Größe der Grenzfläche beschreibt. Die Tiefe des Problems ist b. Für stationäre Vorgänge, einen konstanten Diffusionskoeffizienten , eine zur Oberfläche mit parallele Strömung u(y) und eine in Strömungsrichtung vernachlässigbare Diffusion kann Gl. (4) als geschrieben werden. Für die in Bild 02 skizzierten Konfigurationen liefert die Grenzschichttheorie die in der Tabelle dargestellten Lösungen der Grenzschichtgleichung (5), vgl. [Gro17a; Mer86]. Eine dimensionsanalytische Betrachtung des Problems zeigt, dass das Stofftransportproblem vollständig durch die dimensionslosen Kennzahlen Péclet-Zahl Pe und Sherwood-Zahl Sh beschrieben werden kann. Die Sherwood-Zahl stellt einen dimensionslosen Massenstrom dar, während die Péclet-Zahl als Verhältnis von advektiven zu diffusiven Flüssen interpretiert werden kann. Je größer die Péclet-Zahl, desto dünner die Konzentrationsgrenzschicht. Kleine Konzentrationsgrenzschichten bedeuten große Konzentrationsgradienten und damit verbunden große Massenströme. Die auftretenden Exponenten 1/2 und 1/3 sind Resultat der unterschiedlichen Geschwindigkeitsfelder. 2.1 HERLEITUNG EINES AUSGASUNGSMODELLS FÜR DIE ÖLHYDRAULIK Die Ergebnisse für den Ausgasungsmassenstrom können auf zwei Weisen weiterverwendet werden. Zum einen kann der Ausgasungs- Porenkeim mit Scherströmung Grenzfläche mit homogener Anströmung Geschwindigkeitsfeld Dimensionslose Kennzahlen Lösung von Gl. (5) Lösungen der Grenzschichtgleichung (5) für die in Bild 02 skizzierten Konfigurationen 03 massenstrom verwendet werden, um die Größe und Anzahl der an den Phasengrenzflächen frei werdenden Gasblasen zu berechnen. Dies ist insbesondere im Falle kavitierender Strömungen von Interesse und wird ausführlich von den Autoren in [Pel17] und [Gro17a] diskutiert, vgl. Bild 01. Für die Entwicklung und Auslegung von Hydrauliksystemen ist diese Feingranularität häufig nicht erforderlich, was durch die derzeit verwendeten groben 0D-Modellierungen besonders deutlich wird. Für ölhydraulische Anwendungen sind in erster Linie integrale Größen wie der Ausgasungsmassenstrom , das Massenstromverhältnis und das Volumenstromverhältnis ϕ von Interesse, vgl. [Gro17c]. Der Massenstrom des in der Flüssigkeit gelösten Gases kann mit dem Henry-Gesetz, Gl. (1), zu berechnet werden. Q bezeichnet den Flüssigkeitsvolumenstrom. p S ist der Sättigungsdruck der Flüssigkeit und c ∞ nach wie vor die Konzentration des in der Flüssigkeit gelösten Gases. Das Verhältnis ξ gibt an, welcher Massenanteil des in der Flüssigkeit gelösten Gases beim Durchströmen der betrachteten Komponente freigesetzt wird. Aus dem Massenanteil kann wiederum der Volumenanteil bestimmt werden, der vom lokalen Druck p ∞ und dem Sättigungsdruck p S abhängt. Der Volumenanteil gibt an wie groß das Volumen der freien Luft in Relation zum Flüssigkeitsvolumen ist und beträgt Hier ist die dimensionslose Löslichkeit (= Ostwald-Konstante) mit der allgemeinen Gaskonstante und der Temperatur T. Im Folgenden wird die Lösungen für eine Phasengrenzfläche, die von einer Flüssigkeit mit homogener Geschwindigkeitsverteilung überströmt wird, verwendet, Gl. (7). Diese Lösung stellt eine Obergrenze für den Ausgasungsmassenstrom dar. Die betrachtete Phasengrenzfläche hat die Länge l und die Tiefe b. Prinzipskizzen des vorliegenden ebenen Advektions- Diffusionsproblems; links: Porenkeim mit Scherströmung, rechts Grenzfläche mit Blockprofil mm ∞ uu yy = γγ yy cc = cc ∞ PORENKEIM yy lim yy→∞ cc = cc ∞ mm = ξξ mm ∞ xx cc = cc N xx = dd mm ∞ FREIE GRENZFLÄCHE lim cc = cc ∞ yy→∞ TIEFE bb uu yy = UU cc = cc ∞ PHASEN- yy mm = ξξ mm ∞ GRENZFLÄCHE xx xx → ll cc = cc N (8) (9) 54 O+P Fluidtechnik 4/2018

SIMULATION Mit dem Ausgasungsmassenstrom (vgl. Bild 03) folgen das Massenstromverhältnis und das Volumenstromverhältnis (10) (11) (12) der Phasengrenzfläche ist in vielen Fällen mit Sicherheit schwierig, ist aber dennoch der Verwendung von empirischen Parametern überlegen, da physikalisch belastbare Größen zugrunde liegen. Experimente zur Analyse der Phasengrenzflächen sind zwingend erforderlich und müssen diese Wissenslücke schließen. Die Anwendung der Theorie und die Durchführung von geeigneten Experimente verbessern das Systemverständnis durch die Identifizierung kritischer Bauteile und ungünstiger Einbausituationen und tragen somit zu einer weiteren Verbesserung hydraulischer Komponenten und Systeme bei. Damit geht das Model weit über den Stand der Technik hinaus. Die VDI 2221 rückt in den Fokus. Nachfolgend soll die Anwendung des Ausgasungsmodells an zwei Beispielen mit technischem Bezug demonstriert werden. 3 ANWENDUNGSBEISPIELE Massen- und Volumenanteil nehmen mit zunehmender Übersättigung ζ und zunehmender Strömungsgeschwindigkeit U ebenfalls zu. Ein größer werdender Volumenstrom reduziert die beiden Größen. In der Regel besteht ein funktionaler Zusammenhang zwischen der Strömungsgeschwindigkeit an der Phasengrenzfläche U ∞ und dem Volumenstrom Q. Ist b der Umfang eines kreisförmigen Strömungsquerschnittes (Rohr, Düse, Blende), d. h. der gesamte Umfang ist von einer Phasengrenzfläche benetzt, folgt für den Volumenstrom Q = U b 2 / (4 π). Eingesetzt in Gl. (11) und (12) ergeben sich und (13) (14) Auf den ersten Blick mag hierbei verwundern, dass Massen- und Volumenanteil des frei werdenden Gases mit zunehmender Strömungsgeschwindigkeit bzw. Péclet-Zahl abnehmen. Für einen konstanten Volumenstrom Q ∝ U b 2 sind Massen-und Volumenanteil jedoch nur abhängig von der Übersättigung ζ, dem Diffusionskoeffizenten und der charakteristischen Länge der Phasengrenzfläche l. Der Volumenanteil hängt zusätzlich noch von der Löslichkeit Λ ab. Zu berücksichtigen ist, dass die Übersättigung ζ selbst auch eine Funktion der Strömungsgeschwindigkeit ist, da mit zunehmender Strömungsgeschwindigkeit der lokale Druck und somit die Sättigungskonzentration c N abfallen. Das in den Gleichungen vorkommende Verhältnis l/b kann auch als Flächenverhältnis der für Ausgasung zur Verfügung stehenden Flächen b l und dem Strömungsquerschnitt, der proportional zu b 2 ist, interpretiert werden. Große Verhältnisse l/b sorgen somit für große Massen- und Volumenstromanteile. Es muss erwähnt werden, dass in dem Modell davon ausgegangen wird, dass die Konzentration des gelösten Gases in der Flüssigkeit konstant bleibt. Aus diesem Grund können für kleine Péclet- Zahlen auch Werte für ξ und ϕ größer eins erreicht werden. Da in den meisten technischen Anwendungen hohe Strömungsgeschwindigkeiten und damit große Péclet-Zahlen vorliegen, ist hier keine Korrektur notwendig. Im Falle kleiner Péclet-Zahlen muss die Abnahme der Konzentration des gelösten Gases berücksichtigt werden, was auf eine Differentialgleichung erster Ordnung (Evolutionsgleichung mit PT1-Verhalten) führt. Die hergeleiteten Zusammenhänge, Gl. (10) bis (14), können wichtige Erkenntnisse für die Auslegung hydraulischer Komponenten oder Systeme liefern. Im Gegensatz zu den vorhandenen empirischen 0D-Modellen wird die Strömungsgeschwindigkeit berücksichtigt, was zwingend notwendig ist. Die Bestimmung der Länge und Breite 3.1 AUSGASUNG INFOLGE ROHRRAUHEIT Betrachtet wird eine Rohrleitung mit Durchmesser D = 10 mm, die von einem Volumenstrom Q = 10 lit/min durchströmt wird, vgl. Bild 04. Dies entspricht einer mittleren Strömungsgeschwindigkeit von U ∞ ≈ 2,1 m/s. Im Rohr haften verteilt an verschiedenen Stellen (Rauheiten, Rostablagerungen etc.) kleine Mengen Gas an. Bild 05 zeigt zur Veranschaulichung die Anhaftung einer Gasblase an einem solchen Rauheitselement auf einer Oberfläche. Die Gesamtoberfläche aller anhaftenden Gasblasen soll 1 cm² betragen. Bei einem Rohr mit einer Länge von 1 m entspricht dies in etwa 0,3 % der Rohroberfläche. Insgesamt sollen sich in der Rohrleitung N = 100 Keimstellen befinden. Für Länge und Breite der Keimstellen gilt vereinfachend b = l = 1 mm. Nimmt man an, dass der Sättigungsdruck der Flüssigkeit 1 bar (z. B. durch eine lange Verweilzeit in einem Tank) und der Druck im betrachteten Rohrabschnitt 0,2 bar betragen, ergibt sich ζ = 4. Es sei darauf hingewiesen, dass der Druck im Rohr Größenordnungen oberhalb des Dampfdruckes der Flüssigkeit liegt und Kavitation hier keine Rolle spielt. Mit einem Diffusionskoeffizienten von = 2 × 10 –9 m 2 /s [Din11] erhält man nach Gl. (11) für das Massenstromverhältnis an einer Keimstelle 1,1 × 10 –5 und für alle Keimstellen 1,1 × 10 –3 . Bei atmosphärischem Druck können in Hydrauliköl typischerweise etwa 10-Vol.-% an Gas gelöst werden. Die Löslichkeit beträgt entsprechend Λ = 0,1. Mit Gl. (9) ergibt sich für das Volumenstromverhältnis der Wert 5,6 × 10 –4 . Dies entspricht etwa 1 000 Gasblasen mit einem Durchmesser von je 1 mm pro Liter Öl, die in der betrachteten Region durch Ausgasung entstehen. Die Keimbildungsrate jeder Keimstelle beträgt in diesem Fall etwa 1,7 Hz, was ein realistischer Wert ist, vgl. [Pet14; Gro17b]. Es ist zu beachten, dass selbst ein geringer Gasanteil in der Größenordnung von 10 –4 bis 10 –3 die Funktion von hydraulischen Komponenten stark beeinflussen kann. Beispielsweise fällt bei einem Gasanteil von 10 –3 die Schallgeschwindigkeit in Wasser von 1 500 auf 350 m/s ab, was zu einer erhöhten Schwingungsanfälligkeit führen kann [Wij07]. Das Beispiel unterstreicht die Relevanz der Ausgasung für hydraulische Anwendungen. Im gewählten Beispiel sind die Strömungsbedingen noch vergleichsweise moderat und es wurde eine geringe Anzahl Keimstellen gewählt. In schlecht ausgelegten Komponenten können sich bspw. an Querschnittsänderungen große Mengen Luft ansammeln (Luftsäcke) und so die Ausgasung massiv beschleunigen. Insbesondere bei Blenden und Düsen besteht die Gefahr, dass freie Gasblasen an der Kante anhaften und als Keimstellen dienen, vgl. Bild 02. Einen besonders relevanten Fall stellen in diesem Zusammenhang Einspritzdüsen dar, da hier das Verhältnis aus Länge und Durchmesser groß ist, vgl. Gl. (13) und (14). O+P Fluidtechnik 4/2018 55