Elektrodynamik und Optik - Fachbereich Physik der Universität ...

Skript zur Vorlesung 

‚Experimentalphysik 2 für Biologen und Chemiker’ 

Elektrodynamik und Optik 

(Version SoSe 2007) 

Axel Blau 

TU Kaiserslautern 

FB Physik

2 Experimentalphysik 2 für Biologen & Chemiker 

Vorbemerkung 

Dieses Skript ist als Vorlage für eigene Notizen zu verstehen. In diesem Sinne 

darf es nicht als Buch- oder gar Vorlesungsersatz missverstanden werden; es 

soll lediglich das Folgen der Vorlesung erleichtern und insbesondere den 

(zugegebenermaßen nicht leicht leserlichen) Tafelanschrieb ergänzen. 

Außerdem ist dieses Skript „im Werden“ begriffen, d.h. es wird im Laufe des 

Semesters Änderungen unterworfen sein und an der ein oder anderen Stelle 

noch Fehler aufweisen. Sie können sich an dem Verbesserungsprozess aktiv 

beteiligen! Ihre Korrektur- und Ergänzungsvorschläge sind sehr willkommen! 

Richten Sie sie einfach per E-Mail an blau@physik.uni-kl.de. Gegen 

Semesterende werden Sie dann Gelegenheit haben, die aktualisierte 

Gesamtversion zu kopieren.

Elektrodynamik 3 

Inhalt 

5 Elektrodynamik 7 

5.1 Elektrostatik 7 

5.1.1 Elektrische Ladungen und Coulombgesetz 7 

5.1.2 Elektrisches Feld 12 

5.1.3 Elektrischer (Kraft-)Fluss 14 

5.1.4 Gauß’scher Satz 16 

5.1.5 Elektrostatisches Potenzial und elektrische Spannung 17 

5.1.6 Erzeugung von hohen Spannungen durch Ladungstransport im van de Graaff Generator 20 

5.1.7 Erzeugung von hohen Spannungen im Tierreich 21 

5.1.8 Influenz in Leitern im elektrischen Feld 21 

5.1.9 Kondensatoren und Kapazität 22 

5.1.9.1 Parallelschaltung von Kondensatoren 25 

5.1.9.2 Hintereinanderschaltung (= Serienschaltung) von Kondensatoren 26 

5.1.9.3 Dielektrika 27 

5.1.10 Elektrischer Dipol, Polarisation und Suszeptibilität 28 

5.1.10.1 Andere Möglichkeiten der Ladungstrennung: Piezo- und pyroelektrischer Effekt 34 

5.2 Ströme 36 

5.2.1 Mikroskopisches Modell des Stromflusses 37 

5.2.2 Widerstand und Ohm’sches Gesetz 38 

5.2.3 Strom-Spannungs-Kennlinien 39 

5.2.4 Supraleiter 40 

5.2.5 Variable Widerstände: Potentiometer 41 

5.2.6 Mikroskopische Betrachtung von Leitungsvorgängen 42 

5.2.7 Halbleiter 43 

5.2.8 Elektrische Leitung in Flüssigkeiten 44 

5.2.9 Elektrische Leitung in Gasen 45 

5.2.10 Elektrische Leistung und Joule’sche Wärme 47 

5.2.11 Ströme in verzeigten Stromkreisen – Kirchhoff’sche Regeln und Berechnung des 

Gesamtwiderstands 47 

5.2.11.1 Erste Kirchhoff’sche Regel: Knotenregel 47 

5.2.11.2 Zweite Kirchhoff’sche Regel: Maschenregel 48 

5.2.11.3 Gesamtwiderstand bei Reihenschaltung (= Serienschaltung) von Widerständen49 

5.2.11.4 Gesamtwiderstand bei Parallelschaltung von Widerständen 49 

5.2.11.5 Wheatston’sche Brückenschaltung zur Messung von unbekannten Widerständen50 

5.2.12 Chemische Strom- und Spannungsquellen 51 

5.2.12.1 Biologische Spannungserzeugung 51 

5.2.12.2 Elektrochemische Zellen 51 

5.2.12.3 Batterien und Brennstoffzellen 52 

5.2.12.4 Klemmspannung und Innenwiderstand einer Spannungsquelle 54 

5.2.12.5 Strom- und Spannungsmessung 54 

5.3 Magnetostatik 55 

5.3.1 Die Ursachen des magnetischen Feldes sind bewegte Ladungen 57 

5.3.2 Das Biot-Savart’sche Gesetz beschreibt das Magnetfeld um einen stromdurchflossenen 

Leiter 58 

5.3.3 Das Ampère’sches Durchflutungsgesetz ist das magnetische Analogon zum Gauß’schen 

Satz in der Elektrostatik 59 

5.3.4 Das Magnetfeld im Zentrum einer Leiterschleife ist direkt proportional zum Strom und 

umgekehrt proportional zum Radius der Schleife 59 

5.3.5 Das Magnetfeld im Inneren einer Spule ist homogen: die magnetischen Feldlinien verlaufen 

dort parallel 60 

5.3.6 Arten von Magnetfeldern 60 

5.3.7 Kraftwirkung eines Magnetfeldes auf eine bewegte Ladung 61 

5.3.8 Bewegung einer Punktladung im Magnetfeld 62 

5.3.9 Massenspektrometer 63 

5.3.10 Wien’sches Geschwindigkeitsfilter 64 

5.3.11 Hall-Effekt 64


5.3.12 Drehmoment auf Leiterschleifen und Magnete: Elektromotor 67 

5.3.13 Die Einheit der Stromstärke, das Ampere, ist über die Kraftwirkung zweier paralleler gerader 

Leiter definiert 68 

5.3.14 Magnetischer Fluss 69 

5.3.15 Maxwell-Gleichungen für zeitlich konstante Felder 69 

5.4 Magnetodynamik 71 

5.4.1 Magnetische Induktion 71 

5.4.2 Induktionsspannung und Faraday’sches Gesetz 72 

5.5 Magnetismus in Materie 75 

5.5.1 Materie im Magnetfeld 75 

5.5.2 Magentisches Dipolmoment eines Elektrons: das Bohr’sche Magneton 75 

5.5.3 Magnetisierung 77 

5.5.4 Magnetische Suszeptibilität 77 

5.5.5 Diamagnetismus 78 

5.5.6 Paramagnetismus 78 

5.5.7 Ferromagnetismus 79 

5.6 Wechselstrom und Drehstrom 81 

5.6.1 Erzeugung von Wechselstrom durch eine sich drehende Spule im Magnetfeld 81 

5.6.2 Ein Drehstrom hat eine höhere Leistungsdichte 84 

5.6.3 Transformatoren wandeln Wechselspannungen ohne Leistungsverlust von einer 

Eingangsspannung in eine (andere) Ausgangsspannung 85 

5.7 Elektrische Bauelemente in Gleich- und Wechselstromkreisen 87 

5.7.1 Ein- und Abschaltvorgänge in Gleichstromkreisen 87 

5.7.1.1 Widerstand beim An- und Abschalten einer Gleichspannungsquelle 87 

5.7.1.2 Kondensator beim An- und Abschalten einer Gleichspannungsquelle 88 

5.7.1.3 Spule beim An- und Abschalten einer Gleichspannungsquelle 88 

5.7.2 Gleichstromwiderstände versch. Bauelemente in Gleichstromkreisen 89 

5.7.2.1 Ohm’scher Widerstand bei Gleichstrom 89 

5.7.2.2 Widerstand eines Kondensators bei Gleichstrom 89 

5.7.2.3 Widerstand einer Spule bei Gleichstrom 89 

5.7.3 Wechselstromwiderstände = Impedanzen versch. Bauelemente in Wechselstromkreisen 89 

5.7.3.1 Ohm’scher Wechselstromwiderstand 89 

5.7.3.2 Wechselstromwiderstand eines Kondensators 90 

5.7.3.3 Wechselstromwiderstand einer Spule 91 

5.7.4 Verschaltung von Wechselstromwiderständen 91 

5.8 Halbleiterbauelemente: Dioden (und Transistoren) 93 

5.9 Thermische Effekte in Leitern 94 

5.9.1 Erzeugung einer Thermospannung als Folge des Seebeck-Effektes 94 

5.9.2 Der Peltier-Effekt ist die Umkehrung der thermoelektrischen Spannungserzeugung 96 

6 Elektromagnetische Schwingungen und Wellen – Überleitung zur 

Optik 97 

6.1 Elektromagnetische Schwingungen und Wellen 97 

6.1.1 Harmonische Schwingung in einem geschlossenen LC-Schwingkreis 97 

6.1.2 Gedämpfte harmonische Schwingung in einem LCR-Kreis 100 

6.1.3 Erzwungene gedämpfte harmonische Schwingung in einem LCR-Kreis 100 

6.1.4 Vergleich zwischen mechanischen und elektromagnetischen Größen 101 

6.1.5 Gekoppelte Schwingkreise verhalten sich wie gekoppelte mechanische Pendel 101 

6.1.6 Abstrahlung transversaler elektromagnetischer Wellen von einem offenen Schwingkreis: 

Hertz’scher Dipol 102 

6.1.7 Stehende elektromagnetische Wellen bilden sich im Dipol aus, wenn dessen Länge ein 

Vielfaches der halben Wellenlänge der EM-Welle beträgt. 104 

6.1.8 Ablösen der elektromagnetischen Wellen vom Dipol 105 

6.1.9 Kategorisierung elektromagnetischer Wellen nach ihrer Frequenz bzw. Wellenlänge 108 

6.1.10 Durchdringungsvermögen und Absorption von elektromagnetischen Wellen 113 

6.1.11 Reflexion und Interferenz elektromagnetischer Wellen 114 

6.1.12 Brechung von elektromagnetischen Wellen 115 

6.1.13 Prisma 116 

6.1.14 (Innere) Totalreflexion 116


6.1.15 Polarisation elektromagnetischer Wellen 118 

6.1.15.1 Polarisation durch Reflexion – Brewster’sches Gesetz 121 

6.1.15.2 Polarisation durch Absorption 121 

6.1.15.3 Polarisation durch Streuung 122 

6.1.16 Optische Aktivität 124 

6.1.17 Dispersion 124 

6.1.18 Beschreibung des Wellencharakters von Licht 125 

6.1.19 Interferenz zeitlich und räumlich kohärenter elektromagnetischer Wellen 125 

6.1.20 Interferenz an dünnen Schichten 127 

6.1.21 Beugung 130 

6.1.22 Beugung und Interferenz an Mehrfachspalten 132 

6.1.23 Dispersion an Beugungsgittern 133 

6.1.24 Interferenz bei Reflexion (am Beispiel einer CD bzw. DVD) 133 

6.1.25 Streuung ist u.a. verantwortlich für das Himmelsblau und Abendrot 134 

6.2 Geometrische Optik mit Lichtstrahlen 136 

6.2.1 Das Licht als Teilchen (Photon) 136 

6.2.2 Schatten 137 

6.2.3 Optische Abbildung durch Reflexion: Spiegel 137 

6.2.3.1 Planspiegel 138 

6.2.3.2 Hohlspiegel 139 

6.2.4 Optische Abbildung durch Brechung: Linsen 140 

6.2.4.1 Brechung an einer gekrümmten Fläche 140 

6.2.4.2 Dünne Linsen 141 

6.2.4.3 Zusammenfassung der Eigenschaften von Linsen 145 

6.2.5 Linsenfehler 146 

6.2.5.1 Sphärische Aberration 146 

6.2.5.2 Chromatische Aberration 147 

6.2.5.3 Koma 147 

6.2.5.4 Astigmatismus (Punktlosigkeit) 147 

6.2.6 Linsenfehler beim Auge 148 

6.2.6.1 Kurzsichtigkeit 148 

6.2.6.2 Weitsichtigkeit 149 

6.2.6.3 Astigmatismus durch Hornhautverkrümmung (Stabsichtigkeit) 149 

6.2.6.4 Vergrößerung in Abhängigkeit vom Sehwinkel 149 

6.2.7 Lupe 150 

6.3 Linsensysteme 150 

6.3.1 Mikroskop 150 

6.3.1.1 Auflösungsvermögen des Mikroskops 151 

6.3.2 Fernrohre (Teleskope) 152 

6.4 Temperaturstrahlung 154 

6.5 Röntgenstrahlung 157 

6.6 Radioaktivität 159 

6.6.1 Strahlenbelastung und biologische Wirkung 160


Organisatorisches 

• Übungsgruppenverteilung: Bitte melden Sie sich auf der Internetseite 

http://www.physik.uni-kl.de/BiologenChemiker/ für eine Übungsgruppe an. 

Sollten Sie Ihre Gruppe im Laufe des Semesters wechseln wollen, dann 

melden Sie sich bitte um, damit Ihr Platz in der alten Übungsgruppe Ihren 

Kommilitonen zur Verfügung steht. Sollten Sie sich entscheiden, nicht 

mehr an den Übungen teilzunehmen, dann wären wir Ihnen dankbar, sich 

von den Übungen abzumelden (Wahl von Gruppe 0). Das gestattet das 

Nachrücken Ihrer noch nicht untergekommenen Kommilitonen. 

• Informieren Sie sich auf der o.g. Internetseite auch rechtzeitig zu den 

Klausur- und Praktikumsterminen, insbesondere zu den Anmeldefristen! 

Beachten Sie, dass sich alle Chemiker, Lebensmittelchemiker und 

Wirtschaftsingenieure IMMER auch ZUSÄTZLICH auf der Internetseite 

des Fachbereichs Chemie innerhalb strenger Fristen anmelden müssen: 

https://chempruef.chemie.unikl.de/Pruefungen/Anmeldung/pruefanmeld.php 

• Die Vorlesung und die Übungsstunden am Dienstag, den 1. Mai. fallen 

aus (Feiertag). Die Pfingstwoche zwischen dem 28.05. – 01.06. ist 

ebenfalls vorlesungs- und übungsfrei. Übungen, die auf sonstige 

Feiertage fallen, werden nachgeholt. Ihr Übungsbetreuer wird dazu einen 

Termin mit Ihnen vereinbaren. 

• Wie im letzten Semester haben Sie Gelegenheit, durch eigenständiges 

Lösen und Vorrechnen von Übungsaufgaben Bonuspunkte zu sammeln, 

mit denen Sie Ihr Klausurergebnis aufwerten können. Nehmen Sie also 

die Gelegenheit wahr, sich in den Übungen zu engagieren. Versuchen Sie 

dabei, Ihren Kommilitonen die Lösungen so darzustellen, wie Sie sie 

selbst ebenfalls am leichtesten verstehen würden. Sie werden feststellen, 

dass Sie sich damit (als „Nebeneffekt“) automatisch bestens auf Klausur 

und Praktikum vorbereiten. 

• Wie immer können und sollten Sie während der Vorlesung und 

insbesondere in den Übungen Fragen stellen, falls Konzepte unklar 

geblieben sind. Seien Sie daran erinnert, dass es keine dummen Fragen 

gibt, lediglich dumme Antworten. 

• In diesem Semester werden wir alles besprechen, was mit Ladungen zu 

tun hat (und Optik). Sie werden sehen, dass trotz vieler neuer Konzepte 

sich einige davon denen in der Mechanik ähneln und hin und wieder 

sogar direkte Vergleiche angestellt werden können (z.B. Coulomb- vs. 

Gravitationskraft) 

Allgemeine Bemerkung zu diesem Skript 

Zur Erinnerung – fett gedruckte Variablen deuten den Vektorcharakter dieser 

Variablen an.


V01 Coulombkraft 

5 Elektrodynamik 

Die Elektrodynamik (oder auch Elektromagnetismus genannt) ist der 

Oberbegriff, der alle elektrischen und magnetischen Phänomene 

zusammenfasst. Selbst das Licht und optische Phänomene lassen sich darüber 

beschreiben. Diese Phänomene werden Gegenstand dieser zweiten Vorlesung 

sein. 

Außer der Gravitation haben alle Kräfte, denen wir im Alltag begegnen, 

einen einzigen Ursprung: den Elektromagnetismus. 

Elektromagnetische Kräfte 

• sind verantwortlich für die gesamte Strukturbildung der Materie im 

Größenbereich von einigen Nanometern (Atome, Moleküle) bis zu 

einigen Metern (Mensch, direkte Umgebung des Menschen). 

• bestimmen die meisten physikalischen, sämtliche chemischen und den 

größten Teil der biologischen Erscheinungen. 

5.1 Elektrostatik 

Elektrostatik: Lehre von Phänomenen, die durch ruhende elektrische Ladungen 

verursacht werden: 

Einzelladung q (positiv oder negativ), 

Q = n· q (Gesamt-)Ladungsmenge Q aus n Einzelladungen q (mit n ∈Ν), 

elektrisches Feld E, 

elektrisches Potenzial ϕ (phi), 

elektrostatische Energie Eel, stat.. 

5.1.1 Elektrische Ladungen und Coulombgesetz 

Der Begriff Elektrizität stammt von ‚elektron’, dem griechischen Wort für 

Bernstein, der nach Reibung Federn und Stroh anzieht. 

Beobachtung: 

Werden Kunststoffstäbe (oder Bernstein oder Luftballons) mit einem Katzenfell 

gerieben, so 

• zieht der Stab/Bernstein/Luftballon Papierschnipsel an 

• stoßen sich zwei geriebene Kunststoffstäbe ab. 

Diese Erscheinung wird Reibungselektrizität genannt. 

Ex.x Styroporschnipsel 

bleiben am 

Kunststoffhandschuh 

hängen. 

Ex.x Wolle oder 

Katzenfell lädt 

Kunststoffstab durch 

Reibung auf. Glasstab 

und Seide führen zu 

entgegengesetzter 

Ladung. 

PVC und Samt oder Glas 

und Seide ergeben eine 

entgegengesetzte 

Ladung im Vergleich zu 

Plexiglas und Katzenfell. 

E1.13 Person im E-Feld 

(Cartoons, „man ist wie 

elektrisiert“) 

E1.1 Kräfte zwischen 

Ladungen (Elektrometer 

= Elektroskop)

Berührung des 

Elektrometers mit einem 

trockenen Holzstab: 

keine Änderung bzw. 

einem nassen Holzstab: 

Entladung 


Interpretation des Versuches: 

• Es werden zwei verschiedene Arten von Ladungen postuliert: 

positive ( + , ⊕ ) (z.B. Positronen, Protonen, 

Kationen) 

negative ( - , Θ ) (z.B. Elektronen, Anionen) 

Die elektrische Ladung ist wie die Masse eine fundamentale 

Eigenschaft der Materie. Bis heute lässt sich die Frage nach der 

eigentlichen Natur der elektrischen Ladung nicht beantworten (das 

gleiche gilt auch für die Masse). Ladungen q sind immer in (nicht weiter 

teilbaren) Portionen der Größe ±e quantisiert, wobei 

e = 1,60·10 -19 C (Coulomb) (Charles Coulomb, 1736-1806) 

Das Coulomb ist keine SI-Einheit. (Sie wird über eine andere SI-Einheit, 

das Ampère, die Einheit der Stromstärke, eine der 7 Basisgrößen (m, 

kg, s, A, K, mol, cd) des SI-Systems, definiert; es gilt: 

1 C = 1 A·s; 

(später genauere Definition dazu). 

• Durch Austausch von Elektronen zwischen zwei Gegenständen wird der 

eine Gegenstand positiv und der andere in gleichem Maße negativ 

geladen. Es kommt also nicht zu einer Ladungserzeugung, sondern 

lediglich zu einem Ladungsaustausch: die elektrische Gesamtladung 

bleibt in einem abgeschlossenen 1 System erhalten, d.h. Ladungen 

können weder erzeugt noch vernichtet, wohl aber getrennt werden. 

• Eine gleiche Anzahl an positiven und negativen Ladungen neutralisiert 

sich. 

• Es gibt Materialien, auf oder in denen sich Ladungen frei bewegen und 

ausbreiten können, sog. elektrische Leiter, (z.B. Metalle, wässrige 

(salzhaltige) Lösungen, heiße Gase, ...) und Materialien, auf denen 

Ladungen am Ort der Erzeugung sitzen bleiben (d.h. an einzelne Atome 

oder deren nähere Umgebung gebunden sind), d.h. elektrisch nichtleitende 

Materialien, sog. Isolatoren (Kunststoffe, Glas, Porzellan (siehe 

Überlandleitungen), trockenes Holz, Luft, ...). 

• Sind Ladungen getrennt, so stoßen sich gleichnamige Ladungen 

(gleiches Vorzeichen) ab, wogegen sich ungleichnamige 

(entgegengesetztes Vorzeichen) anziehen. (Es gilt also nicht: „gleich zu 

gleich gesellt sich gern“, sondern „Unterschiede ziehen sich an“.) 

Offenbar wirkt zwischen den Ladungsträgern (Stab bzw. Luftballon und 

Papierschnipsel) eine (anziehende bzw. abstoßende) Kraft: 

1 „abgeschlossen“ heißt: weder Energieaustausch noch Materieaustausch mit der Umgebung 

außerhalb des Systems; „geschlossen“ heißt: Energieaustausch mit der Umgebung ist erlaubt, 

Materieaustausch dagegen nicht.


Ladung 1 Ladung 2 

¯ → ← Θ 

F1 = -F2 

← ¯ ¯ → 

-F1 = F2 

← Θ Θ → 

3. Newton’sches Axiom: actio = reactio 

Beachten Sie: Kräfte sind vektorielle Größen. Wie erklären Sie sich also 

die Vorzeichen? 

• Ladungstrennung (in einem elektrischen Leiter) durch elektrostatische 

Influenz: Werden Ladungen (z.B. mittels eines geladenen 

Kunststoffstabes) in die Nähe eines elektrischen Leiters gebracht (ohne 

diesen zu berühren), dann verschieben/verteilen sich die Ladungen des 

Leiters in dem Leiter so, dass sich zur äußeren Ladung ungleichnamige 

Ladungen auf die äußere Ladung zubewegen, gleichnamige Ladungen 

dagegen von ihr wegbewegen. 

• Die Erde kann als unendlich großer Leiter angesehen werden, der 

negative Ladungen, d.h. Elektronen, zur Verfügung stellt. 

Influenz von Ladungen (links) und die Erde als Lieferant neg. Ladungen (rechts). Quelle: 

Staudt 2, Abb. 6.3, S.13 

Von welchen Größen hängt die zwischen den Ladungen wirkende Kraft 

ab? 

Influenzversuch: 1. 

Ladungsverschiebung in 

zwei sich berührenden, 

jeweils an Elektroskope 

angeschlossenen Kugeln 

mit einem geladenen 

Plastikstab, 2. Trennen 

der Kugeln, 3A. Erdung 

der Kugeln: 

Elektroskopausschlag 

verschwindet nur bei 

einer Kugel; 3B 

Zusammenführen der 

Kugeln: 

Elektroskopausschlag 

verschwindet in beiden 

Kugeln. 

E1.4 Coulomb’sches 

Gesetz: Torsionswaage 

(vgl. Cavendish 

Experiment zur 

Bestimmung der 

Gravitation!)


Coulomb’sche Torsionswaage zur Kraftmessung zwischen Ladungen: Die Kraft zwischen 

den beiden gleichnamigen und damit sich gegenseitig abstoßenden Ladungen bewirkt ein 

Drehmoment M = L x F, |M| = L·F·sinα, das den Stab so weit dreht, bis das rücktreibende 

Drehmoment des verdrillten Fadens (dessen Torsionskonstante D bekannt ist; siehe P1 V14 

oder Tipler Kap. 12.5 S. 399: M = -D·α) gleich –M wird. Wird der Verdrillungswinkel α für 

verschiedene Abstände r12 der beiden Ladungen gemessen, ergibt sich eine umgekehrte 

Proportionalität zwischen F und r 2 . Wird bei festem Abstand r12 die Ladungsmenge variiert, 

so kann die direkte Proportionalität der Kraft zu den Ladungsmengen nachgewiesen 

werden. (Vgl.auch Cavendish-Experiment!) Quelle: Demtröder 2 Abb. 1.3 S.2 

Beobachtung: Die Kraft zwischen den Ladungen Q1 und Q2 ist 

mit 

1. direkt proportional zum Produkt der beiden Ladungen und 

2. umgekehrt proportional zum Quadrat des Abstands r12 zwischen den 

beiden Ladungen. 

ε 

1 Q ⋅Q 

F = F = ⋅ ⋅r 

ˆ Coulomb’sches Kraftgesetz 

1 2 

12 C( oulomb) 

4⋅π 

⋅ε0 

2 

r12 

12 

N A ⋅s 

= 8.854·10 ( ) 

V kg⋅m 2 4 

0 

-12 

2 entspricht 

3 

als Influenzkonstante oder elektrische Feldkonstante 

(in SI-Einheiten); r12: Abstand der Ladungsschwerpunkte zueinander; r ˆ12 : 

Einheitsvektor, der die Richtung der 

Elementarladung, Qi = n·qi: Gesamtladung. 

resultierenden Kraft angibt. qi: 

Woran erinnert Sie die Coulomb-Kraft? Vergleichen Sie diesen Ausdruck für die 

Coulomb-Kraft mit dem Ausdruck für die Gravitationskraft FG! 

m1⋅m2 F ̂ 

G = F12 = G⋅ 

⋅r 

12 Gravitationskraft der Masse m1 auf die Masse m2. 

2 

r 

(Die Ladung q in der Elektrostatik entspricht also gewissermaßen der Masse m in 

der Mechanostatik.) 

Weitere wichtige Eigenschaften von Ladungen: 

• Ladungen sind immer an Masseteilchen gebunden. Wichtigste Träger 

von Ladungen sind Elektronen (neg.), Protonen (pos.) und Ionen, d.h. 

Atome oder Moleküle mit Elektronenüberschuss (negativ, Anionen) oder 

Elektronenmangel (positiv, Kationen). (Außerdem gibt es noch geladene 

Elementarteilchen, die kurzlebig sind.) 

2 Das Volt ‚V’ ist die Einheit für die elektrische Spannung. Sie wird in V03 besprochen. 

2


• Die Ladung q + = +e des Protons (Positronen) und q - = –e des Elektrons 

sind gleich groß und die kleinste bisher beobachtbare Ladungsmenge, 

die „frei“ vorkommen kann. (Ausnahme sind Quarks als Urbausteine der 

Atome, die die Ladung 1/3 e bzw. 2/3 e haben, aber nach heutiger 

Erkenntnis nicht als freie Teilchen existieren.) 

• Man kann aber Ladungen räumlich trennen und so isolieren (z.B. 

Ionisation von Wasserstoff, Ionisation von Luftmolekülen bei einer 

Blitzentladung) 

• Ladungen lassen sich transportieren: 

Ladungstransport ist immer an Massetransport gekoppelt 

Ladungstransport heißt ‚elektrischer Strom’ (dazu später mehr) 

Beispiele alltägliche Phänomene, bei denen Ihnen Ladungen begegnen: 

• Statische Aufladung des Wollpullovers beim Streifen der Haare 

• Elektrische Ladungen in der Natur? Blitzentladung, Polarlichter (siehe 

Essay im Tipler, S. 905), ... 

• Elektrische Ladungen in der Biologie? Nervenzellen (auch elektrischer 

Aal), Herzzellen, Bauchspeicheldrüse (beta-Zellen); Elektrolyte im Blut, 

Zell-Zell-Adhäsion: unter physiologischen Bedingungen negativ 

geladene Glykoproteine können an positiv geladene Ankersubstanzen in 

der Extrazellularmatrix binden, .... 

• Elektrische Ladungen in der Chemie? Alle Salze bestehen aus Ionen, 

Redox-Reaktionen: Batterien, Korrosionserscheinungen, ... 

• Reinigung der Luft von Staub- und Rußpartikeln in Abgasfiltern durch 

negatives Aufladen der Partikel und deren Abscheidung an einer positiv 

geladenen Staubsammelplatte (s. dazu auch Kapitel 5.1.6: Erzeugung 

hoher Spannungen) 

E1.2 Löffelversuche 

E1.3 Ladungstransport in 

Wassertropfen

Ex.x Geladener 

Plastikstab lenkt 

Wasserstrahl ab 

(Ursache? Siehe 

Dipoleigenschaft von 

Wasser) 


V02 Elektrisches Feld 

Wiederholung 

• Wir haben den Begriff der Ladungen kennen gelernt. Es gibt positive und 

negative Ladungen. Gleichnamige Ladungen stoßen sich ab, 

ungleichnamige ziehen sich an. 

• Ladungen lassen sich gegenseitig neutralisieren, aber nicht vernichten. 

Bei Neutralisation sind sie lediglich gepaart, lassen sich aber wieder 

auseinander reißen. 

• Das kleinste im Alltag frei vorkommende Ladungsquant ist das Elektron 

(bzw. das Positron) mit einem Ladungswert von e = 1,60·10 -19 C. 

• Die Wechselwirkungskräfte zwischen Ladungen lassen sich über das sog. 

Coulomb’sche Gesetz beschreiben. Die Kraft ist demnach prop. zum 

Produkt der Ladungen und umgekehrt prop. zum Quadrat des Abstands 

der Ladungen. 

• Ladungen sind immer an Materie gebunden. 

• Es gibt Materialien, in denen Ladungen frei beweglich sind (elektr. Leiter 

und auch „Halbleiter“) und welche, in denen die Ladungen sich nicht 

bewegen können (Isolatoren). 

5.1.2 Elektrisches Feld 

Die Ladungen müssen sich nicht berühren, um eine Kraft aufeinander auszuüben 

(ebenso wie bei der Gravitation). Wie wird also die Kraftwirkung übermittelt? 

Jede Ladung qi erzeugt ein sog. elektrisches Kraftfeld (kurz elektrisches Feld) 

E, das von einer anderen Ladung qj ‚gespürt’ 3 wird, und das sich in jedem 

Abstand rij um die Ladung qi messen lässt. (Die Ausbreitungsgeschwindigkeit 

dieser Wirkung ist (nach der allgem. Relativitätstheorie) endlich und damit auf die 

Lichtgeschwindigkeit im Vakuum, c = 2,997 924 58 · 10 8 m·s -1 , begrenzt) 

Die sog. elektrische Feldstärke E in einem Punkt P, in dem sich eine positive 

Probeladung q0 + (entspräche also qj) befindet, ist definiert als die Kraft F, die in 

Gegenwart einer Ladung Q auf diese Probeladung q0 + wirkt, dividiert durch die 

Probeladung q0 + : 

= F 

E Definition der elektrischen Feldstärke E mit q0 + > 0. 

q 0 

+ 

In Worten: Elektrische Feldstärke gleich Kraft pro Ladung. 

N 

mit der Einheit [ E ] = = 

C 

kg⋅m 2 

s 

A⋅s . 

Mit Hilfe des Coulomb-Gesetzes ergibt sich also für die Feldstärke E in der 

Umgebung einer Ladung Q: 

3 Sie erkennen an diesem sprachlichen Ausweichmanöver schon, dass mit dem Begriff „Kraftfeld“ 

zwar das Phänomen gut beschrieben werden kann, die eigentliche Übermittlung der Kraftwirkung 

aber nicht wirklich erklärt wurde. Eine solche Erklärung steht noch aus. Dies trifft auch auf das 

Gravitationsfeld zu.


F 1 Q 

E = = ⋅ ⋅r 

ˆ 

2 

q 4 ⋅π ⋅ε 

r 

+ 

0 

0 

Einschub: (Wird wieder ein Vergleich zur Gravitation angestellt, so ergäbe sich 

für die sog. Gravitationsfeldstärke G* in der Umgebung einer Masse 

FG 

m1 

m1 der Ausdruck G* = = G ⋅ ⋅r 

̂ . G* ist der Einheit nach nichts 

2 

m2 r 

anderes als eine Gravitationsbeschleunigung. Dies können Sie 

überprüfen, wenn Sie für m1 die Erdmasse und für r den mittleren 

Erdradius einsetzen. Dann wird G* = g = 9,81 N/kg = 9,81 m/s, die 

Erdbeschleunigung in Erdnähe!) 

Das elektrische Feld E ist damit ein ortsabhängiger Vektor, der radial von 

positiven Ladungen ausgeht (sog. Quellen des elektrischen Feldes) und 

senkrecht auf negativen Ladungen (sog. Senken des elektrischen Feldes) 

endet. 

Die Ausbreitung des elektrischen Feldes E um eine Ladung lässt sich über sog. 

Feldlinien darstellen. Sie stehen immer senkrecht auf der geladenen 

Oberfläche und berühren oder schneiden sich nie. 

Positive Ladungen q + sind 

Quellen des elektrischen Feldes 

E; die Feldlinien starten auf 

positiven Ladungen und zeigen 

radial von ihnen weg. 

Negative Ladungen q - sind 

Senken des elektrischen Feldes 

E; die Feldlinien enden radial auf 

negativen Ladungen. 

Quelle: Demtröder 2 Abb. 1.8a,b 

S. 6 

Feldlinien stehen senkrecht auf 

Leitern. Verlaufen die Feldlinien 

gleichmäßig verteilt parallel 

zueinander, wird von einem 

homogenen Feld gesprochen. 

Quelle: Staudt 2 Abb. 6.9 S.19 

Die gestrichelten Linien deuten sog. Äquipotenziallinien (2D) bzw. Äquipotenzialflächen (3D) an. Auf 

ihnen ist die Feldliniendichte jeweils gleich. Bewegt man sich auf diesen Linien bzw. Flächen, so muss 

dafür keine Kraft aufgewendet werden. 

Feldlinienverlauf zwischen zwei ungleichnamigen und zwei gleichnamigen Ladungen bzw. zwei 

ungleichnamigen Ladungen unterschiedlicher Ladungsstärke. 

Quelle: Staudt 2 Abb. 6.8, S.18; Tipler Abb. 19.8 S. 655 

E1.5 Feldlinien Grieß auf 

Öl: Punktladungen 

(Ursache für Ausrichtung 

des Grießes? Siehe 

Dipoleigenschaften)

E1.12 Faraday Käfig 


Sind mehrere Punktladungen vorhanden, so lassen sich die auf sie wirkenden 

Kräfte F = q · E vektoriell addieren. 

Weitere Eigenschaften von Ladungen und der durch sie verursachten E-Felder: 

• Im Inneren eines Leiters befinden sich keine Nettoladungen, lediglich in 

einer dünnen Schicht auf der Leiteroberfläche. Daher ist im Inneren von 

Leitern das E-Feld Null. 

• Auf der Innenfläche eines Leiterhohlraumes befinden sich keine 

Ladungen (trotzdem es dort auch eine Oberfläche gibt). Daher ist in 

einem Leiterhohlraum das elektrische Feld Null: Faraday’scher Käfig. 

(Michael Faraday, 1791-1867) 

Feldfrei im 

Innern! 

Frage: Warum sind Sie im 

Inneren eines Fahrzeugs vor 

Blitzschlag geschützt? Muss die 

Karosserie aus Metall sein oder 

wären Sie auch in einer 

Kunststoffkarosserie geschützt? 

Liegen die Punktladungen sehr dicht, so liegt eine quasi kontinuierliche 

Ladungsverteilung mit einer räumlich ausgedehnten Ladungsdichte vor. Diese 

Ladungsverteilung im Volumen V, die sog. Raumladungsdichte ρ, ist definiert 

als Gesamtladung Q pro Volumen: 

Q 

ρ = . 

V 

Entsprechend kann eine Flächenladungsdichte σ als Gesamtladung Q (= Zahl 

der Einzelladungen q) pro Fläche A: 

Q 

σ = . 

A 

Elektrostatik in Natur und Technik – Beispiele: elektrisches Feld der Erde (im 

zeitlichen Mittel trägt die Erde eine negative Ladung von Q = -6·10 5 C); Gewitter, 

elektrostatische Staubfilter, elektrostat. Farbbeschichtungen, elektrostat. 

Laserdrucker und Kopierer. 

5.1.3 Elektrischer (Kraft-)Fluss 

Die Feldliniendichte wird definiert durch die Zahl der 

Feldlinien, die eine ebene Fläche senkrecht durchstoßen, 

dividiert durch die Größe der Fläche (Normierung). 

Zahl der Feldliniendurch A⊥ 

E 

E ∝ Feldliniendichte = 

A 

Es zeigt sich, dass die Feldliniendichte in Gebieten groß 

ist, in denen auch der Betrag der elektrischen Feldstärke, 

|E|, groß ist. Damit ist die Feldliniendichte ein Maß für den 

Betrag der Feldstärke in einem bestimmten Gebiet.


Man beobachtet, dass die Feldliniendichte an Leiterspitzen besonders hoch ist 

und damit auch die Feldstärke E. 

Der Begriff „Fluss“ ist allgemein als Skalarprodukt einer Fläche mit einem die 

Fläche durchdringenden Feld definiert: 

„Fluss“ = Fläche(nvektor) · Feldvektor 

Der Begriff „Fluss“ ist insofern etwas irreführend, da er keinen Teilchenfluss 

beschreibt, sondern lediglich die Zahl der Feldlinien, die durch eine Fläche treten. 

Da an einem Skalarprodukt immer zwei Vektoren 

beteiligt sein müssen, die Fläche A allerdings an 

sich kein Vektor ist, wird ein sog. Flächenvektor A 

definiert als Produkt aus ebener Fläche A und 

Normaleneinheitsvektor ˆn , der senkrecht auf der 

Fläche A steht und den Betrag 1 hat: 

A= A ⋅n. 

ˆ 

Damit lässt sich der sog. elektrische Fluss Φel als 

Skalarprodukt aus elektrischem Feld E und 

Flächenvektor A für die ebene Fläche A definieren: 

Φel = E · A = |E| · |A| · cos ∠(E, A). 

Quelle: Tipler, Abb. 19.11, S.656 

Allgemein gilt für ein infinitesimal kleines Flächenelement dA (das damit eben 

sein kann, selbst wenn die Gesamtoberfläche nicht eben ist): 

dΦel = E · dA 

oder eine beliebig geformte, d.h. nicht mehr notwendigerweise ebene Oberfläche 

aus vielen kleinen Flächenelementen dA: 

Φ = E ⋅dA. 

el 

∫ 

A 

E1.5 Feldlinien Grieß auf 

Öl: Punktladungen 

(Ursache für Ausrichtung 

des Grießes? Siehe 

Dipoleigenschaften) 

E1.29 Elektrische Mühle


V03 Gauß, Spannung, Kondensator 


• Wir haben das elektrische Feld E als Quotienten aus Coulombkraft Fc und 

Ladungsmenge q kennen gelernt. Das elektrische Feld ist eine 

Vektorgröße, die immer radial von positiven Ladungen ausgeht und 

senkrecht auf negativen Ladungen endet. Daher heißen positive 

Ladungen auch Quellen des elektrischen Feldes und negative Ladungen 

Senken des Elektrischen Feldes. 

• In der Elektrostatik gibt es keine geschlossenen elektrischen Feldlinien 

(wohl aber in der Elektrodynamik; kommt später). Zudem berühren oder 

überkreuzen sich die von einzelnen (positiven) Ladungen ausgehenden 

Feldlinien nie. 

• Elektrische Felder sind an Leiterspitzen immer besonders hoch. 

• Ladungen sammeln sich immer an der äußeren Oberfläche von 

elektrischen Leitern (wie z.B. Metallen). Das Innere, auch Hohlräume oder 

Oberflächen in geschlossenen Hohlräumen metallischer Leiter sind immer 

feldfrei (Faraday Käfig). 

• Wir haben die Raumladungsdichte und die Flächenladungsdichte als 

Quotient aus Ladungsmenge pro Volumen bzw. pro Fläche kennen 

gelernt. 

• Und schließlich haben wir den elektrischen Fluss (groß Phi) besprochen 

als Skalarprodukt aus elektrischem Feld und einem sog. Flächenvektor. 

Der el. Fluss ist letztlich ein Maß für die Zahl der elektrischen Feldlinien, 

die durch eine Fläche A durchtreten. 

5.1.4 Gauß’scher Satz 

Wird eine geschlossene Kugeloberfläche A = 4·π·r 2 betrachtet, die sich aus 

infinitesimal kleinen Flächenelementen dA zusammensetzen lässt, und die eine 

Gesamtladungsmenge Q konzentrisch umhüllt, dann ergibt sich mit der 

Gleichung für E für den elektrischen Fluss 4 : 

1 Q Q 

Φ el = E⋅ A= ⋅ ⋅r ⋅ ⋅ ⋅ ⋅n= 

, 

4 ⋅π ⋅ε 

ε 

2 ˆ 4 π r ˆ 

2 

0 r 

0 

wegen rˆ⋅n=r ˆ ˆ ⋅ nˆ ⋅ cos(0 ° ) = 1, weil rˆ� nˆ. 

Dies ist der Gauß’sche Satz, der allgemein über das geschlossene 

(Kreis-) Integral des elektrischen Feldes E über alle infinitesimal kleinen 

Flächenvektoren dA formuliert wird (da alle Flächenelemente zusammengesetzt 

die geschlossene Oberfläche, z.B. die oben diskutierte Kugelfläche, ergeben): 

Q 

Φ el = � E⋅ dA= 

, 

ε 

∫ A 

4 Ein ‚Fluss’ ist ganz allgemein als Skalarprodukt einer Fläche mit einem die Fläche 

durchdringenden Feld definiert. 

0


Der Gauß’sche Satz besagt, dass 

der elektrische Fluss durch eine 

geschlossene Fläche gleich der 

darin enthaltenen Ladung ist. 

Der Gauss’sche Satz ist eine 

allgemeine Formel zur Berechnung 

elektrischer Felder. (Das 

Coulomb’sche Gesetzte kann als ein 

Spezialfall des Gauß’schen Satzes 

betrachtet werden.) Er gilt allgemein 

für geschlossene Flächen beliebiger 

Form (also nicht nur für Kugeln) um 

eine Ladungsmenge Q = n·q. D.h. 

Der elektrische Fluss durch eine geschlossene Oberfläche hängt weder von der 

Form der Oberfläche noch von der Ladungsverteilung, d.h. der 

Raumladungsdichte ρ ab, sondern einzig von der Gesamtladung Q innerhalb der 

(umhüllenden geschlossenen Ober-) Fläche. 

Ist dieses Integral ungleich Null, dann befinden sich im umschlossenen Volumen 

Quellen (Φel > 0) oder Senken (Φel < 0) der Feldlinien, also positive oder negative 

Ladungen. Ist das Integral gleich Null, dann treten ebenso viele Feldlinien in die 

Fläche ein wie aus ihr heraus. 

5.1.5 Elektrostatisches Potenzial und elektrische Spannung 

Zur Erinnerung aus der Mechanik: 

(1) Kräfte oder Kraftfelder, deren geschlossenes Wegintegral (d.h. die Arbeit) Null 

ist, hatten wir in der Mechanik ‚konservativ’ genannt. (Nicht-konservative Kräfte 

waren z.B. Reibungskräfte). 

W = ∫� Fds = 0 

(2) Die potenzielle Energie hatten wir als die sog. Lageenergie kennen gelernt. 

Wird ein Gegenstand der Masse m um die Höhe Δh angehoben, so geht die an 

der Masse gegen die Schwerkraft FG geleistete Arbeit W in potenzielle Energie 

Epot über, d.h. die potenzielle Energie ändert sich um den Betrag 

ΔEpot = m·g·Δh. 

Wird der Gegenstand anschließend wieder fallen gelassen, dann leistet die 

Gravitationskraft FG über die Fallhöhe Δh die Beschleunigungsarbeit 

W = FG ·Δh = -ΔEpot = -m·g·Δh, 

die zu einer Verringerung der potenziellen Energie führt. 

Allgemein hatten wir die durch eine Kraft F verursachte Verschiebung eines 

Gegenstands um eine infinitesimal kleine Strecke ds über 

zum Ausdruck gebracht. 

dE(pot) = -F·ds 

Das Gleiche gilt für die Energien in elektrostatischen Feldern. Die Kraft F, die ein 

elektrisches Feld E auf eine Punktladung q (auch Probeladung genannt) ausübt, 

ist 

F = q ⋅E 

.

Zeichnung! 


Wird solch eine Probeladung in einem elektrischen Feld E um ds verschoben, so 

gilt für die Änderung der elektrostatischen potenziellen Energie: 

dEpot = -F·ds = -q·E·ds. 

Die Änderung der potenziellen Energie dEpot pro Ladungseinheit q wird definiert 

als Potenzialdifferenz dϕ (phi): 

dEpot 

dϕ : = =−E⋅ds q 

Die Potenzialdifferenz zwischen zwei Punkten P1 und P2 wird auch Spannung U 

genannt: 

ϕ ϕ ϕ Δ 

= − =Δ = =−∫⋅ 2 Epot 

U 2 1 

E ds 

q 

In Worten: Die Spannung ist die Differenz der beiden potenziellen Energien einer 

Ladung q an zwei verschiedenen Orten 1 und 2 im Abstand s12, geteilt durch die 

Ladung selbst. Damit entspricht U der Energie (z.B. in Form von Verschiebe- 

Arbeit), die beim Verschieben der Ladung vom Ausgangspunkt an den Endpunkt 

geleistet werden muss bzw. frei wird (je nachdem, an welchem Ort Epot größer 

ist), geteilt durch die Ladung selbst. 

Die Spannung U wird also erhöht (erniedrigt), wenn eine positive (negative) 

Ladung q entgegengesetzt zu den elektrischen Feldlinien transportiert wird. 

Elektrische Feldlinien zeigen also in Richtung abnehmenden elektrischen 

Potenzials. 

Eine positiv geladene Elektrode wird Anode (+) genannt, eine negativ geladene 

Elektrode heißt Kathode (-). 

Bisher haben wir nur von der Potenzialdifferenz gesprochen, der Differenz 

zwischen zwei Potenzialen. Was ist aber das Potenzial an sich? Es ist 

mathematisch gesehen einfach das Integral der Potenzialdifferenz mit dem Trick, 

den Punkt P1 ins Unendliche zu verlegen. Da die Wechselwirkungskraft F 

zwischen zwei Ladungen (Coulombkraft) gegen Null geht, wenn sich die beiden 

Ladungen unendlich weit voneinander entfernen, geht auch die potenzielle 

Energie Epot gegen Null, Epot(∞) = 0. Wird also eine Ladung aus dem Unendlichen 

an den Ort P2 = r gebracht, gilt: 

r r r 

F 1 1 E W 

ϕ =−∫E ⋅ ds =−∫ ⋅ ds =− ⋅ ⋅ d =− ⋅ E =− = 

q q ∫F 

s 

q q q 

∞ ∞ ∞ 

1 

r 

pot 

∞ 

pot, r ∞→r 

Das Potenzial ϕ ist also die Arbeit, die aufgebracht werden muss, um eine 

Ladung q aus dem Unendlichen an den Punkt r zu bringen, dividiert durch den 

Betrag der Ladung q.


Gebiete, in denen sich das Potenzial nicht 

ändert, d.h. in denen dϕ = 0 ist, heißen 

Aquipotenziallinien (2D) oder 

Äquipotenzialflächen (3D). Diese 

Äquipotenziallinien/flächen stehen senkrecht 

auf den E-Feldlinien, denn nur eine Bewegung 

ds ⊥ E führt zu 

dϕ =−E⋅ds =− E ⋅ ds ⋅cos( 

∡Eds 

, ) 

=− E ⋅ ds ⋅ cos(90 ° ) 

= 0. 

(Äquipotenziallinien sind vergleichbar mit Höhenlinien in einer topographischen 

Landkarte. Wenn Sie entlang einer Höhenlinie wandern, müssen Sie weder 

bergauf noch bergab laufen. Damit ändert also sich Ihre potenzielle Energie 

nicht; Sie verrichten also keine ‚Höhenarbeit’.) 

Die Einheit für die Spannung ist (potenzielle) Energie (Joule) pro Ladung 

(Coulomb). Dieser Quotient hat die Bezeichnung Volt (V) erhalten: 

J kg⋅m U = 1V = 1Volt = 1 = 1 3 

C A⋅s [ ] 

2 

(Allessandro Volta, 1745-1827) 

Einschub: Die Definition lässt sich über folgende Analogie aus der Mechanik 

veranschaulichen: Wasser in einem Wasserturm hat eine umso höhere 

potenzielle Energie (Lageenergie), je höher der Wasserturm ist. Daher fließt auch 

das Wasser aus einer Röhre am Fuße des Wasserturms umso schneller (hat 

also eine höhere kinetische Energie), je höher der Wasserturm ist. Aus dem 

gleichen Grund ist auch der Wasserdruck am Fuße des Turms umso höher, je 

höher der Wasserturm ist. Ebenso verhält es sich mit der Spannung, die umso 

größer ist, je höher die potenzielle Energie der Ladung ist. 

Umgekehrt kann aus der Definition für die Spannung gefolgert werden, dass eine 

Ladung, die eine Potenzialdifferenz U durchläuft, eine Änderung ihrer 

(potenziellen) Energie erfährt: 

Δ E = q⋅ U 

( pot ) 

Man definiert eine neue Energieeinheit, das Elektronenvolt (eV), als die 

(kinetische) Energie, die ein Elektron gewinnt, wenn es eine Spannung von 

U = 1 V durchfällt 5 : 

1 eV = 1,602·10 -19 C · 1 V = 1,602·10 -19 J (Joule) 

5 Der Begriff „durchfallen“ kann durchaus wörtlich genommen werden. So wie eine Masse aufgrund 

der Gravitationskraft im Schwerefeld der Erde die Höhendifferenz Δh entlang der Kraftfeldlinien 

„durchfällt“, d.h. auf die Erde „fällt“, so fällt z.B. eine negative Ladung antiparallel zu den 

elektrischen Feldlinien auf eine positive Ladung zu. Zuvor mussten natürlich die beiden Ladungen 

erst einmal voneinander getrennt werden. Dazu musste eine Arbeit verrichtet werden, um die neg. 

Ladung von der positiven zu entfernen und an einen Punkt „P“ zu bringen. Diese Arbeit wurde als 

potenzielle Energie ΔEpot (in der Ladung) gespeichert und führte zur Ausbildung der Spannung U 

(einer Potenzialdifferenz). Wird die negative Ladung am Ort „P“ nun losgelassen, wird sie sich 

natürlich wieder mit der positiven Ladung neutralisieren wollen. D.h. sie wird auf die positive 

Ladung „zufallen“, was nichts anderes heißt, als dass sie sich auf die positive Ladung zubewegt. 

Die dabei zurückgelegte „Distanz“ dieser Bewegung wird über die Angabe der Spannung zum 

Ausdruck gebracht, weil kein besseres Maß zur Verfügung steht.

E. 1.7 Ladungstransport 

van de Graaff 

(Beim letzten Mal 

umständlicher manueller 

Ladungstransport über 

Kugeln.) 


5.1.6 Erzeugung von hohen Spannungen durch Ladungstransport im van 

de Graaff Generator 

Die Eigenschaft von Leitern, Ladungen an ihren äußeren Oberflächen zu 

sammeln, lässt sich zur Erzeugung hoher elektrischer Felder durch 

Ladungstransport ausnutzen. 

Van de Graaff Generator (Robert 

Jemison van de Graaff, 1901-1967): 

Über scharfe Leiterspitzen (hohe 

Feldstärke!) werden (entweder 

positive oder negative) Ladungen auf 

ein Band aus isolierendem Material 

aufgesprüht und ins Innere einer 

leitenden Kugel transportiert. Dort 

werden sie über einen Leiterkamm 

wieder eingesammelt und auf das 

Innere der Leiterkugel geleitet. 

(Umgekehrt lassen sich auch 

Ladungen über den Kamm von der 

Oberfläche abziehen/abrechen.) 

Aufgrund der Influenz werden diese 

Ladungen sofort auf die Außenfläche 

der Kugel gedrängt, so dass das 

Innere immer feldfrei bleibt. An Luft 

lassen sich Spannungen von über 

10 5 V erreichen; darüber kommt es 

zum ‚Durchschlag’, d.h. zur 

Blitzentladung. An Luft beträgt die 

kritische Durchbruchfeldstärke 

Ekrit ~ 2·10 6 V·m -1 . 

Positives Aufladen einer leitenden Kugeloberfläche 

durch „Abziehen“ von Elektronen. Quelle: Demtröder 

2 Abb. 1.31, S. 19 

Anwendung zur Luftionisation in elektrostatischen Staub- bzw. Rußfiltern: 

Beim Elektrofilter werden durch eine raumbegrenzte Gasentladung freie Ladungsträger in Form von 

Stickstoffionen in die Filtergasse eingebracht. Diese laden die Ruß- oder Staubpartikeln statisch auf. Das 

zur Ladungsträgererzeugung dienende elektrische Feld treibt die geladenen Teilchen dann von der als 

Kathode wirkenden Sprühelektrode weg. Die Partikel lagern sich schließlich auf der als 

Niederschlagselektrode (auch: Abscheideelektrode) bezeichneten Anode an und bleiben aufgrund ihrer 

Ladung dort haften. Sie können mechanisch durch Klopfen entfernt werden. 

The most basic precipitator contains a row of thin wires, and followed by a stack of large flat metal plates, 

with the plates typically spaced about 1 cm apart. The air stream flows through the spaces between the 

wires, and then passes through the stack of plates. A negative voltage of several thousand volts is applied 

between wire and plate. If the applied voltage is high enough an electric discharge ionizes the air around 

the electrodes. Negative ions flow to the plates and charge the gas-flow particles. The ionized particles, 

following the negative electric field created by the power supply, move to the grounded plates. Particles 

build up on the collection plates and form a layer. The layer does not collapse, thanks to electrostatic


pressure (given from layer resistivity, electric field, and current flowing in the collected layer). 

Quellen: Wikipedia: „Electrostatic precipitator“ bzw. Elektrofilter; Bloomfield: How things work, S. 265. 

5.1.7 Erzeugung von hohen Spannungen im Tierreich 

Wie ist es einem elektrischen Fisch möglich, Spannungen von mehreren hundert 

Volt zu erzeugen, da biologische Spannungen über Nervenzellmembranen doch 

höchstens ca. 100 mV betragen können? 

Der Zitteraal verfügt über sog. “Elektroplax”- 

Zellen, Nervenzellen, die nur einseitig 

innerviert sind. Bei Erregung lässt sich damit 

nur eine Seite der Zelle umpolen 

(depolarisieren). Im Ruhefall sind diese 

Zellen innen negativ geladen 

(URuhe = -90 mV). Regt sich der Zitteraal auf, 

polt sich die eine Seite auf 

UErregung = +40 mV) um. Dann herrscht über 

der Zelle zwischen den beiden 

ungleichnamig geladenen Seiten eine 

Spannung von 130 mV. Da mehrere tausend 

dieser Zellen wie Knopfzellbatterien 

übereinander gestapelt sind, können 

Spannungen von mehreren hundert Volt 

erzeugt werden. (Der Strom ist allerdings 

vergleichsweise gering (Kapitel 5.2).) 

5.1.8 Influenz in Leitern im elektrischen Feld 

Wir hatten schon festgestellt, dass das 

Innere eines Leiters feldfrei ist und sich alle 

Ladungen and der äußeren 

Leiteroberfläche sammeln. Dasselbe gilt, 

wenn ein Leiter in ein äußeres elektrisches 

Feld gebracht wird. Dann wirkt auf die 

Ladungen q so lange eine Kraft F = q·E, die 

die Ladungen verschiebt, bis durch die 

Verschiebung ein Gegenfeld aufgebaut ist, 

das das äußere Feld gerade kompensiert. 

Diese Ladungsverschiebung hatten wir als 

Influenz kennen gelernt. Das Innere von 

Leitern ist daher selbst im äußeren 

elektrischen Feld nach wie vor feldfrei; die 

Ladungen sitzen an der Oberfläche des 

Leiters. 

Quelle: Rawn, Biochemistry, Fig. 32-11, S. 

1058 

Quelle: Demtröder 2 Abb. 1.27a, S.17

E1.35 Aufladung einer 

geerdeten 

Kondensatorplatte durch 

Influenz 


5.1.9 Kondensatoren und Kapazität 

Eine Anordnung aus zwei entgegengesetzt geladenen Leiterflächen wird 

Kondensator genannt. Wird auf eine der beiden Flächen die Ladung +Q 

aufgebracht, wird es auf der zweiten, ursprünglich ungeladenen Leiterfläche 

durch Influenz zu einer Ladungstrennung kommen (mittleres Bild). Wird diese 

zweite Leiterplatte ‚geerdet’, fließen die Ladungen +Q von dieser ab; sie behält 

lediglich die negativen Ladungen –Q (rechtes Bild). 

Das elektrische Feld E zwischen den Leiterplatten ist proportional zur Ladung Q 

(s. Definition des elektrischen Flusses weiter oben): 

Q 

E = 

ε ⋅ A . 

Die Spannung U, die durch die Ladungstrennung über die Distanz d erzeugt 

wurde, ist 

d 

∫ 

U = E⋅ ds = E⋅d . 

0 

Einsetzen der ersten Gleichung in die zweite Gleichung ergibt für die Beziehung 

zwischen der Spannung U und der Ladungsmenge Q: 

oder 

o 

ε ⋅ A 

d 

o Q = ⋅U 

Q = C⋅ U 

(oder besser zu merken: Q = U ⋅ C (QUC wie „Kuss“; umgekehrt geht’s auch und 

ist fast realistischer: CUQ wie „Zuck“) 

mit der Kapazität C eines Plattenkondensators im Vakuum oder an Luft: 

o A ε ⋅ 

C = . 

d 

Allgemein ist die Kapazität C damit definiert als 

: Q 

C = . 

U


D.h. die Kapazität eines Plattenkondensators, d.h. seine Fähigkeit, Ladungen zu 

sammeln, ist umso größer, je größer die Plattenoberflächen A sind und je kleiner 

ihr Abstand d zueinander ist, bzw. allgemein je größer die auf den 

Kondensatorplatten gesammelte Ladung Q pro angelegter Spannung U zwischen 

den Kondensatorplatten ist. 

Die Ladungsmenge Q nimmt also 

zu. 

• mit zunehmender geometrischer (Abmessungen) oder realer (z.B. durch 

Oberflächenrauhigkeit zusätzlich erzeugter) Fläche der Platten, 

• mit abnehmendem Abstand zwischen den Platten, und 

• mit zunehmender angelegter Spannung U 

Die Einheit der Kapazität ist 

C 

C = = F = Farad (Michael Faraday, 1791-1867) 

V 

[ ] 1 1 1 

Im Plattenkondensator mit zwei parallelen Kondensatorplatten im Abstand d 

zueinander gilt also für den Betrag des durch die Spannung U erzeugten 

elektrischen Feldes E: 

U ⎛ Q ⎞ 

E = 

d 

⎜= C⋅d ⎟ 

⎝ ⎠ . 

Ein Touchpad ist eine berührungsempfindliche Fläche, die in Notebooks meistens unterhalb der Tastatur 

eingebaut ist. Es gibt unterschiedliche Prinzipien für dessen Funktionsweise; moderne Touchpads 

verwenden die elektrische Kapazität, um die Position des Fingers auf der Oberfläche des Pads zu 

ermitteln und somit den Ort des Cursors auf dem Bildschirm (Desktop) zu bestimmen. Dies kann durch 

verschiedene Bauweisen geschehen. Üblicherweise besteht die Oberfläche aus einer Anordnung von 

vertikalen und horizontalen Elektroden, die ein Gitter bilden. Dieses Gitter ist mit einer isolierenden 

Schutzschicht überzogen die dafür sorgt das man die Elektroden nicht berührt und der Finger gut über die 

Oberfläche gleitet. Unterhalb dieses Gitters sitzt ein Schaltkreis der ständig die Kapazität zwischen den 

Elektroden misst. Kommt man nun mit dem Finger, der ebenfalls eine Art Elektrode ist, in die Nähe dieser 

Anordnung, wird das Elektrische Feld (Elektrostatik) und dadurch auch die Kapazität zwischen den 

Elektroden verändert, diese Änderung wird von dem Schaltkreis ausgewertet und als Cursorposition an 

den Computer weitergeleitet. Dies erklärt auch warum man auf den Mauszeiger nur mit dem Finger 

Einfluss nehmen kann, nicht jedoch mit dicken Handschuhen oder Stiften und weshalb die Stärke des 

ausgeübten Druckes nicht einflussnehmend auf den Cursor ist. Quelle: Wikipedia 

Die Arbeit (Energie), die aufgebracht werden muss, um einen anfänglich 

ungeladenen Kondensator aufzuladen, d.h. um so viele Ladungen Q von einer 

E1.23 Kondensator, d- 

Abhängigkeit: Messung 

der Ladungsmenge auf 

Kondensatorplatten


auf die andere Platte zu transportieren, bis eine gewisse Spannung U zwischen 

den Platten erzeugt wurde, beträgt: 

Q 

wegen Epot = U⋅ q und U = . 

C 

Q Q 

q Q 

W = dW = ⋅ dq = ⋅ = ⋅C⋅U 2 

1 1 2 

∫ ∫ , 

0 0C 

2 C 2 

Diese zum Laden des Kondensators aufzuwendende Arbeit entspricht also der in 

diesem Kondensator gespeicherten Energie. 

Die von diesem Kondensator lieferbare (schon aus der Mechanik bekannte) 

Leistung (P = Arbeit pro Zeit) entspricht also 

W C⋅U P = = 

t 2 ⋅ t 

Beispiel: Bei der Elektroschocktherapie werden kurzzeitig (ca. 2 ms) hohe 

Spannungspulse (U = 5000 V) benötigt, um einen Patienten wiederzubeleben. 

Um solch ein Wiederbelebungsgerät auch in einem Krankenwagen mit einem 

Niedervolt-Stromnetz (12 V) betreiben zu können, bedient man sich des Tricks, 

Kondensatoren mit einer hohen Kapazität (ca. 70 µF) langsam aufzuladen. Die in 

den Kondensatoren aufgrund der Ladungstrennung gespeicherte Energie kann 

auf Knopfdruck kurzfristig frei gegeben werden. Dazu werden zwei flexible 

Elektroden auf die Brust des Patienten gepresst, zwischen denen sich der 

Kondensator entladen kann. In einem auf 5000 V aufgeladenen Kondensator mit 

einer Kapazität von 70 µF wäre also eine elektrische Energie von 875 J 

gespeichert. Wird sie in 2 Millisekunden freigesetzt, so beträgt die elektrische 

Leistung 100 kW, die die maximale Leistung der Autobatterie bei weitem 

übersteigt. Auch bei der Blitz- und Stroboskopfotografie kommt die gleiche 

Technik zur Anwendung. (Überprüfen Sie die Rechnung, indem Sie die Werte in 

die obigen beiden Gleichungen einsetzen.) 

2 

.


V04 Verschaltung von Kondensatoren, Dielektrika, Dipol 


• Wir haben den Gauß’schen Satz kennen gelernt, der eine Aussage über 

den elektrischen Fluss durch eine geschlossene Oberfläche um eine darin 

eingeschlossene Ladung macht. Das Skalarprodukt aus Feldstärkevektor 

E und Flächenvektor A ist nichts anderes als der Quotient aus Ladung Q 

und Influenzkonstante ε0. 

• Als elektrische Spannung U hatten wir die Differenz zwischen zwei 

Potenzialen ϕ kennen gelernt, die der Quotient aus Energiedifferenz E 

und Ladung q ist: U = Energie ΔE / Ladung q. Wir hatten die Differenz der 

potenziellen Energie Epot betrachtet. Da sich allerdings Energien 

ineinander überführen lassen und alle Energien über den 

Energieerhaltungssatz in Verbindung stehen, kann jede andere Form der 

Energie betrachtet werden. Außerdem hatten wir eine zweite Beziehung 

zwischen der Spannung und dem elektrischem Feld gefunden: 

U = Elektrisches Feld E · Abstand d. 

• Um einige Situationen in der Elektrostatik und der noch zu 

besprechenden Elektrodynamik besser beschreiben zu können, hatten wir 

eine neue Energieeinheit, das Elektronenvolt (eV) eingeführt: 1 eV 

entsprechen einer (recht kleinen) Energiemenge von 1,602·10 -19 Joule. 

• Wir hatten gesehen, dass elektrische Felder in Materialien zu 

Ladungsverschiebungen führen können; dieses Phänomen wird Influenz 

genannt. 

• Wir hatten dann den Aufbau von Plattenkondensatoren besprochen, zwei 

parallel im Abstand d zueinander angeordneten elektrisch leitenden 

Platten. Wird auf eine Platte eine Ladung Q aufgebracht, so induziert das 

von ihnen ausgehende elektrische Feld eine Ladungstrennung in der 

gegenüberliegenden Platte. 

• Normalerweise wird eine Spannung U an die beiden Platten angelegt. Die 

Ladungsmenge Q und Spannung U sind über die Kapazität C miteinander 

verknüpft. Die Kapazität eines Plattenkondensators ist proportional zur 

Fläche der Kondensatorplatten und umgekehrt proportional zu deren 

Abstand zueinander. 

5.1.9.1 Parallelschaltung von Kondensatoren 

Werden zwei Kondensatoren der Kapazität 

C1 und C2 parallel an eine 

Spannungsquelle angeschlossen, liegt an 

beiden die gleiche Spannung U (also 

Potenzialdifferenz) an, d.h. U1 = U2 = U. 

D.h., sowohl die obere Platte von C1 als 

auch die obere Platte von C2 liegen auf 

dem Potenzial ϕa, wogegen die unteren 

Platten der beiden Kondensatoren jeweils 

auf gleichem Potenzial ϕb liegen. Damit 

sammelt sich auf dem Kondensator C1 die 

Ladungsmenge 

Q1 = C1·U 

an und auf dem Kondensator C2 die 

Ladungsmenge 

In sog. Ersatzschaltkreisen (unteres Bild) wird 

ein Kondensator mit der Kapazität Ci über zwei 

parallele Striche dargestellt. Quelle: Tipler Abb. 

21.10 S. 733 

E1.6 Ablenkung von 

Elektronen im E-Feld


Q2 = C2·U. 

(Beachten Sie, dass die durch die Spannung U erzeugte Ladungsmenge +Qi auf 

der oberen Platte eines jeden Kondensators i eine gleich große, aber 

entgegengesetzte Ladungsmenge –Qi induziert. Dieses Prinzip ist auf beliebig 

viele hintereinander geschaltete Kondensatoren anwendbar.) 

Damit ergibt sich für die Gesamtladungsmenge Qges auf beiden Kondensatoren 

Qges = Q1 + Q2 = C1 · U + C2 · U =(C1 + C2) · U = Cparallel · U 

→ Cpar = ∑ Ci 

. 

i 

In Worten: Die Gesamtkapazität Cpar aus i parallel zueinander geschalteten 

Kondensatoren ist die Summe derer Einzelkapazitäten Ci. 

5.1.9.2 Hintereinanderschaltung (= Serienschaltung) von Kondensatoren 

Bei Hintereinanderschaltung von 

Kondensatoren mit unterschiedlicher 

Kapazität C1 und C2 ist die Spannung 

über das Gesamtsystem wieder U, 

d.h. die Differenz zwischen den 

beiden Potenzialen ϕa und ϕb: U = ϕa - 

ϕb. 

Allerdings sind die Teilspannungen U1 

und U2 über den beiden 

Kondensatoren nicht mehr identisch, 

wohl aber die Ladungsmengen Q1 und 

Q2 (trotz unterschiedlicher Kapazität 

der beiden Kondensatoren!). Warum? 

Quelle: Tipler Abb. 21.12 S. 734 

Weil die Ladungsmenge +Q, die durch die Spannung U auf der oberen Platte von 

Kondensator 1 erzeugt wurde, eine gleich große, aber entgegengesetzte Ladung 

–Q auf der gegenüberliegenden Platte induziert. Diese Platte steht wiederum in 

direktem Kontakt mit der oberen Kondensatorplatte von Kondensator 2, und 

erzeugt dort, ebenfalls durch Influenz, eine gleich große, aber zur Ladung auf der 

unteren Platte von Kondensator 1 entgegengesetzte Ladungsmenge +Q 

(trotzdem die Kapazität C2 des unteren Kondensators nicht gleich der Kapazität 

C1 des oberen Kondensators ist). Nach demselben Prinzip wird letztlich auf der 

unteren Platte von Kondensator 2 die Ladungsmenge –Q induziert. (Dieses 

Prinzip ist auf beliebig viele hintereinander geschaltete Kondensatoren 

anwendbar.) 

Da also der Betrag der Ladungsmenge |Q| auf allen Kondensatorplatten gleich 

groß ist, gilt für die Spannung am ersten Kondensator: 

Für den Kondensator 2 erhalten wir: 

Q 

U1 

= ϕa − ϕc 

= . 

C 

U 

2 

Q 

= ϕc − ϕb 

= . 

C 

Da die Summe der Teilspannungen U1 + U2 die Gesamtspannung U ergeben 

muss, ergibt sich: 

1 

2


! 

Q Q ⎛ 1 1 ⎞ 1 

U = ϕa − ϕb = U1+ U2 = ( ϕa − ϕc) + ( ϕc − ϕb) 

= + = Q⋅ ⎜ + ⎟= 

Q⋅ 

C1 C2 ⎝C1 C2 ⎠ C 

1 1 

→ =∑ . 

Cser i Ci 

In Worten: Der Kehrwert der Gesamtkapazität Cser aus i seriell verschalteten 

Kondensatoren ist die Summe der Kehrwerte ihrer Einzelkapazitäten Ci. 

Frage: Für jeden Kondensator gibt es eine Maximalspannung, oberhalb der es zu 

einem elektrischen Durchschlag zwischen den Kondensatorplatten kommt. 

Nehmen wir an, wir hätten eine Spannungsversorgung, die 100 V liefert, und 

zwei Kondensatoren, die bei 60 V durchschlagen. Wie können Sie die 

Kondensatoren mit der Spannungsquelle verschalten? Werden in allen Fällen die 

Kondensatoren zerstört? 

Bei Parallelschaltung wirkt auf beide Kondensatoren die Gesamtspannung U = 100 V, bei der Serienschaltung wird die Gesamtspannung dagegen auf beide Kondensatoren gleichmäßig aufgeteilt, wobei dann in diesem 

Beispiel an jedem Kondensator Uteil = 50 V anlägen. Bei Parallelschaltung käme es also zum Durchschlag (Zerstörung) beider Kondensatoren, bei der seriellen Verschaltung blieben dagegen beide intakt. 

5.1.9.3 Dielektrika 

Beobachtung: Wird zwischen zwei aufgeladene Kondensatorplatten, die nicht 

mehr mit der Spannungsquelle verbunden sind (d.h. auf die keine weiteren 

Ladungen mehr nachfließen können), ein volumenfüllender Nichtleiter 

eingebracht, dann sinkt die Spannung zwischen den Kondensatorplatten um den 

Faktor εr. In solch einer Anordnung heißt das nicht-leitende Material 

‚Dielektrikum’; der dimensionslose Faktor εr wird relative 

Dielektrizitätskonstante oder Dielektrizitätszahl genannt. Er ist eine 

Materialkonstante. 

Da sich die Ladungsmenge Q nicht geändert haben kann, d.h. Q = C · U = const., 

und die Spannung um den Faktor εr abgenommen hat, muss sich die Kapazität 

des Kondensators um gerade diesen Faktor εr erhöht haben: 

A A 

Cmit Dielektrikum = εr ⋅ CVakuum 

= εr ⋅ε0⋅ = ε ⋅ . 

d d 

Die Dielektrizitätszahl für Vakuum ist demnach 

εr, Vakuum = 1, die von Luft liegt nahe bei Eins (s. 

Tabelle). 

Da die elektrische Feldstärke E proportional zur 

Spannung U ist, also |E| ∝ U, sinkt auch sie um 

den Faktor εr. Die effektive, im Dielektrikum 

herrschende elektrische Feldstärke Eeff ergibt sich 

damit zu: 

1 Q E 

E ˆ 

mit Dielektrikum = Eeff = ⋅ ⋅r= 

. 

4 ⋅π ⋅ε ⋅ε 

ε 

r 0 

2 

r 

vak 

r 

mit Evak: äußeres elektrisches Feld ohne 

Dielektrikum, d.h. wenn Vakuum zwischen den 

Kondensatorplatten herrscht. 

Dielektrika mit hoher Dielektrizitätskonstante 

gestatten es, sehr kleine Kondensatoren mit 

großer Kapazität zu bauen. 

Wie kommt es zu dieser Feldverminderung? 

Genau wie bei der Influenz in elektrischen Leitern 

(z.B. Metallen) werden im äußeren elektrischen 

seriell 

Relative statische Dielektrizitätszahl 

einiger Stoffe bei 20°C. Quelle: 

Demtröder 2, Tab. 1.1, S. 23 

. 

E1.23 & E1.17 

Dielektrika im 

Kondensator

E1.16 Induzierter Dipol: 

Graphitbälle mit 

verbindendem 

Metallbügel 

Ex.xx Ablenkung des 

Wasserstrahls mit 

geladenem Isolator; 

Ausrichtung der 

Grießkörner im E-Feld 

E1.16 Permanenter 

Dipol: Graphitbälle über 

Isolator getrennt; einer 

aufgeladen 


Feld E Ladungen im Dielektrikum verschoben. 

5.1.10 Elektrischer Dipol, Polarisation und Suszeptibilität 

Da aber in Isolatoren die Ladungsträger, d.h. die Elektronen, nicht frei beweglich 

sind, sondern an den Atomkern gebunden sind, können sie nicht wie bei den 

Leitern an den Rand des Materials wandern, sondern nur innerhalb des Atoms 

oder Moleküls verschoben werden. 

D.h. die positiven 

Ladungsschwerpunkte S + innerhalb 

eines Moleküls oder Atoms fallen in 

Gegenwart eines elektrischen Feldes E 

nicht mehr mit den negativen 

Ladungsschwerpunkten S - zusammen. 

Man spricht von der sog. Polarisierung, 

die einen sog. induzierten 

elektrischen Dipol erzeugt (lat. 

inducere: herbeiführen). 

Ein elektrischer Dipol besteht aus einem 

Paar gleich großer, aber 

ungleichnamiger Ladungen, die im 

Abstand d miteinander (leitend) 

verbundenen sind: 

Polarisation durch 

Verschiebung der 

Ladungsschwerpunkte 

in einem Atom oder 

Molekül. Quelle: 

Demtröder 2, Abb. 

1.40, S. 24 

Elektrischer Dipol aus 

zwei 

entgegengesetzten 

aber gleichgroßen 

Ladungen im Abstand 

d mit dem 

Dipolmoment µ, das 

von – nach + zeigt. 

Das sog. elektrische Dipolmoment µel zwischen zwei Ladungen q + und q - wird 

definiert als: 

µ = q ⋅d 

. 

el 

Das Dipolmoment ist eine vektorielle Größe und zeigt von der negativen zur 

positiven Ladung (vgl. Richtung des Elektrischen Feldes E, das von + nach – 

zeigt). 

Dei Einheit des elektrischen Dipolmoments ist das Debye: 

[µ] = 1 D = 3,3356 · 10 -30 C · m (Peter Debye, 1884-1966, niederländischer 

Physiker) 

Frage: In welchem Abstand d befinden sich damit ein Elektron und ein Positron 

zueinander, wenn das Dipolmoment µ genau ein Debye groß ist? 

Es gibt auch permanente Dipole, in denen die Ladungen ohne Einwirkung eines 

äußeren elektrischen Feldes bereits im Molekül aufgrund der unterschiedlichen 

Elektronegativitäten der Atome getrennt vorliegen. Für Moleküle mit solch einem 

permanenten Dipolmoment liegt µ meist im Bereich von 0 - 12 Debye.


Molekül µ in 

Debye 

Molekül µ in 

Debye 

HJ 0,38 HF 1,9 

HBr 0,74 NaCl 8,5 

H2S 0,92 KF 8,6 

PF3 1,025 KI 9,24 

HCl 1,03 KCl 10,27 

NH3 1,46 KBr 10,41 

H2O 1,844 CsCl 10,42 

Permanente Dipole richten sich im 

elektrischen Feld E aus, da auf sie ein 

Drehmoment M wirkt, die durch die Kraft F 

des elektrischen Feldes E auf die Ladungen 

q vermittelt wird: 

M = r × F = r × q⋅ E = q⋅ 

r × E = µ × E 

Das Drehmoment ist dann am größten, wenn 

der Dipolmomentvektor µel und der 

elektrische Feldvektor E senkrecht 

μ E . 

aufeinander stehen: Mmax für el ⊥ 

el 

Quelle: Tipler, Abb. 18.24, S. 637 

Erläuterung: M = µ ⋅ E ⋅sin( 

∡ µ , E) 

wird dann am größten, wenn der Sinus 

el el 

gleich Eins wird. Wenn also ∡ ( µ el , E) 

= 90° 

oder ∡ ( µ el , E) 

= 270° 

, dann wird 

sin90°= 1 bzw. sin270°=− 1 und damit M maximal (bzw. minimal, was aber 

nichts anderes heißt, als dass das Drehmoment dann in die entgegengesetzte 

Drehrichtung wirkt). 

Da jedes System eine Minimierung seiner potenziellen Energie Epot anstrebt, 

richten sich die Dipole im elektrischen Feld nur so lange aus, bis sie antiparallel 

zu den elektrischen Feldlinien zu liegen kommen. Überprüfung: Mit 

Epot, Dipol = q · U = F · d und F = q · E ergibt sich: 

E = q⋅ U =−q⋅E ⋅ d =−µ ⋅ E = µ ⋅ E ⋅cos( 

∡ µ , E) 

pot el el el 

Für einen Winkel von 180°, d.h. wenn µel und E antiparallel stehen, wird der 

cos 180° gleich -1 und damit die potenzielle Energie minimal. Dann wirkt 

übrigens auch kein Drehmoment M mehr, weil der Sinus von 0° bzw. 180° Null 

ist. 

E1.16 Permanenter 

Dipol: Ausrichtung der 

Graphitbälle im E-Feld

E1.21 Dielektrische 

Flüssigkeit wird durch E- 

Feld polarisiert und 

gegen die Schwerkraft in 

das E-Feld gezogen 


Permanente Dipolmomente und Ladungsschwerpunkte S +/- einiger Moleküle. Die Dipolmomente µi der 

einzelnen Bindungen addieren sich vektoriell zu einem Gesamtdipolmoment µ auf. Das symmetrische 

lineare CO2-Molekül hat kein resultierendes permanentes Dipolmoment, da sich die beiden 

entgegengesetzt gleichgroßen Dipolmomente der beiden C=O-Doppelbindungen gegenseitig 

kompensieren. Quelle: Demtröder 2, Abb. 1.51, S. 32 

Die Vektorsumme aller Dipolmomente (induziert oder permanent) in N Molekülen 

pro Volumeneinheit V wird Polarisation P genannt: 

1 

P = ⋅∑µ 

el, i. 

V 

Damit ist auch die Polarisation ein Vektor. 

Die Polarisation erzeugt nur an den Stirnflächen des Dielektrikums 

Oberflächenladungen, da sich im Inneren des Dielektrikums die 

entgegengesetzten Ladungen benachbarter induzierter Dipole jeweils 

kompensieren können. 

Das äußere elektrische Feld E 

verringert sich in einem 

Dielektrikum aufgrund von 

Polarisationserscheinungen. 

i 

Die durch das äußere elektrische Feld erzeugte Polarisation im 

Dielektrikum führt zu Oberflächenladungen auf den Stirnflächen des 

Dielektrikums in einem Randbereich der Dicke d. Quelle: Demtröder 2, 

Abb. 1.39 und 1.41, S. 24f. 

Die so erzeugte Flächenladungsdichte σpol aus induzierten Dipolen hängt mit der 

Polarisation wie folgt zusammen:


σ 

pol 

Qpol Qpol ⋅d Qpol ⋅d 

µ 

P 

= = = = = 

A A⋅d V V 

Da sich im Inneren eines Dielektrikums durch die Polarisation ein 

Polarisationsfeld Epol aufbaut, das sich mithilfe des Gauß’schen Satzes 

über die Beziehung 

Q 

E⋅ A= ε 

Qpol 

P = = ε0⋅E 

A 

beschreiben lässt, und das dem äußeren elektrischen Feld Evak entgegen gesetzt 

ist, herrscht im Inneren des Dielektrikums ein kleineres effektives elektrisches 

Feld Eeff, das sich aus der Überlagerung von Evak und Epol ergibt: 

vak 

Eeff Evak Epol E vak 

. 

ε0εr 0 

pol 

= − = − = E P 

(Letztere Beziehung wurde bei der Einführung der Dielektrika besprochen.) 

Damit ergibt sich nach einfacher Umformung eine Beziehung zwischen 

Polarisation P und effektiver Feldstärke Eeff: 

P = ε ⋅( ε −1) ⋅ E = ε ⋅χ ⋅E 

. 

0 r eff 0 eff 

Die Größe χ = ( ε − 1) (chi) heißt dielektrische Suszeptibilität und soll nur der 

r 

Vollständigkeit halber genannt werden, da sie sich statt εr häufig in 

Tabellenwerken finden lässt. Sie ist ein Maß für die „Empfindlichkeit“ des 

Materials gegenüber dem effektiven Feld, seine atomaren Dipole auszurichten. 

Um das Feld Evak auszuzeichnen, das von freien, d.h. „wahren“ Ladungen 

erzeugt wird (im Unterschied zu dem (Gegen-)Feld, das durch 

Verschiebung/Umorientierung von Ladungen entsteht), wird die sog. 

dielektrische Verschiebung D eingeführt: 

D: = ε ⋅E 

vak . 

0 

(D.h.: Die Quellen des elektrischen Feldes sind die Ladungen, die Ursache für 

die Ladungsverschiebung ist die elektrischen Feldstärke E.) 

.


Die influenzierte 

Flächenladungsdichte σ (s.a. V02) 

ist gleich dem Betrag der 

elektrischen Verschiebungsdichte 

|D|: 

ΔQ 

σ = = D . 

ΔA 

Bei induzierten Dipolen wirkt der 

Verschiebung d der 

Ladungsschwerpunkte, d.h. der 

Ladungstrennung eine 

rücktreibende Kraft –F entgegen, 

die proportional zur Auslenkung d 

ist (analog zum Hook’schen 

Gesetz in der Mechanik). Es ergibt 

sich damit eine Proportionalität 

von d ∝ E. Für das Dipolmoment 

folgt daraus für nicht allzu große 

Feldstärken (E ≤ 10 5 V/cm): 

µ = α · E 

Quelle: (Hering, Martin, Stohrer, „Physik für Ingenieure“) 

mit der Polarisierbarkeit α. Sie ist eine für die Atome und Moleküle des 

jeweiligen Dielektrikums charakteristische Größe. 

Plattenkondensator mit Luftspalten und Dielektrikum. Schematische Darstellung der drei elektrischen 

Feldgrößen. Quelle: Bergmann, Schäfer, "Lehrbuch der Experimentalphysik II", Abb. 13.5


V05 Piezoeffekt, Strom, Widerstand 


• Wir haben die resultierende Kapazität bei der Parallel- und 

Reihenschaltung von Kondensatoren berechnet. Bei Parallelanordnung 

summieren sich die Einzelkapazitäten, bei Serienanordnung addieren sich 

die Kehrwerte der Einzelkapazitäten zum Kehrwert der Gesamtkapazität. 

Bei einer Mischung von Parallel- und Reihenschaltung lassen sich diese 

beiden Vorgehensweisen kombinieren. 

• Wir haben im Experiment gesehen, dass sich die Kapazität eines 

Kondensators vergrößert, wenn wir zwischen die Kondensatorplatten ein 

nicht-leitendes Material einbringen, ein sog. Dielektrikum. Je nach 

Polarisierbarkeit dieses Materials lässt sich die Kapazität um den Faktor 

εr, die sog. Dielektrizitätszahl, erhöhen. 

• Ladungsverschiebungen in einem Molekül führen zu einem sog. Dipol. 

Solch ein Dipol kann entweder durch Anlegen eines äußeren elektr. 

Feldes induziert werden und zu einem „induzierten Dipolmoment“ führen 

oder durch ein molekülinternes elektrisches Feld aufgrund der 

unterschiedlichen Elektronegativitäten der Atome im Molekül zu einem 

permanentem Dipol führen. Solche Dipole sind durch das Dipolmoment, 

dem Produkt aus Ladung mal Abstand, gekennzeichnet und richten sich 

in einem äußeren elektrischen Feld aus, das ein Drehmoment solange an 

ihnen wirken lässt, bis die potenzielle Energie für die Dipolausrichtung ein 

(relatives) Minimum angenommen hat. 

5.1.10.1 Andere Möglichkeiten der Ladungstrennung: Piezo- und pyroelektrischer 

Effekt 

Wie im ersten Semester angedeutet, 

hat jede Substanz Federeigenschaften, 

selbst wenn sie sehr hart ist; sie lässt 

sich also stauchen und dehnen. Bei 

einigen Kristallen wie z.B. Turmalin, 

Quarz und Seignette Salz zeigen sich 

bei Stauchung (z.B. durch 

mechanischen Druck) und Dehnung 

oder bei Temperaturänderungen, die 

eine Volumen- und damit 

Dichteänderung zur Folge haben, 

positive und negative elektrische 

Ladungen auf bestimmten 

Kristallflächen. Die mechanische 

Erscheinung wird piezoelektrischer 

Effekt, die temperaturabhängige 

Erscheinung pyroelektrischer Effekt 

genannt. 

Kristallgitter ohne Symmetriezentrum: Bei einer 

Krafteinwirkung F in der eingezeichneten Richtung 

fällt der gemeinsame Schwerpunkt der drei 

Anionen nicht mehr mit dem Schwerpunkt der drei 

Kationen zusammen. Das Gitter ist nun nach 

außen hin geladen. 

Quelle: http://gammesfeld.de/piezoeffekt/ 

Beide haben allerdings die gleiche Ursache: eine Deformation des Kristalls, 

einmal mechanisch, das andere Mal durch eine temperaturbedingte 

Volumenänderung. 

Das gemeinsame Kennzeichen dieser Kristalle ist, dass alle eine oder mehrere 

polare Achsen (polare Symmetrie) besitzen. Bei einer polaren Achse sind 

vorderes und hinteres Ende nicht vertauschbar, d.h. bei einer 180°-Drehung um


eine zur polaren Achse senkrecht stehende Achse kommen die Atome im Kristall 

nicht wieder zur Deckung. 

Piezoelektrischer Effekt: Die Oberflächenladung ist zur Längenänderung Δl 

proportional: 

ΔQ~ Δ l (Piezo) 

Pyroelektrischer Effekt: Die Oberflächenladung ist zur Temperaturänderung ΔT 

proportional: 

ΔQ~ ΔT 

(Pyro) 

Anwendungen des Piezoeffektes: Raster-Tunnel-Mikroskop (STM; scanning 

tunneling microscope), Raster-Kraft-Mikroskop (SFM; scanning force 

microscope), Feuerzeug, Beschleunigungssensoren, Drucksensoren in 

Automotoren, ... 

Funktionsprinzip eines Rasterkraftmikroskops (atomic 

force microscope: AFM), das die atomare Auflösung 

einer Oberflächenstruktur gestattet. Dabei kommt ein 

Piezokristall zur Feinpositionierung der Abtastspitze 

zum Einsatz. Die Abtastspitze (auch Cantilever 

genannt), eine kleine Pyramide aus Silizium auf einem 

Siliziumhebelarm (Länge ca. 0,1 µm), wird über die zu 

untersuchende Probe geführt. Die Verbiegung des 

Hebelarms als Folge der Oberflächenstrukturierung 

lenkt einen auf den Hebelarm projizierten Lichtstrahl 

(z.B. aus einem Laser) in eine andere Richtung. Die 

Richtungsänderung wird über einen Photodetektor 

quantifiziert. Sie ist proportional zur Verbiegung des 

Hebelarms und damit proportional zu den 

Höhenänderungen der Probenoberfläche. 

5.2 Ströme 

Die Abbildung zeigt fadenförmige 

Kollagenmoleküle, die sich auf bioaktiven 

Oberflächen ansammeln. Auf dem eingefügten 

Bild ist ein einzelnes Kollagenmolekül zu 

erkennen, das mittels Rasterkraftmikroskopie 

aufgenommen wurde. 

Wenn wir Licht einschalten, verbinden wir die Glühbirne mit den Polen einer 

Spannungsquelle, zwischen denen eine Potenzialdifferenz besteht. Durch diese 

Potenzialdifferenz beginnt im Glühfaden die elektrische Ladung zu fließen - 

genau wie der Wasserdruck das Wasser in einem Gartenschlauch strömen lässt, 

sobald wir den Hahn aufdrehen. Jeder Fluss von elektrischer Ladung ist ein 

elektrischer Strom. Hierbei haben wir normalerweise das Bild von einem Draht 

vor Augen, in dem Ladungsträger fließen. Es gibt jedoch auch andere Beispiele, 

etwa den Elektronenstrahl in einer Fernsehröhre oder den Zonenstrahl in einem 

Teilchenbeschleuniger.


Beispiel: Bild- oder 

Kathodenstrahlröhre [engl. 

cathode ray tube, Abk. CRT], ist 

eine der Bilderzeugung dienende 

Elektronenstrahlröhre, die aus den 

folgenden drei Grundkomponenten 

besteht: 1.) 

Elektronenstrahlerzeugung 

zwischen Glühkathode und Anode 

mit Durchtrittsloch, 2.) magnetische 

und elektrische Strahlablenkung 

und 3.) mit Leuchtmittel 

beschichteter Leuchtschirm. 

Umgeben werden die Bauteile 

dieser Komponenten von einem 

evakuierten Glaskolben, um 

Kollisionen der Elektronen mit 

Gasmolekülen zu vermeiden. 

Quelle: Bibliographisches Institut & F. A. Brockhaus 

AG, 2005 

Elektronen werden von einer elektrischen Hochspannung (etwa U = 50 V bis 

50 kV) zwischen Kathode und Anode beschleunigt, sodass sich ein 

Elektronenstrahl bildet. 

Betrachtet werden soll ein Abschnitt der Länge l eines Leitermaterials. Wenn im 

Zeitintervall Δt die Ladungsmenge ΔQ durch seinen Querschnitt A durchtritt, dann 

wird die Stromstärke I definiert als: 

: Q Δ 

I = . 

Δ t 

Sie wird in Ampère (A), d.h. einer der 7 SI-Basiseinheiten, gemessen: 

[I] = 1 A = 1 Ampère = 1 C·s -1 (André Marie Ampère, 1775 - 1836) 

Historisch bedingt weist die technische 

Stromrichtung von + nach -, d.h. 

anscheinend bewegen sich positive 

Ladungsträger. In Metallen sind 

dagegen Elektronen die 

Ladungsträger, d.h. der Ladungsfluss 

geht von – nach + und damit gegen die 

technische Stromrichtung. In 

Elektrolytlösungen (z.B. Salzlösungen) 

wird der Strom durch beide 

Ladungsträger, d.h. positive Ionen 

(Kationen) als auch negative Ionen 

(Anionen) (und evt. Elektronen) 

erzeugt. 

In der Chemie finden sich solche 

Elektrolytlösungen z.B. in Batterien 

oder werden bei der elektrochemischen 

Beschichtung von Metallen eingesetzt. 

In der Biologie sind bei der sog. 

Elektrophorese, die zur Trennung von 

Protein- oder DNA-Gemischen 

eingesetzt wird, geladene Proteine 

oder DNA-Fragmente die 

Agarose-Gel-Elektrophorese: Albumin (ganz 

rechts) wandert am schnellsten im elektrischen 

Feld; es zeigen sich 5 deutliche Fraktionen. 

Ergebnisse einer Agarose-Gel Serumeiweiß- 

Elektrophorese von 20 Proben. 

Quelle: 

http://www.med4you.at/laborbefunde/techniken/


Ladungsträger, die allerdings kaum 

zum Stromfluss beitragen. 

elektrophorese/lbef_elektrophorese.htm. 

Die Elektrophorese kann als „unvollständige Elektrolyse“ betrachtet werden, bei 

der die Ionen (geladenen Proteine) nicht bis zur Elektrode kommen. 

5.2.1 Mikroskopisches Modell des Stromflusses 

Für die folgenden Überlegungen wird Ihnen die erste Abbildung im Kapitel 5.2 

noch einmal nützlich sein. Wird ein kleines Volumenelement V = l · A = vd · Δt · A 

des Leiters betrachtet, in dem die Ladungsträgerdichte N(V) = n/V beträgt, dann 

befinden sich darin n Ladungsträger q (Elektronen), die in der Zeiteinheit Δt mit 

der Driftgeschwindigkeit vd durch die Fläche A treten werden. D.h. die 

Gesamtladungsmenge ΔQ, die pro Zeiteinheit durch die Fläche A tritt, lässt sich 

nun alternativ über 

n 

⋅q⋅vd ⋅Δt ⋅A 

ΔQ 

I = = V 

= N( V) ⋅q⋅vd ⋅A 

Δt Δt 

zum Ausdruck bringen. 

Typische Ladungsträgerdriftgeschwindigkeiten 

liegen in der 

Größenordnung von vd = 0,01 mm/s, 

sind also sehr klein. 


Weiterhin abbremsend wirken zudem Stöße der driftenden Elektronen mit 

anderen Atomen oder Molekülen im Leiter, da sich diese in der Regel ebenfalls 

thermisch um eine Ruheposition statistisch bewegen (analog zur Brown’schen 

Molekularbewegung). 

Frage: Wieso geht das Licht dennoch sofort an, obwohl Lichtschalter und 

Glühbirne mehre Meter Kabel verbinden? Tipp: Vergleichen Sie die Situation mit 

dem Wasserfluss in einem Gartenschlauch, wenn dieser leer oder bereits gefüllt 

ist. Braucht das Wasser in beiden Fällen gleich lang, ehe es aus dem anderen 

Ende des Schlauches nach Aufdrehen des Wasserhahns austritt? 

5.2.2 Biologische Wirkung von elektrischen Strömen 

Die biologische “Wirksamkeit” eines Stromflusses durch den menschlichen 

Körper hängt von mehreren Faktoren ab: 

• Größe des Stromes 

• Dauer des Stromflusses 

• Körperteil, durch den der Strom fließt 

Schließen wir zunächst einen Stromfluss direkt durch das Herz aus: Fühlbar wird 

ein Strom, wenn er um die 1 mA groß ist. Einige wenige mA rufen schon 

Schmerzen hervor, können aber eine gesunde Person nicht ernsthaft verletzen. 

Ab ca. 10 mA kann der Strom einen Muskelkrampf auslösen. Ein Loslassen der 

spannungsführenden Teile ist dann schwierig oder unmöglich und es wird sehr 

gefährlich. Es kann zur Lähmung des Atemsystems kommen; Herz-Lungen- 

Wiederbelebung kann hier erfolgreich sein (nach Trennung von Stromnetz 

natürlich!). Wenn Ströme über 70 mA durch den Körper fließen genügt der 

durchs Herz fließende Anteil, um ein Vorhofflimmern auszulösen. Dauert dies 

länger an kommt es zum Herzstillstand.


Beenden lässt sich ein Vorhofflimmern nur schwer (bspw. mit einem Defibrillator). 

Die Größe des Stromes wird vom Körperwiderstand und dem 

Übergangswiderstand in den Körper bestimmt (s. folgende Kapitel). Der effektive 

Widerstand zwischen zwei gegenüberliegenden Punkten des Körpers gemessen 

bei trockener Haut liegt bei 10 – 1000 kΩ. Bei feuchter Haut kann das unter 1 kΩ 

fallen. In unserem Stromnetz würde bei einer “gut geerdeten” Person mit einem 

derart geringen Widerstand schon ein Strom von 240 mA fließen (240V, 1000Ω). 

Das ist fast immer tödlich. 

Der Sinn der Erdung von elektrischen Geräten ist gerade, zu verhindern, dass im 

Falle einer defekten Isolierung eines spannungsführenden Teiles ein großer 

Anteil des Stromes bei Berührung über den Körper abfließen kann. 

Abschließend noch ein Vergleich der Wirksamkeit von Gleich- und 

Wechselströmen. Das menschliche Körpergewebe hat kapazitive Anteile. Ein 

Ersatzschaltbild des Körpers ist deshalb eine Parallelschaltung eines 

Widerstandes mit einem Kondensator. Der Kondensator blockiert bei 

Gleichspannung, sobald er aufgeladen ist, einen möglichen Strompfad. Nicht so 

bei Wechselspannung. Wechselströme sind deshalb vergleichsweise gefährlicher 

als Gleichströme. 

Quelle: Universität Frankfurt, http://www.pi.physik.unifrankfurt.de/veranstaltungen/physik2pdfs/kapitel5.pdf


V06 Widerstand und Leitfähigkeit 


• Wir haben den piezoelektrischen und den pyroelektrischen Effekt bei 

Kristallen mit polarer Achse kennen gelernt. Durch die Unsymmetrie 

kommt es bei Längenänderungen (entweder durch mechanischen 

Zug/Druck oder durch Temperaturausdehnung) zu einer 

Ladungstrennung. 

• Wir haben den Strom als die Ladungsmenge definiert, die pro Zeitfenster 

durch eine Fläche tritt. Die technische Stromrichtung weist von Plus nach 

Minus. Mikroskopisch betrachtet stellt man allerdings fest, dass die 

Elektronen die Ladungsträger sind. Daher weist die eigentliche 

Stromrichtung in metallischen Leitern von Minus nach Plus. In 

Salzlösungen tragen sowohl Kationen als auch Anionen zum 

Ladungstransport bei. Die SI-Einheit des Stroms ist das Ampere. 

• Die pro Zeiteinheit transportierbare Ladungsmenge, d.h. der Strom, ist 

einmal proportional zur angelegten Spannung, aber auch abhängig von 

der Beschaffenheit des Leiters und seinen Abmessungen. Die 

Proportionalitätskonstante zwischen Strom und Spannung wird 

Widerstand R des Leiters genannt. Der Kehrwert des Widerstands ist der 

sog. Leitwert. Die Einheit des Widerstands ist das Ohm, die des Leitwerts 

1/Ohm bzw. das Siemens. 

5.2.3 Widerstand und Ohm’sches Gesetz 

Wird an einen Leiter ein elektrisches Feld angelegt und werden dann die 

Leiterenden miteinander verbunden, dann bricht das elektrische Feld und die 

dadurch erzeugte Spannung U durch kurzzeitigen Stromfluss und nachfolgende 

Rekombination (Neutralisation) der influenzierten Ladungen nach kürzester Zeit 

zusammen. 

Geräte, die dennoch eine kontinuierliche Ladungstrennung gestatten und damit 

die Spannung U zwischen den beiden Leiterenden aufrecht erhalten können, 

auch wenn ein Strom fließt, heißen Spannungsquellen. (Wie Spannungsquellen 

aufgebaut sein können, werden wir in einer der folgenden Stunden besprechen.) 

Für die meisten Materialien beobachtet man, dass die Stromstärke in einem 

kleinen Drahtstück zu der Potenzialdifferenz U zwischen den beiden Enden 

dieses Abschnitts proportional ist: I ∝ U. 

Dieses experimentelle Ergebnis ist als Ohm’sches Gesetzt bekannt: 

I = G · U 

mit der Proportionalitätskonstante G, dem sog. Leitwert mit der Einheit Siemens: 

[G] = 1 S = 1 Siemens = 1/Ω. (Werner von Siemens, 1816-1892) 

Bekannter ist das Ohm’sche Gesetz in der folgenden Form, bei der die Spannung 

(oder auch der Spannungsabfall 6 ) U zwischen den Enden eines Leiterabschnitts 

proportional zum Strom ist: U ∝ I 

6 Häufig heißt es: „Die Spannung fällt über dem Widerstand ab“. Das ist vergleichbar mit dem 

durch Reibungskräfte verursachten Druckabfall einer realen Flüssigkeit, die innerhalb einer Röhre 

strömt. (Siehe dazu das Kapitel „Hydrodynamik“ aus dem 1. Semester.) Überhaupt wird die 

Spannung U gerne mit dem Druck p einer Flüssigkeit in der Mechanik verglichen. Das in einem


U = R · I 

mit der Proportionalitätskonstante R, dem sog. Ohm’schen Widerstand mit der 

Einheit Ohm: [R] = 1 Ω = 1 Ohm = 1 V · A -1 . (Georg Simon Ohm, 1789-1854) 

Der Ohm’sche Widerstand R ist damit der Kehrwert des Leitwertes G: 

1 

R = . 

G 

Beispiele für Ohm’sche Widerstände: Drähte, Glühbirnen (die nichts anderes als 

dünne (Wolfram-) Drähte im Vakuum sind, Heizdrähte in Herdplatten oder in 

Bügeleisen, Tauchsieder, ... . 

5.2.4 Strom-Spannungs-Kennlinien 

Nicht alle Materialien oder elektrischen Bauelemente haben eine lineare Strom- 

Spannungs-Kennlinie, wie es das Ohm’sche Gesetz für Widerstände vorhersagt. 

Der elektrische Widerstand R ist temperaturabhängig. Bei Metallen gilt in erster 

Näherung, dass der Widerstand mit zunehmender Temperatur zunimmt. Eine der 

Ursachen ist die Zunahme der Gitterschwingungen bei Temperaturerhöhung, die 

zu einer Zunahme von Stößen der Ladungsträger mit den Atomen oder 

Molekülen des Leiters führt, ein Reibungsphänomen, das einer Bremswirkung 

entspricht. 

Wasserturm gespeicherte Wasser strömt mit einem höheren Druck p aus einem Rohr am Fuße des 

Wasserturms, je höher der Wasserturm ist. Die Spannung U ist analog um so größer, je stärker das 

elektrische Feld E ist. 

E2.11 Lineare 

Widerstandskennlinie 

einer Glühbirne 

E2.19 T-Abhängigkeit 

des Ohm’schen 

Widerstands

E2.45 Hoch-T- 

Supraleiter 


5.2.5 Supraleiter 

Es gibt allerdings auch Materialien, bei denen der 

elektrische Widerstand ab einer meist (sehr) tiefen 

Temperatur, der sog. Sprungtemperatur, vollständig 

verschwindet. Es können also unterhalb dieser 

Temperatur Ladungen ohne Stöße (und damit ohne 

Verluste) transportiert werden. Man sagt, diese 

Materialien werden bei diesen Temperaturen 

supraleitend. Solche Materialien heißen 

dementsprechend Supraleiter. Bisher sind noch 

keine Materialien gefunden worden, die bei 

Raumtemperatur Supraleitung zeigen. 

Die Ladungsmenge, die pro Zeiteinheit fließen kann, 

ist stark abhängig von der Geometrie des Leiters. Der 

Widerstand ist umso größer, 

je länger die Leiterlänge l und 

je kleiner der Leiterquerschnitt A ist: 

l 1 l 

R = ρ ⋅ = ⋅ 

A σ A 

ρ ist der spezifische Widerstand, [ρ] = Ω · m, 

1 

-1 -1 1 S 

σ = ist die spezifische Leitfähigkeit, [ σ ] =Ω ⋅ m = = . 

ρ 

Ω⋅m 

m 

Verlauf des Widerstands von 

Quecksilber (Hg) als Funktion 

der Temperatur. Bei der 

Sprungtemperatur von 

TC = 4,2 K fällt der Widerstand 

sprunghaft ab. Quelle: Tipler, 

Abb. 22.6, S. 755 

(Nicht zu verwechseln mit der gleichnamigen Flächenladungsdichte σ aus V04!) 

ρ und σ sind Materialkonstanten und in Tabellenwerken zu finden. 

Wird (wie bei der Definition des Stroms) wieder nach den Größen gefahndet, die 

auf mikroskopischer Ebene die Leitfähigkeit bestimmen, dann findet sich, dass 

die spezifische Leitfähigkeit σ abhängig von der Ladungsträgerdichte N(V) = n/V 

und der Beweglichkeit u der Ladungsträger mit der Ladung q ist: 

σ = N ⋅q⋅ u 

( V) 

Tragen mehrere verschiedene Ladungsträger zum Ladungstransport bei (z.B. in 

Elektrolyten, d.h. z.B. salzhaltigen Lösungen), dann setzt sich σ aus der Summe 

der einzelnen Beiträge zusammen: 

∑ 

σ = N ⋅q ⋅u 

. 

i 

( V), i i i 

Je stärker das elektrische Feld, desto höher wird die Driftgeschwindigkeit der 

Ladungsträger sein. Die Beweglichkeit u ist dabei der Proportionalitätsfaktor 

zwischen der Driftgeschwindigkeit vd und dem elektrischen Feld E: 

vd= u⋅ E 

⎛ 1 ℓ ⎞ 

1 

U = E⋅ ℓ = R⋅ I = ⎜ ⋅ ⋅ N ⋅q⋅ v A = ⋅ N ⋅ q ⋅v 

σ A 

⎟ 

) 

⎝ ⎠ 

N q u 

(wegen ( ) 

Die Einheit der Beweglichkeit ist damit 

( V) d ( V) d 

( V ) ⋅ ⋅


[u] = 1 

2 

m 

. 

V ⋅ s 

Spezifische (Elektronen-) Leitfähigkeiten σ einiger Elemente bei 25°C: 

Material σ ·10 6 

[Ω -1 m -1 ] = [S/m] 

C Kohlenstoff (Diamant) 10 -10 

Si Silizium 4,35·10 -7 

C Kohlenstoff (Graphit, parallel zu den Schichten) 3,00 

Fe Eisen 10,29 

Al Aluminium 37,66 

Au Gold 42,55 

Cu Kupfer 59,77 

Ag Silber 62,89 

Quelle: http://www.chemie-master.de/pse/pse.php?modul=tab12 

Bei Festkörpern, insbesondere bei den Metallen, gibt es eine enge Beziehung 

zwischen elektrischer Leitfähigkeit und Wärmeleitfähigkeit. Gute elektrische 

Leiter sind im Allgemeinen auch gute Wärmeleiter. 

Die Abhängigkeit des Widerstands von 

den Abmessungen lässt sich z.B. in 

Dehnmessstreifen nutzen (Änderung 

des Querschnitts A und der Länge l bei 

Zug bzw. Stauchung). In eine Membran 

eingebaut lassen sich so z.B. leicht 

Drücke oder kleine Stellwege messen. 

5.2.6 Variable Widerstände: Potentiometer 

Dehnungsmessstreifen (DMS) zur Messung von 

Längen- und Querschnittsänderungen am 

Widerstandsdraht 

Die Abhängigkeit des Widerstands von den Abmessungen des Leiters lässt sich 

ebenfalls nutzen, um sog. Spannungsteiler oder Potentiometer, d.h. variable 

Widerstände zu bauen: 

Für die Spannungen U bzw. Ux gelten nach dem 

Ohm’schen Gesetz: 

ℓ 

U = R⋅ I = ρ ⋅ ⋅I 

bzw. 

A 

x 

Ux = Rx ⋅ I = ρ ⋅ ⋅ I . 

A 

Division der beiden Gleichungen führt zu der 

Beziehung: 

x 

Ux= ⋅U 

. 

ℓ 

Quelle: Staudt, Experimentalphysik 2 

E2.20 

Materialabhängigkeit des 

el. Widerstands: Cu-Fe- 

Kettenglieder: Fe glüht 

eher als Cu 

E2.44 

Dehn(ungs)messstreifen: 

R abhängig von A und l.

E2.8 Potentiometer 


5.2.7 Mikroskopische Betrachtung von Leitungsvorgängen 

Auf mikroskopischer, d.h. atomarer oder molekularer Ebene zeigt sich, dass sich 

Elektronen nicht an einem beliebigen Ort aufhalten dürfen und sie nicht jede 

beliebige Energie annehmen dürfen (wie wir es für andere Objekte des 

alltäglichen Lebens gewohnt sind). Vielmehr befinden sie sich in sog. Orbitalen; 

ihre Energie kann immer nur ein Vielfaches einer Mindestenergie sein; sie ist also 

„gequantelt“. In der Quantentheorie werden die Aufenthaltsräume, in denen sich 

die Elektronen in der Elektronenhülle eines Atoms mit 90%iger 

Wahrscheinlichkeit aufhalten, Atomorbitale (AO) genannt. Jedes Orbital hat eine 

bestimmte potenzielle Energie Epot, ein sog. „Energieniveau“. Jedes Orbital kann 

von maximal zwei Elektronen gleichzeitig besetzt werden (Pauli-Prinzip). 

Werden mehrere Atome zu Molekülen oder Festkörpern vereinigt, dann kommt 

es auch zu einer Wechselwirkung und energetischen Aufspaltung der einzelnen 

Atomorbitale in nieder-energetische „bindende“ und höher-energetische 

„antibindende“ Molekülorbitale (MO). Gewisse Regeln zur Befüllung der 

Orbitale mit Elektronen (z.B. Hund’sche Regel) lassen eine Aussage zu, ob es 

zu einer Molekülbindung kommt und wie stark diese sein wird. (Bücher der 

anorganischen oder physikalischen Chemie werden Ihnen ein detaillierteres Bild 

dazu vermitteln können.) 

Wasserstoff und Helium haben jeweils ein sog. s-Orbital. Beim Wasserstoff ist 

dieses Orbital mit einem Elektron gefüllt, beim Helium mit zwei Elektronen 

(nachfolgend als kleine, entgegengesetzt orientierte Pfeile symbolisiert; die 

Pfeilrichtung symbolisiert übrigens den sog. Elektronenspin, was im 

mechanischen Bild dem Eigendrehimpuls eines Elektrons entspräche). 

MO-Schema für zwei Wasserstoffatome (H), die zu 

einem Wasserstoffmolekül H2 verbunden werden. 

Links (1s(a)) und rechts (1s(b)) in der Skizze sind 

die s-Atomorbitale zweier H-Atome mit ihren 

beiden Elektronen zu sehen. In der Mitte ist die 

Situation dargestellt, in der zwei H-Atome so weit 

angenähert werden, dass ihre Atomorbitale 

miteinander wechselwirken können und 

Molekülorbitale bilden. Es kommt dabei zu einer 

energetischen Aufspaltung in ein energetisch tiefer 

liegendes, sog. bindendes Sigma-Orbital und ein 

energiereicheres, sog. antibindendes Sigma- 

Orbital. Da zwei H-Atome insgesamt zwei 

Elektronen beitragen, ist das bindende 

Molekülorbital (MO) voll besetzt, das antibindende 

MO dagegen leer. Ist das antibindende Orbital mit 

weniger Elektronen besetzt als das bindende, dann 

kommt es zur Ausbildung einer Molekülbindung. 

Daher gehen die beiden H-Atome eine 

Molekülbindung zur Bildung von H2 ein. 

MO-Schema für zwei Heliumatome (He), die keine 

Molekülbindung eingehen, da bindendes und 

antibindendes Molekülorbital mit gleicher Anzahl an 

Elektronen gefüllt sind. 

Links (1s(a)) und rechts (1s(b)) in der Skizze sind 

die s-Orbitale zweier He-Atome mit ihren beiden 

Elektronen zu sehen. In der Mitte ist die Situation 

dargestellt, in der zwei He-Atome so weit 

angenähert werden, dass ihre Orbitale miteinander 

wechselwirken können: Es kommt zu einer 

energetischen Aufspaltung in ein sog. bindendes 

Sigma-Orbital und ein sog. antibindendes Sigma- 

Orbital. Da sowohl bindendes als auch 

antibindendes Orbital voll besetzt sind, heben sich 

bindender und anti-bindender Charakter der 

Wechselwirkung gerade gegenseitig auf. Dies 

erklärt, warum es kein He-Molekül gibt.


In ausgedehnten Festkörpern (aus 

vielen Atomen) verschmelzen die 

Molekülorbitale (MO) zu sog. 

„Bändern“. Die nicht-besetzten 

antibindenden Molekülorbitale werden 

dann „Leitungsband“ genannt, die 

besetzten bindenden Molekülorbitale 

werden „Valenzband“ genannt. 

Übergang vom Einzelatom zum Festkörper: 

Erlaubte Energiezustände der Elektronen im Atom, 

Molekül und Festkörper. Es zeigt sich, dass die 

Elektronen nur diskrete Energiezustände 

einnehmen können, die auf einer Energieleiter 

angeordnet sind. 

In einem Festkörper stehen sehr viele Elektronen in Wechselwirkung miteinander, was dazu 

führt, dass die erlaubten Energieniveaus zu Bändern verbreitert werden, die durch verbotene 

Zonen getrennt sind. Quelle: Hering, Elektronik für Ingenieure, Abb. 1-53, S.59. 

Ob ein Festkörper ein elektrischer Leiter ist oder ein Isolator, lässt sich über den 

energetischen Abstand ΔE, die sog. „Bandlücke“ (eine Energiebarriere, 

gewissermaßen eine „verbotene“ Zone, in der sich keine Elektronen aufhalten 

können), zwischen Valenz- und Leitungsband entscheiden: 

ΔEIsolator > 5 eV ΔEHalbleiter > 0 eV ΔELeiter = 0 eV 

EF ist die sog. Fermi-Energie. Bei Isolatoren, Eigenhalbleitern (d.h. nicht-dotierten Halbleitern (Dotierung 

s.u.) wie reinem Silizium) und Metallen beschreibt sie die Energie, die genau zwischen Valenz- und 

Leitungsband liegt. 

Nur wenn es freie Elektronen (bzw. Positronen) im Leitungsband (Valenzband) 

gibt, ist das Material elektrisch leitend. 

5.2.8 Halbleiter 

Neben den elektrisch nicht-leitenden Isolatoren und den elektrisch leitenden 

Metallen gibt es noch sog. „Halbleiter“ (oder „Halbmetalle“), bei denen die 

Bandlücke gerade so groß ist, dass sie die Elektronen aus dem Valenzband 

durch thermische (d.h. Wärme) oder elektromagnetische (z.B. Lichteinstrahlung) 

Anregung überwinden können. Unter diesen Bedingungen wird aus dem Nichtleiter 

ein leitendes Material, dessen elektrische Leitfähigkeit allerdings unter der 

von Metallen liegt. Beispiele sind Silizium (Si) oder Germaniumarsenid (GeAs), 

aus denen moderne Transistoren oder Solarzellen gefertigt werden (z.B. 

Computerprozessoren oder Speicherbausteine). 

Bei reinem Si mit jeweils 4 Valenzelektronen ist die Bandlücke mit ΔE = 1,2 eV so 

groß, dass bei Raumtemperatur kein messbarer Strom fließt. Werden dem Si

E2.33 Widerstand mit 

negativem T- 

Koeffizienten (NTC) bei 

einem Halbleiter 

E2.27 Stromleitung in 

Flüssigkeiten 


allerdings in geringer Menge andere Atome beigemischt, die entweder leicht e - 

abgeben (z.B. Phosphor mit 5 statt 4 Valenzelektronen) oder aufnehmen (z.B. 

Bor mit 3 statt 4 Valenzelektronen), dann lässt sich die Leitfähigkeit erhöhen. 

Man spricht von einer sog. „Dotierung“ mit Fremdatomen. Durch Dotierung kann 

ein Halbleiter gezielt mit negativen oder positiven Ladungsträgern ausgestattet 

und seine Leitfähigkeit definiert werden. 

Reiner Halbleiter: Der 

Halbleiterkristall beruht auf einem 

Kristallgitter aus 4-wertigen 

Atomen, die jeweils durch vier 

Elektronenpaare gebunden sind. 

Diese Elektronen füllen das 

Valenzband vollständig. 

n-dotierter Halbleiter: Dotierung 

mit 5-wertigen Atomen (z.B. 

Phosphor) hinterlässt im Gitter 

ein für die Bindung nicht 

erforderliches Elektron in einem 

energetisch über dem 

Valenzband liegenden Orbital. 

Mit nur geringer Energie kann es 

ins Leitungsband angehoben 

werden und ist hier beweglich. 

Ein solches Atom nennt man 

einen Elektronen-Donator (lat. 

donare = geben). Der Kristall 

wird mit beweglichen negativen 

Ladungsträgern ausgestattet, 

man spricht von einer n- 

Dotierung. Zugleich bleibt ein 

positiver Atomrumpf im Gitter 

zurück. 

p-dotierter Halbleiter: Dotierung mit 

3-wertigen Atomen (z.B. Bor) führt zu 

einer ungesättigten Bindung, in der 

ein Elektron fehlt. Dieses kann mit 

geringem Energieaufwand aus einer 

anderen Bindung gerissen werden. 

Ein solches Atom nennt man einen 

Elektronen-Akzeptor (lat. accipere = 

annehmen). Sein leeres Orbital liegt 

energetisch knapp oberhalb des 

Valenzbandes. Durch Füllen des 

Orbitals mit einem Elektron aus dem 

Valenzband entsteht eine negative 

ortsfeste Ladung. Zugleich 

hinterlässt das Elektron im 

Halbleiterkristall eine Lücke, die 

durch ein anderes Elektron aufgefüllt 

werden kann, also eine bewegliche 

Elektronenfehlstelle (und damit eine 

positive Ladung). Im Resultat hat 

man eine negative feste und eine 

positive bewegliche Ladung 

eingebracht. Man spricht dann von p- 

Dotierung. 

Anders als bei einem Metall nimmt der elektrische Widerstand eines Halbleiter 

mit zunehmender Temperatur ab, da mehr Elektronen die Energielücke ΔE 

zwischen Valenz- und Leitungsband überwinden können. Allerdings darf nicht 

vergessen werden, dass die Leitfähigkeit von Halbleitern auch bei höheren 

Temperaturen nach wie vor weit unter der von Metallen liegt. 

5.2.9 Elektrische Leitung in Flüssigkeiten 

In Flüssigkeiten übernehmen nicht freie Elektronen sondern Ionen (Kationen und 

Anionen) den Ladungstransport. 

Reines Wasser zeichnet sich durch eine sehr geringe Leitfähigkeit aus, da nur 

sehr wenige Ionen (H + und OH - ) vorliegen. Sie steigt, wenn dem Wasser ionenbildende 

Salze, Säuren oder Basen hinzugefügt werden. Dementsprechend hat 

Meerwasser eine höhere elektrische Leitfähigkeit als Süßwasser.


Spezifische (Ionen-) Leitfähigkeiten σ einiger Flüssigkeiten (vgl. mit den für 

Metalle besprochenen σ!): 

Flüssigkeit Leitfähigkeit σ 

[µS/cm] 

Lösungsmittel Hexan 10 -12 

Destilliertes Wasser ≤ 1 

Regenwasser 5 - 30 

Grundwasser (Süßwasser) 30 - 2000 

1 molare HCl ~ 10.000 

Meerwasser 45.000 - 55.000 

5.2.10 Elektrische Leitung in Gasen 

Gase sind typischerweise Isolatoren, außer sie werden durch thermische oder 

Strahlungsenergie oder andere Ladungsträger ionisiert. Ein Gas mit einem 

nennenswerten Anteil an freien Ladungsträgern wie Ionen, Atomrümpfen, 

geladenen Molekülfragmenten oder Elektronen heißt Plasma 7 . Allerdings sind 

Plasmen nach außen hin meist elektrisch neutral. Durch Rekombination von 

Elektronen mit den Ionen verschwinden die Ladungen rasch wieder. 

Natürliches Vorkommen von Plasma: 

• Sonne oder anderen Sternen, der 

Sonnenkorona und dem Sonnenwind 

• Blitze 

• Flammen 

• Polarlicht 

• Ionosphäre 

• (leuchtende) Gasnebel im Weltall 

• Quark-Gluon-Plasma in hypothetischen 

Quarksternen 

Weil Sonne und Sterne aus Plasma bestehen, 

liegen über 99% aller sichtbaren Materie des 

Universums als Plasma vor. 

Künstlich erzeugte Plasmen 

• Beleuchtungstechnik: in Leuchtstoffröhren (Energiesparlampen), 

Bogenlampen, und allgemein Gasentladungslampen. 

7 Neben den drei vertrauten Aggregatzuständen der Materie – fest, flüssig und gasförmig – wird das 

Plasma häufig als vierter Aggregatzustand angesehen. 

E2.6 Flüssigkeitspotenziometer 

E2.22 

Gasentladungsröhre 

(E2.23 Geißler-Röhre)


• Halbleitertechnik: zum Plasmaätzen und zur plasmainduzierten 

Materialabscheidung (plasma-enhanced chemical vapor 

deposition: PECVD) 

• In der Werkstofftechnik: zur Oberflächenmodifizierung durch 

plasmainduzierte Materialabscheidung (PECVD und 

Plasmapolymerisation), Oberflächenhärtung oder 

Plasmaoxidation, z.B. Verspiegelungen, Anti-Haft-Schichten, 

etc. 

• In der Analysentechnik zum Aufschließen von 

Probenmaterialien (Plasmaveraschung) und in Messgeräten 

zum Spurennachweis von Metallen (ICP, ICP-MS) 

• In der Werkstoffverarbeitung beim Schweißen 

• In der Bildschirmtechnik im Plasmabildschirm 

• In der Energieforschung im Kernfusionsexperiment


V07 Kirchhoff’sche Regeln, Spannungsquellen, Elektrische 

Leistung, Elektrochemie 


• Wir haben gesehen, dass der elektrische Widerstand eines Materials 

sowohl von der Art des Materials (Isolator, Halbleiter, metallischer Leiter, 

Ionenleiter (Elektrolyt), Plasma), als auch von seinen Abmessungen 

(Länge, Querschnitt) wie auch von äußeren Faktoren (Temperatur) 

abhängig ist. Diese Abhängigkeit lässt sich dazu nutzen, Widerstände für 

verschiedene Messaufgaben einzusetzen (z.B. Temperaturmessungen, 

Verbiegungen, ...). 

• Isolatoren, Halbleiter und Leiter lassen sich mikroskopisch über das 

gleiche Bild von Valenz- und Leitungsband beschreiben. Diese Bänder 

sind ursprünglich aus Atom- und Molekülorbitalen hervorgegangen. 

Lediglich die Energielücke zwischen diesen Bändern bestimmt die 

Elektronen-Leitungseigenschaften eines Materials. 

5.2.11 Elektrische Leistung und Joule’sche Wärme 

Mit der Definition für die Leistung P = Arbeit W pro Zeit t ergibt sich aus den 

bisher betrachteten Beziehungen für die potenzielle Energie und den Strom 8 : 

2 

⎛ 2 ⎞ 

W E U ⋅q 

q U 

P = = = = U ⋅ = U ⋅ I ⎜= R⋅ I = ⎟ 

t t t t ⎝ R ⎠ 

[P] = 1 V · A = 1 Watt = 1 W (James Watt, 1736-1819) 

Wie erläutert, stellt ein Leiter infolge der Zusammenstöße der Ladungsträger mit 

den Atomen des Leiters (Gitterbausteinen) dem elektrischen Strom I einen 

Widerstand R entgegen. Eine Folge dieser Reibung ist die Erwärmung des 

stromdurchflossenen Leiters. Die Wärmeleistung P, die der Leiter mit dem 

Widerstand R dabei aufnimmt, wird Joule’sche Wärme genannt. Beispiel: Eine 

Glühbirne gibt 95% der Energie in Form von Wärme ab und wandelt nur 5% in 

Licht. 

5.2.12 Ströme in verzeigten Stromkreisen – Kirchhoff’sche Regeln und 

Berechnung des Gesamtwiderstands 

Elektrischen Schaltungen bestehen häufig aus einem Netzwerk von Leitern, 

Spannungsquellen, Widerständen und Kondensatoren, die sich verzweigen bzw. 

in Knotenpunkten zusammenlaufen können. Um die Spannungen U und Ströme I 

an jedem Punkt einer Schaltung berechnen zu können, helfen die zwei sog. 

Kirchoff’schen Regeln weiter. 

5.2.12.1 Erste Kirchhoff’sche Regel: Knotenregel 

Da 

• in einem Stromnetz weder Ladungen erzeugt noch vernichtet 

werden können (Ladungserhaltung) 

• und es auch nicht zu einer lokalen Ladungsanhäufung kommen 

kann, d.h. eine Ladung, die zu einem gegebenen Zeitpunkt zu 

einem Punkt des Netzes hinfließt, von dort auch wieder 

abfließen muss, 

8 Vergleichen Sie dazu auch die Leistung, die von einem Kondensator erbracht werden kann (V03).


gilt: 

Die Summe aller Ströme, die zu einem Knoten hinfließen, ist gleich der Summe 

der Ströme, die von diesem Knoten wegfließen. (Knotenregel) 

Ankommende Ströme werden positiv gezählt, abfließende Ströme negativ. 

Beispiel: 

Mathematisch ausgedrückt: 

ges, hin gesweg , 0 

Gemäß der Kirchoff’schen Knotenregel ist der Strom I1, der 

zum Punkt a (Knoten) hinfließt (positiv), gleich der Summe der 

Ströme I2 + I3, die von a wegfließen (negativ). Quelle: Tipler, 

Abb. 23.2, S. 782 

∑ 

+ I − I = und damit I = 0 

5.2.12.2 Zweite Kirchhoff’sche Regel: Maschenregel 

Die zweite Kirchhoff’sche Regel gilt für geschlossene Schleifen (Maschen) 

zwischen zwei Punkten, d.h. in einem geschlossenen Stromkreis. Hier muss die 

Summe aller erzeugten und verbrauchten Spannungen gleich sein: 

Beim Durchlaufen einer geschlossenen Schleife (Masche) eines Stromnetzes in 

einem willkürlich festgelegten Umlaufsinn ist die Summe aller Spannungen gleich 

null. (Maschenregel) 

Mathematisch ausgedrückt: 

Oder anders ausgedrückt: 

∑ 

Masche, i 

U = 0 

In einer geschlossenen Schleife (Masche) eines Stromnetzes ist die Summe der 

Quellenspannungen UQm gleich der Summe der Spannungsabfälle an den 

Widerständen In·Rn: 

∑ U = ∑ I⋅R . 

Qm n 

Masche, m Masche, n 

Um die Vorzeichen der Spannungen eindeutig bestimmen zu können, erweisen 

sich die folgenden „Neben“-Regeln als nützlich: 

Widerstandsregel: Durchläuft der Strom einen Widerstand Ri in technischer 

Stromrichtung, dann ändert sich das Potenzial Ui dabei um –Ri · I, durchläuft er 

ihn entgegen der technischen Stromrichtung, so ist die Potenzialänderung gleich 

+Ri · I. 

Spannungsregel: Bewegt man sich durch eine (ideale) Spannungsquelle Q vom 

Minuspol (–) zum Pluspol (+), dann ist die Potenzialänderung UQ > 0; in 

Gegenrichtung ist sie UQ < 0. 

Beispiel: 

i 

i 

i


Die Spannungsquelle UQ1 liefere eine 

höhere Spannung als die 

Spannungsquelle UQ2. Damit ist die techn. 

Stromrichtung vorgegeben, d.h. der Strom 

I fließt im Uhrzeigersinn. Die + und - 

Zeichen an den Widerständen sollen 

daran erinnern, welche Seite eines jeden 

Widerstands bei der gegebenen 

Stromrichtung auf höherem (+) bzw. 

niedrigerem (-) Potenzial liegen. Hinweis: 

der kleine Index i an den beiden 

Widerständen Ri1 und Ri2 soll darauf 

hinweisen, dass hier die sog. 

„Innenwiderstände“ der Spannungsquellen 

UQ1 und UQ2 gemeint sind. Darauf wird 

bei der Besprechung von 

Spannungsquellen genauer eingegangen. 

Verwechseln Sie das kleine i also nicht mit 

der Zählvariablen i in den beiden 

mathematischen Formulierungen der 

Kirchhoff’schen Gesetze. 


Beim Durchlaufen (von Punkt a aus) ergibt sich also in obiger Masche für die 

einzelnen Spannungsabfälle über die Widerstände und die Durchgänge durch die 

beiden Spannungsquellen: 

−⋅ I R −I⋅R −U −I⋅R −I⋅ R + U −I⋅ R = . 

1 2 2 2 3 1 1 0 

Q i Q i 

5.2.12.3 Gesamtwiderstand bei Reihenschaltung (= Serienschaltung) von 

Widerständen 

Die Kirchhoff’sche Maschenregel gestattet jetzt eine einfache Berechnung des 

Gesamtwiderstandes Rges in einer Serienverschaltung von einzelnen 

Widerständen Ri: 

oder allgemein: 

Mit 

∑ ∑ 

U = I⋅R Qm n 

Masche, m Masche, n 

ergibt sich mit der Maschenregel: 

UQ - I·R1 - I·R2 = 0 bzw. daraus 

UQ = I·Rges = I·R1 + I·R2 = U1 + U2 

I·Rges = I·(R1 + R2) 

d.h. 

R = ∑ R 

ges, ser i 

i 

Rges = R1 + R2. 

5.2.12.4 Gesamtwiderstand bei Parallelschaltung von Widerständen 

Ebenso lässt sich der Gesamtwiderstandes Rges in einer Parallelverschaltung 

von einzelnen Widerständen Ri durch Kombination von Knoten- und mehrmaliger


Anwendung der Maschenregel berechnen. Beachten Sie, dass es insgesamt drei 

geschlossene Maschen gibt: abcdefgh, abcyzfgh und dcyzfe. 

und ein anderes Mal für die Schleife dcyzfe: 

Mit der Knotenregel 

+I0 - I1 - I2 = 0 bzw. anders 

ausgedrückt 

I0 = I1 + I2 

am Punkt A und zweimaliger 

Anwendung der Maschenregel, z.B. 

einmal für die Schleife abcdefgh: 

UQ = I0 · Rges = I1 · R1 oder I1 = UQ/R1 

UQ = 0 = I2 · R2 - I1 · R1 (weil es hier keine Spannungsquelle UQ gibt; außerdem: 

gemäß der Widerstandsnebenregel ist für den gewählten Umlaufsinn durch R2 

von – nach + das Produkt I2·R2 positiv, wogegen das Produkt I1 · R1 wegen der 

Richtung von + nach – negativ sein muss). 

D.h. I2 · R2 = I1 · R1 . 

Damit ist also UQ ebenfalls 

UQ = I2 · R2 oder I2 = UQ/R2 

Kombination der drei Gleichungen ergibt: 

U U U 

I = = I + I = + 

Q Q Q 

0 

Rges 1 2 

R1 R2 

bzw. nach Division durch UQ: 

1 1 1 

= + 

R R R 

ges 

1 2 

oder allgemein: 

1 1 

= ∑ 

R R 

ges, par i i 

5.2.12.5 Wheatston’sche Brückenschaltung zur Messung von unbekannten 

Widerständen 

Sir Charles Wheatstone (1802-1875) 

An einem regelbaren Widerstand (Potenziometer) wird zwischen AB eine 

Spannung U angelegt. In der Brücke CS liegt ein Strommessgerät. R sei ein 

bekannter Widerstand, Rx der gesuchte Widerstand.


Wir nun der Schleifkontakt S 

so lange verschoben, bis der 

Brückenstrom I verschwindet 

(I = 0), dann lässt sich der 

gesuchte Widerstand über 

Kombination der Knotenregel 

Iges = Iobenrum + Iuntenrum und die 

Maschenregel für ACS und 

SCB wie folgt berechnen: 

Maschenregel ACS: 

-R·IO + R1·IU = 0 

Maschenregel SBC: 

- R2·IU + Rx·IO = 0 

Durch Division der beiden Gleichungen (nach Umstellung) und Berücksichtigung 

von R = ρ ⋅ 

A 

ℓ ergibt sich: 

R R1 

1 = = 

R R 

ℓ 

ℓ und damit ℓ2 

Rx= ⋅R. 

ℓ 

x 

2 2 

5.2.13 Chemische Strom- und Spannungsquellen 

1 

Damit Strom fließen kann, müssen zunächst positive und negative Ladungen 

voneinander getrennt werden, d.h. gegen die zwischen den ungleichnamigen 

Ladungen wirkende Coulomb-Kraft muss Arbeit geleistet werden, um eine 

Spannung U aufzubauen. Diese Arbeit kann durch 

• mechanische Energie (z.B. van de Graaff-Generator, Piezoelektrika, ...), 

• (bio-) chemische Energie (Zuckermetabolismus, Metallsalzbildung, ...), 

• Lichtenergie (sog. Photoeffekt) 

• Wärmeenergie (Pyroelektrika) oder 

• Kernenergie (Zerfall von instabilen Elementen, u.a. unter 

Wärmeentwicklung, die zum Antrieb von Turbinen genutzt werden kann) 

geleistet werden. 

5.2.13.1 Biologische Spannungserzeugung 

Zum Beispiel über der Membran einer Nerven- oder Herzmuskelzelle liegt eine 

Spannung. Diese wird durch eine aktive Membranpumpe erzeugt, die Na + nach 

außen und K + nach innen transportiert. Die dazu erforderliche Energie wird durch 

Hydrolyse von Adenosintriphosphat (ATP), der sog. „Energiewährung der Zelle“ 

erzeugt. 

5.2.13.2 Elektrochemische Zellen 

In einer elektrochemischen Zelle tauchen zwei Leiter, die sog. Elektroden, in eine 

salzhaltige Lösung, den Elektrolyt, ein.


Taucht ein Metall in einen Elektrolyten, 

so gehen einige positive Metallionen M n+ 

in Lösung und lassen n·e - (Elektronen) im 

Metall zurück; es baut sich also eine 

Spannung auf. Die Energie kommt aus 

der freiwilligen Ausbildung einer 

Hydrathülle um das Metallkation in der 

Lösung. Diese Spannung, die 

Galvanispannung Δϕ genannt wird, 

lässt sich allerdings nicht messen. 

(Luigi Galvani, 1737-1798) 

Verschiedene Metalle haben jedoch eine 

unterschiedlich große Tendenz sich zu 

lösen. Tauchen also zwei verschiedene 

Elektroden in denselben Elektrolyten, 

kann eine Spannung zwischen ihnen 

gemessen werden, die der Differenz der 

beiden Galvanispannungen entspricht. 

Allgemein gilt, dass freiwillig ablaufende 

chemische Reaktionen, bei denen 

Ladungen ausgetauscht werden (Redox- 

Reaktionen), zum Aufbau einer 

Spannung führen, wenn sich die beiden 

Teilreaktionen, die e - liefern bzw. 

verbrauchen, räumlich voneinander 

trennen lassen. 

Beispiel aus der Biologie: Bakterien in den Sedimenten des Meeresbodens 

erzeugen schwefelhaltige Verbindungen, die sich leicht oxidieren lassen. 

Forscher an der der Universität im argentinischen Mar del Plata haben 

herausgefunden, dass sich die dabei freiwerdenden Elektronen über eine im 

Meeresboden versenkte Graphitelektrode eingesammelt lassen. Wird diese 

Anode über ein Kabel mit dem Stahlgerüst einer Bohrinsel verbunden, kann die 

Korrosion dieses Gerüstes im Meerwasser verhindert oder sogar rückgängig 

gemacht werden. 

Quelle: http://www.pressetext.de/pte.mc?pte=061030021 

Wird umgekehrt von außen eine Spannung angelegt, laufen unfreiwillige 

Reaktionen ab; es wird dann von Elektrolyse gesprochen. 

5.2.13.3 Batterien und Brennstoffzellen 

In Batterien werden die chemischen Ausgangsstoffe verbraucht. In 

Akkumulatoren (Blei-Akku (Autobatterie), NiCd-Akkus, Metallhydrid-Akkus, Li- 

Ionen-Akkus) können sie teilweise wieder regeneriert werden. Beides sind 

Systeme ohne Stoffaustausch mit der Außenwelt.


Bleiakkumulator: a) Aufbau des Akkumulators; b) Spannungsverlauf und chemische Reaktion beim 

Aufladen (A) (Anode = +Pol, Kathode = -Pol) und Entladen (E) (Anode = -Pol, Kathode = +Pol). Quelle: 

Demtröder 2, Abb. 2.49, S. 69 

Zur Bezeichnungskonvention von Anode und Kathode: 

An Anoden werden Substanzen oxidiert, d.h. Elektronen treten immer in den 

Leiter ein, an Kathoden werden Substanzen reduziert, d.h. die Elektronen treten 

immer aus dem Leiter aus. Innerhalb des Stromkreises wandern dann die an der 

Anode eingesammelten Elektronen zur Kathode zurück. Allerdings können 

Anode und Kathode unterschiedliche Polaritäten annehmen, je nach dem, ob 

das betrachtete System Ladungen an einen Verbraucher abgeben kann (z.B. 

Entladung einer Batterie: Anode: -, Kathode: +) oder Ladungen einsammelt (z.B. 

Aufladen einer Batterie: Anode: +, Kathode: -). 

Prozess Oxidation einer 

Substanz, die 

Elektronen abgeben 

kann, sich also im 

reduzierten Zustand 

befindet (=red): 

Entladen einer Batterie 

(d.h. die Batterie ist hier 

ein galvan. Element) 

Aufladen einer Batterie 

(d.h. im Medium findet 

Elektrolyse statt) 

Anode Kathode 

red ox n e − 

→ + ⋅ 

Reduktion einer 

Substanz, die 

Elektronen aufnehmen 

kann, sich also im 

oxidierten Zustand 

befindet (=ox): 

− 

ox + n⋅e → red 

- + 

+ - 

Beim Vergleich von Elektrolyse (Aufladen) und Galvanischem Element (Entladen) 

kehren sich nicht die Pol-Zeichen um. Jedoch ändert sich die Richtung des 

Elektronenflusses, also kehren sich die Vorgänge "Reduktion" und "Oxidation" 

um. Das gilt letztlich dann auch für die Bezeichnungen "Anode" und "Kathode". 

Bei wieder aufladbaren Batterien kann derselbe Pol also abwechselnd als Anode 

oder Kathode arbeiten, je nachdem ob die Batterie entladen oder geladen wird.


Aufbau einer Batterie (links) und eines aufladbaren 12V-Blei-Akkus, wie er beispielsweise in Autos 

eingesetzt wird. Quelle: Tipler S. 761 

Brennstoffzellen funktionieren wie Batterien. Allerdings werden bei ihnen die 

Reaktanden kontinuierlich zugeführt, z.B. H2 und O2, die an zwei verschiedenen 

Elektroden zu H + bzw. OH - reagieren, d.h. im Prinzip H2O bilden. 

5.2.13.4 Klemmspannung und Innenwiderstand einer Spannungsquelle 

Wird eine Spannungsquelle nicht belastet, d.h. fließt kein Strom, so liegt als 

Klemmspannung an den beiden Polen der Spannungsquelle die sog. 

Quellenspannung oder elektromotorische Kraft (EMK) U0 an. Jede Quelle 

besitzt jedoch einen Innenwiderstand, Ri, da die Ladungsträger vom Ort der 

Trennung zu den Klemmen transportiert werden müssen. Fließt jetzt außen ein 

Strom über einen äußeren Widerstand Ra (Verbraucher) ab, dann hat die für den 

Verbraucher zur Verfügung stehende, d.h. abgreifbare Klemmspannung UKlemm 

den Wert 

U 

U = U −I⋅ R = U − ⋅R 

Klemm 0 i 0 

Ri 0 

+ Ra 

i 

mit Rges = Ri + Ra und dem Ohm’schen Gesetz U0 = Rges·I. 

Ist der Innenwiderstand Ri sehr klein, dann ist UKlemm praktisch unabhängig von 

Ri, sonst aber nicht.


Wächst der Strom so weit an, dass I · Ri = U0 wird, dann liegt keine Spannung 

mehr an. Dies kann durch einen Kurzschluss erreicht werden, d.h. indem die 

beiden Pole mit einem Leiter mit verschwindend geringem Widerstand direkt 

verbunden werden (nicht ausprobieren!). 

5.2.13.5 Strom- und Spannungsmessung 

Soll eine Spannung gemessen werden, dürfen auch im Messgerät keine großen 

Ströme fließen, d.h. das Messgerät muss einen hohen Innenwiderstand Ri 

haben. Voltmeter zur Spannungsmessung werden immer parallel zu einem 

Stromkreis angeschlossen, damit möglichst kein Strom durch das Voltmeter 

fließen kann, der Gesamtwiderstand des zu vermessenden Stromkreises also 

nicht (merklich) verändert wird. 

Umgekehrt dürfen bei der Strommessung keine hohen Innenwiderstände 

vorliegen, die den Strom begrenzen würden. Amperemeter zur Strommessung 

werden immer in Serie in einen Stromkreis eingebaut, damit der Strom (d.h. alle 

Ladungen) durch sie hindurchfließen kann.

E3.1 Magnete und deren 

Eigenschaften 


V08 Magnetismus: Phänomenologie und Feldlinienverlauf, 

Kräfte in stromdurchflossenen Leitern, Hall-Effekt 


• Die von einem Strom erbrachte Leistung P ist das Produkt aus Strom und 

Spannung. 

• Die beiden Kirchhoff’schen Regeln gestatten die eindeutige Berechnung 

von Strömen und Spannungen in Stromnetzwerken. Die Knotenregel 

besagt, dass an einer Verzweigung ankommende Ladungen auch wieder 

vollständig abfließen müssen. Die Maschenregel besagt, dass in einer 

Stromschleife die Summe der Spannungen gleich Null sein muss. Zwei 

Unterregeln, die Widerstandsregel und die Spannungsquellenregel, 

gestatten die eindeutige Bestimmung der zu wählenden Vorzeichen beim 

Anwenden der Kirchhoff’schen Regeln. 

• Anhand der Kirchhoff’schen Regeln konnten wir die beiden Beziehungen 

für die Reihen- bzw. Parallelschaltung von Widerständen herleiten. Bei 

einer Reihenschaltung addieren sich die Einzelwiderstände zum 

Gesamtwiderstand, bei Parallelschaltung addieren sich die Kehrwerte der 

Einzelwiderstände zum Kehrwert des Gesamtwiderstands (vgl. 

Verschaltung von Kondensatoren, bei denen sich die Berechnung der 

Gesamtkapazität genau umgekehrt verhält). 

• Die Kirchhoff’schen Regeln gestatten es u.a. mithilfe der sog. 

Wheatstone’schen Brückenschaltung unbekannte Widerstände zu 

bestimmen. 

• Es gibt verschiedene Möglichkeiten, Ladungen zu trennen, d.h. 

Spannungsquellen zu bauen: mechanische Trennung (van der Graaf, 

Rotation einer Spule in einem Generator im Magnetfeld (Besprechung in 

einer der folgenden Stunden); chemische Redox-Reaktionen in 

Gegenwart von Elektroden, u.a. Brennstoffzellen; Solarzellen, Kernzerfall 

(zur Wärmeerzeugung)). 

• Wir hatten festgestellt, dass Spannungsquellen einen Innenwiderstand 

besitzen, der sich bei Stromfluss bemerkbar macht. 

• Strommessungen müssen mit einem Gerät mit geringem Innenwiderstand 

des Messgerätes durchgeführt werden, Spannungsmessungen mit einem 

sehr hohen Innenwiderstand (am besten mehrere Größenordnungen 

höher als der größte im Schaltkreis vorhandene Widerstand). 

5.3 Magnetostatik 

Neben der Gravitationskraft und der elektrostatischen Kraft wirkt im Alltag eine 

weitere Kraft, die sowohl 

auftritt. 

• zwischen zwei Permanentmagneten, als auch 

• zwischen zwei elektrischen Strömen 

Permanentmagnete zeigen folgende Eigenschaften: 

• Stabmagnete haben zwei verschiedene Enden, den sog. Nord- 

(N) und den Südpol (S) (vgl. Ladungen: Plus- und Minuspol). 

• Nordpol und Südpol ziehen sich gegenseitig an, gleichnamige 

Pole stoßen sich ab (vgl. Ladungen: entgegengesetzte 

Ladungen ziehen sich an, gleichnamige stoßen sich ab).


Typische Bilder 

• Hängt man einen Stabmagneten freihängend auf, dreht er sich, 

bis ein Ende zum (magnetischen) Nordpol der Erde zeigt. 

• Wird ein Pol vom Magneten abgetrennt, entstehen wieder 

(kleinere) Stäbe mit Nord- und Südpol. Es gibt also keine 

isolierten magnetischen Pole (d.h. keine magnetischen 

Monopole) (vgl. elektrische Ladung: dort müssen Ladungen 

nicht immer paarweise auftreten, d.h. sie positive und negative 

Ladungen lassen sich voneinander isolieren). Anders als bei 

elektrischen Feldern treten magnetische Pole also nur 

paarweise auf; es gibt bei Magneten also keine Quellen oder 

Senken des magnetischen Feldes. 

• Eisenfeilspäne verhalten sich in der Nähe eines Magneten wie 

die Grießkörner in der Nähe elektrischen Ladungen, d.h. sie 

richten sich entlang von Linien, den magnetischen Feldlinien 

aus. 

• Magnetische Feldlinien bilden immer geschlossene Schleifen. 

Links: Stabmagnet mit geschlossenen Magnetfeldlinien, die außerhalb des Magneten von N nach S 

verlaufen, innerhalb des Magneten von S nach N. Mitte: „Kuhmagnet“ mit Eisenfeilspänen, die sich 

entlang der magn. Feldlinien anordnen. Er wird in Kuhmägen hinabgelassen, um verschluckten 

scharfkantigen Eisenschrott aufzufischen, ehe er die Darmwand zerstören könnte. Rechts: 

Hufeisenmagnet mit geschlossenen Feldlinien. Quellen: Halliday, Kap. 29-.2; Staudt. 

Geschlossener Feldlinienverlauf für einen Stabmagnet (links) und einen 

Hufeisenmagnet (rechts): Außen zeigen die Feldlinien vom magnetischen Nord- 

zum Südpol; im Inneren des Magneten verlaufen sie demnach vom Südpol zum 

Nordpol. Im rechten Bild lässt sich erkennen, dass die magnetischen Feldlinien 

an den Stirnseiten parallel verlaufen. Genau wie bei elektrischen Feldern 

zwischen parallelen Kondensatorplatten ist dort das magnetische Feld homogen. 

Bei nicht-parallelen Feldlinien (z.B. an Kanten oder Ecken) wird von einem 

inhomogenen Feld gesprochen. 

Im Jahre 1809 entdeckte Hans Christian Ørsted (1777 - 1851), dass auch 

elektrische Ströme von magnetischen Feldlinien umgeben sind. 

E3.8 Magnetfeldlinien 

von Permanentmagneten 

E3.9 Magnetfeld eines 

geraden Stroms


Die Magnetfeldlinien um einen 

geraden, stromdurchflossenen 

Draht sind geschlossene, 

konzentrische Kreise; es wird 

von einem Wirbelfeld 

gesprochen. Polt man den Strom 

um, ändert sich deren Drehsinn, 

der immer eine Rechtsschraube 

mit der Stromrichtung einnimmt. 

(Rechte-Hand-Regel: zeigt der 

Daumen in die technische 

Stromrichtung I, dann geben die 

gekrümmten Finger die (Dreh-) 

Richtung der Magnetfeldlinien 

an.) 

5.3.1 Die Ursachen des magnetischen Feldes sind bewegte Ladungen 

Elektrische Ströme, d.h. bewegte Ladungen, sind die alleinige Quelle der 

magnetischen Felder. Der Magnetismus von Permanentmagneten kann auf 

molekulare Ringströme im Material zurückgeführt werden. 

Ursache für das elektrische Feld E sind also die ruhenden Ladungen, wogegen 

bewegte Ladungen (zusätzlich) ein Magnetfeld B erzeugen. Ein Vergleich der 

Beträge von E- und B-Feldern ergibt sich sehr ähnelnde Ausdrücke: 

E-Feld B-Feld 

E 

F 

q 

F 

B = 

q⋅v E 

B 

= 

Der Betrag des E-Feldes ist definiert über die Kraft, 

die im E-Feld einer anderen Ladung auf eine 

ruhende Probeladung q wirkt. 

Der Betrag des B-Feldes ist definiert über die Kraft, 

die auf eine mit der Geschwindigkeit v im 

Magnetfeld B bewegte Probeladung q wirkt. 

Das Magnetfeld B am Punkt P, d.h. im Abstand r einer sich mit der 

Geschwindigkeit v bewegenden Ladung q beträgt: 

µ q ⋅ v × rˆ 

4 ⋅πr 

0 B = ⋅ und 

2 

µ 

4 ⋅π 

q ⋅ v ⋅ rˆ⋅sinθ 

0 B = ⋅ 

. 

2 

Darin ist µ0 die sog. Permeabilität des 

Vakuums (oder auch magnetische 

Feldkonstante) mit µ0 = 4·π·10 -7 V·s·A -1 · 

m -1 

r 

Das magnetische Feld zeigt senkrecht in die 

Papierebene hinein (Kreuzsymbol). Quelle: 

Tipler, Abb. 25.1, S. 844


r r 

(zur Wiederholung) r= ˆ = 

r r 

der Radius-Einheitsvektor der die Richtung des 

Abstands r zum betrachteten Punkt P hat, aber dessen Betrag Eins ist, r= ˆ 1. 

Bei genauer Betrachtung entdecken Sie, dass der Ausdruck für B dem 

Coulomb’schen Gesetz für das elektrische Feld E ähnelt: 

1 q 

E = ⋅ ⋅r 

ˆ . 2 

4 ⋅π ⋅ε 

r 

0 

Beachten Sie jedoch: Während das elektrische Feld (für eine positive Ladung) 

radial von der Punktladung zum Punkt P zeigt, also in Richtung des 

Verbindungsvektors r, steht das Magnetfeld senkrecht zu r und senkrecht zur 

Bewegungsrichtung der Ladung, (die bei Leitern mit der Richtung eines 

Stromelements übereinstimmt (s.u.)). 

Über die Gleichung für B werden folgende Eigenschaften des Magnetfeldes 

deutlich: 

• Der Betrag von B ist der Ladung q und dem Betrag der Geschwindigkeit v 

proportional und ändert sich umgekehrt proportional zum Quadrat des 

Abstandes r von der Ladung. 

• In Richtung der Bewegung hat das Magnetfeld den Betrag Null. An 

anderen Punkten im Raum ist es proportional zu sin θ, also sin(∠v, r), 

d.h. dem Sinus des Winkels θ zwischen dem Geschwindigkeitsvektor v 

und dem Vektor r. 

• B steht (infolge der Definition des Kreuzproduktes) senkrecht auf dem 

Geschwindigkeitsvektor v und auch senkrecht auf dem Vektor r. Seine 

Richtung erhält man durch die Rechte-Hand-Regel (v: Daumen, r: 

Zeigefinger; resultierendes B: Mittelfinger; alle drei Finger stehen 

senkrecht zueinander). Frage: Steht dies im Widerspruch zur 

Beobachtung geschlossener Magnetfeldlinien um ein Leiterelement? 

Zeigen Sie für verschiedene Punkte P, dass die Magnetfeldlinien 

tatsächlich ein Wirbelfeld bilden. 

5.3.2 Das Biot-Savart’sche Gesetz beschreibt das Magnetfeld um einen 

stromdurchflossenen Leiter 

Zuvor wurde das Magnetfeld von freibeweglichen, 

d.h. sich z.B. im Vakuum 

bewegenden Ladungen beschrieben. Da 

bei einer bewegten Ladungsmenge dq, die 

sich in einem Leiterelement der Länge dℓ 

um genau diese Strecke dℓ in der Zeit dt 

fortbewegt, das Produkt dq·v auch als 

r 

dldq r r 

dq⋅ v = dq⋅ = ⋅ dl = I⋅dl dt dt 

geschrieben werden kann, lässt sich die 

Änderung des Magnetfeldes B allerdings 

auch schreiben als: 

Ein Elektromagnet hebt und transportiert 

Metallschrott. Quelle: Halliday, Abb. 29-1, S. 

808


r 

µ ˆ 

0 I⋅ dl× 

r 

dB= 

⋅ und 

2 

4 ⋅πr 

r 

µ I⋅ dl⋅ 

rˆ⋅sinθ 

0 dB 

= ⋅ 

. 

2 

4 ⋅π 

r 

Diese Gleichung ist auch als das Biot- 

Savart’sche Gesetz bekannt. (Jean- 

Baptiste Biot, 1774-1862, franz. Physiker 

und Mathematiker; Felix Savart, 1791- 

1841, franz. Arzt und Physiker). 


5.3.3 Das Ampère’sches Durchflutungsgesetz ist das magnetische 

Analogon zum Gauß’schen Satz in der Elektrostatik 

Wird ein unendlich langer gerader Leiter betrachtet, durch den der Strom I fließt, 

dann bilden die magnetischen Feldlinien konzentrische Kreise um diesen Leiter. 

Wird nun das Wegintegral entlang eines solchen Kreises um I gebildet, so ergibt 

sich mit dem Biot-Savart’schen Gesetz (im Abstand R vom Leiter): 

µ I 

2⋅πR 

0 

�B⋅ ds = �B⋅ds⋅ cos(0 ° ) = B�⋅ ds = B⋅ ds = � ⋅ ⋅2⋅π⋅ R und damit 

∫ ∫ ∫ ∫ 

� ∫ B⋅ d s = µ 0 ⋅I 

für eine beliebige geschlossene Kurve 

Ampère’sches Durchflutungsgesetz, Ampère’sches Verkettungsgesetz 

µ 0 I 

Hinweis: Die Herleitung des Ausdrucks B = ⋅ für das Magnetfeld eines 

2 ⋅π 

R 

langen, geraden, stromdurchflossenen Leiters lässt sich in Lehrbüchern 

nachschlagen. 

5.3.4 Das Magnetfeld im Zentrum einer Leiterschleife ist direkt 

proportional zum Strom und umgekehrt proportional zum Radius der 

Schleife 

Mit Hilfe des Biot-Savart’schen Gesetzes lässt sich das Magnetfeld B im Zentrum 

einer kreisförmigen Leiterschleife mit dem Radius R (also im 

Schleifenmittelpunkt) berechnen: 

r 

µ 0 I⋅dl⋅sinθ µ 0 I r µ 0 I 

B = �∫ dB = ∫� ⋅ = ⋅ ⋅ d = ⋅ 2 2 2 

4⋅π R 4⋅π R ∫ l� 

4⋅π R 

µ 0 ⋅I 

⋅2⋅π ⋅ R = , 

2⋅R 

da der Winkel θ zwischen I · dℓ und ˆr bzw. R für jedes Stromelement dℓ eines 

kreisförmigen Leiters immer 90° beträgt, so dass sinθ immer gleich Eins ist; das 

Kreisintegral über alle Stromelemente der Länge dℓ entspricht zudem genau dem 

Umfang 2·π·R der Leiterschleife.


Die Magnetfelder, die von den einzelnen 

Stromelementen I· dℓ erzeugt werden, zeigen alle in 

Richtung der Ringachse, die hier mit der x-Achse 

zusammenfällt. Quelle: Tipler, Abb. 25.6, S. 848 

Magnetfeldlinien eines stromdurchflossenen 

Ringes sind über Eisenfeilspäne sichtbar 

gemacht. Die zentrale Feldlinie liegt auf der 

Ringachse. Quelle: Tipler, Abb. 25.8, S. 850 

5.3.5 Das Magnetfeld im Inneren einer Spule ist homogen: die 

magnetischen Feldlinien verlaufen dort parallel 

Im Inneren einer langen 

Zylinderspule der Länge ℓ mit 

insgesamt N Windungen (d.h. N 

einzelnen Leiterschleifen), die von 

einem Strom I durchflossen wird, 

ergibt sich das Magnetfeld B zu 

N 

B = µ 0 ⋅ ⋅ I = µ 0 ⋅n⋅I , 

l 

wobei n die sog. 

Windungszahldichte genannt wird. 

(Herleitung siehe Tipler oder 

Staudt.) Die Spule spielt in der 

Magnetostatik die gleiche Rolle wie 

der Plattenkondensator in der 

Elektrostatik: beide erzeugen im 

Innenbereich ein homogenes Feld 

(erkennbar an den parallelen 

Feldlinien). 


5.3.6 Arten von Magnetfeldern 

So wie das elektrische Feld E die Kraftwirkung zwischen zwei ruhenden 

Ladungen vermittelt, so wird durch das sog. Magnetfeld B (auch magnetisches 

Feld, magnetische Induktion oder magnetische Flussdichte genannt) die 

Kraftwirkung zwischen zwei (oder mehreren) bewegten Ladungen vermittelt (wir 

werden in 5.3.13 sehen, dass über dieses Phänomen die elektrische 

Stromstärke, das Ampere, definiert wurde.) 

Das Magnetfeld B beschreibt das gesamte herrschende Feld, d.h. alle Ströme, 

die zur Felderzeugung beitragen; das können sog. „freie Ströme“ in Leitern oder 

im Vakuum sein oder aber „gebundene (Kreis- oder Ring-)ströme“ in 

Permanentmagneten oder in magnetisierter Materie, ... (Diese Anteile werden an 

späterer Stelle noch einmal erläutert.) 

E3.10 Magnetfeldlinien in 

einer Spule

E3.2 Leiterschaukel 


Daneben gibt es noch die sog. magnetische Feldstärke H (auch magnetische 

Erregung genannt), die allein die durch die „freien Ströme“ erzeugten 

Magnetfelder beschreibt. 

B und H stehen in folgender Beziehung: 

B = µ · H = µr · µ0 · H 

mit 

µ : Permeabilität 

µr : Permeabilitätszahl; ist für die meisten Materialien eine Konstante und 

lediglich bei den sog. Ferromagnetika (die werden später noch erklärt) 

variabel. Man schreibt es im letzteren Fall danns häufig als µr = f(H), um ihre 

Abhängigkeit von der magnet. Feldstärke zu kennzeichnen. 

und 

µ0 = 4·π·10 -7 V·s·A -1 · m -1 , der schon oben erwähnten Permeabilität des 

Vakuums bzw. magnetischen Feldkonstante 

wobei gilt: 

µ 

μ r = . 

µ 

0 

5.3.7 Kraftwirkung eines Magnetfeldes auf eine bewegte Ladung 

Andererseits lässt sich auch beobachten, dass ein Magnetfeld B seinerseits eine 

Kraft F auf eine bewegte Ladung q ausübt, die sowohl von der Größe als auch 

von der Geschwindigkeit v der Ladung abhängt. 

Weiterführende Experimente würden folgende Resultate ergeben: 

F ∝ q ; die Kraft auf eine negative Ladung –q ist der Kraft auf eine positive 

Ladung q entgegengerichtet, wenn sich beide Ladungen mit derselben 

Geschwindigkeit bewegen. 

F ∝ v : die Kraft ist der Geschwindigkeit v der Ladung proportional 

F ⊥ B und F ⊥ v : Die Kraft wirkt senkrecht zum Magnetfeld und senkrecht zur 

Geschwindigkeit der Ladung. 

F ∝ sin(∠v, B) : Die Kraft ist proportional zum Sinus des Zwischenwinkels 

zwischen der Geschwindigkeit v und dem Magnetfeld B. 

Zusammenfassen lassen sich diese Beobachtungen in der 

Gleichung für die sog. Lorentz-Kraft (Hendrik Antoon 

Lorentz, 1853 – 1928, niederländischer Mathematiker und 

Physiker): 

oder betragsmäßig 

F = q ⋅ v × B 

L 

F = q ⋅ v ⋅ B ⋅sin( ∠vB 

, ) . 

L 

Alle drei Vektoren stehen 

senkrecht aufeinander. 

Sie folgen der Rechte- 

Hand-Regel. 

Es handelt sich wieder um ein Kreuzprodukt, das der Rechte-Hand-Regel folgt 

(v: Daumen, B: Zeigefinger; resultierende Lorentzkraft F: Mittelfinger; alle drei 

Finger stehen senkrecht zueinander). 

Daraus ergibt sich als Einheit für B das Tesla (nach Auflösen auf B):


N s N V ⋅s 

[ B] = 1 ⋅ = = = 1T = 1Tesla 

. 

2 

C m A⋅m m 

Das Erdmagnetfeld hat die Größenordung von 10 -4 T. Eine weit verbreitete 

historische Einheit ist das Gauß (G). Die Umrechnung in Tesla ist 1 T = 10 4 G. 

Über die bereits oben genannte Beziehung B = µr · µ0 · H ergibt sich als Einheit 

für die magnetische Feldstärke H: 

[ ] 1 A 

H = . 

m 

Auch hier lässt sich die Kraft bewegter Ladungen in einem Leiterabschnitt ℓ über 

die Stromstärke I über den bereits oben verwendeten Zusammenhang q·v = I·ℓ 

beschreiben. Damit ergibt sich die Lorenzkraft eines Magnetfeldes auf einen 

stromdurchflossenen Leiter: 

r 

F = I ⋅ l × B 

oder für ein infinitesimal kurzes Drahtstück der Länge dℓ: 

r 

dF = I⋅ dl 

× B. 

L 

L 

Ein weiterer wichtiger Unterschied zwischen elektrischen und magnetischen 

Feldern ist also die Richtung der Kraftwirkung: 

Die Kraft, die ein elektrisches Feld auf eine Ladung ausübt, wirkt längs der 

Feldlinien, während die Kraft eines Magnetfeldes nur auf eine bewegte Ladung 

wirkt, und zwar senkrecht zum Feld und zur Bewegungsrichtung. 

5.3.8 Bewegung einer Punktladung im Magnetfeld 

Ein wichtiges Merkmal der Kraft, die ein Magnetfeld auf eine sich durch das Feld 

bewegende Ladung ausübt, ist, dass sie nur senkrecht zur Bewegungsrichtung 

wirkt. Daher wird zwar die Richtung, nicht aber der Betrag der Geschwindigkeit 

eines geladenen Teilchens geändert. Das Magnetfeld leistet somit keine Arbeit 

an einem Teilchen und hat keinen Einfluss auf seine kinetische Energie. 

(Erinnern Sie sich an die Zentripetalkraft, für die das gleiche galt.) 

Bewegt sich eine Ladung q genau senkrecht zu 

einem homogenen Magnetfeld B, dann beschreibt 

die Ladung eine Kreisbahn. Offenbar stellt die 

Lorentzkraft FL also genau die Zentripetalkraft FZp 

zur Verfügung, die die Ladung auf der Kreisbahn 

hält: 

2 

m⋅v FZp = = q⋅v ⋅ B = FL. 

r 

Daraus ergibt sich der Radius der Kreisbahn durch 

Umstellung zu: 

m⋅v r = . 

q⋅B Quelle: Tipler, Abb. 24.9, S. 818 

Die Zeit T, die die Ladung für einen Bahnumlauf (d.h. einen Kreisumfang) 

benötigt, ist über den Dreisatz (bzw. die Definition für die Geschwindigkeit: ein 

Kreisumfang pro Umlaufzeit T) und Einsetzen des für r gefundenen Ausdrucks: 

E3.4 Kraftwirkung 

zwischen zwei parallelen 

stromdurchflossenen 

Leitern vs. senkrecht 

zueinander 

angeordneten Leitern 

E3.6 Fadenstrahlrohr


Die Umlauffrequenz 

ist also unabhängig vom Bahnradius. 

5.3.9 Massenspektrometer 

2⋅π ⋅r 2⋅π 

⋅m 

T = = . 

v q⋅B 1 q⋅B ν = = 

T 2 ⋅π ⋅m 

In einem Massenspektrometer lassen sich 

die Ladungs- zu Masseverhältnisse q/m von 

Ionen bekannter Ladungen finden, indem 

der Radius ihrer Flugbahn in einem 

homogenen magnetischen Feld B 

gemessen wird. Zunächst werden dazu alle 

zu detektierende Ionen durch eine 

vorgegebene Spannung U auf die 

kinetische Energie 

gebracht. 

1 

2 

2 

Ekin = ⋅m⋅ v = q⋅ U 

Treten sie in ein homogenes Magnetfeld B 

ein, dann beschreiben sie dort, wie im 

vorangegangenen Abschnitt erläutert, je 

nach Masse und Geschwindigkeit eine 

Kreisbahn mit dem Radius r. Das 

Magnetfeld B sortiert die Ionen also nach 

ihren Impulsen p = m·v. 

Das Magnetfeld zeigt senkrecht aus der 

Papierebene heraus. Quelle: Tipler, Abb. 

24.16, S. 824 

Durch Ausmessen des Bahnradius r lässt sich also das Ladungs- zu 

Masseverhältnis q/m bestimmen: 

Durch Einsetzen von 

erhält man: 

q⋅r ⋅B 

v = in 

m 

q v 

= . 

m r ⋅B 

1 

2 

q 2⋅U 

= 

m B ⋅r 

2 

⋅m⋅ v = q⋅ U und Auflösen nach q/m 

2 2 

So lassen sich also durch Variation von B oder U die unterschiedlichen Massen 

in den Detektor am Punkt P2 leiten. 

Eine Ionenselektion lässt sich auch im elektrischen Feld E durchführen. Dort 

müssen Zentripetalkraft und Coulombkraft gleich sein, um die Ladung auf einer 

Kreisbahn mit dem Radius r zu halten: 

2 

m⋅v FZp = = q⋅ E = FC 

. 

r 

Daraus folgt für den Radius der Kreisbahn: 

.


2 

r = = 

q⋅E E 

2 

m⋅v ⋅U 

mit U als Plattenspannung des Spektrometers und E als elektrische Feldstärke. 

Im elektrischen Feld erfolgt also eine Energie–Selektion. 

Besonders gute Massentrennung wird erzielt, wenn beide Felder in sog. 

doppelfokussierenden Massenspektrometern eingesetzt werden. 

5.3.10 Wien’sches Geschwindigkeitsfilter 

Tritt ein positiv geladenes Teilchen 

+q von links in eine nebenskizzierte 

Feldanordnung aus gekreuztem E- 

und B-Feld ein, so wirkt die 

elektrische Kraft q·E nach unten 

und die magnetische Kraft q·v x B 

nach oben. Die Kräfte heben sich 

gerade dann auf, wenn 

q·E = q·v x B, d.h. die 

Geschwindigkeit v gerade 

E 

v = 

B 

ist. Damit durchqueren alle Teilchen dieser Geschwindigkeit dieses Gebiet ohne 

Ablenkung, egal welche Masse oder Ladung sie besitzen. 

5.3.11 Hall-Effekt 

Mikroskopisch betrachtet wirkt die Lorentzkraft auf die bewegten Ladungsträger, 

die Elektronen, die diese Kraft auf das Leitermaterial übertragen. Die Elektronen 

werden also in Richtung einer Seite des Leiters in Richtung Leiteroberfläche 

beschleunigt. Die daraus resultierende Ladungstrennung (Elektronen vs. pos. 

Ionenrümpfe) in einem stromdurchflossenen Leiter wird Hall-Effekt genannt. 

Über den Hall-Effekt lassen sich eindeutig die Elektronen als die eigentlichen 

Ladungsträger von Strömen identifizieren (und nicht etwa positive Ladungen): 

Hall-Effekt in einem Metallstreifen: Das Magnetfeld B zeigt in die Papierebene 

(Kreuze). Sowohl auf positive Ladungsträger +q (a), die sich von links nach 

rechts bewegen, als auch auf negative Ladungsträger –q (b), die sich mit der 

Driftgeschwindigkeit vd von rechts nach links bewegen, übt das Magnetfeld eine 

nach oben gerichtete Lorentzkraft FL aus (Rechte-Hand-Regel). Dies führt zu 

einer Ladungstrennung, die ihrerseits eine Akkumulation von Ladungen auf der 

Streifenoberfläche zur Folge hat: Die Potenzialdifferenz zwischen oberem und 

unterem Rand des Streifens ist die sog. Hall-Spannung UH


F q ⋅v ⋅B I⋅B I⋅B U = E⋅ b= ⋅ b = ⋅ b = v ⋅B⋅ b = = A ⋅ 

q q N q d d 

L 

H 

( V) 

⋅ ⋅ 

H 

Erläuterung: Bei der mikroskopischen Betrachtung des Stromflusses hatten wir 

gesehen, dass sich der Strom I über I = N( V) ⋅q⋅vd ⋅ A ausdrücken lässt. Für 

einen Metallstreifen der Breite b und Dicke d ist die Querschnittsfläche A = d · b. 

Das Vorzeichen von UH gibt Auskunft darüber, ob q eine positive oder negative 

Ladung ist. Experimentell wird festgestellt, dass UH < 0 ist und damit q = -e ist, 

d.h. die Elektronen übernehmen den Ladungstransport in elektrischen Strömen! 

AH ist die sog. Hall-Konstante (oder auch Hall-Koeffizient). Die AH eines 

metallischen Leiters ist eine der wichtigsten Materialkenngrößen. 

Aus der gemessenen Hall-Spannung eines Materials kann auf die Leitfähigkeit σ, 

die Elektronenbeweglichkeit u, die Hall-Konstante AH oder die 

Ladungsträgerdichte N(V) zurück geschlossen werden: 

A 

H 

1 u 

= = . (Siehe dazu auch V06.) 

N ⋅e 

σ 

( V)


V09 Magnetismus: Definition des Ampère, Magnetischer Fluss 

und Lenz’sche Regel 


• Wir hatten eine weitere, uns im Alltag begegnende Wechselwirkung 

kennen gelernt, den Magnetismus. Im Gegensatz zu elektrischen Feldern 

haben Magnetfelder geschlossene statt offene Feldlinien, Nord- und 

Südpol statt positive und negative Ladung. Magnete können außerdem 

keine Monopole sein (d.h. Nord- und Südpol treten immer paarweise auf, 

egal wie klein der (Permanent-)Magnet wird. 

• Wir hatten ein dem Coulomb’schen Gesetz zur Berechnung der Kraft bzw. 

des elektrischen Feldes E in einem Abstand r von einer Punktladung 

analoges Gesetz zur Berechnung des Magnetfeldes B an einem 

beliebigen Ort kennen gelernt, das sog. Biot-Savart’sche Gesetz. Das 

gestattete uns, Magnetfelder im Inneren von Leiterschleifen oder Spulen 

zu berechnen. 

• Im Inneren von Spulen herrscht ein homogenes Magnetfeld, erkennbar an 

dem parallelen Verlauf der magnetischen Feldlinien, die sich durch 

Eisenspäne sichtbar machen lassen. 

• Das Magnetfeld B setzt sich aus verschiedenen Anteilen zusammen: der 

magnetischen Feldstärke H, die durch freie Ladungsströme in Leitern 

verursacht wird, und dem durch gebundene Kreisströme in 

Permanentmagneten oder magnetisierter Materie verursachte Feld. 

• Bewegte Ladungen können nicht nur Magnetfelder erzeugen, sondern 

ihrerseits von Magnetfeldern in ihrer Bewegung beeinflusst werden. Die 

verantwortliche Kraft ist die sog. Lorentzkraft, die immer senkrecht zur 

Bewegungsrichtung und senkrecht zum Magnetfeld wirkt. 

• Dieses Phänomen lässt sich nutzen, um Ladungen kontrolliert 

abzulenken, wie wir am Beispiel des Fadenstrahlrohres, des 

Massenspektrometers oder des Wien’schen Geschwindigkeitsfilters 

gesehen haben. 

• In einem Massenspektrometer werden positive Ionen in einem senkrecht 

zur Flugrichtung der Ionen orientierten Magnetfeld auf Kreisbahnen 

gezwungen und können so nach ihrem Impuls bzw. ihrer Geschwindigkeit 

sortiert werden. 

• Schließlich hatten wir den Hall-Effekt kennen gelernt. Über den Hall-Effekt 

lassen sich eindeutig die Elektronen als die eigentlichen Ladungsträger 

von Strömen identifizieren (und nicht etwa positive Ladungen).

E3.18 

Stromdurchflossene 

Drehspule im perm. 

Magnetfeld 


5.3.12 Drehmoment auf Leiterschleifen und Magnete: Elektromotor 

Betrachtung der auf eine 

stromdurchflossene Leiterschleife im 

homogenen Magnetfeld wirkenden 

Lorentzkräfte: 

F1 = -F2 

F3 = -F4 

d.h. die Nettokräfte sind Null. In der 

Aufsicht wird allerdings erkennbar, 

dass F3 und F4 ein Drehmoment M 

auf die Schleife ausüben, falls der 

Flächennormaleneinheitsvektor 

der Leiterschleife nicht parallel oder 

antiparallel zu den Magnetfeldlinien B 

zeigt: 

M = r × F (Kraftarm kreuz Kraft) 

a a 

M = ⋅F3 ⋅ sinα + ⋅F4 ⋅sinα 

2 2 

a a 

= ⋅I⋅b⋅B⋅ sinα + ⋅I⋅b⋅B⋅sinα 2 2 

= I⋅a⋅b⋅B⋅sinα = I⋅A⋅B⋅sinα ˆn 

In der Aufsicht erscheint die Leiterschleife zudem Ähnlichkeit mit einem 

elektrischen Dipol µel = q · d zu haben (vgl. V04); sie verhält sich ja in diesem Fall 

auch ähnlich: wie sich ein elektrischer Dipol im elektrischen Feld ausrichtet, 

richtet sich eine stromdurchflossene Leiterschleife im magnetischen Feld so aus, 

dass das Drehmoment Null wird. Daher liegt es nahe, ein magnetisches 

Dipolmoment eines ebenen Kreisstromes I zu definieren: 

µmag := I · A 

wobei A= A ⋅n 

ˆ der Flächenvektor ist (den 

wir schon bei der Besprechung des 

Gauß’schen Gesetzes kennen gelernt hatten 

(V02)). 

Damit lässt sich das Drehmoment M, das in 

einem homogenen statischen Feld B auf 

einen ebenen Kreisstrom I mit dem 

magnetischen Dipolmoment µmag wirkt, auch 

folgendermaßen ausdrücken: 

M = µ mag × B mit dem Betrag M = µ mag ⋅B⋅ sinα 

. 

Auch ein Stabmagnet verhält sich im homogenen Magnetfeld genau wie eine 

stromdurchflossene Leiterschleife: Es wirkt ein Drehmoment, das versucht, den 

Magneten in Feldrichtung zu drehen. 

Zum Vergleich: das Drehmoment auf einen elektrischen Dipol war: 

M = µ el × E .


Hinweis: Verwechseln Sie das magnetische Moment µmag nicht mit der 

Permeabilität µ und der Permeabilitätszahl µr. 

Anwendungen: Elektromotor, Drehspulgalvanometer, ... 

Das Funktionsprinzip eines Elektromotors beruht auf dem durch die Lorentzkräfte verursachten Drehmoment 

einer (Wechsel-) stromdurchflossenen Leiterschleife in einem homogenen statischen Magnetfeld B. Quelle: 

Tipler, Abb. 26.21, S.889 

In einem Elektromotor befindet sich eine drehbar gelagerte Leiterschleife in 

einem homogenen Magnetfeld B. Fließt durch die Leiterschleife der Strom I, dann 

wirkt auf sie so lange ein Drehmoment M, bis das magnetische Dipolmoment µmag 

(das in die gleiche Richtung wie der Flächenvektor A der Schleife zeigt) parallel 

zum B-Feld steht. In diesem Moment wird der Strom durch einen Kommutator 

(Polwender) umgepolt, woraufhin sich das Moment der Schleife schlagartig um 

180° dreht und damit eine Fortsetzung der Drehung der Leiterschleife zur Folge 

hat. 

5.3.13 Die Einheit der Stromstärke, das Ampere, ist über die Kraftwirkung 

zweier paralleler gerader Leiter definiert 

Da Ströme I Magnetfelder B erzeugen, 

Magnetfelder ihrerseits aber 

Lorentzkräfte F auf die Ladungen 

ausüben, müssen sich zwei gerade und 

parallel zueinander angeordnete Leiter 

gegenseitig anziehen, wenn sie in 

gleicher Richtung von Strömen 

durchflossen werden bzw. gegenseitig 

abstoßen, wenn die Stromrichtung 

antiparallel ist: 

FL,2 = q2 

⋅ v2 × B1 

r 

= I2 

⋅Δ l2 

× B1 

r r 

= I2 ⋅Δl2 ⋅B1 ( da B1 

⊥Δl2) 

r µ 0 ⋅I1 

= I2 

⋅Δl2 ⋅ 

2 ⋅π ⋅R 

µ 0 I 

Hinweis: Die Herleitung des Ausdrucks B = ⋅ für das Magnetfeld eines 

2 ⋅π 

R 

langen, geraden, stromdurchflossenen Leiters lässt sich in Lehrbüchern 

nachschlagen. 

Die Lorentzkraft FL,2 pro Längenelement Δl2 beträgt demnach: 

E3.21 

Drehspulgalvanometer 

E3.4 Kraftwirkung 

zwischen zwei parallelen 


Leitern vs. senkrecht 

zueinander 

angeordneten Leitern

E4.2 Induktion durch 

Stabmagnet und Spule 


F µ I ⋅ I 

= 2 ⋅ ⋅ 

Δ 2 4 ⋅πR 

r l 

L,2 

0 1 2 

. 

Die gleiche Überlegung lässt sich für die Lorentzkraft im Leiter 1 durchführen. 

Anhand dieser Gleichung lässt sich die Einheit für die Stromstärke nun genau 

definieren: 

Wenn in zwei geradlinigen, parallelen, sehr langen Leitern, die einen Abstand 

von 1 m voneinander haben, Ströme gleicher Stärke fließen, dann ist der Strom 

in jedem der beiden Leiter genau 1 Ampere (1 A), wenn die Kraft pro 

Einheitslänge (1 m) zwischen den Leitern 2 · 10 -7 N/m beträgt. 

5.3.14 Magnetischer Fluss 

Entsprechend zum elektrischen Fluss Φel = E · A 

(homogene Fläche) bzw. Φ el = E ⋅dA 

(beliebig geformte Oberfläche) (siehe V02) wird 

für B der magnetische Fluss oder auch 

Induktionsfluss Φmag definiert: 

Φ : = B⋅dA. mag 

∫ 

A 

Handelt es sich um eine Spule mit der 

Windungszahl N, dann haben wir N gleiche 

Flächenelemente dA. D.h. die Gleichung muss 

in diesem Fall mit N multipliziert werden: 

Φ : = N⋅ B⋅dA ∫ 

mag, Spule mit NWindungen 

Die Einheit des Magnetischen Flusses ist das Weber (Wb): 

2 

[ Φ mag ] = 1T ⋅ m = 1Wb 

. 

5.3.15 Maxwell-Gleichungen für zeitlich konstante Felder 

Die bisherigen Beobachtungen zu den Eigenschaften elektrischer und 

magnetischer Felder lassen sich in den vier sog. Maxwell-Gleichungen der 

Elektro- und Magnetostatik (d.h. für zeitl. konstante Felder) zusammenfassen: 

(James Clerk Maxwell, 1831-1879, Schottischer Physiker) 

M1 

M2 

M3 

M4 

Q 

Φ el, geschl. Fläche = � ∫E 

⋅ dA= 

ε 

A 

0 

A 

∫ 

A 

Das elektrostatische Feld ist ein Quellenfeld 

(Gauß’scher Satz) 

Ugeschl. Weg = ∫ E ⋅ ds 

= 0 Das elektrische (oder besser elektrostatische) 

� Feld E ist wirbelfrei, d.h. in der Elektrostatik gibt 

s 

keine geschlossenen elektrischen Feldlinien. 

∫ B⋅ d s = µ 0 ⋅I 

Das Magnetfeld ist ein Wirbelfeld 

� 

s 

� ∫ 

Φ = ⋅ = 

mag, geschl. Fläche B 

A 

dA 

0 

(Ampère’sches Durchflutungsgesetz). 

Das Magnetfeld besitzt keine Quellen (d.h. der 

Induktionsfluss durch eine geschlossene Fläche 

ist immer gleich Null, da immer gleich viele 

Feldlinien durch die Fläche ein und austreten).


Sind die E- und B-Felder aus den Maxwell-Gleichungen berechnet worden, dann 

lässt sich die Kraft angeben, die auf eine mit der Geschwindigkeit v bewegte 

Ladung in diesen Feldern wirkt: 

F = q⋅ E + ( q⋅ 

v × B ) 

Zudem lässt sich über die spezielle Relativitätstheorie folgender Zusammenhang 

herleiten: 

1 

ε 0 ⋅ µ 0 = 2 

c 

mit c = 2,997 924 58 · 10 8 m·s -1 : Lichtgeschwindigkeit im Vakuum; und die bereits 

genannten Feldkonstanten: ε0: elektrische Feldkonstante (des Vakuums), 

[ε0] = A·s/(V·m); µ0: magnetische Feldkonstante (des Vakuums); [µ0] = V·s/(A·m). 

Anmerkung: Wir werden diesen Zusammenhang noch einmal in der Optik zur 

Bestimmung des sog. Brechungsindex=optische Dichte eines Materials 

aufgreifen.


V10 Magnetodynamik 


• Werden Leiterschleifen, in denen ein Strom fließt, einem homogenen 

Magnetfeld ausgesetzt, dann wirkt auf sie ein durch die Lorentzkraft 

bedingtes Drehmoment, das die Schleifenfläche senkrecht zum 

Magnetfeld ausrichtet, d.h. der Flächennormalenvektor auf der Schleife 

zeigt damit in Richtung der Magnetfeldlinien. Dies gestattete es uns, 

einen Elektromotor oder ein Drehspulgalvanometer zu bauen. 

• Auch auf zwei parallele stromdurchflossene Leiter wirken anziehende 

Lorentzkräfte. Dabei werden die erforderlichen Magnetfelder von den 

Strömen selbst erzeugt. Über diese Anziehungskraft ist die Einheit der 

Stromstärke, das Ampère, definiert. 

• Der sog. magn. Fluss ist analog zum elektrischen Fluss, den wir als 

gauß’schen Satz kennen gelernt hatten, als Zahl der magnetischen 

Feldlinien definiert multipliziert mit der Fläche, durch die sie 

hindurchtreten. 

• Die Aussagen der Elektrostatik und der Magnetostatik ließen sich in den 4 

sog. Maxwell’schen Gleichungen zusammenfassen; deren Kernaussagen 

sind: Elektrostatische Felder sind wirbelfreie Quellenfelder; Magnetfelder 

sind quellenfreie Wirbelfelder. 

5.4 Magnetodynamik 

5.4.1 Magnetische Induktion 

Wir hatten gesehen, dass ein Strom, der durch einen Draht fließt, ein Magnetfeld 

erzeugt. Umgekehrt kann ein Magnetfeld einen Strom erzeugen, d.h. Ladungen 

in eine gerichtete Bewegung versetzen, allerdings nur, wenn sich B zeitlich 

ändert. 

Bisweilen kann man beim Herausziehen eines Netzsteckers einen kleinen 

Funken beobachten. Bevor der Netzstecker herausgezogen wird, erzeugt der im 

Kabel fließende Strom ein Magnetfeld, das konzentrisch das Kabel umgibt. Beim 

Herausziehen des Netzsteckers wird dieser Strom abrupt unterbrochen. Das 

zusammenbrechende Magnetfeld erzeugt eine Spannung, die dem 

Zusammenbrechen des Stroms entgegenwirkt, was sich dann in Form des 

überspringenden Funkens bemerkbar macht. Ist das Magnetfeld auf null 

zurückgegangen, so wird selbstverständlich auch keine Spannung mehr erzeugt. 

Spannungen und Ströme, die durch die Veränderung von Magnetfeldern 

entstehen, bezeichnet man als Induktionsspannungen und Induktionsströme. 

Den Vorgang selbst nennt man magnetische Induktion. Die Größe der 

Induktionsspannung hängt nicht von der absoluten Größe des magnetischen 

Flusses ab, sondern nur von der Geschwindigkeit, mit der er sich zeitlich ändert. 

Anmerkung: Sie sehen, dass der Begriff der Geschwindigkeit allgemein zu 

verstehen ist als Änderung einer Größe pro Zeiteinheit. Es muss also nicht immer 

die Strecke ds sein, die pro Zeiteinheit dt zurückgelegt wird.


5.4.2 Induktionsspannung und Faraday’sches Gesetz 

Experimentell lässt sich zeigen, dass in einem 

zeitlich veränderlichen Magnetfeld dB/dt in 

einer Leiterschleife eine Spannung erzeugt 

wird. D.h. jede Änderung des magnetischen 

Flusses Φmag durch eine Leiterschleife induziert 

(lat. inducere: herbeiführen) eine Spannung Uind 

in dieser Schleife, deren Stärke proportional zur 

Änderung des Flusses Φ mag /dt und diesem 

entgegen gerichtet ist. 

dΦd U = E ⋅ ds =− =− B⋅dA ind 

mag 

∫ 

Schleife dt dt ∫ 

A 

Faraday’sches Induktionsgesetz 

Die wesentliche Erkenntnis ist, dass ein sich 

änderndes Magnetfeld B von einem 

quellenfreien elektrischen Wirbelfeld umgeben 

ist. 

Sind N Leiterschleifen hintereinander als Spule 

angeordnet, dann ist die induzierte Spannung 

auch N-mal so groß. 

Ein sich zeitlich änderndes Magnetfeld B 

(zeigt in Papierebene hinein) erzeugt 

eine induzierte Spannung U, deren 

elektrisches Feld in 

Gegenuhrzeigerrichtung zeigt. Da sich 

positive Ladungen immer entlang der E- 

Feldlinien bewegen und die techn. 

Stromrichtung I für pos. Ladungen gilt, 

zeigt I ebenfalls in 

Gegenuhrzeigerrichtung. (Das neg. 

Vorzeichen kehrt also die Rechte-Hand- 

Regel um.) Die beschriebenen 

Richtungen kehrten sich um, wenn das 

Magnetfeld aus der Papierebene 

herauszeigte. Quelle: Tipler, Abb. 26.5, 

S. 879 

Eine Spannung wird immer induziert, egal, ob die Leiterschleife offen ist (dann ist 

die Spannung an deren Enden messbar) oder geschlossen. Ein Induktionsstrom 

kann natürlich nur dann fließen, wenn die Leiterschleife geschlossen ist (oder in 

einer offenen Schleife nur dann, wenn sich das B Feld periodisch, d.h. mit einer 

sin oder cos-Funktion ändert. Dazu mehr bei der Besprechung von Antennen). 

Statt das Magnetfeld zu ändern, gestattet es das Faraday-Gesetz auch, die 

Leiterschleifenfläche dA zeitlich zu ändern. 

a) Diese kann sich zum einen durch Änderung der relativen Orientierung von 

B-Feld und Flächenvektor dA zueinander durch Klappen oder Drehen von 

α auf β ändern, d.h. durch Verstellen des Zwischenwinkels zwischen den 

beiden Vektoren B und dA. Wie aus der Abbildung ersichtlich, ändert sich 

damit der effektive Flächenanteil, der senkrecht zum Magnetfeld steht, 

von A zu A⊥. 

(Erinnern Sie sich daran, dass in 

einem Skalarprodukt der 

Zwischenwinkel der beiden 

Vektoren im cos auftaucht.) Wir 

werden auf die Berechnung der 

induzierten Spannung bei der 

Besprechung von Wechselstrom- 

Generatoren als Umkehrung 

eines Elektromotors noch zu 

sprechen kommen. 

b) Alternativ lässt sich die Fläche durch Verschiebung eines Leiterbügels 

vergrößern oder verkleinern, wie die folgende Skizze veranschaulicht:


Wird der Bügel mit der 

Geschwindigkeit v über die 

Leiterschleife durch das B- 

Feld gezogen, werden die 

Elektronen in dem Bügel mit 

der Geschwindigkeit v 

senkrecht zum B-Feld 

transportiert. Nach der 

Rechte-Hand-Regel 

beschleunigt die Lorentz-Kraft 

FL=−e⋅ ( v × B ) also die Elektronen senkrecht zur Bewegung des Bügels 

und senkrecht zum B-Feld (wegen Vektorprodukt!), was eine zusätzliche 

Bewegung der Elektronen längs des Bügels zur Folge hat. Aus dieser 

Kraft resultiert eine Ladungstrennung, also eine induzierte Spannung Uind, 

deren elektrisches Feld die Elektronenbewegung hemmt. Das 

Gleichgewicht ist dann erreicht, wenn die bremsende Coulombkraft FE 

gleich der antreibenden Lorentz-Kraft FL ist: FE = FL, also e·E = e·v·B. 

E = Uind/b ist dabei die elektrische Feldstärke im Metall. Daraus folgt: 

Uind = b⋅v ⋅ B. 

Mithilfe von v = dx/dt folgt: 

dx db ( ⋅ x) dA 

Uind = b⋅ ⋅ B = ⋅ B = ⋅ B 

dt dt dt 

Zusammenfassung der Beobachtungen: 

Induktionsvorgänge. Quelle: Hering, Martin, Stohrer, „Physik für Ingenieure“, Abb. 4-118 

D.h. anders als in der Elektrostatik, in der das zweite Maxwell’sche Gesetz 

besagt, dass die Spannung U entlang einer geschlossenen Kurve (Schleife) 

immer gleich Null ist, d.h. das durch ruhende Ladungen q erzeugt EQelle ein 

‚konservatives’ Quellenfeld ist, verhält sich in der Magnetodynamik das 

elektrische Wirbelfeld EWirbel einer induzierten Spannung nicht-konservativ, d.h. 

die induzierte Spannung Uind ist ungleich Null. 

Das negative Vorzeichen bedeutet Folgendes: 

Die durch Induktion erzeugten Felder, Kräfte und Ströme sind stets so gerichtet, 

dass sie dem die Induktion einleitenden Vorgang (d.h. der Ursache der Induktion) 

entgegenwirken.


Dieses Prinzip ist als Lenz’sche Regel bekannt. (Heinrich Lenz, 1804 – 1865, 

deutscher Physiker) 

Bewegt sich der Stabmagnet auf den leitenden Ring zu, so fließt aufgrund der induzierten Spannung 

Uind ein Strom Iind in der eingezeichneten Richtung. Dieser Strom erzeugt seinerseits ein Magnetfeld 

(gestrichelt gezeichnet), das der magn. Flusszunahme im Ring entgegenwirkt, die ja durch die 

Annäherung des Magneten hervorgerufen wird. 

Die Lenz’sche Regel folgt aus dem Energieerhaltungssatz. (Ansonsten würde ein 

leichtes Anstoßen eines Stabmagneten in Richtung Ring den Magneten zum 

Ring hin automatisch beschleunigen, wobei gleichzeitig ein immer größerer 

Stromfluss erzeugt würde.) 

So wie in diesem Bild schießen wir heute unsere Raumfahrtmissionen ins All. Falls wir eines Tags 

beginnen sollten, Bergbau auf dem Mond oder auf Asteroiden zu betreiben, wo wir keine Treibstoffquellen 

für solche konventionellen Raketen haben, werden wir effizientere Methoden brauchen. 

Elektromagnetische Abschussrampen könnten eine Lösung sein. Eine Induktionsschleuder (rechts) oder 

eine sog. „elektromagnetische Kanone“ kann heute schon ein Projektil innerhalb einer Millisekunde aus 

der Ruhe auf eine Geschwindigkeit von 10 km/s (36000 km/h) beschleunigen. Quelle: Halliday, Kapitel 30; 

Demtröder, Abb. 4.10, S. 121. 

Wird der Induktionsstrom innerhalb eines Leiters (und nicht in einem Stromkreis) 

erzeugt, wird von Wirbelströmen gesprochen. Die dort erzeugte Joule’sche 

Wärme ist so groß, dass sehr viel mechanische Energie ‚verbraucht’ wird. 

Anwendung: Wirbelstrombremse, Schwingungsdämpfung bei empfindlichen 

Waagen, Induktionsherde. 

E4.20 Induktionspendel 

E4.11 

Induktionsschleuder

Internetinfos: 

http://www.schuelerlexiko 

n.de/SID/5a50998cb99a 

0e5c3498f6e1b3a52ab0/l 

exika/physek2/cont/cont0 

400/cont0407/full.htm 

E4.14 

Wirbelstrombremse 


Da B-Felder über den Raum wirken, lässt sich über die zeitliche Änderung des B- 

Feldes einer Spule in einer zweiten Spule einen Strom/eine Spannung 

induzieren. Dies lässt sich z.B. in Transformatoren ausnutzen (s. V12). 

Unterschieden wird zwischen gegenseitiger Induktion (zwischen zwei Spulen) 

und Selbstinduktion (z.sB. innerhalb einer Spule, in der ein zeitlich nichtkonstanter 

Strom ein zeitlich nicht-konstantes Magnetfeld aufbaut, das 

seinerseits in derselben Spule eine Gegenspannung induziert und damit den 

Stromfluss behindert (s.a. An- und-Abschaltvorgänge in einer der nächsten 

Vorlesungen; Wechselstrom in Spulen)). 

Um nicht jedes Mal das Integral Φ mag = B⋅dA berechnen zu müssen, wird 

jeder (Spulen-) Anordnung eine skalare Größe, die Induktivität L zugeordnet, die 

auch Selbstinduktionskoeffizient genannt wird: 

∫ A 

Φ mag = B⋅ dA = L⋅I , wodurch 

Uind L 

dt 

∫ A 

dI 

=− ⋅ wird. 

Die Induktivität einer eng gewickelten Zylinderspule ist direkt proportional zum 

Quadrat der Windungszahldichte n (Zahl der Windungen pro Länge l ) und dem 

Volumen A· l : 

2 

L = µ 0 ⋅n ⋅A⋅ l = const 

Die Einheit der Induktivität ist das Henry (H) (Joseph Henry, 1797 –1878, 

amerikanischer Wissenschaftler) 

V ⋅ s 

[ L] = 1 = 1H 

. 

A 

.


V11 Magnetismus in Materie 


• Wir hatten gesehen, dass sich (gemäß des Faraday’schen 

Induktionsgesetzes) durch zeitlich verändernde Magnetfelder in 

geschlossenen Leiterspulen Spannungen und Ströme induzieren können. 

Sie wirken gemäß der Lenz’schen Regel ihrer Ursache entgegen. Die die 

Spannung erzeugenden elektrischen Felder sind hier (in der 

Elektrodynamik), anders als in der Elektrostatik, Wirbelfelder. 

5.5 Magnetismus in Materie 

5.5.1 Materie im Magnetfeld 

Wie beim Einbringen von Materie (Dielektrikum) in ein elektrisches Feld E (z.B. 

Kondensator) wird auch ein Magnetfeld B durch Materie beeinflusst. Das B-Feld 

einer Spule wird z.B. durch das Einbringen von Eisen (Fe) ins Innere der Spule 

vergrößert, es gilt 

BMaterie = μr · BVakuum = μr · μ0 · HVakuum 

mit 

H: magnetische Feldstärke (also das durch freie Ströme erzeugte Magnetfeld), 

μ0 Permeabilität des Vakuums bzw. magnetischen Feldkonstante und 

μr: relative Permeabilität und (s.a. V08 und V09), die definiert ist als 

Induktivität einer Ringspulemit Material L 

µ r : = = . 

Induktivität einer RingspuleimVakuum L 

Wie in V04 und V10 gesehen, werden sowohl im elektrischen Feld (elektrische) 

als auch im Magnetfeld (magnetische) Dipolmomente induziert und permanente 

Dipole ausgerichtet. 

5.5.2 Magentisches Dipolmoment eines Elektrons: das Bohr’sche 

Magneton 

Woher kommen die magnetischen Dipolmomente in Materie, wenn diese doch 

eigentlich durch Kreisströme (in Leiterschleifen) erzeugt werden? 

Im Rahmen des Bohr’schen Atommodells bewegen sich die Elektronen auf 

Kreisbahnen um den Atomkern. Diese Bewegung, die häufig über den sog. 

Bahndrehimpuls beschrieben wird, verleiht ihnen ein magnetisches 

Dipolmoment. (Zusätzlich hat jedes Elektron ein eigenes magnetisches Moment, 

das mit seinem sog. Spin (Eigendrehimpuls) verbunden ist.) 

In abgeschlossenen Schalen gibt es genauso viele e - , die rechts wie links herum 

um den Kern umlaufen, so dass nach außen kein permanentes Dipolmoment 

sichtbar ist; dieses tritt allerdings bei ungepaarten Elektronen auf. 

Für den Strom eines einzelnen e - auf einer Bahn mit Radius R, einer 

2 ⋅π⋅R Geschwindigkeit v = , einer Umlaufzeit T und einer Masse me gilt: 

T 

−e −e⋅v I = = . 

T 2 ⋅π⋅R vak 

E3.23 

Magnetfeldverstärkung 

durch Eisen


Jedes Elektron hat klassisch gesehen damit einen 

Drehimpuls (Bahndrehimpuls) ur 

l = R x p = R x m · v 

oder betragsmäßig l = R · m · v (für v ⊥ R) (s. Physik 

1). Damit ergibt sich für das magnetische Dipolmoment 

µmag eines Elektrons mit der Ladung q = -e: 

μmag 

−e⋅v 2⋅π⋅ R 

−e 2⋅m −e 

2⋅m 

oder vektoriell 

2 

= I⋅ A= ⋅π⋅ R = ⋅v ⋅R⋅ m = ⋅ 

µ 

mag 

e ur 

=− ⋅l 

. 

2 ⋅ m 

Das Postulat stabiler Elektronenbahnen führt zu einer 

Quantisierung des Bahndrehimpulses ur 

l , der nur ein 

Vielfaches der Größe h = h/(2·π) sein kann. Das 

magnetische Dipolmoment 

ur 

eines Elektrons mit dem 

Bahndrehimpuls l = h wird auch Bohr’sche 

Magneton µB genannt und hat den Betrag 

e h e 

µ B = ⋅ = ⋅ = ⋅ A⋅m 2⋅m 2⋅π2⋅m −24 

2 

h 9,273 10 , 

wobei h = 6,626 075 5 · 10 -34 J·s das Planck’sche 

Wirkungsquantum ist. 

Frage: Überprüfen Sie anhand der Einheiten von l und 

h, ob die Gleichsetzung von Drehimpuls und 

Wirkungsquantum statthaft ist. 

l 

Ein Elektron bewegt sich mit der 

Tangentialgeschwindigkeit v auf 

einer Kreisbahn im Abstand R 

um den positiven Atomkern und 

hat daher einen Bahndrehimpuls 

ur 

l , der als Vektor senkrecht aus 

der Papierebene zeigt. 

Quelle: Tipler, Abb. 27.2, S.917 

Der Zusammenhang zwischen der magnetischen Größe µmag und der 

mechanischen Größe ur 

l heißt magneto-mechanischer Parallelismus. 

Der Quotient aus beiden Größen 

µ mag e 

γ l = r =− 

l 2 ⋅ m 

wird magnetogyrisches oder gyromagnetisches Verhältnis (hier des 

Elektrons) genannt. 

Für den Spin eines jeden e - gilt analog: 

µ e 

= , 

s m 

mag 

γ =− 

wobei sich experimentell ergibt, dass γ doppelt so groß wie im Fall des 

Bahndrehimpulses ist. Allgemein lässt sich dieser Zusammenhang formulieren 

als 

mit den g-Faktoren gl = 1 und gs = 2. 

µ e 

γ = =−g⋅ L 2 ⋅ m


5.5.3 Magnetisierung 

1 

Wie im elektrischen Feld die Polarisation P = ⋅∑µ 

el, i (s.a. V04) wird hier die 

V i 

Magnetisierung M eingeführt als Vektorsumme aller magnetischen Dipolmomente 

(induziert oder permanent) pro Volumeneinheit V: 

mit der Einheit [M] = 1 A 

m . 

5.5.4 Magnetische Suszeptibilität 

1 

M = ⋅∑µ 

V 

Die von den atomaren Strömen in Materie herrührende Magnetisierung M ist der 

andere Anteil an der Gesamtmagnetisierung B (neben der von den „freien 

Strömen“ (in Leitern) herrührenden magnetischen Feldstärke H, die wir in V09 

beschrieben hatten). D.h. B = µ · H = µr · µ0 · H lässt sich jetzt formulieren über 

0 

i 

mag, i 

( ) µ B = H + M . 

Experimentell zeigt sich (für nicht allzu großes H), dass M ∝ H ist. 

M = χ ⋅H 

mag 

mit der magnetischen Suszeptibilität χ mag (lat. suscipere: annehmen, 

übernehmen), einer Materialkonstanten als Proportionalitätsfaktor. Ihr Wert 

nimmt in der Regel mit steigender Temperatur ab. Daraus ergibt sich also 


B = µ ⋅µ ⋅ H= µ ( H + χ ⋅ H) = µ (1 + χ ) ⋅H 

r 0 0 mag 0 mag 

µ = 1+ 

χ . 

r mag 

Das magnetische Verhalten aller Stoffe lässt sich über die magnetische 

Suszeptibilität χ mag in fünf Kategorien einteilen, von denen drei genauer 

besprochen werden: 

Typ Beispiel Suszeptibilität 

Diamagnete Silber, Blei, Kupfer χ m < 0 

Paramagnete Luft, Platin, Aluminium χ m > 0 

} 

Ferromagnete Eisen, Kobalt, Nickel χ m > 0 

Ferrimagnete χ m > 0 } 

Antiferromagnete χ m ~ 0 

⏐χ⏐ > 1 

E3.28 

Magnetisierung/Entmagnetisierung 

E3.30 Ferro., Para- und 

Diamagneten im 

Magnetfeld


Magnetisierungsverhalten und magnetische 

Suszeptibilität einiger Stoffe. Quelle: Demtröder, Abb. 

3.42 und Tab. 3.2, S. 104 

Es lässt sich feststellen, dass in diamagnetischen Materialien nur gepaarte e - 

vorkommen, in para- und ferromagnetischen ungepaarte (= perm. magnetische 

Dipolmomente). 

5.5.5 Diamagnetismus 

Da keine permanenten magnetischen Dipolmomente vorhanden sind, werden 

diese offensichtlich gem. der Lenz’schen Regel induziert. Da demnach induzierte 

Magnetfelder den äußeren Feldern immer entgegengesetzt sind, ist χ m < 0. χ m 

≠ f (T). 

5.5.6 Paramagnetismus 

Atome paramagnetischer Stoffe besitzen permanente magnetische 

Dipolmomente, die aber ohne äußeres Feld statistisch verteilt sind, so dass die


äußere Magnetisierung 0 ist. Im äußeren Feld wirkt aber ein Drehmoment, das 

die Dipole teilweise parallel zum Feld ausrichtet, so dass das B-Feld vergrößert 

wird. 

Es gilt: χ m ∼ 1 

T (Curie-Gesetz) 

5.5.7 Ferromagnetismus 

χ m ist hier sehr groß. Wird das Material im B-Feld magnetisiert, kann dieses 

später abschaltet werden, wobei eine Magnetisierung bestehen bleibt 

(Remanenz MR). 

Man benötigt das B-Feld BK 

(Koerzitivkraft) in 

entgegengesetzter Richtung 

zur Entmagnetisierung. Eine 

solche Kurve, die 

unterschiedliche Werte je 

nach Richtung der 

Veränderung zeigt, heißt 

Hysteresekurve (von gr. 

hysteros: später, hinterher). 

MR: Remanenzmagnetisierung, Ba: äußeres Magnetfeld, BK: 

Koerzitivfeldstärke. Quelle: Demtröder, Abb. 3.46, S.106 

Die Magnetisierung hängt also nicht in einfacher Weise vom äußeren Magnetfeld 

Ba ab, sondern von der Vorgeschichte des Materials. Erklärung: In 

Ferromagneten gibt es mikroskopische Bereiche, die Weiß’schen Bezirke, in 

denen alle atomaren Dipolmomente durch eine hohe Wechselwirkung parallel 

zueinander ausgerichtet sind. Ohne Feld sind diese Bereiche zunächst statistisch 

in ihrer Orientierung. Legt man ein Feld an, dann „springen“ alle magnetischen 

Momente eines Bezirks gleichzeitig in Magnetfeldrichtung. 

Die von der Kurve umschlossene Fläche ist proportional zur Energie, die in dem 

irreversiblen Prozess der Magnetisierung bzw. Entmagnetisierung als Wärme 

umgewandelt wird. Ist sie klein, d.h. tritt nur geringe Wärmeentwicklung auf, wird 

das Material ‚magnetisch weich’ bezeichnet (z.B. Weicheisen im Transformator, 

s.a. V14), andernfalls ‚magnetisch hart’ (z.B. die Legierung Alnico 5 in 

Festplatten, wo eine hohe Remanenz wünschenswert ist). 

Diese Ordnung ist stark 

temperaturabhängig. Oberhalb der 

sog.paramagnetischen Curie- 

Temperatur Tc sind deshalb alle 

Ferromagneten paramagnetisch, da die 

statistische Temperaturbewegung die 

ausrichtende Wechselwirkung 

übersteigt. 

χ m = 

C 

T - T 

mit der Materialkonstanten C (Curie- 

Konstante, [C] = 1 K). 

C 

Elektronenspins im Ferromagnet a) im 

„entmagnetisierten“ Zustand bzw. bei hohen 

Temperaturen T > TC; b) mit äußerem Magnetfeld 

und nach dessen Abschalten unterhalb der 

Sättigung. Quelle: Demtröder, Abb. 3.51, S.109 

E3.24 Weiß'sche Bezirke 

E3.25 Barkhausen-Effekt 

E3.33 Curie-Punkt mit 

Nadelerhitzung


In Antiferromagneten sind zwei 

Kristallgitter so ineinander gebaut, dass 

immer zwei Spins und damit zwei 

magnetische Momente antiparallel 

gerichtet sind. Dies trifft auch auf 

Ferrimagnete zu; allerdings 

kompensieren sich hier die 

magnetischen Momente nicht 

vollständig. 

Antiferromagnet 

Ferrimagnet


V12 Trafos 


• Das magnetische Dipolmoment eines einzelnen Elektrons lässt sich über 

das sog. Bohr’sche Magneton beschreiben. Dieses magnetische Moment 

ist über den sog. g-Faktor direkt proportional zum Bahndrehimpuls des 

Elektrons auf der ersten Bahn um das Proton im Wasserstoffatom im 

Bohr’schen Atommodell. 

• Ähnlich wie sich Dielektrika in elektrischen Feldern polarisieren lassen, 

können Stoffe auch magnetisiert werden. Bei Ferroelektrika bleibt diese 

Magnetisierung auch nach Abschalten des äußeren Magnetfeldes 

erhalten. Die Magnetisierung M ist die Summe der magnetischen 

Dipolmomente dividiert durch das Substanzvolumen. 

• Diese Magnetisierung ist proportional zur durch Ströme in Spulen 

erzeugten magnetischen Feldstärke H. Die Proportionalitätskonstante ist 

die sog. magnetische Suszeptibilität χ (lat. suscipere: annehmen; 

angenommenes / übernommenes Magnetfeld). Je höher die 

Suszeptibilität, desto leichter ist das Material magnetisierbar. 

Diamagnetische Stoffe widersetzen sich einer Magnetisierung; sie haben 

negative Suszeptibilitäten. 

• Oberhalb der Curie-Temperatur verhindert die thermische Energie die 

konzertierte Ausrichtung der magnetischen Dipolmomente in 

Ferroelektrika. Die Weiß’schen Bezirke lösen sich auf, das 

Ferroelektrikum verliert infolge seine Magnetisierung. 

• Werden Leiterschleifen, in denen ein Strom fließt, einem homogenen 

Magnetfeld ausgesetzt, dann wirkt auf sie ein durch die Lorentzkraft 

bedingtes Drehmoment, das die Schleifenfläche senkrecht zum 

Magnetfeld ausrichtet, d.h. der Flächennormalenvektor auf der Schleife 

zeigt damit in Richtung der Magnetfeldlinien. Dieses Phänomen hatten wir 

genutzt, um z. B. Elektromotoren zu bauen. Wir werden heute sehen, 

dass wir auch umgekehrt vorgehen können. Wenn wir eine Leiterschleife 

im Magnetfeld mechanisch drehen, sollten sich Ladungen in Bewegung 

setzen, d.h. es lassen sich Ströme induzieren. 

5.6 Wechselstrom und Drehstrom 

5.6.1 Erzeugung von Wechselstrom durch eine sich drehende Spule im 

Magnetfeld 

Nach dem Faraday’schen Gesetz war die in einem sich ändernden Magnetfeld in 

einer Leiterschleife erzeugte Induktionsspannung (s.a. V11): 

dΦd U = E ⋅ ds =− =− B⋅dA. ind 

mag 

∫ 

Schleife dt dt ∫ 

A 

Wird zur Vereinfachung ein planare Leiterschleifenfläche A bzw. ihr 

Flächenvektor A betrachtet (d.h. also A= dA= A⋅n), 

ˆ so ist aus der Ableitung 

im Faraday-Gesetz unter Berücksichtigung der Produktregel der 

Differenzialrechnung ersichtlich, dass sich eine Spannung entweder durch 

Änderung des Magnetfeldes dB 

bei zeitlich konstantem Flächenvektor A 

dt 

∫ 

A

E4.21 

Wechselstromgenerator 


und/oder durch zeitliche Änderung des Flächenvektors dA 

und zeitlich 

dt 

konstantem Magnetfeld B erzeugt werden kann: 

U 

ind 

d( B⋅A) ⎛dB dA 

⎞ 

=− =−⎜ ⋅ A+ ⋅B 

⎟. 

dt ⎝ dt dt ⎠ 

Zeitlich veränderliche Bs ließen sich durch Drehung von Permanentmagneten 

erzeugen, zeitlich veränderliche As durch Drehung der Leiterschleifen; letzteres 

ist technisch einfacher zu realisieren und entspricht genau der Anordnung, die wir 

schon bei Elektromotoren kennen gelernt hatten; lediglich die Operationsweise ist 

umgekehrt: statt einen Strom durch die Leiterschleife zu schicken, um eine 

mechanische Drehbewegung der Schleife zu erzeugen, wird durch eine 

mechanische Drehung der Schleife (z.B. Wasserräder am Wasserfall, 

Dampfturbine (über Kohle oder Kernkraft), Windräder) ein Strom in der Schleife 

induziert. 

Das Funktionsprinzip eines Generators beruht auf dem durch das Drehen einer Leiterschleife mit einer 

Winkelgeschwindigkeit ω in einem homogenen Magnetfeld B erzeugten Induktionsstrom, wie er durch das 

Faraday’sche Gesetz beschrieben wird. Quelle: Tipler, Abb. 26.21, S.889 

Eine sich mit der Winkelgeschwindigkeit ω in einem zeitlich konstanten 

(Permanent-) Magnetfeld B drehende Leiterschleife induziert eine sinusförmige 

ϕ 

Wechselspannung U~ der Frequenz ω= , die sich an den beiden Enden der 

t 

Leiterschleife abgreifen lässt: 

Quelle: Großes Buch der Physik, compact Verlag, S. 283


U 

~, ind 

d( 

B⋅A) =− 

dt 

dB dA 

=− ⋅A− ⋅B 

dt dt 

dA dB 

= − ⋅ B ( für B = const., also = 0) 

dt dt 

dA ( ⋅B⋅cos α ) 

=− 

dt 

dA ( ⋅B⋅cos( ω⋅t)) α 

=− ( wegenω 

= ) 

dt t 

= A⋅B⋅ω⋅sin( ω⋅t) 

( wegen innerer Ableitung) 

= U ⋅sin( ω⋅ t) ( mitU = U = A⋅B⋅ ω = const. für Leiterschleife 

0 0 max 

bzw. U0 = N ⋅A⋅B⋅ωfür eineSpulemitNWindungen) 

Liegt diese an einem Widerstand R an, so fließt (gemäß dem Ohm’schen Gesetz 

U = R·I) der Wechselstrom (im Englischen AC für “alternating current” im 

Gegensatz zum Gleichstrom DC für “direct current”) 

I~ = I0 · sin (ω·t). 

In unserem Stromnetz beträgt die Frequenz der Wechselspannung 

Sie besitzt damit die Kreisfrequenz 

ω 

ν = = 50 Hz . 

2 ⋅π 

( ) 

ω = 2⋅π ⋅ ν = 314 rad 

. 

s 

Die Periode (Schwingungsdauer) T für eine Schwingung beträgt demnach 

Die Leistung ist 

Für den Mittelwert gilt 

T T 

2⋅π 1 

T = = = 20 ms . 

ω ν 

P = U ⋅ I = U0 · I0 · sin 2 (ω·t). 

1 1 2 1 2⋅π 

Pt () = ⋅∫Ut () ⋅ Itdt () = ⋅∫U0 ⋅I0 ⋅sin (ω ⋅ t) = ⋅U0 ⋅ I0 ( mitT = ) . 

T T 

2 

ω 

0 0 

Wechselstrom und Wechselspannung (hier als cos- 

statt sin-Funktion, d.h. um 90° phasenverschoben) 

Mittlere Leistung des Wechselstroms bzw. der 

Wechselspannung. Quelle: Demtröder Abb. 5.9 

und 5.11, S. 140f.


U0 

I0 

Ein von einer Gleichspannung U = = erzeugter Gleichstrom I = = hätte die 

2 

2 

gleiche mittlere Leistung wie der Wechselstrom U~ mit den Amplituden U0 und I0. 

Diese Werte werden deshalb Effektivwerte genannt. Unsere Netzspannung hat 

Ueff= 220 V, d.h. U0 = 220 V⋅ 2 = 311 V. 

Wird am Kollektor der Leiterschleife (oder Spule) im richtigen Augenblick (d.h. 

wenn A || B) umgepolt, dann wird eine pulsierende Gleichspannung (‚gleich’ für 

gleiches Vorzeichen) erzeugt. Auch (Halbleiter-) Dioden erzeugen 

Gleichspannungen, da sie Ströme nur in einer Richtung durchlassen (mehr zu 

Dioden in einer folgenden Stunde). 

Kollektor an einer Leiterschleife (Draufsicht, links) und dadurch erzeugte pulsierende Gleichspannung 

(rechts) Quelle: Demtröder Abb. 5.2, S. 136. 

5.6.2 Ein Drehstrom hat eine höhere Leistungsdichte 

Quelle: Staudt, Abb. 6.98, S. 102. 

Werden 3 gleiche Spulen (R, S, T-Spulen), die auf einer gemeinsamen Achse um 

120° versetzt montiert sind, im homogenen B-Feld rotiert, werden in jeder der 

Spulen Wechselspannungen erzeugt, die eine Phasendifferenz von 120° bzw. 

240° zueinander haben: 

UR = U0 sin ω·t 

US = U0 sin (ω·t – 120°) 

UT = U0 sin (ω·t – 240°) = U0 sin (ω·t + 120°) 

Drehstrom muss in 3 Leitungen transportiert werden. Es wird eine höhere 

elektrische Leistung erzielt.


5.6.3 Transformatoren wandeln Wechselspannungen ohne 

Leistungsverlust von einer Eingangsspannung in eine (andere) 

Ausgangsspannung 

Da einige elektronische Geräte nicht mit 220 V arbeiten, sondern niedrigere oder 

höhere Spannungen benötigen, muss die Netzspannung gewandelt werden. 

Der Transformator nutzt die Tatsache aus, dass eine von Wechselstrom 

durchflossene Spule in einer dicht benachbarten Spule eine Wechselspannung 

induziert. Die Spule, die von der zu transformierenden Spannung versorgt wird, 

wird Primärspule bezeichnet, die andere als Sekundärspule. Beide Wicklungen 

können als Primär- und Sekundärspule fungieren. 

Funktionsweise: Der Wechselstrom in der Primärspule erzeugt ein sich 

periodisch änderndes Magnetfeld, das den das Magnetfeld verstärkenden 

Eisenkern periodisch (um-)magnetisiert (Magnetfeld und magnetischer Fluss 

Φmag im Inneren einer Spule: V10; Magnetisierung: V11). 

Der Eisenkern überträgt gleichzeitig 

das sich mit der Wechselstromfrequenz 

ω ändernde Magnetfeld B ins Innere 

der Sekundärwicklung, wo es nach 

dem Faraday’schen Gesetz (V10) in 

dieser eine Wechselspannung U~,ind 

und damit einen Wechselstrom I~,ind 

induziert. 

Quelle: Staudt, Abb. 6.116, S.121 

Da beide Spulen nicht direkt miteinander verbunden sind, kann auch kein Strom 

zwischen ihnen fließen. Im Transformator wird Energie bzw. Leistung zwischen 

den beiden Spulen über das sich ändernde Magnetfeld im Eisenkern transportiert 

und nicht etwa elektrische Ladung! 

Zur Vermeidung von Wirbelstromverlusten besteht der Eisenkern aus 

voneinander isolierten und verklebten Eisenblechen. 

Überlegen Sie sich, in welcher Ebene/Schnittfläche des Eisenkerns Wirbelströme 

auftreten könnten. 

Da das Magnetfeld durchs Zentrum der Spule geht (entlang der Zylinderachse der Spule), und Uind dann am größten ist, wenn B und Flächennormalenvektor parallel stehen (Uind prop. zum Skalarprodukt B·A = 

B·A·cos(∠B,A), wird der maximal induzierbare Wirbelstrom in der Ebene einer Leiterschleife der Spule fließen; in dieser Ebene sind die Eisenbleche jedoch verklebt, d.h. ihr elektrischer Kontakt ist unterbrochen und damit der 

Wirbelstrom unterbunden.. 

Weitere Ursachen für Verluste sind die Erwärmung der Spulen durch ihren 

ohmschen Widerstand, ihre Induktivität (induktiven Widerstand) sowie die 

magnetische Hysterese des Kerns. Wir wollen diese Verluste vernachlässigen 

und von einem idealen Transformator mit 100 Prozent Wirkungsgrad ausgehen. 

(Reale Transformatoren haben Wirkungsgrade von etwa 90 bis 95 Prozent.) 

Die in der Sekundärspule erzeugte Spannung U2 ist eine Funktion des 

Verhältnisses der Wicklungszahlen zwischen Primär- und Sekundärspule: 

Für den Strom gilt: 

N2 

U~,2, ind =−U~,1 ⋅ 

N . 

N1 

I~,2, ind =−I~,1 ⋅ 

N . 

Das Minus-Zeichen resultiert aus der Tatsache, dass die induzierte Spannung 

bzw. der induzierte Strom in der Sekundärspule um 180° (d.h. um π) gegenüber 

2 

1

E4.16 Trafo 

(Spannungsverhältnisse) 

E4.19 

Hoernerblitzableiter 

E4.17 Hochstromtrafo 


der Spannung bzw. dem Strom in der Primärspule verschoben ist, wenn beide 

Spulen in gleichem Drehsinn gewickelt sind. 

Ist N1 < N2 (bei gleichem 

Spulenquerschnitt A), dann 

wird die Primärspannung U1 

‚hochtransformiert’ (links). 

Da der Energieerhaltungssatz 

gelten muss, kann in der 

Sekundärspule zwar eine 

höhere Spannung U2 > U1 

abgegriffen werden; es steht 

aber nur ein kleinerer Strom 

zur Verfügung I2 < I1. 

Für N1 > N2 (rechts) gilt das Gegenteil: Die Primärspannung U1 wird 

‚runtertransformiert’; in der Sekundärspule fließt bei kleinerer Spannung 

U2 < U1 , allerdings ein größerer Strom I2 > I1. 

Die beiden Hauptvorteile der 

Wechselspannung sind: 

• Leichte und weitgehend verlustfreie 

Umtransformierung von einer 

Spannung in eine beliebige andere. 

• Weitgehend verlustfreier Transport 

als ‚Hochspannung’ (typ. U = 500 kV) 

über weite Entfernungen durch Kabel 

mit nicht allzu großem 

Leiterquerschnitt: P = U · I, d.h. bei 

hoher Spannung U kann der Strom I 

klein sein, um dieselbe Leistung von 

einem Ort zum anderen zu 

übertragen. Kleine Ströme I heißt 

aber auch wenig Reibungswärme in 

einem sehr langen Leiter 

(Überlandkabel). Am Empfängerort 

kann die Spannung schließlich 

wieder auf 220 V runtertransformiert 

werden, wodurch wieder ein hoher 

Strom zur Verfügung steht. 

Quelle: Bloomfield, How Things Work, Abb. 

9.2.6-8, S. 309f

Computersimulation 

Transformator: Änderung 

der 

Windungsverhältnisse 

und res. Spannungen. 


V13 Schaltvorgänge und Wechselstromwiderstände 


• Das Faraday’sche Gesetz sagt voraus, dass sich Ströme in 

Leiterschleifen sowohl durch sich ändernde Magnetfelder als auch durch 

Bewegung der Leiterschleife in einem konstanten Magnetfeld induzieren 

lassen. Damit lassen sich in einem Generator, also einer Spule, die in 

einem Magnetfeld rotiert, Ströme erzeugen. 

• Wechselspannungen lassen sich mit Hilfe von Transformatoren leicht 

erhöhen oder absenken. Die Kombination aus Biot-Savart’schem Gesetz 

und Faraday-Gesetz führt zu einer Leistungsübertragung zwischen zwei 

Spulen über einen Kern aus magnetisierbarem Material (i.d.R. Eisen). 

5.7 Elektrische Bauelemente in Gleich- und Wechselstromkreisen 

5.7.1 Ein- und Abschaltvorgänge in Gleichstromkreisen 

Wie verhalten sich ein Widerstand R, ein Kondensator mit der Kapazität C und 

eine Spule mit der Induktivität L bei An- und Abschaltvorgängen in 

Gleichstromkreisen? 

Mittels eines Schalters lässt sich zwischen der Gleichspannungsquelle (z.B. eine 

Batterie) und einem Kurzschluss umschalten. Im Experiment wird eine 

Rechteckspannung zwischen Uaus = 0 V und Uan > 0 V an die Bauelemente 

angelegt, die diesen Schaltvorgang simuliert. 

5.7.1.1 Widerstand beim An- und Abschalten einer Gleichspannungsquelle 

Strom und Spannung haben den gleichen zeitlichen Verlauf, eine Folge aus dem 

Ohm’schen Gesetz (U = R · I): 

U 

I = . 

R 

I ändert sich also nur dann, wenn sich auch U ändert. Ansonsten ist I unabhängig 

von der Zeit.


5.7.1.2 Kondensator beim An- und Abschalten einer Gleichspannungsquelle 

Beim Einschalten der Spannung fließt ein maximaler und lediglich durch R 

begrenzter Strom auf die Platten und lädt den Kondensator auf. Dadurch baut 

sich am Kondensator eine Spannung auf, die der Quellspannung und dem 

Ladestrom entgegenwirkt. Sobald die Gegenspannung genau der Quellspannung 

entspricht, werden keine weiteren Ladungen mehr auf die Platten fließen können; 

der Strom wird in diesem Moment auf Null abgefallen sein. 

Für die zeitliche Abnahme des Stroms beim Einschalten der Quellspannung, dh. 

beim Aufladen des Kondensators gilt: 

1 

− ⋅t 

RC ⋅ 

U U 

IAufladung RC() 

t = ⋅ e = ⋅ e 

R R 

mit τRC = R·C als Zeitkonstante des RC-Gliedes. Beim Abschalten der 

Quellspannung entlädt sich der Kondensator über den kurzgeschlossenen 

Stromkreis, d.h. die Ladungen fließen jetzt in Gegenrichtung wieder von ihm ab. 

Für den zeitlichen Verlauf Stromstärke bei diesem Entladungsprozess gilt: 

IEntladung(t) = -IAufladung(t). 

5.7.1.3 Spule beim An- und Abschalten einer Gleichspannungsquelle 

Nach Einschalten der Quellspannung fließt ein Strom in der Spule, der eine 

Spannung induziert, die gemäß der Lenz’schen Regel der Quellspannung 

entgegengesetzt ist (wegen Biot-Savart + Faraday: ein sich (hier gleichmäßig) 

ändernder Strom erzeugt ein sich änderndes Magnetfeld, das seinerseits eine 

konstante Spannung induziert); der Strom wächst daher nur langsam an, bis er 

einen durch R vorgegebenen Sättigungswert erreicht: 

R t 

U ⎛ − ⋅t⎞ U ⎛ − ⎞ 

L 

τRL 

IAufladung RL() 

t = ⋅⎜1− e ⎟= 

⋅⎜1−e ⎟ 

R ⎝ ⎠ R ⎜ ⎟ 

⎝ ⎠ 

L 

mit τ RL = als Zeitkonstante des RL-Gliedes. Wird die Quellspannung 

R 

abgeschaltet, so versucht die durch die stattgefundene Änderung erneut 

induzierte Spannung (jetzt in Gegenrichtung) der Änderung entgegenzuwirken. 

Die Folge ist ein langsames Absinken des Stroms auf Null: 

− 

τ 

t 

RC


U − 

τRL 

I () 

Entladung RL t = ⋅ e . 

R 

Wird der Schalter schnell geöffnet (also 

ausgeschaltet), d.h. findet ein schneller 

Spannungssprung von Quellspannung auf Null statt, 

dann erfolgt der Abfall des Stroms nicht vom 

momentanen Wert I, sondern steigt kurz auf 

I 

max 

dI 

U 

L⋅ 

ind = = dt . 

R R 

Diese Spannungs- und Stromspitzen können sehr groß werden und u. U. 

Glühbirnen zum Durchbrennen bringen. 

5.7.2 Gleichstromwiderstände versch. Bauelemente in Gleichstromkreisen 

5.7.2.1 Ohm’scher Widerstand bei Gleichstrom 

Ein Ohm’scher Widerstand R folgt dem Ohm’schen Gesetz. Sein Widerstand ist 

R = U/I. 

5.7.2.2 Widerstand eines Kondensators bei Gleichstrom 

Hat sich ein Kondensator nach Einschalten des Stromes vollständig aufgeladen, 

d.h. ist die durch die Ladungen auf den Kondensatorplatten erzeugte 

Gegenspannung so groß wie die Quellspannung geworden, dann fließt kein 

Strom mehr. Der Widerstand eines Kondensators ist daher in Gleichstromkreisen 

unendlich groß und entspricht einem durchtrennten Kabel. 

5.7.2.3 Widerstand einer Spule bei Gleichstrom 

Ist der Strom-Sättigungswert einer Spule nach dem Einschaltvorgang erreicht, 

dann hat eine Spule praktisch keinen Widerstand mehr. Sie entspricht daher in 

Gleichstromkreisen einem Kurzschluss. 

5.7.3 Wechselstromwiderstände = Impedanzen versch. Bauelemente in 

Wechselstromkreisen 

Die Widerstände von Kondensatoren und Spulen verhalten sich in 

Wechselstromkreisen anders als in Gleichstromkreisen. Lediglich ein Ohm’scher 

Widerstand zeigt bei beiden Stromtypen gleiches Verhalten. Der 

Wechselstromwiderstand wird auch Impedanz genannt. 

5.7.3.1 Ohm’scher Wechselstromwiderstand 

Ersatzschaltkreis für einen Ohm’schen Widerstand 

an einer Wechselspannungsquelle. 

t 

Beim Widerstand sind Wechselstrom und 

Wechselspannung in Phase


Wird an einen ohm’schen Widerstand eine Wechselspannung U~ = U0 · sin ω·t 

angelegt, folgt er nach wie vor dem Ohm’schen Gesetz. Anwendung der 

Maschenregel ergibt: 

Auflösen nach I: 

~ − R = ~ − ⋅ ~ = 0 

U U U R I 

U~ 

U0 

I~ = = ⋅sin( ω⋅ t) = I0 ⋅sin( ω⋅ 

t) 

R R 

Der durch einen Ohm’schen Widerstand fließende Strom ist außerdem immer in 

Phase mit der Wechselspannung über den Widerstand. 

5.7.3.2 Wechselstromwiderstand eines Kondensators 

Ersatzschaltkreis für einen Kondensator an einer 

Wechselspannungsquelle. 

Beim Kondensator eilt der Strom der Spannung um 

π/2 voraus. 

Wird an einen Kondensator eine Wechselspannung U~ = U0 · sin ω·t angelegt, 

folgt nach Anwendung der Maschenregel: 

q 

U~ − UC = U~ 

− = 0, 

d.h. q C U0sin( t) 

C 

ω 

= ⋅ ⋅ ⋅ und damit für den Strom: 

dq 

π π 

I~ = = ω⋅C⋅U0 ⋅cos( ω⋅ t) = ω⋅C⋅U0 ⋅sin( ω⋅ t + ) = I0 ⋅sin( ω⋅ 

t + ) . 

dt 

2 2 

I = ω⋅C⋅ 

U als maximaler Strom. D.h. der Wechselstrom eilt der 

mit 0 0 

Wechselspannung um π/2 (also 90°) voraus. 

Sucht man eine Ähnlichkeit zum Ohm’schen Gesetz, dann lässt sich der 

Ausdruck auch formulieren als: 

1 

U = ⋅ I = Z ⋅I 

ω⋅C 

0 0 C 0 

mit dem kapazitiven Wechselstromwiderstand (kapazitiven Impedanz) 

ZC 

1 

: = . 

ω⋅C


5.7.3.3 Wechselstromwiderstand einer Spule 

Ersatzschaltkreis für eine Spule an einer 

Wechselspannungsquelle. 

Bei der Spule hinkt der Strom der Spannung um 

π/2 hinterher. 

Wird an eine Spule eine Wechselspannung U~ = U0 · sin ω·t angelegt, folgt nach 

Anwendung der Maschenregel: 

dI 

U0 

U~ − UL = U~ − Uind = U~ −L⋅ = 0, 

d.h. dI = ⋅sin( ω⋅t) 

⋅ dt und damit für den 

dt 

L 

Strom: 

U0 U0 U0 

π π 

I~ = ⋅ sin( t) dt cos( t) sin( t ) I0 sin( t ) 

L ∫ ω⋅ ⋅ =− ⋅ ω⋅ = ⋅ ω⋅ − = ⋅ ω⋅ 

− . 

ω⋅L ω⋅L 

2 2 

1 

mit I0 = ⋅U0 

als maximaler Strom. D.h. der Wechselstrom hinkt in diesem 

ω⋅L 

Fall der Wechselspannung um π/2 (also 90°) hinterher. 

Sucht man wieder die Ähnlichkeit zum Ohm’schen Gesetz, dann lässt sich der 

Ausdruck auch formulieren als: 

U = ω⋅L⋅ 

I = Z ⋅ I 

0 0 L 0 

mit dem induktiven Wechselstromwiderstand (induktiven Impedanz) 

Z : = ω⋅ 

L. 

L 

Hinweis: Wechselstromwiderstände lassen sich am besten in der komplexen 

Zahlenebene darstellen, d.h. es sind Größen mit Realteil und Imaginärteil. 

5.7.4 Verschaltung von Wechselstromwiderständen 

Impedanzen verhalten sich bei Serien- und Parallelverschaltung wie ohm’sche 

Widerstände: 

Reihenschaltung: Zges, ser = Z1 + Z2 + ... 

Parallelschaltung: 

1 1 1 

= + + ... 

Z Z Z 

ges, par 1 2 

Über Impedanzmessungen lassen sich z.B. Veränderungen in der Zelladhäsion 

auf einem elektrisch leitfähigen Substrat verfolgen: Ändert sich der Zell- 

Elektrodenabstand, ändern sich gleichzeitig auch Parameter wie der elektr. 

Widerstand zwischen Elektrode und Nährmedium oder die Kapazität der 

Zellmembran.


V14 Dioden, Thermoelement & Peltier-Element 


• Werden Widerstand, Kondensator und Spule in Stromkreisen betrachtet, 

lässt sich feststellen, dass sich ihr Strom-Spannungsverhalten 

unterscheidet. 

• Bei Ein-/Ausschaltvorgängen folgt der Strom in einem Widerstand zeitlich 

genau dem Spannungsverlauf. Bei einem Kondensator ist der Stromfluss 

dagegen zunächst maximal und nimmt mit zunehmender Ladung der 

Kondensatoroberfläche (Platten) bis auf Null ab, da irgendwann die auf 

den Platten deponierten Ladungen eine Spannung erzeugt haben 

werden, die dem Betrag nach genau der angelegten Spannung entspricht. 

Beim Abschalten wird genau der gleiche Stromverlauf, allerdings mit 

entgegen gesetztem Vorzeichen beobachtet. Dieser Verlauf folgt einer e- 

Funktion. Im Gegensatz dazu nimmt der Strom beim Anschalten einer 

Spule nur langsam bis zu einem Sättigungswert zu, da die sich während 

des Anschaltens von Null auf einen endlichen Wert ändernde äußere 

Spannung in der Spule eine Induktionsspannung erzeugt, die der äußeren 

Spannung entgegenwirkt (Lenz’sche Regel) und damit den Stromfluss in 

die Spule hinein behindert. Umgekehrt führt die durch den 

Abschaltprozess sich ändernde Spannung zu einer Induktionsspannung, 

die diesem Abschaltprozess entgegenwirkt, wodurch der Stromabfall beim 

Abschalten nicht sprunghaft, sondern langsam erfolgt. Diese 

Induktionsspannung addiert sich beim Abschalten zur Restspannung und 

kann dabei zu Spannungsspitzen führen, denen der Verbraucher (die 

Spule) nicht standhält und die damit zu einer Zerstörung des 

Verbrauchers führen (z.B. der Glühwendel einer Glühbirne). 

• In Gleichstromkreisen folgt ein Widerstand dem Ohm’schen Gesetz; ein 

Kondensator wirkt wie ein durchtrenntes Kabel, und eine Spule einem 

Kurzschluss (bei vernachlässigbarem Innenwiderstand des 

Spulendrahtes). 

• Beim Anlegen einer Wechselspannung wird beobachtet, dass sich Strom 

und Spannung nicht in Phase befinden müssen (d.h. zu anderen 

Zeitpunkten ihre jeweiligen Maxima erreichen). Dies trifft nicht für den 

Widerstand zu, jedoch auf Kondensator und Spule: Bei einem 

Kondensator eilt der Wechselstrom der angelegten Wechselspannung um 

90° voraus, bei der Spule hinkt er um 90° hinterher. 


Phasenverschiebung bei 

R, C und L in 

Wechselstromkreisen

E2.14 HL-Diode 


5.8 Halbleiterbauelemente: Dioden (und Transistoren) 

Vierwertiges Silizium (wie Kohlenstoff) kann jeweils 4 Bindungen eingehen 

(links). Werden Fremdatome mit weniger (z.B. Bor: dreiwertig, d.h. 3 

Außenelektronen) oder mehr (z.B. Phosphor: fünfwertig, d.h. 5 Außenelektronen) 

Elektronen in das Kristallgitter eingebaut, so entstehen positiv geladene 

Elektronenfehlstellen (Löcher, holes) (Mitte) oder negativ geladene 

Elektronenüberschussstellen (rechts) im Gitter. 

Werden ein p- (z.B. Si dotiert mit B; Ga) 

und ein n-leitender Halbleiter (z.B. Si 

dotiert mit P; As) in Kontakt gebracht, so 

diffundieren freie Elektronen von der n- 

in die p-Schicht und Löcher von der p- in 

die n-Schicht. Dort findet jeweils 

Rekombination von e- und h+ (holes = 

Löcher) statt. Dadurch entsteht auf der p- 

Seite ein Überschuss an negativen, auf 

der n-Seite an positiven Ladungen. 

Keine äußere Spannung, U=UK 

Die so aufgebaute Kontaktspannung UK verhindert im Gleichgewicht weitere 

Ladungsdiffusion. Im Kontaktbereich sind nur wenig Ladungsträger, so dass dort 

ein höherer Widerstand vorliegt als im restlichen Material. 

Wird nun von außen eine Spannung angelegt, so kommt es stark auf die Polung 

der Spannung an, ob ein Strom fließen kann oder nicht: 

Polung der externen Spannung in Sperrrichtung: 

Weitere Verarmung, d.h. Ausbreitung der 

Verarmungszone. 

Polung in Flussrichtung


Nebenstehend ist die Strom-Spannungs- 

Kurve einer (Halbleiter-) Diode zu sehen: 

In Sperrichtung (neg. U) fließt kein Strom 

(I=0), in Flussrichtung nimmt der Strom 

nicht-linear zu. 

Leuchtdioden: Bei manchen Materialien 

wird die Energie, die bei der 

Rekombination von - mit + bei Betrieb in 

Flussrichtung frei wird, als Licht 

abgegeben. 

Es gibt viele weitere wichtige 

Bauelemente, v.a. Transistoren 

(‚Doppeldiode’) als Verstärker. 

5.9 Thermische Effekte in Leitern 

5.9.1 Erzeugung einer Thermospannung als Folge des Seebeck-Effektes 

Die Elektronen füllen das oberste besetze Band eines metallischen Leiters, das 

sog. Valenzband, vollständig auf (wie Wasser einen See) (s. a. V06). Die Energie 

an der oberen Kante dieses Bandes (d.h. der Wasserpegel) entspricht bei 

Metallen der sog. Fermi-Energie EF (Enrico Fermi, ital. Physiker, 1901 – 1954). 

(Bei Isolatoren, Eigenhalbleitern (d.h. nicht-dotierten Halbleitern wie reinem 

Silizium) und Metallen beschreibt EF die Energie, die genau zwischen Valenz- 

und Leitungsband liegt.) EF ist für jedes Material eine charakteristische Größe. 

Werden nun zwei Metalle mit unterschiedlichen Fermi-Energien EF,1 und EF,2 in 

Kontakt gebracht, dann purzeln Elektronen aus dem Material mit der höheren EF 

ins Material mit der kleineren EF (wie Wasser aus einem See mit höherem 

Wasserstand in einen See mit niedrigerem Wasserstand fließen würde). Die 

dabei frei werdende Energie wird i.d.R. als Wärme abgegeben. Da es sich 

allerdings bei Elektronen um geladene Teilchen handelt, lassen sie positive 

Metallatomrümpfe zurück, die ein elektrisches Feld aufbauen, das eine 

rücktreibende Kraft auf die ins niedrigere EF –Niveau purzelnden Elektronen 

ausübt. Irgendwann wird dieses Feld und seine rücktreibende Kraft die Kraft des 

EF –Gefälles gerade kompensieren, d.h. keine weiteren Elektronen können das 

Metall mit der höheren EF mehr verlassen. Das zu diesem Feld gehörende 

Potenzial wird auch Kontaktpotenzial UKontakt oder Volta-Potenzial genannt. In 

diesem Gleichgewicht liegt die neue Fermi-Energie EF, Kontakt des kombinierten 

Systems (irgendwo) zwischen denen der beiden isolierten Metalle. 

Werden zwei Metalle mit unterschiedlichen Fermi-Energien (links) in Kontakt gebracht (rechts), bildet sich 

die Kontaktspannung UKontakt zwischen ihnen aus. Beachten Sie, dass der Buchstabe E in dieser 

E2.32 thermoel. Strom


Abbildung immer die Energie und nicht das elektrische Feld meint. 

Gleicher Zusammenhang im Bild der „Potenzialtöpfe“, die miteinander in Verbindung gebracht werden. 

Wenn die beiden Leiter einen 

geschlossenen Kreis bilden, so 

entstehen zwei gleichstarke 

entgegengesetzte elektrische Felder. 

Da sie sich aufheben, fließt kein Strom. 

Was geschieht nun, wenn eine der 

Kontaktstellen erwärmt wird? 

Erwärmt man ein Metall, so ändert sich 

die Verteilung der Elektronen im 

Potenzialtopf. Durch die Wärmeenergie 

werden sie besser verteilt. Durch 

Aufnahme von Wärmeenergie können 

Elektronen vom tieferen Potenzialtopf 

in den höheren gelangen. Das 

elektrische Feld an dieser Kontaktstelle 

wird kleiner. 

Quelle: 

http://www.siteware.ch/peltier/theorie.html#seebeck 

Die beiden elektrischen Felder heben sich nun nicht mehr gegenseitig auf: Es 

fließt ein Thermostrom I (thermoelektrischer Effekt). Dieser Effekt wird auch 

Seebeck-Effekt genannt (Thomas Johannes Seebeck, dt. Physiker, 1770 – 

1831). Der erzeugte Strom wirkt seiner Ursache entgegen: Er nimmt Wärme auf 

der warmen Seite auf und gibt sie an der kalten Kontaktstelle wieder ab.


Quelle: Demtröder 2, Abb. 2.58, S.73 


5.9.2 Der Peltier-Effekt ist die Umkehrung der thermoelektrischen 

Spannungserzeugung 

So wie sich über eine äußere 

Temperaturdifferenz zwischen zwei 

Kontaktpunkten ein abgreifbarer 

Strom erzeugen lässt, führt ein von 

außen angelegter Strom zu einem 

Temperaturgefälle zwischen den 

Kontaktpunkten. 

Für die Kontaktstellen ändert sich 

nichts. Sie werden immer noch von 

einem Strom durchflossen und 

nehmen immer noch Wärme auf 

respektive geben welche an die 

Umgebung ab, auch wenn kein 

Temperaturgefälle besteht. 

Quelle: 


Die Elektronen, die von der Spannungsquelle vom tieferen in den höheren 

Potenzialtopf gestoßen werden, nehmen ihre gewonnene potenzielle Energie in 

Form von Wärmeenergie auf. Diejenigen, die vom höheren Potenzial ins tiefere 

gelangen, geben ihre potenzielle Energie als Wärme ab. 

Die Menge der transportierten Wärme ist von der Anzahl der Elektronen 

abhängig, die die Kontaktstelle durchfließen. Jedes Elektron kann eine gewisse 

Wärmemenge absorbieren und wieder abgeben. Die Wärmemenge Q ist 

dementsprechend proportional zum fließenden Strom: 

ΔQ ∝ I . 

Δt 

Beachten Sie: Q ist die Wärmemenge (und nicht die Ladungsmenge). 

E2.35 Peltierelement


V14 Dioden, Thermoelement & Peltier-Element 


• Werden Widerstand, Kondensator und Spule in Stromkreisen betrachtet, 

lässt sich feststellen, dass sich ihr Strom-Spannungsverhalten 

unterscheidet. 

• Bei Ein-/Ausschaltvorgängen folgt der Strom in einem Widerstand zeitlich 

genau dem Spannungsverlauf. Bei einem Kondensator ist der Stromfluss 

dagegen zunächst maximal und nimmt mit zunehmender Ladung der 

Kondensatoroberfläche (Platten) bis auf Null ab, da irgendwann die auf 

den Platten deponierten Ladungen eine Spannung erzeugt haben 

werden, die dem Betrag nach genau der angelegten Spannung entspricht. 

Beim Abschalten wird genau der gleiche Stromverlauf, allerdings mit 

entgegen gesetztem Vorzeichen beobachtet. Dieser Verlauf folgt einer e- 

Funktion. Im Gegensatz dazu nimmt der Strom beim Anschalten einer 

Spule nur langsam bis zu einem Sättigungswert zu, da die sich während 

des Anschaltens von Null auf einen endlichen Wert ändernde äußere 

Spannung in der Spule eine Induktionsspannung erzeugt, die der äußeren 

Spannung entgegenwirkt (Lenz’sche Regel) und damit den Stromfluss in 

die Spule hinein behindert. Umgekehrt führt die durch den 

Abschaltprozess sich ändernde Spannung zu einer Induktionsspannung, 

die diesem Abschaltprozess entgegenwirkt, wodurch der Stromabfall beim 

Abschalten nicht sprunghaft, sondern langsam erfolgt. Diese 

Induktionsspannung addiert sich beim Abschalten zur Restspannung und 

kann dabei zu Spannungsspitzen führen, denen der Verbraucher (die 

Spule) nicht standhält und die damit zu einer Zerstörung des 

Verbrauchers führen (z.B. der Glühwendel einer Glühbirne). 

• In Gleichstromkreisen folgt ein Widerstand dem Ohm’schen Gesetz; ein 

Kondensator wirkt wie ein durchtrenntes Kabel, und eine Spule einem 

Kurzschluss (bei vernachlässigbarem Innenwiderstand des 

Spulendrahtes). 

• Beim Anlegen einer Wechselspannung wird beobachtet, dass sich Strom 

und Spannung nicht in Phase befinden müssen (d.h. zu anderen 

Zeitpunkten ihre jeweiligen Maxima erreichen). Dies trifft nicht für den 

Widerstand zu, jedoch auf Kondensator und Spule: Bei einem 

Kondensator eilt der Wechselstrom der angelegten Wechselspannung um 

90° voraus, bei der Spule hinkt er um 90° hinterher. 


Phasenverschiebung bei 

R, C und L in 

Wechselstromkreisen

E2.14 HL-Diode 


5.8 Halbleiterbauelemente: Dioden (und Transistoren) 

Vierwertiges Silizium (wie Kohlenstoff) kann jeweils 4 Bindungen eingehen 

(links). Werden Fremdatome mit weniger (z.B. Bor: dreiwertig, d.h. 3 

Außenelektronen) oder mehr (z.B. Phosphor: fünfwertig, d.h. 5 Außenelektronen) 

Elektronen in das Kristallgitter eingebaut, so entstehen positiv geladene 

Elektronenfehlstellen (Löcher, holes) (Mitte) oder negativ geladene 

Elektronenüberschussstellen (rechts) im Gitter. 

Werden ein p- (z.B. Si dotiert mit B; Ga) 

und ein n-leitender Halbleiter (z.B. Si 

dotiert mit P; As) in Kontakt gebracht, 

so diffundieren freie Elektronen von der 

n- in die p-Schicht und Löcher von der 

p- in die n-Schicht. Dort findet jeweils 

Rekombination von e- und h+ (holes = 

Löcher) statt. Dadurch entsteht auf der 

p-Seite ein relativer Überschuss an 

negativen, auf der n-Seite an positiven 

Ladungen (im Vergleich zur 

Ausgangssituation). 

Keine äußere Spannung, U=UK 

Die so aufgebaute Kontaktspannung UK verhindert im Gleichgewicht weitere 

Ladungsdiffusion. Im Kontaktbereich sind nur wenig Ladungsträger, so dass dort 

ein höherer Widerstand vorliegt als im restlichen Material. 

Wird nun von außen eine Spannung angelegt, so kommt es stark auf die Polung 

der Spannung an, ob ein Strom fließen kann oder nicht: 

Polung der externen Spannung in Sperrrichtung: 

Weitere Verarmung, d.h. Ausbreitung der 

Polung in Flussrichtung


Verarmungszone. 

Nebenstehend ist die Strom-Spannungs- 

Kurve einer (Halbleiter-) Diode zu sehen: 

In Sperrrichtung (neg. U) fließt kein 

Strom (I=0), in Flussrichtung nimmt der 

Strom nicht-linear zu. 

Leuchtdioden (LEDs = light-emitting 

diodes): Bei manchen Materialien wird 

die Energie, die bei der Rekombination 

von Ө mit ⊕ bei Betrieb in Flussrichtung 

frei wird, als Licht abgegeben. Diese Art 

der Lichterzeugung ist sehr effizient, da 

anders als bei konventionellen 

Glühlampen nur wenig Energie in Wärme 

überführt wird. 

Es gibt viele weitere wichtige Bauelemente, v.a. Transistoren (‚Doppeldiode’) als 

Verstärker. 

5.9 Thermische Effekte in Leitern 

5.9.1 Erzeugung einer Thermospannung als Folge des Seebeck-Effektes 

Die Elektronen füllen das oberste besetze Band eines metallischen Leiters, das 

sog. Valenzband, vollständig auf (wie Wasser einen See) (s. a. V06). Die Energie 

an der oberen Kante dieses Bandes (d.h. der Wasserpegel) entspricht bei 

Metallen der sog. Fermi-Energie EF (Enrico Fermi, ital. Physiker, 1901 – 1954). 

(Bei Isolatoren, Eigenhalbleitern (d.h. nicht-dotierten Halbleitern wie reinem 

Silizium) und Metallen beschreibt EF die Energie, die genau zwischen Valenz- 

und Leitungsband liegt.) EF ist für jedes Material eine charakteristische Größe. 

Werden nun zwei Metalle mit unterschiedlichen Fermi-Energien EF,1 und EF,2 in 

Kontakt gebracht, dann purzeln Elektronen aus dem Material mit der höheren EF 

ins Material mit der kleineren EF (wie Wasser aus einem See mit höherem 

Wasserstand in einen See mit niedrigerem Wasserstand fließen würde). Die 

dabei frei werdende Energie wird i.d.R. als Wärme abgegeben. Da es sich 

allerdings bei Elektronen um geladene Teilchen handelt, lassen sie positive 

Metallatomrümpfe zurück, die ein elektrisches Feld aufbauen, das eine 

rücktreibende Kraft auf die ins niedrigere EF –Niveau purzelnden Elektronen 

ausübt. Irgendwann wird dieses Feld und seine rücktreibende Kraft die Kraft des 

EF –Gefälles gerade kompensieren, d.h. keine weiteren Elektronen können das 

Metall mit der höheren EF mehr verlassen. Das zu diesem Feld gehörende 

Potenzial wird auch Kontaktpotenzial UKontakt oder Volta-Potenzial genannt. In 

diesem Gleichgewicht liegt die neue Fermi-Energie EF, Kontakt des kombinierten 

Systems (irgendwo) zwischen denen der beiden isolierten Metalle. 

E2.32 thermoel. Strom


Werden zwei Metalle mit unterschiedlichen Fermi-Energien (links) in Kontakt gebracht (rechts), bildet sich 

die Kontaktspannung UKontakt zwischen ihnen aus. Beachten Sie, dass der Buchstabe E in dieser 

Abbildung immer die Energie und nicht das elektrische Feld meint. 

Gleicher Zusammenhang im Bild der „Potenzialtöpfe“, die miteinander in Verbindung gebracht werden. 

Wenn die beiden Leiter einen 

geschlossenen Kreis bilden, so 

entstehen zwei gleichstarke 

entgegengesetzte elektrische Felder. 

Da sie sich aufheben, fließt kein Strom. 

Was geschieht nun, wenn eine der 

Kontaktstellen erwärmt wird? 

Erwärmt man ein Metall, so ändert sich 

die Verteilung der Elektronen im 

Potenzialtopf. Durch die Wärmeenergie 

werden sie besser verteilt. Durch 

Aufnahme von Wärmeenergie können 

Elektronen vom tieferen Potenzialtopf 

in den höheren gelangen. Das 

elektrische Feld an dieser Kontaktstelle 

wird kleiner. 

Quelle:



Die beiden elektrischen Felder heben sich nun nicht mehr gegenseitig auf: Es 

fließt ein Thermostrom I (thermoelektrischer Effekt). Dieser Effekt wird auch 

Seebeck-Effekt genannt (Thomas Johannes Seebeck, dt. Physiker, 1770 – 

1831). Der erzeugte Strom wirkt seiner Ursache entgegen: Er nimmt Wärme auf 

der warmen Seite auf und gibt sie an der kalten Kontaktstelle wieder ab. 



5.9.2 Der Peltier-Effekt ist die Umkehrung der thermoelektrischen 

Spannungserzeugung 

So wie sich über eine äußere 

Temperaturdifferenz zwischen zwei 

Kontaktpunkten ein abgreifbarer 

Strom erzeugen lässt, führt ein von 

außen angelegter Strom zu einem 

Temperaturgefälle zwischen den 

Kontaktpunkten. 

Für die Kontaktstellen ändert sich 

nichts. Sie werden immer noch von 

einem Strom durchflossen und 

nehmen immer noch Wärme auf 

respektive geben welche an die 

Umgebung ab, auch wenn kein 

Temperaturgefälle besteht. 

Quelle: 


Die Elektronen, die von der Spannungsquelle vom tieferen in den höheren 

Potenzialtopf gestoßen werden, nehmen ihre gewonnene potenzielle Energie in 

Form von Wärmeenergie auf. Diejenigen, die vom höheren Potenzial ins tiefere 

gelangen, geben ihre potenzielle Energie als Wärme ab. 

Die Menge der transportierten Wärme ist von der Anzahl der Elektronen 

abhängig, die die Kontaktstelle durchfließen. Jedes Elektron kann eine gewisse 

Wärmemenge absorbieren und wieder abgeben. Die Wärmemenge Q ist 

dementsprechend proportional zum fließenden Strom: 

ΔQ ∝ I . 

Δt 

Beachten Sie: Q ist die Wärmemenge (und nicht die Ladungsmenge). 

E2.35 Peltierelement

100 Experimentalphysik 2 für Biologen & Chemiker

Elektromagnetische Schwingungen und Wellen – Überleitung zur Optik 101 

V15 Elektromagnetische (EM) Schwingungen und Wellen, 

Hertz’scher Dipol 


• Halbleiterdioden bestehen aus zwei miteinander in Kontakt stehenden 

Siliziumplättchen, die jeweils mit Fremdatomen „verunreinigt“, d.h. dotiert 

sind. Bei einer sog. p-Dotierung (p: positiv) sind Fremdatome wie z.B. 

Bor ins Si-Gitter eingebaut. Verglichen zum reinen Si-Kristall fehlen also 

ebenso viele Elektronen wie Bor-Atome im Kristall eingebaut sind. 

Umgekehrt sind bei n-Dotierung (n: negativ) Fremdatome mit mehr als 4 

Außenelektronen ins Kristallgitter eingebaut. Es herrscht also 

Elektronenüberschuss. Durch Kontakt zweier unterschiedlich dotierter 

Kristalle lässt sich eine sog. Kontaktspannung messen. 

• Auch bei Kontakt zweier Metalle ist eine Kontaktspannung messbar (z.B. 

Silberlöffel auf Amalgam- oder Goldlegierung!) 

• Über den sog. Seebeck-Effekt lassen sich durch 

Temperaturunterschiede an Metallkontakten Thermospannungen 

erzeugen. Umgekehrt lassen sich beim sog. Peltier-Effekt durch 

Stromfluss durch Metallkontaktstellen Temperaturgradienten an diesen 

Kontaktstellen erzeugen. 

6 Elektromagnetische Schwingungen und Wellen – 

Überleitung zur Optik 

Wie lassen sich Handy-, Radio- und Fernsehsignale übertragen? Was ist Licht? 

Worin unterscheiden sich Farben? Worin unterscheiden sich Licht, Mikrowellen 

und Röntgenstrahlen? 

Obwohl die oben genannten Begriffe und Fragen auf den ersten Blick nicht 

unbedingt in Beziehung stehen, haben sie doch die gleiche Ursache: das 

periodische Wechselspiel zwischen elektrischem und magnetischem Feld. 

(Elektromagnetische Schwingungen lassen sich im Ansatz genau wie 

mechanische Schwingungen beschreiben. Zur Wdh. siehe P1 V09 und V21.) 

6.1 Elektromagnetische Schwingungen und Wellen 

6.1.1 Harmonische Schwingung in einem geschlossenen LC-Schwingkreis 

Betrachten Sie einen seriellen und in sich geschlossenen Schaltkreis aus einem 

Kondensator der Kapazität C und einer Spule der Induktivität L, einen 

elektromagnetischen Schwingkreis (LC-Kreis).


Vergleich zwischen elektromagnetischem Schwingkreis und dem mechanischen Modell eines 

harmonischen Oszillators, realisiert durch eine schwingende Masse m, die zwischen zwei Federn 

aufgehängt ist. Quelle: Demtröder, Abb. 6.1, S. 163 

a) Wird der Kondensator aufgeladen und anschließend die äußere 

Spannungsquelle abgeschaltet, 

b) so entlädt sich der Kondensator wieder durch Rekombination der 

getrennten Ladungen; dabei fließt durch die Spule - der exponentiell 

abnehmende Entladestrom I (s.a. Abschaltvorgang beim RC-Kreis, 

V14). Dieser Strom erzeugt im Inneren der Spule ein sich zeitlich 

veränderliches (während der Kondensatorentladung erst zu-, dann 

wieder abnehmendes) Magnetfeld dB/dt, das gemäß des 

Faraday’schen Gesetzes und der Lenz’schen Regel eine Spannung 

induziert, die den Strom nach Entladen des Kondensators in die 

gleiche Richtung weitertreibt und damit 

c) den Kondensator mit der entgegengesetzten Polung wieder auflädt. 

Erreicht die durch diese Ladungstrennung zwischen den 

Kondensatorplatten erzeugte Spannung die Stärke der 

Induktionsspannung, dann geht der Strom auf Null zurück und der 

Ladeprozess des Kondensators durch die Spule ist beendet. Wie in a) 

setzt der Entladeprozess des Kondensators erneut ein, dieses Mal 

allerdings in Gegenrichtung und erzeugt mit seinem exponentiell 

abnehmenden Strom wie in b) 

d) ein sich zeitlich änderndes Magnetfeld in der Spule, das wiederum


e) den Kondensator durch die Induktionsspannung in ursprünglicher 

Polung auflädt. 

Damit ist der Kreislauf geschlossen und kann sich als endlose harmonische sin- 

oder cos-Schwingung fortsetzen, falls es nicht zu Reibungsverlusten (z.B. durch 

einen Widerstand R im LC-Kreis) kommen sollte. 

Die Schwingungsdauer T berechnet sich über die Kirchhoff’sche Maschenregel: 

UC + UL = 0 

mit 

U 

C 

Q 

= , der Spannung am Kondensator, und 

C 

dI 

=− , der Faraday’schen Induktionsspannung in der Spule. 

ULL dt 

Einsetzen und Differenzierung (zeitl. Abhängigkeit) führt zu 

dU dU 

+ 

dt dt 

C L 

2 

dQ 1 dI 

= ⋅ −L 

dt C dt 

2 

1 dI 

=−⋅ I −L 

2 

C dt 

= 0 

dQ 

mit dem abnehmenden Strom I =− , der anfänglich durch Entladung der 

dt 

Kondensatorplatten erzeugt wird. Vereinfacht: 

&& 1 

I + ⋅ I = 0 . 

L⋅C Diese Differentialgleichung ist vom gleichen Typ wie die der mechanischen 

harmonischen Schwingung einer Feder: 

k 

m⋅ x&&+ k⋅ x = 0 bzw. x&& + ⋅ x = 0 (Rücktreibende Kraft m·a = Federkraft -k·x) 

m 

mit dem Lösungsansatz It () = I0⋅sin( ω⋅ t + ϕ) 

und der Maximalamplitude 

I0 = Imax des Stromes. Einsetzen des Lösungsansatzes und anschließender 

Koeffizientenvergleich liefert die Thomson-Formel für die Kreisfrequenz w bzw. 

die Schwingungsdauer T des reinen LC-Kreises (also ohne Dämpfung R und 

ohne äußeren Erreger) (Joseph John Thomson, brit. Physiker, Entdecker des 

Elektrons, 1856-1940): 

1 

= und T = 2 ⋅ ⋅ L⋅C . 

L⋅C 2 

ω π 

2 

E5.15 oder E5.8 

gedämpfte EM- 

Schwingung

Nochmal E5.15 oder 

E5.8 gedämpfte EM- 

Schwingung 

E5.20 Erzwungene 

Schwingung 


6.1.2 Gedämpfte harmonische Schwingung in einem LCR-Kreis 

Da in einem Schaltkreis 

allerdings immer „Verluste“ 

durch ohm’sche 

Widerstände auftreten 

(außer Supraleiter, s.a. 

V06), tritt in einem solchen 

Schwingkreis immer eine 

gedämpfte Schwingung 

auf, d.h. R ist in Reihe zu L 

und C geschaltet. 

Analog zur Mechanik 

ergäbe sich der Ansatz für 

die DGL zu 

&& R 1 

I + ⋅ I& + ⋅ I = 0 

L L⋅C mit der Dämpfung R und dem Lösungsansatz 

LC-Schwingkreis ohne (gepunktet, R = 0) und mit (durchgehend, 

R > 0) zus. Widerstand R, der zu einer Dämpfung der 

harmonischen Schwingung im LC-Kreis führt. Wie in der Mechanik 

entspricht der Dämpfungsterm einer e-Funktion und repräsentiert 

die Einhüllende der zeitlich abnehmenden Strom- 

Schwingungsamplitude. Quelle: Staudt, Abb. 6.131, S.142 

−β⋅t It () = I0⋅e ⋅sin( ω⋅ t + ϕ) 

, 

= It () ⋅sin( ω⋅ t + ϕ) 

mit der Anfangsamplitude I0 des Stromes bzw. der jetzt zeitlich veränderlichen 

Maximalamplitude I(t) des Stromes, 

der Dämpfungskonstante 

2 

1 R 

der Kreisfrequenz ω = − = ω 2 0 −β 

L⋅C 4 ⋅ L 

2 2 2 

und der Eigen- oder Resonanzfrequenz ω0 = 

R 

β = 

2 ⋅ L 

1 

. 

L⋅C 6.1.3 Erzwungene gedämpfte harmonische Schwingung in einem LCR- 

Kreis 

Analog zur Mechanik lässt sich die Dämpfung einer harmonischen Schwingung 

durch Anlegen einer periodischen äußeren Kraft kompensieren. Bei 

elektromagnetischen Schwingkreisen könnte dies z.B. eine Wechselspannung 

Ut () = U ⋅sin( ω ⋅ t) 

sein. 

0 

9 R 

In der Mechanik war β = , d.h. die Induktivität L im LCR-Schwingkreis entspricht der 

2 ⋅ m 

Masse m einer gedämpften mechanischen Schwingung. 

, (9)


Erzwungene Schwingung durch Einbau einer 

Wechselspannungsquelle U~ in einen LCR- 

Schwingkreis. Quelle: Staudt, Abb. 6.133, S.143. 

Stromamplitude I und Phase ϕ als Funktion der 

Frequenz für eine erzwungene Schwingung in 

einem LCR-Kreis verhalten sich analog zur 

Amplitude einer mechanischen erzwungenen 

Federschwingung. Das Amplitudenmaximum ist bei 

der Resonanzfrequenz ω0 (s.a. Tacoma-Brücke) zu 

finden. Quelle: Staudt, Abb. 6.134, S.144. 

6.1.4 Vergleich zwischen mechanischen und elektromagnetischen Größen 

Werden mechanische und elektromagnetische Schwingungen miteinander 

verglichen, finden sich folgende Parallelen: 

Elektromagnetischer LC-Kreis Federpendel 

Induktivität L m Masse 

Ladung Q x Auslenkung 

Strom I v Geschwindigkeit 

Kehrwert der 

Kapazität 

Ohm’scher 

Widerstand 

Elektrische 

Energie, die im 

Kondensator 

gespeichert ist 

Magnetische 

Feldenergie der 


Spule 

1 

C 

k Federkonstante 

R R Reibungskoeffizient 

1 

Eel = ⋅C⋅U 2 

1 

= ⋅Q⋅U 2 

2 

1 Q 

= ⋅ 

2 C 

1 

Emag = ⋅L⋅ I 

2 

2 

2 

1 

Epot = ⋅k ⋅ x 

2 

1 

Ekin = ⋅m⋅ v 

2 

6.1.5 Gekoppelte Schwingkreise verhalten sich wie gekoppelte 

mechanische Pendel 

2 

2 

Potenzielle 

Energie einer 

gespannten Feder 

Kinetische Energie 

der bewegten 

Masse 

Zwei induktiv gekoppelte LC-Kreise verhalten sich analog zu zwei gekoppelten 

Federn/Pendeln. Wie in der Mechanik kommt es zu einer Schwebung. 

E5.17 gekoppelte 

Schwingung


Wird der Kondensator des 1. 

Kreises aufgeladen, fängt 

dieser an zu schwingen. Über 

die Kopplung (mittels 

Eisenjoch wie beim 

Transformator (oberes Bild) 

oder durch 

Ineinanderschieben der 

Spulen (unteres Bild)) fängt 

der 2. Kreis ebenfalls an zu 

schwingen, wodurch dem 1. 

Kreis (Schwingungs-)Energie 

entzogen wird, bis nur noch 

der 2. Kreis schwingt; dann 

kehrt sich der Vorgang um. 

Quelle: Staudt 2, Abb. 6.135, S.145 

Schwebungen zeigen sich nur bei zwei nahe beieinander liegenden 

Eigenfrequenzen. Wie bei den Federn sind diese dadurch charakterisiert, dass in 

einem Fall die Systeme (Mechanik: Masse; hier: Ströme) in Phase (ϕ = 0°) bzw. 

gerade in Gegenphase (ϕ = 180°) oszillieren. Die Schwebefrequenz ist wieder 

ωSchwebung = ω2 – ω1. 

6.1.6 Abstrahlung transversaler elektromagnetischer Wellen von einem 

offenen Schwingkreis: Hertz’scher Dipol 

Obwohl in einem Schwingkreis hochfrequente elektromagnetische Schwingungen 

auftreten, ist er für eine Abstrahlung elektromagnetischer Wellen nicht geeignet; 

d.h. sie bleiben im Schwingkreis gefangen und können sich nicht als Radio- oder 

Fernsehwellen im Raum ausbreiten, da sich elektrisches und magnetisches Feld 

fast ausschließlich im Inneren von Kondensator und Spule ausbilden. Um 

elektromagnetische Wellen abstrahlen zu können, wird eine Antenne benötigt, 

die auch „(Hertz’scher) Dipol“ genannt wird. (Mit Dipol ist nicht der elektrische 

µel oder magnetische µmag Dipol gemeint.) Dabei handelt es sich um einen 

gestreckten Leiter, der als „offener“ Schwingkreis angesehen werden kann, bei 

dem Kapazität C und Induktivität L nicht mehr getrennt, sondern über den 

ganzen Dipol gleichmäßig verteilt sind. Im gewissen Sinne ist ein solcher Dipol 

damit die rudimentärste bzw. abstrahierte Form eines LC-Schwingkreises. 

Übergang vom geschlossenen LC-Schwingkreis durch dessen Vereinfachung und Öffnung zwischen den 

Kondensatorplatten zu einem lang gestreckten Draht. Quellen: Demtröder, Abb. 6-14, S170 und Physik 

Gesamtband, S.184. 

Beim „Öffnen" des Kondensators und dem Übergang von den 

Kondensatorplatten und der Spule zu einem gestreckten Draht, dem Dipol bzw. 

der (Dipol-)Antenne, verringern sich Kapazität und Induktivität der Anordnung


ganz erheblich. Ein Dipol hat damit eine höhere Eigenfrequenz als der LC- 

Schwingkreis, aus dem man sich ihn entstanden denken kann. 

Änderung des elektromagnetischen Feldverteilung beim Übergang vom LC-Schwingkreis (a) mit räumlich 

begrenzten elektrischen und magnetischen Feldern über eine einzelne Leiterschleife (b) zum Dipol (c), 

dem offenen Schwingkreis mit Feldern, die weit in den Raum hinausreichen (und sich vom Dipol ablösen 

können). Quelle: Demtröder, Abb. 6.15, S.170. 

Im LC-Schwingkreis werden die Elektronen durch die Spule hindurch periodisch 

im Rhythmus der Hochfrequenz zwischen den Kondensatorplatten beschleunigt 

(a). Im Dipol schwingen die Elektronen im Rhythmus der Hochfrequenz zwischen 

den Dipolenden (c). Wie bei einem geschlossenen Schwingkreis tritt bei einem 

Dipol eine Phasenverschiebung zwischen Spannung U(t) und Stromstärke I(t) um 

eine viertel Periode (1/4T, was 90° oder π/2 entspricht) auf: 

Zeitlicher Verlauf der E und B-Felder im Dipol. Quelle: Staudt, Abb. 6.141, S.152 

Nach einer viertel Periode (t = 1/4T) besteht an einem Ende des Dipols ein 

Elektronenüberschuss und am anderen ein Elektronenmangel. Zu diesem 

Zeitpunkt existiert ein starkes elektrisches Feld (c: E-Feldlinien) und damit die 

höchste Spannung zwischen den Enden. Der Stromfluss ist in diesem Moment 

Null. Im mittleren Teil des Dipols ist jeweils eine Viertelperiode später (t = 1/2T) 

die Stromstärke am größten. Dabei schwingen die Elektronen am stärksten: Es 

besteht ein starkes magnetisches Feld (d: B-Feldlinien). 

Damit gilt also: Die oszillierenden elektrischen E-Feldlinien und B- 

Magnetfeldlinien 

• stehen dabei immer senkrecht aufeinander und 

• sind im Draht um eine viertel Periode (1/4T, was 90° oder π/2 

entspricht) gegeneinander phasenverschoben.

E5.25 Stehende Wellen 

auf einer „Lecherleitung“ 

(zur Demonstration der 

Schwingungstäler und – 

bäuche in Dipolen = 

Antennen) 


Wie lässt sich nun überhaupt eine Schwingung in 

einem solchen geraden Draht (dem Dipol) 

erzeugen? Der Dipol kann durch kapazitive oder 

galvanische Kopplung oder durch 

elektromagnetische Induktion zum Schwingen 

angeregt werden. Im letzteren Fall wird dazu der 

mittlere Teil des Dipols vom Magnetfeld der Spule 

eines separaten LC-Schwingkreises durchsetzt. 

Dadurch kommt es zur Energieübertragung vom 

Schwingkreis auf den Dipol (s.a. Faraday’sches 

Gesetz V11). 

Induktive Kopplung eines LC- 

Kreises an einen Dipol der Länge l. 

6.1.7 Stehende elektromagnetische Wellen bilden sich im Dipol aus, wenn 

dessen Länge ein Vielfaches der halben Wellenlänge der EM-Welle 

beträgt. 

Ganz analog zur Erzeugung 

stehender Wellen auf einer Violinen- 

Saite, werden bei einer bestimmten 

Erregerfrequenz, der Eigenfrequenz 

ν0 des Dipols, im Dipol stehende 

Stromwellen erzeugt. Diese 

Resonanz tritt genau dann ein, wenn 

die halbe Wellenlänge λ/2 der 

Erregung (oder ein n-Faches davon) 

genau der Länge l des Drahtes 

entspricht, d.h. für 

Erreger 

n 

2 

λ 

l = ⋅ 

M.a.W.: Schwingt ein Dipol mit seiner 

Eigenfrequenz, dann hat die 

elektromagnetische Welle im Dipol 

eine Wellenlänge, die doppelt so lang 

wie der Dipol ist. 

a) y-Auslenkung einer schwingenden Saite 

(Mechanik) und stehende Stromwelle einer Ladungs- 

Schwingung in einem geraden Draht (Antenne, 

Dipol). Die Längen von Saite und Dipol sind dabei 

halb so groß wie die Wellenlänge λ. Die 

Stromverteilung I(z, t0) und die Spannungsverteilung 

U(z, t0) sind für einen Zeitpunkt t0 angegeben. b) Der 

Strombauch der stehenden Welle kann mit Hilfe von 

Glühlämpchen bestätigt werden, die in der Mitte des 

Dipols am hellsten leuchten, an den Enden dagegen 

gar nicht. Quellen: Demtröder, Abb. 6.18, S. 172 und 

Gesamtband Physik, S. 187. 

Beispiel: Abmessungen der Antenne eines Ultrakurzwellen (UKW) Radiosenders 

[meist FM (frequency modulated)], der bei 92,0 MHz (gewöhnlich zwischen 88 

und 104 MHz) empfangen werden kann: 

8 m 

2,99⋅10 λ c 

= = s = 1,625 m 

2 2⋅ν61 

2⋅92,0⋅10 s 

mit der Beziehung c = λν ⋅ , wobei c: Lichtgeschwindigkeit, ν : Frequenz.


Quelle: Gesamtband Physik, S. 191 

6.1.8 Ablösen der elektromagnetischen Wellen vom Dipol 

Die im Dipol erzeugten (stehenden) Wellen und daran geknüpften E- bzw. B- 

Felder können sich vom Dipol ablösen und in den Raum ausbreiten. 

Abschnüren geschlossener elektrischer Feldlinien (Wirbelfeld) vom Dipol und Ausbreitung im Raum. 

Ablösen der magnetischen Feldlinien vom Dipol und Ausbreitung im Raum. Quelle: Physik Gesamtband, S. 

184. 

Oszillation, Orientierung und Ablösen von E- und B-Feld. Quelle: Heywang, Physik für techn. Berufe, S.361


a) Elektromagnetische (EM) Welle, (die sich vom Dipol der Länge h und vergleichsweise kleinen Breite dx 

ablöst,) dargestellt durch einen (Ausbreitungs-) Strahl, den sog. Wellenvektor k, in x-Richtung und zwei 

Wellenfronten, die eine Wellenlänge λ voneinander entfernt sind. Darunter dieselbe Welle als 

„Schnappschuss“ der beiden sinusförmig oszillierenden E- und B-Felder, die beide senkrecht zueinander und 

ebenfalls senkrecht zur Ausbreitungsrichtung der Wellenfront stehen (E, B und Ausbreitungsrichtung folgen 

der Rechte-Hand-Regel): es handelt sich also um eine Transversalwelle (s.a. 1. Semester). Die 

Wellenfronten breiten sich mit der Geschwindigkeit c aus, die der Lichtgeschwindigkeit entspricht. Fernfeld: 

E- und B-Feld sind in weiter Entfernung zum Dipol nicht zueinander phasenverschoben: Wellenbäuche, 

Nulldurchgänge und Wellentäler von E- und B-Feld fallen also zeitlich zusammen. Nahfeld: In direkter Nähe 

zum Dipol, d.h. beim Ablöseprozess, sind E- und B-Feld dagegen um 90° zueinander phasenverschoben, 

d.h. um eine viertel Periode T zueinander versetzt (Wellenmaxima/-minima von E-Feld fallen mit 

Nulldurchgängen von B-Feld (magn. Flussdichte) zusammen) (nicht gezeigt, aber analog zur Situation im 

Dipol selbst, wie es für die stehende Welle im Dipol diskutiert wurde). Mit zunehmendem Abstand vom Dipol 

verringert sich diese Phasenverschiebung, d.h. das Nahfeld geht kontinuierlich in das Fernfeld über. Quelle: 

Halliday, Abb. 34-5, S.971 

Zusammenfassend: Liegt also in einem geraden 

Draht (Dipol) ein zeitlich variables B-Feld vor, ist 

dieses von einem ebenfalls zeitlich veränderlichen 

E-Feld senkrecht umgeben, das wiederum von 

einem zeitlich veränderlichen B-Feld senkrecht 

umgeben ist ... → Man erhält eine sich 

ausbreitende Verkettung von senkrecht zueinander 

stehenden E- und B-Feldern, die durch 

Wellengleichungen beschrieben werden → 

elektromagnetische (oder auch Hertz’sche) 

Welle. 

Quelle: Staudt, Abb. 6.146, S.157


P ist ein weit entfernter Punkt, in dem sich die vorbeiziehende elektromagnetische Welle (hier sind nur die 

Wellenberge des alternierenden B-Feldes als durchgezogene Linien dargestellt) mit einem Detektor (z.B. 

einer Antenne) beobachten lässt. Quelle: Halliday, Abb. 34-3, S. 969 

Die zugehörigen Wellengleichungen lauten: 

2 2 

∂ E 1 ∂ E 

= 2 2 2 

∂x c ∂t 


2 2 

∂ B 1 ∂ B 

= 2 2 2 

∂x c ∂t 

mit den Lösungen für ebene, harmonische Wellen 

E E k x t 

0 sin( ω ) 

= ⋅ ⋅ ± ⋅ und 0 

wobei k der Wellenvektor 

B = B ⋅sin( k⋅ x ± ω ⋅ t) 

2 ⋅π 

2π 

k = ⋅x 

ˆ (mit dem Betrag k = ) 

λ 

λ 

2 ⋅π 

und ω die Kreisfrequenz ω = 2 ⋅π ⋅ ν = sind. 

T 

Wie eine (ebenfalls) transversale Wasserwelle ist eine elektromagnetische Welle 

eine sich ausbreitende Störung, die Energie von einem Ort zu einem 

anderen transportiert. Im Gegensatz zu einer Wasserwelle ist die 

elektromagnetische Welle jedoch nicht an Materie gebunden und kann sich damit 

auch im Vakuum ausbreiten (z.B. Radiokommunikation zwischen Erde und 

Satelliten im Weltraum, in dem nahezu Vakuum herrscht). 

Die Ausbreitungsgeschwindigkeit v0 einer EM-Welle beträgt im Vakuum (Index 0) 

1 

υ0 = = ν ⋅ λ0 

= c 

εμ 

0 0 

mit λ0: Wellenlänge im Vakuum; [λ] = 1 m, 

1 −1 

ν : Frequenz der Welle; [ ν ] = = 1s = 1Hz 

, 

s 

der elektrischen Feldkonstante ε 

A ⋅ s 

kg⋅m 2 4 

-12 

0 = 8.854·10 

3 

(V01), 

der magnetischen Feldkonstante µ0 = 4·π·10 -7 V·s·A -1 · m -1 (V08), 

und der Lichtgeschwindigkeit c; im Vakuum ist sie maximal: 

c = 2,997 924 58 · 10 8 m·s -1 . 

Die Ausbreitungsgeschwindigkeit v einer EM-Welle beträgt in Materie mit der 

Dielektrizitätszahl εr und der Permeabilität µr


1 c c 

υ = = = ν ⋅ λ = 

n 

εεμμ r 0 r 0 εμ r r 

wobei n = εμ r r der sog. (materialabhängige und dimensionslose) 

Brechungsindex ist (dazu später mehr). 

6.1.9 Kategorisierung elektromagnetischer Wellen nach ihrer Frequenz 

bzw. Wellenlänge 

In Abhängigkeit von ihrer Frequenz haben elektromagnetische Wellen (oder im 

allgemeinen Sprachgebrauch auch „elektromagnetische Strahlung“) 

unterschiedliche Eigenschaften. Ihre Energie ist über die Beziehung 

Eelektromagn. Strahlung = h⋅ ν 

gegeben, wobei h das bereits beim Bohr’schen Magneton (V12) kennen gelernte 

Planck’sche Wirkungsquantum ist (h = 6,626 075 5 · 10 -34 J·s). 

Das elektromagnetische Spektrum über alle natürlich oder technisch 

erreichbaren Wellenlängen hat keine Lücke und setzt sich wie folgt zusammen:


Quelle: Heywang, Physik für techn. Berufe, S. 364


Für einige Bereiche des elektromagnetischen Spektrums gibt es allgemein vertraute Namen, zum Beispiel 

„Röntgenstrahlung" und „Radiowellen". Grob festgelegt ist die Ausdehnung dieser Regionen durch die 

Arbeitsbereiche spezieller Strahlungsquellen und Nachweisgeräte. Quelle: Halliday, Abb. 34-1, A.968 

Die in der chemischen Analytik (Spektroskopie) gebräuchlichen Einheiten zur Beschreibung 

elektromagnetischer Strahlung. Quelle: Göpel/Ziegler, Struktur der Materie, Abb. 1.1.7, S.24


Die Strahlung der dominanten Quelle, der Sonne, gehört zu den 

Rahmenbedingungen, in denen sich Leben entwickelte und denen es sich 

anpasste. Ständig durchdringen uns Radio- und Fernsehsignale. Mikrowellen von 

Radarsystemen und aus Telefonzentralen gehören ebenso zu unserer Umwelt 

wie die Strahlung von Glühlampen und Blitzen (sichtbare Strahlung = vis), von 

heißen Motorblöcken der Kraftfahrzeuge (Infrarot = IR = „Wärmestrahlung“), aus 

Röntgengeräten (Röntgenstrahlung) und aus Endlagerstätten radioaktiver Stoffe 

(gamma-Strahlung). Außerdem sind wir ständig kosmischen Strahlungen von 

Sternen, anderen Objekten der Galaxis und entfernteren Galaxien ausgesetzt. 

Auch wir selbst senden elektromagnetische Wellen ins All: Fernsehsignale, die 

seit den 1950er-Jahren auf der Erde ausgestrahlt werden, haben inzwischen 

jeglicher technisch ausgerüsteten Zivilisation, die auf irgendeinem Planeten eines 

der vielleicht 400 sonnennächsten Sterne leben mag, Nachricht (in allerdings 

sehr schwachen Signalen) von der Menschheit gebracht. 

Transparenz der Erdatmosphäre für elektromagnetische Strahlung: Elektromagnetische Dämpfung: die 

Kurve gibt den Druck (bzw. damit die Höhe) an, bei dem (der) die Intensität der externen (Sonnen- und 

kosmischen) Strahlung auf die Hälfte ihres Wertes abgesunken ist. Quelle: Göpel/Ziegler, Struktur der 

Materie, Abb. 3.5.6, S. 402 

Mikrowellen regen im Übrigen in Ihrem Mikrowellenherd die Wassermoleküle 

(elektrische Dipole!) zur Rotation an. Die bei der Rotation erzeugte 

Reibungswärme mit/an Nachbarmolekülen erzeugt die (Joule’sche) Wärme. 

Wasserfreie Nahrungsmittel dürften sich also im Mikrowellenherd nicht erwärmen 

lassen. 

Mit Infrarotstrahlung werden Schwingungen in Molekülen angeregt. Die 

Bindungen verhalten sich wie mechanische Federn. Diese Molekülschwingungen 

werden von Wärmerezeptoren in unserer Haut als Wärme wahrgenommen. 

Offenbar besitzen einige Insekten keine derartigen Wärmerezeptoren und 

verbrennen an hellen (aber heißen) Lampen.

E5.38 Optik mit cm- 

Wellen: Absorption 


V16 Eigenschaften von EM-Wellen 


• Ein LC-Kreis, d.h. eine Leiterschleife aus Kondensator und Spule, wird auch 

elektrischer Schwingkreis genannt, da sich darin elektrisches Feld und 

Magnetfeld abwechselnd gegenseitig erzeugen und vernichten. 

• Elektrische Schwingkreise verhalten sich wie Federpendel. Sie führen 

harmonische Schwingungen aus, die durch Widerstände gedämpft sein können. 

Diese Dämpfung lässt sich durch eine äußere periodische Energieeinkopplung, 

z.B. über eine Wechselspannungsquelle, kompensieren. Diese erzwungene 

Schwingung zeigt die gleiche Frequenzabhängigkeit der Stromamplitude und 

Phase wie eine erzwungene mechanische Schwingung. 

• Ebenso lassen sich solche elektronischen Pendel koppeln und zeigen 

Schwebungsphänomene. 

• Wir hatten schließlich gesehen, dass sich ein LC-Schwingkreis öffnen lässt und 

immer noch zu Schwingungen angeregt werden kann, selbst wenn es sich nur 

noch um einen geraden Draht, einen sog. Dipol oder eine Antenne handelt. 

• Elektromagnetische Strahlung kann von einer Antenne abgestrahlt werden und 

sich im Raum ausbreiten. Sie ist dazu nicht an Materie gebunden. Es handelt 

sich um eine Transversalwelle. Die Ausbreitungsrichtung steht senkrecht auf der 

Auslenkung des elektrischen und magnetischen Feldvektors. Sie wird i.A. durch 

den Wellenvektor k beschrieben. 

• Die Energie elektromagnetischer Wellen beträgt E = h·ν. Es besteht zudem der 

Zusammenhang c=λ·ν. Es sind EM-Wellen für alle Frequenzen bekannt. EM- 

Wellen mit Wellenlängen zwischen 400 und 800 nm sind für uns als Licht 

sichtbar. Dabei erscheint langwelligeres, d.h. niedriger-frequentes Licht rot und 

kurzwelliges, d.h. hochfrequentes Licht blau. 

• Mikrowellen regen Moleküle zur Rotation an, Infrarotstrahlung 

Molekülschwingungen, vis-Strahlung hebt Elektronen in höhere Molekülorbitale 

an, wogegen UV-Strahlung häufig ausreicht, um ein Molekül zu ionisieren. 

• Ein angeregtes Elektron eines (farbigen) Moleküls kann bei Rückkehr in sein 

Ausgangsorbital seine Energie als Licht längerer Wellenlänge wieder abgeben. 

Erfolgt die Lichtabstrahlung kurz nach Anregung, wird von Fluoreszenz 

gesprochen; erfolgt sie erst nach Sekunden oder Minuten, wird von 

Phosphoreszenz gesprochen. 

6.1.10 Durchdringungsvermögen und Absorption von elektromagnetischen 

Wellen 

Befinden sich Holz, Glas, Keramik oder 

Kunststoffe zwischen Sender und Empfänger, 

registriert der Empfänger die 

elektromagnetische Strahlung. Befinden sich 

Eisen-, Kupfer- oder andere Metallplatten 

dazwischen, dann gelangen sie nicht zum 

Empfänger. 

Elektromagnetische Wellen durchdringen 

Isolatoren, nicht aber Metalle. 

Test verschiedener Materialien auf ihre 

Absorptionseigenschaften 

elektromagnetischer Strahlung. Quelle: 

Gesamtband Physik, S. 188 

Bei sehr hohen Frequenzen (und damit Energien der Strahlung, z.B. kurzwellige 

Röntgen- und Gammastrahlung) werden allerdings auch Metalle teilweise 

durchdrungen.


Sind Materialien „durchsichtig“, heißt das nichts anderes, als dass sie nicht mit 

den EM-Wellen wechselwirken. D.h. diese Materialien entziehen den EM-Wellen 

keine Energie; die EM-Wellen werden also von diesen Materialien nicht 

absorbiert. Glas ist für sichtbares Licht durchsichtig, nicht aber für UV-Licht. 

Unser Körper ist für Röntgenstrahlen weitgehend durchsichtig. Lediglich die 

Knochen und Zähne absorbieren einen Teil der Strahlung. 

6.1.11 Reflexion und Interferenz elektromagnetischer Wellen 

Wie mechanische (Transversal-) Wellen können 

auch elektromagnetische Wellen an Objekten 

reflektiert werden, besonders gut an metallischen 

Wänden. Dabei gilt wie in der Mechanik: 

Einfallswinkel = Ausfalls- bzw. Reflektionswinkel, 

wobei immer der Winkel bez. der Flächennormalen, 

d.h. dem Flächennormaleneinheitsvektor ˆn bzw. 

dem Lot senkrecht zur Fläche gemeint ist. 

Quelle: Gesamtband Physik, S. 

188 

Trifft die elektromagnetische Strahlung also senkrecht auf einen Reflektor (d.h. 

die Wellenausbreitungsrichtung ist parallel zu ˆn , der Einfallswinkel also 0° bez. 

des Flächenlots) so kann die Interferenz der einfallenden mit der reflektierten 

Welle 

führen. 

• zur Auslöschung (Überlagerung von Bergen mit Tälern: negative 

Interferenz) sowie 

• zur Verstärkung und Ausbildung von stehenden Wellen (Überlagerung der 

jeweiligen Bergspitzen bzw. der Täler: positive Interferenz) 

Die Reflexion elektromagnetischer Wellen stellt in den verschiedenen 

Wellenlängenbereichen unterschiedliche Anforderungen an die Qualität der 

reflektierenden Flächen. Für Radioteleskope zum Empfang von 

elektromagnetischen Wellen genügen wegen der großen Wellenlänge grobe 

Metallgitter. Im langwelligen infraroten Bereich muss die Oberfläche glatter sein. 

Metallplatten mit rauer Oberfläche wirken aber noch als gute Reflektoren. Im 

sichtbaren und ultravioletten Bereich besitzen Metallplatten und Spiegel, die die 

Strahlung gerichtet reflektieren sollen, eine polierte Oberfläche. Für 

Röntgenstrahlung und Gammastrahlung ist diese infolge des Teilchenaufbaus 

der Stoffe noch viel zu rau. Deshalb tritt eine Reflexion dieser sehr kurzwelligen 

elektromagnetischen Wellen nur bei streifendem Einfall, d.h. großen Winkeln zur 

Flächennormale auf. Bei einem kleineren Einfallswinkel dringen sie dagegen in 

die Metalle ein und durchdringen diese. 

E5.22 Stehende 

elektromagnet. Welle: 

Lichtintensität der 

Glühbirne in 

Abhängigkeit von der 

Entfernung der 

Reflektionswand 


Wellen: Reflexion


6.1.12 Brechung von elektromagnetischen Wellen 

Hertz’sche Wellen werden 

beim Übergang von einem 

Isolator in den anderen 

gebrochen. Quelle: 

Gesamtband Physik, S.189 

Das Foto zeigt die Reflexion und 

Brechung eines Lichtstrahls, der 

auf eine waagerechte Glasfläche 

fällt. (Der obere Teil des 

gebrochenen Strahls erscheint 

nicht deutlich.) Die untere 

Grenzfläche zwischen Glas und 

Luft ist so gekrümmt, dass der 

Strahl senkrecht darauf fällt und 

infolge der Brechung nicht ab 

knickt. 

Schematische Darstellung von (a); 

bezeichnet sind der Einfallswinkel 

(θ1), der Reflexionswinkel (θ1’) und 

der Brechungswinkel (θ2). 

Quelle: Halliday, Abb. 34-17, 

S.985 

Elektromagnetische Wellen können Isolatoren durchdringen. Beim Übergang von 

einem Medium in ein anderes ändern sie jedoch ihre Richtung. Wie stark diese 

Ablenkung ist, d.h. wie groß die Winkel θ1 und θ2 bezüglich der Flächennormalen 

n der Mediengrenzfläche sind, hängt vom Verhältnis der materialspezifischen 

dimensionslosen Brechungsindizes n1 und n2 der beiden Medien 1 und 2 ab. 

Der Zusammenhang wird über das sog. Snellius’sche Brechungsgesetz 

beschrieben: 

oder anders ausgedrückt: 

n ⋅ sinθ = n ⋅ sinθ 

1 1 2 2 

sin θ υ c/ n n 

= = = 

sin θ υ c/ n n 

1 1 1 2 

2 2 2 1 

mit den Geschwindigkeiten v1 und v2 im Medium 1 bzw. Medium 2 (Zur 

Abhängigkeit des Brechungsindex von den Materialeigenschaften s.a. 6.1.8). 

Beim Übergang in ein sog. optisch dichteres Medium (n2 > n1) wird der Strahl 

zum Lot hin gebrochen, d.h. θ2 < θ1. θ2 wird auch Brechungswinkel genannt.


Quelle: Halliday, Tab.. 34-1, S.985 

Brechungsindizes spielen bei der Lichtmikroskopie eine große Rolle 

(Verzerrungsphänomene durch viele Materialgrenzflächen mit unterschiedlichen 

Brechungsindizes; bei hohen Vergrößerungen wird daher zwischen Linse (Glas) 

und Deckglas auf dem zu mikroskopierenden Objekt ein sog. “Immersionsöl” 

getropft, das den gleichen Brechungsindex wie Glas hat, und in das die Linse 

eintaucht). 

6.1.13 Prisma 

Beim Durchgang durch ein 

Prisma, dessen 

Querschnittsfläche ein 

gleichseitiges Dreieck ist, wird 

der Lichtstrahl zwei Mal 

gebrochen und erfährt dadurch 

eine Ablenkung um den Winkel δ. 

Aus der Abbildung ist ersichtlich, 

dass 

δ = α1− β1 + α2 − β2 = α1 + α2 − γ 

da 

γ = β + β 

wegen 

1 2 

γ + 90 − β + 90 − β = 180 

o o o 

1 2 

im Dreieck ABC. 

6.1.14 (Innere) Totalreflexion 

Quelle: Demtröder, Abb. 9.18, S. 265 

Geht EM-Strahlung vom optisch dichteren ins optisch dünnere Medium über (z.B. 

Wasser oder Glas → Luft), so werden umgekehrt die Strahlen vom Eingangslot 

weg gebrochen. Beim kritischen Winkel θk wird θ2 gerade 90°, d.h. für θ > θc 

wird der Lichtstrahl nicht mehr gebrochen, sondern vollständig, d.h. total 

reflektiert: Totalreflexion.

O1.2 Dispersion: 

kontinuierliches 

Spektrum mit Prisma 


Totalreflexion in einem Aquarium. Quelle: Tipler, Abb. 30.16, S. 1035 

Dieses Phänomen wird in Lichtleitern ausgenutzt. 

Licht in einer Glasfaser fällt immer unter einem größeren Winkel θ als dem kritischen Winkel θk auf die 

Glaswand; es kann daher erst am Ende der Glasfaser aus dem optisch dichteren ins optisch dünnere 

Medium austreten. Quelle: Tipler, Abb. 30.18 und 30.19, S. 1036f 

6.1.15 Dispersion 

Wird ein Prisma mit weißem Licht bestrahlt, so zeigt sich, dass die verschiedenen 

Farben (= Wellenlängen bzw. Frequenzen) unterschiedlich stark gebrochen 

werden, d.h. das Licht wird spektral zerlegt. 

Der Brechungsindex n eines Stoffes (und damit seine Dielektrizitätskonstante) 

ist also wellenlängen- bzw. frequenzabhängig: Dispersion. Blaues (kurzwelliges) 

Licht wird stärker gebrochen als rotes (langwelliges) (Erklärung siehe 

Lehrbücher, z.B. Demtröder, Experimentalphysik 2, S. 27f). 

Weißes Licht wird durch ein 

Glasprisma aufgrund der 

Dispersion spektral zerlegt. 

Quelle: Tipler, Abb. 30.22, S. 

1038 

Bei Regen kann das Sonnenlicht in 

den Wassertropfen wie in einem 

Prisma durch Doppelbrechung und 

Dispersion spektral zerlegt werden. 

Es wird ein Regenbogen sichtbar, 

wenn das Sonnenlicht die 

Regenwand von vorne bestrahlt. 


Hin und wieder kann sogar ein 

zweiter (sekundärer) 

Regenbogen über dem primären 

Regenbogen beobachtet werden. 

Dessen Farbabfolge ist genau 

umgekehrt zu der des primären 

Regenbogens. Primärer und 

sekundärer Regenbogen sind 

jeweils nur unter bestimmten 

Winkeln zum Sonnenlicht zu 

sehen (42° bzw. 51°). Quelle: 

Tipler, Abb. 30.28, S. 1041


P2 V17 Polarisation von EM-Wellen 


• EM-Wellen lassen sich an Objekten reflektieren. Sie lassen sich allerdings 

auch absorbieren, wobei die damit absorbierte Energie dazu führen kann, 

je nach Frequenz in den Objekten Molekülrotationen, Schwingungen oder 

Elektronenübergänge zu erzeugen. 

• Elektromagnetische Wellen breiten sich abhängig von der Dichte n des 

Ausbreitungsmediums unterschiedlich schnell in verschiedenen Medien 

aus. An den Grenzflächen zwischen zwei Medien kommt es zusätzlich zur 

sog. Brechung, der Richtungsänderung beim Grenzflächendurchtritt. Sie 

lässt sich über das Snellius’sche Brechungsgesetzt beschreiben. 

• Trifft Licht in eine m großen Winkel (zur Flächennormale) innerhalb eines 

optisch dichten Mediums (großer Brechungsindex n) auf eine Grenzfläche 

zu einem optisch dünneren Medium (kleineres n), kann es zur 

Totalreflexion an dieser Grenzfläche kommen; d.h. das Licht kann das 

optisch dichtere Medium nicht verlassen (z.B. Lichtleiter). 

6.1.16 Polarisation elektromagnetischer Wellen 

Die von Antennen in Ausbreitungsrichtung x (allgemein: entlang des 

2 ⋅π 

Wellenvektors k = ⋅x 

ˆ ) abgestrahlten EM-Wellen sind linear polarisiert, d.h. 

λ 

der E-Feldvektor bzw. der B-Feldvektor zeigen immer entlang des Dipols (E) 

bzw. senkrecht dazu (B); beide Felder schwingen also immer nur in einer 

Richtung (aber senkrecht zueinander und senkrecht zu k). Daher wird sich die 

höchste Intensität des E-Anteils der EM-Welle parallel zur Dipolachse finden 

lassen, die höchste Intensität des B-Anteils senkrecht dazu. In Dipolrichtung (d.h. 

in Verlängerung des Drahtes; hier: entlang der y-Achse) findet keine Abstrahlung 

statt. 

Da Glühbirnen, Leuchtstoffröhren oder Sterne (wie unsere Sonne) nicht ein 

einziger ‚großer’ gerichteter LC-Schwingkreis wie ein Fernseh- oder Radiosender 

sind, sondern eher eine Sammlung vieler kleiner, völlig willkürlich angeordneter 

LC-Schwingkreise, ist sichtbares Licht normalerweise nicht polarisiert. 

Erläuterung: Jede lineare Elektronenoszillation (bzw. jeder lineare 

Elektronenübergang), der zur Aussendung von elektromagnetischer Strahlung in 

Form von Licht führt [weil die Oszillationen mit Frequenzen der Größenordnung 

von 10 14 Hz erfolgen], kann zwar für sich gesehen als (einmaliger) Stromfluss 

entlang eines linearen Pfades {analog zur Elektronenbewegung im geraden 

E5.27 Hertzscher Dipol 

und E5.22 Stehende 

elektromagnet. Welle: 

Lichtintensität der 

Glühbirne in 

Abhängigkeit vom Winkel 

der Empfangsantenne 

zur Sendeantenne 


Wellen: Polarisation


Draht einer Antenne} betrachtet werden. Allerdings kann dieser Pfad für jedes 

lichtemittierende Atom oder Molekül beliebig im Raum orientiert sein. Es wird 

daher auch von ‚natürlichem Licht’ gesprochen. 

Links: Überlagerung der beliebig (also „statistisch“) verteilten, d.h. unpolarisierten E-Feldvektoren vieler 

einzelner lichtaussendender Atome/Moleküle. Rechts: Mathematisch lässt sich das Durcheinander 

vereinfachen, indem jeweils die y- als auch die z-Anteile der E-Vektoren aller lichtaussendenden Atome 

getrennt aufaddiert werden. Damit haben wir unpolarisiertes Licht als Überlagerung zweier polarisierter 

Wellen ausgedrückt, deren Schwingungsebenen senkrecht aufeinander stehen. 

Wird unpolarisiertes Licht als Überlagerung zweier polarisierter, senkrecht 

aufeinander stehender EM-Wellen ausgedrückt (s. Abb.), dann lassen sich 

folgende Fälle unterscheiden: 

• y- und z-Amplituden sind gleich groß: unpolarisiertes (= 

natürliches) Licht 

• y- und z- Amplituden sind nicht gleich groß: teilweise 

polarisiertes Licht (Zur Erzeugung siehe Brewster’sches 

Gesetz 6.1.16.1) 

π 

• y- und z- Amplituden sind gleich groß, aber um ϕ = (d.h. um 

2 

90°) gegeneinander phasenverschoben: zirkular polarisiertes 

Licht, auch drehende Polarisation bezeichnet: Der Feldvektor E 

dreht sich bei Voranschreiten der Welle mit konstanter 

Winkelgeschwindigkeit ω um den Wellenvektor k und ändert 

seinen Betrag dabei nicht. 

(Es kann mit ‚doppelbrechenden’ Materialien (z.B. Kalkspat, CaCO3) 

erzeugt werden. In solchen Materialien wird das Licht in einen sog. 

‘ordentlichen’ und einen sog. ‘außerordentlichen’ Strahl aufgespalten 

(s.a. Lehrbücher der Physik). Diese beiden Strahlen sind senkrecht 

zueinander polarisiert (entsprechen also genau dem oben zur Hilfe 

genommenen mathematischen Modell). Allerdings wandert der 

außerordentliche Strahl etwas langsamer durch den Kristall. (Das liegt 

darin begründet, dass sich die Elektronenschwingungen in solchen 

Materialien nicht in jeder Richtung gleich gut anregen lassen. Das führt 

zu richtungsabhängigen Brechungsindizes; d.h. der Kristall hat dann 

(mind.) zwei unterschiedliche Brechungsindizes ny und nz für y- und zpolarisiertes 

Licht. Unter 6.1.8 hatten wir gesehen, dass die 

Ausbreitungsgeschwindigkeit in Materie v = c/n ist.) Wird nun das 

unpolarisierte Licht in einem bestimmten Winkel auf einen solchen 

Kristall bestimmter Dicke d gestrahlt, so dass der außerordentliche 

Strahl um eine viertel Periode (1/4T) später aus dem Kristall austritt (weil 

er etwas langsamer läuft und möglicherweise zus. einen längeren Weg 

zurücklegen muss), dann stehen die E-Feldvektoren von ordentlichem 

(y-) und außerordentlichem (z-) Strahl wegen der Doppelbrechung nicht


nur senkrecht aufeinander, sondern diese beiden Anteile sind zusätzlich 

um genau 90° phasenverschoben. Es kann gezeigt werden, dass die 

λVak 

1 

Dicke des Kristalls genau d = ⋅ 

sein 

4 n −n 

ordentlicher Strahl außerordentlicher Strahl 

λ 

muss (n: Brechungsindex). Es wird daher auch von sog. -Plättchen 

4 

gesprochen. 

Linkszirkular polarisiertes Licht: der E-Feldvektor rotiert mit der Frequenz ω = ϕ/t um den 

Wellenvektor k (der mit der Ausbreitungsrichtung x zusammenfällt). Quelle: Demtröder, Abb. 

7.5, S. 188 

• y- und z- Amplituden sind nicht gleich groß und zusätzlich um 

π 

ϕ = (d.h. um 90°) gegeneinander phasenverschoben: 

2 

elliptisch polarisiertes Licht. 

• Eine der beiden Amplituden (y oder z) ist Null: linear 

polarisiertes Licht. Lineare Polarisation lässt sich auch als 

Überlagerung einer links-(l-) und rechts (r-) zirkular polarisierten 

Welle auffassen, die gleiche Amplitude und Umlauffrequenz 

haben. 

Alternative Veranschaulichung von linear polarisiertem Licht als Überlagerung aus zwei 

entgegengesetzt zirkular polarisierten E-Feldvektoren gleicher Amplitude und 

Umlauffrequenz. Quelle: Göpel/Ziegler, Struktur der Materie, Abb. 3.5.41, S. 452 

Die Polarisierbarkeit elektromagnetischer Wellen ist ein experimenteller Beweis 

dafür, dass es sich bei Lichtwellen um Transversalwellen handelt. 

Longitudinalwellen lassen sich nicht polarisieren.


6.1.16.1 Polarisation durch Reflexion – Brewster’sches Gesetz 

Wenn unpolarisiertes Licht an der Grenzfläche zwischen zwei durchsichtigen 

Medien (z.B. auf der Meeresoberfläche) reflektiert wird, dann ist das reflektierte 

Licht teilweise polarisiert. Das Ausmaß der Polarisation hängt ab vom 

Einfallswinkel und von den Brechzahlen der beiden Medien. Hat der 

Einfallswinkel gerade einen solchen Wert, dass der reflektierte und der 

gebrochene Strahl aufeinander senkrecht stehen (Polarisationswinkel θP), so ist 

der reflektierte Strahl vollständig polarisiert. 

Mit dem Brechungsgesetz von Snellius (6.1.12) und der Randbedingung 

θ2= 90°−θPfür den Polarisationswinkel ergibt sich das Gesetz von Brewster 

(David Brewster, 1812): 

tan P 

Das elektrische Feld des einfallenden Strahls lässt 

sich in zwei Komponenten zerlegen, z. B. parallel 

(Doppelpfeile) und senkrecht (Punkte) zur 

Papierebene (= sog. Einfallsebene). Das reflektierte 

Licht ist dann senkrecht zur Einfallsebene 

vollständig polarisiert. Quelle: Tipler, Abb. 30.36 und 

30.37, S. 1047f 

6.1.16.2 Polarisation durch Absorption 

n 

n 

2 θ = . 

1 

Ist bereits das einfallende Licht polarisiert, und zwar 

so, dass sein Vektor des elektrischen Feldes E in der 

Einfallsebene liegt, dann wird kein Licht reflektiert, 

wenn der Einfallswinkel gleich dem 

Polarisationswinkel ΘP ist. Erklärung: Die Moleküle 

im dichteren Medium (Glas) oszillieren parallel zum 

elektrischen Feld des gebrochenen Strahls. Entlang 

der Oszillationsrichtung (d.h. parallel zur Antenne) 

kann aber keine Energie abgestrahlt (d. h. hier 

reflektiert) werden. 

Sind die Moleküle in einem Material wie bei einem Lattenzaun so ausgerichtet, 

dass sie nur die E-oder B-Feldvektoren einer bestimmten Orientierung 

durchlassen, in allen anderen Orientierungen dagegen absorbieren, dann ist das 

Licht ebenfalls polarisiert. 

Verschiedene Kristalle oder in eine Richtung gestreckte Polymerfolien haben 

diese Eigenschaften. Auch in Liquid-Crystall Displays (LCDs), in


Flachbildschirmen mit stäbchenförmigen Molekülen, die Flüssigkristalle bilden, 

wird Licht einerseits gedreht (s.a. Optische Aktivität) als auch durch Folien 

polarisiert. 

Polarisation durch Absorption: Polymer- 

Polarisationsfolien (Polarizer) bestehen aus 

gestreckten und ausgerichteten 

Polymermolekülen. Diese lassen wie ein 

Gartenzaun nur solches Licht durch, dessen E- 

Feldvektor in Richtung der Polymerketten zeigt. 

Das übrige Licht wird von den Polymersträngen 

absorbiert. 

Quelle: http://www.olympusmicro.com/primer 

Funktionsweise einer Flüssigkristallanzeige: Das Licht tritt 

durch einen Polarisationsfilter in eine Kammer definierter 

Höhe mit Flüssigkristallen ein. Die Moleküle in der 

Kammer sind von sich aus so (in einem Flüssigkristall) 

angeordnet, dass sie die Polarisationsebene des Lichtes 

auf der von ihm zurückgelegten Strecke um genau 90° 

drehen. Sie können also durch den um 90° zum ersten 

Polarisationsfilter angeordneten zweiten Polarisationsfilter 

durchtreten. Wird nun eine Spannung an die Kammer 

angelegt, orientieren sich die Flüssigkristalle entlang des 

elektrischen Feldes neu an; die Polarisationsebene des 

Lichtes wird also nicht mehr gedreht und kann damit den 

unteren Filter nicht mehr passieren. Quelle: sharpworld.com/sc/ 

library/lcd_e/s2_1_1e.htm 

Wegen der Polarisation von reflektiertem Licht schützen Sonnenbrillen mit 

Gläsern aus polarisierendem Material besonders gut vor zu grellem Licht. Wenn 

Licht von einer horizontalen Fläche reflektiert wird, etwa einem See oder einem 

Schneefeld, so steht die Einfallsebene vertikal und das elektrische Feld des 

reflektierten Lichts hauptsächlich horizontal. Polarisierende Sonnengläser mit 

einer vertikalen Transmissionsachse absorbieren daher einen großen Teil des 

reflektierten Lichts. Ob eine Sonnenbrille polarisiert, lässt sich leicht feststellen: 

Man beobachtet durch sie einen reflektierten Lichtstrahl und dreht sie dann um 

90°. Wird nun wesentlich mehr Licht durchgelassen, dann wirkt sie polarisierend. 

6.1.16.3 Polarisation durch Streuung 

Die polarisierende Schicht auf 

Sonnenbrillengläsern ist vertikal 

ausgerichtet, wenn die Brille 

getragen wird. Kreuzung der 

Polarisationsrichtungen führt zur 

gänzlichen Verdunklung. Quelle: 

Halliday, Abb. 34-15, S. 982 

Polarisation lässt sich auch durch Streuung an Atomen oder Molekülen 

beobachten. Licht, das auf ein Objekt trifft, z.B. auf ein Molekül, wird gestreut, 

d.h. in viele (manchmal sogar in zufällige) Richtungen wieder abgestrahlt. Ein

O2.4 Optische Aktivitaet 


allgemein vertrautes Beispiel ist die Streuung des Sonnenlichts an den Molekülen 

der Atmosphäre, wodurch der Taghimmel homogen hell erscheint. 

Das Sonnenlicht selbst ist unpolarisiert. Ein großer Teil des Himmelslichts 

hingegen ist aufgrund der Streuphänomene zumindest teilweise polarisiert. 

Bienen orientieren sich an der Polarisation des Himmelslichts, um zu ihren 

Behausungen zu finden. Die Wikinger entwickelten ein Verfahren, um auch in der 

Polarnacht (wenn die Sonne auch am Tag nicht über den Horizont steigt) durch 

die Nordsee navigieren zu können: Diese frühen Seefahrer hatten einen Kristall 

entdeckt, den man heute Cordierit nennt und der seine Farbe ändert, wenn man 

ihn in polarisiertem Licht dreht. Sahen die Seeleute durch einen solchen Kristall 

und drehten ihn dabei um die Sichtachse, so konnten sie die Position der Sonne 

hinter dem Horizont bestimmen und so die Himmelsrichtungen ermitteln. 

6.1.17 Optische Aktivität 

Es gibt Stoffe, die die lineare Polarisation um einen Winkel α drehen können. 

Solche Stoffe, die meist sog. chirale (asymmetrische) C-Atome enthalten, heißen 

optisch aktiv. Da Rohrzucker optisch aktiv ist und die Rotation 

α = α ⋅c⋅ d 

0 

proportional zur Konzentration c ist, kann die Konzentration von Zuckerlösungen 

bestimmt werden (Saccharimetrie). α0 ist das (stark frequenzabhängige) 

spezifische Drehvermögen, d die Länge des Lichtweges in der Lösung. 

Quelle: Staudt, Abb. 8.46, S.250


V18 EM-Wellen: Optische Aktivität, Interferenz 


• Elektromagnetische Wellen lassen sich polarisieren, d.h. nach der 

Schwingungsrichtung ihrer elektr. bzw. magn. Feldvektoren sortieren. Je 

nach Methode lässt sich linear, zirkular oder elliptisch polarisiertes Licht 

erhalten. 

6.1.18 Beschreibung des Wellencharakters von Licht 

Ohne den elektromagnetischen Charakter von 

Lichtwellen zu berücksichtigen, kann die 

Lichtausbreitung über ein einfaches Wellenmodell 

beschrieben werden. Demnach ist jeder Punkt einer 

Wellenfront Ausgangspunkt sekundärer kugelförmiger 

Elementarwellen. Der Ort der Wellenfront ist zu einer 

beliebigen Zeit t gegeben durch die Tangenten an alle 

dieser sekundären Elementarwellen: Huygens’sches 

Prinzip. (Christiaan Huygens, niederländ. Physiker, 

1629-1695) 

Fortpflanzung einer ebenen Welle im Vakuum wie sie vom 

Huygens’schen Prinzip erklärt wird. Quelle: Halliday, Abb. 36-1, S. 

1032 

6.1.19 Interferenz zeitlich und räumlich kohärenter elektromagnetischer 

Wellen 

Genau wie in der Mechanik (z.B. Wasser- oder Schallwellen) überlagern sich 

zwei Wellen (nach dem Superpositionsprinzip (Überlagerung)), wenn sie an 

einem Punkt zusammen treffen, ohne sich jedoch gegenseitig zu stören. Dieses 

Phänomen hatten wir als Interferenz kennen gelernt: 

Werden zwei (harmonische) Wellen mit gleicher Frequenz ν oder Wellenlänge λ 

addiert, dann hängt die resultierende harmonische Welle 

yres(,) st = y0⋅sin( ω⋅ t ± ϕres 

) von der Phasendifferenz Δ ϕ = ϕ2 −ϕ1der beiden sie 

erzeugenden Wellen y1(,) st = y0 ⋅sin( ω⋅ t ± ϕ1) 

und y2(,) st = y0 ⋅sin( ω⋅ t ± ϕ2) 

ab: 

• Für Δϕ = 0 oder ganzzahlige Vielfache von 2π (360°) bzw. 

Δs = n·λ: die beiden Wellen sind ‚in Phase’, d.h. es kommt 

zur konstruktiven Überlagerung; die Amplituden addieren 

sich. Es kann auch mathematisch gezeigt werden, dass 

ϕres gleich ϕ1 bzw. ϕ2 ist. Dabei wird maximale Intensität 

erzielt (I ∝ A 2 (Amplitudenquadrat)). Der Intensitätsbegriff 

ist also nicht mit der resultierenden Amplitude zu 

verwechseln, sondern bezeichnet die Energie, die im 

zeitlichen Mittel pro Zeiteinheit durch eine Einheitsfläche in 

Strahlungsrichtung fortschreitet. 

• Für Δϕ = ungeradzahlige Vielfache von π (180°) 

bzw. Δs = n·λ/2 wird destruktive Interferenz beobachtet, 

d.h. bei gleicher Amplitude kommt es zur vollständigen 

gegenseitigen Auslöschung der beiden Wellen. 

Konstruktive (=verstärkende) (a) und destruktive (=schwächende) (b) Superposition = Interferenz zweier 

Wellen (blau und schwarz) entlang des Weges s als Momentaufnahme zu einem bestimmten Zeitpunkt t. 

Die jeweils untere Welle in einem Diagramm gibt die resultierende Welle wieder. Überlagern sich wie in 

(b) der Wellenberg der einen Welle mit dem Wellental der anderen Welle, kommt es zur gänzlichen 

Auslöschung der Welle. Quelle: Gesamtband Physik S. 101. 

Computersimulation: 

Spektrum und 

Spektrallinien einiger 

Elemente

(O2.10 Doppelspiegel- 

Interferenz) 

(O2.15 Michelson 

Interferometer) 


Damit Interferenz detektierbar ist, müssen die miteinander interferierenden 

Wellen kohärent (lat. cohaerere = zusammenhängen) sein, d.h. sie müssen über 

einen größeren räumlichen und/oder zeitlichen Bereich hinweg eine definierte 

(sich nicht ändernde) Phasenbeziehung Δϕ aufzuweisen. 

Das thermisch erzeugte weiße Licht einer Glühbirne 

ist in der Regel nicht kohärent. Die Lichtemission 

von einer großen Anzahl Atomen in den Drähten 

findet zufällig, voneinander unabhängig und in 

extrem kurzen Zeitspannen statt (bis hinunter zu 

einer Emissionsdauer von τ = 3·10 -14 s bis 

3·10 -15 s). In dieser sog. Kohärenzzeit strahlt ein 

Atom einen Wellenzug der Länge 

l = c·τ = 3·10 8 m/s · 10 -14 s = 3 µm ab. Diese Länge 

wird auch Kohärenzlänge genannt. Bei einer 

Glühbirne reicht sie nicht aus, um 

Interferenzerscheinungen zu zeigen. 

Die Kohärenzzeit liegt bei Niederdruck-Gasentladungslampen bei 

(größenordnungsmäßig) 10 -9 s und bei Laserlicht bei bis zu 0,1 s. Laser (Abk. für 

Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation) sind damit kohärent, da 

dort sehr viele Atome in kooperativer Weise Licht aussenden. Das Sonnenlicht ist 

teilweise kohärent. 

Die Erzeugung zweier kohärenter untereinander interferierender Wellen aus einer 

Laserquelle funktioniert am einfachsten durch Teilung einer Welle in zwei 

Teilwellen. Dies lässt sich z.B. durch Teilung der Wellenfront durch Spiegel oder 

Prismen erreichen, wenn also beide Wellenzüge unterschiedlich lange Wege 

durchlaufen und anschließend wieder zusammengeführt werden. Alternativ teilt 

man einen Lichtstrahl über einen halbdurchlässigen Spiegel auf und rekombiniert 

die an zwei zueinander senkrecht angeordneten (frei beweglichen) Spiegeln 

reflektierten Strahlen anschließend über denselben halbdurchlässigen Spiegel 

wieder. Diese Anordnung heißt Michelson-Interferometer. (Albert Michelson, 

amerikan. Physiker, 1852-1931)


Fresnel’scher Spiegelversuch zur 

Erzeugung von Interferenzen mit nur einer 

Lichtquelle L. Die an den Spiegeln S1 und S2 

reflektierten Telbündel scheinen von den 

virtuellen Lichtquellen L1 bzw. L2 

herzukommen. Quelle: Demtröder, Abb. 10.5, 

S. 296 (Augustin-Jean Fresnel, franz. 

Physiker, 1788-1827) 

Schematische Darstellung eines Michelson- 

Interferometers: Eine EM-Wellenfront E (z.B. kohärentes 

Licht) tritt durch einen halbdurchlässigen Spiegel ST und 

trifft auf zwei Spiegel M1 und M2. Diese können so 

verfahren werden, dass die reflektierten Lichtstrahlen je 

nach Gangunterschied Δs der reflektierten Wellen 

konstruktiv (Δs = n·λ) oder destruktiv (Δs = n·λ/2) 

interferieren. Auf dem Schirm B lässt sich demnach 

folgender Intensitätsverlauf in Abhängigkeit von Δs 

finden: 

Quelle: Demtröder, Abb. 10.11 und 10.11, S. 296f 

Auch die „Körnigkeit“ eines Laserpunktes auf rauen Oberflächen ist z.B. eine 

Folge der Interferenz. 

6.1.20 Interferenz an dünnen Schichten 

Jeder kennt die farbig schillernden Strukturen einer Seifenblase, eines Ölfilms auf 

einer Pfütze. Diese entstehen durch Interferenz der an Vorder- und Rückseite 

einer dünnen Schicht gebrochenen und reflektierten Wellen. 

Gangunterschiede Δs bei einer 

planparallelen durchsichtigen Platte der 

Dicke d (a) im reflektierten Licht und (b) 

im transmittierten Licht, die beide zu 

Interferenzerscheinungen führen 

können. Da der Brechungsindex n 

wellenlängenabhängig ist, interferieren 

unterschiedliche Farben konstruktiv 

bzw. destruktiv bei verschiedenen 

Einfallswinkeln α. Quelle: Demtröder, 

Abb. 10.8, S. 298 

O2.20 Interferenz an der 

Seifenlamelle

O2.13 Newton’sche 

Interferenz 


Wie bei mechanischen Wellen gilt für die Phase ϕ bei Reflexion: 

• Phasensprung von Δϕ = 

180° bei Reflexion an einem 

(optisch) dichteren Medium 

(d.h. mit größerem 

Brechungsindex n2) 

• keine Phasenverschiebung 

(Δϕ = 0°) bei Reflexion an 

einem (optisch) dünneren 

Medium (d.h. mit kleinerem 

Brechungsindex n2) 

Das Phasenverhalten elektromagnet. Wellen 

entspricht dem mechanischer Wellen (hier am 

Bsp. des Seils): (a) Kein Phasensprung einer 

Welle in einem optisch dichteren Medium bei 

Reflexion an der Grenzfläche zum optisch 

dünneren Medium; auch der die Grenzfläche 

überwindende Anteil behält die Phase bei. 

(b) Trifft die Welle jedoch von einem optisch dünneren Medium kommend auf eine Grenzfläche zu einem 

optisch dichteren Medium, kommt es zum Phasensprung von 180° (entspr. π) bei der reflektierten Welle; 

dagegen bleibt die Phase bei der ins optisch dichtere Medium übertretenden Welle erhalten. Quelle: 


Interferenz an dünnen Schichten wird zur Herstellung von Farbfiltern (z.B. für die 

Mikroskopie genutzt): Durch übereinander liegende dünne Schichten aus Glas 

wird an jeder Schicht ein Teil des Lichtes reflektiert. Ist die Glasschicht gerade so 

dick wie die Wellenlänge (oder ein Vielfaches davon) des eingestrahlten Lichtes, 

dann wird das Licht ausgelöscht, wenn nicht, wird es durchgelassen. Erzielbare 

spektrale Bandbreite des durchgelassenen Lichtes: > 1 nm (man spricht dann 

auch von einem Bandpassfilter der Bandbreite von 1 nm). 

http://www.fluorescence.com/tutorial/int-filt.htm 

Interferenz liegt auch den sog. Newton’schen Ringe zu Grunde, die sich 

zwischen zwei nicht perfekt aufeinander liegenden Platten (z.B. Objektträgern, 

Deckgläsern) zeigen:


Kreisförmiges Interferenzmuster, das durch eine Linse auf 

einer ebenen Glasplatte erzeugt wird (links) Streifenförmige 

Interferenzmuster werden erhalten, wenn zwei Platten einen 

Luftkeil einschließen. Diese Art der Interferenz wird 

Newton’sche Ringe genannt. Quellen: Halliday, Abb. 36- 

34, S. 1059; Tipler, Abb. 33.4, S. 1113 

Beispiele sind Newton’sche Ringe, die sich 

zwischen den Deckgläsern von Dias bilden 

oder die farbigen Ringe in Öltropfen auf einer 

Pfütze.

O2.17 Beugung an 

versch. Objekten (Spalt, 

Gitter, ...) 


V19 EM-Wellen: Beugung am Spalt, Streuung 


• Wir hatten gesehen, dass sich wie in der Mechanik elektromagnetische 

Wellen überlagern lassen, d.h. zur Interferenz gebracht werden können. 

Dies kann im Extremfall bei Wellen gleicher Wellenlänge bzw. Frequenz 

zu einer Amplitudenverdopplung (keine Phasenverschiebung) bzw. einer 

gänzlichen Auslöschung (Phasenverschiebung von 180°) der Wellen 

führen. Dies hatten wir am Michelson-Interferometer überprüfen können. 

• An dünnen Schichten kann es zu konstruktiven und destruktiven 

Interferenzen kommen, den sog. Newton’schen Ringen. Je nach 

Schichtdicke und Einfallswinkel des Lichtes werden einige Frequenzen 

ausgelöscht, andere dagegen verstärkt. 

6.1.21 Beugung 

Trifft eine ebene Welle auf ein Hindernis, in dem sich eine Öffnung befindet, 

deren Abmessungen in der Größenordnung der Wellenlänge λ liegen (d.h. 

Øa ≈ λ), so breitet sich der Teil der Welle, der durch die Öffnung gelangt, 

dahinter im Raum kugelförmig aus – man sagt, die Welle wird an der kleinen 

Öffnung „herum gebogen“ oder gebeugt. Je enger die Öffnung ist, desto 

intensiver die Beugung. (D.h. hinter der Öffnung werden auch dort 

Wellenauslenkungen gefunden, wo die Welle bei geradliniger Ausbreitung 

eigentlich gar nicht hinkäme. Für Licht heißt das z.B., dass es an Stellen hell ist, 

die bei rein geradliniger Lichtausbreitung (als Licht“strahl“) gar nicht beleuchtet 

werden dürften.) 

Schematische Darstellung der Beugung von Wellen. Für eine gegebene Wellenlänge λ wird das 

Phänomen umso ausgeprägter, je kleiner die Spaltbreite a (als Vielfaches von λ angegeben) ist. Quelle: 


Die Beugung ist eine wellentypische Erscheinung und gilt auch für mechanische 

Transversal- (z.B. Wasser-) oder Longitudinal- (z.B. Schall-) Wellen. 

Wird das an einer kleinen Öffnung gebeugte Licht auf einen Schirm projiziert, 

lassen sich kreisförmige Interferenzerscheinungen beobachten:


Links: Beugungsmuster, das an einer kreisrunden Öffnung entsteht; zu sehen ist ein Hauptmaximum und 

mehrere ringförmige Nebenmaxima. Wird die Intensitätsverteilung entlang der nachträglich eingezeichneten 

gepunkteten Linie als Funktion des Quotienten aus Wellenlänge und Öffnungsbreite a aufgetragen, erhält 

man das rechte Diagramm. Quellen: Halliday, Abb. 37-9, S.1072; Staudt, Abb. 8.66, S. 267 

Die kreisförmige Öffnung enthalte eine große Zahl an Punktquellen, 

die Wellen gleicher Amplitude emittieren (oben). Am ersten 

Beugungsminimum löschen sich die Wellen derjenigen Quellenpaare 

aus, die voneinander den Abstand von a/2 haben, da die 

Phasendifferenz Δϕ zwischen ihnen 180° beträgt (links). Quellen: 

Tipler, Abb. 33.20, S. 1126; Demtröder, Abb. 10.32, S. 313. 

Die Intensitätsminima sind in der Intensitätsverteilung bei 

λ 

sinθ = N ⋅ mit N = 0, 1, 2, ... (Gegenkathete zu Hypotenuse) 

a 

und die Intensitätsmaxima (neben dem Hauptmaximum im Zentrum) bei 

(2⋅ N + 1) λ 

sinθ 

= ⋅ mit N = 1, 2, ... 

2 a 

zu finden, wobei θ der Winkel zwischen Ausbreitungsrichtung der Welle und dem 

auf dem Schirm beobachteten Minimum bzw. Maximum ist (s. folgende Abb.), N 

ist die sog. Ordnung - hier das N-te Minimum bzw. Maximum, a der Durchmesser 

der punktförmigen Öffnung und λ die Wellenlänge. Mit zunehmender Ordnung 

nimmt die Intensität eines Maximums stark ab. 

Die Interferenz gebeugten Lichts wird aus folgender Überlegung klar: Nach dem 

Huygens’schen Prinzip ist jeder Punkt einer Wellenfront Ausgangspunkt einer 

neuen Elementarwelle (Kugelwelle). Diese Wellen können untereinander 

interferieren, so dass in gewissen Winkeln zur Ausbreitungsrichtung zwei 

benachbarte Wellen (bzw. Lichtstrahlen) destruktiv interferieren (Dunkelheit), in 

anderen Winkeln konstruktiv (helle Ringe). Destruktive Interferenz tritt also immer 

genau dann auf, wenn zwei benachbarte Wellenzüge genau um eine halbe

O2.17 Beugung an 

versch. Objekten (Spalt, 

Gitter, ...) 


Periode 1/2T bzw. um eine halbe Wellenlänge λ/2 zueinander versetzt sind. Man 

spricht auch von einem Gangunterschied von Δs = λ/2 zwischen diesen beiden 

Wellen. 

6.1.22 Beugung und Interferenz an Mehrfachspalten 

Bei mehr als einer Öffnung bzw. einem Spalt überlagern sich Beugung und 

Interferenz der aneinander gereihten Beugungsbilder. 

Relative Lage und relative 

Intensitätsverteilung von 

kohärentem Licht, das an einem 

Doppel- (2 Quellen), Dreifach- (3 

Quellen) bzw. Vierfach- (4 Quellen) 

Spalt zunächst jeweils gebeugt und 

dann zusätzlich untereinander 

interferieren kann. So wie bei der 

Beugung jeder Punkt der 

Wellenfront als Lichtquelle 

betrachtet wurde, kann hier jeder 

Spalt als Lichtquelle fungieren. 

Quelle: Tipler Abb. 33.18, S. 1124 

Mit der genau gleichen Überlegung 

wie bei der Beugung lässt sich das 

Interferenzmuster eines 

Beugungsgitters mit M parallelen, 

im Abstand d zueinander entfernten 

Spalten (d.h. punktförmigen 

Lichtquellen) erklären. Entspricht 

der Gangunterschied Δs genau 

einer halben Wellenlänge λ, dann 

kommt es (wie bei der Interferenz 

an einem einzigen Spalt) zur 

Auslöschung der an benachbarten 

Spalten gebeugten Wellen. 

Beispielhafte Intensitätsverteilung I(θ) bei einem Beugungsgitter mit acht Spalten, bei dem d/a = 2 gewählt 

wurde. Interferenz der an einem Spalt gebeugten Wellen (Beugungsverteilung) und Interferenz zwischen 

den Wellen benachbarter Spalte überlagern sich. In die zweite Interferenzordnung gelangt wegen des 

Beugungsminimums kein Licht. 

Die Intensitätsminima sind in der Intensitätsverteilung bei einem 

Gangunterschied Δs einer halben Wellenlänge, d.h. bei 

λ 

Δ s = N⋅ = d⋅ 

sinθ 

mit N = 1, 2, ... 

2 

zu finden; entsprechend sind die Intensitätsmaxima bei


Δ s = N⋅ λ = d⋅ 

sinθ 

mit N = 0, 1, 2, ... 

zu finden, wobei θ wieder der Winkel zwischen Ausbreitungsrichtung der Welle 

und dem auf dem Schirm beobachteten Minimum bzw. Maximum ist. N ist wieder 

die sog. Ordnung, d der Abstand der Spalte bzw. feinen Gitterlinien voneinander 

und λ die Wellenlänge. 

Je mehr Spalte, desto 

• mehr Nebenmaxima sind zu beobachten, 

• schärfer sind die Hauptmaxima und desto schwächer die Nebenmaxima. 

6.1.23 Dispersion an Beugungsgittern 

Da der Beugungseffekt (wie die Brechung) wellenlängenabhängig ist, spaltet ein 

weißes Lichtbündel beim Durchgang durch ein Gitter in die Spektralfarben auf, 

und zwar stärker als beim Prisma. Dieses Phänomen wird auch 

Winkeldispersion genannt. Anwendung: Gitterspektrometer. 

6.1.24 Interferenz bei Reflexion (am Beispiel einer CD bzw. DVD) 

Auch die feinen Vertiefungen in einer CD wirken wie ein Beugungsgitter (bzw. 

Gitterspektrometer). Dadurch sind die intensiven schillernden Farben zu erklären. 

Die Daten werden auf der CD in einer spiralförmig von innen nach außen 

verlaufenden Spur von Vertiefungen (Pits) gespeichert. Das zwischen den Pits 

verbleibende Material heißt Land. Jeder Übergang von Pit nach Land bzw. 

anders herum wird als „1“ gewertet, ein gleich bleibender Zustand als „0“. 

Aufgrund der geringen Größe der Pits sind sie nur unter einem 

Elektronenmikroskop sichtbar zu machen. 

Quelle: Cornelson Verlag 

Die Interferenzeigenschaften einer CD-ROM entstehen durch das spiegelnde 

Material zwischen den Pit-Spuren (Pfeile). Da die Pits zufällig verteilt sind, bildet 

die dazwischen verlaufende, gleichmäßig reflektierende Spirale ein ideales 

Reflexionsgitter mit einer Gitterkonstanten von 1,5µm. 

Die Erklärung der Beugung erfolgt analog zur Beugung am Strichgitter, nur dass 

das Licht hier reflektiert wird statt das Gitter zu durchlaufen.


Quelle: Cornelson Verlag 

Wenn die unter dem Winkel α reflektierten Wellen einen Gangunterschied von 

einer Wellenlänge haben, verstärken sie sich gegenseitig und bilden so das 

1. Maximum. 

λ 

Für den Beugungswinkel α ergibt sich so die Bedingung sinα 

= . 

g 

Ähnlich ist das irisierende (Farbton ist abhängig vom Blickwinkel) Schillern 

einiger Schmetterlingsflügeloberflächen zu erklären. Die Interferenz, die für die 

brillante blaue Farbe des Morpho-Schmetterlingflügels verantwortlich ist, findet 

dort an dachziegelartig angeordneten, durchscheinenden Schüppchen statt. 

Quelle: http://webexhibits.org/causesofcolor/15.html 

6.1.25 Streuung ist u.a. verantwortlich für das Himmelsblau und Abendrot 

Unter Streuung wird allgemein die Ablenkung eines Objekts durch 

Wechselwirkung mit einem lokalen anderen Objekt (Streuzentrum) verstanden. 

Beispiele sind die Streuung von Licht an Atomen, Molekülen oder Feinstaub in 

der Atmosphäre. 

Unterschieden wird zwischen


• elastischer Rayleigh-Streuung an 

Objekten, die kleiner sind als deren 

Wellenlänge, auch Dipol-Streuung genannt; 

dabei gilt, dass die Wahrscheinlichkeit der 

Streuung proportional mit 1/λ 4 wächst: 

deswegen wird im sichtbaren Spektrum das 

blaue Licht viel stärker gestreut als das rote. 

Das führt zur blauen Färbung des Himmels zur Mittagszeit. Bei Sonnenuntergang 

erscheint der Himmel dagegen rötlich, da die Sonne tiefer am Horizont steht und 

ihr Licht einen weiteren Weg durch die Atmosphäre zurücklegen muss. Dabei 

wird das blaue Licht in der äußeren Atmosphärenschicht schon vollständig 

herausgestreut, so dass nur noch das rote Licht das Auge erreicht. (John William 

Strutt, seit 1873 3. Lord Rayleigh, engl. Physiker, 1842-1919) 

• inelastischer Raman-Streuung an Atomen, Molekülen oder Festkörpern. 

(Chandrasekhara Venkata Raman, indischer Physiker, 1888-1970) 

• Mie-Streuung, elektromagnetische Streuung an Objekten in der 

Größenordung der Wellenlänge, (auch Lorenz-Mie-Streuung). (Gustav 

Mie, deutscher Physiker, 1868-1957 und Ludvig Lorenz, dänischer 

Physiker, 1829-1891). 

Bei elastischer Streuung ist die Summe der kinetischen Energien nach dem Stoß 

gleich groß wie vorher, während sie sich bei inelastischen Streuungen ändert 

(verringert).


V20 Geometrische Optik: Spiegel, Linsen 


• Wellen lassen sich auch an Objekten beugen. Um die Beugung von Licht 

sichtbar machen zu können, muss das Objekt sehr klein sein, z.B. ein 

enger Spalt oder eine kleines Loch mit Abmessungen in der 

Größenordnung der Wellenlänge des Lichts. Durch die Beugung kommt 

es ebenfalls zu Interferenzen, die sich als alternierende 

Intensitätsverteilung auf einem Schirm zeigt. 

• Dazu wurde angenommen, dass die Interferenzerscheinung aus sich 

überlagernden Wellen von punktförmig gedachten Lichtquellen im Spalt 

resultiert, die zu dem beobachteten Hell-Dunkelmuster (ringförmig bei 

Loch“spalt“, strichförmig bei Linienspalt) auf einem Projektionsschirm 

führen. Frage: Wieso sind bei einem Linienspalt nicht auch ausgedehnte 

Beugungsringe zu sehen? 

• Dieses Beugungsphänomen lässt sich mit der Interferenz mehrerer 

Strahlen aus unterschiedlichen, nebeneinander angeordneten Spalten 

überlagern: Werden mehrere Spalte nebeneinander in kleinem Abstand 

angeordnet, so können die aus ihnen austretenden (und jeweils 

gebeugten) Lichtwellen zusätzlich miteinander interferieren. Dem 

Beugungsmuster der Einzelspalte ist also das Interferenzmuster der 

Lichtwellen zwischen den einzelnen Spalten überlagert. 

• Da Licht unterschiedlicher Frequenzen (und damit Farben) 

unterschiedlich stark an einem Spalt gebeugt wird, kann ein Gitter benutzt 

werden, um einen weißen Lichtstrahl spektral aufzuspalten. (Anders als 

bei einem Prisma beruht der Effekt allerdings nicht auf unterschiedlichen 

Brechungsindizes.) Beispiel: CD, Schmetterlingsflügel. 

• Die Interferenz von Lichtwellen erscheint bei dünnen und durchlässigen 

Schichten, wie Seifenblasen, einer Ölschicht auf Wasserpfützen, auf der 

Rückseite von CD-ROM's, auf Perlen, Vogelfedern und auch auf 

Schmetterlingsflügel. Die an Vorder- und Rückseite einer durchlässigen 

Schicht reflektierten Lichtwellen ergeben die Interferenzfarben. 

• Wird Licht von kleinen Objekten (mit Abmessungen in der Größenordnung 

der Wellenlänge des Lichts), Molekülen oder Atomen „reflektiert“, wird von 

Streuung gesprochen. Drei Streuarten werden je nach Objektgröße 

unterschieden: Rayleigh-, Raman- und Mie-Streuung. 

6.2 Geometrische Optik mit Lichtstrahlen 

Viele Gesetze lassen sich (phänomenologisch) ableiten, ohne den 

Wellencharakter des Lichtes im Detail zu beachten. In der geometrischen Optik 

wird von einer geradlinigen Ausbreitung des Lichtes ausgegangen, die sich gut 

eignet, um die meisten Abbildungsphänomene zu erklären. 

6.2.1 Das Licht als Teilchen (Photon) 

Licht lässt sich bei mikroskopischer Betrachtung der optischen Prozesse 

entweder als Welle beschreiben (bisher besprochene Wellenoptik) oder als 

Teilchen, das sog. Photon. Seine Bewegung im Raum kann wie ein 

Materieteilchen in der Mechanik behandelt werden. Die Bewegungsrichtung lässt 

sich damit vektoriell beschreiben; man spricht dann auch von einem Lichtstrahl, 

der den (scheinbaren) Lichtweg darstellt. (Die bei der Beugung und Interferenz 

besprochenen Phänomene lassen sich allerdings mit Hilfe von Lichtstrahlen 

allein nicht erklären.)


Ein Photon ist ein Lichtquant (quantum: kleine Menge) der Energie 

EPhoton = h⋅ ν . 

Allerdings hat dieses Photon eine Ruhemasse von Null: m0,Photon = 0 kg! Nach der 

von Einstein aufgestellten Beziehung E = m·c 2 und dem für das Photon 

formulierten Ausdruck der Energie hat es jedoch eine Masse ungleich Null, 

wenn/sobald es sich im Raum ausbreitet. 

Damit hat das Licht auch einen Impuls. Mit dem aus der Mechanik bekannten 

Ausdruck zur allgemeinen Formulierung der Energie (bzw. Arbeit) 

p 

E = F ⋅ s = ⋅ s = p⋅ 

υ 

t 

und dem obigen Ausdruck für die Energie eines Photons 

c 

E = h⋅ ν = h⋅ 

λ 

sowie der Erkenntnis, dass es sich bei der Geschwindigkeit v um die 

Lichtgeschwindigkeit c handeln muss, ergibt sich für den Impuls p eines Photons: 

E h⋅ν 

p = = . 

c c 

Damit lässt sich Licht im Grunde auch benutzen, um über seinen Impuls Kräfte 

auf Objekte auszuüben 

Beispiel: Die in der Thermodynamik besprochene Lichtmühle, die sich in der 

Restgasatmosphäre aufgrund der Brown’schen Molekularbewegung drehte, lässt 

sich auch im Vakuum durch Bestrahlung mit Licht hoher Intensität betreiben. 

Dann allerdings dreht sie sich in die Gegenrichtung. Überlegen Sie sich, warum? 

Licht wird in dieser Quantenoptik als Photon-Ensemble betrachtet. Das 

Nebeneinander von Wellen- und Teilchen-Charakter heißt Dualität des Lichtes 

und ist Gegenstand der Quantenmechanik. 

6.2.2 Schatten 

Über geradlinige Lichtstrahlen lässt sich 

leicht erklären, dass sich hinter einem (für 

die betrachtete Farbe des Lichts nichttransparenten) 

Objekt, das von einer 

punktförmigen Lichtquelle bestrahlt wird, 

ein Schattenraum ausbildet. Er wird von 

den Strahlen begrenzt, die die Kanten des 

Objekts gerade streifen. Bei einer nichtpunktförmigen 

Lichtquelle ist der sog. 

Kernschatten von einem Halbschatten 

umgeben, der nach außen hin allmählich in 

den voll erleuchteten Raum übergeht. 

6.2.3 Optische Abbildung durch Reflexion: Spiegel 

Schattenbildung hinter einem kreisförmigen 

Objekt, das von einer ausgedehnten, d.h. 

nicht-punktförmigen Lichtquelle LQ bestrahlt 

wird. Es bildet sich ein Kernschatten S und ein 

Halbschattenraum H aus. Quelle: Staudt Abb. 

8.2 S.223 

In einer optischen Abbildung wird Licht, das von einem Punkt P1 ausgeht, in 

einen Punkt P2 wieder vereinigt. 

Ein Spiegel ist eine reflektierende Oberfläche, die so glatt ist, dass die 

reflektierten Lichtstrahlen (z. B. auf der Netzhaut) wieder ein Bild formen. Dabei 

verlaufen die Lichtstrahlen nach dem gleichen Reflexionsgesetz, wie wir es für 

elektromagnetische Wellen schon kennen gelernt hatten: 

A1.4 Radiometer = 

Lichtmühle mit Vakuum: 

Bestrahlung der 

verspiegelten Seiten 

O1.23 Abbildung durch 

eine Linse: Ohne Linse 

zur Schattenprojektion 

geeignet

O1.21 Spiegelbild: Kerze 

scheint im 

wassergefüllten 

Becherglas zu stehen. 


Einfallswinkel = Ausfallswinkel. 

Eine weiße Fläche stellt, obwohl sie ebenfalls nahezu alles Licht zurückstrahlt, 

keinen Spiegel dar, da das Licht ungeordnet in alle Richtungen gestreut wird, so 

dass kein Bild entsteht. 

Halbdurchlässige Spiegel sind eine Fortentwicklung einer Eigenschaft, die 

bereits eine normale Glasscheibe besitzt: Sie ist sowohl durchsichtig als auch 

reflektierend. Beim halbdurchlässigen Spiegel wird auf eine Glasscheibe eine 

Reflexionsschicht (Silberbelag) aufgebracht, die viel dünner ist als bei einem 

normalen Spiegel; somit wird nur noch ein Teil des auftreffenden Lichts 

reflektiert, der Rest geht aber ungehindert hindurch. 

Das von einem Spiegel erzeugte Abbild richtet sich nach der Beschaffenheit 

(plan, konkav, konvex, wellig), der Lage (oben, unten oder schräg) sowie der 

Transparenz (halbtransparent, nicht-transparent) des Spiegels. Unter Umständen 

können so Zerrbilder entstehen (Spiegelkabinett auf dem Jahrmarkt). 

6.2.3.1 Planspiegel 

Wird ein realer Gegenstand AB in 

einem (hier ebenen = planen) 

Spiegel betrachtet, verlaufen die 

vom Gegenstand ausgehenden 

Strahlen nach Reflexion an der 

Spiegeloberfläche so, als ob sie von 

einem gleich großen Bild (A'B’) 

hinter dem Spiegel kämen. Ein 

solches Bild heißt virtuelles Bild, 

weil man es nicht auf einem Schirm 

sieht, den man in die Ebene des 

virtuellen Bildes stellt. 


(Zudem lässt sich kein Objekt zwischen das virtuelle Bild und die 

Spiegeloberfläche stellen, das die vom virtuellen Gegenstand anscheinend 

ausgehenden (gestrichelten) Lichtstrahlen blockieren könnte.) Ein virtuelles Bild 

lässt sich jedoch durchaus auf einer Projektionsfläche abbilden, die vor dem 

Spiegel (oder einer Linse) steht, d.h. es kann z.B. fotografiert werden. Ein ebener 

Spiegel erzeugt als einziges optisches Element eine verzerrungsfreie 1:1- 

Abbildung. 

Nicht-ebene Bauweisen führen zu folgenden Veränderungen im gespiegelten 

Bild: 

• konkav (lat. concavus: ausgehöhlt, einwärts gewölbt) gekrümmte 

Hohlspiegel (Kugelspiegel, Parabolspiegel): Rasierspiegel, 

Spiegelteleskope. 

• konvex (lat: convexus gewölbt, gerundet) nach außen gekrümmte 

Spiegel dienen z. B. als Außenspiegel an Fahrzeugen und zeigen größere 

Bereiche als gleich große Planspiegel. 

Eine weitere Anwendung sind die so genannten Reflektoren, die im 

Straßenverkehr (Scheinwerfer, Rückleuchte; das auf dem Tripelspiegel-Konzept 

basierende Katzenauge), in der Fotografie (Blitzlicht), aber auch bei der 

Energiegewinnung (Sonnenkraftwerk) zum Einsatz kommen.


6.2.3.2 Hohlspiegel 

Mit Hohlspiegeln lassen sich verkleinerte oder vergrößerte Bilder erzeugen (die 

im Allgemeinen nicht mehr völlig verzerrungsfrei sind). Das Reflexionsgesetz gilt 

auch für gekrümmte Flächen, die man sich aus vielen infinitesimal kleinen 

ebenen Flächen zusammengesetzt vorstellen kann. 

Betrachtet werden soll ein Gegenstand (hier als Pfeil von A’ nach A dargestellt) 

im Abstand g, der sog. Gegenstandsweite, vom sog. Scheitelpunkt O des 

Hohlspiegels und das Spiegelbild B’B des Gegenstands in der Bildweite b. M sei 

der Mittelpunkt des Spiegels; bei einem Kugelspiegel (= sphärischen Spiegel) mit 

dem Kugelradius R entspräche er dem Kugelmittelpunkt. Die Gerade MO wird 

optische Achse, Hauptachse oder Symmetrieachse bezeichnet. F ist der sog. 

Brennpunkt im Abstand der Brennweite f vom Scheitelpunkt O des Spiegels; F 

ist der Punkt, auf den alle parallel zur optischen Achse einfallende Strahlen 

fokussiert = gebündelt (und damit „aufkonzentriert“) werden. Der Abstand FO 

heißt Brennweite. Im Brennpunkt ist die höchste Lichtintensität zu finden. 

Frage: Wo liegt der Brennpunkt eines ebenen Spiegels? 

(Antwort: im Unendlichen) 

Allgemein sind zur Konstruktion des Spiegelbildes eines Hohlspiegels folgende 

zwei Strahlenverläufe hinreichend: 

1. Ein erster Strahl verläuft parallel zur optischen Achse MO und wird daher 

am Spiegel so reflektiert, dass er durch den Brennpunkt F geht. 

2. Ein zweiter Strahl geht durch den Brennpunkt und wird daher am Spiegel 

so reflektiert, dass er parallel zur optischen Achse MO verläuft. 

Bei einem Kugelspiegel kann zusätzlich der Strahl durch den Mittelpunkt 

des Spiegels gewählt werden, der in sich selbst reflektiert wird. 

Alle drei Strahlen schneiden sich im Punkt B, dem Bildpunkt von A. 

Je nach Lage des Gegenstands bezüglich des Brennpunktes F ist das Bild B’B 

• aufrecht, vergrößert, aber virtuell (d.h. scheinbar hinter dem Spiegel „zu 

sehen“, dort aber in der Bildebene nicht projizierbar), nämlich wenn der 

Gegenstand zwischen dem Brennpunkt F und dem Scheitelpunkt O liegt, 

d.h. g < f. 

• bzw. umgekehrt, verkleinert, aber reell (d.h. auf ein transparentes Papier 

in der Bildebene projizierbar) sichtbar, nämlich wenn der Gegenstand vor 

dem Brennpunkt F liegt, d.h. g > f. 

g > f Reelles, aber umgekehrtes und verkleinertes 

Spiegelbild B’B eines Gegenstandes A’A vor dem 

Brennpunkt F eines kugelförmigen Hohlspiegels. 

Zum Auffinden des Bildpunktes B in der Bildweite 

g < f Virtuelles, aber aufrechtes und vergrößertes 

Spiegelbild B’B eines zwischen dem Brennpunkt F 

und dem Scheitelpunkt O liegenden Gegenstands 

A’A. Zum Auffinden des virtuellen Bildpunktes B 

O1.22 Abbildung mit 

Hohlspiegel: Hier ist der 

Strahlenverlauf in 

Gegenrichtung: B’B ist 

der Gegenstand 

(Lichtquelle in Form des 

Buchstabens F), der 

vergrößert, aber 

umgekehrt auf die Wand 

projiziert wird (und damit 

reel ist).

O1.7 Tafeloptik: Dünne 

konvexe Linse, 

Kugellinse, konkave 

Linse 


b reichen zwei Strahlen. Quelle: Demtröder 2, 

Abb.9.12 und 9.13, S. 262 

müssen die Strahlenverläufe bei Reflexion am 

Spiegel einfach durch den Spiegel verlängert werden. 

Für einen sphärischen Spiegel mit dem Radius R kann gezeigt werden, dass 

1 

f = R. 

2 

Außerdem sind Gegenstandsweite g, Bildweite b und Brennweite f über folgende 

Beziehung verknüpft: 

1 1 1 2 

+ ≈ und damit ≈ . 

g b f R 

Für Kugelspiegel ist die Brennweite f für achsenferne Strahlen kleiner als für 

achsennahe Strahlen. Bei einem (parabel- bzw. baseballförmigen) 

Parabolspiegel dagegen gehen alle parallel eintreffenden Strahlen durch einen 

einzigen Brennpunkt. Wird eine Lichtquelle im Brennpunkt F platziert, dann lässt 

sich eine gute Bündelung der Lichtstrahlen erreichen (Parabolscheinwerfer). 

Kugelspiegel Quelle: Demtröder 2, Abb. 9.10 und 

9.15, S. 261f; Staudt 2, Abb. 8.9, S. 226 

6.2.4 Optische Abbildung durch Brechung: Linsen 

Parabolspiegel und Parabolscheinwerfer 

Eine Linse besteht aus einem durchsichtigen Material mit n2, das auf beiden 

Seiten durch polierte Grenzflächen von einem anderen Material mit n1 umgeben 

ist. Im Folgenden sei die Umgebung Luft, d.h. n1 = 1; n2 = n. Es werden nur 

sphärische Grenzflächen betrachtet. 

6.2.4.1 Brechung an einer gekrümmten Fläche 

Statt einen Gegenstand durch Reflexion an Spiegeln abzubilden, wird er bei 

Linsen durch Brechung abgebildet.


Quelle: Demtröder 2, Abb. 9.21, S. 266 

Ähnlich wie bei Spiegeln lässt sich der Bildpunkt B durch zwei Strahlenverläufe 

finden: 

1. Ein erster Strahl verläuft parallel zur optischen Achse MO und wird an der 

Linse so gebrochen, dass er durch den Brennpunkt F2 geht. 

2. Ein zweiter Strahl geht durch den Krümmungsmittelpunkt M, der 

senkrecht auf die gekrümmte Grenzfläche trifft und daher nicht gebrochen 

wird (0° zur Flächennormalen). 

Alternativ lässt sich ein dritter Strahl hinzuziehen, der durch den 

Brechpunkt F1 im Medium 1 geht und dadurch im Medium 2 parallel zur 

optischen Achse verläuft. 

Die drei Strahlen schneiden sich im Punkt B, dem Bildpunkt von A. 

Umgekehrt lassen sich auch Lichtstrahlen betrachten, die aus dem Medium 2 ins 

Medium 1 gebrochen werden. A ist dann das Bild von B. Der im Medium 2 

achsenparallel verlaufende Strahl schneidet dann die optische Achse im 

gegenstandsseitigen Brennpunkt F1. 

6.2.4.2 Dünne Linsen 

Als dünne Linse werden Linsen bezeichnet, in denen der maximale Abstand d 

der zwei Grenzflächen sehr klein ist gegen die Brennweiten f1 und f2. 

Es lässt sich zeigen, dass dann die beiden Brechungen an den Grenzflächen 

nicht separat behandelt werden müssen, sondern eine einzelne Brechung an der 

Linsenmitte ausreicht. 

O1.23 Abbildung durch 

eine Linse


Zeichnerische Konstruktion der Abbildung eines Gegenstandpunktes A als Bildpunkt B durch eine dünne 

Linse. Quelle: Demtröder, Abb. 9.26, S. 269 

Die Strahlkonstruktion zum Auffinden des Bildpunktes erfolgt ganz analog zu der 

oben beschriebenen mit dem einzigen Unterschied, dass der Mittelpunktstrahl, 

der vorher durch den Krümmungsmittelpunkt M1 bzw. M2 verlief, jetzt durch den 

Achsenmittelpunkt M der Linse verläuft. Dieser Zentralstrahl wird nicht 

gebrochen. 

Wie bei der Abbildung an gekrümmten Spiegeln findet sich für den 

Zusammenhang zwischen Gegenstandsweite g, Bildweite b und Brennweite f der 

folgende Zusammenhang: 

1 1 1 

+ = Abbildungsgleichung dünner (symmetrischer) Linsen 

g b f 

Die Brennweite f berechnet sich dabei über die folgende Beziehung: 

f 

1 ⎛ R ⋅R 

⎞ 1 

n R R D 

1 2 

= ⋅ ⎜ ⎟= 

−1⎝ 2 − 1⎠ 

1 R 

bzw. f = ⋅ 

n − 1 2 

für R = R1 = -R2 bei einer bikonvexen Linse mit gleichen Krümmungsradien. 

R wird positiv gesetzt, wenn der Krümmungsmittelpunkt auf der der Lichtquelle 

bzw. dem Gegenstand abgewandten Seite der Grenzfläche liegt, negativ, wenn 

er auf der Seite der Lichtquelle bzw. des Gegenstands liegt (s.a. Linsentypen). 

Der reziproke Brennweite D = 1/f einer Linse wird auch Brechkraft bezeichnet 

und in Dioptrien gemessen. Ihre Einheit ist [D] = 1 Dioptrie = 1 dpt = 1·m -1 . 

Das Verhältnis zwischen Bildgröße B’B und Gegenstandsgröße A’A wird 

Abbildungsmaßstab β genannt: 

Bildgröße BB ' b 

β = = = 

Gegenstandsgröße AA ' g 

und entspricht dem Verhältnis aus Bildweite b und Gegenstandsweite g. 

Analog zum (konkaven) Hohlspiegel wird für eine (bi)konvexe Linse ein 

erhalten. 

• reelles, verkleinertes und umgekehrtes Bild für g > f bzw. ein 

• virtuelles, vergrößertes und aufrechtes Bild für g < f


Objekt in F: Gegenstand und Bild liegen aufeinander. Das Auge sieht das Bild 

scheinbar im Unendlichen, kann sich also ganz entspannen.


Quelle: http://www.olympusmicro.com/primer/java/lenses/diverginglenses/index.html 

http://www.olympusmicro.com/primer/lightandcolor/lenseshome.html 

Beispiele für verschiedene Linsentypen und zugehörigen Krümmungsradien: 

Quelle: Demtröder, Abb. 9.24, S. 267


Eine Linsenfläche ist konvex (nach außen gewölbt), wenn die Linse zwischen 

Grenzfläche und Krümmungsmittelpunkt liegt, sonst ist sie konkav (nach innen 

gewölbt). 

Bikonvexe Linsen sind Sammellinsen mit positiver Brennweite, bikonkave 

Zerstreuungslinsen mit negativer Brennweite. 

Bikonvexe (Sammel-) Linsen: achsennahe 

Strahlen werden so gebrochen, dass sie sich hinter 

der Linse im Brennpunkt F (entspr. F2 in obigen 

Abb.) schneiden. 

6.2.4.3 Zusammenfassung der Eigenschaften von Linsen 

Quelle: Bloomfield, How things work, The physics of everyday life, S. 416ff. 

Bikonkave (Zerstreuungs-) Linsen: achsennahe 

Strahlen werden so gebrochen, dass sie von dem 

Brennpunkt F’ (entspr. F1 in obigen Abb.) 

auszugehen scheinen. Quelle: Staudt, Abb. 8.15, 

S. 230


V21 Geometrische Optik: Linsenfehler 


• Wird Licht nicht als Welle betrachtet, sondern als Teilchen, d.h. als 

Photon, dann lässt sich seine Ausbreitung leicht über Lichtstrahlen 

beschreiben. Lichtstrahlen eignen sich gut zur geometrischen 

Beschreibung optischer Abbildungsphänomene, nicht dagegen zur 

Erklärung von typischen Welleneigenschaften, der Beugung und der 

Interferenz. 

• Über Lichtstrahlen lassen sich Schattenwurf, Spiegelreflexion und 

Lichtbrechung an Linsen beschreiben. 

• Bei Spiegeln und Linsen sind Brennpunktstrahl und Mittelpunktstrahl 

ausreichend, um das durch das optische Instrument erzeugte Bild eines 

Gegenstandes in Größe, Orientierung und Lage bezüglich des 

Gegenstands zu konstruieren. 

• Sowohl bei Hohlspiegeln (konkav) als auch bei (bi)konvexen Linsen wird 

ein aufrechtes, vergrößertes aber virtuelles Bild erhalten, wenn der 

Gegenstand zwischen Scheitelpunkt und Brennpunkt des Spiegels liegt, 

und ein umgekehrtes, verkleinertes aber reelles Bild, wenn er hinter dem 

Brennpunkt liegt. 

• Die sog. Abbildungsgleichung stellt eine Beziehung zwischen 

Gegenstandsgröße, Bildgröße und Brennweite her. Sind also Brennweite 

und Gegenstandsgröße bekannt, lässt sich die Bildgröße berechnen. Um 

die Brennweite einer Linse zu berechnen, muss man ihren 

Brechungsindex sowie die Krümmungsradien der ihrer Oberflächen 

kennen. 

6.2.5 Linsenfehler 

Alle bisherigen Konstruktionen/Betrachtungen galten für 

• achsennahe und 

• achsenparallele 

• Strahlen der gleichen Wellenlänge sowie 

• perfekte Linsen. 

Ist eine dieser Bedingungen nicht mehr erfüllt, dann entstehen Abbildungsfehler. 

6.2.5.1 Sphärische Aberration 

Bei kugelförmigen (= sphärischen) Linsen 

haben Randstrahlen eine geringere 

Brennweite als achsennahe Strahlen. 

Durch Blenden lässt sich das Problem 

beheben; allerdings kommt es dadurch 

zum Intensitätsverlust. 

Sphärische Aberration, die sich durch 

Ausblenden der Randstrahlen reduzieren lässt. 

Quelle: Demtröder, Abb. 9.37, S. 274


6.2.5.2 Chromatische Aberration 

Durch die Dispersion wird blaues Licht 

stärker gebrochen als rotes, d.h. die 

Brennweite f einer Linse ist für rotes Licht 

größer als für blaues Licht. Bei 

Bestrahlung mit polychromatischem (z.B. 

weißem) Licht, entsteht aus einem Punkt 

eine Scheibe. 

Durch Kombination einer bikonvexen 

Sammel- und einer konkav-konvexen 

Zerstreuungslinse (sog. Achromate) mit 

unterschiedlicher Dispersion (d.h. 

unterschiedlichen Brechungsindizes n; z.B. 

Kronglas und Flintglas) lässt sich der 

Fehler beheben. 

6.2.5.3 Koma 

Fällt das Strahlenbündel nicht parallel zur 

Hauptachse auf die Linse, befinden sich 

die Schnittpunkte einzelner Teilbündel, d.h. 

benachbarter Strahlen, nicht mehr auf dem 

Mittenstrahl, sondern in verschiedenen 

Abständen dazu. Als Resultat werden 

verwaschene Bildkurven erhalten; jeder 

Bildpunkt hat dann ein Art 

„Kometenschweif“ (daher Koma). 

6.2.5.4 Astigmatismus (Punktlosigkeit) 

Chromatische Aberration. Quelle: Staudt 2, 

Abb. 8.30 S.241 

Korrektur der chromatischen Aberration. 

Quelle: Demtröder 2, Abb. 9.36, S. 274 

Ist die Krümmung einer Linse nicht rotationssymmetrisch zur Hauptachse, 

sondern weist z.B. in vertikaler oder horizontaler Richtung einen anderen 

Krümmungsradius auf, so wird parallel zur Hauptachse einfallendes Licht nicht in 

einem Brennpunkt, sondern einer Brennlinie vereinigt. Das gleiche Phänomen 

kann auch auftreten, wenn sich das abzubildende Objekt weit außerhalb der 

Hauptachse befindet. Eine Korrektur ist über eine zusätzliche Zylinderlinse 

möglich.


Folgen des Astigmatismus: Es lässt sich immer nur 

eine Ebene (horizontal oder vertikal) scharf stellen, 

nicht aber das Gesamtbild, das bestenfalls 

verschwommen dargestellt werden kann. 

Quellen: http://www.physics.udel.edu/wwwusers/watson/scen103/cd-astig.html, 

http://mas450.syntheticholography.org/reading/other_handouts/astigmatism/understandingastigmatism.html 

6.2.6 Linsenfehler beim Auge 

Das Auge enthält eine bikonvexe 

Augenlinse, deren Krümmung durch 

den Augenmuskel variiert werden 

kann. Die Brennweite des Auges wird 

jedoch eigentlich nicht nur durch die 

Augenlinse, sondern auch durch 

Hornhaut, Kammerwasser und 

Glaskörper bedingt. 

Da die äußere Grenzfläche der Hornhaut an Luft liegt, die innere Grenzfläche 

jedoch im Glaskörper, sind die gegenstandsseitige Brennweite f1 und die 

bildseitige Brennweite f2 verschieden. 

6.2.6.1 Kurzsichtigkeit 

Bei einem kurzsichtigen Auge treffen sich die einfallenden Lichtstrahlen nicht auf 

der Netzhaut, sondern das Bild entsteht davor. Dadurch werden entfernte 

Gegenstände nur unscharf wahrgenommen. Häufigste Ursache dafür ist ein zu 

langer Augapfel. Die Kurzsichtigkeit ist der am weitesten verbreitete Sehfehler. 

Korrektur durch Zerstreuungslinse. 

Wahrnehmung bei Kurzsichtigkeit, Augenform und Korrektur durch bikokave Brillengläser. Quelle: 

www.augenlasercenter.ch/ auge/sehfehler.asp?l=2 und Demtröder, Abb 11.5, S. 335


6.2.6.2 Weitsichtigkeit 

Genau umgekehrt zur Kurzsichtigkeit: Wenn der Augapfel etwas zu kurz ist, 

treffen sich in einem weitsichtigen Auge die Lichtstrahlen erst hinter der 

Netzhaut. Deshalb werden Gegenstände in der Nähe – bei stärkerer 

Weitsichtigkeit auch in der Ferne – nur unscharf wahrgenommen. Korrektur durch 

Sammellinse. 

Wahrnehmung bei Weitsichtigkeit, Augenform und Korrektur durch bikonvexe Brillengläser 

6.2.6.3 Astigmatismus durch Hornhautverkrümmung (Stabsichtigkeit) 

Unabhängig von Kurz- und Weitsichtigkeit, meist 

aber in Kombination mit diesen Sehfehlern, haben 

viele Menschen eine Hornhautverkrümmung. Dies 

trifft zu, wenn die Hornhautoberfläche eher 

eiförmig als kugelförmig ist. Die unterschiedlichen 

Krümmungskurven führen zu Bildverzerrungen 

und somit zu unscharfem Sehen. Die 

Hornhautverkrümmung kann ein positives oder ein 

negatives Vorzeichen haben. Sie wird mit Gläsern 

korrigiert, die am Rand nicht überall gleich dick 

sind. 

6.2.6.4 Vergrößerung in Abhängigkeit vom Sehwinkel 

Der Sehwinkel ε ist entscheidend für den 

Größeneindruck bei der Betrachtung eines 

Gegenstands mit dem Auge. Der Gegenstand wird 

vergrößert, wenn er näher an das Auge gebracht 

wird, allerdings nur bis ca. 25 cm (erholtes Auge) 

bzw. 10 cm (angestrengtes Auge), der deutlichen 

Sehweite l0; darunter kann das Auge nicht mehr 

scharf stellen. 

Quelle: http://www.armbrustaugenklinik.de/sites/services/augenle 

xikon/thema_verordnung.html 

Quelle: Staudt 2, Abb. 8.23, S. 237


Für den maximalen Sehwinkel ε0 ohne Instrument gilt 

G 

tanε 

0 = . 

l 

Die Vergrößerung V eines optischen Instrumentes ist definiert als 

0 

tanε 

V : = . 

tanε 

Dabei ist ε der Sehwinkel mit Instrument, ε0 der Sehwinkel ohne Instrument. 

6.2.7 Lupe 

Die Lupe ist eine einfache symmetrische 

Bikonvexlinse. Befindet sich der Gegenstand 

im Brennpunkt der Lupe (also g = f), sieht das 

Auge ein virtuelles, aufrechtes Bild des 

Gegenstandes im Unendlichen und kann sich 

beim Betrachten vollständig entspannen. Für 

den Sehwinkel mit Instrument gilt dann 

G 

tanε 

= . 

f 

0 

Quelle: Staudt 2, Abb. 8.24, S. 237 

Daraus folgt für die Vergrößerung der Lupe nach obiger Definition: 

6.3 Linsensysteme 

V 

tanε 

G 

f 

0 

Lupe = = = . 

tanε 

G 0 f 

Die reziproken Brennweiten zweier nahe benachbarter Linsen addieren sich, d.h. 

die Brechkräfte addieren sich, wenn beide Linsen auf der gleichen 

Symmetrieachse zentriert sind. 

6.3.1 Mikroskop 

Eine wesentlich stärkere Vergrößerung als mit der Lupe lässt sich mit dem 

Mikroskop realisieren, das im Prinzip aus zwei Bikonvexlinsen besteht. Die erste 

Linse (Objektiv) entwirft ein reeles, vergrößertes, aber umgekehrtes Zwischenbild 

des Gegenstandes in der Brennebene der zweiten Linse (Okular), die damit als 

Lupe fungiert. 

l 

0 

l


Quelle: Staudt 2, Abb. 8-28, S.240 

Kombination der bisher kennen gelernten Beziehungen führt zur Vergrößerung 

des Mikroskops von 

t l 

VMikroskop = βObjektiv 

⋅ VOkular 

= ⋅ 

f f 

mit dem Abbildungsmaßstab β einer Linse und der Vergrößerung V einer Lupe. 

0 

1 2 

Zur Herleitung werden die Beziehungen für den Sehwinkel ε mit Mikroskop 

B 

tanε 

= 

f 

und den maximalen Sehwinkel e0 bei Betrachtung des Gegenstands im Abstand 

l0 

sowie die Verhältnis-Beziehung 

und die Abbildungsgleichung 

2 

G 

tanε 

0 = 

l 

B b 

= 

G g 

0 

1 1 1 

+ = 

g b f 

herangezogen. Durch einfache Umformung kann gezeigt werden, dass gilt: 

mit der Tubuslänge t des Mikroskops. 

b b−f1t = = 

g f f 

1 1 

Durch Verwendung genügend kurzbrennweitiger Linsen lassen sich leicht 

Vergrößerungen von V = 1000 erzielen. 

6.3.1.1 Auflösungsvermögen des Mikroskops 

Abgebildet werden soll ein Gitter mit dem Gitterabstand d. 

Quelle: Staudt 2, Abb. 8.70, S. 271


Um ein möglichst scharfes Zwischenbild zu erhalten, sollten möglichst alle 

Beugungsordnungen vom Objektiv erfasst werden, was wegen des endlichen 

Öffnungswinkels (auch Aperturwinkel genannt) u nicht möglich ist. Wird nur die 

nullte Ordnung erfasst, dann ist das Gesichtsfeld gleichmäßig erleuchtet. Um ein 

Bild zu sehen, muss nach Ernst Abbe (deutscher Mathematiker, Physiker, 

Optiker, 1840 – 1905) mindestens die ± 1. Beugungsordnung in das Objektiv 

gelangen. Dazu muss u mindestens so groß sein wie der Winkel α, unter dem 

das 1. Beugungsmaximum des Gitters erscheint (d ⋅ sin α = 1 ⋅ λ), also d ⋅ sin u ≥ 

d ⋅ sin α = λ, woraus folgt: 

d 

λ 

sinu 

min = . 

Die minimal abbildbaren Gitterabstände d lassen sich noch etwas verkleinern, 

wenn ein Medium mit Brechungsindex n zwischen Objekt und Objektiv gebracht 

wird (Immersionsobjektiv, meist Ölimmersionsobjektiv). Dann gilt: 

d 

min 

λ 

= Abbe’sches Beugungslimit 

n⋅sinu Das Produkt aus n ⋅ sin u wird numerische Apertur genannt. 

Für λ = 500 nm, n = 1,5 , u = 80° ergibt sich für die noch gerade auflösbaren 

kleinsten Abmessungen dmin = 338 nm ≈ 2/3 λ. D.h. Strukturen, die kleiner sind 

als die halbe Wellenlänge des beleuchtenden Lichtes können nicht aufgelöst 

werden. 

Elektronen haben sehr viel kleinere Wellelängen λ im 0,1 nm (Å)- Bereich. 

Entsprechend lässt sich mit der Elektronenmikroskopie atomare Auflösung 

erzielen. 

6.3.2 Fernrohre (Teleskope) 

Unterscheiden lassen sich zwei Typen von Linsen-basierten Fernrohren, das 

Kepler’sche Fernrohr und das Galilei’sche Fernrohr. Daneben gibt es noch 

Spiegel-basierte Cassegrain’sche Reflektor-Teleskope. 

Kepler’sches Fernrohr mit einer langbrennweitigen und einer kurzbrennweitigen 

bikonvexen Linse im Abstand f1 + f2 zueinander.


Galilei’sches Fernrohr mit einer langbrennweitigen bikonvexen und einer 

kurzbrennweitigen bikonkaven Linse im Abstand f1 - f2 zueinander. 

Aufbau eines Cassegrain-Spiegelteleskops aus einem großen parabolischen Spiegel und einem 

kleinen planen Reflektor. Quelle: http://de.wikipedia.org/wiki/Bild:Cassegrain-Teleskop.png 

Für die beiden Linsenteleskope wird ein Vergrößerungsfaktor von 

erhalten. 

V 

Linsenteleskop 

f 

= 

f 

1 

2


V22 Moderne Physik 


• Wir hatten exemplarisch einige Linsenfehler kennen gelernt, die auch 

Aberrationen genannt werden. 

• Die sphärische Aberration bei kugelförmigen Linsen zur Unschärfe, da 

sich achsennahe und achsenferne Strahlen in unterschiedlichen 

Brennpunkten treffen. 

• Bei der chromatischen Aberration sind die Bilder von Farbringen gesäumt, 

da Linsen für die einzelnen Wellenlängen unterschiedliche 

Brechungsindizes haben. 

• Andere Fehler, wie z.B. das Koma, Astigmatismus und Bildfeldwölbungen 

sind auf Unregelmäßigkeiten in der Linsenform oder extremem 

Strahlenverlauf zurückzuführen. 

• Diese Fehler treten auch im Auge auf und lassen sich durch zusätzliche 

Linsen, also Brillengläser oder Kontaktlinsen, korrigieren. 

• Um die Bildänderungen, die eine Linse hervorruft, lassen sich auch 

quantifizieren. So ist z.B. der Vergrößerungsfaktor einer Lupe definiert als 

der Tangens des Sehwinkels mit Instrument durch den Tangens des 

maximalen Sehwinkels ohne Instrument, was sich auch als Quotient 

zwischen deutlicher Sehweite und Brennweite f der Lupe zum Ausdruck 

bringen lässt. 

• Werden mehrere Linsen hintereinander angeordnet, lassen sich neue 

Vergrößerungseigenschaften erzielen: Sind eine große gegenstandsnahe 

Linse mit langer Brennweite und eine Lupe im Abstand der beiden 

Brennweiten zueinander angeordnet, hat man ein Fernglas gebaut. Ist die 

gegenstandsnahe Linse, das sog. Objektiv, dagegen klein und 

kurzbrennweitig, und sind Objektiv und Okular = Lupe im Abstand der 

beiden Brennweiten + einer Tubuslänge t zueinander angeordnet, dann 

handelt es sich um ein Mikroskop. 

6.4 Temperaturstrahlung 

Ein Körper tauscht auch dann Wärme mit seiner 

Umgebung aus, wenn er sich in einem 

evakuierten Raum befindet, wenn also die 

Wärmeleitung über Materiekontakt (Festkörper, 

Flüssigkeiten oder Gase) ausgeschlossen ist. 

Dies geschieht durch Temperaturstrahlung. 

Lebewesen strahlen z.B. nur im (für unser Auge 

unsichtbaren) Infrarot-Wellenlängenbereich. 

Thermographie eines Jungen und seines Hundes. Je heller der 

Farbton, desto höher ist die Temperatur. Deutlich lässt sich die 

kalte Hundenase erkennen. Quelle: Tipler S. 552 

Das Emissionsvermögen E eines Körpers ist definiert als die pro Einheitsfläche 

A abgestrahlte Leistung (Arbeit pro Zeit pro (Einheits-)Fläche): 

E 

= 

abgestrahlte Leistung P 

Fläche A


mit der Einheit 

[ ] 2 

W 

E = . 

m 

Unter dem Absorptionsvermögen A eines Körpers versteht man das 

Verhältnis der absorbierten zur auffallenden Strahlung: 

= vomObjekt absorbierteStrahlung 

A , 

auf dasObjekt fallende Strahlung 

es ist also eine reine Zahl. Ein Körper mit dem Absorptionsvermögen A = 1 

absorbiert also die auftreffende Strahlung vollständig. Man spricht in diesem Fall 

von einem schwarzen Körper. Körper, die unser Auge als schwarz empfindet, 

absorbieren zwar die gesamte auftreffende elektromagnetische Strahlung im 

sichtbaren Bereich, aber nicht notwendigerweise auch in anderen 

Wellenlängenbereichen. Sie müssen also keine schwarzen Körper im oben 

definierten Sinne sein. 

Eine Entwicklung des Schweizer Unternehmens TFL reflektiert den Infrarot-Anteil der Sonnenstrahlen, der 

damit von der Jacke nicht mehr absorbiert wird. Daher erscheint die mit dem spez Farbpigment behandelte 

Jacke links in der Infrarotaufnahme schwarz (kalt), die normale Jacke rechts dagegen körperwarm. Frage: 

Welche Farbe hätte die Motoradjacke, wenn sie auch im Bereich zwischen 420 und 720 nm Licht reflektiert 

würde? Quelle: TFL 

Ein Körper mit hohem Absorptionsvermögen besitzt auch ein großes 

Emissionsvermögen. Es gilt: 

Insbesondere gilt für jeden Körper: 

Daraus folgt: 

E 

A 

E E 

A A 

= const. 

schwarz = = 

schwarz 

E 

E = A ⋅E 

. 

schwarz 

schwarz 

M.a.W.: Wer mehr absorbiert, strahlt auch mehr; folglich strahlt der schwarze 

Körper am meisten. 

Frage: Macht es Sinn, dass die Heizkörper in Ihrer Wohnung weiß gestrichen 

sind oder wäre eine andere Farbe besser? (Schwarz wäre besser, da schwarz heißt, dass zumindest die gesamte sichtbare Strahlung absorbiert 

und damit zus. emittiert würde. Da wir allerdings vorwiegend den Infrarotanteil des EM-Spektrums als Wärme wahrnehmen, ist es letztlich nicht so relevant, welche Farbe ein Heizkörper hat. Klug wäre es jedoch, 

Farbpigmente beizumischen, die stark im infraroten Spektrum absorbieren.) 

A1.1 Leslie’scher Würfel


Aufgrund dieser Beziehung genügt es, sich bei der Untersuchung der 

Temperaturstrahlung im Folgenden auf schwarze Körper zu beschränken. 

Am besten lässt sich ein schwarzer Körper durch 

einen Hohlraum realisieren, der die Temperatur T 

besitzt und in dessen einer Wand sich ein kleines 

Loch befindet. Alle von außen durch das Loch 

nach innen gelangende Strahlung wird an den 

Wänden vielfach reflektiert und schließlich 

absorbiert; damit ist A = 1. 

Die Strahlung, die den Hohlraum durch das Loch 

nach mehrfacher innerer Reflexion und Absorption 

verlässt und damit im thermischen Gleichgewicht 

mit den Wänden steht, ist damit die Strahlung 

eines schwarzen Körpers der Temperatur T. 

Hohlraumstrahler Quelle: Tipler, Abb. 

16.5, S. 550 

Aufgrund der geschilderten Anordnung heißt sie auch Hohlraumstrahlung. 

Mit jeglicher Art elektromagnetischer Strahlung ist ein Energiestrom verbunden. 

Ein Empfänger empfängt von einem Strahler im Abstand r in der Zeit dt eine 

gewisse Strahlungsenergie dE. Diese Energie wird üblicherweise auf das 

Frequenzintervall dν bezogen. 

Wird die spektrale Strahlungsenergie, die in einem Hohlraum der Temperatur T 

herrscht, 

E 

ν 

dE 

= mit [Eν] = J/Hz = J·s 

dν 

im Raum, in der sich die Strahlung ausbreitet, auf das Volumenelement dV 

bezogen, entsteht die spektrale Energiedichte uν (bzw. uλ) 

u 

ν 

= 

2 

d E 

dν⋅dV mit [uν] = J/(Hz·m 3 ) = J·s/m 3 . 

Darunter versteht man also diejenige Energiedichte, die durch Strahlung des 

Hohlraumes in dem infinitesimalen Frequenzbereich ν und ν+dν (bzw. im 

Wellenlängenbereich λ und λ+dλ) zustande kommt. 

Die Fläche unter den Kurven u(λ,T) 

gegen λ, also die gesamte 

Energiedichte im Hohlraum, nimmt 

außerordentlich stark mit der 

Temperatur zu. 

Das Stefan-Boltzmann-Gesetz gibt 

diese von einem schwarzen Körper 

abgestrahlte Leistung P in 

Abhängigkeit seiner Temperatur T 

wieder: 

P σ AT 

4 

= ⋅ ⋅ . 

Eine Verdopplung der Temperatur 

bewirkt also, dass die abgestrahlte 

Leistung um den Faktor 16 ansteigt! 

(P ist unabhängig von der Form des 

Körpers.) 

Die spektrale Energiedichte uλ eines schwarzen 

Körpers in Abhängigkeit von der Wellenlänge λ für 

drei versch. Temperaturen T. Die abgestrahlte 

Leistung P, die der Fläche unter einer Kurve 

entspricht, nimmt mit der 4. Potenz der Temperatur 

zu! Quelle: Staudt 2, Abb. 9.3, S. 277 und Wikipedia


Dabei ist σ die Stefan-Boltzmann-Konstante, eine Naturkonstante: 

σ = 5,6703⋅10 −8 

W 

m ⋅ K 

2 4 

(Josef Stefan (Entdeckung), slowenischer Mathematiker und Physiker, 1835-1893, und Ludwig Boltzmann 

(theor. Begründung), österreichischer Physiker und Philosoph, 1844-1906) 

Außerdem verschiebt sich das Maximum der spektralen Energiedichte mit 

zunehmender Temperatur zu kleineren Wellenlängen λ. Diesen Sachverhalt 

beschreibt das Wien’sche Verschiebungsgesetz: 

λmax ⋅ T = const . ≈ 2880 µm⋅ K . 

(Wilhelm Wien, Physik-Nobelpreis 1911, 1865-1928) 

Frage: Beim Schmieden von Metallen können Sie Eisen auf Rotglut oder auf 

Weißglut bringen. Bei welcher Farbe hat das Eisen eine höhere Temperatur? 

Warum? (Rotglühendes Eisen hat nur den Rotanteil des sichtbaren Spektrums, ist also nach dem Wien’schen Verschiebungsgesetz kälter; weißes Eisen hat jedoch alle Anteile des sichtbaren Spektrums, also 

auch die kurzwelligen blauen Anteile, und ist damit wesentlich heißer.) 

Auf diesem Zusammenhang beruht eine wichtige Methode zur 

Temperaturmessung, die beispielsweise in der Astronomie häufig benutzt wird: 

Man bestimmt die Wellenlänge, bei der die Temperaturstrahlung eines Körpers 

am intensivsten ist. 

Beispiel: Die Sonne strahlt am stärksten bei λmax ≈ 550 nm (grün). Daraus 

schließt man auf eine Temperatur von etwa 5000 K. 

6.5 Röntgenstrahlung 

Versuch: In einer evakuierten Glasröhre befinden sich eine Anode und eine 

Glühkathode, die durch die Spannung UH geheizt wird. Zwischen Anode und 

Kathode liegt eine Hochspannung von U ≈ 10 kV an, die die aus der Glühkathode 

austretenden Elektronen stark beschleunigt. Die Anode bremst die schnellen 

Elektronen beim Auftreffen in wenigen Atomabständen rapide ab, wobei ein 

Großteil deren kin. Energie in Wärme übergeht, ein geringer Anteil jedoch als 

Röntgenstrahlung (d.h. EM-Strahlung mit Wellenlängen im Sub-Nanometer- 

Bereich) abgestrahlt wird. Mit einem Zählrohr lässt sich diese an der Anode 

erzeugte Röntgenstrahlung nachweisen. Deshalb spricht man bei dieser 

Anordnung auch von einer Röntgenröhre. 

. 

A1.3 Farbtemperatur 

(Wien’sches 

Verschiebungsgesetz) 

(auch als Simulation)


Aufbau einer Röntgenröhre. Quelle: Staudt 2, Abb. 9.4, S. 

283 

Eine genauere Untersuchung der von der 

Anode emittierten Röntgenstrahlung liefert 

die spektrale Zusammensetzung. Die 

ausgeprägten diskreten Intensitätsmaxima 

sind eine Folge der charakteristischen 

Röntgenstrahlung, die für jedes Material 

spezifisch ist und von Element zu Element 

variiert. 

Trifft ein Elektron hinreichend hoher Energie 

auf ein Atom des Anodenmaterials, so kann 

es durch Stoß ein Elektron aus einer der 

inneren Schalen aus dem Atomverband 

herausschlagen. Dadurch entsteht in der 

entsprechenden Schale eine Lücke, die 

durch ein Elektron aus einer höheren Schale 

unter Aussendung elektromagnetischer 

Strahlung wieder aufgefüllt wird. Diese 

Strahlung ist die charakteristische 

Röntgenstrahlung. 

Wurde beispielsweise ein Elektron aus der 

K-Schale herausgeschlagen, so spricht man 

von Kα-, Kβ-,…-Strahlung, je nachdem, von 

welcher Schale die entstandene Lücke 

wieder aufgefüllt wird. Entsprechend entsteht 

Lα-, Lβ-,…-Strahlung etc. 

Bremststrahlungsspektrum (Intensität I 

gegen Wellenlänge λ) für eine 

Beschleunigungsspannung von etwa 

U ≈ 35 kV und charakteristisches 

Röntgenspektrum (Intensitätsmaxima = Kα- 

und Kβ-Peaks) für Molybdän. Quelle: Tipler, 

Abb. 35.8, S. 1203 

Die Absorption der Röntgenstrahlen wird vor allem durch die Anzahl der 

Elektronen des Absorptionsmaterials bestimmt. Röntgenstrahlen werden also nur 

von Atomen absorbiert. Der Absorptionsprozess ist damit unabhängig von den 

chemischen Bindungen. Das Absorptionsvermögen der chem. Elemente nimmt 

dabei mit zunehmender Ordnungszahl zu. Zur Abschirmung von Röntgenstrahlen 

wird z. B. meist Blei verwendet, da es Röntgenstrahlen gut absorbiert.


Viele Materialien (wie z.B. Bindegewebe) 

absorbieren kurzwellige Strahlung wie die 

Röntgenstrahlung nur in geringem Maße, d.h. sie 

sind für Röntgenstrahlen weitgehend durchsichtig = 

transparent. Die Transparenz nimmt dabei mit 

abnehmender Wellenlänge zu. Aufgrund der hohen 

Energie kann der geringe Anteil der absorbierten 

Strahlung jedoch große Schäden erzeugen 

(Ionisation von Molekülen: Molekülzerfall; problem. 

bei Veränderung von DNA-Basen, die zu einer 

Mutation führen). 

(Wilhelm Conrad Röntgen, deutscher Physiker, erster 

Nobelpreisträger 1901, 1845 – 1923) 

Röntgens erste mit Röntgenstrahlen gemachte Aufnahme von 

einem Menschen zeigt die Hand seiner Frau. Quelle: Tipler, S. 1202 

Das kontinuierliche Spektrum dagegen ist eine Folge der 

Röntgenbremsstrahlung; Die kürzeste beobachtbare Wellenlänge ist dabei 

nicht vom Anodenmaterial abhängig, sondern allein von der angelegten 

Spannung U. Sie wird dann abgestrahlt, wenn das auf die Anode auftreffende 

Elektron seine gesamte kinetische Energie als elektromagnetische Strahlung 

abgibt: 

6.6 Radioaktivität 

E = e⋅U Spannungsquelle 

= E 

= h⋅ν 

Strahlung 

Grenz 

c 

= h ⋅ 

λ 

Unter Radioaktivität oder radioaktivem Zerfall versteht man die spontane 

Umwandlung instabiler Atomkerne in stabile Elemente unter Energieabgabe. 

Einige im Universum gebildeten Elemente sind nicht langzeitstabil. Sie zerfallen 

im Laufe der Zeit unter Abgabe von zweifach positiv geladenen Helium-Ionen 

( 4 He 2+ , sog. alpha-Teilchen) und/oder von Elektronen (sog. beta-Teilchen) und 

kurzwelliger elektromagnetischer Strahlung (sog. gamma-Teilchen). D.h. bei der 

Kernumwandlung kann sich die Kernladungszahl (Ordnungszahl) ändern 

(Umwandlung in ein anderes chemisches Element), oder nur die Massenzahl 

(Umwandlung in ein anderes Isotop desselben Elements). 

a: Aufgrund ihrer Ladung und relativ großen Masse haben Alphateilchen 

nur eine sehr geringe Eindringtiefe (Reichweite) in kompakter Materie. Ein 

dickeres Blatt Papier oder einige Zentimeter Luft reichen im Allgemeinen 

schon aus, um Alphateilchen vollständig abzuschirmen. Alphastrahlen 

dringen aufgrund ihrer geringen Durchdringungsfähigkeit nur in die 

oberen (toten) Hautschichten, aber nicht tief in den Körper ein. Ein im 

Organismus durch Einatmen oder Aufnahme mit der Nahrung 

eingelagerter Alphastrahler ist dagegen sehr schädlich. Insbesondere die 

Anreicherung eines mit Alphastrahlung zerfallenden Isotops in einem 

Organ führt zu einer hohen Belastung dieses Organs, da die Strahlung 

ihre schädigende Wirkung auf kleinem Raum ausübt (Strahlenkrankheit). 

Die Energie eines Alphateilchens liegt typischerweise in der 

Größenordnung von 2 bis 5 MeV. Künstliche Alphateilchen können aber 

min 

. 

K1.4 Wilson- 

Nebelkammer 

(Sichtbarmachung 

radioaktiver Teilchen)


durchaus Energien von über 10 MeV besitzen. Eine technische 

Anwendung ist der Ionisationsrauchmelder, der auf der Abschwächung 

der Alphastrahlen durch Rauchpartikel beruht. 

b: Wenn ein ungünstiges Verhältnis von Neutronen zu Protonen besteht, 

tritt normalerweise Betazerfall ein. Bei der Umwandlung eines Neutrons in 

ein Proton wird ein hochenergetisches Elektron, das beta-Teilchen, frei. 

Dessen Ausbreitungs-Reichweite beträgt einige Zentimeter bis mehrere 

Meter. Wird der menschliche Körper Betastrahlen ausgesetzt, werden nur 

Hautschichten geschädigt. Dort kann es aber zu intensiven 

Verbrennungen und daraus resultierenden Spätfolgen wie Hautkrebs 

kommen. Sind die Augen exponiert, kann es zur Linsentrübung kommen. 

Therapeutisch wird dieser Effekt eingesetzt, um dicht unter der 

Hautoberfläche liegende Krebsgeschwüre zu bestrahlen. Energien liegen 

im Bereich von 0,02 bis 1,71 MeV. 

g: Gammastrahlen, γ-Strahlen oder γ-Strahlung bezeichnet den Teil der 

elektromagnetischen Strahlung, der eine sehr kurze Wellenlänge (unter 

0,5 nm) und hohe Durchdringungsfähigkeit von Materie hat. Die 

zugehörigen Energien der Photonen liegen ab 2,5 keV aufwärts. Die 

Photonen der Gammastrahlung werden auch Gammaquanten genannt. 

In der Reihenfolge α, β, γ nimmt also die Energie ab, die Reichweite dagegen zu. 

Becquerel ist die Einheit der radioaktiven Aktivität, wobei 1 Bq = 1 s -1 , also ein 

Zerfall eines instabilen Atoms pro Sekunde. 

(Antoine Henri Becquerel, Physiker und ist der Entdecker der Radioaktivität, 

Nobelpreis für Physik 1903, 1852-1908) 

Typische Aktivitätswerte 

• erwachsener Mensch: 3.000 Bq bis etwa 20.000 Bq 

• Kalium-40 ( 40 K) im menschlichen Körper: 5.000 Bq 

• 1 kg Kaffee: 1.000 Bq 

• Ionisationsrauchmelder: 30.000 Bq 

• 1 kg Uran: 10 MBq 

• 

222 Radon in Raumluft: Mittelwert 50 Bq/Kubikmeter 

Aktivitätswerte künstlich freigesetzter Radioaktivität 

• geschätzte Freisetzung von Radioaktivität beim Reaktorunfall 

von Tschernobyl (1986): 3,6 · 10 18 Bq 

Da der Kernzerfall konzentrationsunabhängig ist (d.h. nicht schneller oder 

langsamer abläuft, wenn sich die Konzentration ändert), lässt sich über die 

Bestimmung der Radioaktivität das Alter eines Gegenstands bestimmen: das 

Maß für die Zeit, in der die Intensität der von dem radioaktiven Stoff 

ausgesandten ionisierenden Strahlung auf die Hälfte des Ausgangswertes 

absinkt, wird Halbwertszeit genannt. Jedes Radionuklid hat eine 

charakteristische, sozusagen "persönliche" Halbwertszeit. Für die verschiedenen 

Radionuklide reichen die jeweiligen Halbwertszeiten von Sekundenbruchteilen 

bis zu mehreren Milliarden Jahren. 

6.6.1 Strahlenbelastung und biologische Wirkung 

Die Strahlenbelastung für Lebewesen wird als effektive Dosis mit der Einheit 

Sievert gemessen (Rolf Sievert, schwedischen Mediziner und Physiker, 1896- 

1966). Sie ist die an eine bestimmte Masse übertragene Energie (Energiedosis).


Dabei wird die unterschiedliche Schädlichkeit von α-,β- und γ-Strahlen sowie die 

unterschiedliche Empfindlichkeit einzelner Gewebe berücksichtigt. 

Alle Formen der Radioaktivität können für Lebewesen gesundheitsschädlich sein. 

Die Kurzzeitfolge einer zu hohen Dosis Radioaktivität wird Strahlenkrankheit 

genannt. Sie äußert sich durch ein geschwächtes Immunsystem und 

Verbrennungen. Die Strahlenkrankheit tritt etwa ab einer kurzfristigen Belastung 

von 0,25 Sv auf. 4 Sv sind in der Regel tödlich. Die Langzeitfolgen der 

Radioaktivität sind Mutationen am Erbgut und Krebs. 

Bakterien können sehr viel stärkere Radioaktivität als Menschen ertragen, 

Rekordhalter ist Deinococcus radiodurans, der sogar im Kühlwasser von 

Kernreaktoren leben kann. 

Alles klar? Dann nix wie ab zum nächsten 

Forschungswettbewerb!

Elektrodynamik und Optik - Fachbereich Physik der Universität ...

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