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Mathematische Grundlagen und Mechanik 1 1 Einleitung - BOPS

Mathematische Grundlagen und Mechanik 1 1 Einleitung - BOPS

ist – unter Physikern

ist – unter Physikern – allerdings die Arbeitshypothese eines philosophischen Realismus, d. h., wir postulieren ” da draußen“ eine Welt, die es zu erkennen gilt. Sie ist nicht ein Konstrukt unseres Geistes, so wie es der philosophische Konstruktivismus manchmal nahelegt. Zwar sind unsere Vorstellungen über die Welt, auch ” die Sprache der Natur“, Konstrukte unseres Intellekts; ihre Anwendbarkeit auf die reale Welt muss aber in jedem Fall empirisch geprüft werden. In der Newtonschen (klassischen) Physik wird angenommen, dass Zeit und Raum unabhängig davon gegeben sind, ob sie Materie und Ereignisse enthalten. Auch wenn das nach Einstein nicht mehr ganz richtig ist, werden im Folgenden die klassischen Begriffe von Raum und Zeit entwickelt. 1.1.1 Die Zeit In unserer Vorstellung ist die Zeit ein reales Kontinuum mit folgenden Eigenschaften: eindimensional, homogen, messbar, fließend. Mathematisch sprechen wir von einer eindimensionalen metrischen Mannigfaltigkeit 1 . Davon gibt es zwei Arten: eine kompakte S 1 – das ist ein (möglicherweise deformierter) Kreis –, und eine unbeschränkte R 1 – das ist eine (möglicherweise deformierte) unendliche Gerade. Ist die Zeit wirklich ein Kontinuum? Das ist eine alte Frage der Geistesgeschichte. Könnte es sich nicht auch um eine diskrete Abfolge von Punkten handeln? In unserer Epoche wird über kleinste Zeiteinheiten der Größe 10 −43 s spekuliert (Planck-Zeit). – ” eindimensional“: derzeit spricht nichts dagegen, den Lauf der Zeit als etwas Eindimensionales anzusehen. Allerdings verquickt die Relativitätstheorie die Zeit mit dem Raum. – ” homogen“: alle Zeitpunkte t sind gleichberechtigt; bei einer Verschiebung aller Zeitpunkte um denselben Betrag τ gemäß t → t ′ = t+τ würde man keine Änderung der physikalischen Gesetze bemerken. Das schließt Anfang und Ende aus (ein Problem für die Kosmogonie!). Man spricht von der Invarianz der Physik gegenüber zeitlichen Translationen. Sie wird sich als grundlegend für das Verständnis des Satzes von der Energieerhaltung erweisen. 1 Eine n-dimensionale Mannigfaltigkeit ist, mathematisch gesprochen, eine Menge von Punkten, die in der lokalen Umgebung jedes ihrer Punkte so aussieht wie ein Stück des R n . Sie hat keine Randpunkte und darf sich nicht selbst schneiden. 2

– ” messbar“: mit Uhren kann man die Längen von Zeit-Intervallen messen 2 . – ” fließend“: wir können nicht verhindern, dass Zeit ” vergeht“. 1.1.2 Der Raum In der Newtonschen Physik ist der Raum ein von der Zeit unabhängiges reales Kontinuum mit folgenden Eigenschaften: dreidimensional, homogen, isotrop, messbar. Mathematisch sprechen wir von einer dreidimensionalen metrischen Mannigfaltigkeit. Davon gibt es viele Arten. Bis heute ist nicht klar, welcher Natur diese für den Kosmos im Ganzen ist: R 3 , S 3 , T 3 , ... Ist der Raum wirklich ein Kontinuum? Auch das wird seit altersher immer wieder in Frage gestellt. Heute denkt man darüber nach, ob es vielleicht kleinste räumliche Gebilde ( ” strings“) von der Größenordnung 10 −35 m gibt (Planck-Länge). Das Argument dafür lautet so: es gibt in der Physik drei fundamentale Konstanten 3 , Lichtgeschwindigkeit c = 2.997 924 580... · 10 8 m/s, Gravitationskonstante G = 6.672 0... · 10 −11 m 3 /kg s 2 und Plancksches Wirkungsquantum h = 6.626 176... · 10 −34 Js. Sie lassen sich auf je genau eine Weise kombinieren zu einer Zeit, einer Länge, einer Masse: τP = � G�/c 5 = 5.4 · 10 −44 s Planck-Zeit lP = cτP = 1.6 · 10 −35 m Planck-Länge (1) MP = � c�/G = 2.2 · 10 −8 kg Planck-Masse Diese Größen sollten eine fundamentale Bedeutung haben ... – ” dreidimensional“: nach unserer bisherigen Erfahrung gibt es genau drei unabhängige Raumrichtungen – mit einem Koordinatensystem aus drei Achsen kann man jeden Punkt eindeutig definieren. – ” homogen“: alle Punkte r des Raumes sind gleichberechtigt. Bei einer Verschiebung aller Punkte um denselben Vektor c gemäß r → r ′ = r + c würde man keine Änderung der physikalischen Gesetze bemerken. Man nennt dies die Invarianz der Physik gegenüber räumlichen Translationen. Sie ist grundlegend für das Verständnis des Satzes von der Impulserhaltung. 2 Das ist aus mathematischer Sicht nicht selbstverständlich: es gibt Mannigfaltigkeiten ohne Metrik; dort sind keine Längen sinnvoll definierbar. 3 Die Zahl der angeführten Dezimalen zeigt, wie genau man die Konstanten vermessen hat. 3

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