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Mathematische Grundlagen und Mechanik 1 1 Einleitung - BOPS

Mathematische Grundlagen und Mechanik 1 1 Einleitung - BOPS

– ” isotrop“: alle

– ” isotrop“: alle Richtungen des Raumes sind gleichberechtigt. Man nennt dies die Invarianz der Physik gegenüber Drehungen. Sie ist grundlegend für das Verständnis des Satzes von der Drehimpulserhaltung. – ” messbar“: mit Maßstäben kann man Längen und mit Sextanten Winkel messen. Mathematisch gesprochen: je zwei Punkte haben einen Abstand, je zwei Vektoren schließen einen Winkel ein. Ist der Raum wirklich unabhängig von der Zeit? In der klassischen Physik ist das eine fundamentale Annahme, die es erlaubt, dreidimensionale Vektoren zu definieren. Seit Einsteins Relativitätstheorie muss man Raum und Zeit als eine vierdimensionale Mannigfaltigkeit verstehen und mit vierdimensionalen Vektoren arbeiten. Das ist allerdings nur im Bereich sehr hoher relativer Geschwindigkeiten relevant. 4

2 Vektoren und Skalare Vektoren sind für uns physikalische Objekte – d. h. sie ” leben“ im Raum oder in Raum und Zeit – mit bestimmten Eigenschaften: Betrag und Richtung. Diese hängen nicht davon ab, welche Koordinaten wir zur Definition von Punkten in Raum (und Zeit) benutzen. Sie lassen sich allerdings mit Hilfe solcher Koordinatensysteme darstellen. Das ” Wesen“ der Vektoren äußert sich darin, wie sich diese Darstellung bei einer Transformation des Koordinatensystems ändert. Um diese Sachverhalte konkret zu fassen, wollen wir zuerst über Koordinatensysteme im zwei- und dreidimensionalen Raum reden. 2.1 Koordinatensysteme Es geht lediglich darum, jedem Punkt P Zahlen zuzuweisen, die ihn eindeutig charakterisieren. In zwei Dimensionen braucht man Paare, in drei Dimensionen Tripel von Zahlen. Descartes hat dazu seine rechtwinkligen Koordinatensysteme eingeführt, die wir als erste diskutieren. Daneben spielen aber auch andere Systeme eine wichtige Rolle – je nach Bedarf in der vorgegebenen physikalischen Situation. In allen Fällen wird zuerst ein (im Prinzip beliebiger) Bezugspunkt festgelegt, den man als Ursprung des Systems bezeichnet. 2.1.1 Kartesische Koordinaten Je nach Dimension wählt man zwei oder drei aufeinander senkrechte Achsen, die man als x-, y- (und z-)Achse oder als x1-, x2- (und x3-)Achse bezeichnet. In drei Dimensionen vereinbart man noch, dass die positiven Richtungen der Achsen 1,2,3 ein rechtshändiges System bilden. Ein Punkt P in der Ebene bzw. im Raum ist dann durch seine ” Komponenten“ bezüglicher dieser Achsen charakterisiert, die man nach geläufiger Manier durch Projektion erhält. Man sagt dann etwa P = (x, y) oder P = (x1, x2, x3). Dieselben Punkte werden in einem anderen Bezugssystem natürlich durch andere Zahlen bezeichnet. 2.1.2 Ebene Polarkoordinaten In zwei Dimensionen werden, wenn man es mit Drehungen zu tun hat, häufig die ebenen Polarkoordinaten r und ϕ benutzt. Ein Punkt P wird dann durch das Zahlenpaar P = (r, ϕ) gegeben. Dabei ist r der Abstand des Punktes vom Ursprung, ϕ der Winkel zu einer fest gewählten Richtung – meist der positiven x-Achse eines kartesischen (x, y)-Systems, das man alternativ zu 5

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