B Der Lehrsatz des Pythagoras - Mone Denninger

B Der Lehrsatz des Pythagoras 4. Klasse
1. Anwendungen im rechtwinkligen Dreieck
B Der Lehrsatz des Pythagoras
1. Anwendungen im rechtwinkligen Dreieck
Für die Seitenlängen eines jeden rechtwinkligen Dreiecks mit den Katheten a und b und der
Hypotenuse c gilt:
587.) im Buch!
a² + b² = c²
590.)d) Berechne von den Rechtwinkligen Dreiecken ABC jeweils (1) die Länge der
fehlenden Seite, (2) den Flächeninhalt, (3) die Höhe, (4) den Umkreisradius r , (5)
den Inkreisradius ρ !
b = 12,3m
c = 18, 4m
Satz des Pythagoras
2 2 2
a + b = c
2 2 2
a = c − b = 187,27
a ≈ 13,68m
Höhe
1
A = ⋅c⋅h 2
2A
h =
c
h ≈ 9,15m
Flächeninhalt
1
A = ⋅ab ⋅
2
A≈84,16m Umkreisradius
c
r =
2
r ≈ 9, 2m
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2
Inkreisradius
ab ⋅ ab ⋅
ρ = =
u a+ b+ c
ρ = 3,79m
585
589c
591a

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1. Anwendungen im rechtwinkligen Dreieck
Streckenberechnung im Koordinatensystem
Berechnung der Seitenlängen des Dreiecks ABC aus den Koordinaten
594.)d) Berechne den Umfang
des Dreiecks ABC!
A(-8|1)
B(5|-4)
C(7|10)
In allen rechtwinkligen Außendreiecken gilt…
Hypotenuse² = (Kathete 1)² + (Kathete 2)²
Im Außendreieck links unten gilt damit:
Für jede Strecke PQ gilt damit…
c = ( −8− 5) + (1+ 4)
2 2
c = − + = + =
Hypotenuse = ( x − x ) + ( y − y )
2 2
( 13) 5 169 25 194
c ≈13,92cm
PQ = ( x − x ) + ( y − y )
2 2
P Q P Q
2 2
A B A B
und es spielt keine Rolle, von welchem Punkt die Koordinaten zuerst genannt werden, denn
das Quadrat daraus ist immer positiv.
a
= 2 + 14 = 200
2 2 2
a ≈14,14cm
b
= 9 + 15 = 306
2 2 2
b ≈17,49cm
u = a+ b+ c
u = 200 + 306 + 194
u ≈ 45,56cm
593a
594a
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2. Kathetensatz und Höhensatz
2. Kathetensatz und Höhensatz
Höhensatz des Euklid
In jedem rechtwinkligen Dreieck ABC gilt:
2
h = p⋅ q
Beweis:
Voraussetzung: Der Satz des Pythagoras
Die Höhe h teilt das Dreieck ABC in zwei rechtwinklige Dreiecke: DBC und ADC. Also gilt
nach dem Satz des Pythagoras:
2 2 2 2 2 2
h + p = a und h + q = b
Die Hypotenuse c zum Quadrat ist das Gleiche wie beide Hypotenusenabschnitte p und
addiert zum Quadrat:
2 2
c = ( p+ q)
2 2
2
c p 2 pq q
= + +
Setzt man nun in den Satz des Pythagoras ein und formt um, so erhält man den Höhensatz des
Euklid:
2
a�+ 2
b�= 2
c�
2 2 2 2 2 2
h + p h + q p + 2⋅p⋅
q+ q
2 2 2 2 2
2
h + p + h + q = p + ⋅ p⋅ q+ q
2
2 2 |:2
h
2
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2
⋅ h = ⋅ p⋅q = p⋅q Geometrische Interpretation des Höhensatzes:
q

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2. Kathetensatz und Höhensatz
Kathetensatz des Euklid
In jedem rechtwinkligen Dreieck ABC gilt:
2
a = c⋅ p und
2
b = c⋅ q
Beweis:
Voraussetzung: Die beiden Hypotenusenabschnitte p und q ergeben die Hypotenuse c .
1.
2
a = c⋅
p
2
2. b = c⋅q
2 2 2 2
a = p + h Höhensatz des Euklid: h = p⋅q
= + ⋅
2 2
a p p q p
2
a ( p q) p einsetzen für c p q
2
a c p
herausheben
= + ⋅ = +
= ⋅
2 2 2 2
b = h + q Höhensatz des Euklid: h = p⋅q
2 2
b = p⋅ q+ q q
2
b = ( p+ q) ⋅ q einsetzen für c= p+ q
2
b = c⋅q herausheben
Geometrische Interpretation des Kathetensatzes:
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2. Kathetensatz und Höhensatz
602.)b) Von einem rechtwinkligen Dreieck ABC sind die Längen einer Kathete und des
anliegenden Hypotenusenabschnitts gegeben. Berechne die Längen der fehlenden
Seiten und den Flächeninhalt!
b = 60mm ges. a , c , A
q = 49mm
Kathetensatz
2
b = c⋅q 2
b
c =
q
c ≈ 73,47mm
Satz des Pythagoras
2 2 2
a + b = c
a = c −b
a
2 2 2
2
≈ 1797,75
a ≈ 42,40mm
Flächeninhalt
ab ⋅
A =
2
A ≈1271,997mm
605.)b) Von einem rechtwinkligen Dreieck ABC sind zwei der Bestimmungsstücke
abc , , , pqh , , ,A, rρ , gegeben. Berechne die fehlenden Bestimmungsstücke!
b = 156mm ges. ac , , pq , ,A, rρ ,
h = 60mm
Satz des Pythagoras
2 2 2
b = h + q
2 2 2
q = b − h = 20736
q = 144mm
Satz des Pythagoras
2 2 2
a + b = c
2 2 2
a = c − b = 4225
a = 65mm
Höhensatz
2
h = p⋅q 2
h
p =
q
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2
p = 25mm
Flächeninhalt
ab ⋅
A =
2
A =
5070mm
2
c= p+ q
c = 169mm
603b
604b

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2. Kathetensatz und Höhensatz
Umkreisradius
c
r =
2
r = 84,5mm
Inkreisradius
ab ⋅ ab ⋅
ρ = =
u a+ b+ c
65⋅156 10140
ρ = =
65 + 156 + 169 390
ρ = 26mm
605a
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3. Beweise für den Satz des Pythagoras
607.)
3. Beweise für den Satz des Pythagoras
A ( )
2
1 = a− b
2
A
1
2 ab = ⋅ ⋅
A + 4⋅ A = A
1 2
1
( a− b) + 4⋅ ⋅a⋅ b= c
2
2 2
2 2
2
a 2ab b 2ab
c
− + + =
a + b =
c
2 2 2
A = c
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3
3
2