Schwingungen und Wellen

5. Schwingungen
5.1 Die freie ungedämpfte Schwingung
Schwingungen allgemein:
periodische (quasi periodische) Vorgänge mit Energieumwandlung zwischen
verschiedenen Energieformen
z.B. mechanisch / akustisch elektrisch
kinetisch ↔ potentiell E � -Feld ↔ H � -Feld
Einfachster Fall: Federpendel mit Feder D und Masse m
→ Feder erzeugt also (eindimensionales) Kraftfeld
→ “Potential(feld)“ dazu:
x x
1
U x = F x′ dx′ D x′ x dx' D x x
R ∫ − = ∫ − = −
2
( ) ( ) ( ) ( )
x R R
x x
R R
Ab jetzt xR= 0 gewählt:
2
Potential
1
U( x) = D⋅ x
2
allgemein:
„harmonischer Oszillator“ !
Kraft
dU
F( x) = − =−D⋅ x
dx
Spannen der Feder: U= 0 → U0> 0,
potentielle Energie wird des System wird erhöht
Loslassen der Feder: U() t ↔ K() t , aber wie?
2
67

⇒ Grundgleichung:
F( x() t ) = m⋅ a( t)
−D⋅ x() t = m⋅ a = m⋅ v�() t = m⋅�� x( t)
⇔
m⋅ �� x() t =−D⋅x() t ⇔
D
�� x() t + ⋅ x() t = 0
m
Differentialgleichung: Zusammenhang zwischen gesuchter Funktion und ihren
Ableitungen!
→ Höchste vorkommende Ableitung = Ordnung der DGL n = Anzahl noch freier
Parameter in der Lösung der DGL
⇒ Bestimmung aus n „Randbedingungen (Anfangsbedingungen)“
Lösung von DGL’s bei uns stets durch:
Geschicktes Raten, Bestätigen durch Einsetzen !
Hier: x() t x0 cos( 0t 0)
x� () t = v() t =−ω0⋅x0⋅sin( ω0t−ϕ0) 2 �� x() t =−ω ⋅x 2
⋅cos( ωt−ϕ ) =−ω ⋅x(
t)
= ⋅ ω −ϕ Für diesen Ansatz wird in die DGL ausgewertet:
0 0 0 0 0
D
Der Ansatz ist offenbar erfolgreich, falls ω 0 = gewählt wird,
m
2 D
also ω 0 = „Oszillatorkreisfrequenz = Antriebskonstante / Trägheit“
m
Bezeichnungen: ω 0 „Kreisfrequenz“
ω
0 ν 0 = „Frequenz“ ; = T0
2π
ν0
1
„Periode“
Beachte: Ein wichtiges Charakteristikum des harmonischen Oszillators ist, dass die
Frequenz unabhängig von der Amplitude x0 ist!!
Betrachtung der Energieformen:
D 2 D 2 2
U= ⋅ x = ⋅x0⋅cos ( ω0t−ϕ 0)
2 2
m 2 m 2 2 2
K = ⋅ x�= ⋅ω ⋅x ⋅sin ω t−ϕ
2 ��� 2
D/2
2 2
mit ( ) ( )
( )
0 0 0 0
sin α + cos α = 1 für alle Winkel
⇒
D 2
U() t + K () t = ⋅ x0 = U0 = const. !
2
Energieumwandlung unter Gesamtenergieerhaltung !
Versuch: Schwingung und Kreisbewegung in Projektion
68

5.2 Die freie gedämpfte Schwingung
Bewegung von Körpern in einem Fluid (= Gas oder Flüssigkeit)
→ viskose Reibung (Stokes’sche Reibung)
� �
FR=−k⋅v Reibungskraft auf Körper
k: Reibungskoeffizient
2
N kg⋅m/s kg
[ k] = = =
m/s m/s s
spezifisch für Körper & Fluid
i.a. k wachsend mit verdrängter Fläche
Beispiel: freier Fall
�
�
mv� � �
�
= mg −k⋅v, „Endgeschwindigkeit“, wenn v� � mg
= 0,
also vE
=
k
3 2
Tendenz: m R , k R ⇒ vE R
�
∼ ∼ ∼
Maus von Kirchturm → easy
Katze von Kirchturm → gerade noch o.k.
Mensch von Kirchturm → †
Beachte allerdings: Die Luft stellt wegen ihrer geringen Viskosität (s.u.) streng genommen
kein Stokessches Medium dar, sondern in Luft wächst die Reibungskraft
quadratisch mit der Geschwindigkeit („Newtonsche Reibung“):
Es gilt für einen Körper mit Querschnittsfläche A
�
1
2 �
FR =−2 cwAρv e�
v , wobei ρ die Dichte der Luft und cw der so genannte
Widerstandsbeiwert des Körpers ist.
R F� zusätzliche Kraft auf Oszillator,
k D
F=−D⋅x−k⋅ x� = m⋅�� x ⇔ �� x+ ⋅ x� + ⋅ x = 0,
m m
k
oder mit γ= “Dämpfungskonstante“, [ ]
2m
1
γ = ,
s
�� x+ 2γ⋅ x� +ω ⋅ x = 0
2
0
→ Bewegungsgleichung des gedämpften harmonischen Oszillators.
Lösung:
−γ⋅t
( ) = 0⋅ ⋅ ( ωγ−ϕ 0)
x t x e cos t
mit
2 2
ω γ = ω0−γ und den Randbedingungen
ϕ 0 “Phasenkonstante“ (legt wieder nur einen willkürlichen Zeitnullpunkt fest
ab jetzt = 0) und
x Anfangsamplitude
0
69

elative reziproke Dämpfung alternativ auch beschreibbar durch
ω Dm ⋅
0 Q = =
2γ 2
k
A() t x0 t
e −γ⋅
„Oszillator – Güte“
= ⋅ ist die Amplitudentransiente.
± A() t sind Einhüllende der Auslenkungsfunktion x(t).
speziell:
⎛ 1 ⎞
−1
x0
A⎜t= ⎟=
x0⋅ e = = 37% x0;
⎝ γ ⎠ e
1
τ = „Zeitkonstante“ von A() t
γ
Damit:
ω0 2 π/T0 τ
Q = = =π⋅
2γ 2/ τ T0
„π-fache der Anzahl von Oszillationen während einer Zeitkonstante“
und
2
ωγ ⎛ γ ⎞ 1 1
= 1− ⎜ ⎟ = 1− ≈1− ω0 ⎝ω0 ⎠ 4Q 8Q
2 2
ωγ ω0−ωγ Δω 1
1−
= = ≈ 2
ω0 ω0 ω0
8Q
ist die relative Frequenzverschiebung durch Dämpfung
Projektion: Harmonische Schwingung und Resonanz
70

5.3 Erzwungene Schwingungen (Resonanz)
Betrachte: Antwort eines (gedämpften) Oszillators auf externe harmonische
(= sinusförmige) Anregung!
Mechanisch:
Fluid mit Stokesschem
Reibungskoeffizienten k
Fluid mit Stokesschem
Reibungskoeffizienten k
Äußere Antriebskraft
FA( t) = D⋅xA⋅cos( ω t)
mit x A fest und ωvariabel.
⇒ Frage: Wie bewegt sich dieser angetriebene, gedämpfte Oszillator?
Bewegungsgleichung:
2 1
2
�� x+ 2γ⋅ x�+ω0⋅ x = ⋅D⋅xA⋅cos( ω t) =ω0⋅xA⋅cos( ωt)
m
�������
inhomogene DGL 2.Ordnung
Lösung: komplizierter Einschwingvorgang, der
bleibt:
x t = x ω ⋅cos ωt−ϕ ω
( )
() ( ) ( )
0
()
explizites f t
t
e −γ
∼ abklingt, und übrig
⇒ Harmonische Schwingung mit Frequenz der Anregung, aber
verschieden heftig und mit unterschiedlichem Zeitversatz!
A
( )
x
( ω)
0
ω = heißt Amplitudengang
xA
( )
ϕ ω heißt Phasengang
71

Man findet:
A
( )
ω =
ω
2
0
2 2
2 2 ( ω0−ω ) + ( 2γω)
⎛ 2γω
⎞
ϕω= ( ) arctan ⎜ 2 2 ⎟
ω −ω
⎝ 0 ⎠
oder in reduzierter Frequenzeinheit
( )
A u
=
1
2 ⎛ u ⎞
− + ⎜
Q
⎟
⎝ ⎠
2 ( 1 u )
⎛ 1 u ⎞
ϕ ( u) = arctan⎜ ⋅ 2
Q 1−u ⎟
⎝ ⎠
speziell: A( 0) 1, A( ) 0
2
u ω
=
ω
0
= ∞ = ; ( ) ( )
A ω =ω = A u = 1 = Q
ist ≈ Maximum von A( s.u. )
Beachte:
0
(i) Maximum von A bei
1
u = 1− , also bei etwas
2
2Q
geringerer Kreisfrequenz als der der
freien gedämpften Schwingung
(natürlich auch geringer als für
ungedämpfte Schwingung, s.o.)
dϕ
(ii) = .... = 2Q ist die
du u= 1
„Steilheit des Phasengangs“
( 0) 0 ; ( ) ; ( ) ( u 1)
ϕ = ϕ∞ =π ϕω=ω =ϕ = =
Versuch: Pohlsches Drehpendel, Resonanzkurve
0
π
2
72

Leistungsaufnahme des harmonischen Oszillators bei erzwungener Schwingung
Äußere Anregung: xA⋅cos( ω t)
⇒ x() t = xA⋅A( ω) ⋅cos( ωt−ϕ( ω ) )
v() t = x� ( t) =−x ⋅A( ω) ⋅ω⋅sin ωt−ϕ( ω)
A
( )
Dabei ist mit der
Reibungskraft FR() t =−k⋅ v( t)
von fluidem Medium auf Oszillator wirkend eine
� �
Arbeit verbunden. Vom Fluid am Oszillator wird bei jeder Verschiebung dx = v dt
� �
eine negative Arbeit − FR⋅ dx am Oszillator geleistet, da Reibungskraft stets der
Geschwindigkeit entgegen gerichtet ist!
� Vom Oszillator am Fluid wird eine positive Arbeit geleistet.
Energiefluss also: von äußerer Anregung
⇒ in Oszillator
⇒ als Wärme in Fluid = „Dissipation“
Das gilt allgemein für alle Oszillatoren (elektrisch, mechanisch, akkustisch …)!
Die zeitabhängige Dissipationsleistung ist dabei
Die zeitlich gemittelte Leistung dazu ist:
2
( ) ( ) ( ) ( )
P t = F t ⋅ v t =−k⋅ v t .
R
2 2 2 2 2 2 2 2
( ) = ω ⋅ ⋅ ⋅ ( ω) ⋅ ( ω −ϕ ) =ω ⋅ ⋅ ⋅ ( ω) ⋅ ( ω )
P t k x
t A A sin t k x
t
A A sin t
t �����
1
=
2
2 2
t t
2 2
weil sin ( ω t) + cos ( ω t) = 1 und sin ( t) cos ( t)
t
ω = ω !
2
2 2 2 2 2 2 2 2
1 1 D/m 1 ⎛ ω ⎞
= ⋅xA⋅k⋅A ( ω) ⋅ω = ⋅xA⋅2m �
γ⋅ ⋅A ⋅ω = ⋅D⋅x 2
A⋅2γ⋅⎜
⎟ ⋅A
2 2 ω k �0
����� 2 ⎝ω0 ⎠
A U = potentielle Energie, die statischer Anregung mit A
1
U
A
x entspricht
73

Also gilt für die Dissipation des harmonischen Oszillators:
t
A
2
⎛ ω ⎞ 2 ⎛ ω ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ω0 ⎠ ⎝ω0 ⎠
P = 2γ⋅U ⋅ ⋅A
( )
2 2
P = 2γ⋅U t
A ⋅u ⋅ A u
, oder
ω0 und mit 2γ=
= 2π
wird daraus
Q QT0
U 1
( )
A 2 2
P = 2π⋅ ⋅ ⋅ u A u
t T0Q 1.) - P ( u) ≈ proportional zu Quadrat des Amplitudengangs
t
2.)
Kleine Frequenzen; u1, A( u) ≈ 1/u :
P
t
∼
1
2
u Q
Resonanzfall; u=1, A( u) = Q :
U
= = = π ⋅ �
( ) A
P u 1 P 2 Q t t,max T0
⎫
⎪
⎪
⎪
⎬ beides
⎪
⎪
⎪
⎭
1
∼
Q
P ∼ Q t
d.h. dissipierte Leistung maximal im Resonanzfall und dann gleich
UA
P = 2πQ⋅ , also gleich
max T0
„2πQ mal die statische Auslenkungsenergie pro Periode“
Je größer Q, desto mehr Leistung wird bei resonanter Anregung dissipiert,
aber desto weniger bei nicht-resonanter Anregung!!
⇒ u.U. ist eine „Resonanzkatastrophe“ möglich!
Projektion: Harmonische Schwingung und Resonanz
Film: Resonanzkatastrophe der Takoma-Brücke
74

5.4. Der anharmonische ungedämpfte Oszillator
2
Für kleine Auslenkungen um eine Ruhelage herum gilt immer U( x) ∼ x
⇒ alle Oszillatoren harmonisch!
π π
Beispiel: starrer Rotator (Fadenpendel für −

Also jetzt:
⇒ Nur für kleine Auslenkungen harmonisch mit
Und wieder für
π
ϕ � :
2
1
U m g 1 cos mg
2
und
2
( ϕ ) = ⋅ ⋅�⋅( − ϕ) ≈ �⋅ϕ
dU
M ( ϕ ) =− =
dϕ
( )
= −mg ⋅ ⋅�⋅ sinϕ ≈−mg� ⋅ϕ
Also die Näherung „harmonischer
Oszilllator“.
g
ω= � unabhängig von der Amplitude!
sonst: 1) ω � , T � mit wachsender Amplitude
2) Schwingung wird „anharmonisch“ ⇒ Oberwellen (später!)
Bedenke Schiffsschaukel:
T →∞, wenn Überschlag gerade erreicht würde
Projektion „Der Anharmonische Oszillator: Beispiel cos-Potential (Schiffsschaukel)“
_________________________________________________________________________
Ergänzung für Interessierte:
Die Lösung der nicht-linearen Differentialgleichung für den starren Rotator kann nicht mehr
analytisch abgeleitet und in geschlossener Form dargestellt werden. Die Auslenkungsfunktion
ϕ(t) kann aber mit einem einfachen Tabellenkalkulationsprogramm beliebig genau numerisch
bestimmt werden. Dazu benutzen wir den Energieerhaltungssatz und drücken
Geschwindigkeit und Winkelgeschwindigkeit des mathematischen Pendels als Funktion des
Auslenkwinkels aus:
1 2 1 2 2 1 2 2
K = 2mv= 2m� ω = 2m�
ϕ � = Umax −U( ϕ ) = mgh0 −mg⋅h( ϕ ) = mgh0 −mg⋅( �−� ⋅cosϕ) h0 ist die der maximalen Winkelauslenkung ensprechende Höhe des Massenpunktes. Daraus
folgt für die Winkelgeschwindigkeit
1 2 g h0
g
g 2
dϕ
h0
2 ϕ � = �⋅ � − �⋅(
1−cosϕ) und mit � = ω0
weiter ϕ � = dt = 2ω0⋅ � −( 1−cosϕ) .
Differentielle Zeitzuwächse während der Pendelbewegung können also leicht aus den
differentiellen Winkelzunahmen errechnet werden:
h0
dt = 1/ ⎡ 2 0 ( 1 cos ) ⎤
⎢
ω ⋅ � − − ϕ
⎥
⋅dϕ. Intervallschachtelung von ϕ zwischen 0 und dem h0
⎣ ⎦
entsprechenden Maximalwinkel und aufsummieren der entsprechenden Zeitintervalle dt
liefert also problemlos die Umkehrfunktion t ( ϕ ) zu ϕ ( t)
. Für die Projektion (s.o.) wurde sie
schlichtweg mit vertauschten Achsen dargestellt.
76

5.5 Harmonische Analyse (Fourier-Transformation)
Darstellung periodischer Funktionen („Transienten“ fT( t ) , „Felder“, „Profile“
f ( x,y,z ) ) durch Überlagerung von harmonischen Funktionen (d.h. sin und cos)
f () t immer ist immer darstellbar als:
f () t = f + S1⋅sin( 1⋅ω 0t) + C1⋅cos( 1⋅ω0t) + S2⋅sin 2⋅ω 0t + C2⋅cos 2⋅ω0t + ...
oder auch:
f () t = f + A1⋅cos( 1⋅ω0t−Φ1) + A2⋅cos( 2⋅ω0t−Φ2) + ...
( ) ( )
n A , Φ n heißen „Amplituden und Phasen der Oberwellen“
1 A, 2 A , 3 A ,… bilden das „Oberwellenspektrum A n “
Wie finde ich die n A , Φ n ? Antwort:
T
2
Sn = ⋅ f() t sin( n⋅ω0t) dt
T ∫
0
T
2
C = ⋅ f t cos n ⋅ω t dt
∫
() ( )
n 0
T 0
„Oberwellen“
„Oberwellen“
und damit lässt sich dann
An =
2 2
Sn + Cn ⋅ sign( Cn) =±
2 2
Sn + Cn
⎛ S ⎞ n
und Φ n = arctan ⎜ ⎟
⎝Cn⎠ Beachte: 1.) für f () t f () t
2
Beispiele: f() t = t oder
2.) f () t f( t)
=− (“gerade Funktion“) ⇒ alle n
e
2
⎛ t ⎞
⎜−⎟ τ
S 0 = , alle Φ n = 0
⎝ ⎠ periodisch wiederholt oder cos( t)
=− − “ungerade Funktion“ ⇒ alle n
3
Beispiele: f( t) = t−t oder
t e
2
⎛ t ⎞
−⎜ ⎟
⎝τ⎠ C 0 =
periodisch in T
2π
ω 0 =
T
berechnen.
ω selbst.
⋅ periodisch wiederholt oder sin ( t)
0
ω selbst.
77

Beispiele und Diskussion siehe Website (in Materialien / Beispiele zur
harmonischen Synthese)
5.6 Der harmonische Oszillator als „Frequenzfilter“
Betrachte eine allgemeine in T = 2
0
π ω periodische Anregung mit f = 0.
(ACHTUNG:
Die ungedämpfte Eigenkreisfrequenz des Oszillators ist im folgenden mit D m statt
mit ω 0 abgekürzt, um Verwechslungen mit 2π T zu vermeiden!) Dann kann f(t) als
periodische Funktion durch eine Fourier-Reihe dargestellt werden:
f () t = xA1 cos( 1⋅ω0t−Φ 1) + xA2 cos( 2⋅ω0t −Φ 2 ) + ...
Die Bewegungsgleichung für den harmonischen Oszillator ist „linear“, d.h.
�� x + 2γ⋅ x� + ⋅ x = x cos 1⋅ω t−Φ
( )
( )
D
1 1 m 1 A1 0 1
�� x D
2 + 2γ⋅ x� 2 + m ⋅ x2 = xA2cos 2⋅ω0t−Φ2 ……………………………
+
.. .
( x + x + ... ) + 2γ D ( x + x + ... ) + m(
x + x + ... ) = f ( t)
1 2 1 2 1 2
⇒ x () t + x () t + ... ist die „Antwort“ auf ( )
f t und kann durch Überlagerung der
1 2
einzelnen xi() t gefunden werden, d.h. der Antworten des Oszillators auf die
Oberwellen x cos( i t )
⋅ ⋅ω −Φ der Anregung einzeln betrachtet. Es gilt also:
Ai0 i
( )
( )
() A1 ( 0 ) 0 1 ( 0 )
( ) ( )
x t = x ⋅A 1⋅ω ⋅cos 1⋅ω t−Φ −ϕ 1⋅ω
+
x ⋅A 2⋅ω ⋅cos 2⋅ω t −Φ −ϕ 2 ⋅ω + ...
A2 0 0 2 0
Amplitudengang Phasengang
Aus anderer Perspektive:
x ,Φ wird vom Oszillator gefiltert und mit
Das Anregungsspektrum ( A i)
i
„Gewichtungsfaktoren“ A( i⋅ω0) und „Phasenverschiebungen“ ϕ( i ⋅ω 0 )
zurückgegeben.
ϕωbilden die „Antwortfunktion“ oder die „Übertragungsfunktion“ des
⇒ A ( ω) und ( )
j
Filters (später in E-Technik: Ü( ) A( ) e ω
ω = ω ⋅ in komplexer Darstellung zur
leichteren Handhabung!)
Beachte: Eins Oszillator kann auch durch „Rauschen“ angeregt werden (s.o.),
wenn das Raschspektrum den Resonanzbereich des Oszillators enthält!
⇒ “Fremderregung“ des Oszillators,
z.B. Streichinstrumente, Tacoma Bridge, …
Beispiele siehe Website (in Materialien / Stochastishe Anregung des harmonischen
Oszillators)
78

6. Wellen
Räumliche Kopplung von Oszillatoren sorgt für die Ausbreitung von
Schwingungen in einem Medium.
⇒ Auslenkungsfunktion f = f ( r,t)
6.1 Harmonische Wellen
�
; Dynamik bzgl. r � und t gekoppelt.
Harmonische Wellen sind Wellen, die für einen festen Ort harmonische Oszillation
zeigen:
� � �
f ( r,t) = A( r) ⋅cos( ωt−ϕ( r)
)
A( r) � kann dabei durch Interferenz und Beugung (siehe später in der Optik!)
sehr kompliziert aussehen!
Jetzt zunächst einfach-harmonische Wellen längs einer Ausbreitungsrichtung x
(= “laufende harmonische Wellen“)
Beispiel:
�����
f x,t f cos k x t
"Phase" der Welle ϕ
( ) = ⋅ ( ⋅ −ω )
m
harmonisch in Zeit
und Raum
Amplitude Wellenzahl
�
Kreisfrequenz
�
�
(3D: kir mit Wellenvektor k) ω
= ν = Frequenz für x fest
2π
Seilwelle: f( x,t) = y( x,t)
transversale Auslenkung (z.B. in y-Richtung)
Wasserwelle: (weit ab von Erregung, s.u.) f( x,t) = h( x,t) − h0
Höhenvariation des
Wasserspiegels
f x,t = p x,t −p Luftdruckvariation
Schallwellen: ( ) ( ) 0
Wellenfronten: Punkte äquivalenter Phasen ϕ = 0, ϕ= 2 π, ϕ= 4 π,... bilden
Wellenfronten.
1.) Abstand λ von Wellenfronten (t fest):
! 2π
k⋅λ= 2π⇒λ
= heißt Wellenlänge
k
2.) Bewegung von Wellenfronten:
kx −ω t = 0 ⇒ kx =ωt ⇒
ω
x () t = ⋅ t
k
Phasengeschwindigkeit c
79

Beachte:
ω
fm⋅cos( −k⋅x−ω t) = fm⋅cos( k⋅ x+ωt) ⇒ c=−
, Welle mit Ausbreitung in
k
� �
(-x)-Richtung; Wellenvektor ist k = −k⋅ex!) 3.) Die Dispersionsrelation
Wellenarten
Unterscheide:
ω 2π⋅ν
c = = =λ⋅ν
k 2 π/ λ
i.A. ist c= c(
ω) frequenzabhängig → „Dispersion“
Oft aber (Licht im Vakuum, Schall, …) c = konstant → „keine Dispersion“
A Longitudinalwellen
Amplitude ist Vektor in Ausbreitungsrichtung oder Skalar
(z.B. Schallwelle)
B Transversalwellen
Amplitude ist Vektor ⊥ Ausbreitungsrichtung (z.B. Licht)
80

Die Wellengleichung
Raum-Zeit-Kopplung für alle Wellen nach gleichem Schema !
Beispiel: transversale Seilwelle (Saiteninstrumente!)
Grundgleichung für Bewegung des Längenelements dx mit Masse μ⋅ dx
in y-Richtung.
„lineare Massendichte“, kg ⎡ ⎤
⎢
⎣m⎥ ⎦
( ) ( )
( ( ) ( ) )
( ( ) ( ) )
F =−F⋅sin α , F =+ F ⋅sin α
1,y el 1 2,y el 2
⇒ F = F sin α −sin α
y el 2 1
≈F tan α −tan α
el 2 1
⎡dy dy ⎤
= Fel ⎢ ( x2) − ( x1)
⎣dx dx ⎥
⎦
Ist die Gesamtkraft auf das Massenelement mit der Länge dx.
81

� �
F= m⋅a ⇒ F = m⋅�� y
Dynamik y
⎡dy dy ⎤
Fel ⎢ ( x2) − ( x1) =μ( x2−x1) ⋅y
⎣dx dx ⎥
��
⎦
( ) − ( )
y′ x y′ x
⋅ =μ⋅��
Fel 2 1
x2 − x1
�������
Differentialquotient
y
für dx = x2 −x1 → 0 :
μ
y′′ = ⋅�� y oder
F
el
2 2
∂ y μ ∂ y
= ⋅
∂x F ∂t
2 2
el
Wellengleichung allg. gültig!
μ
Konstante hängt von dem System ab.
Fel
(z.B. Licht im Vakuum: μ0⋅ε0Produkt der magnetischen und elektrischen
Feldkonstanten; siehe später)
( ) 2
2
⎡ μ ⎤ kg / m kg / m 1
⎢ ⎥ = = = ;
⎣Fel ⎦ N kg⋅m/s m/s
die Konstante ist wie hier immer eine reziproke, quadratische Geschwindigkeit.
Die einfach–harmonische Welle y( x, t) y cos( kx t)
Wellengleichung:
�
( ω/k)
��
= ⋅ −ω erfüllt die
m
( )
( )
2
y= −ω ⋅ ym⋅cos kx−ωt ′′ = −
2
⋅ m ⋅ −ω
y k y cos kx t
2 2
∂ y 1 ∂ y
el
= ⋅ , wenn 2 2 2
∂x ∂t
F ω
= c =
k μ ist.
Die Phasengeschwindigkeit transversaler Seilwellen ist die Wurzel aus dem
Quotienten aus Spannkraft und linearer Massendichte!
→ Stimmung von Saiteninstrumenten durch Anpassung von c ~ F el (s.u.) !
ω
Aber: c∼Fel bestimmt nur die Kombination = λ⋅ν! Was wählt daraus die
k
Tonfrequenz ν aus?
82

6.2 Superpositionsprinzip und Interferenz
Beachte: Wellengleichung ist linear:
2 2
∂ y 1 ∂ y
− ⋅ = 0
2 2 2
∂x c ∂t
→ Auch jede Überlagerung einfach-harmonischer Wellen erfüllt
ω 2
die Wellengleichung, solange = c beachtet wird !
k
→ Wellen überlagern sich additiv ohne gegenseitige Beeinflussung.
Die Überlagerung von Wellen mit der Möglichkeit zur Verstärkung und
Auslöschung heißt Interferenz.
Das ist ein Charakteristikum für Wellen, welches nur möglich ist, weil
f ( x,t) Vektoren oder Skalare mit +/- sind !
Prinzipiell keine Wellen können Größen wie Masse, Energie, …bilden.
ω
Fall 1 Eine feste Frequenz ω → ein k = , aber Ausbreitungsrichtung flexibel
c
Wichtigster Fall: Beugung (Optik, Akustik, … später)
Einfachster Fall: Reflexion von 1-dim Wellen durch feste Ränder
z.B. Seilwelle mit fester Wand, eingespannte Saite,
Luftsäule in Blasinstrument, Lichtwelle zwischen zwei
Laserspiegeln,…
→ Von außen aufgeprägte Wellen werden ständig hin- und her reflektiert und
überlagern sich gegenseitig!
83

� Interferenz führt i.a. zu Auslöschung (destruktiver Interferenz), außer wenn
Wellenlänge λ und „Resonatorlänge“ L zusammenpassen. Dann kommt es zu
konstruktiver (=verstärkender) Interferenz, die zu einer stehenden Welle
( ) = ⋅ ( − ) + ⋅ ( + )
f x, t f cos kx ωt f cos kx ω t führt.
0 0
⎛ α+β α−β
⎞
Denn wegen ⎜cosα+ cosβ= 2cos ⋅cos mit α= kx +ωt; β= kx −ωt⎟
folgt daraus
⎝ 2 2
⎠
( ) = ⋅ ( ) ⋅ ( ω )
f x, t 2f cos kx cos t
0
Das ist keine laufende Welle mehr, sondern eine Schwingung mit räumlich modulierter
Amplitude A( x) = 2f0⋅ cos( kx)
, genannt stehende Welle. Insbesondere gilt
π 3 5
→ A( x) = 0 für k ⋅ x = , π , π ... ;
2 2 2
π π λ
� Schwingungsknoten im Abstand Δ x = = = .
k 2 π/ λ 2
→ A( x) maximal für k ⋅ x = 0, π,2 π ,...
λ
� Schwingungsbäuche im Abstand zwischen den Schwingungsknoten!
2
An Rändern stets Knoten oder Bauch, je nach Reflexionsbedingung:
z.B. Saite: Knoten / Knoten;
beidseitig offene Luftsäule: Knoten / Knoten (für Δ p )
einseitig offene Luftsäule: Knoten / Bauch (für Δ p )
84

Beispiel: Saiteninstrumente mit c =
! λ
→ Knoten bei 0, Knoten bei L. Wegen Δ x = ; mit c =
2
μ
:
F
⋅Δ = ⇒
λ
⋅ =
2
λ 1 = 2L
c
ν 1 =
2L
2⋅Δ x = L ⇒
λ2
2⋅ = L
2
1
λ 2 = L = λ 1
2
c
ν 2 = = 2ν
1
L
…
2 1
λ 3 = L = λ 1
3 3
ν 3 = .......... 3ν
1
… …
1
1 x L 1 L
Schwingung mit 1 ν ist Grundton (1) und Schwingung mit νn sind Obertöne (2,3,…) des
Instruments ! Ihre Amplituden bestimmen den „Klang“ eines Instruments!
Die möglichen stehenden Wellen heißen “Resonanzen“ oder „Eigenmoden des
Resonators“.
Völlig analog: Laser mit Resonatorlänge L = Abstand zwischen den Laserspiegeln !
Beispiel: Halboffene Blasinstrumente
→ Knoten bei 0; Bauch bei L
! λn λn
L= n⋅ + ;
2 4
c
ν n =
λn
c c
= ⋅ 1 1 ( n⋅ 2+ 4)
= ⋅ ( 2n+ 1)
mit n=0,1,2….
L 4L
λ 0 = 4L
c
ν 0 =
4L
Grundton (Fundamentalfrequenz)
4
λ 1 = L
3
3c
ν 1 = = 3ν
0
4L
Obertöne
4
λ 2 = L
5
ν 2 = ... = 5ν
2 ………..
... …
Nur „ungerade“ Obertöne kommen vor !
Versuch Akustik: Messung der Schallgeschwindigkeit, Demonstration der Interferenz,
Rubenssches Flammenrohr.
μ
F
85

Fall 2 Überlagerung von Wellen unterschiedlicher Frequenz
Betrachte: Ein „Wellenpaket“ = Allgemeines Auslenkungsmuster
R x = f x,t = 0 für t = 0;
ergänze zunächst formal periodisch
( ) ( )
Benutze räumliche Fouriersynthese zur Darstellung mit 0 = statt 0
( ) = 1⋅ ( ⋅ 0 −Φ1)
+ A ⋅cos( 2⋅k x−Φ
)
R x A cos 1 k x
+ ...
2 0 2
k
2π
L
2π
ω = :
T
Für t = 0 ändert die Ergänzung zu Teilwellen mit ω ( k)
in der Phase nichts, da immer
nur ω( n⋅k ) ⋅ t = 0addiert
wird! Das so erhaltene Wellenpaket
0
( )
( )
( ) 1 0 1 ( 0)
( )
f x,t = A ⋅cos 1⋅k x−Φ −ω 1⋅k ⋅t
+ A2⋅cos 2⋅k0x−Φ2 −ω 2⋅k0 ⋅t
+ ...
erfüllt also die Wellengleichung (Superpositionsprinzip!) und ist per Konstruktion für
t=0 mit dem beliebig vorgegebenen Auslenkungsmuster identisch. Die numerische
Auswertung von f(x,t) mit korrekt eingesetzter Dispersionsrelation ω ( k)
würde also
genau die raum-zeitliche Entwicklung des Auslenkungsmusters R(x) ergeben!
Für ein Ausbreitungsmedium mit linearer Dispersionsrelation (- man sagt „ohne
Dispersion“) kann ω ( k) = c⋅kgesetzt werden. Dann (und nur dann) kann man weiter
vereinfachen:
( )
( )
( ) ( )
A cos 2 k ( x ct)
f x,t = A ⋅cos 1⋅k x−ct −Φ
1 0 1
+
+ ...
⋅ ⋅ − −Φ
= R x−ct 2 0 2
( )
86

Dieses Ergebnis kann auch auf die Ausbreitung von Wellenpaketen in zwei und drei
Dimensionen verallgemeinert werden;
In einem Medium ohne Dispersion breiten sich Wellenpakete
(= beliebige räumliche Auslenkungsmuster) einfach mit der
Phasengeschwindigkeit c ohne Änderung ihrer Form aus.
Die charakteristische Abschwächung der Wellen aufgrund der Ausbreitung von einem
Zentrum der Wellenerregung startend (s.u., Kugelwellen, später in Optik Hertzsche Wellen)
gilt dabei aber auch für Wellenpakete.
Für eindimensionale Betrachtung Wellenpakete ist das obige Resultat auch ohne den
Umweg über die räumliche Fouriersynthese direkt ableitbar;
denn jede Funktion R( x−ct) erfüllt automatische die (eindimensionale)
2 2
∂ R 1 ∂ R
Wellengleichung = ⋅
2 2 2
∂x c ∂t
∂ ∂ ∂( x−ct) (zweimal Kettenregel anwenden, z.B. = ⋅ u.s.w. )
∂t ∂ x−ct ∂
( )
Aber: In Medien mit Dispersion „zerlaufen“ Wellenpakete!
Beispiele: Licht in Materie; ( → Optik)
Materiewellen sogar im Vakuum, weil
später!)
ist z.B. auch „Wellenpaket“,
das sich mit c ausbreitet
→ „Knall“, „Lichtblitz“
2
ω ∼ k ( → Quantenmechanik,
87

6.3 Energietransport durch Wellen
Wellen = räumlich gekoppelte Schwingungen
→ Energieumwandlung zwischen zwei Energieformen
z.B. mechanische Wellen: kinetische Energie K ↔ elastische potentielle Energie U
E-M-Wellen (Licht): magnetisches Feld ↔ elektrisches Feld
Laufende Wellen → Energiefluss längs k � !
Dazu zurück zur Seilwelle als Beispiel:
m
( )
y= y ⋅cos kx−ω t
( ) 2
1
dK = ⋅μdx ⋅ y�
m ist die kinetische Energie im Abschnitt dx der Welle.
2
1
2 2 2
Einsetzen: dK = ⋅μdx ⋅ymω sin ( kx −ω t )
2
: dt
dK 1 dx 2 2 2
PK = = ⋅μ ⋅ym ω sin ( kx−ω t)
dt 2 �dt
Transportrate der kinetischen Energie.
2
Zeitlich gemittelt: sin ( t )
⇒
c
ω+ϕ
1
=
t 2
PK 1 2 2
= ⋅μ⋅y t
m ω c
4
Analog (etwas komplizierter) …
1 2 2
PU = ⋅μ⋅y t m ω c= PK
, also insgesamt
t
4
1 2 2
P = ⋅μ⋅y t
m ω c
2
�
Für alle laufenden Wellen f ( r,t)
, also nicht nur mechanische gilt:
- gleicher Energiefluss für beide Energieformen
2
2
- P ∼ f (Quadrat der Apmlitude) und ∼ ω sowie ∼ c
t
m
Beachte: 1.) stehende Wellen transportieren keine Energie
2.) laufende Wellen transportieren neben Energie auch einen Impuls
(siehe später, Optik)
Materialien Website „Typen von Wellenausbreitung“
88

6.4. Der Doppler-Effekt
Materialien Website „Dopplereffekt“ und „Machscher Kegel“
Beispiel 1: Dopplerverschiebung bei Lichtreflexion zur Geschwindigkeitsmessung:
2
⎛ ⎞
1+ v/c 1+ v/c v
ν=ν0⋅ =ν0⋅≈ν0⋅ ⎜
1+ 2
⎟
1−v/c 1−v/c ⎜
�c⎟
für v � c
⎜ ⎟
⎝ ⎠
relative Frequenzverschiebung
konkret: Radarmessung für v = 54 km/h = 15 m/s ,
8
c= 3,0⋅ 10 m/s Lichtgeschwindigkeit
ω ν
=
ω0 ν0 30m / s
−7 ≈ 1+ = 1+ 10 8
310 ⋅ m/s
−5
= 1+ ( 10 % )
9
Genauigkeitsanforderung an Frequenzmessung ≈ 10 − !
Wie erreicht man das ?
→ Ausgehendes Signal f0 cos( 0t)
f cos( t t)
⋅ ω wird mit reflektiertem Signal
0⋅ ω 0 +δω⋅ (nach Verstärkung auf gleiche Amplitude) additiv
überlagert. Das Resultat
⎛
f f ⎡ 0 cos( 0t)
cos( ( 0 ) t ) ⎤
⎛ δω⎞ ⎞ ⎛δω ⎞
= ⋅
⎣
ω + ω +δω ⋅
⎦
= . .. = 2f0⋅cos⎜⎜ω
0 + ⎟⋅tcos
t
2
⎟⋅
⎜ ⎟ ,
⎝⎝
⎠ ⎠ ⎝ 2
���� ����� �����
⎠
ist eine so genannte „Schwebung“.
2f 0
- 2f 0
2π
δω/2
schnelle Oszillation mit
lansam modulierter
Amplitude
2 2π
δω/2
t
89

→ Mittelung über die schnelle Oszillationen mit Kreisfrequenz ω 0 (Radar:
10
2π⋅ 10Ghz= 2π⋅ 10 Hz;
einfach nur einen „langsamen“ Detektor benutzen!)
s
ergibt ein Signal, das mit der Schwebungsfrequenz S 2 = ω ν π oszilliert:
v
ω⋅ 0 2
δω c v
ω S = = =ω0⋅ 2 2 c
v
−7
10 3
⇒ν S = ⋅ν 0 = 10 ⋅ 10 Hz = 10 Hz leicht zu messen! Daraus
c
νs
� v= ⋅c.
So macht’s die Polizei. Sie sehen, Wissenschaft
ν0
bringt nicht immer Segen :-)
Allgemein: Überlagerungsverfahren („Heterodyn-Prinzip“) bei
Frequenzmessungen erlauben höchste Präzision !
Bespiel 2: Überschall-Bewegung
⇒
1/ sin
ν0
Bei Bewegung von Quelle in Medium divergiert ν=
1−v /c
⇒ Die Kugelwellenfronten bilden einen „Machschen Kegel“ mit
konstruktiver Interferenz
siehe Website Materialien / Dopplereffekt
Öffnungswinkel (Machscher Winkel):
v
Q
θ= heißt Machsche Zahl
c
Q
für vQ→ c.
90