Computeralgebra-Rundbrief - Fachgruppe Computeralgebra

Computeralgebra: 16.-18.06.2005, Kassel
Nach dem großen Erfolg der Computeralgebra-Tagung,
welche im Mai 2003 in Kassel stattfand, plant die Fach-
gruppe, in der Zeit vom 16.-18. Juni 2005 wieder eine
derartige Tagung in Kassel durchzuführen. Genaueres
zu dieser Tagung wird dann im Oktoberheft mitgeteilt
werden.
Themen und Anwendungen der Computeralgebra
Neue Entwicklungen in der algorithmischen
Invariantentheorie
Gregor Kemper (München)
kemper@ma.tum.de
Dieser Artikel soll über einige neuere Entwicklungen
in der algorithmischen Invariantentheorie berichten, die
sich nach Erscheinen des Buchs [4] ergeben haben. In
erster Linie soll ein Algorithmus zum Berechnen von
Invariantenringen reduktiver Gruppen in positiver Charakteristik
vorgestellt werden.
Der bisherige Stand. In der Invariantentheorie betrachtet
man die folgende Situation: G ist eine lineare algebraische
Gruppe über einem Körper K, den wir der Einfachheit
halber als algebraisch abgeschlossen voraussetzen
wollen. G operiert auf einer affinen K-Varietät
X durch einen Morphismus G × X → X. Wenn wir
den Ring der regulären Funktionen auf X mit K[X] bezeichnen,
so ist der Invariantenring gegeben durch
K[X] G := {f ∈ K[X] | f(g(x)) = f(x)
für alle x ∈ X, g ∈ G}.
Ein wichtiger Spezialfall (man könnte fast sagen: der
Standardfall) ist der, dass X ein endlich-dimensionaler
K-Vektorraum V und die G-Operation linear ist. Klassische
Fragestellungen sind:
1. Wann ist K[X] G endlich erzeugt als K-Algebra?
2. Wie findet man Erzeuger von K[X] G ?
3. Welche Punkte von X können durch Invarianten
getrennt werden?
Zur (auch nur ansatzweisen) Beantwortung dieser Fragen
sollte man verschiedene Klassen von Gruppen betrachten.
Als die wichtigste Klasse hat sich hierbei die
Klasse der reduktiven Gruppen herausgestellt (siehe [4,
7
Abschnitt 2.2]). Es gilt nämlich nach Hilbert und Nagata,
dass K[X] G immer endlich erzeugt ist, falls G reduktiv
ist (siehe [4, Abschnitt 2.2]). Umgekehrt konnte
Popov [9] zeigen, dass eine Gruppe G, bei der K[X] G
für alle G-Varietäten X endlich erzeugt ist, reduktiv sein
muss. Die reduktiven Gruppen sind also die ” richtige“
Klasse für das Betreiben von Invariantentheorie (was Invariantentheoretiker
allerdings nicht davon abhält, sich
auch intensiv mit Invarianten nicht reduktiver Gruppen
zu befassen). Wie sieht es aus mit der zweiten Fragestellung
nach dem Finden von erzeugenden Invarianten?
Hier lohnt es sich zwei Unterklassen der reduktiven
Gruppen zu betrachten. Zum einen sind das die linear
reduktiven Gruppen. Für diese wurde 1999 von Derksen
ein Algorithmus zur Konstruktion von erzeugenden
Invarianten gefunden (siehe [4, Abschnitt 4.1]). In Charakteristik
0 ist jede reduktive Gruppe linear reduktiv,
womit das Problem also in diesem Fall in befriedigender
Allgemeinheit gelöst wäre. Als zweite wichtige Unterklasse
betrachten wir die endlichen Gruppen, bei denen
die Invariantentheorie vor allem im modularen Fall
(d.h. |G| ist ein Vielfaches der Charakteristik von K)
schwierig und damit interessant ist. Hier wurden nach
Vorarbeiten von Sturmfels [10] Algorithmen durch den
Autor gefunden (siehe [4, Abschnitte 3.3 und 3.5]), die
den Fall linearer Operationen (X ein Vektorraum) abdecken.
Soweit in groben Zügen der Stand der Dinge, wie er
sich im Buch [4] darstellt. Wir haben also eine schmerzliche
Lücke, nämlich das Fehlen eines Algorithmus
zum Berechnen von Invarianten reduktiver Gruppen, die
nicht linear reduktiv sind (was nur in positiver Charakteristik
auftreten kann und auch häufig auftritt). Diese
Lücke ist inzwischen für den Fall linearer Operationen