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Validierung prädiktiver und funktionaler Methoden zur Lokalisierung ...

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2. Lagebestimmung des

2. Lagebestimmung des Hüftgelenkmittelpunktes Gleichung (2.1) gilt unter Vernachlässigung von Bewegungsartefakten für jeden einzelnen Marker, also: ∀i ∈ {1, . . . , n}, ∀j ∈ {1, . . . , m} : � �pij − �c� − rj = 0 (2.2) Somit gelten auch die folgenden Gleichungen (2.3) – (2.5): m� n� � �pij − �c� − rj = 0 (2.3) j=1 m� j=1 m� j=1 i=1 n� (� �pij − �c� − rj) 2 = 0 (2.4) i=1 n� i=1 (� �pij − �c� 2 − rj 2 ) 2 = 0 (2.5) Gleichungen (2.3), (2.4) und (2.5) beschreiben jeweils die Lage des Drehzentrums �c unter der Voraussetzung, dass die Bewegungen der Marker entlang von Sphären verlaufen. Aufgrund von Weichteilverschiebungen und Messartefakten gilt jedoch unter Versuchsbedingungen im allgemeinen m� n� � �pij − �c� − rj �= 0 (2.6) j=1 i=1 Die Radien bleiben über die Zeit der ausgeführten Bewegung nicht tatsächlich konstant, daher wird für jeden Marker ein mittlerer Sphärenradius betrachtet: rj = 1 n� � �pij − �c� (2.7) n i=1 Durch die Minimierung des aus Gleichung (2.6) abgeleiteten Minimierungsproblems m� n� � �pij − �c� − rj ! = min (2.8) j=1 i=1 wird das Drehzentrum berechnet, das die beste Annäherung an Sphärenbewegungen der Marker erfüllt. Dies kann über die Lösung eines quadratischen oder biquadratischen Minimierungsansatzes erfolgen (Camomilla et al. 2006, Ehrig et al. 2006). Im Zuge der quadratischen Minimierung (vgl. Gleichung (2.4)) lautet die zu minimierende Funktion m� n� fS2(�c, r1, . . . , rm) = (� �pij − �c� − rj) 2 (2.9) j=1 24 i=1

2.3. Funktionale Methoden in der Literatur Die entsprechende Minimierung unter Rückgriff auf einen biquadratischen Minimierungsansatz (vgl. Gleichung (2.5)) umfasst die Minimierung der Funktion �c Drehzentrum (= HGM) m Anzahl der Marker n Anzahl der Zeitpunkte fS4(�c, r1, . . . , rm) = m� j=1 n� i=1 (� �pij − �c� 2 − rj 2 ) 2 (2.10) �pij Markerposition des j-ten Markers (j = 1, . . . , m) zum i-ten Zeitpunkt (i = 1, . . . , n) rj Radius der Sphäre, auf der sich der j-te Marker bewegt (j = 1, . . . , m), siehe Gleichung (2.7) Der Lösungsansatz über ein quadratisches Minimierungsproblem (S2) wird bereits 1984 von Cappozzo zur Lagebestimmung des Hüftgelenkmittelpunktes empfohlen, jedoch ohne Angabe von daraus resultierenden möglichen Fehlern. In darauf folgender Literatur wird die genannte Methode sowohl anhand von Computersimulationen (Camomilla et al. 2006, Ehrig et al. 2006) und mechanischen Modellen mit bekannter HGM Lage (Camomilla et al. 2006, Piazza et al. 2001) als auch an Probanden (Bell et al. 1990, Leardini et al. 1999, McDermott et al. 2001, Kratzenstein et al. 2009) analysiert. Tests anhand von Computersimulationen wurden systematisch durchgeführt. Ehrig und Mitarbeiter (2006) simulieren randomisierte Bewegungen innerhalb unterschiedlicher vorgegebener Bewegungsumfänge unter Einbeziehung von verschiedenen Rauschsimulationen. Die Autoren finden deutliche Verbesserungen in der berechneten HGM Lage bei einem Bewegungsumfang ab 45 ◦ . Der angegebene Fehler liegt bei der Simulation im Bewegungsumfang 45 ◦ bis 90 ◦ , in der für jeden Marker separat Rauschen simuliert wird, bei 1–5 mm. Aus Weichteilbewegung resultierende Hautverschiebungen werden nicht in die Simulationen einbezogen. Piazza et al. (2001) überprüfen die Methode an einem mechanischen Modell mit bekannter Lage des Drehzentrums. Für die Lageberechnung des Drehzentrums legen die Autoren unterschiedliche Bewegungen im Umfang von 15 ◦ bis 30 ◦ zugrunde. Bei ausgeführter Flexion, Extension und Abduktion mit Bewegungsumfang 30 ◦ wird im Zuge quadratischer Minimierung unter Einbeziehung des Mittelpunktes eines Markerclusters ein Fehler von 4, 4 ± 0, 2 mm angegeben. Aus Simulationen und anhand Tests am mechanischen Modell werden in anderen Studien vergleichsweise hohe Standardabweichungen von bis zu 21, 4 mm und 25

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