Physikalische Messtechnik - Institut für Physik
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<strong><strong>Physik</strong>alische</strong> <strong>Messtechnik</strong><br />
Achim Kittel<br />
Energie- und Halbleiterforschung<br />
Fakultät V, <strong>Institut</strong> <strong>für</strong> <strong>Physik</strong><br />
Büro: W1A 1-102<br />
Tel.: 0441-798 3539<br />
email: kittel@uni-oldenburg.de<br />
Wintersemester 2005/06
Inhaltsverzeichnis<br />
1. Einführung in die Sensortechnik 2<br />
1.1. Statische Sensoreigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2<br />
1.1.1. Die Ideale Sensorkennlinie (Soll-Kennlinie) . . . . . . . . . . . . . . . . . 2<br />
1.1.2. Reale Sensorkennlinie (Ist-Kennlinie) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2<br />
1.1.3. Einflüsse durch Störgrößen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4<br />
1.1.4. Fehlerfortpflanzung systematischer Fehler . . . . . . . . . . . . . . . . . 4<br />
1.2. Korrektur von statischen Sensorfehlern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4<br />
1.2.1. Kalibrieren, Skalieren und Modellieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4<br />
1.2.2. Linearisieren in der Messkette . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5<br />
1.2.3. Linearisierung und Einflusskorrektur durch das Differenzprinzip . . . . . . 5<br />
1.2.4. Umkehrung des Wirkrichtung durch Gegenkopplung — Kompensationsprinzip 6<br />
2. Auswertung von Messsignalen 8<br />
2.1. Einige Begriffsdefinitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8<br />
2.2. Die vier Schritte der Auswertung einer Messung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8<br />
2.2.1. Aufstellung des Modells . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9<br />
2.2.2. Vorbereiten der Eingangsdaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9<br />
2.2.3. Berechnung des vollständigen Ergebnisses . . . . . . . . . . . . . . . . . 10<br />
2.2.4. Angabe des Messergebnisses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11<br />
3. Grundlegende Messverfahren 12<br />
3.1. Spannungsmessung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12<br />
3.2. Strommessung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13<br />
3.3. Ladungsmessung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14<br />
3.4. Messung von Wechselspannung und Wechselstrom . . . . . . . . . . . . . . . . . 15<br />
3.4.1. Bandbreitenbetrachtungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15<br />
3.4.2. Messung des Spitzenwerts und Gleichstromäquivalents . . . . . . . . . . 17<br />
3.5. Widerstandsmessung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20<br />
3.5.1. Stromfehler- und Spannungsfehlerschaltung . . . . . . . . . . . . . . . . 20<br />
3.5.2. Messung mit einer Stromquelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20<br />
3.5.3. Messung durch Vergleich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21<br />
3.5.4. Messung kleiner Widerstände durch Vierpunktmessung . . . . . . . . . . 21<br />
3.6. Messung von Induktivitäten und Kapazitäten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22<br />
3.6.1. Messung der Zeitkonstanten bei Ein- und Ausschaltvorgängen . . . . . . 22<br />
3.6.2. Messung von der Resonanzfrequenz in Schwingkreisen . . . . . . . . . . 22<br />
3.6.3. Messung der komplexen Impedanz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23<br />
3.7. Rauschen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23<br />
3.7.1. Widerstandsrauschen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24<br />
i
3.7.1.1. Wiener-Chintschin-Relation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24<br />
3.7.1.2. Herleitung des Widerstandsrauschen nach Nyquist . . . . . . . 26<br />
3.7.2. Brownsche Bewegung als stochastischer Prozess . . . . . . . . . . . . . . 27<br />
3.8. Weitere Rauschquellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29<br />
3.8.1. Schrotrauschen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29<br />
3.8.2. Generations-Rekombinationsrauschen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29<br />
3.8.3. Flickerrauschen (1/f-Rauschen) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29<br />
3.9. Einfluss eines Filters auf Rauschen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29<br />
3.10. Methoden zur Rauschunterdrückung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31<br />
3.10.1. Lock-in Verstärker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31<br />
3.10.2. Die Funktionsweise eines phasensensitiven Detektors . . . . . . . . . . . 31<br />
3.10.3. Aufbau eines phasensensitiven Detektors . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33<br />
3.10.4. Rauschreduktion durch Mittelung von repetierlichen Signalen . . . . . . . 34<br />
3.10.5. Die Methode der Boxcar-Mittelung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34<br />
3.11. Methoden zur empfindlichen Messung kleiner Signale . . . . . . . . . . . . . . . 35<br />
3.11.1. Konzeption des Messaufbaus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35<br />
3.11.2. Begrenzung des Messfeldes bei einer Spannungsmessung . . . . . . . . . 37<br />
3.11.3. Begrenzung des Messfeldes bei einer Strommessung . . . . . . . . . . . . 38<br />
3.11.4. Begrenzung des Messfeldes bei einer Widerstandmessung . . . . . . . . . 39<br />
3.11.5. Mögliche Fehlerquellen und ihre Beseitigung . . . . . . . . . . . . . . . . 40<br />
3.11.5.1. Das Spektrum von möglichen Störquellen . . . . . . . . . . . . 45<br />
3.12. Sensoren <strong>für</strong> unterschiedliche physikalische Größen . . . . . . . . . . . . . . . . . 45<br />
3.12.1. Sensoreffekte zur Umsetzung mechanischer Größen . . . . . . . . . . . . 45<br />
3.12.1.1. Piezoelektrischer Effekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45<br />
3.12.1.1.1. Die mechanische Spannung . . . . . . . . . . . . . . . 46<br />
3.12.1.1.2. Die mechanische Dehnung . . . . . . . . . . . . . . . 47<br />
3.12.1.1.3. Der direkte piezoelektrische Effekt . . . . . . . . . . . 48<br />
3.12.1.1.4. Der inverse piezoelektrische Effekt . . . . . . . . . . . 48<br />
3.12.1.1.5. Kristalleigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48<br />
3.12.1.2. Piezoresistiver Effekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49<br />
3.12.1.2.1. Einschub: Elektronen im Gitter . . . . . . . . . . . . . 49<br />
3.12.1.2.2. Beschreibung des piezoresistiven Anteils in Halbleitern 50<br />
3.12.2. Umsetzung magnetischer Größen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51<br />
3.12.2.1. Messung mit Hilfe einer rotierenden Spule . . . . . . . . . . . . 51<br />
3.12.2.2. Kernsondenmagnetometer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51<br />
3.12.2.3. Hall Effekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52<br />
3.12.2.4. Gauß Effekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54<br />
3.12.2.5. Magnetoresistiver Effekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55<br />
3.12.2.6. Supraleitende Magnetfeldsensoren . . . . . . . . . . . . . . . . 58<br />
3.12.2.6.1. Der Josephson-Kontakt . . . . . . . . . . . . . . . . . 59<br />
3.12.2.6.2. Das Superconducting Quantum Interference Device . . 60<br />
3.12.3. Umsetzung von thermischen Größen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64<br />
3.12.3.1. Thermowiderstands-Effekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64<br />
3.12.3.1.1. Thermowiderstands-Effekt in Metallen . . . . . . . . . 64<br />
3.12.3.1.2. Thermowiderstands-Effekt in Elementhalbleitern . . . 65<br />
3.12.3.1.3. Keramikwiderstande als Heißleiter (NTC) . . . . . . . 66<br />
3.12.3.1.4. Keramikwiderstande als Kaltleiter (PTC) . . . . . . . 67<br />
ii
3.12.3.2. Temperatureffekte bei Halbleiterübergängen . . . . . . . . . . . 67<br />
3.12.3.3. Thermoelektrische Effekte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67<br />
3.12.3.4. Pyroelekrische Effekte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69<br />
3.12.4. Umsetzung optischer und strahlungstechnischer Größen . . . . . . . . . . 70<br />
3.12.4.1. Äußerer Photoeffekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70<br />
3.12.4.2. Innerer Photoeffekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72<br />
3.12.4.2.1. Photowiderstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72<br />
3.12.4.2.2. Photodiode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73<br />
3.12.4.2.3. Phototransistor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75<br />
3.13. Grundlagen der Magnetischen Kernspinresonanz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76<br />
3.13.1. Klassische Behandlung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76<br />
3.13.1.1. Die Blochgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76<br />
3.13.1.2. Kontinuierliche Hochfrequenzeinstrahlung . . . . . . . . . . . . 78<br />
3.13.1.3. Einstrahlen von Hochfrequenzpulsen . . . . . . . . . . . . . . . 79<br />
3.13.1.4. Freie Präzession (FID) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80<br />
3.13.1.5. Spin-Echos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80<br />
3.13.1.6. T1-Messung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81<br />
3.13.1.7. Vektordiagramme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81<br />
3.13.2. Sondenkerne zur Bestimmung von lokalen Eigenschaften . . . . . . . . . 82<br />
3.13.2.1. Chemische Verschiebung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82<br />
3.13.2.2. Dipol-Dipol-Wechselwirkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83<br />
3.13.3. Experimente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85<br />
3.13.3.1. Aufbau eines Spektrometers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85<br />
3.13.3.2. Ein hochauflösendes NMR-Spektrometer in der Realität . . . . 86<br />
3.14. Grundlagen der Rastersondenmikroskopie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88<br />
3.14.1. Das Rastertunnelmikroskop . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89<br />
3.14.1.1. Theoretischer Hintergrund der Rastertunnelmikroskopie . . . . . 90<br />
3.14.2. Das Rasterkraftmikroskop . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97<br />
A. Operationsverstärker und ihre Grundschaltungen 102<br />
A.1. Begriffserklärung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102<br />
A.2. Nicht-invertierender Verstärker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104<br />
A.3. Invertierender Verstärker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105<br />
A.4. Addierer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105<br />
A.5. Subtrahierer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106<br />
A.6. Schmitt-Trigger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106<br />
A.7. Differentiator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107<br />
A.8. Integrator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107<br />
A.9. Logarithmischer Verstärker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108<br />
A.10.Instrumentenverstärker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109<br />
A.11.Impedanzinverter (negative impedance converter — NIC) . . . . . . . . . . . . . 109<br />
B. Analog/Digital-Wandler und Digital/Analog-Wandler 111<br />
B.1. Wandlungsfehler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111<br />
B.2. Digital/Analog-Wandler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111<br />
B.2.1. Stromwägeverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111<br />
B.2.2. R-2R-Wandler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112<br />
iii
B.2.3. Pulslängenmodulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112<br />
B.2.4. 1-bit Wandler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113<br />
B.2.5. MASH-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114<br />
B.3. Analog/Digital-Wandler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114<br />
B.3.1. Parallelwandler (Flash-Converter) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114<br />
B.3.2. Kaskadenumsetzer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115<br />
B.3.3. Nachlaufverfahren/Zählverahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116<br />
B.3.4. Wägeverfahren (successive approximation register) . . . . . . . . . . . . 116<br />
B.3.5. Sägezahnverfahren (single slope integration) . . . . . . . . . . . . . . . . 117<br />
B.3.6. Dual-Slope-Verfahren (dual-slope integration) . . . . . . . . . . . . . . . 117<br />
B.3.7. Sigma-Delta-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119<br />
iv
Vorbemerkung<br />
Das vorliegende Skript diente ursprünglich als Notiz oder besser Gedächtnisstütze <strong>für</strong> die Vorlesung.<br />
Es ist somit sicherlich kein Lehrbuch und an vielen Stellen zu knapp gehalten, um eine<br />
Einarbeitung in ein Stoffgebiet zu ermöglichen. Dennoch hoffe ich, dass ich hiermit eine Hilfestellung<br />
geben kann, sich auf eine Prüfung vorzubereiten oder die eine oder andere nützliche<br />
Information zur Verfügung zu stellen.<br />
An dieser Stelle möchte ich mich auch noch herzlich bei Herrn Jens Reemts bedanken, der mit<br />
viel Ausdauer und Sorgfalt das Skript Korrektur gelesen hat.<br />
1
1. Einführung in die Sensortechnik<br />
1.1. Statische Sensoreigenschaften<br />
1.1.1. Die Ideale Sensorkennlinie (Soll-Kennlinie)<br />
Ein Sensor bildet eine Eingangsgröße (= Messgröße) x auf ein Ausgangssignal y ab.<br />
x<br />
Messgröße<br />
Damit ergibt sich <strong>für</strong> den Zusammenhang:<br />
Sensor<br />
y<br />
Ausgangsgröße<br />
y(x) = y0 + ∆y<br />
∆x (x − x0) (1.1)<br />
Dabei bezeichnet x0 den Messbereichsanfang, x0 + ∆x das Messbereichsende, y0 den Ausgangssignalanfang<br />
und ∆ydie Ausgangssignalspanne. Die Empfindlichkeit ist durch die Steigung der<br />
Kennlinie an der entsprechenden Stelle gegeben:<br />
ε(x) = dy<br />
dx<br />
(1.2)<br />
Diese Größe wird auch als Steilheit bezeichnet und ist bei einer ideal linearen Kennlinie natürlich<br />
konstant.<br />
y0+∆y<br />
1.1.2. Reale Sensorkennlinie (Ist-Kennlinie)<br />
y0<br />
ys<br />
x0 x0+∆x<br />
Der absolute Fehler berechnet sich aus der Differenz von Istwert yi und Sollwert ys:<br />
Fabs = yi − ys<br />
2<br />
(1.3)
Während der relative Fehler auf die Ausgangsspanne bezogen ist:<br />
Frel = yi − ys<br />
∆ys<br />
(1.4)<br />
Er ist somit dimensionslos. Der absolute Fehler wird oft auf die Eingangsgröße bezogen angegeben,<br />
was bei einem linearen Zusammenhang leicht mit Hilfe der Empfindlichkeit ε angegeben werden<br />
kann:<br />
Fabs,x = yi − ys<br />
ε<br />
Im Allgemeinen lässt sich der gesamte Fehler in verschiedene Anteile untergliedern:<br />
• Nullpunktsfehler Fnu<br />
• Steigungsfehler Fst<br />
• Linearitätsfehler Fli<br />
Es ergibt sich <strong>für</strong> die Ist-Kennlinie yi, die Soll-Kennlinie ys und den absolute Fehler Fabs:<br />
(1.5)<br />
yi(x) = y0i + ∆yi<br />
∆x (x − x0) + Fli(x) (1.6)<br />
ys(x) = y0s + ∆ys<br />
∆x (x − x0) (1.7)<br />
Fabs = yi(x) − ys(x) = y0i − y0s +<br />
� �� �<br />
Fnu<br />
∆yi − ∆ys<br />
(x − x0) + Fli(x) (1.8)<br />
� ∆x �� �<br />
Fst(x)<br />
3
1.1.3. Einflüsse durch Störgrößen<br />
Bei einer Messung ergeben sich unterschiedliche, störende Einflüsse, wie:<br />
• die Temperatur, wenn nicht gerade die Temperatur gemessen werden soll.<br />
• Luftdruck und Luftfeuchtigkeit.<br />
• mechanische Erschütterung.<br />
• die Versorgungsspannung eines Sensors, eines Verstärkers oder einer Messschaltung.<br />
• elektrische und/oder magnetische Felder (EMV).<br />
• ein und/oder ausgangsseitige Rückwirkung, z.B. durch Belastung einer Quellen mit endlichem<br />
Innenwiderstand.<br />
1.1.4. Fehlerfortpflanzung systematischer Fehler<br />
Hier soll nun im Unterschied zu der häufig betrachteten Situation das Fehlerfortpflanzungsgesetz<br />
nicht <strong>für</strong> statistisch unabhängige Fehler betrachtet werden sondern <strong>für</strong> systematische Fehler. Sei<br />
das Signal S, welches gemessen wird, abhängig von den fehlerbehafteten Größen a, b, c in der<br />
Form S = f(a, b, c), so ergibt sich <strong>für</strong> den gesamten Fehler bei einer systematischen Abweichung<br />
dS = ∂S<br />
∂a<br />
da + ∂S<br />
∂b<br />
∂S<br />
db + dc (1.9)<br />
∂c<br />
Sind nur die Beträge bekannt, aber nicht die Vorzeichen der einzelnen Beiträge, so ergibt sich um<br />
ungünstigsten Fall:<br />
�<br />
�<br />
|dS| = �<br />
∂S<br />
� ∂a da<br />
�<br />
�<br />
�<br />
� +<br />
�<br />
�<br />
�<br />
∂S<br />
� ∂b db<br />
�<br />
�<br />
�<br />
� +<br />
�<br />
�<br />
�<br />
∂S<br />
� ∂c dc<br />
�<br />
�<br />
�<br />
�<br />
(1.10)<br />
1.2. Korrektur von statischen Sensorfehlern<br />
Da ein Sensor nie ideal gefertigt werden kann, unterliegen die charakteristischen Sensorparameter<br />
gewisser Streuungen im Produktionsprozess. Die Genauigkeit kann durch Kalibrierung, Skalierung<br />
oder gar Modellierung verbessert werden.<br />
1.2.1. Kalibrieren, Skalieren und Modellieren<br />
Durch Bestimmung eines Messpunktes und Vergleich mit einem anderen Sensor kann ein Punkt<br />
des Messintervalls festgelegt werden und somit durch Abgleich auf den richtigen Ausgabewert eine<br />
Kalibrierung durchgeführt werden. Damit ist es möglich, einen Nullpunktfehler zu minimieren.<br />
Führt man diese Prozedur <strong>für</strong> zwei Messwerte durch, die möglichst weit entfernt von einander<br />
im Messbereich liegen, so spricht man von einer Skalierung. Hierbei wird der Steigungsfehler<br />
minimiert. Führt man die Prozedur <strong>für</strong> mehr als zwei Messwerte durch und beschreibt die Ist-<br />
Kennlinie durch ein mathematisches Modell, so spricht man von der Modellierung und dabei<br />
können auch noch Linearitätsfehler minimiert werden.<br />
4
1.2.2. Linearisieren in der Messkette<br />
Bei diesem Prinzip wird eine der eigentlichen Messwertwandlung nachgeschaltete Linearisierung<br />
durchgeführt, indem die Umkehrfunktion der nichtlinearen Funktion des Wandlungsprozesses auf<br />
die vom Sensor gelieferte angewandt wird.<br />
Korrekturglied<br />
4<br />
2<br />
2 1 0 0<br />
yk ∆p<br />
4<br />
2<br />
Sensor<br />
0<br />
0 1 2<br />
Dies wird heutzutage meistens elektronische oder im Rechner geschehen, wurde früher aber meist<br />
mechanisch realisiert, durch mechanische Umsetzung mit z.B. Abrollkurven, Hebelwerk,<br />
Beispiele:<br />
1. Huygens hat durch eine Abrollkurve die Schwingungsdauer seiner Pendeluhren von der Auslenkung<br />
des Pendels unabhängig gemacht<br />
2. Selbst bei dem exponentielle Zusammenhang zwischen Abstand und Tunnelstrom lässt sich<br />
durch einen logarithmierenden Verstärker wieder eine dem Abstand proportionalen Spannung<br />
erzeugen.<br />
1.2.3. Linearisierung und Einflusskorrektur durch das Differenzprinzip<br />
Zwei gleichartige, nichtlineare Sensoren S1 und S2 werden bei einer um einen Arbeitspunkt (x0,<br />
ϑ0) herum gegensinnig verschobenen Messgröße x aber gleichsinnig verschobenen Einflussgrößen<br />
ϑ (z.B. Temperatur) durch das Differenzprinzip linearisiert:<br />
x<br />
x<br />
-x<br />
ϑ<br />
ϑ<br />
S1<br />
S2<br />
Q<br />
y(x,0)<br />
y(-x,0)<br />
Das Differenzsignal ∆y ist linearisiert und weniger stark von der Einflussgröße abhängig als beim<br />
Einzelsensor.<br />
5<br />
∆y
Entwicklung von y(±x, ϑ) in eine Taylorreihe:<br />
�<br />
y(x0 ± x, ϑ0 ± ϑ) = y(x0, ϑ0) + ± ∂y(x0, ϑ0)<br />
x +<br />
∂x<br />
∂y(x0,<br />
�<br />
ϑ0)<br />
ϑ +<br />
∂ϑ<br />
+ 1<br />
�<br />
±<br />
2<br />
∂2y(x0, ϑ0)<br />
∂x2 x 2 + ∂2y(x0, ϑ0)<br />
∂ϑ2 ϑ 2 ± 2 ∂2 �<br />
y(x0, ϑ0)<br />
xϑ + O<br />
∂xϑ<br />
3 (x, ϑ)<br />
(1.11)<br />
Für das Differenzsignal erhält man:<br />
�<br />
∂y(x0, ϑ0)<br />
∆y(x, ϑ) = y(x, ϑ) − y(−x, ϑ) = 2<br />
x +<br />
∂x<br />
∂2 �<br />
y(x0, ϑ0)<br />
xϑ + O<br />
∂xϑ<br />
3 (x, ϑ) (1.12)<br />
Dies hat zur Folge:<br />
• Empfindlichkeit ist verdoppelt<br />
• nur das gemischt quadratisches Glied bleibt übrig<br />
• rein quadratische Glieder entfallen<br />
• das lineare Einflussglied entfällt<br />
y(x,0)+f(ϑ)<br />
y(x,0)<br />
)<br />
y<br />
y(-x,0)+f(ϑ)<br />
) f(ϑ)<br />
y(-x,0)<br />
1.2.4. Umkehrung des Wirkrichtung durch Gegenkopplung —<br />
Kompensationsprinzip<br />
Existiert kein Sensor <strong>für</strong> eine bestimmte Aufgabenstellung so ist es manchmal dennoch möglich die<br />
interessante Größe zu bestimmen, indem das Wirkprinzip umgekehrt und ein Kompensationsprinzip<br />
angewandt wird.<br />
Beispiel: Ein Sensor der eine kraft in einem elektrischen Strom wandelt existiert nicht,<br />
FM → I<br />
6<br />
∆y<br />
x
aber mit Hilfe einer Tauchspule ist es möglich eine Kraft auszuüben.<br />
I → Fk<br />
Die Kompensationskraft wird der Messkraft entgegengesetzt und so lang verändert bis sie der<br />
Messkraft gleich ist (z.B. Waage, die den Tauchspulenstrom steuert).<br />
FM → Fk<br />
Über den Zusammenhang Fk(I) kann aus I die Messkraft bestimmt werden.<br />
Tauchspule<br />
M<br />
N<br />
S<br />
Positionsdetektor<br />
Der Strom Is ist proportional zur Masse, wenn Fk(I) ∝ Is.<br />
Beispiel <strong>für</strong> einige Anwendungen:<br />
• STM, AFM (im constant current/force mode)<br />
• Hitzdrahtanemometer<br />
• Beschleunigungssensoren<br />
F<br />
FM<br />
• SQUID-Magnetometer in einer flux-locked loop<br />
7<br />
Is<br />
Regelelektronik
2. Auswertung von Messsignalen<br />
2.1. Einige Begriffsdefinitionen<br />
Messgröße ist diejenige physikalische Größe, der die Messung gilt.<br />
Eingangsgröße ist die Messgröße oder andere Größe, die in die Auswertung der Messung eingeht.<br />
Ergebnisgröße ist die Zielgröße einer Messung und der anschließenden Auswertung.<br />
Messabweichung im Messergebnis sind Folgen der Unvollkommenheit einer Messung. Sie lässt<br />
sich in zwei Teile aufspalten:<br />
Zufällige Messabweichung kommen durch unvorhersagbare räumliche und zeitliche Veränderungen<br />
zustande. Der Erwartungswert (Mittelwert) der zufälligen Messabweichung ist<br />
Null.<br />
Systematische Messabweichung besitzen einen bekannten und unbekannten Anteil. Der<br />
bekannte Anteil kann bei der Auswertung korrigiert werden. Der unbekannte Anteil<br />
bleibt als Unsicherheit bestehen.<br />
Fehler → Abweichung Der Begriff Fehler wurde im ursprünglichen Sinne von C.F. Gauß eingeführt<br />
und ist heute in der Metrologie in Abweichung umbenannt worden. Der Fehler ist<br />
ein qualitativer Begriff <strong>für</strong> die Nichterfüllung einer Forderung.<br />
Einflussgrößen und Korrektion sind nicht Gegenstand der Messung, beeinflussen diese aber<br />
(Umgebungstemperatur, Feuchte, Luftdruck,...).<br />
Messunsicherheit ist ein Kennwert, der zum Messergebnis gehört und die Unsicherheit des Wertes,<br />
bzw. die Streuung der Werte kennzeichnet. Sie kann durch die Varianz, Standardabweichung<br />
oder ein Vielfaches davon angegeben werden.<br />
2.2. Die vier Schritte der Auswertung einer Messung<br />
(Werden in DIN 1319-3 genauer beschrieben)<br />
1. Aufstellung eines Modells, das die Beziehung der interessanten Messgrößen zu allen anderen<br />
beteiligten Größen mathematisch beschreibt.<br />
2. Vorbereitung der gegebenen Messwerte und der anderen verfügbaren Daten.<br />
3. Berechnung des Messergebnisses und der Messunsicherheit der Ergebnisgröße aus den vorbereiteten<br />
Daten mit Hilfe des Modells.<br />
4. Angaben des vollständigen Messergebnisses.<br />
8
2.2.1. Aufstellung des Modells<br />
Das Modell beschreibt den Zusammenhang der interessierenden Messgröße mit allen beteiligten<br />
Größen Xi (Eingangsgrößen). Dies setzt ein Verständnis des Experiments voraus.<br />
Zusammenstellung aller relevanter Eingangsgrößen<br />
1. direkt gemessene Messgrößen, z.B. Sensorsignale<br />
2. Korrektionen <strong>für</strong> Einflussgrößen, z.B. Temperatur, Druck ...<br />
3. andere bei der Auswertung verwendete Größen, wie Skalierungskonstanten, Naturkonstanten<br />
und Kalibrierungsfaktoren.<br />
Modellfunktion<br />
Hat folgende Form:<br />
oder implizit:<br />
Y = f(Xi, ..., Xm) (2.1)<br />
F (Xi, ..., Xm, Y ) = 0 (2.2)<br />
oder durch eine numerische Approximation in Form eines Algorithmus.<br />
2.2.2. Vorbereiten der Eingangsdaten<br />
Mehrmals gemessene Größen<br />
Der Schätzwert wird aus dem Mittelwert der Messungen bestimmt<br />
xi = vi = 1<br />
n<br />
ni �<br />
vij<br />
Das Maß der Unsicherheit u(x) ist in diesem Fall die empirische Standardabweichung<br />
�<br />
�<br />
�<br />
u(xi) = s(vi) = �<br />
1<br />
ni �<br />
ni(ni − 1)<br />
j=1<br />
j=1<br />
(2.3)<br />
(vij − vi) 2 (2.4)<br />
Einzelwerte oder wenig Werte<br />
Liegt <strong>für</strong> den Wert nur ein einziger Wert xi oder ein gegebener Wert (Literaturwert) vor, so muss<br />
die Unsicherheit aus einer anderen Quelle gewonnen werden:<br />
1. aus der Unsicherheit vergleichbarer vorangegangener Messungen<br />
2. aus der Unsicherheit gegebener oder tabellierter Werte<br />
3. oder durch Abschätzung eines oberen und unteren Grenzwertes<br />
Abschätzung eines oberen und unteren Grenzwertes<br />
Für die Abschätzung der oberen und unteren Grenzwerte ai und bi der Einflussgröße xi sowie<br />
deren Unsicherheit u(xi) gilt:<br />
xi = ai + bi<br />
2<br />
und u(xi) = bi − ai<br />
√ 12<br />
9<br />
(2.5)
ai<br />
xi bi<br />
ai xi bi<br />
die Unsicherheit ist eine Näherung aus der Varianz einer Rechteckverteilung zwischen den Werten<br />
ai und bi (keine zusätzliche Information vorhanden). Wechseln die Werte sinusförmig zwischen<br />
den Werten hin und her ergibt sich √ 8 im Nenner.<br />
2.2.3. Berechnung des vollständigen Ergebnisses<br />
Durch Einsetzen in die Modellfunktion erhält man das Ergebnis<br />
y = f(x1, ..., xm).<br />
Sind die Werte nicht korreliert, ergibt sich <strong>für</strong> die Standardunsicherheit (früher Fehlerfortpflanzungsgesetz<br />
genannt):<br />
�<br />
�<br />
�<br />
u(y) = � m �<br />
� �2 ∂f<br />
u<br />
∂xi<br />
2 (xi). (2.6)<br />
i=1<br />
Diese vereinfacht sich in einigen wichtigen Spezialfällen:<br />
1. die Modellfunktion ist eine (gewichtete) Summe<br />
�<br />
y = a1x1 + a2x2 + ... + amxm ⇒ u(y) = a2 1u2x1 + a22 u2 x2 + ... + a2mu 2 xm. (2.7)<br />
2. die Modellfunktion ist ein Produkt<br />
y = x1x2<br />
x3<br />
⇒ u(y)<br />
y =<br />
� �u 2 x1<br />
x1<br />
� 2<br />
�<br />
u2 x2 +<br />
x2<br />
� 2<br />
� �<br />
u2 2<br />
x3 + . (2.8)<br />
Numerische Bestimmung der Standardabweichung<br />
Für die Berechnung reicht es in der Regel aus, die erste Näherung der Ableitung zu kennen<br />
∆if ≈ ∂f<br />
u(xi)<br />
∂xi<br />
(2.9)<br />
somit ergibt sich <strong>für</strong> die Standardunsicherheit<br />
�<br />
�<br />
�<br />
u(y) = � m �<br />
(∆if) 2 (2.10)<br />
mit<br />
�<br />
∆if = f x1, ...., xi + u(xi)<br />
� �<br />
, ..., xm − f x1, ...., xi −<br />
2 u(xi)<br />
�<br />
, ..., xm<br />
2<br />
i=1<br />
10<br />
x3<br />
(2.11)
2.2.4. Angabe des Messergebnisses<br />
Form der Angabe<br />
Es gibt verschieden Formen, das Ergebnis einer Messung anzugeben:<br />
1. y, u(y)<br />
2. y, urel(y)<br />
3. Y = y(u(y))<br />
4. Y = y ± u(y)<br />
5. Y = y · (1 ± urel(y))<br />
Signifikante Ziffern<br />
• Die Unsicherheit ist auf zwei Stellen genau anzugeben (in manchen Fällen auch auf drei).<br />
• Die Unsicherheit wird grundsätzlich aufgerundet.<br />
• Der Messwert wird auf dieselbe Anzahl von Stellen gerundet<br />
Beispiel:<br />
Der Messwert betrage y = 5,493523V und die Unsicherheit u(y) = 0,008017. Es werden der<br />
Messwert auf y = 5,4935 und die Unsicherheit auf u(y) = 0,0081 gerundet.<br />
Erweiterte Unsicherheit<br />
Hierunter versteht man eine erhöhte Forderung an den Vertrauensbereich in besonderen Bereichen<br />
der Technik und Medizin. So wird die Standardunsicherheit mit einem Faktor versehen, um die<br />
erweiterte Unsicherheit zu erhalten:<br />
U = k · u(y) (2.12)<br />
Die Werte liegen dann laut folgender Tabelle mit einer Wahrscheinlichkeit p im Wertebereich<br />
y − U ≤ y ≤ y + U:<br />
Grad des Vertrauens p (%) Erweiterungsfaktor k<br />
68,27 1<br />
90 1,654<br />
95 1,960<br />
95,45 2<br />
99 2,576<br />
99,73 3<br />
11
3. Grundlegende Messverfahren<br />
In diesem Kapitel werden Messungen einiger elektrischer Größen angesprochen, durch die eine<br />
interessante physikalische Größe gewandelt wird. So werden hier die Messung einer elektrischen<br />
Spannung, des elektrischen Stroms, einer Wechselspannung und eines Wechselstroms, einer Ladung,<br />
eines Widerstands, sowie einer Induktivität und Kapazität diskutiert. Im Anschluss daran<br />
schließt sich die Beschreibung einer Brückenschaltung an, gefolgt von unterschiedlichen Wandlerkonzepten,<br />
die elektrische Größen in computerkompatible Daten und zurück wandeln. Gegen<br />
Ende des Kapitels werden Quellen <strong>für</strong> Rauschen angesprochen und Methoden, die Einfluss des<br />
Rauschens auf die Messung reduzieren, diskutiert. Zum Abschluss werden Methoden und Techniken<br />
erläutert, die benutzt werden, um kleine empfindliche Signale zu messen und zu verarbeiten.<br />
(Details nachzulesen in Referenz [1,2,3,4].)<br />
3.1. Spannungsmessung<br />
Jede beliebige Spannungsquelle lässt sich durch eine ideale Spannungsquelle V0 mit einem in Serie<br />
geschalteten Innenwiderstand Ri und jedes Spannungsmessgerät als ein ideales Spannungsmessgerät<br />
Vm mit einem parallel geschalteten Innenwiderstand Rm darstellen:<br />
V0<br />
R i<br />
R m<br />
Vm<br />
Spannungsquelle Spannungsmessinstrument<br />
Für die gemessene Spannung Vm gilt:<br />
Vm =<br />
Rm<br />
Vi<br />
Rm + Ri<br />
Es ist sofort klar, dass eine Verfälschung des Messwertes durch den Messwiderstand vorhanden<br />
ist, der einen von unendlich verschiedenen Wert aufweist. Eine Mindestforderung ist darin zu sehen,<br />
dass das Folgende gelten muss:<br />
Rm ≫ Ri<br />
12
Typische Innenwiderstände einiger Spannungsmessinstrumente<br />
3.2. Strommessung<br />
Analoges Spannungsmessinstrument 20 kΩ/Volt Vollausschlag<br />
Handmultimeter 20MΩ<br />
Labormultimeter 1GΩ<br />
Elektrometer 10TΩ = 10 13 Ω<br />
Jede beliebige Stromquelle lässt sich durch eine ideale Stromquelle I0 mit einem parallel geschalteten<br />
Innenwiderstand Ri und jedes Strommessgerät als ein ideales Strommessgerät I0 mit einem<br />
in Serie geschalteten Innenwiderstand Rm darstellen:<br />
I 0<br />
Stromquelle<br />
Für den gemessenen Strom Im gilt:<br />
Im = I0 − Ii = V0<br />
R i<br />
1<br />
=<br />
Rm<br />
RmRi<br />
I0<br />
Rm + Ri Rm<br />
R m<br />
Strommessinstrument<br />
=<br />
Ri<br />
Rm + Ri<br />
I m<br />
I0 =<br />
I0<br />
1 + Rm<br />
Ri<br />
Es ist sofort offensichtlich, dass eine Verfälschung des Messwertes durch den Messwiderstand<br />
vorhanden ist, sofern dieser einen von Null verschiedenen Wert aufweist. Eine Mindestforderung<br />
ist darin zu sehen, dass Folgendes gelten muss:<br />
Rm ≪ Ri<br />
Üblicherweise wird heutzutage die Strommessung mit Hilfe eines Spannungsmessinstrumentes<br />
bewerkstelligt. Hierbei wird der Spannungsabfall an einem bekannten Messwiderstand mit dem<br />
Spannungsmessinstrument gemessen.<br />
I 0<br />
Stromquelle<br />
R i<br />
R M<br />
13<br />
R m<br />
Vm<br />
Spannungsmessinstrument
Damit ergibt sich <strong>für</strong> den Messwiderstand RM:<br />
RM ≪ Ri<br />
Um die Bedingung bestmöglich zu gewährleisten, kann eine aktive Stromsenke eingesetzt werden,<br />
ein so genannter Transimpedanzverstärker. Dabei wird ein Operationsverstärker eingesetzt.<br />
Diese Schaltung besitzt einen nahezu verschwindenden Eingangswiderstand. Der Transimpedanzverstärker<br />
besteht im Wesentlichen aus einem Operationsverstärker und einem Gegenkopplungswiderstand.<br />
I<br />
-<br />
+<br />
Beschreibung der Funktion:<br />
Ein Transimpedanzverstärker setzt einen an seinem Eingang eingespeisten Strom in eine Spannung<br />
um, dabei wird der Einspeisepunkt durch die aktive Verstärkung auf dem gleichen elektrischen Potential<br />
gehalten wie die Masse, die an dem nicht invertierenden Eingang des Operationsverstärkers<br />
(OP) angeschlossen ist (weitere Informationen zu Operationsverstärkern und deren Grundschaltungen<br />
sind im Anhang A zu finden).<br />
• Der Eingangswiderstand des idealen OPs ist unendlich es fließt kein Strom in den Eingang<br />
(bei hochohmigen Präzisions-OPs liegt der Eingangsstrom im Bereich von 10 −15 A)<br />
• Erhöht sich die Eingangsspannung am (-)-Eingang gegenüber der Masse etwas, wird der<br />
Ausgang des OPs negativer.<br />
• Dadurch fließt ein größerer Strom durch den Widerstand R am OP vorbei.<br />
• Es stellt sich ein Gleichgewicht ein, bei dem das Potential am -Eingang gleich der Masse ist<br />
Somit ergibt sich die Ausgangsspannung des Transimpedanzverstärkers zu:<br />
R<br />
V = −IR.<br />
Diese Spannung kann mit einem Voltmeter ausgewertet werden.<br />
3.3. Ladungsmessung<br />
Ladungen sind sehr schwer zu messen, da wie immer beim Messprozess Energie auf das Messsystem<br />
übertragen werden muss. Die dabei auftretende, typischen Energien, die hierbei pro Elementarladung<br />
transferiert werden, sind:<br />
Ee = 1, 6 × 10 −19 · 0, 1V = 1, 6 × 10 −20 J (3.1)<br />
Die nachfolgende Schaltung verdeutlicht das Messprinzip:<br />
14<br />
V
R i<br />
= Vi<br />
Quelle<br />
S1<br />
C 1<br />
S2<br />
C 2<br />
Messverstärker<br />
Zunächst befindet sich die zu messende Ladung auf der Kapazität C1, nachdem sie durch Schließen<br />
des Schalters S1 auf diese aufgebracht wurde. Durch Öffnen des Schalters S1 und Schließen von<br />
S2 fließt diese auf die Kapazität C2 ab.<br />
+<br />
-<br />
R 1<br />
R 2<br />
Vm<br />
Q1 = ˜ Q1 + ˜ Q2 (3.2)<br />
VC1 = VC2 ⇒ ˜ Q1<br />
C1<br />
= ˜ Q2<br />
C2<br />
Q1 ⇒ ˜ C1 + C2<br />
Q2<br />
C2<br />
(3.3)<br />
(3.4)<br />
Gilt C1 ≪ C2 so wird die Ladung, die ursprünglich auf C1 gespeichert war, fast vollständig auf<br />
C2 übertragen. Der Umladeprozess hat einen Spannungssprung der Größe<br />
VC2 = ˜ Q2<br />
C2<br />
=<br />
Q1<br />
C1 + C2<br />
(3.5)<br />
zur Folge, der von dem nachfolgenden Messverstärker verstärkt und anschließend gemessen<br />
wird.<br />
3.4. Messung von Wechselspannung und Wechselstrom<br />
3.4.1. Bandbreitenbetrachtungen<br />
Problem:<br />
Die Kapazität der Verkabelung und die Eingangskapazität des Messgeräts bilden zusammen mit<br />
dem Innenwiderstand der Quelle (Messobjekt) einen Tiefpass:<br />
R i<br />
≈ Vi<br />
Quelle<br />
C i<br />
Messverstärker<br />
+<br />
-<br />
15<br />
R 1<br />
R 2<br />
Vm
Beispiel Ein 50Ω-Koaxialkabel hat eine Kapazität von 100pF/m. Bei einem Innenwiderstand von<br />
10 5 Ω der Quelle ergibt sich als Grenzfrequenz:<br />
f0 = 1<br />
2πRC =<br />
0, 16<br />
105Ω · 10−10 = 16kHz (3.6)<br />
F<br />
Eine mögliche Lösung, um den Einfluss der Kabelkapazitäten zu eliminieren, ist den Ausgang des<br />
Messverstärkers, der als Spannungsfolger verschaltet ist, auf die Abschirmung des Koaxialkabels<br />
zu legen. Somit liegt immer das gleiche Potential am Innen- und Außenleiter des Koaxialkabels,<br />
die Kabelkapazität wird also vom niederohmigen Ausgang des Messverstärkers umgeladen.<br />
Vi<br />
R i<br />
≈<br />
Quelle<br />
C K<br />
Messverstärker<br />
Durch diese Maßnahme erhöht sich die Bandbreite bis in die Nähe von ca. 10MHz.<br />
Eigenschaften:<br />
A<br />
1<br />
f 0<br />
• Die Bandbreite wird durch die Bandbreite des Operationsverstärkers bestimmt.<br />
f<br />
• Problem: Es entsteht eine Resonanzüberhöhung und damit eine Schwingungsneigung<br />
ϕ<br />
0°<br />
45°<br />
90°<br />
Dies lässt sich sehr leicht mit einem Widerstand RK in der Verbindung zum Koaxialkabel beheben.<br />
Dieser Widerstand führt zu einer Dämpfung der Schwingung und verbessert damit den<br />
Frequenzgang.<br />
16<br />
+<br />
-<br />
f 0<br />
Vm<br />
f
Vi<br />
R i<br />
≈<br />
Quelle<br />
C K<br />
Messverstärker<br />
Hier ist der Frequenzgang mit eingefügtem Dämpfungswiderstand zu sehen.<br />
A<br />
1<br />
3.4.2. Messung des Spitzenwerts und Gleichstromäquivalents<br />
f 0<br />
R K<br />
f<br />
ϕ<br />
0°<br />
45°<br />
90°<br />
Die einfachste Methode den Spitzenwert einer Wechselspannung zu bestimmen, besteht darin,<br />
die Gleichspannung mit Hilfe einer Diode gleichzurichten und dann mit Hilfe einer Kapazität zu<br />
akkumulieren:<br />
Vi<br />
R i<br />
≈<br />
Quelle<br />
D<br />
C<br />
Der eingefügte Widerstand wird benötigt, damit die Ladung, die sich auf der Kapazität ansammelt<br />
abfliesen kann, da dies nicht rückwärts über die Diode geschehen kann. Aufgrund der Diodenkennlinie<br />
ergibt sich am Ausgang folgender Zusammenhang zwischen Vm und Vi :<br />
Spitzenwert<br />
Vm<br />
17<br />
+<br />
-<br />
R<br />
f 0<br />
Vm<br />
f<br />
Vm<br />
Vi
• Es wird klar, dass sich ein nichtlinearer Zusammenhang ergibt. Kleine Werte von Vi werden<br />
nur verzerrt wiedergegeben.<br />
• Die Diode darf keine große Sperrschichtkapazität aufweisen, da sonst bei hohen Frequenzen<br />
ein Großteil der Wechselspannung über diese koppelt.<br />
Vi<br />
R i<br />
≈<br />
Quelle<br />
R 1<br />
Die Diode D2 sorgt da<strong>für</strong>, dass der Ausgang des Operationsverstärkers um die Diodendurchbruchsspannung<br />
höher liegt als der Ausgang der Schaltung, der auf den Eingang zurückgekoppelt wird.<br />
Somit wird die Durchbruchsspannung der Diode D1 effektiv vom Ausgang abgezogen, weshalb die<br />
Spannung am Ausgang tatsächlich bis auf Null zurückgeht.<br />
Um eine bessere Mittelung mit dem Kondenstor zu erreichen, bietet es sich an, eine Vollwellengleichrichtung<br />
durchzuführen.<br />
Vi<br />
R i<br />
≈<br />
Quelle<br />
R 1<br />
wobei 2R1 = 2R2 = 2R3 = R4 = R5 gilt.<br />
-<br />
+<br />
R 2<br />
D1<br />
Funktionsprinzip:<br />
Das Signal wird von einem invertierenden Einweggleichrichter gleichgerichtet und mit doppeltem<br />
Gewicht auf einen invertierenden Addieren gegeben. Dies lässt sich mit folgendem Bild verstehen:<br />
18<br />
-<br />
+<br />
R 2<br />
D2<br />
D1<br />
R 4<br />
R 3<br />
-<br />
+<br />
D2<br />
R 5<br />
Vm
V i<br />
V GL<br />
V m<br />
1,0<br />
0,5<br />
0,0<br />
-0,5<br />
-1,0<br />
Für die positive Halbwelle (Vi ≥ 0) gilt:<br />
0 5 10 15 20 25 30<br />
1,0<br />
0,5<br />
0,0<br />
-0,5<br />
-1,0<br />
0 5 10 15 20 25 30<br />
0,0<br />
-0,5<br />
-1,0<br />
0 5 10 15 20 25 30<br />
Zeit<br />
VGl,n = − R1<br />
Vi<br />
R2<br />
Die negative Halbwelle wird unterdrückt. Dies lässt sich in folgender Weise ausdrücken:<br />
VGl,p = − R1<br />
R2<br />
Vi + |Vi|<br />
2<br />
(3.7)<br />
(3.8)<br />
Diese Spannung wird mit doppelter Gewichtung zum Eingangssignal addiert und invertiert<br />
(R1 = R2):<br />
�<br />
Vm = −(Vi + 2VGl,p) = − Vi − 2 Vi<br />
�<br />
+ |Vi|<br />
= −|Vi|<br />
2<br />
(3.9)<br />
• Vollwellengleichrichtung, dadurch bessere Mittelungsmöglichkeit<br />
• Eigenschaften wie die Bandbreite und Linearität werden durch die Bandbreite bzw. ” Slew<br />
Rate“ des Operationsverstärker begrenzt, was zu Verzerrungen führen kann.<br />
Das Gleichstomäquivalent oder der root-mean-square-Wert(RMS-Wert)<br />
Oftmals interessiert der RMS-Wert der Wechselspannung, also der Wert, der als Gleichspannung<br />
zur gleichen umgesetzten Leistung führen würde.<br />
�<br />
� T 1<br />
Vrms = V<br />
T 0<br />
2 (t)dt (3.10)<br />
Dies lässt sich dadurch erreichen, dass man die Eingangsspannung mit einem Vier-Quadranten-<br />
Multiplizierer quadriert, dann mit einem Tiefpass oder Integrator integriert und anschließend mit<br />
einem weiteren Vier-Quadranten-Multiplizierer im Rückkopplungszweig die Wurzel zieht. Mit dem<br />
zweiten Multiplizierer wird die Ausgangsspannung des OPV quadriert und mit der Eingangsspannung<br />
verglichen. Genauer gesagt, es wird die Ausspannung solange variiert, bis die Eingangsspannung<br />
und das Quadrat der Ausgangsspannung gleich sind.<br />
19
Vi<br />
R i<br />
≈<br />
x<br />
y<br />
*<br />
Vier-Quadranten-<br />
Multiplizierer<br />
3.5. Widerstandsmessung<br />
3.5.1. Stromfehler- und Spannungsfehlerschaltung<br />
R 1<br />
C 1<br />
Vier-Quadranten-<br />
Multiplizierer<br />
Bei der Widerstandsmessung müssen Strom und Spannung durch das Bauteil gemessen werden,<br />
dessen Widerstand bestimmt werden soll. Dabei besteht die Schwierigkeit, dass einer der beiden<br />
Größen mit einem Fehler behaftet sein wird:<br />
V0<br />
I<br />
R<br />
Stromfehlerschaltung<br />
*<br />
-<br />
+<br />
x<br />
y<br />
I<br />
R<br />
Vm<br />
Spannungsfehlerschaltung<br />
Grundsätzlich ergibt sich bei der Widerstandsbestimmung ein gegenüber den Einzelmessungen<br />
erhöhter Fehler, da sich der Messfehler aus den Fehlern der beiden Einzelmessungen zusammensetzt.<br />
In einem Multimeter wird der Widerstand mit Hilfe einer Stromquelle bestimmt, die einen Strom<br />
durch den zu messenden Widerstand treibt, und einem Voltmeter, das den Spannungsabfall über<br />
dem Widerstand misst.<br />
3.5.2. Messung mit einer Stromquelle<br />
I 0<br />
Stromquelle<br />
20<br />
R s<br />
Vm<br />
Spannungsmessinstrument
Da das Voltmeter eine bestimmte Spannung <strong>für</strong> den Vollausschlag benötigt, wird der Messstrom<br />
den die Stromquelle liefert erhöht, wenn der Messbereich <strong>für</strong> kleinere Widerstände eingestellt wird.<br />
3.5.3. Messung durch Vergleich<br />
Bei dieser Messmethode wird ein unbekannter Widerstand R2 mit einem bekannten R1 verglichen.<br />
R i<br />
V0<br />
R 1<br />
R 2<br />
Beide Widerstande werden von dem gleichen Strom durchflossen, aber nur wenn die Innenwiderstände<br />
der Messgeräte deutlich größer sind als die Widerstände R1 und R2. Der unbekannte<br />
Widerstand R2 ergibt sich aus dem Messergebnis mit:<br />
R2 = V2<br />
R1<br />
V1<br />
3.5.4. Messung kleiner Widerstände durch Vierpunktmessung<br />
V1<br />
V2<br />
(3.11)<br />
Diese Methode ist wichtig, wenn man so kleine Widerstände messen will, dass die Kabelwiderstände<br />
nicht zu vernachlässigen sind, aber auch wenn eine Probe mit niedrigem Widerstand vermessen<br />
werden soll und Übergangswiderstände von Probe zu Kontaktmaterial sowie Verkabelungen nicht<br />
vernachlässigt werden können.<br />
I m<br />
I 0<br />
R k1<br />
R m<br />
R k2<br />
Die Kabelwiderstände spielen bei dieser Methode keine Rolle, da die Spannungsabfälle an diesen<br />
Widerständen im Versorgungskreis (I0, Im, Rk1, Rm und Rk2) bei der Messung nicht berücksichtigt<br />
21<br />
R k3<br />
R k4<br />
Vm
werden. Im Spannungsmesskreis (Rk3, Vm und Rk4) wiederum spielen die Widerstände der Kabel<br />
keine Rolle, da der Innenwiderstand des Spannungsmessgeräts hoch ist und somit nahezu kein<br />
Strom in diesem Kreis fließt, also auch kein Spannungsabfall an diesen Widerständen auftritt.<br />
3.6. Messung von Induktivitäten und Kapazitäten<br />
Induktivitäten und Kapazitäten lassen sich mit Hilfe von drei grundsätzlichen Messmethoden bestimmen:<br />
1. Messung der Zeitkonstante bei Ein- und Ausschaltvorgängen<br />
2. Messung von der Resonanzfrequenz in Schwingkreisen<br />
3. Messung der komplexen Impedanz<br />
3.6.1. Messung der Zeitkonstanten bei Ein- und Ausschaltvorgängen<br />
V0<br />
R<br />
C<br />
Vm<br />
V0<br />
L<br />
R Vm<br />
Wird ein RC-Tiefpass oder ein LR-Tiefpass mit einer Rechteckspannung angeregt ergibt sich im<br />
Falle des RC-Tiefpasses beim Einschaltvorgang folgende zeitliche Entwicklung der Spannung am<br />
Ausgang:<br />
Vout(t) = V0<br />
� � t<br />
−<br />
1 − e RC<br />
(3.12)<br />
dabei bezeichnet die Spannung V0 die Maximale Eingangsspannung. Im Falle eines LR-Tiefpasses<br />
gilt:<br />
� � tR<br />
−<br />
Vout(t) = V0 1 − e L<br />
(3.13)<br />
Aus diesen Beziehungen lässt sich jeweils die Kapazität bzw. die Induktivität aus der Zeit<br />
bestimmen die vergeht um eine bestimmte Spannung zu erreichen. Es ist aber leicht einzusehen,<br />
dass diese Methode keine allzu große Genauigkeit liefert.<br />
3.6.2. Messung von der Resonanzfrequenz in Schwingkreisen<br />
V0<br />
≈<br />
R<br />
C<br />
Wird ein Parallelschwingkreis wie in der Darstellung verwendet, lassen sich die Induktivität oder<br />
die Kapazität bestimmen, wenn jeweils die andere Größe bekannt ist. Für den Zusammenhang<br />
22<br />
L<br />
Vm
zwischen Amplitude der Ausgangsspannung und der Anregungsfrequenz gilt:<br />
und <strong>für</strong> die Phase gilt:<br />
Aout(ω) = A0<br />
�<br />
1<br />
ϕ(ω) = arctan<br />
Q<br />
ω2 0 �<br />
(ω2 − ω2 0 )2 + ω2ω2 0<br />
Q2 ωω0<br />
ω2 0 − ω2<br />
�<br />
(3.14)<br />
(3.15)<br />
Es ist besser, die Phase zur Messung der Resonanz heranzuziehen, da sich diese deutlich genauer<br />
Messen lässt als die Amplitude, somit werden die Resonanzfrequenz und Güte Q = f0/B (ein<br />
Maß <strong>für</strong> die Energieverluste pro Periode; f0 Resonanzfrequenz und B Bandbreite) am Besten aus<br />
der Phase bestimmt.<br />
ϕ(ω0) = 0 (3.16)<br />
�<br />
dϕ(ω) �<br />
� =<br />
dω<br />
2Q<br />
(3.17)<br />
ω0<br />
� ω=ω0<br />
3.6.3. Messung der komplexen Impedanz<br />
Für die komplexe Impedanz gilt im Falle eines Kondensators:<br />
und im Falle einer Spule:<br />
ZC = − i<br />
ωC<br />
(3.18)<br />
ZL = −iωL (3.19)<br />
Man bestimmt nun den Zusammenhang zwischen dem Strom und der angelegten Spannung bei<br />
einer bestimmten Frequenz und damit die Impedanz. Es gilt:<br />
Daraus lässt sich die Kapazität<br />
beziehungsweise die Induktivität<br />
bestimmen.<br />
3.7. Rauschen<br />
V (ω) = Z(ω)I. (3.20)<br />
� �<br />
�<br />
C = �<br />
1 �<br />
�<br />
�ωZ<br />
�<br />
� �<br />
�<br />
L = �<br />
Z �<br />
�<br />
� ω �<br />
(3.21)<br />
(3.22)<br />
Unter Rauschen versteht man statistische Fluktuationen, wie sie in Vielteilchensystemen auftreten.<br />
Beispiele hier<strong>für</strong> sind die Brownsche Molekularbewegung oder die Fluktuationen durch Elektronen<br />
beim Stromtransport.<br />
23
3.7.1. Widerstandsrauschen<br />
Es wird ein elektrischer Widerstand betrachtet der an einen Verstärker mit einer zwischen den<br />
Frequenzen ω1 und ω2 konstanten Verstärkung angeschlossen ist. Außerhalb dieses Frequenzbereichs<br />
sei die Verstärkung gleich Null. Die Elektronen ändern ihre Position und Geschwindigkeit<br />
durch thermische Fluktuationen, weshalb sie eine EMF erzeugen. Es ergibt sich ein fluktuierender<br />
Strom I(t), eine elektromotorische Kraft EMF und eine fluktuierende Spannung V (t). Über die<br />
Kenntnis der Fouriertransformierten kann mit Hilfe der Wiener-Chintschin-Relation auf die Varianz<br />
zurückgeschlossen werden.<br />
3.7.1.1. Wiener-Chintschin-Relation<br />
Die Wiener-Chintschin-Relation verbindet die Autokorrelation mit dem Leistungsspektrum. Wir<br />
definieren die Korrelation als das Ensemblemittel einer Funktion y(t):<br />
Dabei stellt die Größe<br />
C(τ) = 〈y(t)y(t + τ)〉 (3.23)<br />
C(0) = 〈y(t) 2 〉 (3.24)<br />
die Varianz der Funktion y(t) dar, wenn 〈y(t)〉 = 0 gilt. Die Funktion C(τ) lässt sich als<br />
Fourierintegral schreiben:<br />
� ∞<br />
C(τ) = J(ω)e iωτ dω (3.25)<br />
−∞<br />
J(ω) stellt dabei das Leistungsspektrum oder die spektrale Dichte dar. Die Umkehrfunktion hierzu<br />
lautet:<br />
J(ω) = 1<br />
� ∞<br />
C(τ)e<br />
2π −∞<br />
−iωτ dτ (3.26)<br />
Diese beiden Gleichungen sind unter dem Namen Wiener-Chintschin-Relation bekannt. Man kann<br />
sie leicht beweisen indem man C(τ) von rechts mit e −iω′ t multipliziert und über τ integriert:<br />
� ∞<br />
C(τ)e<br />
−∞<br />
−iω′ τ<br />
dτ =<br />
� ∞ � ∞<br />
dτ J(ω)e<br />
−∞ −∞<br />
i(ω−ω′ )τ<br />
dω (3.27)<br />
=<br />
� ∞<br />
2π J(ω)(δ(ω − ω ′ ))dω (3.28)<br />
−∞<br />
= J(ω ′ ) (3.29)<br />
Die Korrelation C(τ) ist reell und gerade (Symmetrie erster Art). Bei einer Fouriertransformation<br />
würden nur cos-Terme auftreten. In diesem Fall bedeutet dies, dass auch J(ω) reell und gerade<br />
ist:<br />
C ∗ (τ) = C(τ) (3.30)<br />
C(−τ) = C(τ) (3.31)<br />
J ∗ (ω) = J(ω) (3.32)<br />
J(−ω) = J(ω) (3.33)<br />
24
Damit folgt:<br />
〈y 2 (t)〉 = C(0) =<br />
� ∞ � ∞<br />
J(ω)dω = J+(ω)dω (3.34)<br />
−∞<br />
0<br />
J+(ω) ≡ 2J(ω) (3.35)<br />
Wegen der Symmetrieeigenschaften kann die Fouriertransformation auch als cos-Transformation<br />
geschrieben werden. Es treten also keine sin-Terme auf:<br />
� ∞<br />
� ∞<br />
C(τ) = J(ω) cos(ωτ)dω = 2 J(ω) cos(ωτ)dω (3.36)<br />
J(ω) =<br />
−∞<br />
0<br />
1<br />
� ∞<br />
C(τ) cos(ωτ)dτ =<br />
2π<br />
1<br />
� ∞<br />
C(τ) cos(ωτ)dτ<br />
π<br />
(3.37)<br />
−∞<br />
Wenn y(t) stationär und ergodisch ist, ist C(τ) zeitunabhängig und das Ensemblemittel kann<br />
durch das Zeitmittel ersetzt werden. Dies gilt immer <strong>für</strong> periodische Funktionen, muss aber <strong>für</strong><br />
statistische Fluktuationen gefordert werden. Nun lässt sich schreiben:<br />
Wir setzen:<br />
damit ergibt sich <strong>für</strong> das Integral:<br />
C(τ) = 1<br />
2Θ<br />
yΘ ≡<br />
C(τ) = 1<br />
2Θ<br />
� Θ<br />
−Θ<br />
0<br />
y(t)y(t + τ)dt (3.38)<br />
� y(t) <strong>für</strong> − Θ ≤ t ≤ Θ<br />
0 sonst<br />
(3.39)<br />
� ∞<br />
yΘ(t)yΘ(t + τ)dt (3.40)<br />
−∞<br />
Durch den Übergang von y(t) nach yΘ(t) führt man einen Fehler von der Größenordnung τ/Θ<br />
ein, der natürlich <strong>für</strong> Θ → ∞ verschwindet. Für die Fouriertransformierte F (t)<br />
� ∞<br />
y(t) = F (ω)e iωτ dω (3.41)<br />
von y(t) gilt:<br />
Setzt man<br />
C(τ) = 1<br />
� ∞<br />
2Θ<br />
−∞<br />
� ∞<br />
� ∞<br />
dt<br />
−∞<br />
� ∞<br />
−∞<br />
F (ω)e iωt � ∞<br />
dω<br />
−∞<br />
F (ω ′ )e iω(t+τ) dω (3.42)<br />
� ∞<br />
= 1<br />
dω F (ω)F (ω<br />
2Θ −∞ −∞<br />
′ )e iω′ t ′<br />
dω e<br />
−∞<br />
i(ω+ω′ )t<br />
dt (3.43)<br />
= 1<br />
� ∞ � ∞<br />
dω F (ω)F (ω<br />
2Θ −∞ −∞<br />
′ )e iω′ t ′<br />
dω � 2πδ(ω + ω ′ ) �<br />
(3.44)<br />
= π<br />
� ∞<br />
F (ω)F (−ω)e<br />
Θ −∞<br />
iωt dω (3.45)<br />
= π<br />
� ∞<br />
|F (ω)|<br />
Θ<br />
2 e iωτ dω (3.46)<br />
−∞<br />
J(ω) = π<br />
|F (ω)|2<br />
Θ<br />
25<br />
(3.47)
wird klar, dass J(ω) das Leistungsspektrum von y(ω) ist. Es lässt sich zusammenfassen:<br />
Mit Hilfe der Wiener-Chintschin-Relationen lässt sich die Autokorrelation mit der Rücktransformierten<br />
des Leistungsspektrums gleichsetzen.<br />
3.7.1.2. Herleitung des Widerstandsrauschen nach Nyquist<br />
In einem Widerstand entsteht Rauschen durch die thermische Bewegung der Elektronen im Widerstand,<br />
die eine fluktuierende EMF V (t) zur Folge hat. Mit Hilfe der Wiener-Chintschin-Relationen<br />
gilt, dass kurze Korrelationszeiten, d.h. die Elektronen stoßen schnell hintereinander, eine breites<br />
Spektrum des Rauschens zur Folge haben. Das Spektrum reicht hier also zu hohen Frequenzen.<br />
Nyquist leitete sein Theorem analog zu Plancks Ableitung der Schwarzkörperstrahlung ab. Wir betrachten<br />
folgenden Aufbau, der aus einem Sender und einem Absorber von Fluktuationen besteht.<br />
R R<br />
≈ V(t) ≈ V(t)<br />
L<br />
Für die Überlegungen geht man von zwei Spannungsquellen aus, die über eine verlustfreie<br />
Leitung der Länge L miteinander verbunden sind. Sie sind durch die Widerstände und die jeweiligen<br />
Rauschspannungsquellen dargestellt. Die gesamte Anordnung befinde sich im Gleichgewicht, d.h.<br />
es wird ebenso viel elektrische Leistung in den Widerständen absorbiert wie sie emittieren. Damit<br />
sind die beiden Abschlusswiderstände analog zum schwarzen Strahler zu sehen. Eine elektrische<br />
Welle V (r, t) = V0ekr−ωt , die sich mit der c ′ = ω<br />
k<br />
Geschwindigkeit ausbreitet, wird stehende Moden<br />
ausbilden, wenn die Länge der Verbindung ganzzahlige Vielfache der Wellenlänge kL = 2πn ist.<br />
Damit ergibt sich <strong>für</strong> die Anzahl der Moden im Intervall ω bis ω + dω:<br />
Jede Mode besitzt nach Planck die Energie:<br />
∆n = 1 1 dω<br />
dk =<br />
2π 2π c ′<br />
ε(ω) =<br />
�ω<br />
e �ω<br />
k B T − 1<br />
(3.48)<br />
(3.49)<br />
Für �ω ≪ kT lässt sich die Exponentialfunktion in eine Taylor-Reihe entwickeln mit dem Resultat:<br />
ε(ω) = kBT (3.50)<br />
In jedem Frequenzintervall ω bis ω + dω muss die abgegebene und aufgenommene Leistung gleich<br />
sein. Mit der Anzahl der Moden pro Längeneinheit ergibt sich <strong>für</strong> die abgegebene bzw. aufgenom-<br />
mene Leistung:<br />
P = c ′<br />
�<br />
1<br />
2π<br />
dω<br />
c ′<br />
�<br />
ε(ω) = 1<br />
ε(ω)dω (3.51)<br />
2π<br />
26
Diese Leistung wird in Form einer Rauschspannung aufgebracht. Dementsprechend muss auch ein<br />
Strom I = V<br />
2R fließen. Dabei muss der Widerstand zweifach verwendet werden, da zwei <strong>für</strong> den<br />
Stromfluss in Reihe geschaltet sind. Somit ergibt sich <strong>für</strong> die elektrische Leistung:<br />
R〈I 2 �<br />
V 2<br />
〉 = R<br />
4R2 �<br />
= 1<br />
4R 〈V 2 〉 = 1<br />
� ∞<br />
J+(ω)dω (3.52)<br />
4R<br />
Und <strong>für</strong> die Leistung im Frequenzintervall ω bis ω + dω:<br />
0<br />
P = J+(ω) 1<br />
dω = ε(ω)dω<br />
4R 2π<br />
(3.53)<br />
J+(ω) = 2<br />
π<br />
�ω<br />
R (3.54)<br />
e �ω<br />
k B T − 1<br />
Für die üblichen Frequenzen bis in den Mikrowellenbereich hinein gilt �ω ≪ kT und somit folgt:<br />
J+(ω) = 2<br />
π kBT R (3.55)<br />
Betrachtet man das Rauschen in einem bestimmten Frequenzband mit genügend tiefen Frequenzen,<br />
so ergibt sich:<br />
〈V 2 〉 � � ωmax<br />
ωmin<br />
= C(0) =<br />
=<br />
� ωmax<br />
ωmin � ωmax<br />
ωmin � ωmax<br />
= J+(0)<br />
J+(ω)dω (3.56)<br />
J+(0)dω (3.57)<br />
ωmin<br />
dω (3.58)<br />
= J+(ω)(ωmax − ωmin) (3.59)<br />
= 2(ωmax − ωmin)kBT R<br />
π<br />
(3.60)<br />
= 4BkBT R (3.61)<br />
Dabei wurde genutzt, dass die Spektrale Dichte des Rauschens <strong>für</strong> kleine Frequenzen als konstant<br />
angesehen werden kann und somit gleich der Dichte bei der Frequenz Null ist. B = (ωmax −<br />
ωmin)/2π bezeichnet die Detektionsbandbreite bezeichnet.<br />
3.7.2. Brownsche Bewegung als stochastischer Prozess<br />
Wir betrachten einen markoffschen (von Markoff) stochastischen Prozess. Bei einem derartigen<br />
Prozess yt hängt die Wahrscheinlichkeitsdichte nur von einem Zeitpunkt in der Vergangenheit ab:<br />
und sie ist homogen in der Zeit:<br />
f(y, t; y0, t0)dy (3.62)<br />
f(y, t − t0; y0, t0)dy = f(y, t; y0, t0)dy (3.63)<br />
Außerdem ändert sich die Größe yt unabhängig in der Zeit:<br />
ytn − ytn−1, ytn−1 − ytn−2, ..., yt1 − yt0<br />
27<br />
(3.64)
<strong>für</strong> beliebige tk mit:<br />
dabei seien die Änderungen wie folgt definiert:<br />
Sei die Wahrscheinlichkeitsdichte <strong>für</strong> den Zuwachs:<br />
tk < tl <strong>für</strong> k < l, (3.65)<br />
X := ytk − ytl. (3.66)<br />
f(X; yl, tk)dX. (3.67)<br />
Die Änderungen werden als unabhängig bezeichnet, wenn sich die Wahrscheinlichkeitsdichte <strong>für</strong><br />
eine beliebige Anzahl von Änderungen als Produkt von einzelnen Verteilungen darstellen lässt:<br />
f(X 1 , ..., X Z ; t 1 k , t1 l , ..., tz p, t z q)dX 1 ...dX z = f(X, t 1 k , t1 l )dX1 ...f(X; t z p, t z q)dX z<br />
Die Änderungen heißen homogen wenn gilt:<br />
Ein markoffscher Prozess,<br />
(3.68)<br />
f(X; tl − tk, 0)dX = f(X; tl, tk)dX (3.69)<br />
1. dessen Realisierungen alle den Anfangsbedingungen genügen<br />
2. der homogene und<br />
3. zeitunabhängige Änderungen besitzt<br />
4. und dessen Wahrscheinlichkeitsverteilung die Gaußverteilung ist<br />
�<br />
1<br />
f(X; t, 0, 0)dy ≡ f(y, t)dy = √ exp −<br />
2πσ2t x2<br />
2σ2 �<br />
t<br />
heißt Wienerscher Prozess.<br />
Für die gemittelten Werte gilt dabei<br />
Es gilt wegen der Unabhängigkeit der Änderungen:<br />
(3.70)<br />
¯y = 0; ¯ y 2 t = σ 2 t (3.71)<br />
yt − yτ = 0 (3.72)<br />
Die sich ergebende Varianz der Änderungen hat folgende Abhängigkeit:<br />
σ 2 = 2D = 2kBT<br />
α<br />
(3.73)<br />
Die eindimensionale Brownsche Molekularbewegung ist ein Wienerscher Prozess. Nach dem zentralen<br />
Grenzwertsatz ist die Gaußsche Normalverteilung eine Folge von vielen statistisch unabhängigen,<br />
mikroskopischen Einzelverschiebungen.<br />
28
3.8. Weitere Rauschquellen<br />
3.8.1. Schrotrauschen<br />
Diese Art von Rauschen tritt bei der Emission von Elektronen aus einer Glühkathode oder Feldemissionskathode<br />
auf. Dies hat wiederum seine Ursache in der Quantisierung der Elektronenladung.<br />
Durch Messungen der Stärke des Schrotrauschens ist es möglich auf die Elementarladung zurückzuschließen.<br />
Für den Strom des Schrotrauschens gilt:<br />
I 2 schr = 2eIa∆v (3.74)<br />
Dabei stellt Ia den Strom durch die Anode und ∆v die Bandbreite dar.<br />
3.8.2. Generations-Rekombinationsrauschen<br />
Dieser Typ des Rauschens tritt durch die spontanen Rekombination von Elektronen und Löchern<br />
in Halbleitern auf. Für den Rauschstrom, der aufgrund von Rekombinationen entsteht gilt:<br />
I 2 Rek = A(v, T )E2 ∆v (3.75)<br />
Dabei stellt A einen frequenz- und temperaturabhängigen Faktor und E die Feldstärke, die im<br />
Halbleiter herrscht, dar.<br />
3.8.3. Flickerrauschen (1/f-Rauschen)<br />
Dies ist eine häufig zu beobachtende Form von Rauschen, dessen Ursache nicht ganz geklärt<br />
ist. Das Leistungsspektrum von Flickerrauschen fällt mit 1/f ab. Es gab schon einige Versuche<br />
dieses Rauschen zu erklären. Van der Ziel ist der Meinung, es müsste eine ganze Verteilung von<br />
Prozessen mit unterschiedlichen charakteristischen Frequenzen sein. Die Überlagerung dieser mit<br />
den geeigneten Gewichtungsfaktoren führt dann zu einem 1/f-Abfall. Ende der achtziger Jahre<br />
wurde eine einfaches Modell, das das 1/f-Rauschen produzieren sollte, von Bak, Tang und<br />
Wiesenfeld vorgestellt. Sie nannten dieses Modell die selbstorganisierte Kritizität (self organized<br />
criticality SOC). Sie hatten dabei einen Sandhaufen vor Augen, auf den immer weiter Sand aufgestreut<br />
wird und dadurch immer wieder Lawinen von Sand unterschiedlicher Größe abrutschen.<br />
Das Leistungsspektrum der Lawinen soll 1/f-Rauschen zeigen.<br />
3.9. Einfluss eines Filters auf Rauschen<br />
Filter verändern eine Rauschspannung anders als eine Signalspannung. Um dies zu verstehen wird<br />
ein Rauschen mit dem Spektrum J+(ω) an den Eingang eines Filters mit der Übertragungsfunktion<br />
A(ω) angelegt. Damit ergibt sich <strong>für</strong> die Signalspannung Js:<br />
JS,A(ω) = A(ω)JS(ω) (3.76)<br />
Wird hingegen eine Rauschspannung auf den Eingang des Filters gegeben, dann ergibt sich:<br />
〈V 2<br />
� ∞<br />
a (t)〉 = |A(ω)| 2 J+(ω)dω (3.77)<br />
0<br />
29
A(f)<br />
1<br />
0,1<br />
0,01<br />
0,01f0 0,1f0 f0 10f0 100f0<br />
Es soll nun die Rauschspannungen eines Rechteckfilters mit einer bestimmten Bandbreite gleich<br />
der Rauschspannung eines Tiefpassfilters mit einer Bandbreite von ωm bis ωm + ∆ωm sein. Dazu<br />
setzt man an:<br />
〈V 2<br />
� ωm+∆ωm<br />
a,m(t)〉 = |Am(ω)|<br />
ωm<br />
2 J+(ω)dω = A 2 m〈V 2 (t)〉∆ωm<br />
Für weißes Rauschen ergibt sich:<br />
∆ωm = 1<br />
A 2 m<br />
Bei einem Tiefpass ist die Übertragungsfunktion:<br />
|A(ω)| =<br />
In die vorherige Formel eingesetzt ergibt sich:<br />
∆ωm = 1<br />
A2 � ∞<br />
m 0<br />
Die Signalbandbreite eines Tiefpassfilters ist:<br />
(3.78)<br />
� ∞<br />
|A(ω)| 2 dω (3.79)<br />
0<br />
1<br />
√ 1 + ω 2 R 2 C 2<br />
1<br />
2<br />
√ dω =<br />
1 + ω2R2C 2 π<br />
ωs = 1<br />
RC<br />
1<br />
RC<br />
Somit ist die effektive Bandbreite der Rauschspannung um einen Faktor 2<br />
π größer:<br />
ωm = 2<br />
π ∆ωS<br />
(3.80)<br />
(3.81)<br />
(3.82)<br />
(3.83)<br />
Je höher die Ordnung des Filters wird desto geringer wird der Unterschied in der effektiven<br />
Bandbreite.<br />
30
3.10. Methoden zur Rauschunterdrückung<br />
3.10.1. Lock-in Verstärker<br />
Motivation <strong>für</strong> einen Lock-in Verstärker, einen phasensensitiven Detektor (PSD). Beispiel: Ein<br />
10 kHz-Signal mit 10nV Amplitude soll verstärkt werden. Der benutzte Verstärker habe eine<br />
Verstärkung von 1000, ein Rauschniveau 5nV/ √ Hz und eine Bandbreite von 100kHz. Das Signal,<br />
das sich somit am Ausgang ergibt hat eine Amplitude:<br />
VS = 1000 · 10nV = 10µV (3.84)<br />
Die Rauschspannung bei dieser Bandbreite und dem Eingangsrauschen ergibt sich zu:<br />
Somit er gibt sich ein Signal/Rausch-Verhältnis:<br />
VN = √ 100kHz · 1000 · 5nV/ √ Hz = 1, 6mV (3.85)<br />
VS<br />
VN<br />
= 10µV<br />
1, 6mV<br />
= 0, 006 (3.86)<br />
Wird die Bandbreite reduziert lässt sich das Signal/Rausch-Verhältnis verbessern. Wird z.B. ein<br />
guter Filter mit der zentralen Frequenz von 10kHz und einer Bandbreite von 100Hz eingesetzt<br />
(dies entsprich einer Güte von G = f/∆f = 10000/100 = 100), verbessert sich die Situation in<br />
folgender Weise.<br />
VN = √ 100Hz · 1000 · 5nV/ √ Hz = 50µV (3.87)<br />
Nun ergibt sich ein Signal/Rausch-Verhältnis:<br />
VS<br />
VN<br />
= 10µV<br />
50µV<br />
= 0, 2 (3.88)<br />
Aber auch dieses Signal/Rausch-Verhältnis macht es unmöglich das Signal zu messen. Mit einem<br />
phasensensitiven Detektor ist es möglich eine Bandbreite von 0,01Hz zu erreichen:<br />
Nun ergibt sich ein Signal/Rausch-Verhältnis:<br />
VN = � 0, 01Hz · 1000 · 5nV/ √ Hz = 0, 5µV (3.89)<br />
VS<br />
VN<br />
= 10µV<br />
0, 5µV<br />
= 20 (3.90)<br />
In diesem Fall ist das Signal also um einen Faktor 20 größer als die Rauschspannung und somit<br />
leicht zu detektieren.<br />
3.10.2. Die Funktionsweise eines phasensensitiven Detektors<br />
(Lock-in-Verstärkers)<br />
Die Funktion des Lock-in-Verstärkers lässt sich wie folgt beschreiben: Die zu messende Probe wird<br />
sinusförmig angeregt, so dass das Messsignal mit dieser Anregungsfrequenz moduliert ist:<br />
Vm(t) = Vm0 cos(ωmt + ϕm) (3.91)<br />
31
Gleichzeitig wird das Modulationssignal dem Lock-in-Verstärker als Referenzsignal zugeführt:<br />
Der Lock-in-Verstärker bildet nun:<br />
Vout = 1<br />
T<br />
= 1<br />
T<br />
− 1<br />
T<br />
� T<br />
0<br />
� T<br />
0<br />
� T<br />
Vr(t) = Vr0 cos(ωrt + ϕr) (3.92)<br />
0<br />
Vm0 cos(ωmt + ϕm)Vr0 cos(ωrt + ϕr)dt (3.93)<br />
1<br />
2 Vm0Vr0 cos(ωmt − ωrt + ϕm − ϕr)dt − (3.94)<br />
1<br />
2 Vm0Vr0 cos(ωmt + ωrt + ϕm + ϕr)dt (3.95)<br />
Das Ausgangssignal besteht also aus zwei Frequenzanteilen. Allerdings werden durch die Tiefpassfilterung<br />
alle Signale herausgefiltert, deren Frequenz höher als die Grenzfrequenz ist. Auf diese<br />
Weise bleibt nur die Komponente mit der Frequenzdifferenz übrig sofern, diese Frequenzdifferenz<br />
kleiner als die Grenzfrequenz ist, d.h. die beiden Frequenzen nahezu identisch sind.<br />
Vout = 1<br />
T<br />
� T<br />
0<br />
1<br />
2 Vm0Vr0 cos(ωmt − ωrt + ϕm − ϕr)dt (3.96)<br />
≈ 1<br />
2 Vm0Vr0 cos(ϕm − ϕr)dt mit ϕm ≈ ϕr (3.97)<br />
Auf diese weise wird also die Korrelation des Messsignals mit dem Referenzsignal bestimmt. Es<br />
wird klar, dass von einem beliebigen Rauschsignal nur der Teil des Rauschsignals mit berücksichtigt<br />
wird, dessen Frequenz in direkter Nachbarschaft zum Referenzsignal liegt. Das bedeutet,<br />
man erhält eine sehr enge effektive Bandbreite des gemessenen Bereichs. Da aber auch die<br />
Phasendifferenz zwischen den beiden Signalen eingeht, wird auch eine sich zeitlich ändernde Pasendifferenz<br />
herausgemittelt. Häufig wird nicht nur die Amplitude des Messsignals, sondern auch<br />
dessen Phasenlage zum Referenzsignal gemessen. Dies geschieht durch einen zweiten PSD dessen<br />
Referenzsignal um 90 gegenüber dem erste verschoben ist.<br />
V1 = Vm0 cos(ϕm − ϕr) (3.98)<br />
V2 = Vm0 sin(ϕm − ϕr) (3.99)<br />
Somit ist es möglich beide Anteile des Eingangsignals zu messen und so die volle Information zu<br />
erhalten.<br />
32
3.10.3. Aufbau eines phasensensitiven Detektors<br />
A<br />
B<br />
Referenz<br />
Sinus oder<br />
TTL<br />
+<br />
-<br />
rauscharmer<br />
Vorverstärker<br />
50/60Hz<br />
Bandsperre<br />
PLL<br />
Phase-<br />
Locked<br />
Loop<br />
100/120Hz<br />
Bandsperre<br />
Interner<br />
Oszillator<br />
90°<br />
Phasenschieber <br />
Phasenschieber<br />
Verstärker<br />
Tiefpass-<br />
Filter<br />
Tiefpass-<br />
Filter<br />
Phasensensitiver Detektor<br />
R und ϕ<br />
Berechnung<br />
Links oben im Bild sind die beiden Eingänge des Verstärkers zusehen, dabei wird einer der Eingänge<br />
nicht-invertiert und der andere invertiert verstärkt. Dadurch ist es möglich die Differenz aus zwei<br />
Eingangssignalen zu bilden. Dann folgt eine so genannter Bandsperre, dabei handelt es sich um<br />
einen Filter, der es ermöglicht Störungen aus dem Wechselstromnetz (50Hz in vielen Europäischen<br />
Ländern und 60Hz in den USA) heraus zu filtern. Dann folgt noch eine weitere Bandsperre <strong>für</strong> die<br />
erste Harmonische der Netzfrequenz (100 bzw. 120Hz). Nun wird das Signal nochmals verstärkt<br />
und auf die beiden Multiplikatoren gegeben (symbolisiert durch den Kreis mit einem Kreuz).<br />
Links auf halber Höhe ist der Referenzeingang gezeigt. Hier wird ein externes Referenzsignal<br />
angeschlossen, bei dem es sich um ein sinusförmiges Signal handeln kann oder um Logikpegelsignal<br />
(TTL —Transistor Transistor Logik, bei dem eine Logische Null durch 0V und eine Logische Eins<br />
durch 5V repräsentiert wird). Das Signal wird auf einen so genannten Schmitt-Trigger gegeben<br />
(siehe hierzu Abschnitt A.6, auf Seite 106). Dieser formt aus dem Eingang ein Rechtecksignal<br />
mit steilen Flanken, welches auf eine ” Phase Locked Loop“(PLL) gegeben wird, welche ein genau<br />
definierten Sinus mit der selben Frequenz und Phase erzeugt. Dieser Sinus wird auf einen<br />
Phasenschieber gegeben, mit dem die Phase um einen beliebigen Betrag geschoben werden kann.<br />
Dieses Signal wird zum Einen nochmals um 90 ◦ geschoben und dann auf den Multiplizierer und<br />
zum Anderen direkt auf den Multiplizierer als zweiter Operand gegeben. Die Produkte werden<br />
jeweils auf einen Tiefpassfilter zur zeitlichen Mittelung gegeben. Anschließend werden beide Anteile<br />
am Ausgang zur Verfügung gestellt. Des weiteren kann auch noch eine Transformation von<br />
kartesischen Koordinaten in Polarkoordinaten (V1, V2 → R, ϕ) durchgeführt werden.<br />
Das Gerät besitzt noch zwei weitere Ausgänge. An diesen werden ein sinusförmiges Signal und<br />
ein TTL-Signal als Referenzsignale ausgeben, um sie <strong>für</strong> eine synchrone Anregung bei der Messung<br />
zu verwenden.<br />
33<br />
V1<br />
R<br />
ϕ<br />
V2<br />
Sinus<br />
TTL
3.10.4. Rauschreduktion durch Mittelung von repetierlichen Signalen<br />
Bei Signalen, die sich immer wieder Wiederholen, kann eine Rauschreduktion dadurch erzielt werden,<br />
dass sie mit Hilfe eines Triggersignals mehrfach ” phasenrichtig“ aufgenommen (digitalisiert)<br />
und Messpunkt <strong>für</strong> Messpunkt gemittelt werden. Dabei reduziert sich die Rauschspannung mit:<br />
VN ∝ 1<br />
√ N , (3.100)<br />
wobei N die Anzahl der aufgenommen Messreihen ist. Allerdings muss dabei bedacht werden,<br />
dass dies nicht bis zu einer beliebigen Genauigkeit fortgeführt werden kann, da eine Schwankung<br />
im Triggerzeitpunkt (Jitter) eine Grenze definiert.<br />
Rauschreduktion durch Mittelung<br />
1,0<br />
0,5<br />
0,0<br />
4<br />
2<br />
0<br />
-2<br />
2<br />
1<br />
0<br />
-1<br />
1,5<br />
1,0<br />
0,5<br />
0,0<br />
-0,5<br />
1,0<br />
0,5<br />
0,0<br />
Signal<br />
0 2 4 6 8 10<br />
Signa+Rauschen (S/N=1)<br />
0 2 4 6 8 10<br />
nach 10 Mittelungen<br />
0 2 4 6 8 10<br />
nach 100 Mittelungen<br />
0 2 4 6 8 10<br />
nach 10000 Mittelungen<br />
0 2 4 6 8 10<br />
Zeit<br />
3.10.5. Die Methode der Boxcar-Mittelung<br />
Ist ein Messsignal zu schnell um es digitalisieren zu können, besteht die Möglichkeit, wenn sich ein<br />
genauer Triggerpunkt definieren lässt, mit Hilfe eines Abtast/Halteglieds (Sample/Hold-Stage) und<br />
einem variablen, triggerbaren Pulsgenerator das Signal dennoch zu messen. Mittels des Triggers<br />
34
wird der Pulsgenerator getriggert, der ein Puls der Länge τ liefert. Am Ende des Pulses wird<br />
der Messwert in dem Abtast/Halteglied gespeichert und über einen Tiefpassfilter gemittelt. Nach<br />
einer gewählten Anzahl von Mittelungen wird die Pulslänge τ erhöht, bis schließlich der gesamte<br />
zeitliche Verlauf des Messsignals abgetastet wurde.<br />
y(t)<br />
1,0<br />
0,8<br />
0,6<br />
0,4<br />
0,2<br />
0,0<br />
Rampengenerator<br />
τ<br />
Trigger Pulsgenerator<br />
τ<br />
AHG<br />
0 2 4 6 8 10<br />
Zeit<br />
3.11. Methoden zur empfindlichen Messung kleiner Signale<br />
3.11.1. Konzeption des Messaufbaus<br />
Messtechnisch stellen<br />
• kleine Spannung<br />
• kleine Ströme<br />
• hohe Impedanzen<br />
sehr große Ansprüche an den Messaufbau. Daher ist in diesen Fällen besondere Sorgfalt bei der<br />
Konzeption des Messaufbaus geboten, um Messfehler zu erkennen und auszuschließen. In diesem<br />
Zusammenhang ist es hilfreich sich mit sogenannten Testfeldern die Anforderungen an den Messaufbau<br />
zu verdeutlichen. Jede Spannungs- oder Stromquelle in einem Messproblem, lässt sich als<br />
eine Spannungsquelle mit einem Serienwiderstand auffassen:<br />
35<br />
R<br />
C
V0<br />
Ein Messfeld lässt sich nun dadurch darstellen, dass man in einem doppellogarithmischen Diagramm<br />
den Kurzschlussstrom Isc über der Leerlaufspannung V0 aufgeträgt. Geraden konstanten<br />
Innwiderstands R weisen eine Steigung von Eins in diesem Diagramm auf.<br />
R i<br />
1. Zunächst legt man den Punkt fest (Punkt A im Diagramm unten), der sich durch den<br />
Kurzschlussstrom und die Leerlaufspannung ergibt.<br />
2. Dann wird die gewünschte Genauigkeit der Messung festgelegt, z.B. 0,1%. Die Genauigkeit<br />
definiert den Punkt B im Diagramm unten durch den Abstand von Punkt A (drei Dekaden).<br />
3. Das Messfeld ist nun durch die vertikale Line zwischen A und B, der Viertelkreislinie nach<br />
links bis zur Horizontalen (Punkt C im Diagramm) und der horizontalen Verbindungslinie<br />
zwischen A und C begrenzt.<br />
Das Messfeld zeigt nun den minimalen Parallelwiderstand, der zum Erreichen der gewünschten<br />
Genauigkeit notwendig ist, mit dem das Messobjekt belastet werden darf im Punkt B und den<br />
maximalen Serienwiderstand, der sich in der Messleitung befinden darf, in Punkt C.<br />
36
3.11.2. Begrenzung des Messfeldes bei einer Spannungsmessung<br />
Darstellung der <strong>für</strong> eine Messung unzugänglichen Bereiche bei der Spannungsmessung:<br />
1. Thermospannungen (Blau) können bis in den Bereich von einigen mV hineinreichen. Als<br />
reine Spannungen sind sie natürlich vom Strom unabhängig.<br />
2. Leckströme (Grün) von z.B. 1nA schaffen ebenso einen unzugänglichen Bereich.<br />
3. Der Quellenwiderstandsbereich (Violett) ist der Bereich, der bei einem Eingangswiderstand<br />
des Messgeräts von 10M einen Fehler von 10% oder größer hervorruft.<br />
4. Der letzte Bereich wird durch eine Rauschquelle (Dunkelgrün) unzugänglich gemacht (weiß<br />
oder 1/f).<br />
37
3.11.3. Begrenzung des Messfeldes bei einer Strommessung<br />
Darstellung der <strong>für</strong> eine Messung unzugängliche Bereiche bei der Strommessung:<br />
1. Spannungsabfall (Blau) an dem zur Strommessung benutzen Messwiderstand.<br />
2. Durch induzierte oder generierte (Triboelektrität) Ströme (Grün) unzugänglicher Bereich.<br />
3. Begrenzung durch Widerstände (Violett) die parallel zum Eingang des Messgerätes liegen<br />
(auch Kabelwiderstände).<br />
4. Durch eine Rauschquelle (Dunkelgrün) unzugänglich gemachter Bereich (weiß oder 1/f).<br />
38
3.11.4. Begrenzung des Messfeldes bei einer Widerstandmessung<br />
Darstellung der <strong>für</strong> eine Messung unzugängliche Bereiche bei der Widerstandsmessung:<br />
1. Thermospannungen (Blau) können bis in den Bereich von einigen mV hineinreichen. Als<br />
reine Spannungen sind sie natürlich vom Strom unabhängig.<br />
2. Durch induzierte oder generierte (Triboelektrität) Ströme (Grün) unzugänglicher Bereich.<br />
3. Begrenzung durch Widerstände (Violett), die parallel zum Eingang des Messgerätes liegen<br />
(auch Kabelwiderstände).<br />
4. Bereich der durch eine Rauschquelle (Dunkelgrün) unzugänglich gemacht wird (weiß oder<br />
1/f)<br />
5. Bereich, der wegen eines vorhandenen Messkabelwiderstandes (Gelb) unzugänglich ist.<br />
39
3.11.5. Mögliche Fehlerquellen und ihre Beseitigung<br />
Art der Messung Messbereich Anzeichen <strong>für</strong> Wahrscheinliche Ursa- Maßnahmen zur Ver-<br />
Fehler<br />
chenmeidung<br />
Kleine Spannungen < 1µV Offsetspannung Thermospannungen Alle Anschlüsse auf der<br />
gleichen Spannung halten<br />
gekrimpte Cu-Cu-<br />
Störspannungen Magnetische Interferenzen<br />
Verbindungen<br />
Verdrillte Leitungen von<br />
Magnetfeldern entfernen<br />
oder abschirmen<br />
Kleine Ströme < 1µA Offsetstrom Leckströme in Isolatoren Gute Isolatoren verwenden,<br />
gut reinigen<br />
Messstrom im Messwerk Picoampèremeter oder<br />
(Bias)<br />
Elektrometer verwenden<br />
Dunkelstrom im Detek- Dunkelstrom untertordrucken<br />
oder kompensieren<br />
Störströme Elektrostatische Kopp- Hohe Spannungen und<br />
lung<br />
Relativbewegungen der<br />
Kabel dazu vermeiden<br />
Vibration / Deformation<br />
Abschirmung<br />
Vibrationen fernhalten<br />
rauscharme Kabel<br />
Niedrige Wi- < 100mΩ Widerstandoff- Kabelwiderstand<br />
verwenden<br />
4-Draht Methode<br />
derständesets<br />
(Kelvin-Methode)<br />
verwenden<br />
Drift Thermospannungen Pulsförmige Testsignale<br />
mit Offsetkompensation<br />
Schwankende Magnetische Interferenz Von Magnetfeldern fern-<br />
Messwerte<br />
halten oder abschirmen<br />
Verdrillte Leitungen verwenden<br />
Hohe Widerstände > 1GΩ Ablesung zu Belastungswiderstand Anschlüsse und Kabel<br />
klein<br />
(Shunt)<br />
mit höherem Isolationswiderstand<br />
verwenden<br />
Guard-Techniken<br />
wendenver-<br />
Niedriger Rein des Volt- Spannungsquelle und<br />
meters<br />
Strommessung<br />
denverwen-<br />
Offsetströme Offsetströme bei abgeschalteter<br />
Testspannung<br />
kompensieren<br />
Schwankende Elektrostatische Kopp- Hohe Spannungen in der<br />
Werte<br />
lung<br />
Nähe sowie Bewegung<br />
des Kabels vermeiden<br />
Spannung aus ei- > 1MΩ Ablesung zu Belastungswiderstand Anschlüsse und Kabel<br />
ner Quelle mit hoher<br />
klein<br />
(Shunt)<br />
mit höherem Isolations-<br />
Impedanz<br />
widerstand verwenden<br />
Guard-Techniken<br />
wendenver-<br />
Offsetströme Offsetströme bei abgeschalteter<br />
Testspannung<br />
kompensieren<br />
Schwankende Elektrostatische Kopp- Hohe Spannungen in der<br />
Werte<br />
lung<br />
Nähe sowie Bewegung<br />
des Kabels vermeiden<br />
Eingangswiderstand Zu geringer Eingangswiderstand Rm führt durch einen Spannungsabfall<br />
am Innenwiderstand Rs des Messobjekts zu einer systematisch zu kleinen Ablesung Vm der<br />
Messspannung Vs Vm = Rm<br />
Rm+Rs Vs.<br />
Behebung:<br />
40
Messinstrument oder Vorverstärker mit hoher Eingangsimpedanz wählen.<br />
Isolationswiderstand Durch Isolationsmaterial mit zu geringem Widerstand verringert sich der<br />
effektive Eingangswiderstand bei der Messung (siehe oben).<br />
Behebung:<br />
Sorgfältige Wahl der Messkabel und Design des Messaufbaus.<br />
Offsetspannung Dazu gehören alle Spannungen, die in Serie zu der Messspannung liegen. Beispiele<br />
sind im wesentlichen Thermospannungen an Kontaktstellen und magnetisch induzierte<br />
Spannungen VB = dφ<br />
dt = d( � B· � A)<br />
dt = � A d � B<br />
dt + � B d � A<br />
dt .<br />
Vs<br />
+<br />
-<br />
VEMF<br />
- +<br />
- +<br />
+<br />
-<br />
- +<br />
Vm<br />
VEMF<br />
Reduktion des Einflusses durch Thermospannungen:<br />
Zweimalige Messungen der Spannung kurz hintereinander (die Temperaturverhältnisse dürfen<br />
sich nicht ändern) mir vertauschten Kabeln.<br />
Vs<br />
Vm,1 = Vs + VEMF (3.101)<br />
Vm,2 = Vs − VEMF (3.102)<br />
Vm = Vm,1 + Vm,2<br />
2<br />
= (Vs + VEMF ) + (Vs − VEMF )<br />
2<br />
Reduktion des Einflusses durch induzierte Spannungen:<br />
• minimieren der Fläche A zwischen den Messkabeln<br />
• Bereiche hoher Magnetfelder vermeiden<br />
= Vs<br />
-<br />
+<br />
Vm<br />
(3.103)<br />
• Verdrillen der beiden Messkabel führt zu einer Kompensation, da die Richtung des<br />
Normalenvektors der Fläche rotiert.<br />
• Betrag und Richtung zeitlich konstant halten indem die Messleitungen fixiert werden.<br />
Offsetstrom Entstehung in den Eingangsverstärkern von Messverstärkern.<br />
Behebung:<br />
Minimieren durch die Wahl des Messinstrumentes und bei zeitlich konstanten Offsetströmen<br />
Kompensation durch eine externe Stromquelle.<br />
41
Kapazität zur Abschirmleitung Die Kapazität zwischen Innenleiter und der Abschirmung des<br />
Messkabels führen mit dem Innenwiderstand des Messobjekts zu einem störenden Tiefpassverhalten:<br />
τ = RsCK. Flanken des Messsignals werden verzögert.<br />
Behebung:<br />
Einsetzen einer Guard-Technik, dabei wird die direkte Abschirmung um die Messleitung auf<br />
dem gleichen Potential wie die Messleitung selbst gehalten, dadurch muss die Kapazität der<br />
Messleitung nicht von der hochohmigen Quelle umgeladen werden sondern wird von einem<br />
niederohmigen Messverstärker umgeladen:<br />
Vi<br />
R i<br />
≈<br />
Quelle<br />
C K<br />
Messverstärker<br />
Die neue sich ergebende Zeitkonstante stellt die um die offene Schleifenverstärkung reduzierte<br />
ursprüngliche Zeitkonstante dar:<br />
+<br />
-<br />
Vm<br />
τguard,eff = RsCK<br />
. (3.104)<br />
Aguard<br />
Ein weiterer wichtiger Vorteil der Guard-Technik ist die Reduktion des effektiven Parallelwiderstands<br />
(wie Kabelisolationswiderstände). So kann mit sogenannten Guard-Ringen auf<br />
Platinen der Eingangswiderstand erhöht werden.<br />
Guard-Fläche<br />
Erdschleifen Erdschleifen entstehen durch zu viele und somit überflüssige Verbindungen auf Bezugspotential.<br />
42
Quelle<br />
R<br />
≈<br />
V Vm<br />
R<br />
Erdleitung<br />
Vg<br />
Hi<br />
Lo<br />
Messgerät<br />
Die in der Erdleitung abfallende Spannung Vg, hervorgerufen durch einen hohen Stromfluss<br />
in der Erdleitung oder durch induktive Einkopplung, führt zu einem Stromfluss IR durch<br />
den Widerstand Rg und damit auch zu einem eventuell nicht zu vernachlässigenden Spannungsabfall<br />
in R. Typische Werte sind IR= 1A und R = 100mΩ. Damit ergibt sich als<br />
Spannungsabfall an R und somit als Bezugspunktsdifferenz 100mV.<br />
Behebung:<br />
Erdung des gesamten Aufbaus an einem definierten Punkt<br />
Kapazitiv eingekoppelte Spannungen Jeder ladungstragende Körper kann eine zusätzliche Spannung<br />
durch eine kapazitive Einkopplung eines Stroms in dem Messkreis hervorrufen:<br />
≈<br />
I = C dV<br />
dt<br />
I<br />
C<br />
V<br />
dC<br />
+ V . (3.105)<br />
dt<br />
Behebung:<br />
Eine um die Messschaltung angebrachte Abschirmung, die geerdet ist, schafft hier Abhilfe.<br />
Rauschen in Strommessinstrumenten Empfindliche Strommessinstrumente bestehen in den meisten<br />
Fällen aus Strom/Spannungs-Wandlern.<br />
43
R s<br />
Vs<br />
I<br />
-<br />
+<br />
Dabei ergibt sich <strong>für</strong> das Wandlungsverhältnis<br />
R f<br />
Vout<br />
Rf<br />
Vout = −IRf = −Vs . (3.106)<br />
Rs<br />
Es ist meistens Rs < Rf und somit ist auch Vs < Vf . Dies kann zu Problemen führen, wenn<br />
man Rauschen des Srom/Spannungswandlers in die Überlegung einbezieht. Das Rauschen<br />
lässt sich damit beschreiben, indem man sich eine Rauschspannungsquelle angeschlossen an<br />
den nichtinvertierenden Eingang vorstellt. Diese Rauschspannung wird dann mit<br />
�<br />
Vout,n = Vs 1 + Rf<br />
�<br />
(3.107)<br />
Rs<br />
verstärkt und somit bei kleinen Quellenwiderständen Rs im Vergleich zu der eigentlichen<br />
Quellenspannung Vs stärker.<br />
Zu Beachten ist, dass eigentlich zu den Widerstanden Rs und Rf streng genommen noch<br />
jeweils eine Kapazität parallel vorhanden ist, was diese Angelegenheit auch noch frequenzabhängig<br />
macht.<br />
Behebung:<br />
Keithley empfiehlt bei seinen Strommessinstrumenten bei einer Strommessung auf eine Impedanz<br />
der Quelle zu achten, die einen vom Messbereich abhängigen Wert nicht unterschreitet:<br />
Strombereich Minimaler Quellenwiderstand<br />
pA 1GΩ. . . 100GΩ<br />
nA 1MΩ. . . 100Ω<br />
µA 1kΩ. . . 100kΩ<br />
mA 1Ω. . . 100Ω<br />
Triboelektrische Effekte Kabel bestehen aus mehreren Schichten, die bei einer Bewegung genauer<br />
Krümmung gegeneinander Reiben können. Diese Reibung kann, ähnlich der Situation,<br />
wenn ein Fell an einem Kunstoffstab gerieben wird, Ladungstrennung zur Folge haben. Diese<br />
44
Art der Ladungstrennung wird Triboelektrizität genannt. Die entstandene Ladung kann in<br />
den Messkreis abfließen oder in diesen Einkoppeln.<br />
Vermeidung:<br />
• Rauscharme Kabel verwenden<br />
• Vibrationen an den Quellen dämpfen<br />
• Kabel fixieren<br />
3.11.5.1. Das Spektrum von möglichen Störquellen<br />
Das Spektrum von Störsignalen besteht im wesentlichen aus zwei breitbandigen Anteilen, wie<br />
einem 1/f-Anteil bei niedrigen Frequenzen und einem weißen Rauschuntergrund, sowie eventuell<br />
einzelner Spitzen bei Frequenzen:<br />
u.a.m.<br />
log A<br />
1/f<br />
weiß<br />
• der Netzfrequenz und deren Harmonischen<br />
• der Störsignalen von Computermonitoren (Zeilenkippfrequenz)<br />
• von Kaskadenschaltungen zur Spannungsvervielfachung<br />
• von Zerhackern in Schaltnetzteilen<br />
• von Taktgebern in Digitalschaltungen<br />
• von benachbarter Radiosendern<br />
log f<br />
3.12. Sensoren <strong>für</strong> unterschiedliche physikalische Größen<br />
3.12.1. Sensoreffekte zur Umsetzung mechanischer Größen<br />
3.12.1.1. Piezoelektrischer Effekt<br />
Piezoelektrizität wird die Wechselwirkung zwischen elektrischen Größen wie Polarisation, elektrischem<br />
Feld oder Oberflächenladung mit mechanischen Größen wie Spannung und Dehnung.<br />
Piezoelektrizität gibt es nur in zentrosymmetrischen Kristallen, d.h. in Kristallen mit mindestens<br />
45
einer Spiegelebene. Existiert diese Spiegelebene, so tritt entlang der Normalen zu dieser Ebene kein<br />
piezoelektrischer Effekt auf, da alle mechanische Größen in sich überführt werden, während alle<br />
elektrischen Größen ihr Vorzeichen ändern. Somit kann hier kein piezoelektrische Effekt entstehen.<br />
-<br />
+<br />
+<br />
-<br />
-<br />
+<br />
Durch die unterschiedliche Verschiebung der Ladung resultiert ein Dipolmoment in dem Kristall.<br />
Es können vier Effekte unterschieden werden, je nach Richtung der wirkenden Kräfte und nach<br />
Richtung des sich ausbildenden Piezokoeffizienten.<br />
F<br />
P<br />
-<br />
+<br />
+<br />
-<br />
-<br />
+<br />
F F<br />
Longitudinaleffekt Transversaleffekt<br />
F<br />
F<br />
P<br />
Longitudinaler<br />
Schereffekt<br />
F<br />
F<br />
F<br />
P<br />
P<br />
Transversaler<br />
Schereffekt<br />
3.12.1.1.1. Die mechanische Spannung Die mechanische Spannung ist als Kraft pro Fläche<br />
definiert und stellt somit einen Tensor zweiter Stufe dar.<br />
46
x1<br />
x3<br />
x2<br />
A3<br />
A1<br />
σ13 σ23<br />
σ31<br />
σ33<br />
σ32<br />
σ11 σ21<br />
σ12<br />
A2<br />
Die unterschiedlichen Kräfte, welche an den verschiedenen Flächen angreifen ergeben so die<br />
Komponenten des Spannungstensors:<br />
σij = Fi<br />
Aj<br />
σ22<br />
(3.108)<br />
Dabei stellen positive Komponenten den Druck und negative die Zugspannung. Komponenten<br />
mit i �= jstellen Scherkräfte dar. Im statischen Gleichgewicht gilt σij = σji, da sich sonst ein<br />
resultierendes Drehmoment ergibt, das zu Drehbeschleunigungen führen würde. Das bedeutet,<br />
dass der Spannungstensor ein symmetrischer Tensor ist und sich seine Komponenten auf nur<br />
sechs verschiedene reduzieren. ⎡<br />
⎤<br />
↔<br />
σ = ⎣<br />
σ11 σ12 σ13<br />
σ12 σ22 σ23<br />
σ13 σ23 σ33<br />
⎦ (3.109)<br />
Zur Vereinfachung wird oftmals anstelle der Tensorschreibweise eine Matrixschreibweise gewählt<br />
dabei geschieht die Zuordnung wie folgt:<br />
Tensorschreibweise 11 22 33 23;32 13;31 12;21<br />
Matrixschreibweise 1 2 3 4 5 6<br />
Damit nimmt die Matrix die folgende Gestalt an:<br />
⎡<br />
⎤ ⎡<br />
⎣<br />
σ11 σ12 σ13<br />
σ12 σ22 σ23<br />
σ13 σ23 σ33<br />
⎦ → ⎣<br />
σ1 σ6 σ5<br />
σ6 σ2 σ4<br />
σ5 σ4 σ3<br />
Tensorschreibweise Matrixschreibweise<br />
⎤<br />
⎦ (3.110)<br />
3.12.1.1.2. Die mechanische Dehnung Zur Bestimmung der mechanischen Dehnung betrachtet<br />
man die infinitesimale Verrückung uiin Richtung xj:<br />
eij = δui<br />
δxj<br />
(3.111)<br />
Die Verrückung eines Punktes ∆�u im Abstand ∆�x ergibt sich damit zu ∆�u = ↔ e∆�xbzw. ∆ui =<br />
eij∆xj. Es ist offensichtlich, dass der antisymmetrische Teil des Tensors 1<br />
2 (eij − eji)eine Drehung<br />
beschreibt, während der symmetrische 1<br />
2 (eij + eji)eine Verformung beschreibt. Deshalb ist der<br />
eigentliche Dehnungstensor ↔ εder symmetrische Teil des Tensors ↔ e:<br />
⎡<br />
↔<br />
ε = ⎣<br />
ε11 ε12 ε13<br />
ε12 ε22 ε23<br />
ε13 ε23 ε33<br />
⎤<br />
⎡<br />
⎦ := ⎣<br />
1<br />
e11 2 (e12<br />
1 + e21)<br />
2 (e13 + e31)<br />
1<br />
2 (e12<br />
1<br />
+ e21) σ2 2 (e23 + e32)<br />
1<br />
2 (e13<br />
1 + e31)<br />
2 (e23 + e32) σ3<br />
47<br />
⎤<br />
⎦ (3.112)
Der Tensor ↔ εhat nun wiederum nur sechs unabhängige Komponenten, weshalb man auch hier<br />
wieder die übersichtlichere Matrixschreibweise wählt:<br />
⎡<br />
⎣<br />
ε11 ε12 ε13<br />
ε12 ε22 ε23<br />
ε13 ε23 ε33<br />
⎤<br />
⎡<br />
⎦ → ⎣<br />
1<br />
ε1 2ε6 1<br />
2ε5 1<br />
2ε6 1<br />
ε2 2ε4 1<br />
2ε5 1<br />
2ε4 ε3<br />
Tensorschreibweise Matrixschreibweise<br />
⎤<br />
⎦ (3.113)<br />
3.12.1.1.3. Der direkte piezoelektrische Effekt Unter dem direkten piezoelektrischen Effekt<br />
versteht man das Auftreten einer elektrischen Polarisation � P bei Anwesenheit einer mechanischen<br />
Spannung ↔ σ:<br />
�P = ↔<br />
d · ↔ σ bzw. Pi = dijk · σjk (3.114)<br />
Es gilt die Einsteinkonvention der Summation über die doppelt auftretenden Indizes. Die dijkwerden<br />
als piezoelektrische Moduln bezeichnet. Da der Spannungstensor symmetrisch ist kann zwischen<br />
dijkund dikjnicht unterschieden werden. Es gilt dijk = dikjsomit existieren nicht 27 sondern 18<br />
unabhängige Komponenten. Üblicherweise wird anstelle der Tensorschreibweise mit drei Indizes<br />
die Matrixschreibweise mit zwei Indizes verwendet (i=1,2,3).<br />
⎡<br />
⎣<br />
di11 di12 di13<br />
di12 di22 di23<br />
di13 di23 di33<br />
⎤<br />
⎡<br />
⎦ → ⎣<br />
1<br />
di1 2di6 1<br />
2di5 1<br />
2di6 1<br />
di2 2di4 1<br />
2di5 1<br />
2di4 di3<br />
Tensorschreibweise Matrixschreibweise<br />
Damit ergibt sich <strong>für</strong> die Polarisation mit den unterschiedlichen Schreibweisen:<br />
Tensornotation: Pi = dijk · σjk (i, j, k= 1...3)<br />
Matrixnotation: Pi = dij · σj (i= 1...3; j =1. . . 6)<br />
⎤<br />
⎦ (3.115)<br />
3.12.1.1.4. Der inverse piezoelektrische Effekt Hierunter versteht man das Auftreten einer<br />
Dehnung ↔ εbei Anwesenheit eines elektrischen Feldes � E:<br />
εjk = dijk · Ei<br />
(3.116)<br />
Es ergibt sich wiederum <strong>für</strong> die unterschiedlichen Schreibweisen:<br />
Tensornotation: εjk = dijk · Ei (i, j, k= 1...3)<br />
Matrixnotation: εj = dij · Ei (i= 1...3; j =1. . . 6)<br />
Dieser Effekt wird bei Schwingquarzen zur Definition einer Frequenz ausgenutzt. Mit einem<br />
Schwingquarz als Sensor sind z.B. Schichtdickenmessgeräte ausgestattet, welche die Verstimmung<br />
der Resonanzfrequenz benutzen um die Massenbelegung des Quarzes und somit die aufgebrachte<br />
Schichtdicke zu bestimmen.<br />
3.12.1.1.5. Kristalleigenschaften Die unterschiedlichen piezoelektrischen Moduln können den<br />
unterschiedlichen Klassen der Effekte zugeordnet werden:<br />
Mit zunehmender Symmetrie der Kristalle nimmt die Anzahl der unabhängigen Komponenten<br />
ab, weshalb bestimmte Effekte dann nicht mehr beobachtet werden können.<br />
48
Longitudinaleffekt d11,d22, d33<br />
Transversaleffekt d12,d13, d21, d23,d31, d32<br />
Longitudinaler Scheref- d14,d25, d36<br />
fekt<br />
Transversaler Schereffekt d15,d16, d24, d26,d34, d36<br />
So sind z.B. die piezoelektrischen Moduln von .α-Quarz<br />
↔<br />
d =<br />
⎡<br />
⎣<br />
d11 −d11 0<br />
0 0 0<br />
0 0 0<br />
d14 0 0<br />
0 −d14 −2d11<br />
0 0 0<br />
⎤<br />
⎦ (3.117)<br />
mit d11 = 2, 3pC/N und d14 = 0, 67pC/N.<br />
Lithiumniobat besitzt eine relativ großen Koeffizienten d33 = 21pC/N. Häufig werden auch<br />
piezoelektrische Keramiken eingesetzt PbZrO3 und PbTiO3 (Perovskit-Struktur).<br />
3.12.1.2. Piezoresistiver Effekt<br />
Der elektrische Widerstand eines Quaderförmigen Körpers ist gegeben durch:<br />
R =<br />
ρ · l<br />
A<br />
(3.118)<br />
Wird eine Kraft auf den Quader ausgeübt so deformiert er sich, wodurch sich eine Widerstandsänderung<br />
ergibt:<br />
∆R<br />
R<br />
= ∆l<br />
l<br />
− ∆A<br />
A<br />
+ ∆ρ<br />
ρ<br />
mit ε = ∆l<br />
∆A·l<br />
l und ν = − 2A·∆lals Querkontraktionszahl folgt:<br />
∆R<br />
R<br />
= ε(1 + 2ν) + ∆ρ<br />
ρ<br />
(3.119)<br />
(3.120)<br />
Hierbei hängt nur der erste Term von der Geometrie ab und der zweite beschreibt den eigentlichen<br />
piezoresistiven Effekt. Bei Metallen wird die Widerstandsänderung im Wesentlichen durch die<br />
Geometrieänderung und in Halbleitern in erster Linie durch den piezoresistiven Teil hervorgerufen.<br />
Ursache des piezoresistiven Effekts in Halbleitern ist die Veränderung der Bandstruktur unter<br />
Druck und somit die Änderung der Konzentration der freien Ladungsträger. Durch eine Änderung<br />
der Krümmung der Leitungsbandkante wird die effektive Masse der freien Ladungsträger und somit<br />
deren Beweglichkeit verändert.<br />
3.12.1.2.1. Einschub: Elektronen im Gitter Die diskreten Energieniveaus in einem einzelnen<br />
Atom werden zu Bändern, wenn sich eine Reihe von Atomen in einem bestimmten Abstand<br />
befinden, wie dies bei einem Festkörperkristall (Halbleiter) der Fall ist.<br />
49
E E<br />
discrete energylevels split up<br />
in different bands<br />
x x<br />
Je nach Anzahl der zur Verfügung stehenden Elektronen werden die Bänder besetzt. Das oberste<br />
Band, das auf einzelne Atome begrenzt ist wird Valenzband genannt, während das unterste welches<br />
über alle Atome hinwegverläuft Leitungsband genannt wird. Zwischen diesen Bändern befindet sich<br />
das verbotene Band in dem keine besetzbaren Elektronenzustände vorhanden sind.<br />
E(k)<br />
E c<br />
E g=Ec-Ev<br />
E v<br />
free electron<br />
k<br />
conduction band<br />
energy gap, band gap<br />
valence band<br />
Die Krümmung der Bänder kann als das Inverse der ,,Masse“ (so genannte effektive Masse)<br />
der Elektronen interpretiert werden.<br />
Durch das Einwirken einer Mechanischen Kraft wird der Abstand in der einen Kristallrichtung<br />
verkürzt und in den anderen Verlängert (oder umgekehrt). Dadurch ändern sich die Bänder und<br />
somit auch die effektiven Massen der Elektronen.<br />
3.12.1.2.2. Beschreibung des piezoresistiven Anteils in Halbleitern Der spezifische Widerstand<br />
im Zusammenhang mit elektrischem Feld und Stromdichte muss in einem Kristall prinzipiell<br />
als ein Tensor aufgefasst werden. Dieser nimmt die Form eines Einheitstensors <strong>für</strong> den Fall an,<br />
dass die Leitfähigkeit isotrop ist:<br />
⎡<br />
⎣<br />
E1<br />
E2<br />
E3<br />
⎤<br />
⎡<br />
⎦ = ρ · ⎣<br />
1 0 0<br />
0 1 0<br />
0 0 1<br />
⎤ ⎡<br />
⎦ ⎣<br />
j1<br />
j2<br />
j3<br />
⎤<br />
x<br />
⎦ (3.121)<br />
Wird auf den Kristall eine Kraft ausgeübt, so wird die Isotropie der Leitfähigkeit gestört und es<br />
treten nichtverschwindende Nebendiagonalelemente auf und die Diagonalelemente werden modi-<br />
50
fiziert:<br />
�<br />
E1<br />
E2<br />
� �<br />
1 + π11σ1 + π12(σ2 + σ3)<br />
= ρ ·<br />
π44σ6<br />
π44σ6<br />
1 + π11σ2 + π12(σ1 + σ3)<br />
π44σ5<br />
π44σ4<br />
� �<br />
j1<br />
j2<br />
�<br />
E3<br />
π44σ5 π44σ4 1 + π11σ3 + π12(σ1 + σ2) j3<br />
(3.122)<br />
Die hauptsächliche Konsequenz besteht darin, dass der Strom nicht mehr in Richtung des herrschenden<br />
elektrischen Felds fließen muss.<br />
3.12.2. Umsetzung magnetischer Größen<br />
3.12.2.1. Messung mit Hilfe einer rotierenden Spule<br />
Die einfachste Methode, ein magnetisches Feld zu erzeugen, beruht auf der Ausnutzung der Gleichung<br />
<strong>für</strong> die induzierte Spannung:<br />
Vind = −N d( � B · � A)<br />
dt<br />
Bei einem konstanten zu messenden Magnetfeld ergibt sich nur die Möglichkeit:<br />
Vind = −N � B d � A<br />
dt<br />
Dies lässt sich z.B. durch eine rotierende Spule realisieren.<br />
3.12.2.2. Kernsondenmagnetometer<br />
(3.123)<br />
(3.124)<br />
Wird ein Material als Kernmatrial in einem Transformator verwendet, dessen Magnetisierungskurve<br />
nichtlinear ist, so kann damit ein extern anliegendes Magnetfeld Hm gemessen werden.<br />
Magnetisierungskurve:<br />
Mögliche einfache experimentelle Realisierung eines Transformators:<br />
B<br />
51<br />
H
i(t)<br />
H m<br />
Vind(t)<br />
Um die Funktion zu verstehen, sei angenommen, dass die Magnetisierungskurve mit folgender<br />
Gleichung modelliert werden kann:<br />
B(H) = µ0(H + KH 3 ) (3.125)<br />
Nun wird mit durch einen Stromfluss mit der Frequenz ω das gesamte Magnetfeld H(t) = Hm +<br />
H0 sin(ωt) moduliert. Damit ergibt sich <strong>für</strong> die magnetische Induktion:<br />
B(t) ≈ µ0[H(t) + KH(t) 3 ]<br />
= µ0[Hm + H0 sin(ωt) + [Hm + H0 sin(ωt)] 3 ] (3.126)<br />
Nach Ausmultiplizieren und Anwenden von trigonometrischen Rechenregeln ergibt sich <strong>für</strong> die<br />
induzierte Spannung:<br />
��<br />
Vind ∝ H0ω 1 + 3KH 2 m + 3K<br />
4 H2 �<br />
0 cos(ωt) +<br />
+3KHmH0 sin(2ωt) − 3K<br />
4 H2 0 cos(3ωt)<br />
�<br />
(3.127)<br />
Es ist zu sehen, dass der Term mit der doppelten Anregungsfrequenz proportional zum zu messenden<br />
Feld ist:<br />
Vind| 2ω ∝ 3HmωKH 2 0<br />
(3.128)<br />
Es ist somit auch klar, dass durch eine Erhöhung des Modulationsfeldes und der Frequenz die<br />
Empfindlichkeit in gewissen Grenzen erhöht werden kann.<br />
3.12.2.3. Hall Effekt<br />
Wie allgemein bekannt ist, erfahren bewegte Ladungsträger in einem magnetischen Feld die so<br />
genannte Lorentz-Kraft � �<br />
FL = q �v × � �<br />
B . Diesen Effekt kann man ausnutzen, um das magnetische<br />
Feld zu messen. Dabei wird eine, sich aufgrund der Lorentz-Kraft ergebende, Spannung gemessen,<br />
die proportional zum anliegenden magnetischen Feld ist.<br />
52
d<br />
b<br />
l<br />
Bm<br />
I 0<br />
Der Effekt der sich einstellenden Spannung in einer langen Probe wird Hall-Effekt genannt.<br />
Die sich ergebende Spannung ist:<br />
IB<br />
d<br />
(3.129)<br />
Es ergibt sich eine Gleichgewichtssituation, wenn die Lorentzkraft gleich der Kraft durch das<br />
elektrische Feld auf den Ladungsträger ist. Das sich einstellende Hallfeld ist:<br />
�<br />
�EH = − �v × � �<br />
B<br />
(3.130)<br />
Damit ergibt sich die Hallspannung zu:<br />
VH = RH<br />
VH<br />
VH = −bvxB (3.131)<br />
Hier ist vxdie mittlere Geschwindigkeit der Ladungsträger in x-Richtung. Es besteht folgender<br />
Zusammenhang zwischen der Geschwindigkeit der Ladungsträger und der Stromdichte:<br />
jx,n = nqvx<br />
nbezeichnet hier die Ladungsträgerkonzentration und q die Elementarladung.<br />
Mit<br />
jx = I<br />
bd<br />
ergibt sich <strong>für</strong> die Hallspannung<br />
VH = − 1<br />
nq<br />
1<br />
d<br />
(3.132)<br />
(3.133)<br />
RH<br />
IB = IB (3.134)<br />
d<br />
und somit ergibt sich <strong>für</strong> den Hallkoeffizienten im Fall negativer Ladungsträger:<br />
RH,n = − 1<br />
nq<br />
VH<br />
53<br />
Steigung: R HI/d<br />
B<br />
(3.135)
Durch dieses sich ergebende Hallfeld werden die Äquipotentialflächen des elektrischen Feldes<br />
gekippt.<br />
I<br />
+ + + + + + +<br />
- - - - - - - - - -<br />
Der Winkel, um den die Äquipotentialflächen gekippt wurden, wird als Hallwinkel bezeichnet,<br />
�<br />
�<br />
�<br />
tan(θH) =<br />
� �<br />
�<br />
EH�<br />
�<br />
�<br />
� � � �<br />
�<br />
�− �v ×<br />
�<br />
�<br />
=<br />
Ex�<br />
� ��<br />
��<br />
B<br />
�<br />
�<br />
� � � �<br />
� vx �<br />
�<br />
�<br />
= � �<br />
�<br />
Ex<br />
Ex<br />
�<br />
�<br />
B = µHB (3.136)<br />
wobei µH die so genannte Hallbeweglichkeit ist.<br />
3.12.2.4. Gauß Effekt<br />
Hierunter versteht man die Widerstandsänderung in einer kurzen Probe, die aufgrund einer größeren<br />
effektiven Länge der Probe entsteht, da sich durch ein angelegtes Magnetfeld die elektrischen<br />
Feldlinien um den Hallwinkel kippen. Dieser Effekt muss allerdings von dem magnetoresistiven<br />
Effekt, der im nächsten Abschnitt beschrieben wird, unterscheiden werden.<br />
R0 = ρ l0<br />
b0d<br />
Vernachlässigt man den störenden Einfluss des Randes kann man ableiten:<br />
l(θH) =<br />
I0<br />
cos(θH)<br />
I<br />
E<br />
E x<br />
E H<br />
(3.137)<br />
(3.138)<br />
b(θH) = b0 cos(θH) (3.139)<br />
54
Damit ergibt sich <strong>für</strong> den Magnetfeld abhängigen Widerstand:<br />
Mit der Hallbeweglichkeit folgt:<br />
R(θH) = R0<br />
1<br />
cos 2 (θH) = R0(1 + tan 2 (θH)) (3.140)<br />
R(B) = R0(1 + K(µHB) 2 ) (3.141)<br />
Wobei der Faktor K der Geometrie der Probe Rechnung trägt. Der Widerstand zeigt folgende<br />
Abhängigkeit von der magnetischen Induktion:<br />
R(B)<br />
R 0<br />
Der Effekt kann verstärkt werden, wenn man Kontakte mit Fingern aufbringt, die in die Zwischenräume<br />
des gegenüberliegenden Kontaktes hineinreichen.<br />
3.12.2.5. Magnetoresistiver Effekt<br />
Betrachtet wird eine stabförmige Probe, <strong>für</strong> die l ≫ d gilt. Außerdem weise das Material zwei<br />
unterschiedliche spezifische Widerstände ρpund ρs bezüglich der Magnetisierung auf.<br />
B<br />
�E = � Ep cos(θ) + � Es sin(θ) (3.142)<br />
�j = �jp cos(θ) + �js sin(θ) (3.143)<br />
�Ep = ρp �jp; � Es = ρs �js (3.144)<br />
55<br />
B
Durch einsetzen ergibt sich:<br />
�E(θ) = �jρs<br />
Damit ergibt sich <strong>für</strong> den Widerstand:<br />
�<br />
1 + ρp − ρs<br />
cos<br />
ρs<br />
2 �<br />
(θ)<br />
(3.145)<br />
R(θ) = 1<br />
bd ρs + 1<br />
bd (ρp − ρs) cos 2 (θ) (3.146)<br />
Hier ist der Widerstand weder von der Größe noch vom Vorzeichen abhängig. Durch Formanisotropie<br />
kann der Widerstand von der Größe der Magnetisierung abhängig gemacht werden. Es ergibt<br />
sich ein magnetisch anisotropes Verhalten entlang einer magnetisch harten und einer magnetisch<br />
weichen Achse:<br />
+Ms<br />
Mx<br />
H c<br />
-Ms<br />
H x<br />
-H k<br />
-Ms<br />
Mx<br />
+Ms<br />
+H k<br />
magnetisch hart magnetisch weich<br />
Entlang der magnetisch weichen Achse gilt <strong>für</strong> die Feldstärke Hy < Hk:<br />
d<br />
b<br />
My(Hy) = Hy<br />
H<br />
j leicht<br />
l<br />
hart<br />
Ms<br />
Hk<br />
, <strong>für</strong> Hy < Hk<br />
Ms<br />
θ<br />
Mx<br />
Weist die Magnetisierung eine Komponente in y-Richtung auf so ergibt sich:<br />
und somit:<br />
Hy<br />
Hk<br />
My<br />
Ms<br />
My<br />
H x<br />
(3.147)<br />
= sin(θ) (3.148)<br />
= sin(θ), <strong>für</strong> Hy < Hk<br />
56<br />
(3.149)
durch Umformung erhält man<br />
1 −<br />
� �2 Hy<br />
Hk<br />
= cos 2 (θ), <strong>für</strong> Hy < Hk<br />
und somit ergibt sich <strong>für</strong> den Widerstand durch Einsetzen in obige Formel:<br />
R(θ) = 1<br />
bd ρs + 1<br />
bd (ρp<br />
� � � �<br />
2<br />
Hy<br />
− ρs) 1 − , <strong>für</strong> Hy < Hk<br />
R = 1<br />
bd ρs, <strong>für</strong> Hy > Hk<br />
-1<br />
R<br />
+1<br />
Hk<br />
H y<br />
H k<br />
(3.150)<br />
(3.151)<br />
(3.152)<br />
Bilden Magnetfeld und Stromrichtung einen Winkel von 45 ◦ so ergibt sich eine Linearisierung.<br />
Dies kann durch Aufbringen von leitfähigen Metallelektroden (,,Barber Poles“) im 45 Grad Winkel<br />
zur X-Achse erreicht werden.<br />
Barber Pole<br />
Solche Materialien zeichnen sich durch einen großen Magnetowiderstand und eine zur messenden<br />
Feldstärke angepassten Anisotropiefeldstärke Hk aus. Es sind in erster Linie binäre und ternäre<br />
Legierungen aus Ni, Fe und Co, wobei Permalloy (Ni/Fe 81/19) eine besondere Rolle spielt, da<br />
hier keine Magnetostriktion auftritt.<br />
57
3.12.2.6. Supraleitende Magnetfeldsensoren<br />
Cooperpaare:<br />
zwei Elektronen (Fermionen) wechselwirken über Phonen (Gitterverzerrung) ⇒ Bosonen<br />
Bosonenwellenfunktion:<br />
Ψ(�r) = � ns(�r)e iϕ(�r)<br />
(3.153)<br />
ns(�r) ist dabei die Cooperpaardichte.<br />
Alle Cooperpaare bilden einen makroskopischen Quantenzustand, der sich durch eine Wellenfunktion<br />
beschreiben lässt. Das heißt der Zustand wird nicht nur durch eine reelle Größe der<br />
Cooperpaardichte, wie die Dichte des Wassers bei der Beschreibung des Phasenübergangs von<br />
Wasser, sondern zu der korrekten Beschreibung des Zustands benötigt man noch die komplexe<br />
Phase. Die Kohärenzlänge ξ ist die charakteristische Länge auf der sich die Cooperpaardichte<br />
ändern kann.<br />
Der supraleitende Zustand kann durch folgendes Bild als ein Halbleiter interpretiert werden, bei<br />
dem die doppelte Bindungsenergie der Cooperpaare als Bandlücke gedeutet wird. Die in Cooperpaaren<br />
kondensierten Elektronen sind Bosenen und können damit auch einen Zustand mehrfach<br />
und nicht nur einfach besetzen.<br />
E<br />
2∆<br />
N(E)<br />
Bei einer Temperatur, die von Null verschieden ist werden einige Cooperpaare thermisch aufgebrochen,<br />
weshalb ein Teil der Elektronen Zustände oberhalb der Bandlücke besetzten.<br />
Magnetischer Fluss wird aus dem Inneren des Supraleiters verdrängt. Er kann nur noch Öffnungen<br />
durchdringen. Aber dieser Fluss kann nicht jeden beliebigen Wert annehmen, sondern er<br />
58
ist quantisiert. Dies hängt direkt mit der Bosonenwellenfunktion zusammen. Geht man auf einem<br />
Ring um die Öffnung im Supraleiter muss die Phase der Wellenfunktion an jedem Ort einen<br />
eundeutigen Wert annehmen.<br />
B<br />
SL<br />
Mit Hilfe der Elektrodynamik lässt sich schreiben:<br />
µ0λ 2<br />
�<br />
�<br />
�js(�r) · d�s +<br />
� �� � �<br />
�A(�r) · d�s =<br />
�� �<br />
=0<br />
=ΦA<br />
�<br />
�<br />
es<br />
�<br />
gradϕ(�r) · d�s<br />
�� �<br />
3.12.2.6.1. Der Josephson-Kontakt<br />
2πn�/es<br />
� �<br />
�<br />
Flußquant: Φ0 = �<br />
h �<br />
�<br />
� � = 2.0678 · 10−15T esla m 2<br />
|Ψ|<br />
es<br />
Sl I Sl<br />
1 2<br />
Ψ Ψ<br />
1 2<br />
Ψ(r) = � ns(�r)e iϕ(�r)<br />
x<br />
(3.154)<br />
(3.155)<br />
(3.156)<br />
i� ∂Ψ2<br />
∂t = E2Ψ2 + KΨ1 (3.157)<br />
i� ∂Ψ1<br />
∂t = E1Ψ1 + KΨ2 (3.158)<br />
59
dns1<br />
dt<br />
dns2<br />
dt<br />
dϕ1<br />
dt<br />
dϕ2<br />
dt<br />
=<br />
2K √<br />
ns1ns2 sin(ϕ2 − ϕ1)<br />
�<br />
(3.159)<br />
=<br />
√<br />
−2K ns1ns2 sin(ϕ2 − ϕ1)<br />
�<br />
(3.160)<br />
= −K<br />
�<br />
= −K<br />
�<br />
� ns2<br />
ns1<br />
�<br />
ns1<br />
ns2<br />
cos(ϕ2 − ϕ1) − E1<br />
�<br />
cos(ϕ2 − ϕ1) − E2<br />
�<br />
(3.161)<br />
(3.162)<br />
˙ns,1 = − ˙ns,2 = 2Kn<br />
� sin(ϕ2 − ϕ1) → J = JC sin(∆ϕ) (3.163)<br />
�( ˙ϕ2 − ˙ϕ1) = E2 − E1 → ∆ ˙ϕ = 2eV<br />
�<br />
(3.164)<br />
J Stromdichte; JC kritische Stromdichte<br />
Josephson-Gleichungen<br />
3.12.2.6.2. Das Superconducting Quantum Interference Device<br />
Strom<br />
c<br />
Die Strom/Spannungs-Charakterisitik<br />
Φ = nΦ0 Φ = ( n+1/2) Φ 0<br />
Spannung<br />
60<br />
Versorgungsstrom
Zusammenhang zwischen Spannungsabfall und magnetischem Fluss<br />
Spannung<br />
∆V<br />
∆Φ<br />
Flußquant<br />
Φ 0<br />
magnetischer Fluß<br />
Da der Zusammenhang zwischen in ein SQUID eingekoppelter magnetischer Fluss und die<br />
Änderung der Spannungsabfalls über das SQUID sich periodisch ändert mit der Periode eines<br />
Flussquants und ist somit natürlich nicht eindeutig. Das bedeutet, dass die Angabe einer Spannung<br />
nicht eindeutig auf einen Fluss abgebildet werden kann. Somit wären nur Änderungen magnetischer<br />
Flüsse im Umfang unter einem halben Flussquant eindeutig messbar.<br />
Um diesen Nachteil auszuräumen, wird die so genannte flux-locked loop verwendet. Dabei<br />
verwendet man zwei, schon eingeführte Prinzipien:<br />
1. ein phasensensitiver Verstärker, um die die Ableitung der Spannungs/Fluss-Beziehung zu<br />
messen<br />
2. das Kompensationsprinzip, um den Fluss dem das SQUID ausgesetzt ist konstant gehalten<br />
wird, in dem der externe Fluss durch eine kleine Spule kompensiert wird.<br />
Das mit einem konstanten Strom versorgten SQUID ist dem externen Magnetfeld ausgesetzt. In<br />
der Nähe befindet sich auch noch eine kleine Spule deren Magnetfeld ebenfalls das SQUID durchdringen<br />
kann. Die Spannungsänderungen des SQUIDs werden als Strom durch einen Transformator<br />
und einen Widerstand abgegriffen. Die Spannungsänderungen werden von einem Verstärker vergrößert<br />
und mit einer Wechselspannung multipliziert. Außerdem moduliert die Wechselspannung<br />
das Magnetfeld durch das SQUID. Das Produkt der Multiplikation wird zeitgemittelt (tiefpassgefiltert)<br />
und einem Ausgangsverstärker zugeführt.<br />
61
Stromquelle<br />
SQUID<br />
Trafo<br />
Cryo<br />
lock-in<br />
Verstärker<br />
Ausgang<br />
Wechselspannungsquelle<br />
Multiplizierer<br />
Integrator<br />
Magnetometer Wir ein SQUID verwendet, um Magnetfelder zu messen lässt sich die Empfindlichkeit<br />
weiter steigern, indem ein so genannter Flusstransformator aus einem supraleitenden<br />
Draht benutzt. Wird der Flusstransformator einem magnetischen Feld ausgesetzt, beginnt<br />
in ihm ein Suprastrom zu fließen, der Proportional zur Gesamtfläche des Transformators<br />
und zum Magnetfeld ist. Durch die Mehrfachwicklung direkt über dem SQUID wird and<br />
dieser Stelle ein überhöhtes magnetisches Feld erzeugt, welches dann vom SQUID deutlich<br />
empfindlicher gemessen werden kann.<br />
Gradiometer Ein Gradiometer ist nur auf die Gradienten magnetischer Felder empfindlich. Das<br />
bedeutet, dass der konstante Anteil des Magnetfeldes unterdrückt wird. Die beiden Windungen<br />
des hier verwendeten Flusstransformators, die räumlich möglichst weit voneinander<br />
getrennt sind, haben unterschiedlichen Wicklungssinn. Wird nun ein homogenes Magnetfeld<br />
angelegt, so ist der fließende Suprastrom Null, da der gesamt Fluss Null ist, da � � B·�ndA = 0<br />
(�n ist dabei die Flächennormale der durch den Flusstransformator aufgespannte Fläche A).<br />
Erst ein vertikaler Gradient in der Vertikalkomponente des Magnetfeldes in unten dargestellten<br />
Anordnung erzeugt ein Suprastrom.<br />
Voltmeter Wird an den Flusstransformator über einen Widerstand eine Spannung angelegt so<br />
fließt ein Strom durch diesen, welcher wieder ein magnetischen Fluss im SQUID erzeugt, der<br />
proportional zur angelegten Spannung ist. Somit lassen sich sehr empfindlich Spannungen<br />
messen.<br />
62
Magnetometer<br />
Gradiometer<br />
Voltmeter<br />
Flußtransformator<br />
Magnetfelder 10 −15 Tesla entspricht dem 10 11 ten Teil des Erdmagnetfeldes<br />
Spannungen 10 −14 = 10fV ca. 10 5 mal empfindlicher als die empfindlichsten Halbleitervoltmeter<br />
Energie die mit einer Änderung des Magnetfeldes verbunden ist:<br />
typisch 10 −32 Joule Anheben eines Elektrons im Gravitationsfeld um einen Millimeter<br />
Die sensitivsten Messgeräte erreichen das durch die Unschärferelation gesetzte Limit.<br />
63
Enviromental fields<br />
Earth field<br />
Urban noise<br />
Car at 50 m<br />
Screwdriver<br />
at 5 m<br />
Transistor<br />
IC chip at 2 m<br />
Transistor die<br />
at 1 m<br />
magnetic field<br />
10µT<br />
1µT<br />
100nT<br />
10nT<br />
1nT<br />
100pT<br />
10pT<br />
1pT<br />
100fT<br />
3.12.3. Umsetzung von thermischen Größen<br />
3.12.3.1. Thermowiderstands-Effekt<br />
Lung particles<br />
Human heart<br />
Skeletal muscles<br />
Fetal heart<br />
Human eye<br />
Human brain (a)<br />
Human brain<br />
(response)<br />
Bei allen Materialien weist die spezifische elektrische Leitfähigkeit σ eine Temperaturabhängigkeit<br />
auf, die zur Bestimmung der Temperatur genutzt werden kann. Für die Stromdichte durch ein<br />
Material gilt:<br />
�j(T ) = σ(T ) � E (3.165)<br />
weiterhin gilt <strong>für</strong> die Leitfähigkeit:<br />
Biomagnetic fields<br />
σ(T ) = qµ(T )n(T ) (3.166)<br />
µ ist die Beweglichkeit der Ladungsträger und n deren Konzentration.<br />
Für nicht-ferromagnetische Metalle erhöht sich der spezifische Widerstand mit T 5 bei tiefen<br />
Temperaturen und nimmt bei Erreichen des absoluten Nullpunkt einen endlichen Wert an.<br />
3.12.3.1.1. Thermowiderstands-Effekt in Metallen Da sich bei Metallen die Anzahl der<br />
freien Elektronen nur sehr wenig mit der Temperatur ändert, ist die Temperaturabhängigkeit<br />
hauptsächlich durch die Änderung der Elektronenbeweglichkeit bestimmt. Bei Temperaturen in<br />
der Nähe des absoluten Nullpunkts ist der Widerstand in Metallen nur durch den durch Verunreinigungen<br />
bestimmten Restwiderstand bestimmt (T = 0). Der Widerstand steigt dann <strong>für</strong> kleine<br />
Temperaturen proportional zu T 5 an, um dann bei höheren Temperaturen annähernd linear zu<br />
steigen.<br />
1. T → 0 Widerstand konstant<br />
64
2. T klein → Widerstand ∝ T 5<br />
3. T groß → Widerstand ∝ T (Temperaturkoeffizienten im Bereich 3, 5...4, 5 · 10 −3 /K)<br />
Als Widerstandmaterialien werden meist Edelmetalle verwendet, da diese eine hohe Langzeitstabilität<br />
aufweisen. Es kommen Materialien wie Platin, Nickel, Iridium und Molybdän zum Einsatz.<br />
Die Widerstandskennlinie kann in einem Bereich von –200 bis 650˚C wie folgt angegeben<br />
werden:<br />
R(T ) = R0[1 + αT + βT 2 + γT 3 (T − 100 ◦ C)] (3.167)<br />
R0 = 100Ω<br />
α = 3, 90802 · 10 −3 ( ◦ C) −1<br />
β = −5, 802 · 10 −7 ( ◦ C) −2<br />
γ = −4, 27350 · 10 −12 ( ◦ C) −4 <strong>für</strong> T < 0 ◦ C<br />
γ = 0( ◦ C) −4 <strong>für</strong> T > 0 ◦ C<br />
3.12.3.1.2. Thermowiderstands-Effekt in Elementhalbleitern Für die Leitfähigkeit in halbleitenden<br />
Materialien gilt, da es in diesen Materialien Löcher und Elektronen gibt:<br />
σ(T ) = q(µn(T )n(T ) + µp(T )p(T )) (3.168)<br />
Hierbei sind µn und µp die Beweglichkeiten <strong>für</strong> Elektronen und Löcher und n und p die Ladungsträgerkonzentrationen.<br />
Dies ist so zu interpretieren, dass ein Elektronen und ein Löcherstrom fließt.<br />
Meist sind in Halbleitern neben den reinen Elementen des Halbleiters auch noch Verunreinigungen<br />
(Dotieratome) enthalten. Diese befinden sich energetisch in der verbotenen Zone und lassen sich<br />
aufgrund ihrer geringen Abstände zum Valenzband im Falle von so genannten Akzeptor-Atomen<br />
(p-Dotierung) bzw. zum Leitungsband im Falle von Donator-Atomen (n-Dotierung) sehr leicht<br />
ionisieren. Deshalb können die abgegebenen Löcher bzw. Elektronen schon bei relativ niedrigen<br />
Temperaturen zum Stromfluss beitragen. Grob lässt sich das Temperaturverhalten der Konzentration<br />
freier Ladungsträger in drei Bereiche unterteilen:<br />
65
1. bei hohen Temperaturen ist die Änderung der Ladungsträgerkonzentration durch eine Anregung<br />
über die Bandlücke hinweg bestimmt. Alle Dotieratome sind ionisiert.<br />
2. bei mittleren Temperaturen sind immer noch alle Dotieratome ionisiert. Allerdings sind<br />
Anregungen über die Bandlücke hinweg nicht mehr möglich.<br />
3. Bei tiefen Temperaturen ,,frieren“ die Dotieratome aus. Nun können auch sie nicht mehr<br />
thermisch ionisiert werden.<br />
Schematische Darstellung der Ladungsträgerkonzentration über der Temperatur<br />
Die Leitfähigkeit in Halbleitern ist etwas komplizierter, da man auch noch die Änderung der<br />
Beweglichkeit der Ladungsträger berücksichtigen muss. Bei tiefen Temperaturen nimmt diese erst<br />
zu, um dann bei hohen Temperaturen wieder abzufallen.<br />
3.12.3.1.3. Keramikwiderstande als Heißleiter (NTC) Bei diesen Materialien werden Ladungsträger<br />
ebenfalls durch thermisch aktivierte Prozesse generiert. Somit nimmt auch hier der<br />
Widerstand mit der Temperatur ab. Sie bestehen typischerweise aus zwei und dreiwertigen Me-<br />
tallen und Sauerstoff A2+ B 3+<br />
2 O8+<br />
4 die Kristall-Struktur wird Spinell-Struktur genannt. In diesen<br />
Materialien findet Elektronentransport durch so genannten Hopping-Transport (Hüpf-Prozesse)<br />
statt, d.h. Elektronen müssen immer wieder Barrieren überwinden. Der Vorgang kann in diesem<br />
Fall durch Diffusion beschrieben werden:<br />
� �<br />
−WA<br />
D(T ) = D0(T ) exp<br />
(3.169)<br />
kBT<br />
Mit Hilfe der Einsteinbeziehung ergibt sich <strong>für</strong> die Beweglichkeit der Ladungsträger:<br />
µ(T ) = q D0(T )<br />
kBT exp<br />
� �<br />
−WA<br />
kBT<br />
66<br />
(3.170)
Dieser Widerstand ist stark nichtlinear und wird in erster Linie <strong>für</strong> Temperatursicherungen verwendet,<br />
wobei er parallel zu einem Verbraucher geschaltet wird und diesen kurzschließt, wenn die<br />
Temperatur zu weit ansteigt. Durch Selbstheizeffekte kann der Widerstand immer weiter abnehmen.<br />
3.12.3.1.4. Keramikwiderstande als Kaltleiter (PTC) Kaltleiter bestehen aus Metalloxidmischkristallen<br />
Wie BaO, CaO, SrO und ZrO2. Sie sind ferroelektrisch und meistens ist ihre<br />
Kristallstruktur eine Perowskitstruktur. Es ergeben sich mikrokristalline Strukturen, bei denen der<br />
Widerstand durch die Leitfähigkeit der Korngrenzen bestimmt wird. In den Korngrenzen baut sich<br />
eine Verarmungszone durch Sauerstoffatome auf, die als Akzeptor wirken und es resultiert eine<br />
Potentialdifferenz Ψ0. Die Temperaturabhängigkeit hat somit folgende Gestalt:<br />
� �<br />
Ψ0<br />
R(T ) = R0 exp<br />
(3.171)<br />
kBT<br />
Der Widerstand kann sich ohne weiteres um 3 bis 6 Größenordnungen ändern.<br />
3.12.3.2. Temperatureffekte bei Halbleiterübergängen<br />
Die Shockley-Gleichung beschreibt einen idealen pn-Übergang in Halbleitern:<br />
� � � �<br />
eVD<br />
ID(VD, T ) = IS exp − 1<br />
nkBT<br />
(3.172)<br />
In der Shockley-Gleichung bezeichnet ID den Strom durch die Diode, IS ≈ 10 −14 A den Sättigungsstrom,<br />
e=1,6·10 −19 C die Elementarladung, VD die an die Diode angelegte Spannung, n∈[1...2]<br />
(typischerweise) die so genannte Idealität, kB=1,38·10 −23 J/K die Boltzmann-Konstante und<br />
T=293K (Zimmertemperatur) die Temperatur.<br />
Die Diodenkennlinie kann zur Temperaturmessung genutzt werden. Durch Umstellen der Gleichung<br />
ergibt sich <strong>für</strong> den Fall, dass der Strom durch die Diode deutlich größer als der Sättigungs-<br />
strom ID ≫ Is:<br />
VD =<br />
� nk<br />
e ln<br />
� ID<br />
Is<br />
��<br />
T (3.173)<br />
Die Steilheit lässt sich durch den Strom durch die Diode einstellen.<br />
Allerdings muss bedacht werden, dass der Sättigungsstrom Is temperaturabhängig ist. Auch diese<br />
Temperaturabhängigkeit kann zur Temperaturmessung herangezogen werden. Wird die Diode<br />
von einem konstanten Strom in Durchlassrichtung durchflossen, so ergibt sich eine temperaturbedingte<br />
Änderung der Spannung an der Diode (dVD/dT=2mV/K). In Sperrrichtung verdoppelt sich<br />
der Sperrstrom einer Diode, wenn sich die Temperatur der Diode um 10K ändert (Boltzmannfaktor<br />
vgl. Reaktionskinetik in der Chemie).<br />
3.12.3.3. Thermoelektrische Effekte<br />
Ganz allgemein beeinflussen nicht nur elektrische Felder die Bewegung von Ladungsträgern sondern<br />
auch Temperaturgradienten, da ein Unterschied der Temperatur an verschiedenen Orten eine unterschiedliche<br />
Diffusionskonstante der Ladungsträger zur Folge hat. So diffundieren Ladungsträger<br />
aus Bereichen hoher Temperatur in Bereiche mit niedrigerer Temperatur. Durch Temperaturunterschiede<br />
ergibt sich zunächst ein ausgleichender Diffusionsstrom, der schließlich in einer Spannung<br />
67
im Gleichgewicht resultiert. Somit lässt sich ganz allgemein <strong>für</strong> die elektrischen Stromdichten �j<br />
und die Thermostromdichten �jth schreiben:<br />
�j = ˆσ · � E + ˆ β · � ∇T (3.174)<br />
�jth = ˆγ · � E + ˆ ξ · � ∇T (3.175)<br />
ˆσ, ˆ β, ˆγ, ˆ ξ sind kartesische Tensoren 2. Stufe, deren Koeffizienten magnetfeldabhängig sind. Diese<br />
Gleichungen lassen sich auch in folgender Form darstellen:<br />
�E = ˆρ( � H) · �j + ˆ S( � H) · � ∇T (3.176)<br />
�jth = ˆ Π( � H) · �j + ˆκ( � H) · � ∇T (3.177)<br />
Diese Schreibweise hat den Vorteil, dass die Größen � E und �jth durch die experimentell leicht<br />
zu kontrollierenden Größen �j und � ∇T ausgedrückt werden. Dabei hängen die unterschiedlichen<br />
Tensoren in der folgenden Form miteinander zusammen:<br />
ˆρ = 1<br />
ˆσ , ˆ S = − ˆ β<br />
ˆσ , ˆ Π = ˆγ<br />
ˆσ , ˆκ = ˆγ · ˆ β<br />
ˆσ − ˆ ξ (3.178)<br />
Es sind nicht alle 36 Koeffizienten, die hierbei auftauchen voneinander unabhängig. Durch die<br />
Onsager-Relation der Thermodynamik irreversiebler Prozesse ist ein Teil der Koeffizienten miteinander<br />
verknüpft.<br />
ρik( � H) = ρki(− � H) (3.179)<br />
κik( � H) = κki(− � H) (3.180)<br />
Πik( � H) = T Ski(− � H) (3.181)<br />
Somit ergeben sich noch 21 unabhängige Koeffizienten. Aus der ersten dieser Gleichungen<br />
folgt, dass der Longitudinale Magnetowiderstand nur quadratisch vom Magnetfeld abhängen kann<br />
ρii( � H 2 ).<br />
Es werden vier unterschiedliche thermoelektrische Effekte unterschieden, zwei longitudinale und<br />
zwei transversale. In der oben eingeführten Notation lassen sich diese wie folgt formulieren:<br />
Longitudinale Effekte<br />
1. Der Peltiereffekt:<br />
Π = jth x<br />
,<br />
jx<br />
∇xT = 0 (3.182)<br />
Der Peltiereffekt beschreibt den Einfluss eines elektrischen Stromes auf einen Wärmestrom.<br />
2. Der Seebeckeffekt:<br />
S = Ex<br />
∇xT , jx = 0 (3.183)<br />
Hier wird der Effekts eines Gradienten in der Temperatur auf ein elektrisches Feld beschrieben.<br />
Peltier- und Seebeckeffekt sind über die Thomson-Relation miteinander verknüpft<br />
Π = T · S (3.184)<br />
68
Transversale Effekte<br />
1. Der Ettingshauseneffekt:<br />
ε = 1<br />
·<br />
Bz<br />
∇yT<br />
, j<br />
jx<br />
th<br />
y = jy = ∇xT = 0 (3.185)<br />
Unter Vermittlung eines magnetischen Feldes in z-Richtung ergibt sich durch ein Stromfluss<br />
in x-Richtung ein Temperaturgradient in y-Richtung.<br />
2. Der Nernsteffekt:<br />
ε = 1<br />
·<br />
Bz<br />
Ey<br />
∇xT , jx = jy = j th<br />
y = 0 (3.186)<br />
Hier verursacht unter Vermittlung eines Magnetfeldes in z-Richtung ein Gradient in der<br />
Temperatur in x-Richtung ein elektrisches Feld in y-Richtung.<br />
Zur Temperaturmessung wird in erster Linie der Seebeckeffekt genutzt. Dabei wird die sich<br />
einstellende Spannung bei Kontakt mit einem Material mit einem anderen Seebeckkoeffzienten<br />
vermessen.<br />
Thermoelektrische Spannungsreihe<br />
3.12.3.4. Pyroelekrische Effekte<br />
Metall Seebeck-Koeffzient [mV/100K]<br />
Sb 4.7<br />
Fe 1.7<br />
Cd 0.8<br />
Cu 0.7<br />
Ag 0.65<br />
Pb, Al 0.4<br />
Hg, Pt 0<br />
Ni -1.5<br />
Bi -7.3<br />
Thermoelektrische Koeffizienten nach Keithley<br />
Materialkombination Thermoelektrisches Potential<br />
Cu – Cu 0,2µV/K<br />
Cu – Ag 0,3µV/K<br />
Cu – Au 0,3µV/K<br />
Cu - Pb/Sn 1–3µ/K<br />
Cu – Si 400µV/K<br />
Cu – Kovar 40–75µV/K<br />
Cu – CuO 1000µV/K<br />
In manchen unsymmetrischen Kristallen mit polaren Achsen tritt spontan eine elektrische Polarisation<br />
auf. Die temperaturabhängige Änderung dieser Polarisation wird als pyroelektrischer Effekt<br />
69
ezeichnet. Damit resultiert auch eine temperaturabhängige Änderung der Oberflächenladung, die<br />
sich durch aufgebrachte Ladungen messen lassen.<br />
Auch hier wird der Effekt als linearer Effekt durch eine Koeffizientenmatrix charakterisiert:<br />
∆ � P = ↔ p T · ∆ � T (3.187)<br />
Für die Spannungsänderung ergibt sich, wenn man nur eine Richtung berücksichtigt:<br />
|∆V | = pT,x · A<br />
C<br />
· ∆ � T (3.188)<br />
Dabei bezeichnet A die Querschnittsfläche und C die Kapazität des Pyroelektrikums.<br />
3.12.4. Umsetzung optischer und strahlungstechnischer Größen<br />
3.12.4.1. Äußerer Photoeffekt<br />
λG =<br />
E = h · ν ≥ ΦA + Φ (3.189)<br />
h · c<br />
ΦA + Φ =<br />
1, 24µm<br />
(ΦA + Φ)[eV ]<br />
(3.190)<br />
Die Photozelle reagiert fast instantan auf die einfallenden Photonen. Es sind daher Frequenzen bis<br />
10GHz messbar. Durch Einfüllen eines Edelgases kann man über Ionisation eine Verstärkung des<br />
Signals erreichen, allerdings mit dem Nachteil, dass die Zelle langsamer reagiert, da das Neutralisieren<br />
der Ionen Zeit braucht (Totzeit, wie beim Geiger-Müller Zählrohr). Eine deutliche Verstärkung<br />
kann durch Einfügen zusätzlicher Elektroden, sogenannter Dynoden, die auf einem Potential zwischen<br />
Kathode und Anode gehalten werden, erfolgen. Durch Sekundärelektronenerzeugung erfolgt<br />
dann die Vervielfachung.<br />
Experimenteller Aufbau beim externen Photoeffekt<br />
Anode<br />
70<br />
I<br />
V<br />
Photokathode
Kennlinie des externen Photoeffekt<br />
I/µA<br />
6<br />
5<br />
4<br />
3<br />
2<br />
1<br />
2000 lx<br />
1000 lx<br />
500 lx<br />
20 100 V/V<br />
Vervielfachung der Photoelektronen durch einen Photomultiplier<br />
Die aus der Photokathode ausgelösten Elektronen werden durch eine Hochspannung zur ersten<br />
Dynode hin beschleunigt, beim Auftreffen auf diese Dynode schlagen die Elektronen zusätzliche<br />
frei, dadurch erhöht sich die Anzahl der freien Elektronen. Durch die weitere Verschaltung von<br />
Dynoden wird dieser Effekt mehrfach hintereinander ausgenutzt (Verstärkungen liegen im Bereich<br />
10 3 – 10 8 ). Somit werden Empfindlichkeiten von 0,1 bis 10A/lx erreicht. Durch Laufzeitunterschiede<br />
weitet sich allerdings der Impuls immer weiter auf, so dass die zeitauflösung darunter leidet<br />
(Laufzeit im Bereich 8–135ns, Anstiegszeit 1–10ns). Die Spannungen an den einzelnen Dynoden<br />
wird durch eine Widerstandkaskade erzeugt.<br />
Eine Abwandlung des Photomulitpliers ist der Kanalvervielfacher. Hierbei wird die Spannung<br />
durch eine widerstandbehaftete Beschichtung des Kannals kontinuierlich verändert.<br />
71
Kanalvervielfacher<br />
Durch eine parallele Anordnung vieler (10 4 –10 7 ), kleiner (∅10 − 25µm) dieser Kanäle ist es<br />
möglich eine Ortsauflösung zu erreichen. Ein weitere Effekt dieser Anordnung besteht in einer<br />
deutlich kürzeren Ansprechzeit (1ns bei Verstärkung 10 8 ).<br />
3.12.4.2. Innerer Photoeffekt<br />
Mikrokanalplatten<br />
3.12.4.2.1. Photowiderstand Beim Photowiderstand ändert sich die Leitfähigkeit des Widerstands<br />
dadurch, dass durch die absorbierten Photonen Elektronen aus dem Valenzband in das<br />
Leitungsband angeregt werden. Damit erhöht sich die Konzentration der frei beweglichen Ladungsträger<br />
und der Strom durch den Photowiderstand erhöht sich bei gleichbleibender angelegter<br />
Spannung.<br />
I = enµEA (3.191)<br />
Dabei ist e die Elementarladung, n die Konzentration der freien Ladungsträger, µ deren Beweglichkeit,<br />
E das angelegte elektrische Feld (V/d) und A die Querschnittsfäche.<br />
72
Banddiagramm von Halbleitern<br />
3.12.4.2.2. Photodiode Es gibt grundsätzlich zwei Betriebsarten <strong>für</strong> eine Photodiode:<br />
1. ohne angelegte Spannung an der Diode. Hier wird der generierte Photostrom über einen<br />
Lastwiderstand abgeleitet und der Spannungsabfall an diesem als Messgröße verwendet.<br />
2. Es wird eine Spannung in Rückwärtsrichtung angelegt um die generierten Ladungsträger<br />
” abzusaugen“.<br />
Der spannungslose Fall:<br />
Hier besteht der Vorteil, dass durch ein geringeres Rauschen sich eine erhöhte Nachweisempfindlichkeit<br />
ergibt. Der Nachteil besteht allerdings in einer lengsamen Ansprechziet im Bereich<br />
einiger zig Millisekunden.<br />
Prinzipielle Beschaltung des Photoelements Kennline des Photoelements<br />
Reale Beschaltung des Photoelements Ersatzschaltbild<br />
73
Der Fall mit angelegter Rückwärtsspannung:<br />
Wie schon erwähnt kann durch anlegen einer Rückwärstspannung die Ansprechgeschwindigkeit<br />
deutlich gesteigert werden. Außerdem ist es möglich durch eine Lawinenvervielfachung der<br />
Ladungsträger, eine Verstärkung des Photostroms zu erreichen.<br />
Kennline des Photodiode Prinzipielle Beschaltung des Photodiode<br />
Reale Beschaltung der Photodiode Beschaltung zur Auswertung von Lichtpulsen<br />
Sonderbauformen von Photodioden:<br />
74
Aufbau eines postionssensitiven Detektors (PSD) Prinzipielle Beschaltung des PSDs<br />
3.12.4.2.3. Phototransistor<br />
Aufbau eines Phototranssistors Ersatzschaltbild des Phototransisitors<br />
Kennline des Phototransistors Beschaltung eines Phototransisitors<br />
75
3.13. Grundlagen der Magnetischen Kernspinresonanz<br />
3.13.1. Klassische Behandlung<br />
Im ersten Abschnitt dieses Kapitels soll eine einfache klassische Betrachtung der magnetischen<br />
Kernresonanz vorgestellt werden, die in der Lage ist, die <strong>Physik</strong> in einfacher Form darzustellen. Aber<br />
wie so oft reicht diese Darstellung nicht aus, um die Einzelheiten der magnetischen Kernresonanz<br />
zu verstehen.<br />
3.13.1.1. Die Blochgleichungen<br />
Die Atomkerne besitzen ein magnetisches Dipolmoment, den Spin �µ. Klassisch wir dies oft mit der<br />
Rotation eines geladenen Teilchens verglichen, welches das Drehmoment � J besitzt. Damit ergibt<br />
sich der Spin zu �µ = γ � J. Der Proportionalitätsfaktor wird gyromagnetisches Verhältnis genannt<br />
und ist eine quantenmechanische, kernspezifische Größe. Das diese Erklärung nicht ganz richtig<br />
sein kann, sieht man an der Tatsache, dass auch das Neutron, welches natürlich keine Ladung<br />
trägt, ebenfalls einen Spin besitzt.<br />
Zunächst betrachten wir uns die Bewegungsgleichung eines Spins im äußeren Magnetfeld � B0,<br />
indem wir das Drehmoment berücksichtigen d<br />
dt � J = � J × � B0 und �µ = γ � J. So ergibt sich folgende<br />
Differentialgleichung:<br />
˙�µ = �µ × γ � B0<br />
(3.192)<br />
oder in Komponentendarstellung, wenn das angelegte äußere Magnetfeld nur eine Komponente in<br />
z-Richtung � B0 = {0, 0, B0}besitzt:<br />
˙µx = γ B0µy (3.193)<br />
˙µy = −γ B0µx (3.194)<br />
˙µz = 0 (3.195)<br />
Benutzt man die Definition µ+ = µx + iµy, so lässt sich die Lösung der Differentialgleichung<br />
wie folgt darstellen:<br />
mit<br />
eine mögliche Lösung besitzt die Form:<br />
µ+ = µ+(0) exp(iω0t) (3.196)<br />
ω0 = −γB0<br />
(3.197)<br />
µx = µ(0) cos(ω0t) (3.198)<br />
µy = µ(0) sin(ω0t) (3.199)<br />
µz = const. (3.200)<br />
Im Laborsystem präzediert ein klassischer Dipol um das Magnetfeld � B0 = {0, 0, B0} mit einer<br />
Lamor- Frequenz �ω0 = {0, 0, ω0}<br />
76
Für die weiteren Betrachtungen ist es sehr nützlich in das rotierende Koordinatensystem zu<br />
wechseln. Somit ergibt sich <strong>für</strong> die Zeitentwicklung des magnetischen Dipolmoments, wenn das<br />
Koordinatensystem mit �ω ≈ �ω0 rotiert:<br />
d<br />
dt �µ′ = d<br />
�µ − �ω × �µ (3.201)<br />
dt<br />
Im Fall des frei präzedierenden Kernspins lautet die Transformationsgleichung mit ˙ �µ = �µ×γ � B0 =<br />
−�µ × �ω0 und ∆�ω = �ω0 − �ω:<br />
d<br />
dt �µ′ = ∆�ω × �µ. (3.202)<br />
Nachdem wir bisher nur die Bewegung des Magnetischen Moments in einem konstanten äußeren<br />
Feld betrachtet haben, soll nun der Fall eines konstanten Magnetfelds in z-Richtung und einem<br />
überlagerten zirkular polarisiertem, magnetischen Wechselfeld in der x/y-Ebene betrachtet werden:<br />
�B(t) = {B1 sin(ωt), B1 cos(ωt), B0} (3.203)<br />
Somit ergibt sich mit Hilfe der Transformationsgleichung <strong>für</strong> die Präzessionsgleichung<br />
d<br />
dt �µ′ = −γ � B ′ × �µ (3.204)<br />
wobei das Koordinatensystem mit �ω = {0, 0, ω}rotiert. Das effektive Magnetfeld � B ′ im rotierenden<br />
Koordinatensystem lässt sich wie folgt formulieren:<br />
�B ′ = {0, B1, B0 + ω<br />
} (3.205)<br />
γ<br />
�ωeff = −γ � B ′ = {0, ω1, ∆ω} (3.206)<br />
wobei ω1 = −γB1 gilt. Im resonanten Fall �ω = �ω0 sieht der Kernspin im rotierenden Koordinatensystem<br />
ein statisches Feld in y-Richtung, um welches er präzediert. Im Experiment werden<br />
natürlich nicht einzelne Kernspins gemessen sondern ganze Ensembles, die eine makroskopische<br />
Magnetisierung repräsentieren:<br />
�M = �<br />
�µi<br />
(3.207)<br />
Für die makroskopische Bewegungsgleichung der frei präzedierenden Spins ergibt sich:<br />
i<br />
d<br />
dt � M = �ωeff × � M (3.208)<br />
77
und in Komponentenschreibweise lässt sich formulieren:<br />
˙Mx = −∆ω My + ω1 Mz (3.209)<br />
˙My = ∆ω Mx (3.210)<br />
˙Mz = −ω1 Mx (3.211)<br />
Da die Spins sich in einem Festkörper befinden sind sie in der Realität natürlich nicht frei, sondern<br />
sie wechselwirken mit dem Gitter. Dies führt zu einer Gleichgewichtsmagnetisierung der Form<br />
�M0 = {0, 0, M0}. Wird im Experiment ein Zustand � M(t = 0) �= � M0 präpariert, dann wird dieser<br />
Zustand exponentiell mit der Spin-Gitter-Relaxationszeit T1 dem Gleichgewichtszustand zustreben,<br />
während die Komponenten Mx und My mit der Spin-Spin-Relaxationszeit T2 auf Null abfallen.<br />
Dieser Vorgang kann durch phänomenologische Dämpfungsterme in der Bewegungsgleichung beschrieben<br />
werden:<br />
˙Mx = −∆ω My + ω1 Mz − 1<br />
˙My = ∆ω Mx − 1<br />
My<br />
T2<br />
3.13.1.2. Kontinuierliche Hochfrequenzeinstrahlung<br />
Mx<br />
T2<br />
(3.212)<br />
(3.213)<br />
˙Mz = −ω1 Mx − 1<br />
(Mz − M0) (3.214)<br />
Zunächst soll der Fall einer kontinuierlichen Hochfrequenzeinstrahlung betrachtet werden. Dies<br />
führt zu einem stationären Betrachtung der Blochgleichungen ˙ � M0 = 0:<br />
Mx =<br />
My =<br />
Mz =<br />
T1<br />
T2ω1<br />
1 + (T2∆ω) 2 + T1T2ω2 M0<br />
1<br />
T 2 2 ∆ωω1<br />
1 + (T2∆ω) 2 + T1T2ω2 Mx<br />
1<br />
1 + (T2∆ω) 2ω1 1 + (T2∆ω) 2 + T1T2ω2 M0<br />
1<br />
(3.215)<br />
(3.216)<br />
(3.217)<br />
Somit ergibt sich folgender Zusammenhang zwischen den einzelnen Komponenten der Magnetisierung<br />
und der Frequenzverstimmung:<br />
78
3.13.1.3. Einstrahlen von Hochfrequenzpulsen<br />
Mit Hilfe der Blochgleichungen kann man die Zeitentwicklung der Magnetisierung bei Einstrahlung<br />
von Hochfrequenzpulsen unter den vereinfachenden Annahmen, dass die Einstrahlung resonant<br />
�ω = �ω0 erfolgt und unter Vernachlässigung der Relaxation (T1 = T2 = ∞). Setzen wir an, dass<br />
�M(t = 0) = {0, 0, M0}gilt, wenn zum Zeitpunkt t = 0 der Hochfrequenzpuls eingeschaltet wird:<br />
und nach dem Ausschalten nach der Zeit tp:<br />
bei ω1tp = π<br />
2 (90˚-Puls): � M(tp) = {M0, 0, 0}<br />
und bei ω1tp = π (180˚-Puls): � M(tp) = {0, 0, −M0}<br />
�M(t) = {M0 sin(ω1t), 0, M0 cos(ωt)} (3.218)<br />
Die Verhältnisse bei einem 90˚-Puls in Vektordarstellung:<br />
79
3.13.1.4. Freie Präzession (FID)<br />
Durch Einstrahlen eines 90˚-Pulses sei die Magnetisierung in den Zustand � M(t = 0) = {M0, 0, 0}<br />
präpariert worden. Nun Relaxieren die im Experiment gemessenen Größen Mx(t) und My(t) und<br />
man erhält folgende Zeitentwicklung:<br />
3.13.1.5. Spin-Echos<br />
� �<br />
t<br />
Mx(t) = M0 cos(∆ωt) exp<br />
T2<br />
� �<br />
t<br />
Mx(t) = M0 sin(∆ωt) exp<br />
T2<br />
(3.219)<br />
(3.220)<br />
Wird nach einer Zeit τ nach dem Einstrahlen eines 90˚-Pulses ein 180˚-Puls (Pulslänge tp = π<br />
ω1 ≪<br />
τ) entlang der y-Achse des rotierenden Koordinatensystems eingestrahlt, so kann aus den Bloch-<br />
Gleichungen abgeleitet werden, dass Mx(τ) sein Vorzeichen wechselt, während My(τ) unverändert<br />
bleibt. Man erhält ein Echo nach einer Zeit von 2τ:<br />
� �<br />
−2τ<br />
Mx(2τ) = −M0 exp<br />
T2<br />
(3.221)<br />
Mx(2τ) = 0 (3.222)<br />
80
Somit eignet sich die Messung der Echo-Signalamplitude in Abhängigkeit von τ zur Bestimmung<br />
der Spin-Spin-Relaxationszeit T2.<br />
3.13.1.6. T1-Messung<br />
Die Spin-Gitter-Relaxationszeit T1 lässt sich messen, indem man zunächst einen 180˚-Puls und<br />
nach der Wartezeitτden Momentanwert von Mz(τ)durch einen 90˚-Puls abfragt, indem dieser in<br />
eine messbare Quermagnetisierung gewandelt wird. Der Anfangswert der freien Präzission (FID)<br />
ist ein Maß <strong>für</strong> die teilweise zurückrelaxierte z-Magnetisierung:<br />
3.13.1.7. Vektordiagramme<br />
Mz(τ) = −M0<br />
� �<br />
−τ<br />
1 − 2 exp<br />
T1<br />
��<br />
(3.223)<br />
Mx(2τ) = 0 (3.224)<br />
Die Vorgänge im rotierenden Koordinatensystem lassen sich durch folgende Vektordiagramme<br />
veranschaulichen. Beginnend mit (a) wird durch ein 90˚-Puls die Magnetisierung in die x/y-Ebene<br />
geklappt (b). Dort beginnt sie mit einer freien Präzession. Dabei ergibt sich durch eine Dispersion<br />
ein Auseinanderlaufen der unterschiedlichen Spins (c). Durch anlegen eines 180˚-Pulses werden<br />
die x-Komponenten ins negative geklappt (d). In der Folge laufen nun die einzelnen Spins wieder<br />
zusammen (e), weshalb dann ein Echo gemessen werden kann.<br />
81
3.13.2. Sondenkerne zur Bestimmung von lokalen Eigenschaften<br />
Für die NMR an organischen Systemen werden bestimmte Kerne, als so genannte Sondenkerne<br />
verwendet, die dazu benutz werden, um in einer lokalen Umgebung die Magnetfeldverhältnisse zu<br />
untersuchen. Hier<strong>für</strong> wird wie schon erwähnt das Proton 1 H (I=1/2, γ/2π = 42,5759 MHz/T)<br />
, das Deuteron 2 H (I=1, γ/2π = 6,54 MHz/T) und das Kohlenstoffisotop 13 C (I=1/2, γ/2π =<br />
10,70 MHz/T). Außerdem spielen 14 N, 15 N, 17 O, 19 F, 31 P und 35 Cl eine gewisse Rolle.<br />
Dabei erfahren die Kerne die wichtigsten Wechselwirkungen wie chemische Verschiebung (,,chemical<br />
shift (CS)“) und die Dipol-Dipol-Wechselwirkung (D). Diese sollen im Folgenden etwas<br />
erläutert werden.<br />
3.13.2.1. Chemische Verschiebung<br />
Durch die Elektronen in der Atomhülle wird die Wirkung des angelegten Magnetfelds reduziert,<br />
indem in der Elektronenhülle Abschirmströme angeworfen werden.<br />
Allerdings ist auch der umgekehrte Fall denkbar, wie er beim Benzol zu beobachten ist. Hier<br />
wird das externe Magnetfeld durch ein induzierter Ringstrom im π-Elektronensystem verursacht<br />
allerdings führt das zu einer Feldüberhöhung im Außenbereich des Kohlenstoffrings und somit auch<br />
am Ort der Protonen, die nun ein erhöhtes Magnetfeld und somit ein chemische Verschiebung zu<br />
höheren Frequenzen zeigen. Die typische Frequenzänderung durch die Hüllenelektronen beträgt<br />
200ppm, was etwa bei einem Magnetfeld von ca. 7T einer Frequenz von 15kHz entspricht.<br />
82
3.13.2.2. Dipol-Dipol-Wechselwirkung<br />
Durch die Wechselwirkung der Dipole untereinander kann das erfahrene Magnetfeld der einzelnen<br />
Dipole unterschiedliche sein:<br />
Betrachten werden zwei chemisch gebundene Dipole<br />
so lässt sich leicht verstehen, dass abhängig von der Stellung des Dipols B das effektive Magnetfeld<br />
am Ort des Dipols A ist. Es ergeben sich vier verschiedene Konfigurationen in dieser<br />
Situation:<br />
83
Es sind nun nur solche Übergänge erlaubt, bei denen eine Spin sich umkehrt, aber nicht mehr<br />
als einer. Somit gibt es zwei Übergänge, einer bei einem Flip des Kerns A und einen bei einem Flip<br />
des Kerns B. Somit ergeben sich vier Linien. Die Absorptionslinie des Kerns A ist in zwei Linien<br />
aufgespalten, die um die ursprüngliche liegen ähnliches gilt <strong>für</strong> die Linien des Kerns B:<br />
Bei drei gebundenen Kernen verkompliziert sich die Situation natürlich:<br />
Hierbei ergeben sich folgende unterschiedliche Konfigurationen wenn man den Dipol des Kerns A<br />
festhält:<br />
Betrachtet man wieder die unterschiedlichen erlaubten Übergänge und ihre zugehörigen Linien<br />
ergibt sich folgendes Bild:<br />
84
Somit ist klar, dass die recht komplexe Niveauaufspaltung dazu genutzt werden kann, um die<br />
chemische Struktur von Molekülen mit Hilfe der Sondenkerne aufzuklären. Da die Verschiebung<br />
wie oben erwähnt linear mit dem Magnetfeld anwächst, die Unterscheidung unterschiedlicher<br />
Frequenzen aber durch die endliche Beobachtungsdauer (Relaxationsprozesse) begrenz ist, ist<br />
einleuchtend, dass zur Steigerung der Auflösung von NMR-Spektrometer ein höheres Magnetfeld<br />
benötigt wird.<br />
3.13.3. Experimente<br />
3.13.3.1. Aufbau eines Spektrometers<br />
Die Methoden die bei der Realisierung des Spektrometers zum Einsatz kommen sind uns wohl<br />
vertraut. Die Probe ist im linken Teil des Bildes dargestellt allerdings ohne den umgebenden<br />
85
supraleitenden Magneten. Die Probe ist von der Sende- und Empfangsspule umgeben, welche teil<br />
eines Schwingkreises darstellet, der ein nichtlinearen Verstärker <strong>für</strong> die Resonanzfrequenz darstellt,<br />
die auf die Anregungsfrequenz des Sondenkerns abgestimmt ist.<br />
Ein Frequenzgenerator (in der Mitte des Bildes dargestellt) liefert das Hochfrequenzsignal, welches<br />
mit einem Rechteckpuls multipliziert wird. Diese Hochfrequenzpuls wird verstärkt und auf<br />
die Sendespule gegeben, Diese fungiert gleichzeitig als Empfangsspule und gibt ihr Signal an einen<br />
Vorverstärker ab. Nach dem Vorverstärker wird das empfangene Signal mit einem Referenzsignal<br />
des Hochfrequenzgenerators multipliziert und Tiefpass gefiltert. Ebenso wird das Signal mit dem<br />
um 90˚ phasenverschobenen HF-Generatorsignal multipliziert und Tiefpass gefiltert. Diese beiden<br />
Aufbereitungen stellen somit ein ,,Zweiphasen phasensensitiven Detektor“ dar. Damit ist es<br />
möglich das Signal (Realteil) wie auch die Quadratur (Imaginärteil) des Signals zu messen. Beides<br />
wiederum wird von einem Computer erfasst und einer weiteren Verarbeitung zugeführt.<br />
3.13.3.2. Ein hochauflösendes NMR-Spektrometer in der Realität<br />
Height: 21 feet<br />
Spectrometer facts<br />
Weight: 16 tons (equal to about 12 Volkswagen New Beetles)<br />
Diameter: 8 feet<br />
Miles of superconducting wire: 180 miles, or enough to stretch from Richland to Seattle<br />
Cost: $7.2 million<br />
Years in development: 9<br />
86
Bore size: 65 millimeters, or about two inches, compared with a narrow-bore magnet’s 51 millimeter<br />
size at room temperature<br />
Magnet’s stored energy: 27 megajoules (equivalent to a 30-ton truck driven at 100 mph)<br />
Power: 21.14 tesla - more than 10 times stronger than the most powerful magnetic resonance<br />
imagers used in hospitals<br />
Liquid nitrogen stored around magnet: 1,000 liters or about 2,800 12-ounce cans of soda pop<br />
Liquid helium stored around magnet: 1,500 liters or about 4,300 12-ounce cans of soda pop<br />
Superconductivity temperature: 2.2 degrees Kelvin, or 270 degrees below zero<br />
Manufacturer: Oxford Instruments of Oxford, England, and Varian Inc. of Palo Alto, Calif.<br />
87
3.14. Grundlagen der Rastersondenmikroskopie<br />
Die Rastersondenmikroskopie gehört sicherlich zu einem der sich am schnellsten entwickelnden<br />
Bereiche der <strong>Physik</strong>. Unter dem Begriff Sondenmikroskopie finden sich ganz unterschiedliche Prinzipien<br />
wieder, denen gemein ist, dass eine mikroskopisch kleine Sonde — Tunnelspitze im Falle<br />
der Rastertunnelmikroskopie RTM (scanning tunneling microscope STM), eine Spitze im Falle<br />
der Rasterkraftmikroskopie RKM (atomic force microscope (AFM) oder scanning force microscope<br />
(SFM)), eine magnetische Spitze im Falle eines Rastermagentmikroskops RMM(magnetic force<br />
microscope (MFM)), einem winzigen Thermometer im Falle der Rasterthermomikroskops RThM<br />
(scanning thermo microscope (SThM)), eine winzige Elektrode im Falle der Rasterelektrochemischenmikroskps<br />
RECM (scanning electrochemical microscope (SECM), einer dünn ausgezogenem<br />
Lichtwellenleiters im Falle eines Rasternahfeldmikroskop (near field optical microscope (SNOM))<br />
nur um ein paar zu nennen — dicht über eine Oberfläche geführt wird.<br />
STM<br />
SThM<br />
SNOM<br />
SNAM<br />
SICM<br />
TRANSPORT<br />
(dynamisch)<br />
Tunneln<br />
Wärmeleitung<br />
Nahfeldoptik<br />
Nahfeldakustik<br />
Ionenleitung<br />
Sonde<br />
Probe<br />
88<br />
FELDER<br />
(statisch)<br />
van der Waals<br />
Repulsion<br />
chem. Bindung<br />
Reibung<br />
Coulomb<br />
magn. Kraft<br />
AFM<br />
LFM<br />
SCM<br />
MFM
� Aufbau<br />
� Abbildung<br />
Probe<br />
x<br />
Sonde<br />
3.14.1. Das Rastertunnelmikroskop<br />
Funktionsweise RXM<br />
z<br />
piezoelektrische<br />
Stellglieder (x,y,z)<br />
y<br />
Sonde<br />
Probe<br />
ungeregelt<br />
= Höhe konstant<br />
• WW variiert<br />
Steuerung<br />
+Regelung<br />
Wechselwirkung<br />
geregelt<br />
= Abstand konstant<br />
• WW konstant<br />
Das erste erfolgreiche Experiment zum Nachweis eines abstandsabhängigen Tunnelstromes konnte<br />
am 18. März 1981 durchgeführt werden. Gerd Binnig und Heinrich Rohrer, die das Experiment<br />
am IBM Forschungslabor in Rüschlikon (Schweiz) durchführten und das Rastertunnelmikroskop<br />
letztlich auch zum einsetzbaren Instrument machten, erhielten hier<strong>für</strong> 1986 den Nobelpreis in<br />
<strong>Physik</strong>.<br />
Heinrich Rohrer Gerd Binnig<br />
89
3.14.1.1. Theoretischer Hintergrund der Rastertunnelmikroskopie<br />
Das Problem der Tunnelvorgangs lässt sich mit Hilfe der stationären Schrödinger Gleichung beschreiben.<br />
Dabei setzen wir folgenden Verlauf des Potentials an:<br />
90
Bereich I Bereich II Bereich III<br />
V(x)=0<br />
<strong>für</strong> x
Damit ergibt sich ein Gleichungssystem mit Hilfe dessen die Koeffizienten bestimmte werden<br />
können:<br />
Für den so gennaten Transmissionsamplitude Γ ergibt sich:<br />
A + B = C + D (3.235)<br />
ik(A − B) = κ(C − D) (3.236)<br />
Ce κd De −κd = F e ikd<br />
(3.237)<br />
κCe κd − κDe −κd = ikF e ikd<br />
(3.238)<br />
Γ(E) = F<br />
A =<br />
4ikκe −ika e κd<br />
e 2κd (k + iκ) 2 − (k − iκ) 2<br />
(3.239)<br />
Durch quadrieren ergibt sich der Transmissionskoeffizient, der die Transmissionswahscheinlichkeit<br />
darstellt<br />
T = |Γ(E)| 2 � �<br />
�<br />
= �<br />
F �2<br />
�<br />
�<br />
� A � = 1 + (k2 + κ2 ) 2 sinh 2 (κd)<br />
4k2κ2 �−1<br />
(3.240)<br />
�<br />
= 1 + 4E(V0 − E)<br />
V 2<br />
0 sinh2 �−1 (3.241)<br />
(κd)<br />
In der Rastertunnelmikroskopie ist die Näherung κd ≫ 1 gegeben, dann ergibt sich <strong>für</strong> sinh(κd) ∼<br />
1/2e κd . Für den Transmissionskoeffizeineten ergibt sich in dieser Näherung<br />
Für den Tunnelstrom ergibt sich somit<br />
T = 16k2κ2 (k2 + κ2 e−2κd<br />
) 2<br />
It ∝ T ∼ e −2d/�√ 2m(V0(x)−E)<br />
(3.242)<br />
(3.243)<br />
Der Tunnelstrom nimmt also exponentiell mit dem Abstand ab. Setzt man hier die üblichen Werte<br />
V0 ≈ 5eV und d ≈ 5˚A ein, so ergibt eine Verbreiterung der Barriere um 1˚A eine Erniedrigung des<br />
Tunnelstroms um eine Größenordnung.<br />
V(x)<br />
Bereich I Bereich II Bereich III<br />
V0<br />
0<br />
92<br />
d x
Die hier vorgestellte Darstellung stellt eine starke Vereinfachung der tatsächlichen Verhältnisse<br />
dar. Eine umfassendere Theorie die auch deutlich realistischer ist, stammt von Tersoff und Hamann.<br />
Dabei wird berücksichtigt, dass der Tunnelprozess aus einem Metall in ein anderen Stoff stattfindet<br />
und dass es sich bei einem der beiden Objekte um eine Spitze bei dem anderen annähernd um<br />
eine Ebene handelt.<br />
Das STM von Binning und Rohrer<br />
93
Die Elektrodenanordnung eines Röhrchen-Scanners, der meisteingesetzten Rastereinheit<br />
Eine 7×7 Rekonstruktion einer Si[111]-Oberfläche<br />
94
Herstellung eines Rings von Atomen<br />
95
3.14.2. Das Rasterkraftmikroskop<br />
Bei der Rasterkraftmikroskopie (RKM) wird als Wechselwirkung zwischen Sonde und Probe, die<br />
zur Abbildung genutzt wird, die Kraftwechselwirkung benutzt. Sie ist somit im Gegensatz zur<br />
Rastertunnelmikroskopie auch auf nichtleitende Proben anzuwenden. Die RKM wurde 1986 von<br />
Gerd Binnig ca. fünf Jahre nach dem STM entwickelt. Um die Kraftwechselwirkung zu messen<br />
verwendete einen Biegebalken, an dessen Ende eine mikroskopisch kleine Spitze angebracht war.<br />
97
Skizze des Aufbau des ersten RKMs von Binnig<br />
Heutzutage wird die Biegung des Biegebalkens nicht wie in der oberen Darstellung mit Hilfe einer<br />
Tunnelspitze ausgewertet, sondern mittels eines Lichtzeigers ausgesandt von einem Halbleiterlaser<br />
und detektiert mit Hilfe einer Vierquadranten PIN-Diode, die aus vier dicht benachbarten PIN-<br />
Dioden aufgebaut ist (siehe Seite 73), oder mit einem positionsempfindlichen Detektors (PSDs<br />
siehe Seite 74).<br />
Prinzip des Lichtzeigers<br />
98
Bild einer Rasterkraftmikroskopspitze<br />
Abstandsabhängigkeit der Verschiedenen Wechselwirkungen<br />
RKM das auf einem Uhrenquarz beruht, die Detektion erfolgt durch Resonanzverschiebung<br />
99
durch die Wechselwirkung<br />
Bild einer Rasterkraftmikroskopspitze im Transmissionselektronenmikroskop, um den atomaren<br />
Aufbau aufzuklären<br />
100
Bild einer RKM-Spitz aufgebaut aus einem gespaltenem Siliziumeinkristall<br />
101
A. Operationsverstärker und ihre<br />
Grundschaltungen<br />
Elektronische Schaltungen lassen sich mit unterschiedlichen kommerziell angebotenen Programmen<br />
simulieren. Eine Möglichkeit, sich damit in der Praxis zu beschäftigen, besteht mit einer kostenlos<br />
angebotenen Studentenversion des Programms PSpice von der Firma ORCAD, die unter [6]<br />
zu finden ist. Da ein Operationsverstärker (OPV) heute in vielen Anwendungen bei Messproblemen<br />
eingesetzt wird, soll hier kurz auf ihn eingegangen werden. Ein OPV ist ein Differenzverstärker,<br />
der die Spannungsdifferenz an seinen beiden Eingängen verstärkt und am Ausgang ausgibt. Er<br />
besitzt einen nichtinvertierenden (+) und einen invertierenden (-) Eingang.<br />
Nichtinvertierender Eingang<br />
Invertierender Eingang<br />
A.1. Begriffserklärung<br />
Vn<br />
+<br />
Vd Ausgang<br />
Vp<br />
Differenzverstärkung ist die Verstärkung des Eingangsdifferenzsignals des OPVs ohne zusätzliche<br />
Beschaltung — also ohne Gegenkopplung.<br />
Gleichtaktunterdrückung charakterisiert die Reaktion der Ausgangsspannung auf eine Spannung,<br />
die an beiden Eingängen der OPV gleichzeitig angelegt wird — also ohne eine Differenzspannung<br />
zwischen den beiden Eingängen.<br />
3dB-Bandbreite bezeichnet die untere Grenzfrequenz des OPVs, bei der die Verstärkung um 3dB<br />
(einen Faktor ) zurückgegangen ist.<br />
Verstärkungs-Bandbreite-Produkt Ein OPV weist eine Frequenzkompensation auf die verhindert,<br />
dass der mehrstufige Verstärker eine Phasenschiebungen aufweist, die größer als 180<br />
ist. Würde diese auftreten, könnte es zu einer Mitkopplung (positive Rückkopplung) kommen,<br />
die ein Aufschwingen wegen der damit verbundenen Instabilität zur Folge haben kann.<br />
Aus diesem Grund wird der Frequenzgang gezielt beschnitten. Dies geschieht in solcher Weise,<br />
dass das Produkt der oberen Grenzfrequenz und der Verstärkung eine Konstante bilden<br />
(siehe Abb.), welche als Verstärkung-Bandbreite-Produkt bezeichnet wird.<br />
102<br />
-<br />
I o<br />
Vo
A D<br />
10 6<br />
10 5<br />
10 4<br />
10 3<br />
10 2<br />
10 1<br />
1 0<br />
10 0<br />
0<br />
10 1<br />
10 2<br />
10 3<br />
10 4<br />
Frequenz<br />
[ Hz]<br />
Differenzeingangswiderstand bezeichnet den Widerstand zwischen den beiden Differenzeingängen.<br />
10 5<br />
10 6<br />
Gleichtakteingangswiderstand ist der Widerstand, der von jedem der beiden Eingänge zur Masse<br />
hin vorhanden ist.<br />
Eingangsruhestrom ist der Strom, der in die Eingänge hinein oder aus den Eingängen heraus<br />
fließt, ohne eine Spannung (Null) an die Eingänge anzulegen.<br />
Offsetspannung bezeichnet die Spannung, die am Eingang als Spannungsdifferenz anliegen muss,<br />
um die Ausgangsspannung, welche von einer Asymmetrie innerhalb des Verstärkers herrührt,<br />
zu Null zu kompensieren.<br />
Offsetspannungsdrift ist die Änderung der Offsetspannung bei einer Änderung der Umgebungstemperatur.<br />
Betriebsspannungsdurchgriff bezeichnet die Auswirkung einer Variation der Versorgungsspannungen<br />
auf die Ausgangsspannung des OPV.<br />
Gleichtaktaussteuerbarkeit gibt den Eingangsspannungsbereich an, innerhalb dessen Spannungen<br />
gleichzeitig an die Eingänge gelegt werden können und der Ausgang noch eine korrekte<br />
Verstärkung der Eingangsspannungsdifferenz darstellt.<br />
Ausgangsaussteuerbarkeit bezeichnet die möglichen Ausgangsspannungen, die der OPV liefern<br />
kann.<br />
Maximaler Ausgangsstrom bezeichnet den maximalen Strom, der dem OPV entnommen werden<br />
kann. Die meisten OPVs besitzen eine Ausgangsstrombegrenzung, weshalb sie kurzschlussfest<br />
sind.<br />
Ausgangswiderstand charakterisiert den Widerstand des Ausgangs. Wird der Ausgangs als Spannungsquelle<br />
angesehen, ist der Ausgangswiderstand der Innenwiderstand der Spannungsquelle.<br />
103
Betriebsstromaufnahme gibt den Strom an, den der OPV der Spannungversorgung entnimmt,<br />
wenn keine Last am Ausgang des OPVs angeschlossen ist.<br />
Typische Werte zweier Standardoperationsverstärker mit Eingangsstufen, die aus<br />
bipolaren und Feldeffekttransistoren aufgebaut sind (Versorgungsspannung ±15V)<br />
Parameter Symbol µA741 (bipolar) TL081 (FET)<br />
Differenzverstärkung AD 10 × 5 2 × 10 5<br />
Gleichtaktunterdrückung G 3 × 10 4<br />
2 × 10 4<br />
3dB-Bandbreite (untere Grenzfrequenz) fgA 10Hz 30Hz<br />
Verstärkungs-Bandbreit-Produkt ft 1MHz 3MHz<br />
Differenzeingangswiderstand rD 10 6 Ω 10 12 Ω<br />
Gleichtakteingangswiderstand rGl 10 9 Ω 10 14 Ω<br />
Eingangsruhestrom IB 80nA 30pA<br />
Offsetspannung VO 1mV 5mV<br />
Offsetspannungsdrift ∆VO/ϑ 6µV/K 10µV/K<br />
Betriebsspannungsdurchgriff ∆VO/∆Vb 15µV/V 50µV/V<br />
Gleichtaktaussteuerbarkeit VGl,max 13V 14,5V ;-12V<br />
Ausgangsaussteuerbarkeit Va,max 13V 13V<br />
Maximaler Ausgangsstrom Ia,max 20mA 20mA<br />
Ausgangswiderstand ra 1kΩ 100Ω<br />
Betriebsstromaufnahme Ib 1,7mA 1,4mA<br />
A.2. Nicht-invertierender Verstärker<br />
Vin<br />
+<br />
-<br />
Die Verstärkung des nichtinvertierenden Operationsverstärkers kann dadurch hergeleitet werden,<br />
dass man wieder von einem idealen OP ausgeht. Sobald sich die kleinste Differenz zwischen invertierendem<br />
und nicht-invertierendem Eingang ergibt wird der Ausgang verändert. Ist die Spannung<br />
am nichtinvertierenden Eingang größer als die am nicht-invertierenden Eingang vergrößert sich due<br />
Ausgangsspannung. Da die Ausgangsspannng über den Spannungsteiler R1 und R2 auf den invertierenden<br />
Eingang Rückgekoppelt wird, beträgt die Spannung am nicht-invertierenden Eingang<br />
V− = R2/R1 + R2. Somit wird sich der Ausgang so lange Verändern, bis V− gleich der Spannung<br />
V+ = Vin ist. Somit ist also die Ausgangsspannung um den Faktor R1 + R2/R2 = 1 + R1/R2<br />
größer als die Eingangsspannung.<br />
A = Vout<br />
Vin<br />
R 1<br />
R 2<br />
= R1 + R2<br />
R2<br />
Vout<br />
= R2<br />
+ 1 (A.1)<br />
R1<br />
Rin = rD + R2 (A.2)<br />
Rout = ra (A.3)<br />
104
A.3. Invertierender Verstärker<br />
Vin<br />
R 1<br />
-<br />
+<br />
R 2<br />
Um die Verstärkung des invertierenden Operationsverstärkers herzuleiten, argumentiert man über<br />
den Strom der in den Eingang hineinfließt. Da die Spannung am invertierenden Eingang virtuell<br />
auf Masse liegt, ergibt sich <strong>für</strong> den Eingangsstrom Iin = Vin/R1. Derselbe Strom muss allerdings<br />
auch über den Rückkopplungswiderstand R2 weiter in Richtung Ausgang fließen. Der Ausgang<br />
nimmt eine negative Spannung ein, wenn die Eingangsspannung positiv ist, damit der Strom zum<br />
Ausgang abfließen kann und dennoch die Spannung V− Null bezogen auf die Masse ist. Umden<br />
Strom aber unter dieser Bedingung abfließen zu lassen muss der Ausgang VoutR2 = −VinR1 sein.<br />
Damit ergibt sich:<br />
A.4. Addierer<br />
Vin2<br />
Vin1<br />
A = Vout<br />
Vin<br />
= − R2<br />
R1<br />
Vout<br />
(A.4)<br />
Rin = R1 (A.5)<br />
Rout = ra (A.6)<br />
R 1<br />
R 2<br />
R N<br />
-<br />
+<br />
Für das Verständnis des Addierers betrachtet man sich die beiden Ströme die durch die beiden<br />
Widerstande am Eingang R1 und R2 in den Eingang hinein Fließen. Wie beim invertierenden<br />
Verstärker diskutiert muss die Summe der Ströme auch wieder über den Gegenkopplungswiderstand<br />
RN abfließen. Somit ergibt sich die Bedingung V1/R1 + V2/R2 = −Vout. Eswird deutlich, dass<br />
eine gewichtete Summe gebildet werden kann, wenn man die beiden Widerstände unterschiedlich<br />
wählt. Selbstverständlich können auch mehr als nur zwei Widerstände am Eingang liegen, um die<br />
die Summe über mehr Summanden zu bilden.<br />
−Vout = RN<br />
R1<br />
105<br />
V1 + RN<br />
V2<br />
R2<br />
Vout<br />
(A.7)
A.5. Subtrahierer<br />
VinN<br />
VinP<br />
R 1<br />
R 2<br />
-<br />
R N<br />
+ Vout<br />
R P<br />
Beim Subtrahierer Handelt es sich eigentlich um die Kombination eines invertierenden und eines<br />
nicht-invertierenden Verstärker, wobei der nich-tinvertierendeneinen Eingangsspannungsteiler<br />
aufweist. Das Arbeitsprintip lässt sich am einfachsten Verstehen, wenn man jeweils eine der Eingangsspannungen<br />
zu Null wählt. Wird VinP = 0 gesetzt hat man einen invertierenden Verstärker<br />
vorliegen, wobei die Verstärkung durch AN = −RN/R1 gegeben ist. Wird dagegen VinN = 0<br />
gewählt liegt stellt sich der Ausgang wieder so ein, so dass V− = V+ ergibt. Daraus folgt<br />
V− = VinP R2/(R2 + RP ) = VoutR1/(RN + R1) = V+ und damit ergibt sich <strong>für</strong> RN<br />
R1<br />
im Allgemeinen:<br />
A.6. Schmitt-Trigger<br />
Vout =<br />
= RP<br />
R2<br />
Vout = RN<br />
(VinP − VinN) (A.8)<br />
R1<br />
1 + RN/R1 RN<br />
VinP −<br />
1 + RP /R2 R1<br />
RP<br />
VinN<br />
R2<br />
(A.9)<br />
Ein Schmitt-Trigger dient zur Umsetzung eines beliebigen analogen Signals in ein Signal mit zwei<br />
Niveaus (in ein digitales Signal). So lässt sich z.B. ein Triggersignal erzeugen, das zum exakten<br />
Bestimmung eines Zeitpunkts genutzt werden kann. Somit können Zeitabstände <strong>für</strong> bestimmte<br />
Ereignisse bestimmt werden. Durch ein Mitteln eines repetierlichen Signals kann er genutzt werden,<br />
in dem diese phasensynchron überlagerung werden, um eine Rauschreduktion durchzuführen.<br />
Vin<br />
R 1<br />
+<br />
-<br />
R 2<br />
Vout<br />
106<br />
Vout,max<br />
Vout<br />
Vout,min<br />
Vin
Die Hysterese, welche die Ausgangskennlinie aufweist und die durch die Beschaltung eingestellt<br />
werden kann, verhindert bei einem endlichen Rauschpegel, der geringer als die Differenz der beiden<br />
Schaltschwellen ist, dass sofort nach einem Hin- ein Rückschaltprozess stattfindet.<br />
A.7. Differentiator<br />
Vinon = − R1<br />
R2 Vout,min; Vinoff = − R1<br />
R2 Vout,max<br />
Vin<br />
C<br />
-<br />
+<br />
R<br />
Vout<br />
(A.10)<br />
Auch hier geht man beim idealen OP davon aus, dass kein Strom in den invertierenden Eingang<br />
fließt. Somit muss der Strom Iin durch den Kondensator am Eingang ebenfalls vollständig durch<br />
den Rückkopplungswiderstand abfließen. Somit ergibt sich:<br />
C dVin<br />
dt<br />
+ Vout<br />
R<br />
Durch Umstellen resultiert <strong>für</strong> die Ausgangsspannung<br />
= 0. (A.11)<br />
Vout = −RC dVin<br />
. (A.12)<br />
dt<br />
Die Verstärkung kann analog zum invertierenden Verstärker angesetzt werden. Wobei die Impedanz<br />
des ” Eingangswiderstands“, dem Kondensator, Z = 1/iωC beträgt<br />
|A| = −iωRC (A.13)<br />
Bei hohen Fraquenzen<br />
f ≫ 1<br />
(A.14)<br />
2πRC<br />
ist die Amplitude annähernd frequenzunabhängig und proportional zu der Ableitung der Eingangsspannung.<br />
A.8. Integrator<br />
Vin<br />
R<br />
C<br />
-<br />
+<br />
107<br />
Vout
Der Eingangsstrom Iin kann hier nur auf den Kondensator fließen. Auch hier wird der Ausgang<br />
so lange abgesenkt, dass wiederum der invertierende Eingang auf virtueller Masse liegt. Somit ist<br />
die Ausgangsspannung die negative Kondensatorspannung<br />
VC = Q<br />
C<br />
= 1<br />
C<br />
�� t<br />
Iin(t<br />
0<br />
′ )dt ′ + V0<br />
Da Iin = Vin/R ist, ergibt sich <strong>für</strong> die Ausgangsspannung<br />
Vout = − 1<br />
RC<br />
�<br />
. (A.15)<br />
� t<br />
Vin(t<br />
0<br />
′ )dt ′ + V0. (A.16)<br />
Die Verstärkung kann analog zum invertierenden Verstärker angesetzt werden. Wobei die Impedanz<br />
des ” Eingangswiderstands“, dem Kondensator, Z = 1/iωC beträgt<br />
|A| =<br />
1<br />
−iωRC<br />
(A.17)<br />
Bei niedrigen Fraquenzen<br />
f ≪ 1<br />
(A.18)<br />
2πRC<br />
ist die Amplitude annähernd frequenzunabhängig und proportional zum Integral der Eingangsspannung.<br />
A.9. Logarithmischer Verstärker<br />
Vin<br />
R<br />
D<br />
-<br />
+<br />
Hierbei handelt es sich um eine Abwandlung des invertierenden Verstärkers bei dem der Gegenkopplungswiderstand<br />
durch eine Diode ersetzt wurde. Auch hier wird der Eingangsstrom durch<br />
die Rückkopplungsdiode abgeleitet. Damit muss der Ausgang eine Spannung annehmen um den<br />
entsprechenden Strom durch die Diode zu treiben. Es gilt aber nicht das ohmsche Gesetz <strong>für</strong> den<br />
Zusammenhang zwischen Strom und Spannung sondern die Diodenkennlinie:<br />
�<br />
ID(VD) = IO e qVD kB T −1<br />
�<br />
(A.19)<br />
Damit hängt natürlich die Spannung und somit auch die Ausgangsspannung des logarithmischen<br />
Verstärkers über die Umkehrfunktion vom Eingangsstrom ab:<br />
Vout = − kBT<br />
� �<br />
Vin<br />
ln<br />
(A.20)<br />
q I0R<br />
Für Vin > 0, kB ist die Boltzmannkonstante, q die Elementarladung und T die Temperatur ( kBT<br />
q ≈<br />
20mV).<br />
108<br />
Vout
A.10. Instrumentenverstärker<br />
VinN<br />
VinP<br />
+<br />
-<br />
-<br />
+<br />
R 2<br />
R 1<br />
R 2<br />
R 3<br />
R 3<br />
R 3<br />
-<br />
+ Vout<br />
Ein Instrumentenverstärker besitzt einen hohen Eingangswiderstand (Rin ≈ rD) und die Ausgangsspannung<br />
ist sehr präzise proportional zur Differenz der Eingangsspannungen :<br />
�<br />
�<br />
1<br />
Vout = (VInP − VInN) 1 + 2<br />
(A.21)<br />
2πRC<br />
Er wird <strong>für</strong> Messaufgaben eingesetzt, bei denen es auf einen hohen Eingangswiderstand und präzise<br />
Verstärkung ankommt.<br />
A.11. Impedanzinverter (negative impedance converter — NIC)<br />
V in<br />
I in<br />
R 1<br />
+<br />
-<br />
Hier gilt wieder, dass die beiden EingangsspannungenV− und V+ gleich sein müssen. Damit ergibt<br />
sich:<br />
Vin = I1R1 = I2R1 → I2 = Vin<br />
(A.22)<br />
I1 = I2da kein Strom in den invertierenden Eingang fließt. Da ebenfalls kein Strom in den nichtinvertierenden<br />
Eingang fließt gilt:<br />
setzt man GL. A.22 <strong>für</strong> I2 ein und formt sie um, ergibt sich<br />
R 3<br />
R 2<br />
R 3<br />
R1<br />
(R1 + R2)I2 + R3Iin − Vin = 0 (A.23)<br />
R1<br />
Vin = −IinR3<br />
R2<br />
109<br />
. (A.24)
Für den Eingangswiderstand ergibt sich so:<br />
Vin<br />
Iin<br />
R1<br />
= Rin = −R3<br />
R2<br />
(A.25)<br />
Von außen gesehen liegt hier ein negativer ohmscher Widerstand −R1 vor. Prinzipiell lassen sich<br />
auch negative Induktivitäten und Kapatizitäten bilden indem man einen entsprechende Spule oder<br />
Kondensator Anstelle des Widerstandes R1 setzt. Eingesetzt wird ein NIC z.B. als Energiequelle<br />
in Schwingkreisen. Es lassen sich auch die immer vorhandenen ohmschen Lasten durch Parallelschaltung<br />
eines veränderlichen NICs kompensieren.<br />
110
B. Analog/Digital-Wandler und<br />
Digital/Analog-Wandler<br />
B.1. Wandlungsfehler<br />
Nullpunktfehler(Offset-Fehler) Diese Art von Fehler bezeichnet die Abweichung der Ausgangsspannung<br />
vom Wert Null im Falle, dass der digitale Wert Null gewandelt wird.<br />
Skalierungsfehler Der Skalierungsfehler bezeichnet die Abweichung des tatsächlich überstrichenen<br />
Ausgabebereichs der analogen Spannungen gegenüber dem angegebenen Ausgangsspannungsbereich.<br />
Linearitätsfehler Dieser Fehler bezeichnet die Abweichung der <strong>für</strong> jeden einzelnen Wert ausgegebenen<br />
Spannung von der Geraden durch die beiden Endpunkte, welche durch den größten<br />
und kleinsten gewandelten Wert gebildet wird.<br />
Monotoniefehler Diese gibt an ob und in welchem Maße die Monotonität des Ausgangssignals<br />
bei ansteigendem digitalen Werten gestört ist.<br />
reale Wandlungskurve<br />
Linearitätsfehler<br />
B.2. Digital/Analog-Wandler<br />
Monotoniefehler<br />
Offset-Fehler<br />
Ideale Wandlungskurve<br />
Skalierungsfehler<br />
Es soll eine kurzer Überblick über die unterschiedlichen Methoden gegeben werden, wie eine<br />
digital vorliegende Zahl, meist in einem der verschiedenen Binärcodes, in eine mehr oder weniger<br />
kontinuierliche Spannung gewandelt werden kann.<br />
B.2.1. Stromwägeverfahren<br />
Hierbei werden mit Hilfe einer Präzisionsspannungsquelle über Widerstände Ströme auf einen<br />
Addierer (vgl. A.4 auf Seite 105) gegeben, der die binär abgestuften Ströme aufaddiert.<br />
111
Probleme:<br />
Vref<br />
R 0<br />
R 1<br />
R 2<br />
Binärwerte<br />
R 3<br />
R i=2 i R 0<br />
Genauigkeit der Widerstände Bei einem 8-Bit-Wandler werden Widerstände mit einer Genauigkeit<br />
von 1/256 also ca. 0,4%, bei 12-Bit-Wandlern 1/4096 ca. 0,024% und bei 16-Bit-<br />
Wandler 1/65567 ca. 0,0015% benötigt. Dies ist technisch nur äußerst schwierig zu realisieren.<br />
Werte der Widerstände Die Werte der Widerstände weisen eine sehr große Spanne auf. Zum<br />
Beispiel werden <strong>für</strong> einen 16-bit Wandler Werte über fünf Größenordnungen benötigt, was<br />
bei der Halbleiterfertigung in der Integration große Probleme mit sich bringt.<br />
B.2.2. R-2R-Wandler<br />
Auch hier werden mit Hilfe einer Präzisionsspannungsquelle über Widerstände Ströme auf einen<br />
Addierer (vgl. A.4 auf Seite 105) gegeben, allerdings wird hier eine günstigere Anordnung der<br />
Widerstände gewählt. Daraus resultiert ein entscheidender Vorteil: Für diesen Typ besitzen die<br />
verwendeten Widerstände nicht so einen großen Wertebereich wie bei dem vorher besprochenen<br />
DA-Wandler nach dem Stromwägeverfahren.<br />
Vref<br />
R 25<br />
R 14<br />
R 24<br />
R 13<br />
Binärwerte<br />
R 23<br />
R 12<br />
R N<br />
-<br />
+<br />
R 22<br />
-<br />
+<br />
R 21<br />
R 11<br />
Vout<br />
R 2X=2R1X<br />
Vorteil: Die Widerständen weisen nur einen Unterschied um einen Faktor 2 auf, dadurch ist dieses<br />
Design kompatibel zu einer Integration in einem Standardprozess.<br />
B.2.3. Pulslängenmodulation<br />
Die vorhergenannten Wandler haben einige entscheidende Probleme<br />
• Beim Umschalten des höchstwertigen Bits (MSB most significant bit) können große Störsignale<br />
entstehen. Je höher die Auflösung desto schwieriger ist dieses Problem in den Griff zu<br />
bekommen.<br />
112<br />
Vout
• Die Linearität macht mit steigender Auflösung Schwierigkeiten.<br />
• Die Kosten steigen deutlich überproportional mit der Auflösung<br />
Die Probleme können umgangen werden, wenn das Ausgangssignal zwischen zwei Werten hin- und<br />
herschaltet, dabei die Pulslänge moduliert wird und anschließend das Signal gemittelt wird.<br />
V<br />
Probleme<br />
Bei starken Pulslängenunterschieden ergeben sich Probleme bei der Genauigkeit der Pulslängen,<br />
da die Bandbreite über einen weiten Bereich definiert sein muss. Außerdem ergeben sich Schwierigkeiten<br />
beim Filtern; es können niederfrequente Störungen auftreten.<br />
B.2.4. 1-bit Wandler<br />
Bei diesem Verfahren wird die Abtastfrequenz um Datenbitbreite vervielfacht und dann auf einen<br />
Pulsdichtemodulator gegeben und anschließend integriert. Somit werden die einzelnen Bits sukzessive<br />
ausgegeben, wobei der Pulsdichtenmodulator garantiert, dass eine bestimmte untere Frequenz<br />
nicht unterschritten wird. Es ergibt sich <strong>für</strong> die Auflösung bei einer Oversamplingrate r:<br />
nAufl. = log 2(r). (B.1)<br />
Prinzip des Oversamplings:<br />
Die Auflösung des DA-Wandlers kann dadurch gesteigert werde, dass man Werte zwischen den<br />
Digitalisierungsstufen mit Hilfe einer statistischen Gewichtung annähert, dabei wird entsprechend<br />
dem Zahlenwert die Wahrscheinlichkeit der höher- oder niedrigerwertigen Ausgabe gewichtet.<br />
Durch Mittelung der ” verrauschten“ Ausgabe ergeben sich dann die Zwischenwerte. Zur Illustration<br />
wir das Signal eines 3-Bit DA-Wandlers mit Hilfe eines 2-Bit DA-Wandlers mit zusätzlichem<br />
Rauschen und einem nachgeschalteten Integrator nachgebildet.<br />
8<br />
7<br />
6<br />
5<br />
4<br />
3<br />
2<br />
1<br />
0<br />
Ausgabe eines 3-Bit Wandlers<br />
12345678910111213141516<br />
Zeit<br />
Ausgabe eines 2-Bit Wandlers<br />
mit Dithering<br />
8<br />
7<br />
6<br />
5<br />
4<br />
3<br />
2<br />
1<br />
0<br />
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10111213141516<br />
Nach einer Tiefpassfilterung entsteht aus der Ausgabe des 2-Bit Wandlers, der verrauscht wurde<br />
(Dithering) wieder eine gute Reproduktion des 3-Bit Signals.<br />
113<br />
Zeit<br />
t
B.2.5. MASH-Verfahren<br />
Ausgabe eines 2-Bit Wandlers mit<br />
Dithering und Tiefpassfilterung<br />
8<br />
7<br />
6<br />
5<br />
4<br />
3<br />
2<br />
1<br />
0<br />
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10111213141516<br />
Zeit<br />
MASH steht <strong>für</strong> Multi-Stage noise SHaping. Bei diesem Verfahren handelt es sich um ein Pulsweitenmodulationsverfahren,<br />
bei dem die Pulsweite von einem k-Bit Wandler angesteuert wird. Da<br />
k klein ist, gibt es noch keine Probleme mit der Genauigkeit. Andererseits können hier schon 2k<br />
verschiedene Pulsweiten dargestellt werden. Somit ergibt sich <strong>für</strong> die Auflösung eines derartigen<br />
Wandlers:<br />
nAufl. = kW andler + moversampling. (B.2)<br />
Beispiel:<br />
Bei einem Pulsweitenmodulator mit 4-Bit, der bei einer Frequenz von 45,1MHz arbeitet (1024faches<br />
Oversampling), ergeben sich bei 44,1kHz eine Auflösung von 14Bit und bei 5kHz ergeben<br />
sich 17Bit.<br />
B.3. Analog/Digital-Wandler<br />
Auch hier besteht die Hauptschwierigkeit, einen guten Kompromiss zwischen Geschwindigkeit,<br />
Präzision und technischem Aufwand (Kosten) zu finden.<br />
B.3.1. Parallelwandler (Flash-Converter)<br />
Vref<br />
Vin<br />
1/2R<br />
R<br />
R<br />
R<br />
R<br />
R<br />
R<br />
1/2R<br />
+<br />
-<br />
+<br />
-<br />
+<br />
-<br />
+<br />
-<br />
+<br />
-<br />
+<br />
-<br />
+<br />
-<br />
7<br />
6<br />
5<br />
Prioritätskodierer<br />
4<br />
3<br />
2<br />
1<br />
0<br />
114<br />
3-Bit<br />
Binärwert
Bei diesem Verfahren wird die Eingangsspannung mit Werten, die durch Spannungsteilung aus<br />
einer präzisen Referenzspannung gewonnen werden, mit Hilfe von Komparatoren verglichen. Dabei<br />
geben die Komparatoren deren Vergleichspannung kleiner ist als die Eingangsspannung eine logische<br />
Eins am Ausgang aus. Die Eingänge des Prioritätskodierers invertieren das Signal bestimmen<br />
daraus den zugehörigen Binärwert, indem der hochwertigste Eingang der gerade eine logische Eins<br />
zeigt binär codiert wird.<br />
Logiktafel <strong>für</strong> einen Prioritätskodierer<br />
Eingangsspannung Komparatorzustände Dualzahl Dezimal<br />
Vin/VLSB k7 k6 k5 k4 k3 k2 k1 z3 z2 z1 Z<br />
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0<br />
1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1<br />
2 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 2<br />
3 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 3<br />
4 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 4<br />
5 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1 5<br />
6 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 6<br />
7 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 7<br />
B.3.2. Kaskadenumsetzer<br />
Vin<br />
Vref<br />
Abtast/Halte-<br />
Glied<br />
5-Bit<br />
ADU<br />
parallel<br />
z9 z8 z7 z6 z5<br />
Beim Kaskadenumsetzer werden zwei Parallelwandler eingesetzt, wobei die Summe der Auflösungen<br />
dann die Gesamtauflösung bestimmt. Es wird der erste ADC (analog/digital converter) zur<br />
Wandlung der höherwertigen N1-Bits eingesetzt. Der gewandelte Wert wird mit Hilfe eines DACs<br />
(digital/analog converter) zurückgewandelt und vom Eingangssignal abgezogen. Dabei ist es wichtig,<br />
dass das Eingangssignal analog in einem Abtast/Halteglied (sample and hold stage) zwischengespeichert<br />
wird. Die um den Faktor 2 N1 , N1 bezeichnet die Auflösung des ersten ADCs, verstärkte<br />
Differenz wird nun wiederum einem ADC zugeführt, um die niederwertigeren N2-Bits zu wandeln.<br />
Die Auflösung Nges ergibt sich:<br />
Nges = N1 + N2. (B.3)<br />
5-Bit<br />
DAU<br />
+<br />
+<br />
- x32<br />
5-Bit<br />
ADU<br />
parallel<br />
z4 z3 z2 z1 z0<br />
Vorteile: Es werden nur (2 N1 + 2 N2 ) Komparatoren und nicht 2(N1 + N2) benötigt.<br />
Beispiel: Bei N1=5 und N2=5 werden nur 64 Komparatoren benötigt anstelle von 1024.<br />
Probleme<br />
• Durch eine schlechte Linearität des ersten ADCs kann es dazu kommen, dass der zweite ADC<br />
übersteuert wird, was zu fehlenden Werten (missing codes) führen kann. Diesem Problem<br />
kann dadurch begegnet werden, dass der zweite ADC mit einem erweiterten Auflösungsbereich,<br />
einem zusätzlichen Bit, ausgestattet wird und die Differenz nur um den Faktor<br />
115
2(N1-1) verstärkt wird. Es ergibt sich eine Redundanz im mittleren Bereich, die auf digitaler<br />
Seite korrigiert wird.<br />
B.3.3. Nachlaufverfahren/Zählverahren<br />
Vin<br />
Abtast/Halte-<br />
Glied<br />
Komparator<br />
+<br />
auf/ab<br />
-<br />
N-Bit DAC N-Bit<br />
Bus<br />
Vref<br />
N-Bit Aufwärts/<br />
Abwärts Zähler<br />
zN-1 z~ z2 z1 z0<br />
Der in dem Abtast/Halteglied (SHS Sample and Hold Stage) gespeicherte Wert wird durch den<br />
Komparator mit einem Wert aus einem DAC verglichen. Der Ausgang des Komparators entscheidet<br />
ob der Zähler aufwärts oder abwärts zählt. Ist der Zählerstand zu hoch so liefert der DAC eine zu<br />
hohe Ausgangsspannung und der Komparatorausgang wird logisch Null weshalb der Zähler nun<br />
abwärts zählt bis der Zählerstand einen zu kleinen Wert repräsentiert, dann wird wieder aufwärts<br />
gezählt.<br />
Vorteile:<br />
• Diese Art von Wandler sind schnell.<br />
• Es ist keine aufwändige Steuerlogik notwendig wie bei dem im nächsten Abschnitt beschriebenen<br />
Wandler.<br />
Probleme:<br />
• Der Wandler kommt bei erreichen der zu wandelnden Wertes nicht zur Ruhe, sondern<br />
schwankt immer um das LSB.<br />
• Es wird ein DAC mit überall monotoner Charakteristik benötigt sonst wird er an dieser<br />
nichtmonotonen Stelle ” eingefangen“.<br />
• Der Wandler braucht im Extremfall bis zu 2NTTakt um einen Wert zu wandeln. Er ist also<br />
bei Sprüngen des Eingangssignals nicht in der Lage, diesen schnell zu folgen.<br />
B.3.4. Wägeverfahren (successive approximation register)<br />
Vin<br />
Abtast/Halte-<br />
Glied<br />
Komparator<br />
+<br />
-<br />
N-Bit DAC N-Bit<br />
Bus<br />
Vref<br />
zN-1 z~ z2 z1 z0<br />
Takt<br />
N-Bit Sukzessives-<br />
Approximations-<br />
Register<br />
Der Wandler ist dem im vorherigen Abschnitt sehr ähnlich, allerdings ist der Auf-/Abwärtszähler<br />
durch eine Steuerlogik ersetzt. Dabei wird eine Art Intervallschachtelung durchgeführt um den<br />
zu wandelnden Wert anzunähern. Dabei wird sukzessive ein Bit nach dem anderen, beginnend<br />
116
mit dem MSB, gesetzt und geprüft. Wenn der Wert aus dem SHS kleiner ist als der durch den<br />
DAC gewandelten Wert wird das Bit wieder zurückgesetzt. Im anderen Fall bleibt es gesetzt.<br />
Anschließend wird das nächste Bit geprüft.<br />
Vorteil<br />
• Der Verfahren ist schneller als das Nachfolgeverfahren.<br />
B.3.5. Sägezahnverfahren (single slope integration)<br />
Vin<br />
+<br />
-<br />
Komparatoren<br />
+<br />
-<br />
Sägezahngenerator<br />
Vref<br />
&<br />
&<br />
Quarz-<br />
Oszillator<br />
Zähler<br />
zN-1 z~ z2 z1 z0<br />
Bei diesem Wandler handelt es sich um eine Spannung/Zeit-Umsetzung, wobei die Zeit mit<br />
einem Zähler, der von einem Quarzoszillator gespeist wird, bestimmt wird. Ein Sägezahngenerator<br />
liefert einen genau definierten Spannungsanstieg. Bei einem Wert der Sägezahnspannung,<br />
die durch den unteren Komparator definiert wird, beginnt der Zähler loszulaufen. Erreicht die<br />
Sägezahnspannung die Eingangsspannung, wird der Zähler gestoppt. Je höher die Eingangsspannung,<br />
desto länger läuft der Zähler. Die beiden Komparatoren bilden in Verbindung mit dem<br />
ersten UND-Gatter einen Fensterdiskriminator. Der Ausgang des Fensterdiskriminators, der EINS<br />
ist, wenn die Sägezahnspannung zwischen Masse und Eingangsspannung ist, wird in dem zweiten<br />
UND-Gatter mit dem Takt eines Quarzoszillators verknüpft und dann auf den Zählereingang gegeben.<br />
Es kommen somit nur Taktpulse auf den Zähler, wenn die Sägezahnspannung innerhalb<br />
des Fensters liegt.<br />
Vorteile<br />
• Es wird kein DAC und SHS benötigt.<br />
Probleme<br />
• Der Sägezahngenerator muss extrem präzise arbeiten. Das schließt auch eine sehr präzise<br />
Referenzspannung ein. Die Sägezahnspannung wird aus einem Integrator gewonnen, der mit<br />
einer Kapazität aufgebaut ist. In die Genauigkeit geht der Wert der Kapazität linear ein.<br />
Dieser weist allerdings starke Alterungseffekte auf, wodurch es sehr schwierig ist, eine höhere<br />
Genauigkeit als 0,1<br />
• Der Quarzoszillator muss sehr präzise arbeiten.<br />
B.3.6. Dual-Slope-Verfahren (dual-slope integration)<br />
Die Nachteile des Sägezahnverfahrens werden bei diesem Verfahren weitestgehend umgangen,<br />
weshalb es das vorherige vollständig abgelöst hat.<br />
117
Vin<br />
S1<br />
Vref<br />
S2<br />
+<br />
R<br />
-<br />
+<br />
S3<br />
Integrator<br />
Vint t1 t2<br />
C<br />
+<br />
-<br />
Komparator<br />
Integration von Vin Integration von Vref<br />
t2<br />
&<br />
Schalter<br />
Steuerung<br />
Zähler<br />
zN-1 z~ z2 z1 z0<br />
Das Wandlungsverfahren besteht aus zwei Phasen. Das Verfahren ist im Bild oben illustriert.<br />
In der ersten Phase wird das Eingangssignal mit Hilfe des Integrators über eine konstante Zeit t1<br />
aufintegriert (S1 geschlossen, S2 und S3 geöffnet). Die Ausgangsspannung Vint des Integrators<br />
wird dabei negativ und der Betrag ist proportional zur Eingangsspannung. Dabei wird die Zeit<br />
durch eine bestimmte Anzahl von Pulsen aus einem Pulsgenerator bestimmt.<br />
Vint(t1) = 1<br />
τ<br />
� 2<br />
0<br />
Vindt = − Vin<br />
τ (Zmax + 1)T. (B.4)<br />
Anschließend wird in der zweiten Phase über einen Schalter S1 der Eingang abgekoppelt und über<br />
einen zweiten Schalter S2 die Referenzspannung Vref, welche zur Eingangsspannung invertiert<br />
ist, auf den Eingang des Integrators gelegt (S3 geöffnet). Nun wird die Referenzspannung so<br />
lange integriert bis die Ausgangsspannung des Integrators Null ist, was mit dem Komparator<br />
festgestellt wird. Die Zeitspanne t2 die <strong>für</strong> diese zweite Integrationsphase benötigt wird mit Hilfe<br />
des Pulsgenerators und einem Zähler bestimmt.<br />
t2 = Z · T = τ<br />
Vref<br />
t<br />
|Vint(t1)|. (B.5)<br />
Die Zeit t2 ist proportional zur Eingangsspannung und somit wird der Zählerstand als gewandelter<br />
Wert ausgegeben.<br />
Z = (Zmax + 1) Vin<br />
Vref<br />
(B.6)<br />
Parameter, die im vorherigen Verfahren noch kritisch in das Wandlungsergebnis eingegangen sind,<br />
wie z.B. die Frequenz des Pulsgenerator und die <strong>für</strong> die Integration verwendete Kapazität, kürzen<br />
sich in der Abhängigkeit des Wandlungsergebnisses bei diesem Verfahren heraus. Das bedeutet die<br />
Genauigkeiten der Kapazität und des Pulsgenerators spielen keine Rolle. Damit ist dieses Verfahren<br />
grundsätzlich mit höherer Präzision zu realisieren.<br />
Eigenschaften<br />
118
• Ergebnis nicht vom Takt abhängig<br />
• Ergebnis nicht von τ = RC ab<br />
• Wenig anfällig gegen Störspannung. Alle Frequenzen 1/t1 mit ihren Vielfachen werden unterdrückt.<br />
• Referenzspannungsquelle muss die geforderte Präzision haben<br />
• Integrationskondensator sollte keine Spannungshysterese und nur geringe Leckströme aufweisen<br />
(als Dielektrikum z.B. Polystyrol).<br />
• Wandler ist billig herzustellen<br />
Einsatz<br />
Das Verfahren wird in den meisten Multimetern (Hand- und Labormultimetern) mit einer Auflösung<br />
von 3,5 bis 7,5 Dezimalstellen eingesetzt.<br />
B.3.7. Sigma-Delta-Verfahren<br />
(Literatur [7,8])<br />
Vin<br />
negativ<br />
FET-Schalter<br />
R<br />
I ref<br />
-<br />
+<br />
C<br />
Integrator<br />
Komparator<br />
+<br />
-<br />
D Q<br />
C Q<br />
&<br />
zN-1 z~ z2 z1 z0<br />
D-Register<br />
R Zähler 2<br />
Bei dem Σ∆-Verfahren handelt es sich um ein integrierendes Verfahren, bei dem die Eingangsspannung<br />
mit einem Strom aus einer Referenzstromquelle ausbalanciert wird. Der Strom von der<br />
Eingangsspannung wird mit dem Strom aus der Referenzstromquelle addiert und auf einen Integrator<br />
gegeben. Der Komparator vergleicht den Ausgang mit einem Bezugspunkt, welcher hier<br />
Masse ist. Der Ausgang des Komparators wird auf ein D-Flipflop gegeben, welches den Zustand<br />
des Eingangs zwischenspeichert bis ein neuer Taktzyklus beginnt, welcher vom Taktgenerator abgeleitet<br />
wird. Steht an dem Ausgang des D-Flipflops eine logische Eins, so wird der Takt auch<br />
auf den Zähler 2 gegeben, der die Pulsdauer des Komparators ausmisst. Der Zähler 1, welcher<br />
permanent mit den Taktpulsen versorgt wird steuert den Ablauf indem er Zähler 2 rücksetzt und<br />
den Wert des Zählers in dem Ausgangsregister, ein D-Register, zwischenspeichert.<br />
Eigenschaften<br />
Zähler 1<br />
• Kein Aliasing bei der Umwandlung, da nicht abgetastet wird, außer bei zu niedriger Wahl<br />
der Abtastfrequenz<br />
• Prinzipbedingt gibt es keine fehlenden Codes<br />
119
• Wandlerverhalte ist absolut monoton und linear<br />
• Unempfindlich gegen steile Flanken, gegen Rauschen und gegen hochfrequente Störungen<br />
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Literaturverzeichnis<br />
[1] Hans-Rolf Tränkler, Ernst Obermeier: Sensortechnik, (Springer, Berlin,1998) ISBN:<br />
3540586407<br />
[2] Johannes Niebuhr, Gerhard Lindner: <strong><strong>Physik</strong>alische</strong> Meßtechnik mit Sensoren (Oldenbourg,2001)<br />
ISBN: 3486270079<br />
[3] Ed.: Joseph F. Keithley: Low Level Measurements Handbook (Keithley Instruments<br />
Inc.,1998)<br />
[4] Othmar Marti und Alfred Plettl: Vorlesungsskrip <strong><strong>Physik</strong>alische</strong> Elektronik und <strong>Messtechnik</strong>,<br />
(Universität Ulm, Ulm, 2004).<br />
http://wwwex.physik.uni-ulm.de/lehre/<strong><strong>Physik</strong>alische</strong>Elektronik/Phys Elektr/Phys Elektr.pdf<br />
[5] Paul Horowitz and Winfield Hill: The Art of Electronics, second edition (Cambridge University<br />
Press, Cambriddge, 1999) ISBN 0-521-37095-7.<br />
[6] Ulrich Tietze und Christoph Schenk: Halbleiter-Schaltungstechnik, achte Auflage (Springer-<br />
Verlag, Berlin, 1986) ISBN 3-540-16720.<br />
[7] Ralf Kories und Heinz Schmidt-Walter: Taschenbuch der Elektronik (Verlag Harry Deutsch,<br />
Frankfurt, 2000) ISBN 3-8171-1626-8.<br />
[8] PSpice 9.1 Studentenversion herunterzuladen unter:<br />
http://www.orcad.com/Product/Simulation/PSpice/download.asp<br />
[9] Beschreibung eines Sigma/Delta-Wandlers des Halbleiterherstellers Analog Device:<br />
http://www.analog.com/support/standard linear/seminar material/practical design techniques/Section3.pdf<br />
[10] Beschreibung eines Sigma/Delta-Wandlers von Jim Thompson:<br />
http://www.ee.washington.edu/conselec/CE/kuhn/onebit/primer.htm<br />
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