Formale Sprachen und Automaten - IMS - Universität Stuttgart

3.4 Formale Eigenschaften kontextfreier Sprachen
3.4.1 Periodizitätseigenschaften
Theorem 10 (Pumping-Theorem für kontextfreie Sprachen). Sei G eine kontextfreie Grammatik.
Dann gibt es eine Zahl K sodaß für jedes Wort w ¢ L� G� wo w �� K gilt:
Es gibt Worte u¤ v¤ x¤ y¤ z ¢ Σ¡ sodaß
1. w � uvxyz,
2. mindestens eines von v oder y ist nicht ε,
3. für alle n � 0: uv n xy n z ¢ L� G� .
Beweis. Sei ��� V¤ Σ¤ R¤ S� G . Es genügt, zu zeigen, daß es ein K gibt sodaß jedes Wort ¢ L� G� w mit
��
w K eine Ableitung � S ¡G � ¡ uAz G � ¡ uvAyz G uvxyz hat, u¤ v¤ x¤ y¤ wo ¢ Σ¡ z , ¢ A � V Σ, und � � v ε
ε. Weil dann kann die Ableitung A ��¡ G vAy beliebig oft wiederholt werden und das Wort
�
oder � y
uvnxynz wird generiert.
α wo � A � α��¢ R ¨ . Dann hat ein Ableitungsbaum der Höhe m höchstens p m Blätter.
Sei � max£ p
Umgekehrt, ein Ableitungsbaum mit einem Ertrag mit Länge �
p m hat einen Pfad mit Länge � m.
Sei m V Σ , � K pm ��
, w ein Wort mit w K. Sei T ein Ableitungsbaum mit Wurzel S und Ertrag w.
� �
Dann hat T mindestens einen Pfad mit � mehr als V Σ �� 1 Knoten und daher mindestens einen Pfad,
der zwei Knoten mit ¢�� demselben � Σ� Nichtterminalsymbol A V hat. Zu jedem solchen Pfad gibt es
einen Teilbaum mit Wurzel A und Ertrag v¤ vAy ¢ Σ¡ für y . Nun können v und y zwar leer sein, und
T�
der Teilbaum kann entfernt werden. Dies ist jedoch nicht für jeden Pfad mit Länge T� � m möglich,
weil es sonst einen Baum mit Höhe � m mit w als Ertrag gäbe. Dies steht jedoch im �� Widerspruch � zu
w K pm , wonach es einen Pfad mit Länge m � geben muß.
Beispiel: L ��£ a n b n c n n � 0 ¨
ist nicht kontextfrei.
Beweis. Angenommen, L wird von einer kontextfreien Grammatik G generiert. Sei K wie
in Theorem 3.4.1 und n � 3. Dann ist a K� nbncn �� K.
Für � w uvxyz wobei � � v ε oder � � y ε, gibt es zwei Möglichkeiten:
Entweder enthält v oder y oder beide zwei Symbole £ a¤ b¤ aus c ¨ . Dann kommt aber in
uv2xy2z mindestens ein b vor einem a vor, oder ein c vor einem b, also � ¢ L� G� w .
Oder v oder y oder beide bestehen nur aus as, bs oder cs. Dann hat uv2xy2z eine ungleiche
Anzahl von as, bs und cs, also � ¢ L� G� w .
3.4.2 Abschlußeigenschaften
Theorem 11. Die kontextfreien Sprachen sind abgeschlossen unter
1. Vereinigung,
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