Optimierung der Durchforstung - FWL

Allgemeines 

Produktion 

Spezielle forstliche Produktions Produktions-Fragestellungen Fragestellungen (Teil 1) 

Baumartenwahl 

Umtriebszeit, Endnutzungszeitpunkt, Zieldurchmesser 

Durchforstungen (Stärke (Stärke, Zeitpunkt Zeitpunkt, Zyklus) 

Mischung, Astung, Düngung, Wilddichte 

Sortierung 

Intensitätsdiskussion in der Forstwirtschaft (Anpassung betr. Kapazitäten) 

Kapazitätseinsatz (LP-Modell für mehrere Kapazitäten und Maßnahmen) 

Allgemeine g (holz-)industrielle ( ) Produktions-Fragestellungen g g (Teil ( 2) ) 

Losgrößenoptimierung 

Optimierung der Reihenfolge der Bearbeitung von Losen 

Optimale Mischungen 

Optimaler Maschineneinsatz bei veränderter Auslastung 

Optimale Maschinengeschwindigkeit 

Optimierung von Wartungsintervallen, Werkzeugwechsel etc. 

Optimaler Kapazitätseinsatz (Maschinenbelegung) 

Prof. Dr. Martin Moog Technische Universität München 1

Optimierung der Durchforstung 

WWegen der d oft ft nur schwer h quantifizierbaren 

tifi i b 

Wirkung der Durchforstung auf den 

verbleibenden Bestand sind 

Optimierungsüberlegungen nicht trivial. Vor 

allem die folgenden Aspekte können einzeln 

oder in Kombination betrachtet werden: 

• Optimierung der Durchforstungsart 

• Optimierung der Durchforstungsstärke 

• Optimierung des Durchforstungszyklus 

bzw. Durchforstungszeitpunktes 


Durchforstungsstärke 

Optimierung von Durchforstungen 

Optimierung 

von 

Durchforstungen 

Partialmodelle Totalmodell 

Durchforstungszeitpunkt 

bzw. 

-zyklus 

Durchforstungsart 

gleichzeitig 

Durchforstungszyklus 

Durchforstungsart 



definiert 

nach 

dem 

Eingriff 

in die 

Struktur 

der 

Population 

Welche Durchforstungsarten gibt es? 

Nieder-Df. 

Hoch- Df. 

sonstige 

Diese Entnahme kann definiert werden über 

Stammzahlen, Grundfläche, Vorrat, o.a. 

definiert de e t nach ac de der Entnahme t a e 

schwach mäßig stark 


Durchforstungserlös und Durchforstungsart 

Durchforstungserlös 

dickere Bäume zuerst 

Zufalls- 

erntekostenfreier 

auswahl 

Abtriebserlös, der 

bei Ernte aller 

Bäume erzielt 

wird. 

dünnere Bäume zuerst 

Durchforstungsstärke 100% 


finanzielles 

Ergebnis 

der 

Durchforstung 

künftige finanzielle 

Wirkung 

Wirkung der Df auf den Abtriebswert 

erhöhend neutral senkend 

ÜÜberschuß 

unbedingt 

vorteilhaft 

? 

neutral neutral unbedingt 

unvorteilhaft 

Zuschuß ? 

aktuelle finanzielle 

Wirkung 

alte Försterregel: 

Steh´n der Bäume Kronen dicht, 

ist am Boden wenig Licht. 


Wann ist eine Durchforstung erfolgsneutral? 

Legt man den Kapitalwert zugrunde, dann ist die Durchforstung gerade 

dann erfolgsneutral, wenn die Erlöse der Durchforstung (netto) gerade 

dden abgezinsten b i t Mi Mindererlösen d lö dder EEndnutzung d t ( (netto) tt ) entsprechen, t h 

oder wenn die Kosten der Durchforstung (netto) gerade den 

abgezinsten Mehrerlösen der Endnutzung (netto) entsprechen 

entsprechen. 

In beiden Fällen ist der Kapitalwert der Durchforstung gerade Null. 


Optimierung p g der Stärke einer Durchforstungg 

• Die Durchforstungsstärke wirkt 

a) auf den Durchforstungserlös und 

b) auf den Endnutzungserlös. 

• Es ist die Durchforstungsstärke optimal, durch die die Summe des 

heutigen Durchforstungserlöses und des abgezinsten 

Endnutzungserlöses maximiert wird. 

• Bis zu einem gewissen Grad kompensiert ein höherer 

Durchforstungserlös eine Minderung des späteren 

Endnutzungserlöses 

Endnutzungserlöses. 

• Der Effekt ist umso höher, je höher der Zinsfuß ist, da durch einen 

hohen Zinsfuß die Differenz des Endnutzungserlöses mit 

gemindertem Gewicht in den Kalkül eingeht. 


Optimierung der Stärke einer Durchforstung 

zu maximieren: 

Gesamterlös = Durchforstungserlös + diskontierter Endnutzungserlös 

oder 

Durchforstungserlös + diskontierte Differenz des Endnutzungserlöses 

zieht man den Endnutzungserlös ohne Durchforstung ab, ändert das die obere Gleichung nur um eine Konstante, 

es ist aber für die graphische Darstellung vorteilhaft. 

Dadurch verläuft die rote, die Differenz des Endnutzungserlöses darstellende Linie links durch den Ursprung 

und rechts schneidet sie bei einem negativen Wert, Wert der dem Endnutzungserlös ohne Durchforstung entspricht entspricht. 

Dieser Kalkül ist ein Kapitalwert-Kalkül. Da mehr oder weniger starke Durchforstungen 

echte Alternative sind, darf man sie am Kapitalwert beurteilen. 

Dieser Kalkül ist ein Partialmodell, da nur die Durchforstungsstärke variiert wird. 




zusätzlicher Endnutzungserlös diskontiert g p 



und Endnutzungszeitpunkt 

sind gegeben. Die Bäume 

werden zufällig ausgewählt 

aktueller 

Abtriebswert 

Wü Würden d bbei i dder DDurch h 

forstung alle Bäume 

EN-Erlös, 

geerntet, würde der 

der bei Verzicht Endnutzungserlös 

auf die Df Df. erzielt völlig ölli entfallen. tf ll 

werden könnte, 

Der zusätzliche EN-Erlös 

diskontiert 

wäre also negativ. 




Differenz des 

Endnutzungserlöses 

diskontiert 

Summe der Kurven 

Durchforstungsstärke Optimum 

100% 


und Endnutzungszeitpunkt 

sind gegeben. Die Bäume 

werden zufällig ausgewählt 

aktueller 

Abtriebswert, würde bei 

einer Df. von 100% 

sofort realisiert. 

Bis zu dieser Durchforstungsstärke 

Wü Würden d bbei i dder DDurch h 

wird der Erlös der Endnutzung durch 

die Durchforstung erhöht, bei stärkerer EN-Erlös, 

forstung alle Bäume 

geerntet, würde der 

Durchforstung wird er gemindert. der bei Verzicht 

Endnutzungserlös 

auf die Df Df. erzielt völlig entfallen entfallen. 

Bis zu dieser Durchforstungsstärke werden könnte, 

Die Differenz des EN-Erlöses 

wäre die Durchforstung finanziell diskontiert 

wäre also negativ. 

lohnend, eine stärkere Durchforstung 

wäre nachteilig. g 

EN-Erlös, der bei 

Verzicht auf die Df Df. 

erzieltwerden könnte, 

diskontiert 


Optimierung p g der Stärke einer Durchforstungg 

Netto- 

Erlös Durchforstungserlös + 

disk. Endnutzungserlös 

Optimum 

Durchforstungs- 

Erlös 

diskontierter 

zusätzlicher 



Die Summe aus den beiden Kurven hat ein Maximum, dort liegt 

das Optimum der Durchforstungsstärke. 


Senkung der Holzerntekosten und Durchforstungsstärke 

Netto- 

Erlös 

Optimum 


Durchforstungs- 

Erlös 

diskontierter 

zusätzlicher 




Durchforstungsstärke g und Zins 

Der aktuelle Durchforstungserlös ist unabhängig vom Zins. 

Die diskontierte Auswirkung der Durchforstung auf den Endnutzungserlös 

ist umso geringer, je höher der Zins ist. 

Für die Bestimmung der optimalen Stärke der Durchforstung hat sie 

daher umso weniger Bedeutung Bedeutung, je höher der Zins ist ist. 

Damit steigt die optimale Durchforstungsstärke. 

siehe Graphik nächste Seite 

Bei extrem hohem Zins 

spielt die zukünftige EN 

keine Rolle mehr. 

Folglich muß der ganze 

Vorrat sofort bei der 

„Durchforstung“ genutzt 

werden, die damit zur 

Endnutzung wird. 



diskontierte Differenz 

des Endnutzungserlöses 

Durchforstungsstärke und Zins 


Wird der Zins erhöht, dann wird die 

Kurve flacher und der Schnittpunkt 

verschiebt sich nach oben. Damit 

verschiebt sich das Optimum nach 

rechts zu stärkerer Durchforstung. 

Die Kurve des Durchforstungs- 

erlöses ist unabhängig vom 

Zins. 

EN-Erlös, 

der bei Verzicht 

auf die Df. erzielt 

werden d kö könnte, 

diskontiert 


Bewertung 

unter Berücksichtigung 

der Folgenutzung 

zum Zeitpunkt u 

zum Zeitpunkt 0 

Holznutzung 

keine DF Durchforstung sofort alles 

Abtriebswert in t=u 

plus BEW in t=u 

Durchforstungserlös in t=0 

aufgezinst 

plus Abtriebswert in t=u 

plus l BEW iin tt=u 

Abtriebswert in t=u Durchforstungserlös in t=0 

abgezinst 

plus Abtriebswert in t=u 

plus p BEW abgezinst g abgezinst g 

plus BEW abgezinst 

Abtriebswert in t=0 

verzinst 

plus BEW in t=0 

verzinst 

Abtriebswert in t=0 

plus BEW 

Da man normalerweise die Optimierung der Durchforstungsstärke unter der 

Annahme einer fixen Umtriebszeit vornehmen kann, sofortiger Kahlschlag also 

nicht in Betracht kommt, ist die rechte Spalte nicht relevant. 

Mit dem BEW statt des Kapitalwertes muß man nur rechnen, rechnen wenn auch die 

Umtriebszeit optimiert werden soll (Totalmodell). 


Zins 

Wertzuwachsrate des 

verbleibenden Bestandes 

maximal 

kritische Grundflächenhaltung 

aus finanz. Sicht – 

Mindest- Durchforstungsstärke 

Durchforstungsstärke und Zins 

Optimum 

Wachstumsraten unterhalb des Zinses 

sind ökonomisch uninteressant. 

Die Darstellung g unterstellt, durch Absenkung g 

der Grundfläche, würde die Wertzuwachsrate 

erst positiv und dann negativ beeinflußt. 

Der Begriff „kritische Grundfläche“ wird in der 

Waldwachstumskunde mit Bezug auf den 

Massenzuwachs verwendet. 

kritische Grundflächenhaltung 

aus finanz. Sicht – 

Höchst- Durchforstungsstärke 

Zins 

Bestockungsgrad bzw. Grundflächenhaltung 0 

Eine alternative Betrachtung könnte auf die Wertzuwachsrate des verbleibenden Bestandes 

abstellen. Es wäre danach die Grundflächenhaltung oder Durchforstungsstärke zu suchen, 

bei der die (über den Rest der Umtriebszeit durchschnittliche) Wertzuwachsrate des verbleibenden 

Bestandes maximiert würde. Daraus zu schließen, die optimale Durchforstungsstärke sei unabhängig 

vom Zins, wäre aber falsch, da die Verzinsung des Durchforstungsholzes nicht beachtet wird. 



• c.p. steigt die optimale Durchforstungsstärke mit 

dem Kalkulationszinsfuß 

• c.p. sinkt die optimale Durchforstungsstärke mit 

Zunahme der negativen g Zuwachsreaktion der 

Baumart (Mindererlös bei der Endnutzung durch 

geminderten Zuwachs). 

• c.p. steigt die optimale Durchforstungsstärke mit 

steigendem Dimensionseffekt (Mehrerlös für 

dickere Bäume) 


Optimierung p g des Zeitpunktes p einer Durchforstungg 

Es sei eine einfache Situation betrachtet, , in der Art und Stärke der 

Durchforstung feststehen (z.B. Reihendurchforstung, jede 3. Reihe) 

und nur eine Durchforstung erfolgt. 

Nutzen der 


Nutzen des 

http://commons.wikimedia.org/wiki/Image:Gleicharmige_Waage.png 

Verschiebens 

der Durchforstung 

Der optimale Durchforstungszeitpunkt 

ist erreicht, wenn 

die Kosten des Verschiebens 

dder DDurchforstung hf t um 1 PPeriode i d 

(Grenzkosten des Wartens) 

größer Null werden. 



Kein Verschieben der 


heutige Durchforstungserlöse 

Verschieben der Durchforstung 

(+) höhere Durchforstungserlöse 

(-) ( ) späterer Eingang der Durch- Durch 1 

forstungserlöse 

(-) Minderung des EN-Wertes 

2 

durch längere g Konkurrenz 


Optimierung des Zeitpunktes einer Durchforstung 

Heutige 

Durchforst- Durchforst 

ungserlöse 

1 2 

< 

Barwert der späteren - 

(höheren) Df.-Erlöse 

Barwert der Minderung 

des EN-Wertes EN Wertes durch 

längere Konkurrenz 

Überwiegt die rechte Seite, lohnt sich das Warten 

mit der Durchforstung 

Ist der Zinsfuß relativ hoch 

und/oder die Zeit bis zur EN 

lang, spielt dieser Term eine 

zu vernachlässigende Rolle. 

Dann kommt es nur auf den 

Zuwachs an Df.-Erlös und 

den Zins an. 


Optimierung des Zeitpunktes einer Durchforstung 

Kosten 

Erlös 

Ab diesem Alter ist die 

Durchforstung kostendeckend. 

Kosten des Durchforstungs- 

Verzichts 


optimaler 

Zeitpunkt 

Bestandesalter 


Anpassung des Pressler´schen Weiserprozents 

auf die Verschiebung einer Durchforstung 

Re ndite 

des 

Verschiebens 

D t = Erlös der Durchforstung im Jahr t 

= 

D 

t+ 

1 

− 

D 

t 

− ΔE( 

1+ 

i) 

ΔE = Differenz des Endnutzungserlöses durch Verschieben der Durchforstung 

Es wird unterstellt, daß die Durchforstung den Endnutzungserlös erhöht. 

Wird die Durchforstung verschoben, verringert sich dieser 

positive Effekt der Durchforstung. 

Auf dem Bruchstrich steht der Vorteil durch Verschieben der 

Durchforstung. Dieser verringert sich durch das diskontierte ΔE 

Prof. Dr. Martin Moog Technische Universität München 23 

D 

t 

u−t

Optimierung des Zeitpunktes einer 


Die Summe der Barwerte der Durchforstung(en) und der Endnutzung 

ist zu maximieren. 

Bei gegebener Umtriebszeit ist dies gleichbedeutend mit der Maximierung 

des Bodenertragswertes. 

Wie ist der Durchforstungszeitpunkt vom Kalkulationszins abhängig? 

Bei einem sehr hohen Zins werden die Vorteile der Durchforstung für die 

Endnutzung verschwinden. Dann kommt es vor allem darauf an, ob 

die Erhöhung des Durchforstungserlöses beim Abwarten größer ist 

als die Verzinsung des aktuell schon erzielbaren Durchforstungserlöses 

Durchforstungserlöses. 



In der Praxis beobachtet man oft die Verhaltensweise, mit der ersten 

Durchforstung mindestens solange zu warten, bis der erntekostenfreie 

Erlös der Durchforstung g mindestens Null ist. 

Dies ist zwar eine für die Praxis operationale Entscheidungsregel, aber 

aus forstökonomischer Sicht kann auch eine frühere Durchforstung 

angezeigt sein, denn die Einbußen am späteren Endnutzungserlös 

müßten berücksichtigt werden und könnten eine Unterdeckung der 

Erntekosten prinzipiell überkompensieren 

überkompensieren. 

Zu bedenken ist aber, daß dieser Effekt umso kleiner ist, je höher 

der Kalkulationszins ist ist. 


Optimierung p g des Durchforstungszyklus g y 

• Eine modellmäßige Optimierung des 

Durchforstungszyklus setzt voraus, daß andere 

Einflußgrößen der Ceteris-paribus-Annahme unterworfen 

werden. d Di Dies iist t zur RReduzierung d i dder KKomplexität l ität nötig, öti 

aber nicht ohne Kompromisse im Hinblick auf die 

Realitätsnähe möglich. 

• Im einfachsten Fall kann man einen Vergleich einer 

Waldentwicklung ade c u gmit zwei e uund dmit nur u eeiner e 

Durchforstung vornehmen. 

• Das sich aufdrängende Kriterium zur Beurteilung der 

Vorteilhaftigkeit ist der Bodenertragswert bzw. des 

Kapitalwertes. 


Optimierung des Durchforstungszyklus 

Bodenertragswert 

bei einmaliger 



bei zweimaliger 


http://commons.wikimedia.org/wiki/Image:Scale_of_justice_2.svg 

Entscheidung für den 

Durchforstungszyklus 

mit dem höheren 


(Faustmann-Formel) 

bzw. den höheren 

KKapitalwert it l t (führt (füh t bbei i 

geg. Umtriebszeit 

zum selben Ergebnis). 

Da die Durchforstungen den 

Vorrat und die Stärkenstruktur 

im Endbestand beeinflussen, 

kann es zu unterschiedlichen 

Ergebnissen in Abhängigkeit 

davon kommen, ob man im Modell 

den Abtriebswert oder den Vorrat 

konstant hält. 


Optimierung des Durchforstungsregimes 

Die Inhomogenität der Bäume 

und ihrer Situation in Waldbeständen 

bedingt prinzipiell jeweils baumindividuelle 

Entnahmezeitpunkte. p 

Der Waldbewirtschafter kann jedoch 

dem einzelnen Baum nicht gerecht 

werden, sondern muß ein Durchforstungsregime 

(Stärke, Häufigkeit) 

festlegen, weil die Durchforstungen 

fixe Kosten mit sich bringen. 

Mit zunehmender Durchforstungsstärke 

lassen sich Kostenvorteile realisieren 

(Fi (Fixkostendegression). 

k t d i ) 

Andererseits steigen die Einbußen durch 

im Einzelfall zu frühe oder zu späte 


Durchforstung. 

Stückkosten 

Einzelbaumgerechtigkeit 

g g 

Masse 

Zuwachs- 

einbußen 

Verwaltungskosten 



Vorteilhaftigkeit von Mischbeständen 

Netto-Ergebnis 

Netto-Ergebnis 

Mischbestand Reinbestand 



Mischung wegen 

höherer Wertschöpfung 

Mischbestandstypen 

Mischbestände 

Zum Beispiel: Zum Beispiel: 

Lärche in Buche 

Douglasie in Buche 

Fichte in Buche 

Ahorn in Buche 

Mischung zur 

Risikominderung 

Tanne in Fichte 

Buche in Fichte 


Mischbestände 

Vorteile Nachteile 

• zusätzliche Wert Wert- 

Produktion 

• höhere Kosten der 

Verjüngung 

• 

• 

• 

höhere Bestandesstabilität 

finanzieller 

Diversifikations-Effekt 

Diversifikations Effekt 

(auch bei flächenhafter 

Mischung) 

höhere Biodiversität uu.a. a 

„externe Effekte“,also 

Vorteile außerhalb des 

FForstbetriebes tb t i b 

• 

• 

• 

• 

• 

höhere Kosten der Pflege g 

(Kulturpflege, 

Läuterungen, 

Durchforstungen) g ) 

höhere Holzerntekosten 

teilweise Probleme mit 

der Holzqualität 

teilweise geringerer 

Zuwachs 

höhere 

Verwaltungskosten 


Kalkulation für Mischung zur Erhöhung der Wertschöpfung 

bezogen auf den Zeitpunkt der Kultur 

im Vergleich zum Reinbestand 

+ 

- 

- 

- 

- 

= 

NNetto-Mehrerlöse tt M h lö (diskontiert) 

(di k ti t) 

Mehrkosten der Kultur 

Mehrkosten der Pflege (diskontiert) 

Mehrkosten der Holzernte (diskontiert) 

Mehrkosten der Verwaltung (diskontiert) 

finanzieller Vorteil / Nachteil der Mischung 

http://commons.wikimedia.org/wiki 

p g 

/Image:Scale_of_justice_2.svg 

Die Differenz der Kapitalwerte ist gleich dem Kapitalwert der Differenz 


Kalkulation für Mischung zur Verminderung des Risikos 

bezogen auf den Zeitpunkt der Kultur 

im Vergleich zum Reinbestand 

+ 

- 

- 

- 

- 

- 

= 

Wert der Risiko-Minderung (diskontiert) 

Netto-Mindererlöse für das Holz (diskontiert) http://commons.wikimedia.org/wiki 

/Image:Scale_of_justice_2.svg 

Mehrkosten der Kultur 

Mehrkosten der Pflege (diskontiert) 

Mehrkosten der Holzernte (diskontiert) 

Mehrkosten der Verwaltung (diskontiert) 

finanzieller Vorteil / Nachteil der Mischung 

altes Wanderlied 

“Das Mischen ist des Försters Lust…“ 

Die Differenz der Kapitalwerte ist gleich dem Kapitalwert der Differenz 


Mischung und Konkurrenzgleichgewicht der 

Baumarten 

Grenzkosten Grenzkosten der 

Grenznutzen 

Mischung 

Netto-Vorteil 

St Standorte, d t auf f denen d die di Mischung Mi h vorteilhaft t ilh ft iist t 

Grenznutzen der Mischung 

standortbedingt 

zunehmendes Ungleichgewicht 

zu Ungunsten der beigemischten 

Baumart 


Subventionen für Mischbestände 

Grenzkosten 

Grenznutzen 

Mitnahme- 

Effekt 

Grenzkosten der 

Mischung 

Subvention 

Standorte, auf denen die Mischung vorteilhaft ist 

davon subventionsbedingt 

Grenznutzen der Mischungg 

standortbedingt 

zunehmendes h d UUngleichgewicht l i h i ht 

zu Ungunsten der beigemischten 

Baumart 


Grenzkosten 

Grenznutzen 

3 

höhere Grenzkosten 

bei bevorzugtem Verbiß 

der Mischbaumart 

Grenzkosten der Mischung 

ohne h Wild Wildeinfluß i fl ß 

1 2 

geringere Grenzkosten 

bei bevorzugtem Verbiß 

dder BBaumart t ddes 

Grundbestandes 

Grenznutzen 

der Mischung 

Standorte mit 

zunehmendem 

Konkurrenz- 

ungleichgewicht 

optimale Ausdehnung eines Mischungstyps über 

1 

zu UUngunsten t 

die Standorte - ohne Wildeinfluß 

der Mischbaumart 

2 

optimale Ausdehnung bei Verschiebung des 

Gleichgewichts zu Gunsten der Mischbaumart 

optimale Ausdehnung bei Verschiebung des 

3 

Gleichgewichts zu Ungunsten der Mischbaumart 


Optimierung von Düngung 

• Dü Düngung spielt i lt iin dder ddeutschen t h FForstwirtschaft t i t h ft 

praktisch keine Rolle 

• Grundlegend für die Bearbeitung der Fragestellung ist ist, 

daß man über Kenntnisse darüber verfügt, wie die 

Düngung die Holzproduktion beeinflußt. 

• Als Beurteilungskriterium kann der Bodenertragswert 

bzw. der Kapitalwert herangezogen werden. 

• Bei deutlicher Beeinflussung der Holzproduktion ist 

beachten, daß das Optimum der Umtriebszeit beeinflußt 

wird (die ( optimale p Umtriebszeit des ggedüngten g 

Bestandes kann kürzer ggf. aber auch länger sein). 

Dann müßte der Bodenertragswert verwendet werden. 



ohne Düngung 

Optimierung von Düngung 


mit Düngung 


EEntscheidung t h id für fü die di 

Düngungsvariante, 

die zu dem höheren 


führt. 

Ggf Ggf. auch eine 

Optimierung der 

Umtriebszeit 

vornehmen vornehmen. 


Darf zur Beurteilung der Vorteilhaftigkeit einer Düngung der 

Kapitalwert verwendet werden? 

Wenn man von der Problematik der Verschiebung der optimalen Umtriebszeit 

absieht ja, denn bei Betrachtung eines Bestandes handelt es sich um sich 

ausschließende Alternativen. 

Weil die Differenz der Kapitalwerte gleich dem Kapitalwert der Differenzen ist, 

kann man gleich mit den Differenzen rechnen. 

Beispiel mit Zins = 4 v.H.: 

Wer rechnen kann, 

ist besser dran! 

Zeit- Beträge € Diskont- diskontiert 

punktfaktoren 

€ 

Ausgaben für die Düngung t=0 - 1.000 - 1.000 

Mehrerlös für Holz (netto) t=30 2.000 0,30831867 617 

Mehrerlös für Holz (netto) t=40 6.000 0,20828904 1.250 

Kapitalwert + 867 


Weitere Fragestellungen im Zusammenhang mit Düngung 

Auswahl der Düngetechnik (Streuer, Gebläse, Hubschrauber) 

Wahl der richtigen Düngermenge 

Wahl des richtigen Düngers 

WWahl hl ddes richtigen i h i ZZeitpunktes i k (B (Bestandesalter) d l )fü für die di Dü Düngung 

Optimierung der Kombination von Dünger, Düngermenge und Technik 

Auswahl der zu düngenden Waldbestände 

Diese Fragestellungen werden natürlich auch 

ähnlich in der Literatur zur landwirtschaftlichen BWL 

bbehandelt. h d lt 


Optimierung der Düngermenge 

marginaler Mehrerlös, Mehrerlös diskontiert 

marginale Düngungskosten 

marginaler Mehrerlös bei niedrigem Zins 

marginaler Mehrerlös bei hohem Zins 

Lehrbuchbeispiel für die Marginalanalyse 

Denken Sie an das Gesetz vom 

abnehmenden Ertragszuwachs. 

Geraden statt Kurven 

zur Vereinfachung 

marginale 

Düngungskosten 

Düngermenge in t/ha 


Auswahl der zu düngenden Waldbestände 

Soll ich die 

gutwüchsigen t ü h i oder d 

die mattwüchsigen 

Bestände düngen? 

Spontan tendieren sicher viele zum 

Düngen der mattwüchsigen Bestände, 

das ist aber nicht unbedingt richtig. 

Der Aspekt der kürzeren Umtriebszeit 

spricht für eine Förderung der schon 

von o Natur a u aus gu gutwüchsigen üc s ge Bestände. es ä de 


Düngetechnik in Abhängigkeit von der Fläche 

Düngungskosten 

Lehrbuchbeispiel für eine Nutzschwellenanalyse 

zu düngende Fläche 

Kosten für Streuer 

Kosten für Gebläse 

c.p. gleiche Düngermenge / ha 

Förster Falk streut sehr viel Kalk. 

Doch würden die erfahrenen Hasen auch 

Magnesium mitverblasen. 


Optimierung von Astung 

• Es stellt sich die Frage Frage, ob überhaupt Bäume geastet 

werden sollen, und wenn ja, wieviele Bäume zu welchem 

Zeitpunkt (ggf. auch in Abhängigkeit vom Standort bzw. 

dder BBonität) ität) und d wie i hhoch h ( (astfreie tf i St Stammlänge). lä ) 

• Grundlegend für die Beantwortung der Fragestellung 

sind Annahmen über die Erlösdifferenzen, , die durch die 

Astung bewirkt werden. Die Kosten sind vergleichsweise 

sicher einzuschätzen. 

• Das geeignete Kriterium ist der Bodenertragswert 

(Faustmann-Formel) bzw. der Kapitalwert. 

• Zu beachten ist, daß die optimalen Umtriebszeiten sich 

mit it dder AAstung t verändern ä d kö können, ddann müßte üßt der d 

Bodenertragswert verwendet werden. 


Zahl geasteter 

Bäume 

Optimierung der Astung 

Astung 

Astungszeitpunkt Astungshöhe 

einzelne Optimierungsansätze oder simultane Optimierung mehrerer 

oder aller Einflußgrößen 

besonders Höhe und Zeitpunkt sind simultan zu optimieren 


Optimierung der Astung 


bei Astungsvariante A 


bei Astungsvariante B 

EEntscheidung t h id für fü die di 

Astungsvariante 

mit dem höheren 


(Faustmann-Formel) 

bzw. dem höheren 

Kapitalwert oder der 

höheren internen 

Verzinsung. 


Beeinflussung der 

optimalenUmtriebszeit beachten! 


Darf die Vorteilhaftigkeit der Astung mit dem 

Kapitalwert beurteilt werden? 

Wenn es sich um sich gegenseitig ausschließende Alternativen handelt, 

dann kann der Kapitalwert als Kriterium verwendet werden. 

Man sollte aber den Einfluß auf die Umtriebszeit beachten. 

Kapitalwert 

bei Astungsvariante A 

Kapitalwert 

bei Astungsvariante B 

http://commons http://commons.wikimedia.org/wiki/Image:Scale_of_justice_2.svg 

wikimedia org/wiki/Image:Scale of justice 2 svg 

Weil die Differenz der Kapitalwerte 

gleich dem Kapitalwert der Differenz, 

kann letzterer verwendet werden. 


Beispiel für Kapitalwert der Astung 

Zeitpunkte 

Diskontfaktoren 

bei 4 v.H. 

Wer rechnen kann, 

ist besser dran! 

Differenz- 

Beträge 

diskontierte 

Beträge 

Ausgaben 1. Astungsstufe 0 0,00000 -3.000 - 3.000 

Ausgaben 2. Astungsstufe 10 0,67556 -3.000 -2.027 

Mehreinnahmen Altdurchforstungg 40 0,20829 6.000 1.250 

Mehreinnahmen Endnutzung 50 0,14071 10.000 1.407 

Kapitalwert - 2.370 

willkürliches Zahlenbeispiel 


Wieviele Bäume soll man asten? 

Kapitalwert 

der Differenz Aus ökonomischer Perspektive 

wären soviele Bäume zu asten, 

Zahl geasteter Bäume 

daß der letzte geastete Baum 

noch gerade den Kapitalwert 

erhöht (Grenzbetrachtung). 

In der Praxis stehen andere 

Überlegungen im Vordergrund. 

Z.B. 

Die Bäume der EN sollen alle 

geastet sein. 

Es sollen nur die vitalsten 

Bäume geastet werden. 


Abhängigkeit der Zahl der Astungsbäume vom Zins 

marginaler Mehrerlös, Mehrerlös diskontiert 

marginale Astungskosten 

marginaler Mehrerlös bei niedrigem Zins 

marginaler Mehrerlös bei hohem Zins 

Der Kalkül gilt g ggenauso für die Astungshöhe g 

Geraden statt Kurven 

zur Vereinfachung 

marginale 

Astungskosten 

Zahl der Astungsbäume 


Wann ist der optimale Astungszeitpunkt? 

• Astet man zu früh früh, kann man nicht hoch Kapitalwert 

genug asten, oder man beeinträchtigt 

den Zuwachs durch Entfernung von 

Ästen, die zum Wachstum beitragen. 

• Astet man zu spät, wird der astfreie 

Holzmantel nicht dick genug (bei U = 

konstant) bzw. muß eine suboptimal 

lange g Umtriebszeit ggewählt 

werden. 

• Oft wird für eine mehrstufige Astung 

plädiert, aber dabei sind die 

Maßnahmenfixkosten zu bedenken. 

• Je inhomogener die 

Durchmesserentwicklung bei den vitalen 

Bäumen, desto schwieriger ist die 

BBestimmung ti des d optimalen ti l ZZeitpunktes it kt 

Astungszeitpunkt 


Wie hoch sollen die Bäume geastet werden? 

diskontierte 

MMehrerlöse h lö fü für 

geastetes Holz 

Astungskosten 

Höhe der Astung 

Kapitalwert 



Wie hoch sollen die Bäume geastet werden? 

In der Praxis bestimmen eher 

Kapitalwert 

die jeweilige Astungstechnik und 

Vorstellungen über Mindestlängen 

geasteter Stammabschnitte die 

Wahl der Astungshöhe. 

Man wird auch kaum in einem Bestand 

unterschiedliche Astungshöhen 

wählen, obwohl dies bei unterschiedlichen 

Durchmessern der 

Bäume vielleicht naheliegend wäre. 



näherungsweise Ermittlung eines Gesamtoptimums 

durch Berechnung von Varianten 

In der Praxis wird man ggf. mögliche Varianten berechnen. 

Die Tabelle zeigt die prinzipielle Vorgehensweise für die drei 

Parameter geastete g Stammzahl, Astungshöhe g und Zahl von Astungsstufen. g 

1 Astungsstufe 2 Astungsstufen 

bis 4 m bis 6 m bis 4 m bis 6 m 

200 

Stamm- 

zahl 

300 

400 

nicht 

sinnvoll 


Optimierung p g der Wilddichte 

Optimum 

Grenzkosten 

der Kontrolle 

der Wilddichte 

Grenznutzen der 

Kontrolle der Wilddichte 

(vermiedene Schäden) 

Wild-Kontrolle 

hohe Wilddichte niedrige g 

Wilddichte 



Restriktion durch Jagdgesetz 

minimal zulässige g Wilddichte 

kann höher liegen als das betriebliche 

Optimum 

Optimum 

Grenzkosten 







hohe Wilddichte niedrige g 

Wilddichte 


Optimierung der Wilddichte 

Kosten und Nutzen einer Minderung der 

Wilddi Wilddichte ht 

Kosten Nutzen 

höhere Kosten der Jagd bzw. niedriger 

Erlöse bei Verpachtung 

niedrigere Wildschäden 

niedrigere Wildbret-Einnahmen niedrigere Wildschutz- bzw. 

Forstschutz-Kosten 



Grundsätzlich ist ein Grenzkosten Grenzkosten-Grenznutzen-Kalkül Grenznutzen Kalkül möglich möglich. 

Je nach den institutionellen Rahmenbedingungen und der 

Organisation der Wildbewirtschaftung können unterschiedliche 

Kosten und Nutzen (Erlöse) relevant sein. 

Die gesetzlichen Restriktionen (Einhaltung des Abschußplanes 

Schonzeiten, Ausrottungsverbot) können bewirken, daß das 

betriebliche Optimum p nicht erreicht werden kann. 

Die jagdgesetzlichen Restriktionen wirken auch auf die 

Grenzkosten und können auf diese Weise das Optimum 

beeinflussen. 



erhöhte Grenzkosten 

durch Jagdrechts-Änderung 

Verschiebung 

des Optimums 

Grenzkosten 







hhohe h Wilddi Wilddichte ht niedrige i d i Wilddi Wilddichte 

ht 


Nutzen 

Optimierung der Wilddichte aus 

der Sicht eines Freizeitjägers 

Nutzen durch 

Wildbeobachtung 

Nutzen durch 

Abschuß 

Wilddichte 

Das Optimum p ist dort, , 

wo die Summe der beiden Kurven maximal ist 


Optimierung der Sortierung 

Ei Eine OOptimierung ti i dder SSortierung ti iist t möglich, ö li h weil il Stä Stämme iin SSortimente ti t 

aufgeteilt werden können, für die unterschiedliche Erlöse erzielt werden. 

Stammformkurve 

Volumen 1. Sortiment * Preis 1. Sortiment 

./. / Erntekosten Volumen 22. Sort Sort. * Preis 22. Sortiment 

./. zusätzliche Erntekosten 

ist zu maximieren 


Optimierung der Sortierung - Zopfdurchmesser 

zusätzlicher Erlös 

zusätzliche Erntekosten 

Stamm- 

fuß 

Optimum 

zusätzliche 

Erntekosten 

zusätzlicher 

Erlös 

Baumspitze 

Zopfdurchmesser 


Abhängigkeit des optimalen Zopfdurchmessers von 

der Erntetechnik 

Stamm- 

fuß 



Optimum 

zusätzliche 

Erntekosten 

Waldarbeiter 


zusätzliche 

Erntekosten 

bei Harvester Harvester- 

Einsatz 



0 

0 


eigene Aufarbeitung und Selbstwerber-Sortiment 

Selbstwerber Sortiment 

Stamm- 

fuß 



Netto-Grenzerlös des 

1. Sortiments 

optimale ti l AAufar f 

beitungsgrenze 

zusätzliche 

Erntekosten 


optimaler 

Zopf bei 1. Sortiment 

Netto Netto-Grenzerlös Grenzerlös des 

2. (Selbstwerber-)Sortiments 

optimaler 

Zopf für 

2. Sortiment 

Sortiment mit 

eigener Aufarbeitung 

kombinierte 

Betrachtung 



Warum steigen Holzpreise mit dem Durchmesser? 

Holzpreis 

Mittendurchmesser oo. Zopfdurchmesser 

Bei der Verarbeitung des Stammholzes 

zu Schnittholz steigt die Ausbeute mit dem 

Durchmesser. 


Warum sinkt der Anstieg der Holzpreise mit dem 

Durchmesser in den letzten Jahren? 

Holzpreis 

früher 

heute 

Mittendurchmesser oo. Zopfdurchmesser 


Schnittholzproduktion pro Zeit 

Vorschub 

Durchmesser 

Die Profilspanertechnik erlaubte 

eine erhebliche Erhöhung der 

Vorschubgeschwindigkeit. 

Der Produktivitätsnachteil beim 

Einschnitt dünnerer Bäume wurde 

dadurch deutlich geringer. 

DDeshalb h lb wurde d dder PPreiszuwachs i h 

mit dem Durchmesser geringer. 



DDa di die SSortimente ti t iin ddurchmesserabhängigen h bhä i 

Stufen definiert sind, führt eine formale 

Optimierung fast immer zu einer Lösung, Lösung bei der 

der Mittendurchmesser des Stammes auf der 

unteren Grenze des Durchmesserbereichs des 

Sortimentes liegt. Die Kunden erwarten jedoch 

eine faire Verteilung g der Durchmesser über den 

Durchmesserbereich des Sortiments. Wird dies 

nicht berücksichtigt, werden die Erwartungen 

der Kunden evtl. enttäuscht bzw. werden nicht 

die erwarteten Erlöse erzielt. 


Folgekosten hoher Zopfdurchmesser 

hohe Lohnkosten bedingen 

hohe Zopfdurchmesser 

es bleibt viel brutfähiges 

Holz im Wald liegen 

Mehrkosten der 

„sauberen Wirtschaft“ 

Mindererlöse und 

Forstschutzkosten 

die Borkenkäfer vermehren 

sich prächtig htt http://commons.wikimedia.org/wiki/Image:Scale_of_justice_2.svg 

// iki di / iki/I S l f j ti 2 

stehende Bäume werden 

befallen und geschlagen 

das Käferholz wird mit 

Erlöseinbußen verkauft 


Anteil der Heilbronner Sortierung (mit C) am 

Fichtenstammholzverkauf der Bayerischen Staatsforsten 

70 

60 

50 

40 

30 

20 

10 

0 

1988 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 

Prozent 


Anteil der Heilbronner Sortierung (mit C und Heilbronner 

Abschnitten) am Fichtenstammholzverkauf der 

Bayerischen Staatsforsten 

70 

60 

50 

40 

30 

20 

10 

0 

1988 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 

Prozent 


Anteil des Mischsortiments B/C am 

Fichtenstammholzverkauf der Bayerischen Staatsforsten 

40 

35 

30 

25 

20 

15 

10 

5 

0 

1988 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 

Prozent 


Anteil der Standardlängen (Heilbronner- und 

Mittenstärkensortierung) am Fichtenstammholzverkauf der 

Bayerischen Staatsforsten 

50 

45 

40 

35 

30 

25 

20 

15 

10 

5 

0 

1988 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 

Prozent 


Die Intensitätsdiskussion in der Forstwirtschaft 

Im Laufe der Zeit (Anfang der 70er Jahre, in den 80er Jahren) 

wurde d in i dder DDeutschen t h FForstwirtschaft t i t h ft iimmer wieder i d di diskutiert, k ti t 

ob eine „Extensivierung“ der Waldbewirtschaftung angebracht bzw. 

notwendig sei und die unbefriedigende Lage der Forstbetriebe 

verbessern könne. 

Der Begriff g „Intensität“ ist dabei recht unscharf verwendet worden. 

Wegen der Verwendung des Begriffes „intensitätsmäßige Anpassung“ 

in der Produktionstheorie (Gutenberg Produktionsfunktion) besteht 

die Gefahr von Mißverständnissen. 

Mit Extensivierung ist vor allem ein Personalabbau gemeint. 

Es geht primär um die Frage, Frage ob forstbetriebliche Kapazitäten abge- abgebaut 

und durch fremde Kapazitäten ersetzt werden können. 

Die Diskussion weist daher eher Parallelen zur Frage der richtigen 

Fertig Fertigungstiefe ngstiefe und nd zu Problemen des OOutsourcing tso rcing aauf. f 


Gewinnmaximierung bei linearer Kostenfunktion 

Kosten 

Erlös 

Gewinn- 

schwelle 

Gewinnmaximum an der 

Kapazitätsgrenze 

Erlöse 

Gewinn 

Gesamtkosten 

Fixkosten 

Menge 


Gewinnmaximierung bei ertragsgesetzlichem Kostenverlauf 

Kosten 

Erlös 

Gesamtkosten 

Gewinn- 

schwelle 

Gewinn- 

maximum 

Erlöse 

Fixkosten 

Menge 


Kosten in Abhängigkeit vom Holzeinschlag 

bei unter der naturalen Kapazität liegenden technischen Kapazität 

Kosten 

variable Kosten 

desRumpf- u p 

Forstbetriebes 

Fixkosten 

technische 

naturale 

KapazitätsKapazitäts- 

grenze grenze 

Kosten für Forstunternehmer 

und forstliche Dienstleistungen 

Holzeinschlag 


Fixe und variable Kosten in Abhängigkeit vom 

Holzeinschlag 

Kosten 

variable 

Kosten 

Material- und Unternehmerleistungen 

bedingt durch den Holzeinschlag 

zusätzliche Lohn- und Lohnnebenkosten 

durch den Holzeinschlag 

Material und Unternehmerleistungen 

unabhängig vom Holzeinschlag 

Gehalts- und Gehaltsnebenkosten 

Fixkosten 

Lohnkosten und LNK durch Beschäftigungsgarantie g g g 

Holzeinschlag 


Fixe und variable Kosten in Abhängigkeit vom 

Holzeinschlag 

Kosten 

Holzeinschlag, Holztransport, 

Kulturen, tlw. Wege und Forstschutz 

VVerwaltung, lt andere d LLeistungen i t (S (Sozialfunktionen), 

i lf kti ) 

Waldpflege, Jagd, 

teilweise Forstschutz und Wege 

variable 

Kosten 

Fixkosten 

Holzeinschlag 



Im Zuge der sogen. Intensitätsdiskussion sind Annahmen über den 

Kostenverlauf in Forstbetrieben getroffen worden (Speidel uu.a.). a ) 

Der oft unterstellte S-förmige Kostenverlauf (Ertragsgesetz) ist jedoch 

wenigstens kurzfristig wenig plausibel. 

Plausibler erscheint es, einen linearen Kostenverlauf anzunehmen. 

Das bedeutet für die Gewinnmaximierungsbedingung, daß die Regel 

gilt: g Zur Gewinnmaximierung g immer die Kapazitäten p auslasten. 

Ein solches Verhalten führt jedoch zu einem völlig preisunelastischen 

Holzangebot. Es trägt nicht dazu bei Holzpreisschwankungen 

gering zu halten. 

Es ist daher von vielen Forstbetrieben eine Strategie eingeschlagen 

worden, d di die bbetriebliche i bli h AArbeitskapazität b i k i ä (W (Waldarbeiter, ld b i später ä auch h 

Förster) deutlich zu senken, damit in Jahren niedriger Holzpreise 

der Hiebssatz deutlich unterschritten und in Jahren hoher Holzpreise 

ddeutlich tli h üb überschritten h itt werden d kkann. 



Die folgende Tabelle zeigt exemplarisch die Wirkung der Verschiebung 

einer Erlösverteilung von gleicher Gewichtung der niedrigeren und 

höheren Erlöse zu einer Übergewichtung der höheren Erlöse. 

Erlös Verteilung des Erlöses in Prozent 

€130 25 30 35 40 45 50 

€100 50 50 50 50 50 50 

€ 70 25 20 15 10 5 0 

€ 100 € 103 € 106 €109 €112 €115 

Durchschnittserlös 


Abbau betrieblicher Kapazitäten in 

Forstbetrieben 

• Der Abbau betrieblicher Kapazitäten (Waldarbeiter 

(Waldarbeiter, 

anderes Betriebspersonal) in deutschen Forstbetrieben 

ist in den letzten Jahren deutlich zu beobachten. 

• Manche privaten Forstbetriebe haben das 

Betriebspersonal vollständig abgebaut (abbauen 

müssen). ) 

• Die Wirkung dieser Maßnahme ist vor allem in 

öffentlichen Betrieben relativ stark, weil nicht nur eine 

höhere Flexibilität möglich ist ist, sondern vor allem die 

Erntekosten absolut sinken, weil die statt der 

Waldarbeiter eingesetzten Einschlagsunternehmer 

produktiver arbeiten (Harvester) oder niedrige 

Lohnkosten haben (billige Arbeitskräfte aus dem meist 

östlichen Ausland). 


Beispiel für eine Optimierung des Kapazitätseinsatzes 

in der Holzernte 

Di Die AAufgabenstellung f b t ll iist t mit it li linearer PProgrammierung i lleicht i ht lö lösbar b 

KKapa K1 

zität 

täten 

K2 

K3 

Summe 

Erntemaßnahmen 

e aß a e 

JD AD EN Summe 


Beispiel für eine Optimierung des Kapazitätseinsatzes 

in der Holzernte 

Als Lösungswerkzeug kann beispielsweise der Excel-Solver eingesetzt werden. 

Nutzungen in 

Mengeneinheiten Summe 

Erntekosten pro 

Mengeneinheit Kosten insgesamt 

JD AD EN JD AD EN JD AD EN 

Summ 

e 

Waldarbeiter 3,2 21,8 75 100 40 35 28 128 763 2100 2.991 

Harvester 6,8 28,2 0 35 25 20 1000 170 564 0 734 

Bauern 15 0 0 15 20 22 28 300 0 0 300 

Summe 25 50 75 

Plan-Flächen 25 50 75 Summe 4.025 

Die schwarzen Zahlen sind die vorgegebenen Erntekosten der einzelnen Kapazitäten. 

Die blauen Zahlen sind die Mengen, die von den einzelnen Kapazitäten ein- 

geschlagen werden werden. 

Die roten Zahlen sind die resultierenden Erntekosten. 

Es wurden die Restriktionen verwendet, daß die Waldarbeiter mindestens 

100 Mengeneinheiten leisten müssen und die Bauern höchstens 15 Mengeneinheiten 

lleisten i kö können. 


Holzerlös 

Rückekosten (Transportkosten) 

Transportgrenze 


Rückekosten 

Netto-Erlös pro Fm 

Rückedistanz 


Wahl der Transportmittel 

Transportkosten LKW 


LKW - Bahn 


Bahn - Schiff 

Bahn 

SSchiff hiff 

Transportentfernung 


Wahl der Rücketechnik 

Rückekosten Pferd 


Pferd – kl. Schl. 


kl. Schl. – gr. Schlepper 

kleiner Schlepper 

großer ß Schlepper S hl 

Rückeentfernung 


Eine lehrbuchmäßige 

AAnwendung d ddes 

Marginalkalküls. 

Optimale Pflanzenzahl 

marginale Kulturkosten = marginale diskontierte Nettoerlöse 

Kulturkosten 

diskontierte Netto-Erlöse 

Optimum 

diskontierte Netto-Erlöse 

Kulturkosten 

Pflanzenzahl 

Wie dürfte der optimale Pflanzverband von dem Kalkulationszinsfuß abhängig sein? 


Optimale p Ergänzung, g g, optimale p Stammzahlverminderung g 

Bei Kulturen stellt 

manchmal die Frage Frage, 

ob sie nachgebessert 

werden sollten. 

Auch bei dieser Frage 

hilft der Marginalkalkül. 

Auf Stammzahlvermin- 

derungen uu.a. a Pflege- Pflegemaßnahmen 

kann man 

diesen Kalkül sinngemäß 

anwenden. 

Fixkosten der Maßnahme sind berücksichtigt. 

marginale Kosten = marginale diskontierte Nettoerlöse 

Kosten 

diskontierte zusätzliche Netto-Erlöse 

diskontierte zusätzliche 

Netto-Erlöse 

Kosten der 

Nachbesserung 

Mindestgröße, 

die eine Nachbesserung 

rechtfertigt g 

Größe der Fehlstelle 


Transportgrenzen 

Natürlich ist auch eine 

sortimentsspezifische 

Betrachtung möglich. 

Transportkosten 

bei 60 km Distanz zur 

Fabrik 

Transportkosten 

Preis 

Transportkosten p 

bei 30 km Distanz zur Fabrik 

Rückeentfernungg zur Straße 

Holzpreis 

Je näher der Hiebsort an der 

Fabrik oder am Hafen liegt, 

desto längere Rückeentfernungen 

sind möglich. 


grafische Lösung eines LP-Modells 

Restriktionen 

Sortiment 2 

Sortiment 2 

Kapazität 

Produktions- 

möglichkeiten 

min. 

Menge 

max. 

MMenge 

min. 

Menge Optimum p 

Zielfunktion und 

Produktionsmöglichkeiten 

Zielfunktion 

Sortiment 1 Sortiment 1 


grafische Lösung eines LP-Modells 

Zielfunktion und 

Produktionsmöglichkeiten 

Sortiment 2 

Zielfunktion 

Die Neigung der Zielfunktion 

bestimmt, welche Ecke 

getroffen wird 

Sortiment 1 Sortiment 1 

Zielfunktion

Optimierung der Durchforstung - FWL

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