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Algorithmen, Prozessierungssystem und erste Ergebnisse

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ANHANG A Herleitung der

ANHANG A Herleitung der Gleichungen für 2D-Raytracingsimulationen Die für die 2D-Raytracingsimulationen in Kap. 3.3.3 verwendete Differentialgleichung (3.51) wird mit Hilfe der Variationsrechnung abgeleitet. Die Lösung der Gleichung ist die Bahnkurve r(ϕ) des Strahles der elektromagnetischen Welle vom Sendeort r(ϕStart) zum Empfangsort r(ϕEnd), die sich bei der Ausbreitung durch ein Medium (charakterisiert durch die Refraktivitätsverteilung n(r,ϕ)) entsprechend den Gesetzen der geometrischen Optik (Kap. 3.1.2) ergibt. Bei der Variationsrechnung geht es im einfachsten Fall darum, die Extremwerte eines als Integral geschriebenen Funktionals bei Variation der Struktur der im Integranden stehenden, unabhängigen, Funktionen zu ermitteln. Als Funktional wird dabei eine Zahlengröße verstanden, der nach einer bestimmten Vorschrift Funktionen zugeordnet sind. Bei der Wellenausbreitung nach den Gesetzen der geometrischen Optik bildet das Fermat’sche Prinzip (Kap. 3.1.2) den Ausgangspunkt für die Anwendung der Variationsrechnung. Das gesuchte Funktional ist die optische Weglänge, hier mit Φ bezeichnet. Sie ist definiert als das Wegintegral des Brechungsindex n(s) des Ausbreitungsmediums entlang des Strahlenweges s (A 1). Gemäß dem Fermat’schen Prinzip erfolgt die tatsächliche Strahlausbreitung entlang einer Trajektorie r (s) r , die das Funktional Φ einen Minimalwert annehmen lässt. Die Aufgabe besteht darin, genau diese Trajektorie zu ermitteln. Φ = s s End ∫ Start n ( s) ds (A 1) Zur Lösung wird das Kurvenintegral 1.Art (A 1) mit dem allgemeinen Kurvenparameter t parametrisiert. Für kartesischen Koordinaten x, y und z (im 3D-Fall) gilt dann: x = x( t); y = y( t); z = z( t) . (A 2) Mit (A 2) kann (A 1) umgeschrieben werden: Φ = sEnd ∫ sStart n ds = t End ∫ tStart 2 2 2 n( x, y, z) x& + y& + z& dt (A 3) mit: dx dy dz x & = ; y& = ; z& = . (A 4) dt dt dt Bei Reduzierung der 3D-Aufgabe auf ein zweidimensionales Problem können Polarkoordinaten eingeführt werden. Dabei dient der Winkel φ gleichzeitig als Kurvenparameter der gesuchten ebenen Kurve r(φ): x = r cosϕ , (A 5) y = r sinϕ , (A 6)

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