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Algorithmen, Prozessierungssystem und erste Ergebnisse

Algorithmen, Prozessierungssystem und erste Ergebnisse

144 Anhang A z = 0 . (A

144 Anhang A z = 0 . (A 7) Mit den ersten Ableitungen der parametrisierten Koordinaten (A 5)-(A 7) nach dem Kurvenparameter φ: d x& = ( r cosϕ ) = r' cosϕ − r sinϕ , (A 8) dϕ d y & = ( r sinϕ ) = r'sinϕ + r cosϕ , (A 9) dϕ d z& = ( 0 ) = 0 (A 10) dϕ ergibt sich die zweidimensionale Formulierung des Problems (A 1) in Polarkoordinaten: mit: Φ = ϕ ϕ End ∫ Start 2 ( r'( ϕ) ) dϕ 2 n( r, ϕ) r ( ϕ) + (A 11) dr r ' = . (A 12) dϕ Gesucht ist die ebene Bahnkurve r(φ), die das Funktional Φ (optische Weglänge) in (A 11) zu einem Extremwert macht. Als notwendige Bedingung für einen Extremwert in Φ muss die gesuchte Funktion r(φ) die Euler-Lagrangsche Differentialgleichung (A 13) erfüllen: mit: d ∂L ∂L = , (A 13) dϕ ∂r' ∂r L + ( ) 2 '( ) 2 = n( r, ϕ) r ( ϕ) r ϕ . (A 14) (A 14) wird in (A 13) eingesetzt. Die Berechnung der rechten Seite von (A 13) ergibt: ∂L = n( r, ϕ ) ∂r r 2 2 r + ( r' ) + 2 2 ∂n r + ( r' ) . ∂r (A 15) Die linke Seite von (A 13) kann geschrieben werden als: d ⎧∂L ⎫ ⎧ ∂n ∂r ⎫ ⎨ ⎬ = ⎨ + r'⎬ dϕ ⎩∂r ⎩ ⎭ r' ' 2 ⎭ ∂ϕ ∂ϕ r r 2 + ( ') ⎛ 2 2 1 ⎞ ⎜ r'' r + ( r') − r' [ 2rr'+ 2r'r ''] ⎟ 2 2 ⎜ 2 r + ( r') ⎟ n( r, ϕ ) ⎜ 2 r + ( r') ⎟ . (A 16) ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ + 2

Anhang A Nach Einsetzen von (A 16) und (A 15) in (A 13) ergibt sich: 2 2 ∂n ∂n 2 r'' r − 2( r') r − r r' − r + n( r, ϕ) 2 2 ∂ϕ ∂r r + ( r') 3 145 = 0. (A 17) Die Division durch r² und geeignetes Umstellen von (A 17) führt zu einer nichtlinearer Differentialgleichung 2. Ordnung (A 18). Zusammen mit den Randbedingungen für den Start- und Endpunkt des Strahles r(φStart) bzw. r(φEnd) ermöglicht die Lösung von (A 18) die Bestimmung des Strahlenweges r(φ). ( r') 2 2 ( r ( ') ) 2 1 ⎛ ∂n r' ∂n ⎞ r ''= r + 2 + ⎜ − ⎟ + r 2 r n( r, ϕ) ⎝ ∂r r ∂ϕ ⎠ (A 18)

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