4 Flächen und Räume
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4 <strong>Flächen</strong> <strong>und</strong> <strong>Räume</strong><br />
<strong>Flächen</strong> <strong>und</strong> <strong>Räume</strong><br />
Bei der Berechnung von <strong>Flächen</strong> <strong>und</strong> <strong>Räume</strong>n gibt es verschiedene Maßeinheiten.<br />
Längenmaße, <strong>Flächen</strong>maße <strong>und</strong> Raummaße können nur verarbeitet werden, wenn diese<br />
eingeordnet <strong>und</strong> umgerechnet werden können.<br />
Merke!<br />
Längenmaße Ò in zweckmäßige Einheiten wie Meter (m) oder Kilometer (km)<br />
umrechnen.<br />
<strong>Flächen</strong>maße Ò in Quadratmeter (m 2 ) umrechnen.<br />
Raummaße Ò im Lebensmittelbereich (Flüssigkeiten <strong>und</strong> Gase) in Liter (l)<br />
umrechnen.<br />
Längenmaße:<br />
<strong>Flächen</strong>maße:<br />
1 cm = 10 mm<br />
1 dm = 10 cm = 100 mm<br />
1 m = 10 dm = 100 cm = 1.000 mm<br />
1 km = 1.000 m = 10.000 dm = 100.000 cm = 1.000.000 mm<br />
1 cm 2 = 100 mm 2<br />
1 dm 2 = 100 cm 2 = 10.000 mm 2<br />
1 m 2 = 100 dm 2 = 10.000 cm 2 = 1.000.000 mm 2<br />
1 km 2 = 1.000.000 m 2 = 100.000.000 dm 2 = 10.000.000.000 cm 2<br />
Bei der Landberechnung kommen die Maßeinheiten Hektar (ha) <strong>und</strong> Ar (a) zur Anwendung:<br />
1 a = 100 m 2<br />
1 ha = 100 a<br />
1 km 2 = 100 ha<br />
29
Rechnerische Gr<strong>und</strong>lagen<br />
30<br />
Raummaße:<br />
1 cm 3 = 1.000 mm 3 oder 1 Milliliter (ml)<br />
1 dm 3 = 1.000 cm 3 = 1.000.000 mm 3 oder 1 Liter (l)<br />
1 m 3 = 1.000 dm 3 = 1.000.000 cm 3 = 1.000.000.000 mm 3 oder 1.000 Liter (l)<br />
Bei der Volumenberechnung von Flüssigkeiten kommen auch Hektoliter (hl) <strong>und</strong><br />
Zentiliter (cl) zur Anwendung:<br />
1 cl = 10 ml<br />
1 hl = 100 l<br />
Merke: Umrechnung von Raummaßen<br />
Rechnet man von der kleineren zur nächstgrößeren Einheit um (z. B. 4.000 cm 3 = 4 dm 3 ),<br />
so dividiert man durch 1.000.<br />
Rechnet man von der größeren zur nächstkleineren Einheit um (z. B. 4 m 3 = 4.000 dm 3 ),<br />
so multipliziert man mit 1.000.<br />
Beachte!<br />
<strong>Flächen</strong> <strong>und</strong> <strong>Räume</strong> werden mit Hilfe von Formeln berechnet.<br />
Bei der <strong>Flächen</strong>berechnung werden die Fläche oder der Umfang berechnet.<br />
Bei der Raumberechnung werden das Volumen (Inhalt) oder die Oberfläche berechnet.<br />
<strong>Flächen</strong>formen <strong>und</strong> Berechnungsformeln<br />
Diese Buchstaben werden als mathematische Zeichen verwendet:<br />
A = Fläche<br />
U = Umfang<br />
R = Großradius<br />
d = Durchmesser<br />
r = Radius<br />
Merke!<br />
Seiten (Strecken) einer Fläche werden mit Buchstaben<br />
gekennzeichnet.<br />
Seiten mit gleicher Länge erhalten den selben Buchstaben<br />
(etwa beim Viereck).<br />
Das Benennen der Seiten durch Buchstaben ist die<br />
Gr<strong>und</strong>lage für die Formel zur Berechnung der Fläche.
Quadrat<br />
a<br />
Rechteck<br />
a<br />
a<br />
Beachte!<br />
b<br />
A = a · a = a 2<br />
Klammern zuerst ausrechnen!<br />
Punktrechnung geht vor Strichrechnung!<br />
Dreieck<br />
h<br />
Merke!<br />
<strong>Flächen</strong> <strong>und</strong> <strong>Räume</strong><br />
U = a+a+a+a oder a · 4<br />
(ein Quadrat hat 4 gleiche Seiten)<br />
A = a · b = ab<br />
U = (a + b) · 2 (ein Rechteck hat 2 a- <strong>und</strong> 2 b-Seiten)<br />
U = a + b + c<br />
h = Höhe des Dreiecks<br />
Dreieck:<br />
Die kürzeste Seite wird mit dem Buchstaben 'a' bezeichnet. Die zweitkürzeste Seite<br />
wird mit dem Buchstaben 'b', die längste Seite mit dem Buchstaben 'c' bezeichnet.<br />
31
Rechnerische Gr<strong>und</strong>lagen<br />
Kreis<br />
Archimedes-Konstante<br />
Ein Kreis mit einem Durchmesser von 1 hat einen Umfang von �.<br />
Würde man einen Kreis öffnen <strong>und</strong> zu einer Geraden ziehen, so würde die Kreislänge 3,14<br />
betragen. Das ist der Umfang des Kreises.<br />
Ein Rad mit 1 m Durchmesser kommt mit einer Umdrehung 3,14 m voran.<br />
U = 2 · r · �<br />
Ebene Gr<strong>und</strong>figuren sind Quadrat, Rechteck <strong>und</strong> Kreis. Die Gr<strong>und</strong>formen der <strong>Flächen</strong>berechnung<br />
entsprechen den Anforderungen des Fachbereichs Fleischwirtschaft.<br />
Es gibt weitere ebene Figuren wie Trapez, Ellipse, Parallelogramm <strong>und</strong> krummlinige Figuren.<br />
Die <strong>Flächen</strong>inhalte ebener Figuren werden durch die Anzahl der in ihr enthaltenen Einheitsquadrate<br />
bestimmt.<br />
32<br />
Beachte!<br />
Beachte!<br />
A = r · r · �<br />
A = r2 · �<br />
mit � = 3,14<br />
Kurz erklärt:<br />
A Ò ist zu errechnen: die Fläche des Kreises.<br />
r Ò bezeichnet den Radius. Der Radius ist der halbe Durchmesser.<br />
� Ò bezeichnet die Kreiszahl 3,14, auch Archimedes-Konstante genannt.<br />
r · r Ò kann man auch verkürzt schreiben: r 2 .<br />
Ebene Figuren haben zweidimensionale Ansichten: Länge <strong>und</strong> Breite (z. B. m 2 ).<br />
Körper bzw. <strong>Räume</strong> besitzen eine Dimension mehr. Länge, Breite, Höhe (z. B. m 3 ).<br />
Berechnet wird:<br />
• das Volumen = der Inhalt (z. B. m3 ) oder<br />
• die Oberflächen, wobei diese zweidimensional bleiben (z. B. m2 ).
Würfel<br />
Quader<br />
a<br />
Zylinder<br />
V = � · r 2 · h<br />
O = � · 2 · r (r + h)<br />
V = a · a · a = a 3<br />
O = a · a · 6 = 6a 2<br />
O = 6 · a 2 = 6a 2<br />
<strong>Flächen</strong> <strong>und</strong> <strong>Räume</strong><br />
Die Oberfläche (O) eines Würfels erhält man,<br />
indem zunächst die Gr<strong>und</strong>fläche (Quadrat)<br />
berechnet wird. Sie wird mit der Anzahl der<br />
<strong>Flächen</strong>, nämlich 6, multipliziert.<br />
Warum? Jeder weiß vom Würfelspiel, dass der<br />
Würfel sechs verschiedene Zahlen aufweist.<br />
Also hat ein Würfel sechs Seiten, somit sechs<br />
Gr<strong>und</strong>flächen. Diese ergeben die Oberfläche.<br />
Die Berechnung erfolgt nach dem gleichen Modus wie beim<br />
Würfel.<br />
Das Volumen wird errechnet aus der Formel „Gr<strong>und</strong>fläche<br />
mal Höhe“ = a · b (· h) (z. B. Länge mal Breite mal Höhe).<br />
Drei Dimensionen werden multipliziert (z. B. m 3 oder dm 3 ).<br />
Die Oberfläche erhält man, indem die Gr<strong>und</strong>flächen berechnet<br />
werden. Der Quader besitzt 3 verschiedene Gr<strong>und</strong>flächen,<br />
jede 2-mal.<br />
Warum? Wie beim Würfel haben wir sechs Seiten. Die<br />
3 Gr<strong>und</strong>flächen werden errechnet, dann jede mit 2 multipliziert.<br />
Zum Schluss werden die jeweils 2-mal vorhandenen<br />
3 Gr<strong>und</strong>flächen addiert. Das ergibt die Oberfläche.<br />
Das Volumen ergibt sich aus der Formel „Gr<strong>und</strong>fläche mal<br />
Höhe“. Diese Berechnung wird angewendet zur Ermittlung<br />
des Fassungsvermögens von Behältern.<br />
Die Oberfläche von Zylindern ergibt sich, wenn man die<br />
beiden Kreisebenen mit dem Radius <strong>und</strong> der Höhe multi -<br />
pliziert. Diese Berechnung wird angewendet bei dem<br />
bekanntesten Zylinder, dem geraden Zylinder, oder beim<br />
Rotationszylinder. Von Rotations zylinder spricht man,<br />
wenn beide Kreisebenen im gleichen parallelen Abstand<br />
zueinander stehen.<br />
33
Rechnerische Gr<strong>und</strong>lagen<br />
4.1 Übungsaufgaben: <strong>Flächen</strong> <strong>und</strong> <strong>Räume</strong><br />
1 Ein Landfleischer will sein Schlachthaus neu streichen lassen. Der Raum ist 9 m lang,<br />
4,80 m breit <strong>und</strong> 4,20 m hoch. Er soll bis zu 4 m Höhe mit heller Ölfarbe gestrichen<br />
werden. Das kostet 12,50 €/m 2 . Die Decke <strong>und</strong> der obere Streifen der Wände sollen für<br />
4,– €/m 2 gekalkt werden.<br />
1.1 Wie viel m 2 werden mit Ölfarbe gestrichen, wenn 10 % der Fläche auf Tür <strong>und</strong> Fenster<br />
fallen?<br />
1.2 Wie teuer wird das Streichen mit Ölfarbe?<br />
1.3 Wie teuer wird das Kalken?<br />
1.4 Wie teuer wird die Erneuerung des Schlachthauses?<br />
2 Ein Fleischer lässt die Wurstküche erneuern. Sie ist 7,5 m lang, 4,80 m breit <strong>und</strong><br />
5,40 m hoch. 1/12 der Wandfläche sind Fenster <strong>und</strong> Türen. Die Wände werden in ganzer<br />
Höhe mit hellen, glasierten Platten belegt. Das kostet 45,50 €/m 2 . 1 m 2 Fußboden<br />
ist 1,50 € billiger. Das Kalken der Decke kostet 4,20 €/m 2 .<br />
2.1 Wie teuer wird die Erneuerung der Wurstküche?<br />
2.2 Um wie viel Prozent steigen die Kosten, wenn der Meister am Fußboden eine umlaufende<br />
Hohlkehle für 9,90 € pro laufendes Meter anbringen lässt?<br />
3 Ein Fleischer will eine Nische in seiner Wurstküche nutzen, indem er dort eine Klimaanlage<br />
einbauen lässt. Die Nische ist 2,20 m lang, 1,80 m hoch <strong>und</strong> 1,20 m tief. Ein<br />
Drittel der Gr<strong>und</strong>fläche gehen für Apparatur <strong>und</strong> Isolierung verloren.<br />
3.1 Wie viel m 3 Luftraum können in der Anlage klimatisiert werden?<br />
4 Die Decken in den Arbeitsräumen <strong>und</strong> im Gewürzlager sollen mit Platten aus Kunststoff<br />
isoliert werden. Sie haben folgende Maße: 7,50 m � 8,50 m <strong>und</strong> 9,50 m � 7,50 m<br />
<strong>und</strong> 3,50 m � 2,50 m.<br />
4.1 Wie groß sind die Deckenflächen?<br />
4.2 Wie viele Deckenplatten werden benötigt, wenn eine einzelne Platte 0,50 m � 0,50 m<br />
groß ist?<br />
4.3 Was kostet die Deckenverkleidung, wenn pro m 2 34,70 € veranschlagt werden?<br />
5 Für Arbeitskräfte in gewerblichen <strong>Räume</strong>n ist pro Person ein Raumbedarf von 16,5 m 3<br />
vorgesehen. In einer Fleischerei ist die Werkstatt für das Zerlegen von Fleisch 3,00 m<br />
hoch, 5,00 m lang <strong>und</strong> 4,40 m breit.<br />
5.1 Wie viele Personen dürfen dort ständig arbeiten?<br />
34
<strong>Flächen</strong> <strong>und</strong> <strong>Räume</strong><br />
6 Bakteriologen haben die Zahl der Keime auf verschiedenen Tischen in den Abteilungen<br />
einer Fleischerei ermittelt. Sie stellten je cm 2 Oberfläche folgende Keimzahlen<br />
fest (in Tausend):<br />
Betriebsraum Holztisch Metalltisch<br />
ungereinigt gereinigt ungereinigt gereinigt<br />
Schlachthaus 700.000 52.000 86 76<br />
Rohwurstabteilung 32.000 26.000 110 13<br />
Schinkenherstellung 32.800 21.000 4.600 9<br />
6.1 Wie viele Keime befanden sich auf dem Holztisch im Schlachthaus vor <strong>und</strong> nach dem<br />
Reinigen, wenn er 1,5 m breit <strong>und</strong> 2,5 m lang war?<br />
6.2 Wie hoch war der Keimgehalt auf den Tischen gleicher Größe in den einzelnen Betriebsräumen?<br />
35
Rechnerische Gr<strong>und</strong>lagen<br />
5 Dreisatz<br />
Die häufigste <strong>und</strong> wichtigste Rechenmethode in der Fleischwirtschaft ist der Dreisatz.<br />
Er besteht aus<br />
• drei bekannten Werten, die sich gegenseitig bedingen, <strong>und</strong><br />
• einem vierten, unbekannten Wert (dem Ergebnis).<br />
Von einer vorgegebenen Menge oder Mehrheit wird auf die kleinste Einheit geschlossen, um<br />
damit die neue Menge bzw. Mehrheit zu errechnen.<br />
Bei der Dreisatzrechnung verbinden sich Multiplikation <strong>und</strong> Division zu einer Rechenopera -<br />
tion. Dabei wird das Rechnen mit Brüchen angewendet.<br />
Einfacher Dreisatz mit geraden Verhältnissen<br />
Aufgabe: In einem Sonderangebot kosten 6 kg Kasseler Kamm als Mindestabnahme<br />
33,90 €. Wie viel Euro kosten 8,750 kg?<br />
Ansatz: 6,000 kg kosten 33,90 € Bedingung<br />
8,750 kg kosten ? € Frage (mathematisch steht für das ? ein x)<br />
Lösung: 6,000 kg kosten 33,90 € Bedingungssatz: Er sagt, was wir wissen.<br />
36<br />
1,000 kg kosten 33,90 € : 6 Mittelsatz: Er schließt von der Mehrheit<br />
auf die Einheit.<br />
Schlusssatz: Er schließt von der Einheit<br />
auf die Mehrheit.<br />
Ergebnis: 49,44 € Antwortsatz: Er schließt die Aufgabe ab.<br />
Regel: Zuerst den bekannten Satz aufstellen. Fragesatz in die zweite Reihe setzen.<br />
Gleiche Benennungen untereinanderschreiben. Erfragte Benennung an das<br />
Satzende stellen.<br />
Merke!<br />
Einfacher Dreisatz mit geraden Verhältnissen:<br />
Je mehr, desto mehr. Größeres Gewicht Ò höherer Preis.<br />
Je weniger, desto weniger. Kleineres Gewicht Ò niedrigerer Preis.
Vom Dreisatz zur Verhältnisgleichung<br />
Aufgabe: 3 kg Kassler kosten 20,88 €. Wie teuer sind 4,75 kg?<br />
Viele Rechner lösen die Aufgaben mit einer Verhältnisgleichung:<br />
Lösung: Verhältnis aufstellen!<br />
Es verhalten sich: 3 kg zu 20,88 € wie 4,75 kg zu x €.<br />
Außenglied mit Außenglied,<br />
Innenglied mit Innenglied malnehmen: 3 · x = 20,88 · 4,75<br />
20,88 · 4,75<br />
Teilen durch den Faktor von x: x =<br />
3<br />
Ergebnis: x = 33,06<br />
Merke!<br />
Dreisatz<br />
Vom Dreisatz zur Verhältnisgleichung:<br />
Aus gleich benannten Zahlen eine Gleichung mit je einer Seite des Verhältnisses bilden.<br />
Gleichung auflösen nach den Regeln:<br />
• Außenglied mit Außenglied, Innenglied mit Innenglied malnehmen.<br />
• Beide Seiten durch den Faktor von x teilen.<br />
Auch für Verhältnisgleichungen mit geradem Verhältnis gilt:<br />
Je mehr, desto mehr. Größeres Gewicht Ò höherer Preis.<br />
Je weniger, desto weniger. Kleineres Gewicht Ò niedrigerer Preis.<br />
Einfacher Dreisatz mit ungeradem Verhältnis<br />
Beim einfachen Dreisatz mit ungeradem (umgekehrtem) Verhältnis ist das Verhältnis der<br />
beiden bekannten Werte umgekehrt.<br />
Aufgabe: 4 Vakuumfüllautomaten füllen 4.000 kg Brät in 5 St<strong>und</strong>en ab. Wie viel Zeit<br />
benötigen 5 Vakuumfüllautomaten?<br />
Ansatz: 4 Vakuumfüllautomaten füllen 4.000 kg Brät in 5 St<strong>und</strong>en ab.<br />
5 Vakuumfüllautomaten füllen 4.000 kg Brät in ? St<strong>und</strong>en ab.<br />
37
Rechnerische Gr<strong>und</strong>lagen<br />
Lösung: 4 Vakuumfüllautomaten füllen 4.000 kg Brät in 5 St<strong>und</strong>en ab.<br />
1 Vakuumfüllautomat benötigt für 4.000 kg 4-mal länger.<br />
(4 · 5 Std. = 20 Std.)<br />
5 Vakuumfüllautomaten benötigen den 5. Teil der Zeit von<br />
einem Vakuumfüllautomat.<br />
1 Vakuumfüllautomat benötigt 20 Std.<br />
5 Vakuumfüllautomaten ein Fünftel der Zeit = 20 Std. / 5 = 4 Std.<br />
Ergebnis: 5 Vakuumfüllautomaten füllen 4.000 kg Brät in 4 St<strong>und</strong>en ab.<br />
38<br />
Merke!<br />
Regel für den Dreisatz mit ungeradem (umgekehrtem) Verhältnis:<br />
Je mehr, desto weniger. Höhere Leistung Ò geringere Zeit.<br />
Höheres Gewicht Ò niedrigerer Preis.<br />
Je weniger, desto mehr. Geringere Leistung Ò längere Zeit.<br />
Doppelter Dreisatz mit geraden Verhältnissen<br />
Der doppelte Dreisatz verarbeitet zwei einfache Dreisätze in einem. Man kann die Aufgaben<br />
auch nacheinander rechnen. Hier wird ein Lösungsweg gezeigt, der das Ergebnis auf einem<br />
Bruchstrich errechnet.<br />
Aufgabe: Eine Fleischerei benötigt für den 15 Personen starken Mittagstisch einer<br />
Kantine in 5 Tagen 6 kg Fleisch. Durch den Ausfall eines Kochs wird der<br />
Mittagstisch für die nächsten 15 Tage für weitere 15 Personen übernommen.<br />
Der Mittagstisch beträgt nunmehr 30 Personen für die nächsten 15 Tage.<br />
Wie viel Fleisch wird unter den veränderten Bedingungen benötigt?<br />
Ansatz: 15 Personen benötigen in 5 Tagen 6 kg Fleisch<br />
30 Personen benötigen in 15 Tagen ? kg Fleisch<br />
Lösung: Erster Schritt: Wie viel verbraucht eine Person an 5 Tagen?<br />
Den 15. Teil von 6 oder = 6 kg<br />
15<br />
Zweiter Schritt: Wie viel verbrauchen 30 Personen?<br />
30-mal so viel wie eine Person oder 6 · 30 (Der Bruchstrich wird erweitert.)<br />
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