Blatt 6 - Institut für Angewandte und Experimentelle Mechanik

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Blatt 6 - Institut für Angewandte und Experimentelle Mechanik

Aufgabe 6.1 Aufgabe 6.2 A B a Institut für Angewandte und Experimentelle Mechanik P E1,A1,ℓ1 E2,A2,ℓ2 C P b c D Technische Mechanik IV Sommersemester 2011 ZÜ 6.1 Zwei Stäbe (E1,A1,ℓ1 und E2,A2,ℓ2) sind wie skizziert verbunden und an den Enden fest eingespannt. Am mittleren Knoten greift eine Kraft P an. Berechnen Sie die Verschiebung des mittleren Knotens mit Hilfe der FEM. Die Balken AB und BD (Längen a bzw. c, Biegesteifigkeit EI = α) sind in der skizziertenWeisegelagertundimPunktB durchein Gelenk miteinander verbunden. Im Gelenkpunkt B ist zusätzlich ein Seil BC (Länge b, Steifigkeit EA = β) befestigt. Die Anordnung wird durch die eingezeichnete Kraft P belastet. Die Verformung soll mit der Methode der Finiten Elemente untersucht werden. a) Zerlegen Sie die Gesamtstruktur in 3 geeignete Elemente und geben Sie deren Elementsteifigkeitsmatrizen an. b) Geben Sie an, welche unbekannten Knotenvariablen das Gesamtsystem enthält. c) Ermitteln Sie die Gesamt-Steifikeitsmatrix K. d) Bestimmen Sie die Absenkung des Punktes B.


Lösung zur Aufgabe 6.1 FEM, Stab, 1D Diskretisierung Institut für Angewandte und Experimentelle Mechanik Zerlegung der Gesamtstruktur in 2 Stabelemente (insgesamt 3 Knoten). Aufstellen der Elementmatrizen 1 E1,A1,ℓ1 2 2 E2,A2,ℓ2 3 u11 u12 u21 u22 Steifigkeitsmatrizen (laut Vorlesung): K = 1 E1A1 � � 1 −1 −1 1 , K = 2 E2A2 ℓ1 Randbedingungen, Kompatibilitätsbedingungen Die Einzelelemente haben insgesamt 4 Knotenvariable: u11, u12, u21, u22 Die Kompatibilitätsbedingung am Knoten 2 lautet: u12 = u21 ℓ2 � 1 −1 −1 1 � Technische Mechanik IV Sommersemester 2011 ZÜ 6.2 Die verbleibenden Knotenvariablen werden nun umbenannt (globale Knotennummerierung) in u11 = u1, u12 = u21 = u2, u22 = u3 Die 2 Randbedingungen (Einspannung) lauten somit: u1 = 0, u3 = 0 Aufstellen des Gesamtsystems Assemblierung der Gesamtsteifigkeitsmatrix aus den Teilmatrizen K1, K2: ⎡ E1A1 − ⎢ ℓ1 ⎢ K = ⎢ ⎣ E1A1 0 ℓ1 − E1A1 E1A1 + ℓ1 ℓ1 E2A2 − ℓ2 E2A2 ℓ2 0 − E2A2 ⎤ ⎥ ⎦ E2A2 ℓ2 ℓ2


Institut für Angewandte und Experimentelle Mechanik Technische Mechanik IV Sommersemester 2011 ZÜ 6.3 Das Gleichungssystem zur Bestimmmung der Knotenvariablen lautet K u = f mit dem Belastungsvektor f = [R1, P, R3] T (wobei R1 und R3 für die Reaktionskräfte an der Einspannung stehen): ⎡ E1A1 ⎢ ℓ1 ⎢ ⎣ − E1A1 − 0 ℓ1 E1A1 ℓ1 E1A1 + ℓ1 E2A2 − ℓ2 E2A2 0 ℓ2 − E2A2 � ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ u1 R1 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ u2 ⎥ = ⎢ P ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ E2A2 ℓ2 ℓ2 u3 R3 �� � � �� � � �� � K u f Einbau der Randbedingungen und Lösung des Gleichungssystems Nach Einsetzen der Randbedingungen (u1 = 0 und u3 = 0) folgt aus der zweiten Zeile u2 = E1A1 ℓ1 P + E2A2 ℓ2 Dies wiederum entspricht der Parallelschaltung zweier Federn mit den Federkonstanten E1A1 ℓ1 und E2A2. Die Reaktionskräfte lassen sich nun aus der ersten und dritten Zeile des obigen Gleichungs- ℓ2 systems bestimmen.


Lösung zur Aufgabe 6.2 FEM, Balken Institut für Angewandte und Experimentelle Mechanik Technische Mechanik IV Sommersemester 2011 ZÜ 6.4 a) Zerlegung der Gesamtstruktur in 3 Elemente (2 Balken, 1 Zugstab) mit Einführung der Knotenvariablen: b A a B B B C u4 ω u3 ′ 11 ω ′ 12 ω ′ 22 ω ′ 23 ω11 ω12 ω22 ω23 Steifigkeitsmatrizen (laut Vorlesung): K = 1 2α a3 ⎡ 6 3a −6 3a ⎢ 3a 2a ⎣ 2 −3a a2 −6 −3a 6 −3a 3a a2 −3a 2a2 ⎤ ⎥ ⎦ ; K � � β 1 −1 = 2 b −1 1 K = 3 2α c3 ⎡ 6 3c −6 3c ⎢ 3c 2c ⎣ 2 −3c c2 −6 −3c 6 −3c 3c c2 −3c 2c2 ⎤ ⎥ ⎦ b) Die Einzelelemente haben zusammen 10 Knotenvariable (beim Balkenelement werden nur die Verschiebungen senkrecht zur Balkenachse betrachtet): ω11, ω ′ 11, ω12, ω ′ 12, u4, u3, ω22, ω ′ 22, ω23, ω ′ 23 Die 5 Randbedingungen (Lager): ω11 = 0, ω ′ 11 = 0, u4 = 0, ω23 = 0, ω ′ 23 = 0 Hinzu kommen 2 Anschlussbedingungen in B: ω12 = u3, ω12 = ω22 Wegen des Gelenks besteht für die Steigungen ω ′ 12 und ω ′ 22 keine Anschlussbedingung. Damit verbleiben 10-5-2 = 3 freie Knotenvariable: ⎡ ω2 := ω12 = u3 = ω22 ω ′ 2 := ω ′ 12 ω ′ 3 := ω ′ 22 → u = ⎣ ω2 ω ′ 2 ω ′ 3 ⎤ ⎦ c D ;


Institut für Angewandte und Experimentelle Mechanik Technische Mechanik IV Sommersemester 2011 ZÜ 6.5 c) Konstruktion der Steifigkeitsmatrix K aus K 1 , K 2 , K 3 unter Berücksichtigung wegfallender Knotenvariablen (Zeilen und Spalten für verschwindende Verschiebungen können gestrichen werden): ⎡ 12α 12α β ⎢ + + ⎢ a3 c3 b ⎢ −6α K = ⎢ a ⎣ 2 6α c2 −6α a 2 4α a 0 6α c 2 0 4α c d) Das Gleichungssystem zur Bestimmmung der Knotenvariablen lautet K u = f mit dem Belastungsvektor f = [P, 0, 0] T (auf die Knotenvariable ω ′ 2 und ω ′ 3 wirken keine äußeren Momente): � � 12α 12α β + + a3 c3 b aus (2) folgt: ω ′ 2 = 3 2a ω2 aus (3) folgt: ω ′ 3 = − 3 2c ω2 (4), (5) in (1): � 12α 12α β + + a3 c3 b ω2 = P 3 α a3 + 3 α c3 + β b ⎤ ⎥ ⎦ ω2 −6 α a 2ω′ 2 +6 α c 2ω′ 3 = P (1) −6 α a 2ω2 +4 α a ω′ 2 = 0 (2) 6 α c 2ω2 +4 α c ω′ 3 = 0 (3) 9α 9α − − a3 c3 � ω2 = P (4) (5)

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