Jochen Howind - Deutsche Geodätische Kommission

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und dem Zeitabstand τ zwischen zwei Werten der Zeitreihe als Repräsentation der theoretischen Autokovarianzfunktion
bestimmt werden (vgl. Moritz, 1980). Normiert man diese Funktion mit der Varianz der Zeitreihe (τ=0), so ergibt sich
die empirische Autokorrelationsfunktion
R
( )
C
( τ )
( 0)
xx
xx τ = . (2.23)
Cxx
Mit Hilfe dieser Funktion können dann auch die Korrelationsstrukturen verschiedener Zeitreihen miteinander vergli-
chen werden. Zur Beschreibung der Abhängigkeiten zwischen verschiedenen Zeitreihen Y1t und Y2t kann die empirische
Kreuzkovarianzfunktion
n−τ
1
( τ ) ( Y1 −Y1)(
Y 2 −Y2
)
Cxy = ∑
t=
1
t
t+
τ
n
bzw. die empirische Kreuzkorrelationsfunktion
R
xy
( )
Cxy
( τ )
( ) ⋅C
( 0)
n
n
1
1
mit Y1
= ∑Y1i
und Y2
= ∑Y2i
n i=
1
n i=
1
(2.24)
τ =
(2.25)
Cxx
0 yy
berechnet werden.
Die Bestimmung der Kovarianz- bzw. Korrelationsfunktionen kann auf der Grundlage des Konzepts der stochastischen
Prozesse erfolgen. Gelingt die Anpassung eines stochastischen Prozesses an die untersuchten Zeitreihen nicht zuverlässig
oder ist sie aus rechentechnischen Gründen nicht erwünscht, können die Kovarianz- bzw. Korrelationsfunktionen
direkt nach den Formeln (2.22) bis (2.25) aus den Zeitreihenwerten bestimmt werden. Dabei ist jedoch zu beachten,
dass die berechnete Kovarianzfunktion sehr stark von der Anzahl der Zeitreihenwerte und damit der Länge der Zeitreihe
beeinflusst wird, da mit wachsendem Zeitabstand τ die Zahl der Datenpaare, die zur Bestimmung von C(τ ) verwendet
wird, und damit die Zuverlässigkeit der Bestimmung der Kovarianz- bzw. Korrelationsfunktion abnimmt. Dieses Problem
kann umgangen werden, indem für die Weiterverarbeitung nur der Teil der Kovarianzfunktion berücksichtigt wird,
bei dem aufgrund einer ausreichenden Datenmenge eine zuverlässige Bestimmung möglich ist. Die Empfehlungen in
der Literatur reichen dabei von der Berücksichtigung von maximal 10% der gesamten Datenmenge in Otens und Enochson
(1978) oder Niemeier (2002) bis zu 25% bei Box und Jenkins (1976). Zudem empfehlen Box und Jenkins,
Kovarianzfunktionen nur für Zeitreihen mit mindestens 50 Zeitreihenwerten zu bestimmen, während Niemeier (2002)
eine Mindestlänge von 100 Zeitreihenwerten fordert.
2.4 Statistische Tests
In den vorherigen Abschnitten wurde deutlich, dass für viele Verfahren der Zeitreihenanalyse bestimmte Annahmen wie
z.B. Homoskedastizität zu treffen sind bzw. das Vorliegen dieser Annahmen überprüft werden muss. Für diese Überprüfungen
existieren eine Reihe statistischer Tests. Aus dieser Fülle sollen im Folgenden die im Rahmen dieser Arbeit
verwendeten Testverfahren erläutert und alternative Tests diskutiert werden. Ausführliche Untersuchungen dazu sind
u.a. Teusch (2004) zu entnehmen, wo zudem weitere Testverfahren zusammengefasst sind.
Für Testentscheidungen wird in der Geodäsie im Allgemeinen das Niveau α eines Tests, d.h. die maximale Wahrscheinlichkeit,
mit der unter Vorliegen der Nullhypothese irrtümlich die Alternative erkannt wird (Irrtumswahrscheinlichkeit),
fest vorgegeben. Oftmals, z.B. für Vergleiche unterschiedlicher Datensätze, ist es jedoch sinnvoll, den p-Wert
des Tests zu betrachten. Er gibt das bestmögliche Niveau an, zu dem der Test gerade noch verworfen wird. Überschreitet
der p-Wert das vorgegebene Niveau α, wird die Nullhypothese nicht verworfen, ist er kleiner oder gleich, wird sie
dagegen verworfen (Hartung et al., 2002). Der p-Wert ermöglicht somit neben der einfachen Testentscheidung einen
detaillierten Vergleich unterschiedlicher Testergebnisse. Der Vergleich unterschiedlicher Testverfahren geschieht u.a.
über die Güte des Tests β, die Wahrscheinlichkeit, mit der unter Vorliegen einer bestimmten Alternativhypothese die
richtige Entscheidung getroffen, d.h. die Nullhypothese verworfen wird. Den Test für ein bestimmtes Problem, dessen