Jochen Howind - Deutsche Geodätische Kommission

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wertfunktion der quadrierten, trendbereinigten studentisierten Residuen Δrs 2 mit Hilfe einer linearen Regression (Chatterjee
und Price, 1995) geschätzt werden. Auf der Grundlage umfangreicher Untersuchungen wurde in dieser Arbeit
f
b
1
2
2 2 2 2
( ele ) b ⋅ ( ele ) = b ⋅⎜
cos ( z + z + z + z )
4d
b2
⎛
⎞
= ⎟
1 4d 1
11 12 21 22
(4.14)
⎜ 4
⎟
⎝
⎠
mit ele4d aus (4.8) und den zu schätzenden Parametern b1 und b2 als Regressionsfunktion gewählt. Es sei darauf hingewiesen,
dass diese Funktion mit dem troposphärischen Einfluss aus (3.3) korrespondiert, der einen der Haupteinflussfaktoren
auf die GPS-Beobachtungen darstellt. Der Ansatz
2
s
( ) ( ) 2
2
b
r − r = b ele
Δr =
− ⋅
(4.15)
s / i
s / i 1
1
4d
führt zu einer nichtlinearen Regression, die entweder iterativ numerisch lösbar ist (vgl. Schwetlick, 1979) oder mit Hilfe
einer Logarithmus-Transformation der Daten und des funktionalen Modells linearisiert werden kann. Dies führt dann
zum linearisierten Ansatz
2
2
b
( r ) = ln(
r − r ) = ln(
b ⋅ ( ele ) ) = ln(
b ) + b ⋅ ln(
)
2 ln s
s / i s / i 1
1 4d
1 2 ele4d
Δ − , (4.16)
der z.B. mit den bekannten Methoden des Kleinste-Quadrate-Verfahrens aus Abschnitt 2.1 bearbeitet werden kann.
Jede Abweichung der der Schätzung zugrunde liegenden Daten von der Normalverteilung kann zu unerwünschten Effekten
bzw. zu einer unzuverlässigen Schätzung der Parameter der Regressionsfunktion führen. Es ist allerdings schwierig,
die Normalverteilung von Residuen aus der GPS-Auswertung nachzuweisen. Schon Tiberius und Borre (1999)
konnten die Hypothese der Normalverteilung von GPS-Beobachtungen allenfalls nicht widerlegen, jedoch auch nicht
statistisch nachweisen. Eine visuelle Möglichkeit zur Beurteilung der Normalverteilungsannahme ist die Überprüfung
mit Hilfe eines Normal-QQ-Plots. QQ-Plots werden gemäß Hartung et al. (2002) verwendet, um zu überprüfen, ob die
untersuchten Daten einer bestimmten Verteilung - bei einem Normal-QQ-Plot der Normalverteilung - entstammen.
Dabei werden die empirischen Quantile der Beobachtungsreihe über den theoretischen Quantilen aufgetragen. Bei einer
Übereinstimmung mit einer Standardnormalverteilung N(0,1) liegen die Punkte auf einer Ursprungsgeraden mit Steigung
eins. Abweichungen von der Geraden deuten auf ein Nichtzutreffen der Verteilung hin. Ist die Gerade keine Ursprungsgerade,
so weisen die Daten einen von Null verschiedenen Erwartungswert auf, während eine Steigung ungleich
eins auf Abweichungen in der Varianz der Daten hinweist. Einzelne Unregelmäßigkeiten an Anfang und Ende der Geraden
nach links unten bzw. rechts oben können oft als Ausreißer gedeutet werden. Beispielhaft dazu ist in Abbildung
4.11 die Zeitreihe aus Abbildung 4.9 inklusive zugehörigem Normal-QQ-Plot dargestellt.
Abb. 4.11: Differenzierte studentisierte Residuen Δr s inklusive zugehörigem Normal-QQ-Plot
Theoretische Verteilung: Standardnormalverteilung N(0,1)
L 3-Doppeldifferenzen aus Abbildung 4.9 (375km-Basislinie, PRN 15-03, Datenrate: 30s)
Im Großen und Ganzen kann bei den Daten aus Abbildung 4.11, trotz einer recht großen Zahl an Abweichungen, eine
Normalverteilung (keine Standardnormalverteilung) nicht widerlegt werden. Betrachtet man die dort dargestellten Da-