Formelsammlung Elektrotechnik - Chiemgau Net GmbH

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Formelsammlung
Elektrotechnik
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Rückmeldungen sind erwünscht.
April 2012
Alexander Ausserstorfer,
E-Mail: bavariasound [at] chiemgau - net . de
Web: http://home.chiemgau-net.de/ausserstorfer/

I Grundlagen
Größen 10 -1 Dezi d 10 1 Deka da
10 -2 Zenti c 10 2 Hekto h
10 -3 Milli m 10 3 Kilo k
10 -6 Mikro µ 10 6 Mega M
10 -9 Nano n 10 9 Giga G
10 -12 Piko p 12 12 Tera T
10 -15 Femto f 10 15 Peta p
10 -18 Atto a 10 18 Exa E
In der Formelsammlung
verwendete Formelzeichen und
Größen
(nach DIN 1304-1 von März 1994)
(Auszug aus DIN 1301−1 von Dez 1993)
f Frequenz
Hertz 1
s
i sich zeitlich veränderlicher
Strom
Ampere A
î Spitzenwert eines sich
zeitlich veränderlichen
Stromes
Ampere A
k Kopplungsgrad - 1
p
p
spezifischer Widerstand
Augenblicksleistung
Ωm
Watt
Vm
A
VA
u sich zeitlich veränderliche
Spannung
Volt V
û Spitzenwert einer sich
zeitlich veränderlichen
Spannung
Volt V
ü Übersetzungsverhältnis - 1
v Geschwindigkeit -
m
s2 w Energiedichte
J
m3 VAs
m3 A Fläche -
m2 B Blindwiderstand,
Reaktanz
Siemens A
V
B magnetische Flussdichte Tesla Vs
m2 C Kapazität
Farad As
V
D Elektrische Flussdichte -
As
m2 E Elektrische Feldstärke -
V
m
F Kraft
Newton
F Formfaktor - 1
G Wirkleitwert,
Konduktanz
Siemens A
V
H Magnetische Feldstärke -
A
m
I Strom Ampere A
J Elektrische Stromdichte -
A
m2 L Induktivität
Henry Vs
I Grundlagen 2
kg ⋅ m
s 2
A

M Dipolmoment
N Windungszahl - 1
P Wirkleistung
Watt VA
Q Blindleistung
var VA
Q Ladung
Coloumb As
R Elektrischer Widerstand Ω
V
A
Rm Magnetischer Widerstand -
A
Vs
S Scheinleistung VA VA
T Periodendauer -
s
U Spannung Volt V
Vm Magnetische Spannung - A
W Arbeit, Energie Joule, VAs,
Wattsekunde. kgm2
s2 Newtonmeter
X Blindwiderstand
Ω V
A
Y Komplexer Leitwert,
Admittanz
Siemens A
V
Z Komplexer Widerstand,
Impedanz
Ω V
A
ε Permittivität
F
m
As
Vm
η Wirkungsgrad - 1
ϕ elektrisches Potential Volt V
µ Permeabilität
H
m
Vs
Am
κ elektrische Leitfähigkeit S
m
A
Vm
σ Scheitelfaktor - 1
ω Kreisfrequenz -
1
s
ψ elektrischer Fluss -
As
Φ magnetischer Fluss Weber Vs
Λ magnetischer Leitwert -
Vs
A
Θ elektrische Durchflutung Ampere A
Konstanten elektrische Feldkonstante ε0
−12 As
= 8,854 187 817 ⋅ 10 Vm
Elementarladung e = 1,602 177 33 ⋅ 10 −19 As
magnetische Feldkonstante µ0
−7 Vs
= 4π ⋅ 10
Ohmisches Gesetz: [Ω] (I-1)
R = U I
Spezifischer Widerstand p: p = (I-2)
RA
Ωm2 l [ m ]
I Grundlagen 3
Am

Für die Kugel* gilt:
R = p
4π ( 1 ri − 1 ra)
ra
r i
Für den Zylinder* gilt:
R = p
2πl lnra
ri
ra
r i
(* Herleitung mit Hilfe des elektrischen Strömungsfeldes)
[Ω] (I-3)
[Ω] (I-4)
[ 1
Ωm] [ S m]
Leitfähigkeit κ: κ = (I-5)
1 p
Widerstands-
Temperaturkoeffizient αi:
Rt2 = Rt1 [1 + α1 (t2 − t1) + α2 (t2 − t1) 2 ] [Ω]
Rti : Widerstand bei Temperatur ti in [K]
t1 : Ausgangstemperatur
t2 : Endtemperatur
Couloumbgesetz: F (I-7)
→
= 1
Spannung U:
4πε ⋅ qQ
r2 [ VAs
m ] [N]
(I-6)
wobei E = in , siehe auch Kap. III (I-8)
1
U = ∫ E →
ds →
4πε ⋅ q
r2 [ V m]
[V] (I-9)
Elektrischer Fluss ψ: ψ = Q
[C] [As] (I-10)
Elektrische Flussdichte D: Q = � D (D ⊥ A) (I-11)
→
dA →
A: Querschnittsfläche
I Grundlagen 4

D →
= εE →
[ As
m 2]
(I-12)
Kapazität C: Q = CU [F] [ (I-13)
As
V ]
Energie W: W = UIt [VAs] [J] [Ws] [Nm] [ (I-14)
kgm²
Elektrische Stromdichte J:
s2 ]
W = 1 2CU 2
(Energie des elektrischen Feldes, siehe auch Kap. III)
W = QU
I = ∫ J →
dA →
A: Querschnittsfläche
→
E
= pJ →
p : spezifischer Widerstand
→
J
= κE →
κ : Leitfähigkeit
(I-15)
(I-16)
(J ⊥ A) (I-17)
[ V m]
[ A m 2]
(I-18)
(I-19)
Dipolmoment m: M ( ) (I-20)
→
= m →
× E → →
m = Qd →
Wirkungsgrad η :
η = (I-21)
Pab
Pzu
I Grundlagen 5

II Netzwerkberechnung
Die hier aufgeführten Regeln gelten für Gleich- sowie Wechselstrom (komplexe Rechnung), soweit
nicht anders angegeben.
Bezugssystem: I U
Für die Richtungsangabe von Strom und Spannung verwendet
man Bezugspfeile. Fließt der Strom tatsächlich in die Richtung,
in welche der Pfeil zeigt, ist der Strom positiv, sonst negativ.
Das Gleiche gilt für die Spannung.
Knotensatz: (II-1)
∑ Izu = ∑ Iab
Die Summe der zufließenden Ströme muss gleich der Summe
der abfließenden Ströme sein.
Beispiel:
I ab2
Izu4
Izu1
Izu3
Izu2
I ab1
I zu1 + I zu2 + I zu3 + I zu4 = I ab1 + Iab2
Maschensatz: ∑ (ΙΙ−2)
n
k = 1 U k = 0
Die Summe aller in einer Masche auftretenden Spannungen ist
(unter Beachtung ihrer Orientierung) gleich null.
Beispiel:
U
R1
U1
U2
U 1 + U 2 = U
Ersatzwiderstand Rges: Der tatsächliche Strömungswiderstand wird durch die
Spannung U gekennzeichnet. Der Widerstandswert R gibt die
II Netzwerkberechnung 6
R 2

Eigenschaft eines (oder mehrerer) Bauteils (Bauteile) an, bei
einem bestimmten Strom I jeweils eine dazu proportionale
Spannung U zu erwirken.
Nur ein Widerstand, durch den ein Strom fließt, wirkt.
Beispiel:
I
U
R1
U1
U2
R2
R3
U3
A
U23
Solange die Punkte A und B nicht miteinander verbunden sind,
kann durch R 3 kein Strom fließen. Folglich ist die Spannung
U 3 = 0,
da das Bauteil nicht wirken kann. Für die Spannung
U 23 zwischen den Anschlusspunkten A und B gilt somit:
U 23 = U 2.
Für den Ersatzwiderstand Rges einer Reihenschaltung von n
Widerständen gilt:
R = R1 + R2 + ... + Rn = ∑ n
k = 1Rk
I R1
I R I
2
[Ω]
Bild: Reihenschaltung von Widerständen
Eine Reihenschaltung von Widerständen erkennt man daran,
dass durch jeden Widerstand der gleiche Strom fließt.
Für den Ersatzwiderstand Rges einer Parallelschaltung von n
Widerständen gilt:
1
Rges = 1 R1 + 1 R2 + ... + 1 Rn
bzw. mit G = : 1 R
Gges = ∑ n
k = 1 Gk
B
(II-3)
(II-4)
(II-5)
II Netzwerkberechnung 7

R1 R 2 U
Bild: Parallelschaltung von Widerständen
Eine Parallelschaltung von Widerständen erkennt man daran,
dass an jedem Widerstand die gleiche Spannung (bezogen auf
den gleichen Knotenpunkt) anliegt.
Ersatzkapazität Cges: Für die Ersatzkapazität Cges einer Reihenschaltung von n
Kondensatoren gilt:
1
Cges = 1 C1 + 1 C2 + ... + 1 Cn
U U
1 2
+ - + -
C C
1 2
Bild: Reihenschaltung von Kondensatoren
Für die Ersatzkapazität Cges einer Parallelschaltung von n
Kondensatoren gilt:
Cges = C1 + C2 + ... + Cn [As] [C]
+
+
U
C1
C 2
Bild: Parallelschaltung von Kondensatoren
Wirken mehrere Kapazitäten als Wechselstromwiderstände,
kann an ihrer Stelle ihre Ersatzkapazität verwendet werden.
Ersatzinduktivität Lges: Für die Ersatzinduktivität Lges von n in Reihe geschalteten
Spulen gilt:
Lges = L1 + L2 + L3 + ... + Ln
-
-
(II-6)
(II-7)
(II-8)
II Netzwerkberechnung 8

Für die Ersatzinduktivität Lges von n parallel geschalteten
Spulen gilt:
1
LGes = 1 L1 + 1 L2 + ... + 1 Ln
(II-9)
Spannungsteilerregel: U 1
(ΙΙ−10)
U =
2 R1
R2
U i =
R1
R2
Bild: Spannungsteilerregel (mit zwei Widerständen)
U ges
R1 + R2 + ... + Ri + ... + Rn ⋅ Ri
R1
Ri
Rn
U1
U i
Un
U 1
U2
U ges
Bild: Spannungsteilerregel (allgemein)
(ΙΙ−11)
Stromteilerregel: I1 (II-12)
I2
R2 = R1 II Netzwerkberechnung 9

P1
Leistungsteilerregel:
P = (II-13)
2 R1
R2
Dreieck-Stern-Umwandlung:
R12
R 1 =
R 2 =
R 3 =
R31
R23
R1
R2
R3
R 12 ⋅ R 31
R 12 + R 23 + R 31 R 12 = R 1 + R 2 + R 1 ⋅ R 2
R 3
R 23 ⋅ R 12
R 12 + R 23 + R 31 R 23 = R 2 + R 3 + R 2 ⋅ R 3
R 1
R 31 ⋅ R 23
R 12 + R 23 + R 31 R 31 = R 3 + R 1 + R 3 ⋅ R 1
R 2
(II-14)
Leistungsanpassung: Für Gleichstrom gilt: (II-15)
R a = R i
Ri
Uq U
I
Ra
Bild: Zur Leistungsanpassung
Für Wechselstrom gilt: (II-16)
Z⎯ a = Z ⎯ ∗ i
( : konjungiert komplex)
Z⎯ ∗ i
Ideale Spannungsquelle: Bei einer idealen Spannungsquelle ist der Innenwiderstand
R i = 0
Dieser Zusammenhang findet sich auch im Schaltungssymbol
wieder (durchgehende Linie):
II Netzwerkberechnung 10

Bild: ideale Spannungsquelle
Ideale Stromquelle: Bei einer idealen Stromquelle ist der Innenwiderstand
R i → ∞
Dieser Zusammenhang findet sich auch im Schaltungssymbol
wieder (unterbrochene Linie, d. h. dass kein Strom durch die
Quelle, sondern nur aus ihr heraus- oder in sie hineinfließen
kann):
Bild: ideale Stromquelle
Reale Spannungsquelle: (II-17)
U = U q − IR i
U q:
Leerlauf-, Quellenspannung
U:
Klemmenspannung
R i:
Innenwiderstand
R a:
Belastungs-, Verbraucherwiderstand
I:
Belastungsstrom
Reale Stromquelle Für den Quellenstrom I q gilt (durch Kurzschluss von realer
Spannungsquelle und realer Stromquelle und Gleichsetzen):
I q = U q
R i
U q
Ri
Für den Innenleitwert G i gilt:
G i = I q
U q = 1 R i
U
I
Ra
(II-18)
(II-19)
II Netzwerkberechnung 11

Ersatzspannungsquelle: Die Quellenspannung U q einer Ersatzspannungsquelle ist
gleich der im Leerlauf zwischen den Klemmen des gegebenen
Zweipols vorhandenen Spannung U′ .
U q = U′
I q
R i
Gi
U
I
Ra
(II-20)
Der Innenwiderstand ist gleich dem zwischen den Klemmen
des betreffenden Zweipols bestehenden Widerstand, wobei alle
internen Spannungsquellen kurzgeschlossen und alle internen
Stromquellen getrennt werden müssen. Ri ist (bezüglich
Stromfluss) von U′ aus gesehen zu berechnen.
U
Überlagerungsverfahren*: Man erhält die Zweigströme eines Netzwerkes dadurch, dass
man die von den einzelnen Spannungs- oder Stromquellen
verursachten Teilströme richtungsrichtig (unter Beachtung des
Vorzeichens) addiert.
R 1
R 2
(* basiert auf dem Überlagerungsgesetz) (II-21)
Für die Ermittlung der Teilströme (einer einzigen Quelle) sind
alle nicht betrachteten
Spannungsquellen Uq kurzzuschließen
Stromquellen Iq aufzutrennen
Maschenstromverfahren Es wird das folgende Gleichungssystem verwendet:
⎡ R 11
⎢
R 21
⎢ .
⎢
⎣ R m1
R 12
R 22
...
R m2
R 13 ... R 1n ⎤ ⎡I1
⎤
⎥ ⎢ ⎥
R 23 ... R 2n ⎥
⎥
⋅
⎢I2
⎥
... ... ... ⎢...
⎥
⎥ ⎢ ⎥
R m3 ... R mn ⎦ ⎣Im⎦
(Einheit: [Ω ⋅ A] = V)
U'
=
U 1
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎢U
2⎥
⎢ ... ⎥
⎢ ⎥
⎣U
m⎦
U q
Ri
(II-22)
II Netzwerkberechnung 12

Vorgehensweise:
Maschenströme eintragen (Anzahl der
Maschenströme gleich der Anzahl der vorhandenen
Maschen). Dabei müssen jene Ströme gewählt
werden, die nicht durch die gemeinsamen Zweige
fließen.
Die Summe aller Widerstände einer Masche tritt als
Koeffizient für den zugehörigen (noch unbekannten)
Maschenstrom auf.
Die Koeffizienten für die anderen Maschenströme
sind die Kopplungswiderstände. Ihr Vorzeichen ist
positiv, wenn die Maschenströme in den betreffenden
Kopplungswiderständen den gleichen Bezugssinn
haben, sonst negativ.
Rechts des Gleichungssystems steht die Summe der
Quellenspannungen, die in der betreffenden Masche
auftreten. Vorzeichenregel: Stimmt ihr Richtungssinn
mit der Richtung des Maschenstromes überein, erhält
jede Quellenspannung hierbei ein Minuszeichen.
Andernfalls ein Pluszeichen.
Die Kopplungswiderstände liegen stets symmetrisch zur
Hauptdiagonalen der Widerstandsmatrix.
Knotenpotenzial-Verfahren Das Knotenpotenzial-Verfahren ist von Vorteil, wenn das
Netzwerk nur über wenige Knotenpunkte - bei relativ vielen
Maschen - verfügt.
Es wird das folgende Gleichungssystem verwendet:
⎡ G 11
⎢
− G 21
⎢ .
⎢
⎣ − G m1
− G 12
G 22
...
− G m2
− G 13 ... − G 1n ⎤ ⎡U
10 ⎤
⎥ ⎢ ⎥
− G 23 ... − G 2n ⎥
⎥
⋅
⎢U
20 ⎥
... ... ... ⎢ ... ⎥
⎥ ⎢ ⎥
− G m3 ... G mn ⎦ ⎣U
m0⎦
(Einheit: [S ⋅ V] = A)
Vorgehensweise:
=
I q1
⎡
⎢
⎢I
q2
⎢ ...
⎢
⎣I
qm
Alle (möglichen) Spannungsquellen in
Ersatzstromquellen umwandeln.
Ideale (nicht wandelbare) bekannte
Spannungsquellen können u. U. zusammen mit den
Leitwerten auf die rechte Seite des Gleichungssystem
gebracht werden. Dadurch vereinfacht sich das
Gleichungssystem erheblich.
Einen Knotenpunkt als Bezugsknoten wählen
(II-23)
II Netzwerkberechnung 13

( ϕ = 0).
Knotenspannungen einzeichnen. Pfeile zeigen auf
Bezugsknoten.
Knotenleitwerte treten als Koeffizienten bei der
zugehörigen Knotenspannung auf.
Kopplungswerte treten als Koeffizienten bei den
anderen Knotenspannungen auf (Vorzeichen immer
negativ).
Rechts der Gleichung stehen die bereits bekannten
Quellenströme. Vorzeichen ist positiv, wenn die
Pfeilrichtung des Stromes auf den Knotenpunkt
zeigt; sonst negativ.
II Netzwerkberechnung 14

III Elektrisches Feld
Elektrische Feldstärke E: F (III-1)
→
= QE →
E = U d = vB [ V m]
d: Abstand, B: magnetische Feldstärke
(III-2)
Permittivität ε: As
(III-3)
ε = εrε0 [ ]
ε0 : elektrische Feldkonstante
ε0 = 8,854 187 817⋅10-12 As
Vm
εr : Permittivitätszahl (dimensionsloser Faktor)
Dielektrikum: Nichtleitende Materie, die von einem elektrischen Feld
durchsetzt wird, bezeichnet man als Dielektrikum. Das
Dielektrikum wird im elektrischen Feld durch die
Permittivitätszahl εr (dimensionsloser werkstoffabhängiger
Faktor) berücksichtigt.
Elektrische Flussdichte D: D = εE [ (III-3b)
As
m2] Kapazität C:
Q = CU = ∫ idt [F] [ (III-4)
As
V ]
Ladestrom i :
i = C [A] (III-5)
du
dt
Vm
Der Ladestrom i ist zeitlich veränderlich.
An einer Kapazität C kann die Spannung u nicht springen; der
Strom i hingegen schon: C bremst Spannung. Die Kapazität C
wirkt als Energiespeicher.
Energiedichte w: w = (III-6)
1 2εE2 [ VAs
m3 ] [ J m3] w = 1 2 ⋅ D2
ε
(III-7)
Energie W: W = [VAs] [J] [Ws] [Nm] (III-8)
1 2CU 2 [ kgm²
W = 1 2 ⋅ Q2
C
s2 ]
mit U = (III-9)
Q
III Elektrisches Feld 15
C

Entladungstrom I: − t
RC
I = I0 ⋅ e [A] (III-10)
Plattenkondensator
RC:
Zeitkonstante [s]
d
Für die Oberfläche einer Platte gilt:
A = ab [m 2 ]
(III-11)
Kraft F*: F = [N] (III-12)
1 2EDA = 1 2 U 2C d
* Kraft zwischen den Elektroden
Elektrische Flussdichte D: D = (III-13)
Q
A
Elektrische Feldstärke E: E = (III-14)
U d
[ V m]
d : Plattenabstand
Kapazität C: C = ε (III-15)
A d
V ] [F]
Kugel
ε: Permittivität, siehe (III-3)
Für die Oberfläche einer Kugel gilt:
ra
r i
[ As
m 2]
[ As
A = 4πr 2 [m 2 ]
r (beliebig)
(III-16)
Elektrische Flussdichte D: D = (III-17)
Q
m 2]
As
4πr2 [
III Elektrisches Feld 16

Elektrische Feldstärke E: Q
E =
(III-18)
4πεr 2
Elektrisches Potential ϕ: ϕ = ∫ (III-19)
∞
dx →
= Q
[V]
r E →
Kapazität C: C = 4πε (III-20)
rira
Langer, gerader Zylinder
ra − ri
4πεr
Für die Oberfläche gilt:
ra
r i
[ V m]
A = 2πrl [m 2 ]
[ As
V ] [F]
r (beliebig)
(III-21)
Elektrische Flussdichte D: D = (III-22)
Q
2πrl
Elektrische Feldstärke E: Q
E =
(III-23)
2πεrl
Potential ϕ: ϕ = ∫ (III-24)
ra
Q
Edr = [V]
ri
2πεlln ra
ri
Kapazität C: C = (III-25)
2πεl
ln ra
ri
[ As
m 2]
[ V m]
[ As
V ] [F]
III Elektrisches Feld 17

IV Magnetisches Feld
Allgemeines: Die Grundlagen des Magnetismuses beschreibt das von
Ampere stammende Durchflutungsgesetz. Es besagt, dass jede
gleichmäßig bewegte Ladung (Strom) in einem umliegenden
Raumpunkt eine bestimmte magnetische Feldstärke erzeugt.
Das magnetische Feld beschreibt die Wechsel- oder
Kraftwirkung von zwei gleichmäßig bewegten elektrischen
Feldern und ist auf diese zurückführbar. Eigentlich handelt es
sich um eine Hilfskonstruktion, mit der man die
Wechselwirkung von elektrischen Feldern beschreiben kann.
Erweitert wurde das Durchflutungsgesetz durch die
Maxwellschen Gleichungen. Im Prinzip besagen diese, dass
nicht nur bewegte elektrische Ladungen (Strom) eine
magnetische Feldstärke erzeugen, sondern auch deren zeitliche
Veränderung (Verstärkung oder Abschwächung der Ladung).
Bei der Vorstellung vom magnetischen Feld handelt es sich
um eine Abstraktion. Magnetische Felder werden durch sich
bewegende elektrische Felder verursacht. Daraus resultiert:
dass magnetische Feldlinien stets geschlossen sein
müssen, also weder Anfang noch Ende besitzen.
dass es keine magnetischen Monopole 1 gibt (da das
Phänomen tatsächlich durch bewegte elektrische
Felder verursacht wird).
dass Elektronen in einem Magnetfeld zwar eine
Ablenkung, aber keine Geschwindigkeitsänderung
erfahren.
1 bei einem Monopol würde es sich hier um einen allein auftretenden
magnetischen Süd- oder Nordpol handeln.
Magnetische Feldstärke H: H = (IV-1)
IN I
l = 2πr
IV Magnetisches Feld 18
[ A m]

I
magnetisches Feld
H
magnetischer Nordpol
magnetischer Südpol
Bild: Zur Definition der magnetischen Feldstärke H.
Links ist
das Magnetfeld eines vom Strom durchflossenen, geraden
Leiters dargestellt. Rechts sieht man das Magnetfeld eines
Ringstromes, wie er etwa in Dauermagneten (Stichworte:
Elektronengas, Metallbindung) oder im Erdinneren vorkommt.
(Vergleiche auch das Magnetfeld einer langgestreckten
Feldspule.)
Magnetische Flussdichte B: B = (IV-2)
F Il = µH [ Vs
m2] [T]
Die magnetische Flussdichte B berücksichtigt die
Materialeigenschaften des durchströmten Raumes und gibt
somit Auskunft über die Stärke des magnetischen Feldes.
[ Vs
Am]
Permeabilität µ: µ = µrµ0
(IV-3)
µ0 : magnetische Feldkonstante
−7 Vs
µ0 = 4π ⋅ 10 Am
Magnetischer Fluss Φ: Φ = �A B (IV-4)
→
dA →
[Vs] [W]
Verkettungsfluss Ψ: Ψm = ∑ (IV-5)
n
[Vs]
i = 1 Φ i
Ψ m = NΦ = IL
I
H
(IV-6)
Gesetz von Biot-Savart: H (IV-7)
→
= I
dH =
4π �L dL→ × r →
r3 Isin α
4πr2 ds
IV Magnetisches Feld 19
[ A m]

I = �A s →
dA →
Magnetfeld im Zentrum: H = (IV-8)
I
2r
⎯
i = 1 IiNi
Elektrische Durchflutung Θ: Θ = ∑ (IV-9)
n
[A]
[ A m]
n: Anzahl der Ströme. Für n→∞ muss über die Fläche A
integriert werden.
Durchflutungsgesetz: �s H [A] (IV-10)
→
ds ⎯ = Θ
Ohmisches Gesetz des
magnetischen Kreises:
Θ = ΦRm
[A] (IV-11)
Magnetischer Widerstand Rm: Rm = (IV-12)
l
µA
Magnetischer Leitwert Λ: Λ = (IV-13)
µA
l
Magnetische Spannung Vm: Vm = Hs
[A] (IV-14)
Energiedichte w:
Im Magnetfeld gespeicherte
Energie W:
s: Weg
[ A Vs]
[ Vs
A ]
w = W V = ∫ B 1
0 HdB [ VAs
m 3 ] [ J m 3]
V: Volumen
Für konstante Permeabilität ( B = µ0H)
gilt:
w =
B 2
2µ0 dB = 1 2 µ0 H 2 = 1 2 HB [ VAs
m 3 ] [ J m 3]
W = ∫V wdV [VAs] [J]
Für eine Spule mit der (konstanten) Induktivität L gilt:
W = 1 2LI 2
= 1 2Ψm I = 1 2 ⋅
Ψm 2
L
[VAs] [J]
(IV-15)
(IV-16)
(IV-17)
(IV-18)
Kraft an Grenzflächen: B 2
Φ 2
F = 2 µ0 ⋅ A = 2 µ0 A
[N]
(IV-19)
IV Magnetisches Feld 20

(gilt nur für 1 Seite der Grenzflächen, siehe Bild)
Ι
IV Magnetisches Feld 21
Φ
l
Y
Α
Y
F
Φ

5. Elektromagnetische Induktion
Allgemeines: Die Induktionsquellenspannung und auch die
Induktionsstromstärke sind im allgemeinen, d. h. bei
nichtlinearen Änderungen des magnetischen Flusses, ebenfalls
zeitlich veränderlich.
Bewegter Leiter im
Magnetfeld:
Stromführender Leiter im
Magnetfeld:
Kraft zwischen 2
stromführenden Leitern:
Bewegte Ladung im
Magnetfeld (Lorenzkraft):
U = Blv [V]
F →
= I (l →
× B →
) [N]
F = BlIsin α [N]
F = µI1I2l
2πr
[N]
+F
+I 1
+I
H 2 -I1
H H
+I 2
H
r
-F -F
Bild 5.1: Die Richtung der Kraftwirkung wird durch das
Vorzeichen der Ströme berücksichtigt.
FL = q (v →
Es gelten:
× B →
) = qvBsin α [N]
die rechte Hand-Regel für positive Ladungsträger
die linke Hand-Regel für negative Ladungsträger
( v: Daumen, B: Zeigerfinger, FL:
Mittelfinger)
r
(V-1)
(V-2)
(V-3)
(V-4)
(V-5)
Hallspannung U H :
U H = Eb = vBb = (V-6)
IB
end
AHIB
= d [V]
→
(Voraussetzung: B ⊥ I bzw. )
→ →
B ⊥ v →
v:
mittlere Geschwindigkeit der Elektronen
Elementarladung e: e = 1,602 176 53 ⋅ 10 −19 As
Ladungsträgerdichte n: materialabhängig
AH = 1
nq
ist dabei die Hall-Konstante . Sie charakterisiert die Stärke
AH
5. Elektromagnetische Induktion 22

des Hall-Effektes.
I
+
+
+
+
v H
B
b
UH + -
Bild 5.2: Zur Hallspannung ( U H und F sind hier für negative
Ladungsträger angegeben.)
Die im Plättchen normalerweise gleichmäßig verteilten
Elektronen des Stromes I werden durch das Magnetfeld mit der
magnetischen Flussdichte B seitlich abgedrängt, so dass die
Spannung entsteht.
U H
U H
In Bild 5.2 sind und F für negative Ladungsträger
angegeben. Falls sich positive Ladungsträger bewegen (z. B.
Löcher in p-dotiertem Halbleitermaterial), bewegen sich diese
in umgekehrter Richtung. Sie werden durch das Magnetfeld zur
gleichen Seite hin abgelenkt wie negative Ladungsträger;
dadurch kehrt sich aber das Vorzeichen von U H oder die
Orientierung des zugehörigen Zählpfeiles um.
-
I
- -
-
-
v H
B
b
U H
F
d
- -
- -
d
F + +
Bild 5.3: Zur Hallspannung ( U H und F sind hier für positive
Ladungsträger angegeben.)
Der Hall-Effekt hängt stark von der (vorzeichenbehafteten)
Ladungsträgerdichte n ab, weil die geringere Anzahl von
Ladungsträgern bei gleicher Stromstärke eine höhere
Geschwindigkeit der Einzelladungen zur Folge hat.
Da die Ladungsträgerdichte n bei Halbleitern wesentlich
geringer als bei Metallen ist, benutzt man vorwiegend
Halbleiter als Hall-Sonden.
5. Elektromagnetische Induktion 23
+
+

Elektrische Feldstärke E : E = vB [ (V-7)
V m]
v: mittlere Geschwindigkeit der Elektronen
Mittlere Geschwindigkeit v der v = (V-8)
Elektronen:
I
enA
A: Leiterquerschnitt ( A = bd)
Induktionsgesetz: U i = −N (V-9)
dΦ(t)
[V]
U L = −U i
dt
UL: Spannung im Verbrauchersystem
Ui: Spannung im Erzeugersystem
Verbrauchersystem
+
-
U 0
Verbrauchersystem
+
-
U 0
-
+
-
U L U i
+
-
[ m s ]
Φ
H - H
Gegenfeld
Flusszunahme (Φ > 0)
+
U L U i
-
+
Vm
+
H
Φ
H + H
Vm -
Gegenfeld
Flussabnahme (Φ < 0)
H
Erzeugersystem
i
i
Erzeugersystem
Lenz'sche Regel: Der durch Induktion hervorgerufene Strom
ist so gerichtet, dass sein Magnetfeld dem induzierenden
entgegenwirkt.
5. Elektromagnetische Induktion 24

Die Spannung U i ist bei zunehmenden magnetischen Fluss
(+Φ) negativ und bei abnehmenden Fluss (-Φ) positiv.
Das Vorzeichen der Induktionsspannung U i bezieht sich dabei
auf eine andere im Stromkreis bereits bestehende Spannung
(Verbrauchersystem).
Induktivität L: Für eine langgestreckte Zylinderspule gilt:
L = N2µA l = N2Λ = N2 1 Rm [ Vs
A ] [H]
l: Spulenlänge
A: Spulenquerschnitt
U 0
; (V-10)
Für die an der Spule anliegende Selbstinduktionsspannung U is
gilt: U is = −L (V-11)
di(t)
dt
An einer Induktivität L kann der Strom i nicht springen; die
Spannung u hingegen schon. Die Induktivität L wirkt als
Energiespeicher.
Zum Vorzeichen: Der Strom, welcher durch das
Zusammenbrechen eines Magnetfeldes verursacht wird, ist
jenem Strom entgegengerichtet, der das Magnetfeld in der
Spule aufgebaut hat (vgl. Lenz'sche Regel).
Rechtschraubregel: Dreht man eine rechtsgängige Schraube
in Richtung des Stromes, der durch die Windungen der Spule
fließt, so bewegt sie sich auf den Nordpol des Magnetfeldes
zu.
Gegenseitige Induktion: Für 2 magnetisch ideal gekoppelte Spulen gilt:
L12 = N1N2 µA
l
[ Vs
A ] [H]
; (V-12)
5. Elektromagnetische Induktion 25

VI Wechselstromkreise
Allgemeine Hinweise: Sind Strom i und Spannung u zeitlich veränderlich,
werden beide durch kleine Buchstaben dargestellt.
Die hier aufgestellten Regeln gelten (falls nichts
anderes angegeben) ausschließlich für sinusförmige
Ströme und Spannungen.
Nicht-sinusförmige Ströme oder Spannungen können
mit Hilfe der Fourier-Analyse in Summen von
sinusförmigen Größen zerlegt werden, so dass die
hier beschriebenen Rechnungsverfahren auf die
einzelnen Glieder dieser Zerlegung angewandt
werden können. Siehe hierzu auch Kapitel ›IX
Allgemeine, nicht-sinusförmige periodische Signale‹.
Strom i: i = î sin (ωt + ϕi) [A]
(VI-1)
Darstellung des Stromes I als "rotierender" Zeiger:
I ⎯ = Ie j(ωt + ϕi) [A]
I: Effektivwert des Stromes
(VI-2)
Spannung u: u = û sin (ωt + ϕu) [V]
(VI-3)
Darstellung der Spannung U als "rotierender" Zeiger:
U⎯ = Ue j(ωt + ϕu) [V]
U: Effektivwert der Spannung
(VI-4)
Periodendauer T: T = (VI-5)
2π ω
[s]
Frequenz f: f = (VI-6)
1 T = ω 2π [Hz] [ 1 s]
Kreisfrequenz ω :
ω = 2πf = (VI-7)
2π T
⎯
|i|
Gleichrichtwerte: = (VI-8)
2 π ⋅ i ^
[A]
⎯
|u|
[ 1 s]
= 2 π ⋅ u ^ [V]
(VI-9)
Bedeutung: zeitlicher Mittelwert des Betrages einer Funktion.
VI Wechselstromkreise 26

Für die Gleichrichtwerte von allgemeinen, auch nichtsinusförmigen
periodischen Signalen, siehe Kapitel ›IX
Allgemeine, nicht-sinusförmige periodische Signale‹.
Effektivwerte: I = (VI-10)
i^
[A]
2
U = u^
2
[V]
(VI-11)
Bedeutung: Der periodisch zeitabhängige Strom i erzeugt im
Mittel die gleiche Wärmeleistung wie der Gleichstrom I.
Für die Effektivwerte von allgemeinen, auch nichtsinusförmigen
periodischen Signalen, siehe Kapitel ›IX
Allgemeine, nicht-sinusförmige periodische Signale‹.
Formfaktor F :
F = 1,111
(VI-12)
Der Formfaktor F bezeichnet bei Wechselgrößen das
Verhältnis des Effektivwertes zum Gleichrichtwert. Er gilt für
Ströme sowie Spannungen gleichermaßen.
Für die Berechnung des Formfaktors von allgemeinen, auch
nicht-sinusförmigen periodischen Signalen, siehe Kapitel ›IX
Allgemeine, nicht-sinusförmige periodische Signale‹.
Scheitelfaktor σ :
σ = 2
(VI-13)
Komplexe Widerstände
Das Verhältnis des Scheitelwertes zum Effektivwert heißt
Scheitelfaktor. Er gilt für Spannungen sowie Ströme
gleichermaßen.
Für die Berechnung des Scheitelfaktors von allgemeinen, auch
nicht-sinusförmigen periodischen Signalen, siehe Kapitel ›IX
Allgemeine, nicht-sinusförmige periodische Signale‹.
Impedanz Z: Z⎯ = R + jX [Ω]
(VI-14)
R: Wirkwiderstand
X: Blindwiderstand
auch: Z ⎯ = U ⎯
I⎯ = 1 Y ⎯
VI Wechselstromkreise 27

Admittanz Y: Y⎯ = G + jB [S]
(VI-15)
G: Wirkleitwert
B: Blindleitwert
auch: Y ⎯ = I ⎯
U⎯ = 1 Z ⎯
Ohmischer Widerstand: R = (VI-16)
U I
[Ω]
Ohmischer Widerstand R
auch Wirkwiderstand, Resistanz
G = 1 R = I U [S]
Ohmischer Leitwert
auch Wirkleitwert, Konduktanz
ϕ = ϕu − ϕi = 0°
U und I sind in Phase (frequenzunabhängig)
(VI-17)
Spule: XL = ωL [Ω]
(VI-18)
Blindwiderstand
(auch Reaktanz, induktiver Blindwiderstand)
BL = − 1
ωL
[S]
Blindleitwert
(auch Suszeptanz, induktiver Blindleitwert)
ϕ = ϕu − ϕi = 0° − 90° = −90°
(U eilt I um 90° voraus)
(VI-19)
Kondensator: XC = − (VI-20)
1
[Ω]
ωC
Blindwiderstand
(auch Reaktanz, kapazitiver Blindwiderstand)
BC = ωC [S]
Blindleitwert
(auch Suszeptanz oder kapazitiver Blindleitwert)
(VI-21)
VI Wechselstromkreise 28

ϕ = ϕu − ϕi = 0° − (−90°) = +90°
(U eilt I um 90° nach)
Reflexionskoeffizient Γ: Der Reflexionskoeffizient Γ gibt an, wie ein Signal am Ende
einer Leitung reflektiert wird, d. h. mit welcher Phase und
Amplitude es zurückläuft.
Γ ⎯ = U r
⎯
U 0
⎯
[einheitenlos] (VI-22)
U r:
reflektierte Amplitude [V]
⎯
U 0:
hinlaufende Amplitude [V]
⎯
(Größen sind komplex, d. h. haben Betrag und Phase.)
Γ = Zx − R 0
Zx + R 0
ZX:
Abschlussimpedanz
R 0:
Wellenwiderstand der Leitung
Γ = z x − 1
z x + 1
mit der normierten Impedanz zx = .
Zx
R 0
Zx = R 0 ⋅
1 + Γ
1 − Γ
[einheitenlos] (VI-23)
[einheitenlos] (VI-24)
[Ω]
(VI-25)
Γ kann nicht größer als | 1 | sein, da das hinlaufende Signal U
⎯
0
nur abgeschwächt, aber niemals verstärkt werden kann.
Spezialfälle:
Zx =
Leitungsende Γ =
R 0 angepasst 0
∞ offen 1
0 Kurzschluss -1
Smith-Diagramm: Für die Darstellung von Frequenzgängen verwendet man das
Smith-Diagramm.
VI Wechselstromkreise 29

Leistung
+j ∞
j
0
-j
-j ∞
f → ∞ Hz
f = 0 Hz
1
∞
j
1
+j ∞
0 ∞
-j
Z⎯ (ω) = R + jωL
-j ∞
Das Smith-Diagramm bildet die rechte Seite der komplexen
Ebene in einem Kreis wieder ab. Dazu nimmt man die beiden
Endpunkte der Imaginär-Achse, die ins Unendliche führen, und
biegt sie so um, dass sie mit dem Unendlichkeits-Ende der
reellen Achse zusammenfallen. Die zur imaginären Achse
parallel liegenden und senkrecht stehenden Koordinatenlinien
finden sich im Smith-Diagramm als geschlossene Kreise
wieder, von denen jeweils ein Punkt stets im
"Unendlichkeitspunkt" des Diagrammes liegt.
Die Skaleneinteilung des Smith-Diagrammes ist nicht mehr
linear und einheitenlos. Frequenzgänge müssen daher durch
einen geeigneten Bezugswiderstand dividiert werden (üblich
sind 50 Ω).
Scheinleistung S: (VI-26)
S⎯ = UI = U ⎯I ⎯ ∗ = P + jQ
∗ ∗
Achtung: U⎯I ⎯ , d. h. I⎯ ist konjungiert komplex.
S = P 2 + Q 2 [VA]
P: Wirkleistung
Q: Blindleistung
(VI-27)
Wirkleistung P: P = UIcos (ϕ) = Scos (ϕ) [W]
(VI-28)
Blindleistung Q: Q = UIsin (ϕ) = Ssin (ϕ) [var]
(VI-29)
Phasenverschiebungswinkel ϕ: (VI-30)
ϕ = ϕu − ϕi
VI Wechselstromkreise 30

Leistungsfaktor: (VI-31)
cos (ϕ) = P S
Blindfaktor: sin (ϕ) = (VI-32)
Q
S
Wirkleistungsanpassung: (VI-33)
Z ⎯a = Z ⎯ ∗ i
Resonanzbedingung: Im (Z⎯) = 0
(VI-34)
VI Wechselstromkreise 31

VII Drehstrom
Allgemeines basiert auf sinusförmigen Wechselstrom
besteht aus 3 Strängen
Außenleiterspannung ist die Spannung zwischen
verschiedenen Strängen.
Strangspannung ist die erzeugte Spannung auf einem
Strang.
Die erzeugten Spannungen sind um je 120°
zueinander verschoben.
Die Außenleiterspannungen eilen den
Strangspannungen um 30° vor.
L3
Bild: Funktionsprinzip des Drehstromgenerators. Die
einzelnen Stränge (Sternschaltung) sind farbig markiert.
Sternschaltung: 1
L1
U1
3
U3
U2
2
U12
U23
U31
Bild: Sternschaltung (hier: eines Drehstrom-Generators).
sind Strangspannungen.
Außenleiterspannungen.
und sind
U⎯1, U ⎯2, U ⎯3 U ⎯12, U ⎯23 U ⎯31
VII Drehstrom 32
L2
L3
N
L2
L1

L1
L2
L3
N
U 31
U 12
U 23
Bild: Sternschaltung (hier: eines Verbrauchers).
sind Strangspannungen. U⎯12, U⎯23 und U⎯31 sind
Außenleiterspannungen.
2
U2
U3
1
U1
3
U⎯1, U ⎯2, U ⎯3
Dreileiter- (ohne Neutralleiter) oder Vierleitersystem
(mit N)
Außenleiterspannung: U = 3 ⋅ U Str [V]
(VII-1)
Neutralleiter:
(nicht angeschlossen)
Die Außenleiterspannungen
eilen den mit ihnen verknüpften Strangspannungen
|U⎯Str| = |U⎯1| = |U⎯2| = |U⎯3| um jeweils 30 ° vor.
U ⎯N = U ⎯1Y ⎯1 + U ⎯2Y ⎯2 + U ⎯3Y ⎯3
Y⎯1 + Y ⎯2 + Y ⎯3
|U ⎯| = |U ⎯12| = |U ⎯ 23| = |U ⎯31|
[V]
(VII-2)
Bei symmetrischer Belastung ( Z⎯1 = ⎯2 Z = Z⎯3 ) wird U⎯N = 0.
Der Neutralleiter wird auch als Sternpunktleiter bezeichnet.
Strom I: Bei symmetrischer Belastung und ohne angeschlossenen
Neutralleiter gilt:
Dreieckschaltung:
I = IStr = U St
Z = U
3 ⋅ Z
[A]
Bei der Sternschaltung ist der Außenleiterstrom gleich dem
Strangstrom.
U 31
1
IStr
3
IStr
U12
2
IStr
U23 I
I
I
L1
L2
L3
(VII-3)
Bild: Dreiecksschaltung (hier: eines Drehstromgenerators).
sind Strangströme, I sind Außenleiterströme.
VII Drehstrom 33
IStr

L1
L2
L3
I
I
I
2
IStr
U12
IStr
1
U 23 U31
Bild: Dreiecksschaltung (hier: eines Verbrauchers). IStr sind
Strangströme, I sind Außenleiterströme.
kein Neutral- bzw. Sternpunktleiter
Außenleiterspannung: U = U Str
[V]
(VII-4)
Bei der Dreieckschaltung ist die Außenleiterspannung gleich
der Strangspannung.
Strom I: Bei symmetrischer Belastung ( Z⎯1 = Z⎯2 = Z⎯3 ) gilt:
I = 3 ⋅ IStr [A]
IStr
3
(VII-5)
Leistung Der in diesem Abschnitt aufgeführte Strom IStr ist immer der
Strangstrom, U immer der Außenleiterstrom (für Stern- sowie
Dreiecksschaltung).
Symmetrische Belastung Bei symmetrischer Belastung ( Z⎯1 = Z⎯2 = Z⎯3 ) gilt für Sternsowie
Dreiecksschaltung gleichermaßen:
Die Summe der Augenblicksleistungen der drei Stränge ist
zeitlich konstant.
Wirkleistung P: P = 3UIStrcos ϕ [W]
(VII-6)
Blindleistung Q: Q = 3UIStrsin ϕ [var]
(VII-8)
Scheinleistung S: S = 3UIStr [VA]
(VII-9)
Phasenverschiebungswinkel ϕ: (VII-10)
ϕ = ϕu − ϕi
VII Drehstrom 34

α
Bild: Der Zusammenhang zwischen Wirkleistung P,
Blindleistung Q und Scheinleistung S in der komplexen Ebene.
Unsymmetrische Belastung Bei unsymmetrischer Belastung ( Z⎯1 ≠ ⎯2 Z ≠ Z⎯3 ) müssen die
Leistungen jedes einzelnen Verbrauchers addiert werden:
p = p1 + p2 + p3
Die Summe der Augenblicksleistungen der drei Stränge ist
zeitlich nicht konstant.
(VII-11)
VII Drehstrom 35

VIII Drosselspulen und magnetisch gekoppelte Kreise
Drosselspule mit Eisenkern:
U = 4,44Nf Φ ^
sinusförmig
U: Effektivwert (∼)
Transformator mit Eisenkern I 1
Φ ^
U 1
R1 X1σ
I µ
Xh
I 10
[V]
I Fe
R2 '
R Fe
X ' 2σ
Bild: Ersatzschaltbild eines Transformators
Eisenverluste durch Erwärmung eines vorhandenen
Eisenkernes:
: Hauptblindwiderstand (durch Hystereseverluste)
Xh
(VIII-1)
I ' 2
U 2 ' Z '
: Eisenverlustwiderstand (durch Wirbelstromverluste)
RFe
: Magnetisierungsstrom
Iµ
IFe:
Eisenverluststrom
I10:
Leerlaufstrom
Spulenverluste:
X1σ, X′2σ
R1, R2
: Streublindwiderstände der Spulen (Verlust von Φm)
: ohmische Wicklungswiderstände
Übersetzungsverhältnis ü: ü = (VIII-2)
N1
I2 =
Ohmischer Wicklungswiderstand
R2:
N2 = U 1
U 2
R ′ 2 = ü 2 R2
I1
Ohmischer Wicklungswiderstand der Spule.
[Ω] (VIII-3)
Streublindwiderstand X2σ : X [Ω] (VIII-4)
′ 2σ = ü2X2σ Streuverlust: Ein Teil des magnetischen Flusses läuft nicht
durch die Spule.
Belastungswiderstand Z⎯ :
′ 2
Z⎯ = ü Z⎯
[Ω] (VIII-5)
VIII Drosselspulen und magnetisch gekoppelte Kreise 36

Sekundärspannung U⎯2 : U⎯ [V] (VIII-6)
′ 2 = üU⎯2 Sekundärstrom I2 :
I [A] (VIII-7)
′ 2 = 1 üI⎯2 VIII Drosselspulen und magnetisch gekoppelte Kreise 37

Gleichrichtwerte:
Effektivwerte:
IX Allgemeine, nicht-sinusförmige periodische Signale
⎯
⎯= 1 |i| T ∫ T
| i | dt [A]
0
⎯
|u|
= 1 T ∫ T
0 | u | dt [V]
(IX-1)
(IX-2)
Bedeutung: zeitlicher Mittelwert des Betrages einer Funktion.
Für sinusförmige Signale: siehe Kapitel ›VI
Wechselstromkreise‹.
I = 1 T ⋅ ∫ T
U = 1 T ⋅ ∫ T
0 i2 dt [A]
0 u2 dt [V]
(IX-3)
(IX-4)
Bedeutung: Der periodisch zeitabhängige Strom i erzeugt im
Mittel die gleiche Wärmeleistung wie der Gleichstrom I.
Für sinusförmige Signale: siehe Kapitel ›VI
Wechselstromkreise‹.
Formfaktor: F = (IX-5)
I
⎯
Scheitelfaktor:
⎯
|i| = U |u|
Der Formfaktor F bezeichnet bei Wechselgrößen das
Verhältnis des Effektivwertes zum Gleichrichtwert. Er gilt für
Strom sowie Spannung gleichermaßen.
Für sinusförmige Signale: siehe Kapitel ›VI
Wechselstromkreise‹.
σ = i^
I = u^
U
Das Verhältnis des Scheitelwertes zum Effektivwert heißt
Scheitelfaktor. Er gilt für Spannung sowie Strom
gleichermaßen.
Für sinusförmige Signale: siehe Kapitel ›VI
Wechselstromkreise‹.
(IX-6)
IX Allgemeine, nicht-sinusförmige periodische Signale 38

Literaturverzeichnis
Anhang
Hagmann, Gert: "Grundlagen der Elektrotechnik", ISBN 978-3-89104-730-9, 14.
Auflage, AULA-Verlag, Verlag für Wissenschaft und Forschung, Wiebelsheim, 2009
Lehmann, Schmidt: "Physik - Gravitations-, elektrisches und magnetisches Feld", ISBN
3-89449-121-3, Stark Verlagsgesellschaft mbH, Freising 2004
Klein, Martin: "Einführung in die DIN-Normen", ISBN 3-519-16301-2, 12. Auflage,
Teubner, Berlin 1997
Dr. Christian Zentner, Dr. Nora Wiedenmann, Dr. Reinhard Barth: "Zahlen & Formeln",
ISBN 3-907200-05-5, Otus Verlag AG, St. Gallen 2006
Anhang 39