Quantenalgorithmen zum Auffinden versteckter Untergruppen

Quantenmechanische Postulate Die folgenden Postulate sind die Grundlage der
Quantenmechanik. Als solche sind sie nicht beweisbar, spiegeln jedoch viele experimentelle
Beobachtungen von physikalischen Systemen wider. Sie wurden im Wesentlichen
1932 von John von Neumann formuliert.
1. Der Zustand eines physikalischen Systems zu einem Zeitpunkt t0 wird durch die
Angabe eines zu einem Hilbertraum H gehörenden normierten Zustandsvektors
|ψ(t0)〉 eindeutig beschrieben.
2. Jede messbare physikalische Größe „A“ ist durch einen im Zustandsraum wirkenden
hermitischen Operator  beschrieben. Dieser Operator ist eine Observable.
3. Resultat der Messung einer physikalischen Größe „A“ kann nur einer der Eigenwerte
der entsprechenden Observablen  sein.∗
4. Wenn die physikalische Größe „A“ an einem System im normierten Zustand |ψ〉
gemessen wird, ist die Wahrscheinlichkeit P (an), den nichtentarteten Eigenwert an
der entsprechenden Observable  zu erhalten durch P (an) =|〈un| ψ〉| 2 gegeben,
wobei |un〉 der zum Eigenwert an gehörende normierte Eigenvektor ist. †
5. Wenn die Messung der physikalischen Größe „A“ an einem System im Zustand |ψ〉
das Ergebnis an ergibt, ist im nichtentarteten Fall das System unmittelbar nach der
Messung im normierten Zustand |un〉. ‡
6. Die Zeitentwicklung des Zustandsvektors |ψ(t)〉 ist gegeben durch die Schrödin-
gergleichung ˆ H(t) |ψ(t)〉 = i� d
dt |ψ(t)〉 wobei ˆ H(t) die der totalen Energie des
Systems zugeordnete Observable ist. §
Eine der Grundaufgaben der Physik ist es, den korrekten so genannten Hamiltonoperator
ˆ H(t) der Schrödingergleichung für ein gegebenes System zu finden.
Der so genannte Zeitentwicklungsoperator Û(t, t0) ist der Operator, der angewendet
auf einen Zustandsvektor zum Zeitpunkt t0 den Zustandsvektor zur Zeit t liefert: |ψ(t)〉 =
Û(t, t0) |ψ(t0)〉. Für ihn gilt der wichtige Satz:
Satz 2.1. Der Zeitentwicklungsoperator Û(t, t0) eines Quantenmechanischen Systems
mit Hilbertraum H, das isoliert ist, also keiner Messung unterzogen wird, ist unitär. D.h.
Û = Û(t, t0) lässt das Skalarprodukt zwischen beliebigen |ψ〉 , |φ〉 ∈Hfür beliebige
Zeiten t, t0 invariant:
〈Uψ| Uφ〉 = � ψ � � U † Uφ � = 〈ψ| φ〉 ⇔U † U =1
∗Dies ist der Grund, warum einige physikalische Größen nur diskrete, d.h. „gequantelte“ Werte annehmen
können. Da die Operatoren als hermitisch vorausgesetzt wurden sind deren Eigenwerte reell und somit
als physikalische Größen interpretierbar.
† Beim entarteten Fall summiert man über alle zum Eigenwert gehörenden entarteten Eigenvektoren
P (an) = � ��
gn �
� u (i)
� ��2 � ��
� ψ .
i=1
n
‡ Im entarteten Fall ist der Folgezustand die normierte Projektion
ziierten Eigenunterraum wobei ˆ Pn = � �
gn �
�u (i)
��
u (i)
�
�
�.
§ h
Die Konstante � ist definiert als 2π
i=1
n
n
ˆPn|ψ〉
√ 〈ψ| ˆ Pn|ψ〉 von |ψ〉 auf den mit an asso-
, wobei h das berühmte Planck’sche Wirkungsquantum ist. Dies ist
eine Naturkonstante mit dem Wert 6, 6260693(11) · 10−34 Joule Sekunden.
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