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Bemerkung: Die Mengenschreibweise von Relationship-Typ ist zum Verständnis der (min, max) - Notation notwendig. 5 Relationship-Typen als Teilmengen kartesischer Produkte Relationship-Typen sind Mengen von Relationships. Relationships wiederum können als eine kombinierte Liste aller Attribut-Werte-Paare der beteiligten Entities dargestellt werden. Mathematisch kann damit ein Relationship-Typ als Teilmenge des kartesischen Produktes der beteiligten Entity-Typen gesehen werden. 5.1 Konkatenation von Entities Eine Kombination von Entities wird über den Begriff der Konkatenation definiert. Definition: Konkatenation von Entities Die Konkatenation e 1 * e 2 zweier Entities e 1 und e 2 ist die Liste der Attribut-Wert-Paare, die durch Hintereinanderschreiben der entsprechenden Listen für e 1 und e 2 entsteht. Beispiel: Für l 2 = ((PersNr: 15), (Name: Neumann), (Geschlecht: m), (Wohnort: Passau), (Geburtsjahr: 1950)) und k 2 = ((Name: 5), (Klassenzimmer: 101)) ergibt die Konkatenation l 2 * k 2 = ((PersNr: 15), (Name: Neumann), (Geschlecht: m), (Wohnort: Passau), (Geburtsjahr: 1950), (Name: 5), (Klassenzimmer: 101)) Die Konkatenation entspricht der Beziehung Lehrkraft Neumann hat die Klassenleitung der Klasse 5, ist damit also als Relationship des Relationship-Typen hat_Klassenleitung_in interpretierbar. Bemerkung: Analog wird die Konkatenation e 1 * ... * e n mehrerer Entities definiert. 5.2 Das kartesische Produkt von Entity-Typen Die Menge aller Konkatenationen der Entities zweier Entity-Typen E 1 und E 2 wird über das kartesische Produkt E 1 x E 2 beschrieben. Definition: Kartesisches Produkt von Entities Das kartesische Produkt E 1 x E 2 zweier Entity-Typen E 1 und E 2 ist definiert als die Menge aller möglichen Konkatenationen ihrer Elemente: E 1 x E 2 = { e 1 * e 2 | e 1 E 1 und e 2 E 2 } Bemerkung: Analog wird das kartesische Produkt E 1 x ... x E n mehrerer Entity-Typen definiert. Beispiel:
Die Menge enthält alle möglichen Kombinationen der Entity-Typen Lehrkraft und Klasse. Anders ausgedrückt sind dies alle (theoretisch) möglichen Relationships des Relationship-Typen hat_Klassenleitung_in. Das kartesische Produkt der beteiligten Entity-Typen bildet also den Elementevorrat für den jeweiligen Relationship-Typen. 5.3 Relationship-Typ als Teilmenge eines kartesischen Produkts Jeder Relationship-Typ R zwischen gegebenen Entity-Typen E 1 , ..., E k kann als eine Teilmenge des kartesischen Produkts E 1 x ... x E k aufgefasst werden, d.h. Bei k beteiligten Entity-Typen heißt R k-stellig. Beispiel: R E 1 x ... x E k. Der Relationship-Typ hat_Klassenleitung_in ist 2-stellig. 5.4 Übungen Aufgabe: In einer Firma gibt es Angestellte, die Projekte bearbeiten. Angestellte sind Müller mit der PersNr. 3 und Meier mit der PersNr. 7. Müller ist am Projekt 'Datenbanksysteme' beteiligt, Meier ist Mitarbeiter in den Projekten 'Datenbanksysteme' und 'Softwareentwicklung'. Geben Sie ein geeignetes ER-Diagramm an. Lösungsvorschlag: Die Einführung der Projektnummer ermöglicht die eindeutige Indentifizierung der Projekte. Ist die Namensgebung der Projekte eindeutig, kann auch der Projektname als Primärschlüssel verwendet werden.
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