SCHRIFTENREIHE SCHIFFBAU Hydrostatik von Schiffen

August 2008 

SCHRIFTENREIHE SCHIFFBAU 

Stefan Krüger 

Hydrostatik von Schiffen

Grundlagen 10. Juni 2008 

Grundlagen 

1 Hauptabmessungen 

Abbildung 1: Hauptabmessungen, nach Normentwurf DIN 81 209-1 

Bezeichnung Bezeichnung Bedeutung 

deutsch englisch 

Lüa Loa Länge über alles, vom vordersten zum hintersten festen Punkt 

Lpp Lpp Länge zwischen den Loten (Perpendikeln) 

LW L LW L Länge in der Schwimmwasserlinie 

V L F P Vorderes Lot (engl.: FP, Forward Perpendicular), Schnittpunkt CWL 

mit Mallkante Vordersteven 

HL AP Hinteres Lot (engl.: AP, After Perpendicular), Mitte Ruderschaft 

KW L CW L Konstruktionswasserlinie, Schwimmwasserlinie bei Sommerfreibord 

Büa Boa Breite über alles 

T T Konstruktionstiefgang gemessen auf halber Länge zwischen den Loten 

H D Seitenhöhe 

F F Freibord 

V ▽ Verdrängtes Volumen des Schiffes auf Spanten, Einheit in [m3 ] 

△ Deplacement: Verdrängte Masse, Einheit in [t] 

MS CL 

� 

Mittschiffslinie, Center Line 

Hauptspant 

W L Wasserlinie 

In der Seefahrt wird das gebunkerte Süßwasser als Frischwasser bezeichnet, in Anlehnung an das englische 

Wort freshwater für Süßwasser. 

Stefan Krueger (TUHH) 

/vorlesung/hydrostatik/grundlagen/grundlagen.tex 

krueger@tu-harburg.de 

1/5


2 Ansichten 

Man führt ein schiffsfestes Koordinatensystem ein. Üblicherweise liegt der Koordinatenursprung im Hinteren 

Lot (AP) auf der Höhe der Basis in der Schiffsmitte. Die x-Achse geht entlang der Schiffslängsachse, 

die y-Achse ist die Querachse und die z-Achse die Hochachse. Da der Ursprung in der Schiffsmitte liegt, 

können die y-Werte sowohl positiv als auch negativ sein. Für die Backbordseite sind die y-Werte positiv 

und für die Steuerbordseite negativ. Die x-Werte werden zum Bug hin positiv gezählt, alles was hinter 

dem Hinteren Lot liegt wird negativ. 

Abbildung 2: Schiffsfestes Achsensystem, nach Normentwurf DIN 81 209-1 

Man denkt sich den Schiffsrumpf von Ebenen parallel zu den Ebenen des kartesischen Koordinatensystems 

zerschnitten. Die Projektionen der so entstandenen Umrisslinien auf jeweils eine gemeinsame 

Zeichenebene ergeben drei Ansichten des Schiffskörpers (siehe Abbildung 3): 

• Spantenriss (engl.: Body Plan) in der y,z-Ebene (Spanten), 

• Längsriss (engl.: Buttocks) in der x,z-Ebene (Schnitte), 

• Wasserlinienriss (engl.: Lines Plan) in der x,y-Ebene (Wasserlinien). 




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Abbildung 3: Projektion des Schiffskörpers in die drei Ebenen des kartesischen Koordinatensystems. 

Wegen der Übersichtlichkeit ist der Ursprung verschoben gezeichnet. 

Ein weiterer Schnitt, der in einem Winkel zur Mittschiffsebene gelegt wird, dient der Kontrolle des 

Linienverlaufs und wird Sentenriss (engl.: Plan of Diagonals) genannt. Ausgehend von der Mittschiffsebene 

werden geneigte Schnitte geführt, die möglichst viele Spanten möglichst senkrecht schneiden. Es 

ergeben sich den Wasserlinien ähnliche Kurven. 

3 Linienriss 

Der Linienriss enthält den Spantenriss, den Längsriss und den Wasserlinienriss. Bei der Entwicklung des 

Linienrisses müssen die Linien straken, d.h. sie müssen stetig verlaufen. 

• Spanten: Lpp wird in eine gerade Anzahl gleicher Abstände eingeteilt (z.B. 10 oder 20); es entstehen 

10 bzw. 20 Konstruktionsspanten, wobei man mit der Zählung am AP mit 0 beginnt. Da an den 

Schiffsenden starke Krümmungen der Außenhaut auftreten, werden hier meist weitere Spanten in 

engeren Abständen angeordnet. Im Spantenriss wird das Vorschiff rechts und das Hinterschiff links 

dargestellt. 

• Schnitte: Der Umriss stellt Vor- und Hintersteven, die Aufbauten und den Decksverlauf dar. Dabei 

werden die halben Schnitte durch die vordere Schiffshälfte rechts und die durch die hintere 

Schiffshälfte links dargestellt. 

• Wasserlinien: Glatte Abstände, z.B. 0,5m oder 1m usw. Zusätzlich wird die Konstruktionswasserlinie 

CWL eingezeichnet. Es wird jeweils nur die Backbordhälfte dieser Kurven in den Linienriss 

eingezeichnet. 




3/5




Abbildung 4: Linienriss 


4/5


4 Völligkeitsgrade 

Unter dem Völligkeitsgrad oder der Völligkeit versteht man im Schiffbau das Verhältnis 

• einer beliebig geformten Fläche zur Fläche des umschreibenden Rechtecks, 

• eines beliebig geformten Körpers zum Volumen des umschreibenden Quaders. 

Die Völligkeitsgrade charakterisieren die Schiffsform. 

Zeichen/ Gleichung Bezeichnung Erklärung 

cW P = AW 

L · B 

cM = AM 

B · T 

cB = 

V 

L · B · T 

cP = 

V 

AM · L 

Völligkeitsgrad der Wasserlinienfläche 

Völligkeitsgrad der eingetauchten 

Hauptspantfläche 

Blockkoeffizient 

Zylinderkoeffizient oder 

Schärfegrad 

5 Flächenträgheitsmomente 

Verhältnis der auf Mallkante bezogenen 

Wasserlinienfläche zum 

umschreibenden Rechteck. 

Verhältnis der auf Mallkante bezogenen 

eingetauchten Hauptspantfläche 

zu dem Rechteck aus 

Breite und Tiefgang. 

Verhältnis des Volumens des Unterwasserschiffes 

zum umschriebenen 

Quader. 

Verhältnis des Volumens des Unterwasserschiffes 

zum Volumen 

des aus Hauptspantfläche und 

Länge gebildeten Körpers. 

Im Schiffbau gibt es für die Flächenträgheitsmomente verschiedene übliche Bezeichnungen. So wird das 

Flächenträgheitsmoment der Wasserlinienfläche um die x-Achse auch Breitenträgheitsmoment genannt. 

Übliche Bezeichnungen: IxS = IW L = IT . Das Flächenträgheitsmoment um die y-Achse wird auch 

Längenträgheitsmoment genannt und hat die Bezeichnungen: IyS = IW LL = IL. 




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Gesetz des Archimedes 10. Juni 2008 

Gesetz des Archimedes 1 

1 Druckverteilung im Wasser 

Neben dem bereits im Kapitel ”Grundlagen” erwähnten schiffsfesten Koordinatensystem wird ein ortsfestes 

Koordinatensystem eingeführt. Das globale Koordinatensystem ξ; η; ζ (Xi; Eta; Zeta) orientiert 

sich an der Wasseroberfläche. Die ξ; η-Ebene ist die Wasseroberfläche oder eine dazu parallele Ebene. ζ 

weist senkrecht nach unten (zum Erdmittelpunkt). 

Das ruhende Wasser besitzt die Dichte ρ und damit das spezifische Gewicht (ρg). Das spezifische Gewicht 

gibt den Quotienten aus Gewichtskraft (engl.: gravity, Abkürzung G) und Volumen an: 

G m · g 

= = ρg 

V V 

Die Flüssigkeitssäule hat den Querschnitt A und die Höhe ζ. Dann existieren an der Wassersäule folgende 

Vertikalkräfte (Kräfte, die nach oben zeigen werden positiv gezählt), siehe Abbildung 1 . 

. 

Das statische Gleichgewicht liefert: 

ζ 

Luftdruck p B . 

A 

Wasserdruck p 

η 

ξ 

Abbildung 1: Absoluter Wasserdruck 

ζ 

Globales 

Koordinatensystem 

1.) −pB · A (Druckkraft an der Oberseite) 

2.) G = −(ρg) · V = −(ρg)A · ζ (Gewicht) 

3.) p · A (Druckkraft an der Unterseite) 

ΣF = −pB · A − (ρg)A · ζ + p · A = 0. 

Damit erhält man in der Tiefe ζ einen Überdruck von: 

(p − pB) = (ρg) · ζ. (1) 

Der Überdruck ist die Differenz zwischen dem Umgebungsdruck pB und dem Druck p in der Tiefe ζ. 

1 Diese Dokumentation wurde erstellt aufgrund der Vorlage von Prof. Kloppenburg, ehem. Inst. f. Schiffbau 


/vorlesung/hydrostatik/archimedes/archimedes.tex 


1/4


2 Schwimmender Körper 

Es gibt zwei Schwimmzustände für Schwimmkörper: voll getaucht und teilweise getaucht. 

Ein voll getauchter Schwimmkörper befindet sich in nur einem Medium, wie z.B. ein U-Boot ganz unter 

Wasser, ein teilweise getauchter Schwimmkörper befindet sich in zwei Medien, wie z.B ein konventionelles 

Frachtschiff in Luft und Wasser. 

Daraus ergeben sich für das Schwimmverhalten, z.B. die Schwimmstabilität, unterschiedliche Zusammenhänge. 

Bei einer Krängung eines Überwasserschwimmkörpers verändert sich die Form des eingetauchten 

Volumens, entsprechend muss sich auch die Lage des Auftriebsschwerpunktes ändern. Wird 

ein Unterwasserschwimmkörper gekrängt, so ändert sich die Lage des Auftriebsschwerpunktes nicht, da 

sich die Wasser verdrängende Form nicht ändert. Im Auftriebsschwerpunkt greift die Auftriebskraft FB 

an. 

Es existiert ein schwimmender/teilweise eingetauchter Körper mit einer Unterwasserform S(ξ, η), siehe 

Abbildung 2 . 

Abbildung 2: Auftrieb 

Denkt man sich eine Säule mit dem Querschnitt dA aus dem Körper herausgeschnitten, wirken an der 

Säule folgende Vertikalkräfte, wobei die Kräfte, die nach oben zeigen, wieder positiv gezählt werden: 

Momente von dFB um die ξ− und η−Achse: 

dFB = (p − pB) · dA = (ρg)ζ · dA = (ρg) · dV. (2) 

dMBξ = ηdFB = (ρg)ηζdA = (ρg)ηdV, 

dMBη = ξdFB = (ρg)ξζdA = (ρg)ξdV. (3) 

Hier bedeutet dV den eingetauchten/schraffierten Volumenanteil. 

Für den Gesamtauftrieb gilt dann: 

� 

� 

FB = dFB = (ρg) ζdA = (ρg)V ; ζ > 0. (4) 

S 

S 

FB ist die Gesamtauftriebskraft. 

S ist der eingetauchte, benetzte Teil des Körpers. 




2/4


V ist das eingetauchte Körpervolumen, d.h. seine Verdrängung. 

B(ξB; ηB; ζB) ist der Auftriebsschwerpunkt, d.h. der Volumenschwerpunkt der verdrängten Flüssigkeit. 

Momente des Gesamtauftriebs FB um die ξ− bzw. η−Achse: 

� 

� 

� 

MBξ = dMBξ = (ρg) ηζdA = (ρg) ηdV = (ρg)MV ξ = (ρg)ηBV, 

S � 

S � 

S � 

MBη = dMBη = (ρg) ξζdA = (ρg) ξdV = (ρg)MV η = (ρg)ξBV. (5) 

S 

S 

MBξ bzw. MBη nennt man Auftriebsmoment, bei MV ξ bzw. MV η spricht man vom Volumenmoment. 

Gleichgewichtsbedingungen am Gesamtkörper: 

Drei Gleichgewichtsbedingungen definieren die hydrostatische Schwimmlage eines teilgetauchten Körpers: 

Eine translatorische (Kräftegleichgewicht in ζ-Richtung und zwei rotatorische (Momentengleichgewicht 

um die ξ-Achse und um die η-Achse) Gleichgewichtsbedingungen. 

• Kräftegleichgewicht: 

Daraus folgt das Gesetz des Archimedes: 

In Worten: 

−G + FB = −G + (ρg)V = 0 

S 

G = g∆ = (ρg)V (6) 

Das Gewicht eines Schwimmkörpers ist gerade so groß wie das Gewicht des von ihm verdrängten 

Wassers. 

Anders: Die Auftriebskraft eines schwimmenden Körpers ist gleich der Gewichtskraft des 

verdrängten Flüssigkeitsvolumens. 

G ist die Gewichtskraft - kurz das Gewicht - des Schwimmkörpers, 

∆ = ρV ist sein Deplacement (Masse; Einheit in t), 

V ist das eingetauchte Volumen (wird im Schiffbau auch mit dem Symbol ▽ gekennzeichnet). 

• Momentengleichgewicht: 

G(ξG; ηG; ζG) ist der Gewichtsschwerpunkt. 

Moment um die ξ−Achse: 

Daraus folgt: 

Moment um die η−Achse: 

Daraus folgt: 

−G · ηG + MBξ = −G · ηG + (ρg)ηBV = 0. 

ηG = ηB 

−G · ξG + MBη = −G · ξG + (ρg)ξBV = 0. 

ξG = ξB 

In der Gleichgewichtslage liegen Gewichtsschwerpunkt G und Auftriebsschwerpunkt B auf 

einer gemeinsamen vertikalen Wirkungslinie. 



(7) 

(8) 


3/4


Beispiele: 

Beispiel 1: 

Ein Holzfloß mit dem Volumen VF loß = 0, 8m3 und der Dichte von Holz ρH = 0, 7 t 

m3 Süßwasser (engl. freshwater; ρF W = 1 

schwimmt in 

t 

m3 ); g = 9, 81 N 

kN 

Kg = 9, 81 t . 

Bei welcher Beladung F geht das Floß unter? 

Man betrachtet das Kräftegleichgewicht FB − G − F = 0 kurz bevor das Floß untergeht, also wenn 

es vollständig getaucht ist; das eingetauchte Volumen entspricht dann dem Gesamtvolumen des Floßes. 

Daraus folgt: 

F = FB − G = (ρF W − ρH)g · VF loß = (1, 0 − 0, 7) t 

· 9, 81kN · 0, 8m 

m3 t 

3 = 2, 35kN. 

Beispiel 2: 

Ein Ponton (L = 7m; B = 2m; ∆ = 6t) schwimmt in Seewasser (ρSW = 1, 03t/m 3 ). 

a) Welcher Tiefgang stellt sich ein? 

b) Welche Masse m muss zu-/abgeladen werden, damit eine Tiefgangszu-/abnahme von 

δT = 0, 15m erreicht wird? 

Zu a): 

Mit ∆ = ρSW · V = ρSW · L · B · T findet man: 

Zu b): 

T = 

∆ 

ρSW · L · B = 

6t 

1, 03 t 

m 3 · 7m · 2m 

= 0, 416m. 

m = ρSW · L · B · δT = 1, 03 t 

· 7m · 2m · 0, 15m = 2, 16t. 

m3 Stefan Krueger (TUHH) 



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Kleine Änderungen der Schwimmlage 10. Juni 2008 

Veränderung der statischen Kräfte und Momente an einem 

Schwimmkörper bei kleinen Änderungen der Schwimmlage 

Dieses Kapitel beschäftigt sich mit der Betrachtung der Kräfte und Momente an einem beliebig geformten 

Körper, wenn dieser kleine Änderungen seiner Schwimmlage erfährt. Hier wird also die Theorie 

hergeleitet, die dann im Kapitel ” Kleine Schwimmlageänderungen intakter Schiffe “auf Schiffe angewendet 

wird. Wichtig ist, dass die Formeln dieser beiden Kapitel nur für kleine Neigungen gelten. 

Wie in der Einführung bereits benutzt, ist bei der Betrachtung schwimmender Körper im allgemeinen 

eine Unterscheidung zwischen einem globalen/ortsfesten (ξ; η; ζ) und einem lokalem/körperfesten 

(x; y; z) Koordinatensystem nötig oder nützlich. Die einschränkende Aussage hier, dass nämlich nur 

kleine Änderungen der Schwimmlage betrachtet werden sollen, ist dagegen so gemeint, dass diese Unterscheidung 

zwischen den beiden Koordinatensystemen nicht erforderlich ist. 

Der Unterschied beider Systeme sei also klein und vernachlässigbar. Deshalb wird im Folgenden immer 

nur vom globalen Koordinatensystem gesprochen werden. Die ξ; η−Ebene sei wieder horizontal, also 

parallel zur Wasseroberfläche, die ihrerseits als unveränderlich angesehen wird. Dagegen kann der Koordinatenursprung 

beliebig gewählt werden. Nach der Wahl bleibt das Koordinatensystem (ξ; η; ζ) fest. 

Veränderungen der Schwimmlage werden als Veränderungen im gewählten Koordinatensystem angegeben, 

s. Abb. 1. 

Ausgehend von einer statischen Gleichgewichtslage, ΣF = 0; ΣM = 0, sollen kleine Veränderungen / 

Abweichungen von einer erwarteten/gewollten Schwimmlage betrachtet werden. 

Der Schwimmkörper erfahre kleine Verschiebungen (Translationen) und Verdrehungen (Rotationen). 

Er besitzt sechs Freiheitsgrade, drei translatorische und drei rotatorische. Verschiebungen in ξ− und 

η−Richtung (also Bewegungen parallel zur Wasseroberfläche), sowie Drehung um die ζ−Achse bewirken 

keine Veränderung des eingetauchten Volumens/ Auftriebs, dadurch ergeben sich keine zusätzlichen 

Kraft- bzw. Momentenwirkungen. Bezüglich dieser drei Freiheitsgrade befindet sich der Körper im indifferenten 

Gleichgewicht. 

1 Beliebige, kleine Änderung der Schwimmlage 

Eine beliebige, kleine Veränderung der Lage des Schwimmkörpers enthält ein δT als Verschiebung in 

ζ−Richtung und Drehungen δϕ um die ξ− Achse und δψ um die η−Achse. Jede dieser anteiligen 

Lageänderungen des Schwimmkörpers liefert eine Veränderung des eingetauchten Volumens um δV 

und führt dadurch zu Änderungen des Auftriebs δFB und der Auftriebsmomente δMBξ und δMBη. Es 

werden nun also die Änderungen des Auftriebs und der Auftriebsmomente für die drei Änderungen der 

Schwimmlage näher betrachtet: 

1. Tiefertauchung um δT (translatorische Bewegung in Richtung der ζ-Achse), 

2. Verdrehung um δϕ (rotatorische Bewegung um die ξ-Achse), 

3. Verdrehung um δψ (rotatorische Bewegung um die η-Achse). 


/vorlesung/hydrostatik/klein/klein.tex 


1/9


1.1 Tiefertauchung um δT 

Aw 

δT ursprgl.WL 

ζ 

ξ 

Schwimmwasserlinie 

η 

Körper 

dA 

Abbildung 1: Tiefertauchung um δT 

Vergrößerung des Tiefgangs T um δT liefert eine Veränderung des Volumens um δV , siehe Abbildung 

1: 

� 

� 

δV = δT dA = δT dA = δT Aw. 

mit Aw Fläche der Schwimmwasserlinie (WL-Fläche) 

—Auftriebsänderung: 

Mit dem Gesetz des Archimedes 

findet man den Differenzenquotienten 

Aw 

Aw 

FB = (ρg)V bzw. δFB = (ρg)δV 

δFB 

δT 

= (ρg)δV 

δT 

= (ρg)Aw. 

Beim Grenzübergang δT → 0 wird daraus der Differentialquotient: 

∂FB 

∂T 

= (ρg)Aw. 

δFB sei positiv bei einer Tiefgangszunahme, dann ist δFB nach oben gerichtet. 

— Änderung des Momentes MBη des Auftriebs FB (Auftriebsmoment um die η-Achse): 

� 

δMBη = ξδFB = ξ(ρg)δV = (ρg)δT 

Aw 

ξ dA 

Der Schwerpunkt der WL-Fläche habe die Koordinaten F (ξw; ηw), berechnet aus 

� 

� 

Aw · ξw = ξ dA; Aw · ηw = η dA. 

Damit wird 

und beim Grenzübergang δT → 0 : 



Aw 

δMBη 

δT = (ρg) ξw · Aw, 

∂MBη 

∂T = (ρg) ξw · Aw. 

Aw 


2/9


— Änderung des Auftriebsmomentes MBξ( um die ξ-Achse): 

Damit wird 

und beim Grenzübergang δT → 0 : 

� 

δMBξ = ηδFB = η(ρg)δV = (ρg)δT 

δMBξ 

δT = (ρg) ηw · Aw, 

∂MBξ 

∂T = (ρg) ηw · Aw. 

Zusammenstellung : Aufgrund einer Tiefertauchung ∂T ergibt sich: 

∂FB 

∂T 

= (ρg)Aw; 

1.2 Verdrehung um δϕ 

∂MBη 

∂T = (ρg) ξw · Aw; 

Aw 

η dA, 

∂MBξ 

∂T = (ρg) ηw · Aw. 

Rechts-(Links-)Drehung des Körpers um die negative (positive) ξ−Achse um δϕ. 

(Eine Verdrehung um die horizontale ξ−Achsen liefert zunächst eine Horizontalverschiebung des Körpers 

um ζdϕ, womit keine Änderung des eingetauchten Volumens verbunden ist. Allerdings ist als zusätzlicher 

Effekt mit der Verdrehung auch eine parallele Tiefertauchung um ζ(dϕ) 2 verbunden. Letztere ist jedoch 

von höherer Ordnung klein und damit vernachlässigbar. Gleiches gilt auch für eine Verdrehung um die 

η−Achse.) 

ζ 

ξ 

δϕ 

η 

WL 

ursprgl. WL 

Körper 

dA 

h= ηδϕ 

ζ 

ξ 

δϕ 

ϕ 

r 

η 

r 

. 

B 

. 

B’ 

δη Β 

Körper 

Abbildung 2: Verdrehung um δϕ (links) und Auswanderung des Auftriebsschwerpunktes (rechts). 

Verdrehung um δϕ liefert, siehe Abbildung 2 (links): 

� 

� 

δV = h · dA = δϕ ηdA = δϕ ηw · Aw. 

— Auftriebsänderung: 

bzw. 



Aw 

δFB 

δϕ 

Aw 

= (ρg)δV 

δϕ = (ρg) ηw · Aw 

∂FB 

∂ϕ = (ρg) ηw · Aw. 


3/9


— Änderung des Auftriebsmomentes MBη : 

bzw. 

Iξη = � 

Aw 

� 

δMBη = ξδFB = ξ(ρg)δV = (ρg)δϕ 

δMBη 

δϕ 

∂MBη 

∂ϕ 

= (ρg)Jξη 

= (ρg)Jξη. 

Aw 

ξ η dA. 

ξ η dA Zentrifugalmoment der WL-Fläche, bezogen auf die ξ− und η−Achse. 

— Änderung des Auftriebsmomentes MBξ : 

Moment des eintauchenden Volumens δV : 

� 

δMBξ1 = ηδFB = η(ρg)δV = (ρg)δϕ 

bzw. 

Iξ = � 

δMBξ1 

δϕ 

∂MBξ1 

∂ϕ 

= (ρg)Iξ 

= (ρg)Iξ. 

Aw 

η 2 dA. 

Aw η2 dA Trägheitsmoment der WL-Fläche bezogen auf die ξ−Achse. 

Moment durch Änderung der Lage des Auftriebsschwerpunktes B, s. Abb. 2 (rechts), (Änderung des 

Momentes MBξ der Gesamtverdrängung V ) : 

Der Auftriebsschwerpunkt habe die Koordinaten B(ξB; ηB; ζB). Durch Drehung um δϕ wandert er nach 

ζ 

. 

δϕ 

ϕ 

ξ ηB=rcosϕ δηB 

r 

r 

Β 

. 

δη B 

r 

ζ B=rsinϕ δϕ 

. 

B’ 

Abbildung 3: Änderung δηB bei Verdrehung um δϕ 

B ′ , r bleibt erhalten, ϕ ändert sich um (−δϕ), siehe Abbildung 3. 

δηB = dηB 

dϕ 



ηB = r cos ϕ; ζB = r sin ϕ. 

cos ϕ) 

(−δϕ) = −d(r δϕ = r sin ϕ δϕ = ζB δϕ; 

dϕ 

dηB 

dϕ 

= ζB; 

dηB 

dT 

= dηB 

dψ 

= 0. 

ϕ 

η 


4/9


Bei diesem Anteil der Änderung des Auftriebsmomentes ist die Gesamtverdrängung beteiligt! 

bzw. 

δMBξ2 = δηB · (ρg)V = (ρg)δϕ ζBV 

δMBξ2 

δϕ 

∂MBξ2 

∂ϕ 

= (ρg)ζBV 

= (ρg)ζBV. 

Zusammenstellung : Aufgrung einer Verdrehung δϕ um die negative ξ− Achse ergibt sich: 

∂FB 

∂ϕ 

1.3 Verdrehung um δψ 

= (ρg)ηwAw; ∂MBη 

∂ϕ 

Rechtsdrehung des Körpers um die positive η−Achse um δψ. 

Verdrehung um δψ liefert, s. Abb. 4 (links): 

η 

ζ 

δψ 

—Auftriebsänderung: 

bzw. 

ξ 

WL 

ursprgl. WL 

dA 

Körper 

� 

δV = 

h= ξδψ 

= (ρg)Iξη; ∂MBξ 

∂ϕ = (ρg)(Iξ + ζBV ). 

ζ 

η 

Abbildung 4: Verdrehung um δψ 

Aw 

δFB 

δψ 

— Änderung des Auftriebsmomentes MBη : 

� 

h dA = δψ 

Aw 

. 

δψ 

ψ 

ξ dA = δψ ξw · Aw 

= (ρg)δV 

δψ = (ρg) ξw · Aw 

∂FB 

∂ψ = (ρg)ξw · Aw. 

Moment des eintauchenden Volumens: 

� 

δMBη1 = ξδFB = ξ(ρg)δV = (ρg)δψ 



δMBη1 

δψ 

= (ρg)Iη 

Aw 

r 

ξ 2 dA 

r 

Β 

ξ 

B=rcosψ 

. 

δξ 

B 

r δψ 

ζ B=rsinψ 

B 

. 

ψ 

B’ 

ξ 


5/9


bzw. 

Iη = � 

∂MBη1 

∂ψ 

= (ρg)Iη. 

Aw ξ2 dA Trägheitsmoment der WL-Fläche bezogen auf die η−Achse. 

Moment durch Änderung der Lage des Auftriebsschwerpunktes B. 

Durch Drehung um δψ wandert der Auftriebsschwerpunkt nach B ′ , r bleibt erhalten, ψ ändert sich um 

−δψ, s. Abb. 4 (rechts). 

ξB = r cos ψ; ζB = r sin ψ 

bzw. 

δξB = dξB 

dψ (−δψ) = r sin ψ δψ = ζB δψ 

dξB 

dψ 

= ζB; 

dξB 

dT 

= dξB 

dψ 

= 0. 

δMBη2 = δξB · (ρg)V = (ρg)δψ ζBV 

δMBη2 

δψ 

∂MBη2 

∂ψ 

= (ρg)ζBV 

= (ρg)ζBV. 

— Änderung des Auftriebsmomentes MBξ: 

� 

δMBξ = ηδFB = η(ρg)δV = (ρg)δψ 

bzw. 

δMBξ 

δψ 

∂MBξ 

∂ψ 

= (ρg)Iξη 

= (ρg)Iξη. 

Aw 

ξ η dA 

Zusammenstellung : Aufgrund einer Verdrehung δψ um die positive η− Achse ergibt sich: 

∂FB 

∂ψ = (ρg)ξw · Aw; 

∂MBη 

∂ψ = (ρg)(Iη + ζBV ); 

∂MBξ 

∂ψ 

= (ρg)Iξη. 

Gesamtänderung dFB (totales Differential) des Auftriebs aufgrund von dT ; dψ; dϕ : 

dFB = ∂FB 

∂T 

Gesamtänderung dMBη des Auftriebsmomentes: 

dMBη = ∂MBη 

Gesamtänderung dMBξ des Auftriebsmomentes: 



∂FB ∂FB 

dT + dψ + 

∂ψ ∂ϕ dϕ 

= (ρg)[Aw dT + ξwAw dψ + ηwAwdϕ]. (1) 

∂T dT + ∂(MBη1 + MBη2) 

dψ + 

∂ψ 

∂MBη 

∂ϕ dϕ 

= (ρg)[ξwAwdT + (Iη + ζBV )dψ + Iξηdϕ]. (2) 

dMBξ = ∂MBξ ∂MBξ 

dT + 

∂T ∂ψ dψ + ∂(MBξ1 + MBξ2) 

dϕ 

∂ϕ 

= (ρg)[ηwAwdT + Iξηdψ + (Iξ + ζBV )dϕ]. (3) 


6/9


Die neun Ableitungen von FB; MBη; MBξ nach T ; ψ; ϕ lassen sich in folgender Kurzschreibweise 

zusammenfassen: 

⎡ 

⎤ 

∂(FB; MBη; MBξ) 

∂(T ; ψ; ϕ) 

= 

⎢ 

⎣ 

⎡ 

∂FB 

∂T 

∂MBη 

∂T 

∂MBξ 

∂T 

∂FB 

∂ψ 

∂MBη 

∂ψ 

∂MBξ 

∂ψ 

∂FB 

∂ϕ 

∂MBη 

∂ϕ 

∂MBξ 

∂ϕ 

⎥ 

⎦ 

= A 

Aw ξwAw ηwAw 

⎢ 

⎥ 

⎢ 

A = (ρg) ⎢ ξwAw (Iη + ζBV ) Iξη 

⎥ . (4) 

⎣ 

⎦ 

ηwAw Iξη (Iξ + ζBV ) 

Die Matrix A der Ableitungen ist quadratisch und symmetrisch. 

Die drei Gleichungen 1, 2, 3 zur Berechnung der Änderungen von Auftrieb und Auftriebsmomenten 

lassen sich damit in folgender Kurzschreibweise zusammenfassen: 

⎛ 

⎝ 

dFB 

dMBη 

dMBξ 

⎞ 

⎛ 

⎠ = A ⎝ 

2 Schwimmkörper unter äußeren Einwirkungen 

dT 

dψ 

dϕ 

⎞ 

⎤ 

⎠ . (5) 

Bisher wurde statisches Gleichgewicht angenommen, � F = 0; � M = 0. Jetzt soll der Fall behandelt 

werden, dass sich endliche Resultierende ergeben, d.h. von außen wird auf den Körper eingewirkt. 

Resultierende Vertikalkraft: 

bzw. 

Fζ = FB − W 

δFζ = δFB − δW. 

Da sich durch Änderung der Schwimmlage das Gewicht des Schwimmkörpers nicht ändert (G = 

konst.), verschwinden auch alle Ableitungen 

∂G 

∂T 

= ∂G 

∂ψ 

und es kann δG ≡ 0 gesetzt werden und somit: 

= ∂G 

∂ϕ 

δFζ = δFB. 

Die Definition von Fζ ist: Wenn eine Tiefertauchung δT eintritt, ist FB > G −→ Fζ > 0. 

Damit weist Fζ positiv nach oben, was jedoch auch bedeutet, dass die äußere Einwirkung den 

Schwimmkörper nach unten drückt. 

Resultierende Momente : 

— η−Achse: 

bzw. 

— ξ−Achse: 

bzw. 



≡ 0. 

Mη = MBη − ξG · G 

δMη = δMBη − δξG · G. 

Mξ = MBξ − ηG · G 

δMξ = δMBξ − δηG · G. 


7/9


Änderung der Schwerpunktskoordinaten : 

ζ 

. 

δϕ 

G 

δηG 

r δϕ 

rsinϕ 

= 

ϕ 

ξ η rcosϕ G= δηG 

r 

r 

. 

ζ G 

ϕ 

.G’ 

Abbildung 5: Änderung δηG bei Verdrehung um δϕ 

Der Gewichtsschwerpunkt habe die Koordinaten G(ξG; ηG; ζG). Drehung um −δϕ um die negative 

ξ−Achse, siehe Abbildung 5: ηG = r cos ϕ; ζG = r sin ϕ; δηG = dηG 

dϕ (−δϕ) = r sin ϕ δϕ = ζG δϕ. 

Bei einer Verschiebung um δT ändert sich ηG nicht, auch nicht durch Verdrehung um δψ. 

Zusammengefasst: 

dηG 

dϕ 

= ζG; 

— Drehung um −δψ um die positive η−Achse: 

dηG 

dT 

= dηG 

dψ 

= 0. 

ξG = r cos ψ; ζG = r sin ψ 

δξG = dξG 

dψ (−δψ) = r sin ψ δψ = ζG δψ. 

Bei einer Verschiebung um δT ändert sich ξG nicht, auch nicht durch Verdrehung um δϕ. 

Zusammengefasst: 

dξG dξG dξG 

= ζG; = = 0. 

dψ dT dϕ 

Die Gesamtänderungen von Fζ; Mη; Mξ (totales Differential) aufgrund von dT ; dψ; dϕ: 



dFζ = dFB = ∂Fζ 

∂T 

η 

∂Fζ ∂Fζ 

dT + dψ + 


= (ρg)[AwdT + ξwAwdψ + ηwAwdϕ] (6) 

dMη = dMBη − GdξG = ∂Mη 

∂T 

∂Mη ∂Mη 

dT + dψ + 


= (ρg)[ξwAwdT + (Iη + ζBV )dψ + Iξηdϕ] − GζG dψ (7) 

dMξ = dMBξ − GdηG = ∂Mξ 

∂T 

∂Mξ ∂Mξ 

dT + dψ + 


= (ρg)[ηwAwdT + Iξηdψ + (Iξ + ζBV )dϕ] − GζG dϕ (8) 


8/9


Hier wurden dFB; dMBη und dMBξ von vorne übernommen, s. Gl. (1); (2) und (3). 

Die neun Ableitungen von Fζ; Mη; Mξ nach T ; ψ; ϕ lassen sich in folgender Kurzschreibweise zusammenfassen: 

∂(Fζ; Mη; Mξ) 

∂(T ; ψ; ϕ) 

= 

⎡ 

⎢ 

⎣ 

⎡ 

⎢ 

S = (ρg) ⎢ 

⎣ 

∂Fζ 

∂T 

∂Mη 

∂T 

∂Mξ 

∂T 

∂Mζ 

∂ψ 

∂Mη 

∂ψ 

∂Mξ 

∂ψ 

∂Fζ 

∂ϕ 

∂Mη 

∂ϕ 

∂Mξ 

∂ϕ 

⎤ 

⎥ 

⎦ 

Aw ξwAw ηwAw 

ξwAw (Iη + ζBV )− Iξη 

GζG/(ρg) 

ηwAw Iξη (Iξ + ζBV )− 

GζG/(ρg) 

Die Matrix S der Ableitungen ist quadratisch und symmetrisch, d.h.: 

S = S ′ . 

S ′ ist die transponierte Matrix zu S. Für die Elemente der Matrix S gilt deshalb: 

aik = aki. 

Hier bedeutet i den Zeilenzähler und k den Spaltenzähler. 

Für Gleichgewicht der Vertikalkräfte gilt: 

G = (ρg)V = FB. 

= S (9) 

Dann wird aus der Matrix S: 

S ∗ 

= 

⎡ 

(ρg)Aw 

⎢ (ρg)ξwAw ⎣ 

(ρg)ξwAw 

G(Iη/V + ζB − ζG) 

(ρg)ηwAw 

(ρg)Iξη 

⎤ 

⎥ 

⎦ . (11) 

(ρg)ηwAw (ρg)Iξη G(Iξ/V + ζB − ζG) 

Das Gleichungssystem 6; 7; 8 lässt sich analog zu Gl.5 ebenfalls in kurzer Matrizenschreibweise darstellen: 

⎛ 

⎝ 

dFζ 

dMη 

⎞ ⎛ 

⎠ = S ⎝ 

dT 

dψ 

⎞ 

⎠ . (12) 

dMξ 

dϕ 

Zu gegebenen dT ; dψ; dϕ lassen sich hiermit direkt die aus Gewicht G⎛ und Auftrieb ⎞ FB resultierenden 

dT 

Kräfte und Momente bestimmen, indem die Matrix S mit dem Vektor ⎝ dψ 

dϕ 

⎠ multipliziert wird. Sind 

jedoch resultierende Kräfte oder Momente gegeben, ist die Schwimmlagenänderung durch Lösung des 

resultierenden Gleichungssystems zu ermitteln. 



⎤ 

⎥ 

⎦ 

(10) 


9/9

Stabilität von Schwimmlagen 10. Juni 2008 

Stabilität von Schwimmlagen 

Stabilität ist die Fähigkeit eines Schwimmkörpers, sich aus einer geneigten Lage (Krängung) wieder 

selbstständig aufzurichten. Allgemein wird die Stabilität von folgenden Faktoren beeinflusst: 

• die Form des Unterwasserschiffes, z.B. völlige oder weniger völlige Hauptspantform, 

• die Verhältniswerte der Hauptabmessungen, z.B. B/T, T/D, 

• vom Freibord; bei geringem Freibord taucht Seite Deck zu früh ein, 

• die Lage des Gewichtsschwerpunktes; ein tiefliegender Gewichtsschwerpunkt führt zu starken aufrichtenden 

Momenten (Schiff ist ”steif”), ein hochliegender Gewichtsschwerpunkt bewirkt nur ein 

geringes aufrichtendes Moment (Schiff ist rank), 

• äußere Einflussgrößen wie Winddruck, überkommende Wassermassen bei Seegang. 

Der Schwimmkörper befinde sich in der Gleichgewichtslage: 

Fζ = Mη = Mξ ≡ 0. (1) 

Die Schwimmlage ist stabil, wenn kleine Schwimmlageänderungen (δT ; δψ; δϕ) in beliebiger Kombination 

eine positive (zu leistende) Arbeit erfordern, d.h der Schwimmkörper wird versuchen in die 

aufrechte Position zurückzukehren. 

Wiederholung der Vorzeichendefinitionen, s. Abb. 1: 

δT Tiefertauchung des Körpers: 

Kraft δFζ nach oben. 

δψ Rechtsdrehung um η−Achse: 

Moment δMη linksdrehend um η. 

δϕ Linksdrehung um ξ−Achse: 

Moment δMξ rechtsdrehend um ξ. 

Abbildung 1: Vorzeichendefinition 

Schwimmlageänderungen (δT ; δψ; δϕ) und daraus resultierende Kräfte/Momente sind entgegengesetzt 

gerichtet. 


/vorlesung/hydrostatik/stabilitaet/stabilitaet.tex 


1/3


Tiefertauchung δT erfordert die Arbeit, s. Abb.2: 

Abbildung 2: Arbeit bei Tiefertauchung δT 

L1 = 

� T0+δT 

T0 

FζdT = 1 

δT δFζ. 

2 

Hier ist T0 der Gleichgewichtstiefgang. 

Treten außerdem Änderungen (δψ; δϕ) auf, so ist die Gesamtarbeit: 

L = 1 

2 (δT δFζ + δψδMη + δϕδMξ). 

In Matrizenschreibweise: (siehe Kapitel Kleine Änderung der Schwimmlage “) 

” 

⎛ ⎞ 

δFζ 

2L = (δT δψ δϕ) ⎝ δMη ⎠ 

δMξ 

⎛ 

δT 

⎞ 

2L = (δT δψ δϕ) · S · ⎝ δψ 

δϕ 

⎠ . 

Die Schwimmlage ist dann und nur dann stabil, wenn 2L für beliebige Vektoren (δT ; δψ; δϕ) �= (0; 0; 0); 

positiv ist: d.h. wird S von rechts mit einem Vektor �= (0; 0; 0) und von links mit demselben Vektor 

multpliziert, muss sich eine positive Zahl ergeben. S ist positiv definit. 

Eine Dreiecksmatrix mit nur positiven Elementen in der Hauptdiagonalen ist positiv definit. Deshalb 

muss S in eine Dreiecksmatrix umgeformt werden. 

⎛ 

⎝ 

a11 a12 a13 

a21 a22 a23 

a31 a32 a33 

⎞ 

⎛ 

⎠ = ⎝ 

a11 a12 a13 

a12 a22 a23 

a13 a23 a33 

1.Index i =Zeile, 

2.Index k =Spalte. 

Da die Matrix S symmetrisch ist, sind die Elemente aik = aki. 

1.) 

2.) 

3.) 

⎛ 

⎝ a11 a12 a13 

a12 a22 a23 

a13 a23 a33 

⎞ 

⎠ ·(a12/a11) ⎫ ⎬ 



⎭ 

⎞ 

(2. − 1.) 

⎛ 

⎠ −→ ⎝ 

� 

� 

� 

� 

� 

� 

E1 A B 

0 E2 C 

0 0 E3 

·(a13/a11) ⎫ ⎬ 

⎭ 

⎞ 

⎠ 

(3. − 1.) 


2/3


Damit sind aus der zweiten und dritten Zeile die jeweils ersten Elemente a12; a13 entfernt und man 

erhält: 

1.) 

2.) 

3.) 

⎛ 

⎝ 

a11 a12 a13 

0 (a22 − a 2 12/a11) (a23 − a12a13/a11) 

0 (a23 − a12a13/a11) (a33 − a 2 13/a11) 

Die Dreiecksmatrix wird schließlich zu: 

⎛ 

⎜ 

⎝ 

⎞ 

⎠ · 

� a23−a12a13/a11 

a22−a 2 12 /a11 

a11 a12 a13 

0 (a22 − a2 12/a11) (a23 − a12a13/a11) 

0 0 (a33 − a2 � 2 

(a23−a12a13/a11) 

13/a11) − a22−a2 12 /a11 

� 

� 

⎫ 

⎪⎬ 

⎪⎭ 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

(3. − 2.) 

Damit werden die Elemente der Hauptdiagonalen der Dreiecksmatrix und nach dem Ersetzen der aik 

aus der Matrix S zu: 

E1 = a11 

= (ρg)Aw 

E2 = a22 − a 2 12/a11 

= (ρg)(Iη + ζBV ) − GζG − (ρg)ξ 2 wAw 

E3 = a33 − a 2 13/a11 − 1 

(a23 − a12a13/a11) 

E2 

2 

= (ρg)(Iξ + ζBV ) − GζG − (ρg)η 2 wAw − 1 

E2; E3 lassen sich mit Hilfe des Steinerschen Satzes vereinfachen: 

Iη − ξ 2 wAw = IηS 

E2 

((ρg)Iξη − (ρg)ξwηwAw) 2 

IηS ist das Flächenträgheitsmoment der WL-Fläche Aw um eine zur η−Achse parallele Achse durch den 

Schwerpunkt der WL-Fläche. 

Iξ − η 2 wAw = IξS 

IξS ist das Flächenträgheitsmoment der WL-Fläche Aw um eine zur ξ−Achse parallele Achse durch den 

Schwerpunkt der WL-Fläche. 

Iξη − ξwηwAw = IξηS 

IξηS ist das Zentrifugalmoment der WL-Fläche Aw bezüglich der Schwerpunktsachsen der WL-Fläche. 

E1 = (ρg)Aw 

E2 = (ρg)(IηS + ζBV ) − GζG 

E3 = (ρg)(IξS + ζBV ) − GζG − 1 

(ρg) 

E2 

2 I 2 ξηS 

Da G = (ρg)V > 0 und für die stabile Schwimmlage die Ei > 0; (i = 1; 2; 3) sein müssen, wird durch G 

bzw. (ρg)V geteilt. Damit ist die Schwimmlage nur und nur dann stabil, wenn 

1.) Aw > 0; 

2.) IηS/V + ζB − ζG > 0; 

3.) IξS/V + ζB − ζG − 

� IξηS 

V 

� 2 

/(IηS/V + ζB − ζG) > 0. 

Ist eine der drei Größen gleich Null, die anderen jedoch größer Null, so kann die Schwimmlage stabil, 

instabil oder indifferent sein. 

So ist z.B. bei einem Fisch Aw = 0. Er befindet sich in einem indifferenten Gleichgewicht. Da G = (ρg)V, 

kann der Fisch ohne Arbeitsaufwand vertikal verschoben werden. 

Ist nur eine der drei Größen kleiner Null, so ist die Schwimmlage instabil, d.h. die Schwimmlage verändert 

sich ohne Arbeitsaufwand in eine neue, stabile Gleichgewichtslage. 




3/3

Kleine Schwimmlagenänderungen intakter Schiffe 10. Juni 2008 

Kleine Schwimmlagenänderungen intakter Schiffe 

Wir betrachten symmetrische, aufrecht schwimmende Schiffe, bei denen das Archimedische Gesetz 

G = (ρg)V = FB 

erfüllt ist. Sie sollen kleine Änderungen (δT ; δϕ; δψ) der Schwimmlage erfahren. 

Alle Formeln sind nur gültig für kleine Änderungen der Schwimmlage. Praktisch bedeutet das: 

Tiefgangsänderung: δT < 0, 1T ; 

Krängungswinkel: δϕ < 10 o ; 

Trimmänderung: t = L · δψ < 0, 2T. 

Diese Angaben sind Anhaltswerte und können von Schiff zu Schiff auch deutlich variieren. Beim Schiff 

nennt man die Änderung um δT Tiefertauchung, die Änderung um δϕ Krängung und die Änderung um 

δψ Trimm. 

Das schiffsfeste Koordinatensystem (x; y; z) und das an der Wasseroberfläche orientierte raumfeste Koordinatensystem 

(ξ; η; ζ) fallen ungefähr zusammen. Somit können (Mξ; Mη; Fζ) durch (Mx; My; Fz) 

ersetzt werden. Dabei ist: Schiffslängsrichtung x; nach Bb y; nach oben z. Die x, z−Ebene ist die 

Mittschiffs- und Symmetrieebene; dafür gilt: yw = 0; Ixy = 0, da das Flächendeviationsmoment Ixy für 

symmetrische Körper gleich Null wird. 

Da yw = 0 und Ixy = 0, vereinfacht sich die Matrix der Auftriebs-/Momentenänderungen zu (siehe 

Kapitel ” Kleine Änderungen der Schwimmlage “): 

⎛ 

S = (ρg) ⎝ 

⎛ 

⎝ ∂Fz/∂T ∂Fz/∂ψ ∂Fz/∂ϕ 

∂My/∂T ∂My/∂ψ ∂My/∂ϕ 

∂Mx/∂T ∂Mx/∂ψ ∂Mx/∂ϕ 

⎞ 

⎠ = S 

Aw xwAw 0 

G 

xwAw (ρg) (Iy/V + zB − zG) 0 

G 

0 0 (ρg) (Ix/V + zB − zG) 

Multipliziert man S mit der Spaltenmatrix (δT ; δψ; δϕ) ergibt sich: 

δFz = (ρg)Aw(δT + xwδψ); 

δMy = (ρg)xwAwδT + G(Iy/V + zB − zG)δψ; 

δMx = G(Ix/V + zB − zG)δϕ. 

Legt man den Koordinatenursprung in den Schwerpunkt der WL-Fläche so wird: 

Dann gilt: 

xw = 0; Ix → IxS = IW L; Iy → IyS = IW LL. 

δFz = (ρg)AwδT ; 

δMy = G(IW LL/V + zB − zG)δψ; 

δMx = G(IW L/V + zB − zG)δϕ. 


/vorlesung/hydrostatik/kleineschwimm/kleineschwimm.tex 

⎞ 

⎠ 


1/5


Danach bewirkt eine Vertikalkraft im WL-Schwerpunkt nur eine Änderung des Tiefgangs um (δT ). 

Trimm und Krängung bleiben unverändert. Ein Moment um Quer- oder Längsachse (y−, oder x−Achse) 

ändert nur Trimm oder Krängung um (δψ) oder (δϕ). Der Tiefgang am WL-Schwerpunkt bleibt unverändert, 

da das Schiff um den WL-Schwerpunkt dreht. 

1 Krängung um δϕ : 

Durch die Krängung ändert sich die Form des eingetauchten Volumens des Schiffes; der Auftriebsschwerpunkt 

B wandert nach B’. Die neue Wirklinie der Auftriebskraft geht durch den Punkt B’ und schneidet 

die bisherige Wirklinie der Auftriebskraft im Punkt M, dem Metazentrum. Der Begriff ” meta “(griech.: 

scheinbar) weist darauf hin, dass dieser Schnittpunkt kein wirkliches Zentrum ist, also nicht festliegt. Die 

Bahn, auf der sich das Metazentrum bewegt, heißt Evolvente. Bei Schiffsformen ist das Metazentrum 

aber für kleine Krängungswinkel bis etwa 10 ◦ ein fester Punkt. Vor allem in älterer Literatur wird das 

Metazentrum als scheinbarer Drehpunkt oder Aufhängepunkt gedeutet. 

Durch die Krängung erfolgt eine Verschiebung eines Keilvolumens von der austauchenden Seite zur eintauchenden 

Seite. Die Keilvolumina setzen sich aus Volumenteilchen δV zusammen, die alle horizontal 

und vertikal verschoben werden; es entstehen so horizontale und vertikale Verschiebungsmomente. Die 

Summe der Verschiebungsmomente der Teilvolumen entspricht dem Verschiebungsmoment der Gesamt- 

verdrängung. Mit der Gesamtverschiebung des Autriebsschwerpunktes (yB ′, zB ′) gilt für die Verschie- 

bungsmomente in y-Richtung yB ′ · V und in z-Richtung zB ′ · V (siehe Abbildung 1): 

Abbildung 1: Krängung um δϕ 




2/5


1. Die Verschiebung in y-Richtung: 

� � 

yB ′V = ydV = 

Daraus folgt: 

Aw 

Aw 

� 

ydz · dA = 

Aw 

� 

yyδϕ · dA = δϕ 

Aw 

y 2 dA = δϕIT 

yB ′ = IW L 

V δϕ 

In dem annäherungsweise rechtwinkligen Dreieck ∆BB ′ M sieht man, dass für kleine Winkel gilt: 

Damit ist: 

2. Die Verschiebung in z-Richtung: 

yB ′ 

BM 

BM = 

= sin(δϕ) ≈ δϕ 

yB ′ 

δϕ = IW L 

V 

In z-Richtung wandert der Auftriebsschwerpunkt kaum aus, so dass zB ′ ≈ zB ist. 

Metazentrum: Die z-Koordinate von M ist: 

Beim Schiff bedeuten: 

zM = 

yB ′ 

δϕ + zB ′ ≈ IW L 

+ zB 

V 

IxS 

V = IW L 

V = BM; zB = KB; zG = KG; zM = KM 

KM = BM + KB = IW L 

▽ 

+ KB 

Eine Krängung um δϕ ruft ein aufrichtendes Moment MA hervor: 

δRx = MA = FB · h = G · h 

Aus der Abbildung liest man ab: h = GM · δϕ. Daraus folgt: 

MA = G · GM · δϕ 

GM nennt man die (Breiten-)Metazentrische Höhe. GM = KB + BM − KG Wird allegemein vom 

Metazentrum oder der metazentrischen Höhe gesprochen, so ist in aller Regel das Breitenmetazentrum 

gemeint. Für übliche Handelsschiffe ist GM wenige Dezimeter bis wenige Meter. 

2 Trimm um δψ : 

δMy = G( IW LL 

V + zB − zG)δψ = GGMLδψ 

GML = KB + BML − KG 




3/5


Hier bedeuten 

IyS 

V = IW LL 

= BML, 

V 

ML das Längenmetazentrum und GML die Längenmetazentrische Höhe. Für übliche Handelsschiffe ist 

GML von der Größe der Schiffslänge oder größer. 

Bei kleinen Drehungen (δψ; δϕ) ist die Lage von M; ML etwa konstant, aber nicht gleich. M und ML 

unterscheiden sich erheblich. Als Abschätzung dient: 

2.1 Einheitstrimmmoment 

BM ∼ LB 3 ; BML ∼ L 3 B −→ BML 

BM ∼ 

� �2 L 

B 

Das Einheitstrimmmoment ET ist dasjenige Trimmmoment, das eine gesamte Trimmänderung von 

t = 1m hervorruft. 

Herleitung: t sei der Unterschied der Tiefgänge an vorderer und hinterer Ahming (Ahming: Tiefgangsmarken, 

die am Bug, am Heck und mittschiffs angebracht sind. Die Tiefgangsangabe wird vom Kiel 

gerechnet.), LA ≈ Lpp sei der Abstand zwischen den Ahmingen, siehe Abbildung 2). 

t = Tv − Th = tan ψLA 

Für kleine Trimmänderungen gilt dann mit tan ψ ≈ ψ: 

ψ 

Das trimmende Moment errechnet sich dann 

δt = LA · δψ. 

L A 

Abbildung 2: Trimmänderung 

δMy = G · GMLδψ = G · GML · δt 

. 

Trimmende Momente δMy werden durch Längsverschiebung von Massen mi hervorgerufen: 

δMy = g � 

i 

LA 

mixi = g∆ GML 

δt. 

LA 

Mit ∆ = ρV als Masse (Deplacement) des Schiffes wird das Trimmmoment zu: 

δMy 

g 

= � 



i 

mixi = ∆ GML 

δt 

LA 


4/5 

t


bzw. das Einheitstrimmmoment ET (Trimmmoment für 1m Tiefgangsunterschied) wird zu: 

ET = ∆ GML 

LA 

= ∆ 

(KB + BML − KG). 

LA 

Da (KB − KG) ≪ BML ist, kann vereinfacht berechnet werden: 

Einheitskrängungsmoment: 

ET ≈ ∆ 

BML = ∆ 

LA 

· 

LA 

IW LL 

V = ρIW LL 

. 

Analog zum Einheitstrimmmoment kann auch ein Einheitskrängungsmoment berechnet werden: 

LA 

EK = ∆ 

∆ 

(KB + BM − KG) = 

B B (KB + IW L 

− KG). 

V 

B ist die Breite des Schiffes. Das Einheitskrängungsmoment findet in der Praxis nahezu keine Verwendung. 

3 Stabilitätsbedingungen 

Stabilitätsbedingungen für die Schwimmlage eines intakten Schiffes: 

1.) Aw > 0; 

IW LL 2.) V + zB − zG = BML + KB − KG = GML > 0; 

IW L 3.) V + zB 

� �2 IxyS 

− zG − V / � IW LL 

V + zB 

� 

− zG > 0. 

Für zur Mittschiffsebene symmetrische Schiffe wird JxyS = 0, so dass sich die Stabilitätsbedingung 3.) 

vereinfacht: 

3.) IW L 

V + zB − zG = BM + KB − KG = GM > 0. 

Falls M unterhalb von G liegt (negatives GM), ist das Schiff instabil, der Krängungswinkel vergrößert 

sich dann eventuell bis zum Kentern. Falls G und M an derselben Stelle liegen, befindet sich das Schiff 

im indifferenten Gleichgewicht. 

Damit sind Schiffe stabil, wenn Aw, GML und GM > 0. 

Da GM ≪ GML, bleibt im Wesentlichen die Berechnung von GM zur Überprüfung der Stabilität. 




5/5

Pantokarenen und Stabilitaetshebelarme 10. Juni 2008 

Pantokarenen und Stabilitätshebelarme 

Die Bedingung für kleine Neigungen ist nun nicht mehr erfüllt; die Formeln aus dem Kapitel ” Kleine 

Schwimmlageänderungen intakter Schiffe “können nicht benutzt werden. Die Änderungen der Schwimmlage 

sind also nun nicht mehr klein, d.h. das schiffsfeste (lokale) x; y; z−Koordinatensytem und das 

globale ξ; η; ζ -Koordinatensystem fallen nicht mehr zusammen. Der Koordinatenursprung ist für beide 

Systeme gleich, nämlich Kielpunkt K im Schnitt von Mittschiffs- und Hauptspantebene, siehe Abbildung 

1 und Abbildung 2. 

ζ 

. 

z 

x 

. 

Abbildung 1: Lokales und globales Koordinatensystem in der y; z−Ebene 

η 

ζ 

z 

y 

Abbildung 2: Lokales und globales Koordinatensystem in der x; z−Ebene 

x; y; z−Koordinatensystem 

— x−Längsachse, positiv nach vorn, 

— y−Querachse,positiv nach Bb, 

— z−Hochachse, positiv nach oben. 

ξ; η; ζ−Koordinatensystem 

— ξ; η−Achsen, parallel zur Wasseroberfläche, 

— ζ−Achse, senkrecht nach oben. 


/vorlesung/hydrostatik/pantokarenen/pantokarenen.tex 

ϕ 

B 

ξ 

. 

F B 

η Β 

ψ 

η 

ξ 

WL 

y 

x 

WL 


1/21


1 Pantokarenen 

Bei den Pantokarenen handelt es sich um das Lot vom Kielpunkt auf die Wirklinie der Auftriebskraft FB, 

sie werden im Allgemeinen mit w abgekürzt. Diese Strecke w ändert sich mit der Krängung, dem Trimm 

und dem Tiefgang. Für eine konstante Krängung ϕ kann dann die zugehörige Pantokarene bestimmt 

werden. 

Die aus Auftrieb (ρg)V und Gewicht G resultierenden Kräfte und Momente sind (siehe auch Kapitel 

” Kleine Schwimmlageänderungen intakter Schiffe “): 

• die resultierende Vertikalkraft Fζ = (ρg)V − G; 

• das resultierende Moment um die Querachse (Trimmmoment) Mη = (ρg)ξBV − ξGG; 

• das resultierende Moment um die Längsachse (krängendes Moment) Mξ = (ρg)ηBV − ηGG. 

Mit FB = (ρg)V = G folgt: 

Fζ = 0; Mη = (ξB − ξG)G; Mξ = (ηB − ηG)G. 

Hier wird ηB = w bezeichnet. 

w ist das Lot vom Kielpunkt K auf die Wirkungslinie von FB bei vorgegebener Neigung ϕ, aus Abbildung 

3 liest man ab: 

w = yB cos ϕ + zB sin ϕ. 

ζ 

. 

Κ 

z 

. 

η B =w 

. yB y Bcosϕ 

ϕ 

z B 

z B sinϕ 

Abbildung 3: Berechnung von w aus den lokalen Koordinaten von B 

Die Bestimmung der Pantokarene w ist eine geometrische Aufgabe, d.h. Berechnung von Volumen 

und Volumenschwerpunkten (yB; zB). Die Pantokarene ist vom Tiefgang bzw. eingetauchten Volumen, 

dem Trimm bzw. Gewichtsschwerpunkt in Schifflängsrichtung und der Krängung abhängig: 

B 

w = f(T ; ψ; ϕ) = f(V, xG; ϕ). 

Die Pantokarene für vorgegebene konstante Krängung ϕ hängt damit nur noch vom Tiefgang bzw. 

eingetauchten Volumen und dem Trimm bzw. Gewichtsschwerpunkt in Schifflängsrichtung ab: 

w = f(V ; xG) mit ϕ = konst. 



ϕ 

η 

WL 

y 


2/21


Berechnung der Pantokarenen: 

Die Berechnung der Pantokarenen erfolgt also über die Bestimmung des Verdrängungsschwerpunkts 

B(yB; zB). Dies geschieht zunächst im lokalen System, dann erfolgt mit w = yB · cos ϕ + zB · sin ϕ 

die Umrechnung über den Krängungswinkel ϕ ins globale System. 

Trimmausgleich: 

Für alle Volumina V und Krängungswinkel ϕ wird der Trimmwinkel ψ = konst.; in der Regel ψ = 0 

angenommen. Da aber im Allgemeinen die Längskoordinate des Auftriebsschwerpunktes ξB vom 

verdrängten Volumen und vom Krängungswinkel abhängt ξB = f(V, ϕ); wobei die Änderungen 

allerdings klein sind, bleibt ein kleines resultierendes Trimmmoment, da der Gewichtsschwerpunkt 

ja konstant bleibt für alle Änderungen der Schwimmlage (ξG = konst.). In der Regel wird diese 

Abhängigkeit des Auftriebsschwerpunktes vom Trimmwinkel jedoch vernachlässigt. 

Pantokarenen ohne Trimmausgleich: 

Rechnet man die Pantokarene ohne Trimmausgleich, tut man damit so, als verhielte sich ξB wie 

ξG. Die Lage des Auftriebsschwerpunktes bleibt dann konstant. 

Pantokarenen mit Trimmausgleich: 

Rechnet man mit Trimmausgleich, wird nur für ϕ = 0 der Trimmwinkel ψ = konst., in der Regel 

ψ = 0 angenommen. Für ϕ > 0 wird das Trimmmoment durch einen veränderten Trimmwinkel 

ausgeglichen. 

Pantokarenen “mit” Trimmausgleich fallen immer kleiner aus als “ohne”. Der Unterschied ist dann 

besonders deutlich, wenn die Unterwasserform stark asymmetrisch zur Lage xw des Wasserlinienschwerpunktes 

ist. Bei Symmetrie von Vor- und Hinterschiff ist immer Mη ≡ 0, dann liegt für alle ϕ der 

Verdrängungsschwerpunkt B in der Symmetrie-/Hauptspantebene. 

2 Stabilitätshebelarme 

Eine Gleichgewichtslage mit der Krängung ϕ = ϕEQ; EQ als Abkürzung für Equi Librium, ist dadurch 

gegeben, dass Auftrieb und Gewicht gleich groß sind und die jeweiligen Schwerpunkte erdfest übereinander 

liegen, siehe Abbildung 4. 

G 

K 

LC 

G 

B 

FB 

Abbildung 4: Gleichgewichtslage; links: yG = 0 rechts: yG �= 0 

Bildet man nun das Moment um den Kielpunkt K, ergibt sich: 

� MK = 0 = B(yB · cos ϕEQ + zB · sin ϕEQ) − G(yG · cos ϕEQ + zG · sin ϕEQ) 



G 

K 

LC 

G 

B 

FB 


3/21


Daraus folgt die Gleichgewichtsbeziehung: 

yB · cos ϕEQ + zB · sin ϕEQ = yG · cos ϕEQ + zG · sin ϕEQ 

Für einen Winkel, in dem sich das Schiff nicht in einer Gleichgewichtslage befindet, gilt für den Stabilitätshebelarm 

h: 

h = yB · cos ϕ + zB · sin ϕ −yG · cos ϕ − zG · sin ϕ 

� �� 

w=Pantokarene 

Liegt der Massenschwerpunkt auf Center Line, d.h. yG = 0, vereinfacht sich h zu: 

h = w − zG · sin ϕ 

⎧ 

⎪⎨ = 0 Gleichgewichtslage 

h > 0 

⎪⎩ 

< 0 

aufrichtender Hebel (stabil; rückdrehendes Moment) 

krängender Hebel (instabil; krängendes Moment) 

Ist h > 0, so nimmt der Schwimmkörper eine Schwimmlage mit kleinerer Krängung ϕ, für h < 0 mit 

größerer Krängung ϕ ein. 

Eine stabile Gleichgewichtslage erfordert zusätzlich 

dh 

dϕEQ 

= dhaufrichtend 

dϕ 

+ dhkrängend 

dϕ 

Trägt man die Hebel h über die Winkel ϕ auf, entsteht die sog. Hebelarmkurve. Bestimmt man bei 

ϕ = 0 die Steigung der Tangente an die Hebelarmkurve, ergibt sich daraus das Anfangsmetazentrum 

GM (siehe Abbildung 7. 

> 0. 

GM = dh dw 

= 

dϕ dϕ − zG · sin ϕ 

= 

dϕ 

dw 

dϕ − zG · cos ϕ 

GM = dw 

dϕ − KG · cos ϕ 

Der maximale Hebel gibt das maximal ertragbare Moment an. 

2.1 Schiffskörper unter der Wirkung eines krängenden Momentes Mξ und 

außermittiger Lage yG des Gewichtsschwerpunktes 

Die Koordinaten des Massenschwerpunktes sind G(xG; yG; zG = KG). Im globalen System wird aus 

ηG = yG cos ϕ + KG sin ϕ. 

Mit yG �= 0 wird eine außermittige Lage des Gewichtsschwerpunktes zugelassen, wie sie sich aus einer 

seitlichen Verschiebung einer Masse m ergibt. 

Für die Gleichgewichtslage eines Schiffes, auf das zusätzlich ein äußeres krängendes Moment Mξ 

wirkt, gilt für das Momentengleichgewicht um K: 

� MK = 0 = FB · w − G(KG sin ϕ + yG cos ϕ) − Mξ 

0 = w − KG sin ϕ − yG cos ϕ − Mξ 

G 

w = KG sin ϕ + yG cos ϕ + Mξ 

G 

haufr = hkr 



(1) 


4/21


Abbildung 5: Schiffskörper unter der Wirkung eines krängenden Momentes Mξ und außermittiger Lage yG des 

Gewichtsschwerpunktes. 

Damit wird in der Gleichgewichtslage der aufrichtende Hebel gleich dem krängenden Hebel. 

Das Momentengleichgewicht kann um jeden beliebigen Punkt gebildet werden, wie bisher um den Kielpunkt 

K, so wird der aufrichtende Hebel (als derjenige Hebel, der zur aufrichtenden Kraft FB gehört) 

gleich der Pantokarene. Bildet man das Momentengleichgewicht um den Punkt X, so ergibt sich der 

aufrichtende Hebel (Hebel zur Kraft FB) zu w − KG sin ϕ. Im Grunde sind diese nur verschiedene 

Notationen. 

Beispiel: 

Das Deplacement eines Schiffes beträgt in Seewasser (ρSW = 1025kg/m 3 ) ∆ = 1025t. Eine Ladung 

m = 102, 5t werde parallel zum Doppelboden um yk = 5m seitlich verschoben, KG = 5m, die Pantokarenen 

seien bekannt. Die Verdrängung beträgt V = ∆/ρ = 1000m 3 . Durch die Ladungsverschiebung 

krängt das Schiff, der Krängungswinkel der neuen Gleichgewichtslage wird nun gesucht. 

Wird in einer Masse eine Teilmasse verschoben, so erfährt der Gesamtschwerpunkt eine gleichsinnige, 

parallel gerichtete Verschiebung, vergleiche Verschiebungssatz formuliert von Herner. Die beiden Momente, 

gebildet aus Verschiebungsweg und Masse sind gleich groß: yG · ∆ = yk · m. Daraus folgt: Die 

außermittige Lage des Gewichtsschwerpunktes beträgt nach der Verschiebung 

yG = (yk · m)/∆ = 5 · 102, 5/1025m = 0, 5m. 

Mit den gegebenen Pantokarenen können dann die Hebelarme h = w − zG · sin ϕ − yG · cos ϕ bestimmt 

werden: 

ϕ 10 ◦ 20 ◦ 30 ◦ 40 ◦ 50 ◦ 

w in [m] 1,0 2,0 2,95 3,82 4,40 

h in [m] -0,36 -0,18 0,02 0,28 0,24 

Trägt man nun den Hebel h über den Winkel ϕ auf, so ergibt sich die Hebelarmkurve für ein Schiff 

mit außermittiger Lage des Gewichtsschwerpunktes. Der Schnittpunkt bei h = 0 mit der ϕ-Achse zeigt 

den Krängungswinkel der Gleichgewichtsschwimmlage mit ϕEQ ≈ 29 ◦ , also der Winkel, den das Schiff 

aufgrund der Ladung einnehmen wird, siehe Abbildung 6. 




5/21


h [m] 

0,3 

0,2 

0,1 

0 

-0,1 

-0,2 

-0,3 

10° 20° 30° 40° 

Abbildung 6: Hebelarmkurve 

Alternativ lässt sich die Hebelarmkurve des Schiffes ohne Ladeverschiebung mit h = w − zG · sin ϕ 

(yG = 0) berechnen (siehe Abbildung 7). Zusätzlich wird der Hebelarm der Ladeverschiebung yG cos ϕ 

als eigene Kurve über den Krängungswinkel ϕ aufgetragen: 

ϕ 10 ◦ 20 ◦ 30 ◦ 40 ◦ 50 ◦ 

w in [m] 1,0 2,0 2,95 3,82 4,40 

h in [m] 0,13 0,29 0,45 0,61 0,57 

yG cos ϕ in [m] 0,49 0,47 0,43 0,38 0,32 

So liefert der Schnittpunkt der beiden Kurven h(ϕ) und yG cos ϕ auch hier den Krängungswinkel der 

Gleichgewichtsschwimmlage mit ϕEQ ≈ 29 ◦ . 

m h 

0,5 

0,4 

0,3 

0,2 

0,1 

0 

y G 

cosϕ 

m 

10 o 

cosϕ 

y G 

20 o 

29 o 

30 o 

40 o 

50 o 

57,3 o 

Abbildung 7: Bestimmung des Krängungswinkels 



h 

GM 

ö 

ϕ 


6/21


Beide Betrachtungen liefern als Gleichgewichtsschwimmlage denselben Krängungswinkel; im ersten 

Fall werden für das Schiff direkt die Hebelarme mit Ladeverschiebung berechnet, indem angenommen 

wird, der Gewichtsschwerpunkt des Schiffes habe sich verschoben. Im zweiten Fall hingegen wird die 

Ladeverschiebung als ein krängendes Moment aufgefasst (siehe Kapitel ” Krängende Momente “) und 

mit der Hebelarmkurve des ungekrängten Schiffes aufgetragen. 

Bei in aufrechter Schwimmlage symmetrischen Körpern ist die Mittschiffsebene (ξ, ζ−Ebene) die Symmetrieebene. 

Mξ = G · h − G · yG cos ϕ 

Für die Änderung des krängenden Momentes gilt: 

dMξ 

dϕ 

= G dh 

dϕ + G · yG sin ϕ. 

Für kleine Krängungen (ϕ → 0) und verschwindendes yG wird daraus mit ξ = x : 

� 

dMx dh � 

= G � . 

dϕ dϕ 

Für kleine Winkel war früher gefunden worden: 

bzw. für ϕ → 0 : 

Dann wird 

dMx 

dϕ 

� 

� 

� 

� 

dh � 

� 

dϕ 

� ϕ=0 

� ϕ=0 

� ϕ=0 

δMx = G · GM · δϕ 

= G · dh 

� 

� 

� 

dϕ 

� ϕ=0 

= G · GM. 

= GM = tan α = GM 

1 . 

Die Fläche unter der Hebelarmkurve gibt die Arbeit an. 1 im Bogenmaß entspricht einem Winkel von 

ϕ = 57, 3 ◦ . Zeichnet man bei ϕ = 0 die Tangente an die Hebelarmkurve, so läßt sich bei ϕ = 57, 3 ◦ das 

GM der aufrechten Schwimmlage ablesen, siehe Abbildung ??. 

Betrachtet man die Hebelarmkurve mit der Ladungsverschiebung, erkennt man, dass die Steigung im 

Punkt 0 negativ ist, das Schiff hat also aufgrund der verschobenen Ladung ein negatives GM und seine 

Gleichgewichtslage nicht mehr bei ϕ = 0 sondern bei ϕ ≈ 29 ◦ 

3 Pantokarenen und Hebelarme unvertrimmter Quader 

3.1 Berechnung des Verdrängungsschwerpunkts und der Pantokarenen gekrängter 

Quader (Formschwerpunktskurve) 

Hier wird zunächst nun für unvertrimmte Quader gezeigt wie der Verdrängungsschwerpunkt bestimmt 

werden kann. Daraus ergeben sich mit den Krängungswinkeln ϕ dann unmittelbar die Pantokarenen. 

Die Bezeichnungen Verdrängungs- oder Auftriebs- oder Formschwerpunkt werden in gleicher Bedeutung 

benutzt und bezeichnen den Schwerpunkt des eingetauchten Volumens des Quaders bzw. des 

Schwimmkörpers. 

Übergeordnetes Kriterium ist, dass der Betrag des eingetauchten Volumens 

V0 = LBT = konst. (2) 

für alle Neigungen ϕ erhalten bleibt. Es kommt nur zur Änderung der Form des eingetaucheten Volumens. 

Implizit heißt das jedoch auch, dass das Volumen des Überwasserschiffes Vü = LBF = konst. für 




7/21


alle Neigungen ϕ erhalten bleibt, beide Volumen sind einander komplementär. Für das Gesamtvolumen 

V des Quaders gilt immer 

V = V0 + Vü. (3) 

Es wird nun zwischen zwei Fällen unterschieden: 

1. Fall: Das Volumen das oberhalb der Wasseroberfäche liegt ist größer als das Volumen unterhalb der 

Wasseroberfläche, das bedeutet Freibord F ist größer als Tiefgang T. 

2. Fall: Das Volumen das oberhalb der Wasseroberfäche liegt ist kleiner als das Volumen unterhalb der 

Wasseroberfläche, das bedeutet Freibord F ist kleiner als Tiefgang T. 

1. Fall 2. Fall 

F/T > 1 : (Abb. 8, links) F/T < 1 : (Abb. 8, rechts) 

Bereich I: 0 ≤ tan ϕ < T/(B/2) (Kimm 

Bereich 1: 0 ≤ tan ϕ < F/(B/2) (Seite 

taucht aus.) 

Deck taucht ein.) 

Bereich II: T/(B/2) ≤ tan ϕ < H2 /(2BT ) 

Bereich 2: F/(B/2) ≤ tan ϕ < H 

(Seite Deck taucht ein.) 

2 /(2BF ) 

(Kimm taucht aus.) 

Bereich III: H 2 /(2BT ) ≤ tan ϕ ≤ tan(90 o ) Bereich 3: H 2 /(2BF ) ≤ tan ϕ ≤ tan(90 o ) 

F/T>1 

H F 

T 

B/2 

B 

III 

2BT/H 

II 

I 

F/T


H F 

T 

. 

B/2 

B/3 B/3 

B/6tanϕ 

T/2 

B 

. 

K 

(B) 

p 

. (B’) 

q 

. 

B/2tanϕ 

Abbildung 9: Lage des Auftriebsschwerpunktes in den Bereichen I und 1. 

Va = 1 

2 L 

� �2 B 

tan ϕ = Ve = Vk 

2 

Durch die veränderte Unterwasserform verschiebt sich jedoch der Auftriebsschwerpunkt B nach B ′ , und 

zwar seitlich um yB ′ und vertikal um zB ′, siehe Abbildung 9. 

Die Änderung des Momentes des Gesamtvolumens ist gleich der Summe der Änderungen der Momente 

der Teilvolumen (Verschiebungssatz Herner). 

Seitliche Verschiebung yB ′ : 

V0 · yB ′ = LBT · yB ′ = Vk · 1 

3 · B + Va · 1 

3 · B = 2 · Vk · B 1 

= 

3 2 L 

Vertikale Verschiebung zB ′ : 

� �2 B 

tan ϕ · 

2 

2B 

3 

B2 

yB ′ = 12T tan ϕ (5) 

V0 · zB ′ = LBT · zB ′ = Vk · 1 

6 · B · tan ϕ + Va · 1 

6 · B · tan ϕ = Vk · 2B 1 

tan ϕ = 

6 2 L 

� �2 B 

tan ϕ 

2 

ϕ 

(4) 

� � 

2B 

tan ϕ 

6 

1 B2 

zB ′ = 2 · 12T tan2 ϕ = 1 

2 · yB ′ tan ϕ (6) 

Die absolute Lage des Auftriebsschwerpunktes B ′ ist nur insofern wichtig, dass er die Wirkungslinie des 

Auftriebs definiert, die durch B ′ senkrecht zur Wasseroberfläche verläuft. Deshalb kann die Wirkungslinie 

des Auftriebs auch durch den senkrechten Abstand w vom Kielpunkt K (Koordinatenursprung) 

angegeben werden. 




9/21


z 

(B) 

. 

. 

ϕ 

y B’ 

y B’ cos ϕ 

w 

z B’ 

. (B’) 

ϕ 

z B’ sinϕ 

Abbildung 10: Abstand w der Wirkungslinie des Auftriebs vom Kielpunkt K. 

Für B ′ (xB ′; yB ′; zB ′) bzw. B′ ( L 

2 ; yB ′; T 

2+q ) wird w zu, siehe Abbildung 10: 

3.1.2 Berechnung der Schwerpunktskoordinaten des Verdrängungsschwerpunktes und der 

Pantokarenen für die 

Bereiche II und 2. 

Bereich II: (Abb.11) 

Mit b = a tan ϕ wird 

a = 

V0 = LBT = 1 1 

abL = 

2 2 a2L tan ϕ 

Damit werden die Schwerpunktskoordinaten y ′ B ; z′ B 

w berechnet sich zu: 

w = 

� 

2BT 

tan ϕ ; b = � 2BT tan ϕ ab = 2BT (7) 

hier zu: 

yB ′ 

zB ′ 

= 

= 

� 

B a B 1 

− = − 

2 3 2 3 

b 

3 

2BT 

tan ϕ 

= 

√ 

2BT tan ϕ 

3 

� � � 

B 1 

− 

2 3 

2BT 

tan ϕ 

cos ϕ + 

y 

(8) 

(9) 

� � 

1� 

2BT tan ϕ sin ϕ (10) 

3 

Bereich 2: (Abb.12) 

Da sich Volumen und Schwerpunkt des Überwasserteils einfacher berechnen lassen, soll in diesem Fall 

mit Vü gearbeitet werden. 

Vü = LBF = 1 1 

abL = 

2 2 a2L tan ϕ 




10/21


Mit b = a tan ϕ wird 

H F 

T 

B/2 

B 

. 

K 

a 

. (B’) 

Abbildung 11: Lage des Auftriebsschwerpunktes im Bereich II. 

ϕ 

Damit berechnet man zB ′ zu: 

b 

z* 

b/3 

a/3 

. 

s 

a 

K 

B 

a/3 

B/2 

. (B’) 

Abbildung 12: Lage des Auftriebsschwerpunktes im Bereich 2. 

a = 

. 

� 

2BF 

tan ϕ ; b = � 2BF tan ϕ; ab = 2BF. (11) 

H 

V0 · zB ′ = LBT · zB ′ = LBH 

2 



b/3 

1 

− abL(H − b/3) 

2 

b 

F 

T 

H 

ϕ 


11/21


� 

H2 

BT · zB ′ = B − BF 

2 

H − 1 

3 

� 

� 

2BF tan ϕ 

zB ′ = T 2 − F 2 

+ 

2T 

F � 

2BF tan ϕ (12) 

3T 

Für die weitere Berechnung werde eine Hilfskoordinate z∗ durch die linke Seite des Quaders parallel zu 

z eingeführt. 

Seitlicher Abstand s von (B’): 

V0 · s = LBT · s = LBH B 1 

− 

2 2 abLa 

3 

s = HB 

� 

F 

− 

2T 3T 

2BF 

tan ϕ 

� � � 

B F 

yB ′ = s − = 

2 T 

B 1 

− 

2 3 

2BF 

tan ϕ 

(13) 

w = yB ′ cos ϕ + zB ′ sin ϕ (14) 

3.1.3 Berechnung der Schwerpunktskoordinaten des Verdrängungsschwerpunkts und der 

Pantokarenen für die 

Bereiche III und 3. 

Für die Berechnung des eingetauchten Bodenabschnittes c und des eingetauchten Deckabschnittes d gilt 

(Abb. 13): 

2H/3 

ϕ 

. 

K 

. 

B 

B/2 

2(c-d)/3 d 

Abbildung 13: Lage des Auftriebsschwerpunktes in den Bereichen III und 3. 

. 

(B’) 

� � 

c + d 

V0 = LBT = L H 

2 



c 

s 

z* 

F 

T 

H 


12/21


Mit tan ϕ = H/(c − d) wird daraus 

Schließlich bekommt man: 

und 

� � 

H/ tan ϕ + 2d 

BT = 

H. 

2 

d = BT 

H 

c = BT 

H 

− H 

2 tan ϕ 

+ H 

2 tan ϕ. 

Zur Bestimmung der Schwerpunktskoordinaten werden die Rechteckfläche cH und die Dreiecksfläche 

(c−d)H/2 herangezogen. Dazu werde eine Hilfskoordinate z∗ durch die rechte Seite des Quaders parallel 

zu z eingeführt. 

Seitlicher Abstand s von (B ′ ) : 

� c + d 

2 

� 

HL · s = cHL · c 

2 − 

s = 1 

� 

c + d − 

3 

cd 

� 

= 

c + d 

1 

� 

2BT 

3 H 

B BF 

yB ′ = − s = 

2 2H 

� c − d 

2 

� � 

HL d + 2 

� 

(c − d) 

3 

��BT �2 H 

− − 

2BT H 

H2 cot2 �� 

ϕ 

4 

Vertikaler Abstand zB ′ von B′ : 

� � 

c + d 

H 

LH zB ′ = cH 

2 

2 − 

� � 

c − d 

H · 

2 

2 

3 H 

w = 

� � 3 1 H 

− cot 

2 12BT 

2 ϕ (15) 

� � 

H c + 2d 

zB ′ = = 

3 c + d 

H 

� 

1 − 

2 

H2 � 

cot ϕ 

6BT 

(16) 

� � � 3 

BF 1 H 

− cot 

2H 2 12BT 

2 � � � 

H 

ϕ cos ϕ + 1 − 

2 

H2 �� 

cot ϕ 

sin ϕ 

6BT 

(17) 

3.2 Krümmung, Krümmungsradius der Formschwerpunktskurve (Metazentrische 

Evolute) 

Die Krümmung κ einer Kurve y = f(x) ist, Abb. 14 (links), 

∆α dα 

κ = lim = 

∆s→0 ∆s ds 

1 

= . (18) 

ρ 

Kehrwert der Krümmung κ ist der Krümmungsradius ρ des Krümmungskreises. Als Krümmungskreis 

der Kurve f(x) im Punkt P bezeichnet man die Grenzlage des Kreises durch die Punkte P ; P1; P2, 

wenn P1; P2 gegen P streben, Abb.14 (rechts). Errichtet man in P die Normale und trägt auf ihr 

den Krümmungsradius ρ ab, so findet man den Krümmungsmittelpunkt M. Der Kreis um M mit dem 

Radius ρ ist der Krümmungskreis des Punktes P. 

Für einen Schwimmkörper (Schiff, Quader) lässt sich die Krümmung der Formschwerpunktkurve wie 

folgt bestimmen: 

Aus einer bereits um ϕ gekrängten Lage werde der Schwimmkörper um einen weiteren kleinen Winkel 

dϕ weiter gekrängt. Durch die Krängung um dϕ verschiebt sich der Auftriebsschwerpunkt von (Bϕ) nach 

(Bϕ+dϕ) (Abb. 15). Die Auswanderung um dp parallel zur Wasserlinienfläche ist gleich dem Moment 




13/21


y 

. 

P 1 

Δs 

α 1 

y=f(x) 

. P 

α 

α 1 

Δα 

Abbildung 14: Krümmung κ (links) und Krümmungskreis (rechts) im Punkt P 

der Funktion f(x). 

x 

der ein- bzw. austauchenden Keilstücke in Bezug auf eine senkrechte Ebene durch den WL-Schwerpunkt 

geteilt durch das gesamte eingetauchte Volumen V0. 

Va 

Bϕ 

dϕ 

( Bϕ) 

. . 

Ve 

( Bϕ+dϕ) 

Abbildung 15: Berechnung des Auftriebsschwerpunktes bei geneigter 

Schwimmlage. 



ds 

dq 

dp 

. 

M 

. 

P1 

ρ 

dϕ 

. 

P 

. 

P 2 

f(x) 


14/21


dp = 

� Be 

Ba y2dA V0 

dϕ = IT ϕ 

dϕ (19) 

V0 

IT ϕ ist das transversale (Breiten-)Flächenträgheitsmoment der geneigten Schwimmwasserlinienfläche 

Awϕ. 

Die Auswanderung dq des Auftriebsschwerpunktes senkrecht zur Wasserlinienfläche ist gleich dem Moment 

der Keilstücke in Bezug auf die Wl-Fläche geteilt durch das Volumen V0. 

dq = 1/2dϕ2 � Be 

Ba y2 dA 

V0 

= 1/2 IT ϕ 

dϕ 

V0 

2 

dq ist von höherer Ordnung klein und kann deshalb gegenüber dp vernachlässigt werden. Daraus folgt, 

dass bei kleinen Neigungen dϕ der Schwerpunkt parallel zur Wasserlinienfläche um 

(20) 

ds ≈ dp = IT ϕ 

dϕ (21) 

auswandert. Die Größe IT ϕ/V0 ist bereits ein Maß für die Änderung der Lage des Auftriebsvektors bei 

einer kleinen Änderung der Krängung. Zeichnet man die Linienelemente ds für mehrere aufeinanderfolgende 

Krängungen, so erhält man den Weg, den der Verdrängungsschwerpunkt durchläuft, wenn der 

Schwimmkörper so geneigt wird, dass das Volumen V0 konstant bleibt (Formschwerpunktskurve). Die 

Tangenten an die Formschwerpunktskurve sind somit den zugehörigen geneigten Wasserlinien paralell. 

Mit dem obigen Ausdruck kann auch 

V0 

dp/dϕ ≈ ds/dϕ = ρ = IT ϕ 

= 1/κ (22) 

der Krümmungsradius bzw. die Krümmung berechnet werden. Trägt man ρ in (Bϕ) in Richtung der 

Wirkungslinie des Auftriebs, die ja senkrecht zu dp bzw. senkrecht zur zugehörigen Wl-Fläche ist, ab, so 

erhält man den Mittelpunkt des Krümmungskreises Mϕ. Mϕ wird Metazentrum genannt. Der Verlauf 

der Krümmungsmittelpunkte einer Kurve heißt Evolute. Die Kurve der Metazentren ist die Evolute der 

Formschwerpunktskurve, sie wird auch metazentrische Evolute genannt. Die Formschwerpunktskurve 

ist die Evolvente. 

3.2.1 Metazentrische Evolute eines Quaders für die Bereiche I und 1. 

Für die Bereiche I und 1 berechnet sich die Breite der Wl-Linie des bereits um ϕ gekrängten Pontons 

aus (Abb. 9) 

Bϕ = B 

cos ϕ 

und damit der Krümmungsradius 

ρ = IT ϕ 

V0 

= LB3 ϕ 

12LBT = 

V0 

B 2 

12T cos 3 ϕ 

Die Gl. 23 gilt im 

Bereich I: 0 ≤ tan ϕ < T/(B/2) (Kimm taucht aus) 

und im 

Bereich 1: 0 ≤ tan ϕ < F/(B/2) (Seite Deck taucht ein). 

3.2.2 Metazentrische Evolute für die Bereiche II und 2. 

Bereich II: (Abb.11) 

Es gilt die Gl. 7. Damit ergibt sich hier die Breite der Wl-Linie des gekrängten Pontons zu 

Bϕ = � a2 + b2 = √ � � 

1 

BT 

2BT + tan ϕ = 2 

tan ϕ sin 2ϕ 



(23) 


15/21


Damit findet man den Krümmungsradius hier 

ρ = IT ϕ 

V0 

= LB3 ϕ 

12LBT 

� �3/2 2 BT 

= . (24) 

3BT sin 2ϕ 

Bereich 2: (Abb.12) 

Es gilt die Gl. 11. Damit ergibt sich hier die Breite der Wl-Linie des gekrängten Pontons zu 

Bϕ = � a2 + b2 = √ � � 

1 

BF 

2BF + tan ϕ = 2 

tan ϕ sin 2ϕ 

Damit findet man den Krümmungsradius hier 

ρ = IT ϕ 

V0 

= LB3 ϕ 

12LBT 

� �3/2 2 BF 

= . (25) 

3BT sin 2ϕ 


Bereich II: T/(B/2) ≤ tan ϕ < H 2 /(2BT ) (Seite Deck taucht ein) 

und Gl. 25 gilt im 

Bereich 2: F/(B/2) ≤ tan ϕ < H 2 /(2BF ) (Kimm taucht aus). 

3.2.3 Metazentrische Evolute eines Quaders für die Bereiche III und 3. 

Für die Bereiche III und 3 berechnet sich die Breite der Wl-Linie des bereits um ϕ gekrängten Pontons 

aus (Abb. 13) 

Bϕ = H 

sin ϕ 

und damit der Krümmungsradius 

ρ = IT ϕ 

V0 

= LB3 ϕ 

12LBT = 


Bereich III: H 2 /(BT ) ≤ tan ϕ < tan(90 0 ) 

und im 

Bereich 3: H 2 /(2BF ) ≤ tan ϕ < tan(90 0 ). 

H 3 

12BT sin 3 ϕ 

Die Abb. 16 zeigt die Formschwerpunktskurve und die metazentrische Evolute für einen Quader mit 

F/T > 1. Besonders hervorgehoben sind die Krängungen bei ϕ = 0; ϕI; ϕII; 90 o . Bei ϕI taucht die 

Kimm aus, bei ϕII taucht Seite Deck ein. Bei diesen Krängungen zeigt die eingetauchte Breite Bϕ jeweils 

einen Knick, s.Gl. 23; 24; 26 und Abb. ??, links. Dieser Umstand führt auch zu Spitzen bzw. Knicken 

bei der metazentrischen Evolute. 

Die Abb. 17 zeigt die Formschwerpunktskurve und die metazentrische Evolute für einen Quader mit 

F/T < 1, zur Verdeutlichung vergrößert in der Abb. 18. Besonders hervorgehoben sind auch hier die 

Krängungen bei ϕ = 0; ϕ1; ϕ2; 90 o . Bei ϕ1 taucht Seite Deck ein, bei ϕ2 taucht die Kimm aus. Bei 

diesen Krängungen zeigt auch hier die eingetauchte Breite Bϕ jeweils einen Knick, s.Gl. 23; 25; 26 und 

Abb. ??, rechts. Der Verlauf der metazentrischen Evolute ist im Bereich des Winkels ϕ1 und in der 

Umgebung des Winkels ϕ2 in der Abb. 19 nochmals vergrößert worden, damit der Verlauf auch im 

Einzelnen deutlich wird. 

3.2.4 Stabilitätskurven bzw. Pantokarenen 

Die in den vorhergehenden Abschnitten - s. Gl. ??, 10, 14, 17 - bereitgestellte Theorie gestattet auch 

die Stabilitätskurven bzw. Pantokarenen zu berechnen. Dabei handelt es sich um die Länge des Lotes 

gemessen vom Kielpunkt K bis zur Wirkungslinie des Auftriebs, s. Abb.10. 



(26) 


16/21


ϕII 

ϕ I 

ϕ I 

o 

M 

B 

o 

o 

x 

ϕ 

II 

90 

II 

o o x 

x 

x ϕ 

ϕI 90 o 

F/T=1,5 

Abbildung 16: Auftriebsschwerpunktskurve und metazentrische Evolute eines Quaders mit F/T > 1 

M 

B 

o 

x x xx 

o 

o 

90 o 

F/T=0,333 

Abbildung 17: Auftriebsschwerpunktskurve und metazentrische Evolute eines Quaders mit F/T < 1 




17/21


ϕ 1 

M 

B 

o 

o 

x 

ϕ 2 

o 

x 

90 o 

F/T=0.333 

Abbildung 18: Vergrößerte Darstellung der Auftriebsschwerpunktskurve und metazentrischen Evolute eines 

Quaders mit F/T < 1, s. Abb. 17. 

ϕ 1 

o 

ϕ 

F/T=0.333 

M 

o 

ϕ 

o 

0 o 

90 o 

x 

ϕ 1 

ϕ ο 

2 ϕ 

F/T=0.333 

Abbildung 19: Metazentrische Evolute eines Quaders mit F/T < 1 im Bereich des Winkels ϕ1 (links) und des 

Winkels ϕ2 (rechts). 



x 

ϕ 2 

ϕ 

ϕ 


18/21


z 

. G 

(B) 

KG sinϕ 

. 

. 

K 

ϕ 

w 

90° 

. (B’) 

Abbildung 21: Berechnung des aufrichtenden Hebelarmes. 

H 

B K . K. K. 

H/B=0,625 H/B=1,0 H/B=1,6 

h 

ϕ 

y 

T/H=0,9 

T/H=0,1 

Abbildung 20: Schematsche Darstellung der für die Berechnung der Pantokarenen benutzten Geometrien. 

Zur Beschreibung der Geometrie eines eingetauchten Quaders genügen zwei unabhängige Parameter, 

nämlich das Seitenverhältnis H/B des gesamten Rechteckquerschnitts und das Seitenverhältnis T/B 

des eingetauchten Rechteckquerschnitts. Damit gleichwertig ist T/H = (T/B)/(H/B) = Vo/V = L · 

B · T/L · B · H als der Verhältniswert für den anteilig eingetauchten Unterwasserteil des Quaders. Die 

Berechnung der Pantokarenen kann also so erfolgen, dass für ein festes H/B das T/H und damit die 

relative Verdrängung Vo/V systematisch variiert wird. Für jede Kombination von H/B und T/H sind 

die gewünschten Krängungswinkel ϕ zu rechnen. Die für die Beispielrechnungen benutzten Geometrien 

sind schematisch in der Abb. 20 dargestellt. Die Ergebnisse der Rechnungen finden sich in der Abb. ??. 

Für drei verschiedene H/B sind die dimensionslosen Pantokarenen w/B als Funktion von T/H mit ϕ 

als Parameter aufgetragen. Außerdem sind die Pantokarenen eingezeichnet, bei denen die Kimm ausbzw. 

Seite Deck eintaucht. 

3.3 Hebel des aufrichtenden Momentes 

Der Hebel des aufrichtenden Momentes - s. Abb. 21 - berechnet sich aus 

h = w − KG · sin ϕ. (27) 

Für die Beispiele der Abb. ?? wurde die Berechnung für jeweils drei verschiedene KG durchgeführt, 

nämlich für H/B = 0, 625 mit KG = 0, 5H; 0, 6H = 0, 7H, für H/B = 1, 0 mit KG = 0, 4H; 0, 5H = 

0, 6H und für H/B = 1, 6 mit KG = 0, 3H; 0, 4H = 0, 5H. Parameter ist T/H = 0, 3; 0, 5; 0, 7. Die für 

die Beispielrechnungen benutzten Geometrien sind schematisch in der Abb. 22 dargestellt. 




19/21


. 

G 

H 

KG/H=0,5; 0,6; 0,7 KG/H=0,4; 0,5; 0,6 KG/H=0,3; 0,4; 0,5 

G 

. 

. 

G 

B K . 

K . 

K. 

H/B=0,625 H/B=1,0 H/B=1,6 

T/H=0,7 

T/H=0,5 

T/H=0,3 

Abbildung 22: Schematische Darstellung der für die Berechnung der Hebelarme benutzten Geometrien. 

4 Schiff und Quader 

Für unvertrimmte Schiffe mit senkrechten Seitenwänden werden die Pantokarenen annähernd wie für 

einen Quader berechnet, solange das Deck noch nicht ein- und der Boden noch nicht austaucht, das sind 

die Bereiche I und 1 der vorhergehenden Betrachtung.. 

w = yB cos ϕ + zB sin ϕ 

Mit yB = BM tan ϕ und zB = KB + BM tan2 ϕ/2 wird daraus 

� � 

w = BM 1 + tan2 � � � 

ϕ 

+ KB sin ϕ = KM + BM 

2 

tan2 � 

ϕ 

sin ϕ. 

2 

Diese Beziehung, s. auch Gl. ??, wird für Abschätzungen der Stabilität auch bei Schiffen angewandt, 

obwohl im Vor- und Hinterschiff die Wände normalerweise nicht senkrecht sind. Den größten Einfluss 

auf die Pantokarenen hat jedoch das breite parallele Mittelschiff. 

Zur Verbesserung der Abschätzung für Schiffe schreibt man: 

� 

w = KM + λ · BM tan2 � 

ϕ 

sin ϕ 

2 

bzw. 

h = 

� 

GM + λ · BM tan2 � 

ϕ 

sin ϕ. 

2 

Für Konstruktionstiefgang wird λ = 1 und für Ballasttiefgang λ = 0, 6 gesetzt. 

Der Term 

λ · BM tan2 ϕ 

sin ϕ 

2 

wird Formzusatzstabilität genannt. 

Bsp.: 




20/21


ϕ 

M 

B o 

K 

. 

. . 

. 

. 

w 

B ϕ 

WL(ϕ > 0) 

ϕ 

WL(ϕ = 0) 

Abbildung 23: Formzusatzstabilität eines Kreiszylinders 

Wie groß ist λ für die Formzusatzstabilität eines Schiffes mit kreiszylindrischen Spanten? 

Der Auftriebsschwerpunkt bewegt sich auf einem konzentrischen Kreis, der Kreismittelpunkt ist gleichzeitig 

das Metazentrum M, d.h. w = KM sin ϕ. Daraus folgt λ = 0, s. Abb. 23. 

Bsp.: 

Bei einem Schiff ist das Anfangs- GM < 0. Welcher Krängungswinkel stellt sich ein? 

Unter der Annahme, daï¿ 1 

2 keine äußeren Momente vorhanden sind, gilt 

� 

h = GM + λ · BM tan2 � 

ϕ 

sin ϕ = 0. 

2 

Es gibt zwei Lösungen: 

1.) ϕ = 0. 

Es besteht instabiles Gleichgewicht, da die Stabilitätsbedingung GM > 0 nicht erfüllt ist. 

� 

−2GM 

2.) ϕ1;2 = ± arctan 

λ · BM . 

h 

instabil stabil ϕ 

ϕ 1/2 

Abbildung 24: Gleichgewichtslage bei negativer Anfangsstabilität 

Das Schiff liegt gekrängt mit den Winkeln ϕ1 oder ϕ2. Das unterschiedliche Vorzeichen weist darauf 

hin, das eine Krängung entweder nach BB oder StB vorliegen kann, s. Abb. 24. 




21/21

Kraengende Momente 10. Juni 2008 

Krängende Momente 

Damit ein Schiff nicht kentert, dürfen die gleichzeitig auftretenden krängenden Momente nicht größer 

sein als das aus Auftrieb und Gewicht resultierende aufrichtende Moment. 

1 Moment durch seitlichen Winddruck 

Die seitliche Windkraft auf das Überwasserschiff 

FL = cw · ρ 

2 v2 AL 

bewirkt gemeinsam mit einer entgegengesetzt gleich großen Stützkraft Fw durch des Wasser am Unterwasserschiff 

ein krängendes Moment. Dieses kann wie folgt abgeschätzt werden: 

F W 

T/2 

F L 

h o 

Abbildung 1: Krängendes Moment durch Winddruck 

M = cw · ρ 

2 v2 AL0h0(0, 25 + 0, 75 cos 3 ϕ). 

Es bedeuten: 

— ρ = 1, 25kg/m 3 Dichte der Luft einschließlich Regen, Gischt usw.; 

— v Windgeschwindigkeit in einer mittleren Höhe des Überwasserschiffes; 

— cw · ρ 

2 v2 = 0, 3 kN/m 2 für Watt- und Küstenfahrt; 

— = 0, 6 kN/m 2 für kleine Fahrt; 

— = 1, 0 kN/m2 für Mittlere und Große Fahrt als brauchbare Werte; 

— AL0 ï¿ 1 

2Überwasser-Lateralplanfläche des ungekrängten Schiffes; 

— h0 Vertikaler Abstand des Schwerpunktes von AL0 von T/2. Damit nimmt man an, dass die Stützkraft 

Fw auf halbem Tiefgang angreift. 

— (0, 25 + 0, 75 cos3 ϕ) stammt aus Versuchsergebnissen. 

In der Resolution A.749(118) [?] vom Nov.1993 werden inzwischen weitergehende Empfehlungen gegeben, 

die auch das Rollen des Schiffes aufgrund des Seeganges mitberücksichtigen. 


/vorlesung/hydrostatik/kraengmom/kraengmom.tex 


1/4


2 Moment bei Drehkreisfahrt 

Auf das Schiff wirkt im Massenschwerpunkt eine nach außen gerichtete Zentrifugalkraft, nämlich 

FZF = ∆ v2 

R . 

— v Schiffsgeschwindigkeit im Drehkreis; 

— R Drehkreisradius. 

Die Gegenkraft im Wasser wird wieder auf T/2 bei ungekrängter Lage angenommen. Dann wird das 

krängende Moment zu: 

M = FZF 

� 

KG − T 

� 

= ∆ 

2 

v2 

� 

KG − 

R 

T 

� 

. 

2 

— v2 /R ≈ cdv2 0/L 

— v0 Dienstgeschwindigkeit bei Geradeausfahrt; 

— cd Vom Ruderwinkel abhängiger Beiwert; 

— L Schiffslänge in der CW L. 

Eine übliche Näherung ist: 

M = 0, 02 v2 0 

L ∆ 

� 

KG − T 

� 

. 

2 

3 Verschiebung von Flüssigkeiten in Tanks mit freien Oberflächen 

Durch Verschieben des Massenschwerpunktes der Flüssigkeit mit freier Oberfläche kommt es zu einer 

scheinbaren Reduktion der metazentrischen Höhe: 

GMr = GM − � 

i 

ρL 

ρ 

iT 

V = KB + IW 

� 

L 

ρL iW L 

− KG − 

V ρ V 

i 

. 

Tanks, zwischen denen Flüssigkeit hin- und herströmen kann, müssen wie ein Tank behandelt werden. 

iW L ist für die gemeinsame Schwerpunktsachse zu berechnen. 

Tanks, die mit dem Außenwasser in Verbindung stehen, sind bei der Berechnung des IW L der W L−Fläche 

zu berücksichtigen, d.h. ihre freien Oberflächen sind abzuziehen. 




2/4


4 Moment durch Verrutschen von Ladung 

5 Moment durch Wasser an Deck 

6 Moment durch Vereisung 

7 Moment durch Personen 

8 Moment durch hängende Lasten 

9 Moment durch Trossenzug 

10 Moment durch Propellerdrehmoment 

11 Momentenbilanz 

h A 

h kr 

h A 

h kr 3 

h kr 2 

h kr 1 

. 

A 

. 

B 

C 

. 

ϕ A ϕ B ϕ C 

Abbildung 2: Momentenbilanz 

In Abb.2 sind dem Hebel des aufrichtenden Momentes hA drei mögliche Verläufe krängender Hebel 

gegenübergestellt. Die Gleichgewichtsbedingung hA = hkr ist für hkr1 überhaupt nicht erfüllt, somit 

gibt es hier auch keine Gleichgewichtsschwimmlage. Die Kurve hkr3 dagegen schneidet den aufrichtenden 

Hebel in den Punkten A und C. Beide stellen somit eine Gleichgewichtsschwimmmlage dar, jedoch ist 

nur der Fall A stabil, weil hier allein bei Neigung über den Winkel ϕA hinaus der aufrichtende Hebel 

überwiegt, das Schiff also in die Ausgangslage zurückgedreht wird. Als Stabilitätskriterium lässt sich 

demnach formulieren: 

dhA 

dϕ 



> dhkr 

dϕ 

� 

� 

� 

� ϕA 

. 


3/4 

ϕ


Diese Bedingung ist für ϕC nicht erfüllt. 

Im Punkt B haben dagegen hA und hkr2 nur einen Berührungspunkt,d.h. 

� 

dhA dhkr � 

= � . 

dϕ dϕ 

Bei einem Krängungswinkel ϕ > ϕB ist hkr > hA, das Schiff kentert. 

12 Stabilitätsforderungen 

Die International Maritime Organisation (IMO), eine Unterorganisation der UNO, gibt in ihrer Resolution 

A.749 (18) [?] vom 4.November 1993 folgende allgemeinen Empfehlungen zur Intaktstabilität 

von Passagier- und Frachtschiffen: 

1. Die Fläche unter der Kurve des aufrichtenden Hebels sollte bis zu einem Krängungswinkel von ϕ = 30 0 

nicht kleiner als 0, 055m · radiant sein, bis zu ϕ = 40 0 nicht kleiner als 0, 09m · radiant. Zusätzlich soll 

die Fläche unter der Hebelarmkurve zwischen ϕ = 30 0 und ϕ = 40 0 nicht kleiner als 0, 03m · radiant 

sein. 

2. Der aufrichtende Hebel sollte bei einem Krängungswinkel ϕ ≥ 30 0 mindestens 0, 20m betragen. 

3. Der Maximalwert des aufrichtenden Hebels sollte bevorzugt bei ϕ ≥ 30 0 vorliegen, nicht aber unterhalb 

von 25 0 . 

4. Die Anfangsmetazentrische-Höhe GM0 sollte nicht kleiner als 0, 15m sein. 

5. Bei Passagierschiffen sollte der Krängungswinkel durch überlaufen von Passagieren zu einer Seite oder 

bei Drehkreisfahrt 10 0 nicht übersteigen. 

Für andere Schiffstypen gibt die Resolution weitere spezielle Empfehlungen. 



� ϕB 


4/4

Schiff mit Grundberuehrung 10. Juni 2008 

Schiff mit Grundberührung 

1 Schiff sitzt mit der ganzen Länge des Kiels auf. (Schiff im 

Dock) 

Abbildung 1: Schiff im Dock 

Durch Fallen des Wasserstandes wird der Auftrieb kleiner, während das Gewicht gleich bleibt, siehe 

Abbildung 1. 

G > FB; T < T0. 

T0 ist der Tiefgang bei freiem Schwimmen. Der Auftriebsverlust wird durch die Auflagerkraft R übernommen. 

Stabilität bedeutet GM > 0. 

Gleichgewichtsbedingungen: 

G = FB + R → R = G − FB. 

Moment um den Kielpunkt K : 

Klammert man G aus, so wird 

Hier bedeutet 

M (K) 

A 

M (K) 

A = (KM · FB − KG · G) sin ϕ 

= (KM(G − R) − KG · G) sin ϕ 

= (GM · G − KM · R) sin ϕ. 

� 

= G GM − KM · R 

� 

sin ϕ = G · GM 

G 

∗ sin ϕ. 

GM ∗ = GM − KM · R 

� 

= GM − KM 1 − 

G FB 

� � 

= KM · 

G 

FB 

� 

− KG . 

G 

Die metazentrische Höhe GM0 des freischwimmenden Schiffes wird in doppelter Weise verändert: 

— M �= M0, da bei geringerem Tiefgang T, d.h. bei veränderter WL-Fläche und kleinerem V zu 


/vorlesung/hydrostatik/grund/grund.tex 


1/5


ermitteln; 

— GM wird um KM · R/G reduziert. 

Abbildung 2: Ermittlung des Tiefgangs, bei dem h ∗ = 0. 

Die Auflagerkraft R führt zu einer Verminderung der Querstabilität! 

Es werde untersucht: 

Wann ist die Schwimmlage stabil, indifferent oder instabil, 

d.h. wann ist GM ∗ > 0; GM ∗ = 0; GM ∗ < 0? 

Dafür werde das aufrichtende Moment nocheinmal aufgeschrieben: 

Man bezeichnet 

M (K) 

A 

als den reduzierten Hebel, s. Abb. 2. 

= (KM · FB − KG · G) sin ϕ = G(KM FB 

G − KG) sin ϕ = h∗ · G. 

h ∗ = (KM FB 

G 

h ∗ > 0 : KM FB 

G 

h ∗ = 0 : KM FB 

G 

h ∗ < 0 : KM FB 

G 

− KG) sin ϕ 

> KG → stabil, 

= KG → indifferent, 

< KG → instabil! 

2 Schiff sitzt auf einem Punkt des Kiels fest. (Strandung, Aufdrehen 

beim Stapellauf) 

Bestimmung der Gleichgewichtsschwimmlage, siehe Abbildung 3: 

� F = 0 = FB + R − G → G = FB + R. 

Moment um den Lagerpunkt: � M (R) = 0 = FB · a − G · b. 




2/5


Abbildung 3: Schiff sitzt auf einem Punkt des Kiels fest 

Abbildung 4: Ermittlung der Tiefgangsänderung ∆Tx 

Die Gleichgewichtsschwimmlage, bestimmt durch ∆Tx lässt sich grafisch bestimmen, siehe Abbildung 4: 

∆T FB a · FB 

∆T1 FB1 a1 · FB1 

∆T2 FB2 a2 · FB2 

∆T3 FB3 a3 · FB3 

Praktische Durchführung der Rechnung: 

Annahme: Trimmwinkel ψ sei klein, sodass cos ψ ≈ 1; b ≈ konst.; TR ≈ konst.. 

Für mindestens drei vertrimmte W L, die alle durch TR verlaufen, werden mit Hilfe des Kurvenblatts 

die Verdrängung V und der Abstand a des Verdrängungsschwerpunktes bestimmt. Der Schnittpunkt 

von a · FB = f(∆T ) und b · G = konst. liefert das ∆Tx der Gleichgewichtsschwimmlage. 

Stabilität: 

Die Drehachse bei Krängungen um ϕ verläuft durch K1 und parallel zur Wasseroberfläche, siehe Abbildung 

5. Da die beteiligten Kräfte FB; G; R alle vertikal gerichtet sind, muss der Drehmomentenvektor 

dazu senkrecht, also horizontal, gerichtet sein. 

Die Punkte K1; K2; K3 liegen auf der Drehachse des Schiffes. Das Moment um die horizontale Drehachse 

durch den Aufsitzpunkt K1, siehe Abbildung 6, wird zu: 

� 

M (K1) 

A 



� FB 

= � FB · K3M − G · K2G � sin ϕ = G 

G K3M − K2G 

h ∗ � 

FB 

= 

G K3M 

� 

− K2G sin ϕ 

sin ϕ = G · h ∗ 


3/5


Abbildung 5: Stabilität eines aufsitzenden Schiffes 

Für kleine Trimmwinkel ψ wird K1 ≈ K2 ≈ K3 und für kleine Krängungswinkel ϕ wird sinϕ ≈ ϕ. 

� 

FB 

G K3M 

� � � 

FB 

− K2G ≈ KM − KG = GM 

G ∗ 



Abbildung 6: Krängung eines aufsitzenden Schiffes 


4/5


Abbildung 7: Bestimmung des aufrichtenden Momentes 

GM ∗ ist die wirksame metazentrische Höhe, siehe Abbildung 7. 

M ∗ liegt auf der Verbindung von K1 mit M oberhalb von G! 

Mit Hilfe des Strahlensatzes findet man 

K2M ∗ 

b 

= K3M 

a 

Aus dem Momentengleichgewicht ergibt sich: 

∗ 

∗ 

b K2M KM 

→ = ≈ 

a K3M KM . 

FB · a = G · b → b FB 

= 

a G . 

Wird dieses in die Gleichung für GM ∗ eingesetzt, bekommt man: 

� � � � 

FB 

b 

KM − KG = KM − KG = 

G a 



� 

KM ∗ � 

− KG = GM ∗ . 


5/5

Stapellauf 10. Juni 2008 

Stapellauf 

1 Allgemeines 

Der Stapellauf kommt nur noch bei wenigen Werften zum Einsatz; die meisten Schiffe werden heute in 

Trocken- oder Schwimmdocks gebaut. Nach der Fertigstellung des Schiffes werden diese geflutet bzw. 

abgesenkt, bis das Schiff aufschwimmt. Trotzdem hat sich auch hier der Name Stapellauf erhalten. 

Grundsätzlich gibt es zwei Arten des Stapellaufs. Das Schiff kann zum einen der Länge nach, meistens 

mit dem Heck voran (Längsstapellauf) oder seitlich (Querstapellauf) auf einer schrägen Bahn ins Wasser 

gelassen werden. Bei Hochseeschiffen kommt im Allgemeinen der Längsstapellauf zur Anwendung, bei 

Binnenschiffen, oft auch bei U-Booten, der Querstapellauf. Das Schiff wird in geneigter Lage auf der 

Helling (auch Helgen genannt) gebaut und ruht während der Bauzeit auf der Pallung. Auf Holzschlitten 

gleitet das Schiff dann die Bahn hinunter, wobei zur Überwindung des Reibwiderstandes entweder Fette 

oder Teflonplättchen) nötig sind. Der Vorteil der Teflonplättchen liegt darin, dass die Sektionen direkt 

auf den Schlitten zum Ablaufen gebaut werden können und nicht noch umgesetzt werden müssen, um 

das Fett aufzutragen. 

Der Stapellauf ist ein kritischer Moment für das Schiff. Beim Längsstapellauf wirken große Kräfte (vor 

allem Längsbiegekräfte) auf den Rumpf, der zuerst nach unten durchgebogen wird (hogging), sobald 

das Heck das Ende der Rampe erreicht hat. Anschließend schwimmt das Heck auf, so dass der Rumpf 

nur auf dem Bug aufliegt und nach oben durchgebogen wird (sagging). Zudem hat das Schiff zu dieser 

Zeit nur eine geringe Rollstabilität und kann leicht kentern. 

Beim Querstapellauf hingegen gerät das Schiff beim Eintauchen durch die Bremswirkung des Wassers 

in starke Seitenlage. 

2 Ablauf 

Wird die Haltevorrichtung entfernt, fährt das Schiff los, sofern die Bahn stark genug geneigt ist. Die 

Bahn muss so stark geneigt sein, dass die Grenzhaftung überwunden wird. In seltenen Fällen wird mit 

einem Hydraulikstempel das Schiff angeschoben, um die Haftreibung zu überwinden. 

Für den Grenzwinkel β0 gilt tan(β0) = µ0, so dass β0 ≥ arctan(µ0) sein muss. 

Beispiele für Haftungskoeffizienten µ0: 

Teflon: µ0 ≈ 0, 026 

Fett: µ0 ≈ 0, 018 

Sobald die Grenzhaftung überwunden ist, gleitet das Schiff mit dem Gleitreibungskoeffizienten µ die 

Bahn hinunter. 

Solange sich das Schiff noch nicht im Wasser befindet, gilt für die Beschleunigung längs der Bahn: 

m · ¨x = G · tan(β) − µ · G (1) 

Taucht das Schiff ein, kommen zu den bisherigen Kräften noch die Komponenten des Auftriebs und der 

Widerstandskraft des Wassers FH dazu: 

m · ¨x = G · tan(β) − µ · G − B · tan(β) − FH 

Ist der Massenschwerpunkt über die Hinterkante der Bahn (HKB) gefahren, besteht die Gefahr, dass das 

Schiff um den Auflagepunkt an der HKB kippt. Dies passiert wenn der Auftrieb des bereits eingetauchten 

Schiffsvolumens zu diesem Zeitpunkt noch nicht groß genug ist. Die Grenzbedingung für dieses Kippen 

ergibt sich aus dem Momentengleichgewicht um den Punkt HKB: 


/vorlesung/hydrostatik/stapellauf.tex 

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Stapellauf 10. Juni 2008 

ΣM HKB = 0 = G · xG − B · xB 

⇔ G · xG = B · xB 

Die Restkraft ergibt sich dann aus dem Kräftegleichgewicht zu: 

ΣF = 0 = R + B − G 

(3) 

⇔ R = G − B (4) 

Von dem Moment an, in dem das Heck in das Wasser eintaucht, erhält das Heck stetig mehr Auftrieb. 

Dann liegt das Schiff also nur am Bug auf Vorderkante-Schlitten (VKS) auf, was eine große Beanspruchung 

durch die Längsbiegekräfte für den Rumpf in Längsrichtung darstellt. Für das Momentengleichgewicht 

um diesen Punkt VKS gilt dann: Aufdrehen bedeutet, dass das Schiff anfängt aufzuschwimmen, 

aber der Auftrieb noch zu klein ist damit das Schiff komplett freischwimmt. 

Ist die Restkraft R=0, schwimmt das Schiff frei. 

Folgende Probleme können auftreten: 

ΣM V KS = 0 = G · xGV KS − B · xBV KS 

⇔ G · xGV KS = B · xBV KS 

• Das Schiff kippt. Das Schiff dreht nicht rechtzeitig auf und kippt dann um Hinterkante Bahn. 

Diese Schadensart führt unter Umständen zu einem Totalverlust des Schiffes bei gleichzeitigen 

Schäden an Schlitten und Bahn. Daher muss das Kippen unter allen Umständen vermieden werden. 

Offensichtlich neigt das Schiff vor allem dann zum Kippen, wenn der Massenschwerpunkt weit 

hinten liegt und gleichzeitig hinten wenig Auftrieb entsteht, z. B. weil das Schiff sehr schlank ist 

oder bei niedrigem Wasserstand. 

• Das Schiff dumpt. Das Schiff schwimmt an Hinterkante Bahn nicht frei und fällt dann ins Wasser. 

Das Dumpen führt nur dann zu einem Schaden, wenn das Schiff im Verlauf seiner Fallkurve 

entweder auf das Hellingende oder auf den Gewässerboden aufschlägt. Dann allerdings kann die 

Beschädigung beträchtlich sein. Im allgemeinen dumpen Schiffe dann, wenn der Massenschwerpunkt 

so weit vorne liegt, dass beim freigschwommenen Schiff vorne ein größerer Tiefgang vorliegt 

als der Wasserstand an Hinterkante Bahn. 

• Das Schiff kentert beim Aufdrehen. Schiffe kentern beim Stapellauf von vorneherein, wenn deren 

seitliche Auswanderung des Massenschwerpunkts das Kippmoment der Bahn überschreitet. Dies 

kommt allerdings -selbst bei nur einer Mittelbahn- praktisch nicht vor. Allerdings ist zu beachten, 

dass Schiffe während der Aufdrehphase kentern können, da die Restkraft am Bugschlitten ein 

krängendes Moment verursacht. Im wesentlichen sind lange, schlanke Schiffe kentergefährdet, die 

hohe Restkräfte bei geringen KM-Werten aufweisen. 


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SCHRIFTENREIHE SCHIFFBAU Hydrostatik von Schiffen

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