Analytische Mechanik - Theoretische Physik I - TU Dortmund

t1.physik.tu.dortmund.de

Analytische Mechanik - Theoretische Physik I - TU Dortmund

Dieter Suter und Götz S. Uhrig

Physik III – Analytische Mechanik

Wintersemester 2010/11

Version: 17. Januar 2011


Vorbemerkungen

Das vorliegende Skript zu Physik III ersetzt nicht den regelmäßigen Besuch der

Vorlesungen. Es ist als Ergänzung gedacht, zum Nacharbeiten oder zur Vorbereitung

auf Klausuren und Prüfungen. Deshalb sollten alle Formeln und Aussagen

immer kritisch betrachtet werden, es könnten noch Druckfehler enthalten sein!

Wesentlicher Bestandteil der Vorlesung Physik III sind die Übungen. Es ist

unbedingt erforderlich, den Stoff durch eigenständiges Bearbeiten von Übungsaufgaben

zu vertiefen.

Besonderer Dank gilt an Herrn Prof. Anders und Herrn Prof. Bayer, auf deren

Grundstein dieses Skipt aufbaut.

Für Fehlermeldungen und Verbesserungsvorschläge sind wir jederzeit dankbar.

Sie können auch per E-mail an

Dieter.Suter@tu-dortmund.de oder Goetz.Uhrig@tu-dortmund.de

geschickt werden. Die jeweils aktuellste Version des Skripts ist im Internet über

die Homepage

erreichbar.

http: http://t1.physik.tu-dortmund.de/uhrig/p3 ws1011.html

Dieter Suter

Götz S. Uhrig

1


Literaturempfehlungen

Im folgenden finden Sie eine kommentierte Auswahl üblicher Lehrbücher. Die

Vorlesung orientiert sich nicht speziell an einem Buch. Ich empfehle Ihnen deshalb,

sich vor einem eventuellen Kauf zunächst die einzelnen Werke gründlich

anzusehen.

Experimentelle Ausrichtung:

• D. Meschede:

Gerthsen Physik

(Springer, Berlin, 2006)

sehr umfassend, ca. 38 Euro

• W. Demtröder:

Experimentalphysik 1: Mechanik und Wärme

(Springer, Berlin, 2008)

umfassend, ca. 40 Euro

• P.A. Tipler, G. Mosca, M. Basler und R. Dohmen:

Physik: Für Wissenschaftler und Ingenieure

(Spektrum Akademischer Verlag, 2009)

allgemein und gut lesbar, ca. 80 Euro

• P.A. Tipler, G. Mosca, M. Basler und R. Dohmen:

Physik: Für Wissenschaftler und Ingenieure

(Spektrum Akademischer Verlag, 2009)

allgemein und gut lesbar, ca. 80 Euro

• D. Halliday, R. Resnick, J. Walker und S.W. Koch:

Halliday Physik

(Wiley-VCH Verlag, 2009)

allgemein und gut lesbar, ca. 70 Euro

• L Bermann und C. Schaefer:

Experimentalphysik 1. Mechanik - Akustik - Wärme

(Gruyter Verlag, 2008)

allgemein und gut lesbar, ca. 50 Euro

Theoretische Ausrichtung:

• F. Kuypers:

Klassische Mechanik

(Wiley-VCH Verlag, 2010)

sehr gutes Theoriebuch mit vielen Beispielen, ca. 50 Euro

2


• H. Goldstein, C.P. Poole Jr. und J.L. Safko Sr.:

Klassische Mechanik

(Wiley-VCH Verlag, 2006)

ein aktualisierter Klassiker auf dem Gebiet, ca. 65 Euro

• W. Greiner:

Theoretische Physik 1. Klassische Mechanik 1

(Verlag Harri Deutsch, 2008)

etwas sehr ausführlich, ca. 48 Euro

• W. Greiner:

Theoretische Physik 2. Klassische Mechanik 2

(Verlag Harri Deutsch, 2008)

etwas sehr ausführlich, ca. 48 Euro

• W. Nolting:

Grundkurs Theoretische Physik 1. Klassische Mechanik

(Springer Berlin, 2008)

sehr ausführlich, ca. 30 Euro

3


Inhaltsverzeichnis

1 Analytische Mechanik 6

1.1 Zwangsbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.1.1 Koordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.1.2 Klassifikation der Zwangsbedingungen . . . . . . . . . . . 7

1.2 d’Alembertsches Prinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2.1 Virtuelle Verrückungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2.2 Prinzip von d’Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2.3 Lagrangegleichungen 2. Art . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.2.4 Anwendung der Lagrange-Gleichungen 2. Art . . . . . . . 19

1.3 Symmetrien und Erhaltungssätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

1.3.1 Konstanten / Integrale der Bewegung . . . . . . . . . . . 22

1.3.2 Integrable Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.3.3 Koordinatentransformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

1.3.4 Fehlende Forminvarianz der Bewegungsgleichungen . . . . 26

1.3.5 Forminvarianz der Lagrangefunktion . . . . . . . . . . . . 27

1.3.6 Virialsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1.3.7 Ähnlichkeitstransformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

1.3.8 Eichinvarianz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

1.3.9 Kanonische Kraft und kanonischer Impuls . . . . . . . . . 32

1.3.10 Zyklische Koordinaten und Erhaltungsgrößen . . . . . . . 34

1.3.11 Kinetische Energie als quadratische Form . . . . . . . . . . 34

1.3.12 Energieerhaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

1.3.13 Gesamtimpuls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

1.3.14 Drehimpuls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

1.3.15 Das Noether-Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

1.3.16 Anwendungsbeispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

1.3.17 Galilei-Invarianz und Schwerpunkt . . . . . . . . . . . . . 44

1.3.18 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

1.4 Zentralkraftprobleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

1.4.1 Allgemein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

1.4.2 Keplerproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

1.4.3 Lenz-Runge Vektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

1.5 Hamiltonsches Prinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

1.5.1 Variationsrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

1.5.2 Lagrangegleichungen 1. Art . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

1.5.3 Variationsrechnung im Kontinuum . . . . . . . . . . . . . 57

4


INHALTSVERZEICHNIS 5

1.5.4 Hamilton Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

1.5.5 Poisson Klammern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

1.5.6 Kanonische Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

1.5.7 Ableitungen mehrdimensionaler Funktionen . . . . . . . . 67

1.5.8 Kriterium für Kanonizität . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

1.5.9 Satz von Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

1.5.10 Erzeugende von kanonischen Transformationen . . . . . . . 71

1.5.11 Störungstheorie mit kanonischen Transformationen . . . . 76

1.5.12 Infinitesimale kanonische Transformationen . . . . . . . . . 80

1.6 Hamilton-Jacobi Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

1.6.1 Drehungen anschaulich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

1.6.2 Phasenraumvolumina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

1.6.3 Allgemein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

1.6.4 Hamilton-Jacobi-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

1.6.5 Prinzipalfunktional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

1.6.6 Winkel- und Wirkungsvariablen: Integrabilität . . . . . . . 89

1.6.7 Beispiele: Oszillatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

1.7 Nichtlineare Dynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

1.7.1 Determinismus vs. Chaos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

1.7.2 Superpositionsprinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

1.7.3 Mathematisches Pendel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

1.7.4 Fixpunkte und Trajektorien . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

1.7.5 Duffing Oszillator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

1.7.6 Spezialfälle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

1.7.7 Zeitabhängigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

1.7.8 Übergang zum Chaos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

1.8 Stabilität und Chaos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

1.8.1 Stabilität von Fixpunkten in linearen Systemen . . . . . . 104

1.8.2 Stabilität in nichtlinearen Systemen . . . . . . . . . . . . . 105

1.8.3 Lyapunov Exponent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

1.8.4 Attraktoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

1.8.5 Der Lorenz Attraktor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

1.8.6 Poincaré-Schnitte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

1.8.7 Populationsdynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

1.8.8 Populationsoszillationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

1.8.9 Verzögerte Rückkopplung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

1.8.10 Chemische Kinetik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

1.8.11 Stabilität von Bahnen im Sonnensystem . . . . . . . . . . 117

1.8.12 Bifurkationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

1.8.13 Wege ins Chaos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

1.8.14 KAM-Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122


Kapitel 1

Analytische Mechanik

1.1 Zwangsbedingungen

1.1.1 Koordinaten

Die kartesischen Koordinaten x, y, z sind nicht immer die optimale Wahl um

Bewegungen zu beschreiben. Manchmal sind Randbedingungen erfüllt, diese

führen zu Bewegungseinschränkungen.

Ein Massenpunkt hat

• einen Freiheitsgrad: Bewegung auf Gerade oder Kurve

Abbildung 1.1: Masse gebunden auf Kurve

• zwei Freiheitsgrade: Bewegung in Ebene oder auf Fläche

• drei Freiheitsgrade: freie Bewegung im Raum

Für N Teilchen bzw. Massenpunkte mit den allgemeinen Koordinaten

{qi}, i ∈ {1, 2, 3, ..., n} (1.1.1)

erhält man in drei Dimensionen n = 3N Freiheitsgrade.

Die Konfiguration wird in kartesischen Koordinaten durch

beschrieben.

xj = xj(q1, q2, ..., qn), j ∈ {1, 2, 3, ..., n} (1.1.2)

6


KAPITEL 1. ANALYTISCHE MECHANIK 7

Abbildung 1.2: 3-dim Koordinatensystem, Koordinaten: x,y,z

1.1.2 Klassifikation der Zwangsbedingungen

Es gibt 4 wichtige Arten von Zwangsbedingungen:

• skleronom:

Zwangsbedingungen sind zeitunabhängig

• rheonom:

Zwangsbedingungen sind zeitabhängig


KAPITEL 1. ANALYTISCHE MECHANIK 8

• holonom:

Zwangsbedingungen sind schreibbar als:

Φj(q1, ..., qn, t) = 0, j ∈ {1, ..., d} (1.1.3)

Dabei bezeichnet d die Anzahl der Zwangsbedingungen. Diese Zwangsbedingungen

werden auch ganz bzw. integrabel genannt.

Abbildung 1.3: Bsp. für holonome ZB: Pendel

Abbildung 1.4: Bsp. für holonome ZB: Masse im parabolischen Potentialtopf


KAPITEL 1. ANALYTISCHE MECHANIK 9

• nicht-holonom:

Dies sind alle sonstigen Zwangsbedingungen sowie Ungleichungen.

Abbildung 1.5: Bsp. für nicht-holonome ZB: Ball auf Fläche

Abbildung 1.6: Bsp. für nicht-holonome ZB: Rad, schlupffrei auf Ebene

Zum Umgang mit Zwangsbedingungen gibt es zwei Strategien:

1) Explizite Berechnung aller Kräfte, auch der Zwangskräfte.

Hierbei wird die Dynamik der Massenpunkte zum Erfüllen der Randbedingungen

gezwungen.

Beispiel: Körper auf schiefer Ebene

Damit der Massenpunkt auf der Ebene bleibt, muss eine Zwangskraft senkrecht

zur Ebene existieren.

Es gilt: � FA = � FG + � Z

Abbildung 1.7: Schiefe Ebene

Definition: Zwangskräfte sind diejenigen Kräfte, die wirken müssen um die

Zwangsbedingungen aufrichtig zu erhalten.


KAPITEL 1. ANALYTISCHE MECHANIK 10

2) Entwicklung eines Formalismus, der die Bewegung in wirklichen Freiheitsgraden

beschreibt.

Allgemein gilt bei k holonomen Zwangsbedingungen und n Koordinaten:

f = n − k (1.1.4)

Hierbei ist f die Anzahl der frei wählbaren Koordinaten, die keinen weiteren

Zwangsbedingungen unterliegen. Sie werden auch generalisierte Koordinaten

genannt.

1.2 d’Alembertsches Prinzip

Die Newtonsche Bewegungsgleichung enthält neben der externen Kraft � F ext die

Zwangskraft � Z. So gilt für jedes i-te Teilchen:

mi ¨ �ri = � F ext

i + � Zi (1.2.1)

Ziel ist ein Formalismus der genau diese Zwangskräfte eliminiert.

1.2.1 Virtuelle Verrückungen

δ�ri wird als virtuelle Verrückung des i-ten Teilchens bezeichnet.

Diese sind:

1) infinitesimal

2) erfüllen die Zwangsbedingung

3) sind instantan, dh. δt = 0

Sie sind nur ein Gedankenkonstrukt, daher auch virtuell genannt.

Wir werden sie benutzen um eine Bezugsgleichung aus einer Stationäritätsbedingung

abzuleiten.

Zum besseren Verständnis kann hier folgende Analogie gebracht werden: Das

Rütteln an einer Leiter um die Stabilität der Lage zu überprüfen.


KAPITEL 1. ANALYTISCHE MECHANIK 11

Beispiel 1: Massepunkt auf einer Tischplatte

Betrachtet man einen Massenpunkt m auf einer horizontalen Tischplatte so wirkt

die Gravitationskraft auf die Masse so, das sie auf die Tischplatte gedrückt wird.

Die Zwangsbedingungen erzeugen eine gleichgroße Gegenkraft � Z, damit die Masse

in Ruhe bleibt.

Abbildung 1.8: Bewegung auf Fläche

Nur virtuelle Verrückungen δ�r = (δx, δy, 0) T sind mit den Zwangsbedingungen

zu vereinbaren. Dadurch wird ersichtlich, dass in diesem Beispielt gilt:

δW = δ�r � Z = 0 (1.2.2)

Die Zwangsarbeit (virtuelle Arbeit) die eine Zwangskraft leistet ist Null.

Beispiel 2: Perle auf bewegtem Draht

Betrachtet man eine Perle auf einem bewegtem Draht, so sind nur virtuelle

Verrückungen δ�r = (δx, 0, 0) T mit den Zwangsbedingungen zu vereinbaren. Die

Zwangskraft stellt hier wieder eine gleichgroße und gegengerichtete Kraft zur Gravitationskraft

dar, sie wirkt also in positive y-Richtung. Auch hier wird wieder

ersichtlich, dass die Zwangsarbeit verschwindet.

Abbildung 1.9: Bewegung einer Masse an einem Draht

1.2.2 Prinzip von d’Alembert

Betrachten wir die allgemeine Kräftebildung (Umstellung von (1.2.1):

mi ¨ �ri − � Fi = � Zi mi = const, i = 1, ..., N (1.2.3)


KAPITEL 1. ANALYTISCHE MECHANIK 12

Hierbei sind die � Zi die für die Nebenbedingungen nötigen Zwangskräfte.

Nach Multiplikation mit δ�ri (virtuelle Verrückung) und Summation folgt:

N�

(mï�ri − � Fi) =

i=1

N�

( � Ziδ�ri) (1.2.4)

i=1

Postulat: Zwangskräfte verrichten keine Arbeit.

0 =

N�

( � Ziδ�ri) (1.2.5)

i=1

Bemerkung 1:

(1.2.5) kann in einfachen Fällen abgeleitet werden, z.B. für starre Körper. Es folgt

aber im Allgemeinen nicht aus den Newton’schen Axiomen.

Bemerkung 2:

Nur die Summe in (1.2.5) verschwindet, nicht aber die einzelnen Terme.

Ergänzung zum Beispiel: Perle auf Draht

Nur für die virtuelle Arbeit der virtuellen Verrückung verschwindet, also gilt:

δ�r � Z = 0

Die Arbeit der ”realen”Verrückung verschwindet nicht, also gilt: d�r � Z �= 0

Abbildung 1.10: Unterschied von realer und virtueller Verrückung am Bsp. der

Masse an einem Draht

Damit haben wir das d’Alembert Prinzip:

0 =

N�

(mi ¨ �ri − � Fi)δ�ri

i=1

(1.2.6)

Bemerkung:

Lassen wir den dynamischen Aspekt mal weg ( ¨ �r = 0), so besagt das Prinzip von

d’Alembert einfach, dass die virtuellen Verrückungen keine reale Arbeit verrichten.

Das bedeutet, dass sich das System in einem Energieextremum oder Energiesattelpunkt

befindet - also einem Gleichgewicht ( ” Gleichgewichtsprinzip“). Das

ist es, was man durch ” Rütteln am System“feststellen kann.

Dynamisch kommen noch die Trägheitskräfte {mi ¨ �ri} hinzu.


KAPITEL 1. ANALYTISCHE MECHANIK 13

Wären die δ�ri alle unabhängig voneinander frei wählbar, so folgte aus Alembert

0 = mi ¨ �ri − � Fi - Dies gilt aber eben nicht, da die δ�ri durch die Zwangsbedingungen

verknüpft sind.

Bei holonomen Zwangsbedingungen können wir das explizit ausnutzen um die

Zahl der Freiheitsgrade zu reduzieren.

Aus 3N Freiheitsgraden mit k Zwangsbedingungen folgen 3N − k ” echte“, unabhängige

Freiheitsgrade. In Formeln:

Die Funktionen

�ri = �ri(q1, ..., q3N−k, t), i ∈ {1, 2, 3, ..., N} (1.2.7)

beinhalten die holonomen Zwangsbedingungen. Die virtuellen Verrückungen lauten

nach der Kettenregel:

δ�ri =


3N−k

j=1

j=1

( ∂�ri

∂qj

(1.2.8) nun in Alembert ((1.2.6)) eingesetzt ergibt:


3N−k � N�

0 = (mi ¨ �ri − � Fi) ∂�ri


δqj

∂qj

i=1

δqj), i ∈ {1, 2, 3, ..., n} (1.2.8)

(1.2.9)

Da nun aber die δqj vollkommen unabhängig voneinander gewählt werden können,

müssen die großen geschweiften Klammern verschwinden und wir erhalten 3N −k

Bewegungsgleichungen, also:

0 =

N�

i=1

(mi ¨ �ri − � Fi) ∂�ri

∂qj

(1.2.10)

Die gilt für 3N − k unabhängigen Variablen {qj}.

Damit haben wir tatsächlich unser Ziel erreicht, eine Formulierung der Mechanik

ohne explizites Auftreten der Zwangskräfte.

Beispiel: Teilchen im Kreiskegel (ohne Reibung)

Zwangsbedingung: r = z tan α

Prinzip von d’Alembert:

0 = (mi ¨ �ri − m�g)δ�r mit �g = −g�ez

0 = ¨xδx + ¨yδy + (¨z + g)δz (1.2.11)

Beachte: δx, δy, δz sind nicht unabhängig voneinander.

Mit: ⎛ ⎞

x

⎛ ⎞

cos ϕ

⎝y⎠

= r ⎝sin

ϕ⎠

(1.2.12)

z cot α


KAPITEL 1. ANALYTISCHE MECHANIK 14

ergibt sich:

δx = δr cos ϕ − r sin ϕδϕ

δy = δr sin ϕ + r cos ϕδϕ

δz = δr cot α (1.2.13)

Es folgt so auch:

⎛ ⎞

˙x



˙r cos ϕ − r sin ϕ ˙ϕ

⎝ ˙y ⎠ = ⎝ ˙r sin ϕ + r cos ϕ ˙ϕ ⎠

˙z

⎛ ⎞

¨x

˙r cot α


¨r cos ϕ − 2 ˙r sin ϕ ˙ϕ − r sin ϕ ¨ϕ − r cos ϕ ˙ϕ

⎝¨y

⎠ = ⎝

¨z

2

¨r sin ϕ + 2 ˙r cos ϕ ˙ϕ + r cos ϕ ¨ϕ − r sin ϕ ˙ϕ 2


⎠ (1.2.14)

¨r cot ϕ

Durch Einsetzen von (1.2.13) und (1.2.14) in (1.2.11), Umklammern und Auflösen

ergibt sich schließlich:

0 = r{2 ˙r ˙ϕ + r ¨ϕ}δϕ + cot α{(tan α + cot α)¨r − r ˙ϕ 2 tan α + g}δr (1.2.15)

Da in (1.2.15) δr und δϕ nicht unabhängig voneinander sind, müssen die beiden

geschweiften Klammern separat verschwinden. Daraus erhalten wir zwei Bewegungsgleichungen

für dieses Problem:

0 = 2 ˙r ˙ϕ + r ¨ϕ (1.2.16)

0 = (tan α + cot α)¨r − r ˙ϕ 2 tan α + g (1.2.17)

Abbildung 1.11: Reibungsfreie Bewegung einer Masse an Oberfläche eines Kreiskegels

Zusammenfassung:

• Das Prinzip von d’Alembert liefert eine Beschreibung der Bewegung ohne

expliziten Zwangskräfte

• Es ist in der konkreten Auswertung jedoch noch sehr mühsam


KAPITEL 1. ANALYTISCHE MECHANIK 15

1.2.3 Lagrangegleichungen 2. Art

Wir möchten den d’Alembert-Formalismus weiterentwickeln, so dass wir die Bewegungsgleichungen

eines Problems schneller und einfacher erhalten. Letztenendes

ist das Ziel der Lagrangeformalismus.

1.2.3.1 Aufstellung der Gleichungen

Wie im vorherigen Kapitel gilt mit Alembert:

0 =

und den virtuellen Verrückungen:

δ�ri =

n�

j=1

( ∂�ri

∂qj

Einsetzen und Umstellen liefert:

N�

(mi ¨ �ri − � Fi)δ�ri

i=1

(1.2.18)

δqj), (n = 3N − k # der Freiheitsgrade) (1.2.19)

a) den Term mit den Kräften:

N�


n�

�Fi ( ∂�ri


δqj)

∂qj

i=1

j=1

mit den generalisierten Kräften:

Qj :=

=

=

n�


N�

(

i=1

� �

∂�ri

Fi ) δqj

∂qj

n�

(Qjδqj) (1.2.20)

j=1

j=1

N�

( � ∂�ri

Fi ) (1.2.21)

∂qj

b) und den Trägheitsterm:

N�

(mi

i=1

¨ n�


N�

�riδ�ri) = (mi

j=1 i=1

¨ �

∂�ri

�ri ) δqj

∂qj

n�


N� �

d

=

mi

dt

˙ �r ∂�ri

� �

− mi

∂qj

˙ �

d ∂�ri

�ri

dt ∂qj


δqj (1.2.22)

Aus

j=1

�vi = d�ri

dt =

i=1

i=1

n�

� �

∂�ri

˙qj

∂qj

j=1

+ ∂�ri

∂t (q1, ..., qn, t) (1.2.23)


KAPITEL 1. ANALYTISCHE MECHANIK 16

folgt:


∂�vi �


∂ � ˙qj {qi},t

= ∂�ri

∂qj

(1.2.24)

Außerdem kann die Reihenfolge der Differentation vertauscht werden (gemäß Satz

von Schwarz), mit (1.2.23) erhalten wir:

d ∂�ri

dt ∂qj

= ∂�vi

∂qj

=

=

n�

� � 2 ∂ �ri

˙ql +

∂qj∂ql

l=1

∂2�ri ∂qj∂t

n�

� �

∂ ∂�ri

˙ql +

∂ql ∂qj

∂ ∂�ri

=

∂t ∂qj

d ∂�ri

dt ∂qj

l=1

(1.2.25)

Mit den Erkenntnissen (1.2.24) und (1.2.25) genutzt in (1.2.22) kommen wir zu:

N� �

mi

i=1

¨ � n�


N� � � �

d ∂�vi ∂�vi

�riδ�ri =

mi�vi − mi�vi δqj

dt ∂ ˙qj ∂qj

j=1 i=1

n�

� �

N�


d ∂ 1

=

dt ∂ ˙qj 2 mi�v 2 �

i


− ∂

N�


1

∂qj 2 mi�v 2 �

i


δqj

j=1

Mit der kinetischen Energie:

i=1

T := 1

2

N� �

mi�v 2� i

haben wir also den Trägheitsterm (1.2.22) kombiniert zu:

i=1

n�


d ∂T

dt ∂ ˙qj

j=1

− ∂T


δqj

∂qj

Mit den generalisierten Kräften (1.2.21) erigibt sich:

0 =

n�


d ∂T

dt ∂ ˙qj

j=1

− ∂T

∂qj

− Qj


δqj

i=1

(1.2.26)

(1.2.27)

(1.2.28)

(1.2.29)

Also muss auch hier wieder bei unabhängigen δqj und holonomen Zwangskräften

gelten:

0 = d ∂T


dt ∂ ˙qj

∂T

− Qj

(1.2.30)

∂qj

Dies ist schon eine wesentlich knappere Formulierung der Bewegungsgleichungen

ohne expliziten Zwangskräfte.

Bevor wir zu Beispielen kommen, möchten wir noch einen Schritt vereinfachen,

indem wir konservative Kräfte(-systeme) betrachten.


KAPITEL 1. ANALYTISCHE MECHANIK 17

1.2.3.2 Konservative Systeme

Für Systeme mit den Potentialen V in denen gilt:

folgt für die generalisierten Kräfte:

Qj =

�Fi := − ∂V

, i = 1, ..., N (1.2.31)

∂�ri

N�

� � N�

� �

∂�ri

∂V ∂ri

�Fi = −

∂qj

∂�ri ∂qj

i=1

i=1

= − ∂V

∂ ˙qj

Typischerweise hängt V nur von ({ri}, t), bzw. von ({qj}, t) ab, so dass gilt:

∂V

∂ ˙qj

Dann definieren wir die sogenannte Lagrangefunktion:

und benützen:

∂L

∂ ˙qj

∂L

∂qj

(1.2.32)

= 0 (1.2.33)

L := T − V (1.2.34)

= ∂T

∂ ˙qj

= ∂T

∂qj

und erhalten die Bewegungsgleichungen:

0 = d ∂L

dt ∂ ˙qj

+ Qj

− ∂L

∂qj

Dies sind die wichtigen Lagrangegleichungen 2. Art.

(1.2.35)

(1.2.36)

(1.2.37)

Beachten wir die Eleganz dieser Formulierung:

Das System ist vollständig charakterisiert durch die Angabe seiner Lagrangefunktion.

Aus dieser folgen die Bewegungsgleichungen mittels einfacher Differentiationsvorschriften.

1.2.3.3 Geschwindigkeitsabhängige Potentiale

Lassen sich die generalisierten Kräfte gemäß

Qj = − ∂U

∂qj

+ d ∂U

dt ∂ ˙qj

(1.2.38)

darstellen für U({qj}, { ˙qj}, t), also mit Abhängigkeiten von den Geschwindigkeiten,

so ergibt sich durch eine kurze Umschreibung und Subtraktion mit

Qj = − ∂T

∂qj

+ d ∂T

dt ∂ ˙qj

(1.2.39)


KAPITEL 1. ANALYTISCHE MECHANIK 18

die Gleichung:

Nun gilt:

d ∂

(T − U) −

dt ∂ ˙qj


(T − U) = 0 (1.2.40)

∂qj

L := T − U (1.2.41)

So zeigt sich dass die Langrangegleichungen 2. Art weiterhin die richtigen Bewegungsgleichungen

liefern.

Dieser Fall ist nicht nur reine Theorie, sondern in der Elektrodynamik realisiert:

z.B. geladenes Teilchen in elektromagnetischen Feldern.

mit:

so folgt:

− ∂U

∂qk

d ∂U

dt ∂ ˙qk

U(qk, ˙qk) = QΦ(qk) − Q

c � A(�q)�v (1.2.42)

qk = (x, y, z), k ∈ {x, y, z} (1.2.43)

= −Q ∂Φ

∂qk

+ Q

c

= − Q

c ˙ Ak = − Q

c

j∈(x,x,z)

�v = ( ˙x, ˙y, ˙z) T

� ∂Aj

˙qj

∂qk



∂Ak


+

⎩ ∂t

Die generalisierte Kraft Qk ergibt sich dann als:

Qk = − ∂U

∂qk

= −Q ∂Φ

∂qk

+ d ∂U

dt ∂ ˙qk

+ Q

c


j∈(x,y,z)

∂Aj

∂qk

˙qk − Q

c

Zusammen mit der Feldkomponente Ek:

Ek = − Φ

∂qk

ergibt sich so die generalisierte Kraft zu:

Qk = Q · Ek + Q

c



∂Aj

∂qk

− ∂Ak


∂qj

j∈(x,y,z)


⎝ ∂Ak

∂t

− 1 ∂Ak

c ∂t

j∈(x,y,z)

+ �

j∈(x,y,z)



∂Ak

˙qj

∂qj ⎭


(1.2.44)

(1.2.45)

(1.2.46)

(1.2.47)

∂Ak

˙qj ⎠ (1.2.48)

∂qj

(1.2.49)

= Q · Ek + Q

c {�v(� ∇ × � A)} (1.2.50)

Für ein einzelnes Teilchen (j = 1) und mit � B = � ∇ × � A ergibt sich so als generalisierte

Kraft die Lorentzkraft:

�F = � Q = Q( � E + 1

c �v × � B) (1.2.51)


KAPITEL 1. ANALYTISCHE MECHANIK 19

1.2.3.4 Gemischte Systeme

Gemischte Systeme aus konservativen und nicht konservativen Kräften, wie Reibungskräfte,

kann man in zwei Teilen behandeln.

Für den konservativen Teil wird die Lagrangefunktion L = T − V verwendet. Die

nicht konservativen Kräfte Q nk

j gehen dann durch Summierung wie folgt in die

Lagrangefunktion 2. Art ein:

d ∂L

dt ∂ ˙qk

− ∂L

∂qk

= Q nk

k

(1.2.52)

Ein wichtiges Beispiel ist hierfür der harmonische Oszilator mit Reibungskraft:

�F = −Λ�v (1.2.53)

1.2.4 Anwendung der Lagrange-Gleichungen 2. Art

” Kochrezept“für den Lagrangeformalismus 2. Art:

1) Schreibe die kinetische Energie T und das Potential V , entweder in kartesischen

Koordinaten oder direkt in generalisierten Koordinaten hin. Gegebenenfalls

muss nun noch auf generalisierte Koordinaten umgeschrieben

werden.

2) Bestimme die Langrangefunktion mit L = T − V

3) Leite die Bewegungsgleichungen aus den Lagrangeformeln 2. Art ab.

Nun folgen 2 Bespiele:

Beispiel 1: Teilchen im Kreiskegel

1) Schreibe T und V auf:

klarerweise gilt:

2) Lagrange:

T = 1

2 m�v2 = m

2 { ˙r2 + (r ˙ϕ) 2 + ˙z 2 } (1.2.54)

z = cot αr (1.2.55)

˙z = cot α ˙r (1.2.56)

V = −mgz = −mg cot αr (1.2.57)

L = T − V = m

2 { ˙r2 (1 + cot α 2 ) + r 2 ˙ϕ 2 } + mg cot αr (1.2.58)


KAPITEL 1. ANALYTISCHE MECHANIK 20

3) Bewegungsgleichungen:

0 = d ∂L ∂L


dt ∂ ˙ϕ ∂ϕ

0 = d ∂L ∂L


dt ∂ ˙r ∂r

= d

dt (mr2 ˙ϕ) = mr(2 ˙r ˙ϕ + r ¨ϕ) (1.2.59)

= d

dt {m ˙r(1 + cot α2 )} − mr ˙ϕ 2 − mg cot α

= m{(1 + cot α 2 )¨r − r ˙ϕ 2 + g cot α} (1.2.60)

Abbildung 1.12: Reibungsfreie Bewegung einer Masse an Oberfläche eines Kreiskegels

Und wir sehen, dass wir wesentlich schneller und einfacher am Ziel sind.


KAPITEL 1. ANALYTISCHE MECHANIK 21

x

m1

Beispiel 2: Atwoodsche Fallmaschine

• 1d, konservativ, skleronom

• Generalisierte Koordinate: x

1) Kinetische Energie T :

2) Potential V

3) Lagrange

l!x

m2

Abbildung 1.13: Atwoodsche Fallmaschine

T = 1

2 (m1 + m2) ˙x 2

(1.2.61)

V = −m1gx − m2g(l − x) (1.2.62)

L = T − V = 1

2 (m1 + m2) ˙x 2 + m1gx + m2g(l − x) (1.2.63)

d ∂L

dt ∂ ˙x = (m1 + m2)¨x (1.2.64)

∂L

∂x = g(m1 − m2)

(m1 + m2)¨x = g(m1 − m2)

(1.2.65)

¨x = g m1 − m2

m1 + m2

(1.2.66)


KAPITEL 1. ANALYTISCHE MECHANIK 22

1.3 Symmetrien und Erhaltungssätze

1.3.1 Konstanten / Integrale der Bewegung

Die Lagrange-Gleichung ermöglicht eine direkte und einheitliche Herleitung der

wichtigsten Erhaltungssätze. Man kann aus der Lagrange-Gleichung direkt zeigen,

dass für s verallgemeinerte Koordinaten 2f − 1 Konstanten der Bewegung

existieren müssen: Wir haben

• f verallgemeinerte Koordinaten qi und

• f verallgemeinerte Geschwindigkeiten ˙qi, also insgesamt 2f dynamische Variablen.

Bei der Integration der

• f Bewegungsgleichungen zweiter Ordnung erhalten wir

• 2f Integrationskonstanten Ci, die aus den Anfangsbedingungen bestimmt

werden.

Außerdem benötigen wir 2f Anfangsbedingungen, d.h. wir benötigen die Koordinaten

und Geschwindigkeiten zur Zeit t = 0:

qi0 = qi(0, C1, ..., C2f), ˙qi0 = ˙qi(0, C1, ..., C2f). (1.3.1)

Aus diesen 2f Bewegungsgleichungen werden sowie 2s Anfangsbedingungen erhalten

wir die 2f Integrationskonstanten und damit die Koordinaten und Geschwindigkeiten

als Funktion der Zeit, d.h.

qi = qi(t, C1, ..., C2f), ˙qi = ˙qi(t, C1, ..., C2f). (1.3.2)

Darin tauchen die 2f Integrationskonstanten auf. Es ist grundsätzlich möglich,

dieses System aus 2f Gleichungen zu invertieren, d.h. die Integrationskonstanten

als Funktion der Koordinaten und Geschwindigkeiten darzustellen,

ci = ci(q1, ...qf, ˙q1, ... ˙qf, t), i ∈ {1, ..., 2f}. (1.3.3)

Es existieren somit 2f Größen, welche zwar formal von den Koordinaten und

Geschwindigkeiten abhängen, aber konstant, d.h. zeitlich unveränderlich sind.

Definition: Größen F , für die gilt

dF

dt

= 0 (1.3.4)

heißen “Integral der Bewegung” oder “Konstante der Bewegung” oder “Erhaltungsgröße”.

Diese Größen bleiben konstant für alle Bahnen, welche die

Bewegungsgleichungen erfüllen.

Die ci Anfangsbedingungen sind erst nach Lösung des Problems bekannt. Nützlich

ist die Kenntnis von Integration der Bewegung vor Lösung des Problems.


KAPITEL 1. ANALYTISCHE MECHANIK 23

1.3.2 Integrable Systeme

Ein System mit f Freiheitsgraden ist ”integrabel”, wenn es f unabhängige Integrale

der Bewegung

Fi(qk, ˙qk, t) = Ci, i = 1, ..., s (1.3.5)

gibt. Damit liegen alle Bahnkurven eines integrablen Systems auf einer s-dimensionalen

Hyperfläche im 2f-dimensionalen ({qk, ˙qk}).

Beispiel: Ein eindimensionaler harmonischer Oszillator mit der Lagrange-Funktion

erfüllt die Gleichung

Die Lösung lautet

d

dt

L = T − V = m

2 ˙x2 − m

2 ω2 x 2

(1.3.6)

� �

∂L


∂ ˙x

∂L

∂x = m(¨x + ω2x) = 0. (1.3.7)

x(t) = A sin(ωt + ϕ0) (1.3.8)

˙x(t) = Aω cos(ωt + ϕ0). (1.3.9)

Abbildung 1.14: Bahnkurve des 1D harmonischen Oszillators im Phasenraum.

Dies entspricht der Parameterdarstellung einer Ellipse, wie in Abb. 1.14 dargestellt.

Der 1D harmonische Oszillator bewegt sich somit auf einer Bahnkurve

mit einem einzigen Freiheitsgrad. Das System besitzt ein Integral der

Bewegung, die Energie

E(x, ˙x) = T + V. (1.3.10)

1.3.2.1 Translation in der Zeit

Da in den Bewegungsgleichungen eines geschlossenen Systems die Zeit nicht explizit

erscheint, müssen wir die gleichen Resultate erhalten, wenn wir den Ursprung

der Zeitachse um einen Betrag t0 verschieben. Man kann deshalb immer eine der


KAPITEL 1. ANALYTISCHE MECHANIK 24

Abbildung 1.15: Verschiebung der Zeitachse.

Integrationskonstanten durch eine Verschiebung der Zeitachse eliminieren. Das

einfachste Beispiel ist die Funktion

q(t) = at + b. (1.3.11)

Hier können wir die Integrationskonstante b eliminieren, indem wir die Zeitachse

verschieben:

q(t ′ = t − t0) = a(t ′ + t0) + b = at ′ + at0 + b, (1.3.12)

d.h.

. (1.3.13)

a

Nach der Wahl des Ursprungs der Zeitachse bleiben somit 2f unabhängige Gleichungen

und 2f − 1 Integrationskonstanten und die Zeit als unabhängige Variable.

Wir können nun diese Gleichungen statt als Bestimmungsgleichungen für die

Variablen q, ˙q auch als Bestimmungsgleichungen für die 2f − 1 Integrationskonstanten

und die Zeit auffassen. Dann wird offensichtlich dass die Integrationskonstanten

unabhängig von der Zeit sind, d.h. es sind Konstanten, resp. Integrale

der Bewegung. In einem System mit vielen Freiheitsgraden findet man deshalb

eine große Zahl von Konstanten der Bewegung. Allerdings spielen nicht alle eine

wichtige Rolle. Wir diskutieren in der Folge die wichtigsten, welche sich direkt aus

Symmetrieeigenschaften des Raumes, resp. der Zeit ableiten lassen. Diese Größen

werden als Erhaltungsgrößen bezeichnet.

q(t ′ ) = at ′ , falls t0 = − b


KAPITEL 1. ANALYTISCHE MECHANIK 25

1.3.3 Koordinatentransformation

Eine Koordinatentransformation (s. Abb 1.16) (hier = Punkttransformation) definiert

den Übergang von einem Satz Koordinaten {qk} zu einem zweiten Satz

{Qk}, wobei die Form der Abhängigkeit zunächst beliebig sei, außer dass die neuen

Koordinaten nicht von den Geschwindigkeiten ˙qk der alten abhängen sollen.

Lokal am Punkt P können wir sie linearisieren;

M(P ) =




∂Q1

∂q1

.

∂Qf

∂q1

· · ·

. ..

· · ·

∂Q1

∂qf

.

∂Qf

∂qf




(1.3.14)

Diese Beziehung ist (am Punkt P ) umkehrbar, falls die Jacobi-Determinante J

an diesem Punkt nicht verschwindet,



∂Q1 ∂Q1 · · · ∂q1

∂qf


J = Det ⎢ ..


⎣ . . .


⎦ �= 0 (1.3.15)

∂Qf ∂Qf

· · ·

∂q1

∂qf

Abbildung 1.16: Koordiatentransformation.

Seien nun q und Q die Koordinaten des selben Punktes P . Für einen Punkt P ′ ,

der gegenüber P infinitesimal verschoben ist, können wir die neuen Koordinaten

schreiben als

Q ′ = Q(qi + δqi) = Q(P ) + Mδq + O(δq 2 ) (1.3.16)

Falls die Inverse der Matrix M existiert, können wir diese Gleichung lokal invertieren.


KAPITEL 1. ANALYTISCHE MECHANIK 26

q ′ = q(P ) + M −1 δQ

δQ = Q ′ (P ′ )-Q(P )

(1.3.17)

1.3.4 Fehlende Forminvarianz der Bewegungsgleichungen

Wenn wir eine Koordinatentransformation vornehmen, so kann sich die Form der

Gleichungen ändern. So lauten die Newton’schen Bewegungsgleichungen in 2D

für kartesische Koordinaten

m¨x = − ∂V

∂x

m¨y = − ∂V

∂y

(1.3.18)

Hätte die Newton’sche Gleichung in den Polarkoordinaten r, ϕ die gleiche Form

wie in den kartesischen Koordinaten, so würde sie lauten

m¨r = − ∂V

∂r

m ¨ϕ = − ∂V

∂ϕ

(1.3.19)

Dass dies so nicht korrekt sein kann, zeigt bereits eine einfache Dimensionsanalyse.

Dieses Problem stellt sich allgemein beim Übergang in ein Koordinatensystem,

welches kein Inertialsystem ist. Die korrekte Form erhält man, indem man z.B. mit

Hilfe des Prinzips von d’Alembert. Einfacher ist es, von der Lagrange-Gleichung

auszugehen. Wie wir im Kapitel 1.3.5 zeigen werden, ist diese forminvariant.

Abbildung 1.17: Transformation von kartesischen zu polaren Koordinaten.

Wir benötigen dafür die Transformationsgleichungen für die Koordinaten

und für die Geschwindigkeiten

Die kinetische Energie in den neuen Koordinaten ist

x = r cos ϕ y = r sin ϕ (1.3.20)

˙x = ˙r cos ϕ − r sin ϕ ˙ϕ (1.3.21)

˙y = ˙r sin ϕ + r cos ϕ ˙ϕ (1.3.22)


KAPITEL 1. ANALYTISCHE MECHANIK 27

T = m

2 ( ˙x2 + ˙y 2 ) = m

Wir verwenden die Lagrange-Gleichung in der Form

� �

d ∂T


dt ∂ ˙r

∂T

� �

d ∂V

= −

∂r dt ∂ ˙r

∂V

∂r

2 ( ˙r2 + r 2 ˙ϕ 2 ). (1.3.23)

(1.3.24)

Wenn wir berücksichtigen, dass das Potenzial nicht von den Geschwindigkeiten

abhängt, vereinfacht sich dies zu

� �

d ∂T


dt ∂ ˙r

∂T

= −∂V

(1.3.25)

∂r ∂r

Wir setzen den Ausdruck für die kinetische Energie ein und erhalten

� �

d ∂T


dt ∂ ˙r

∂T

∂r = m(¨r − r ˙ϕ2 ) = − ∂V

∂r

(1.3.26)

für die radiale Koordinate. Für den Spezialfall eines Zentralkraftproblems (d.h.

∂V/∂ϕ = 0) erhalten wir für die Winkelkoordinate

mr(r ¨ϕ − 2 ˙r ˙ϕ) = 0 (1.3.27)

1.3.5 Forminvarianz der Lagrangefunktion

Wir untersuchen jetzt die Frage der Forminvarianz für die Lagrangefunktion: in

kartesischen Koordinaten lautet die Lagrange-Gleichung zweiter Art

� �

d ∂L


dt ∂ ˙qk

∂L

= 0

∂qk

(1.3.28)

Ist sie forminvariant, so muss sie in den transformierten Koordinaten demnach


d ∂

dt

˜ L

∂ ˙ �


Qk

∂ ˜ L

∂Qk

= 0 (1.3.29)

lauten.

Dazu betrachten wir die Geschwindigkeiten der neuen Koordinaten und entwickeln

diese in den Alten:

Somit ist

und

˙Qi =

f� ∂Qi

k

∂ ˙ Qi

∂ ˙qk

∂qk

= ∂Qi

∂qk

˙qk + ∂Qi

∂t

(1.3.30)

(1.3.31)


KAPITEL 1. ANALYTISCHE MECHANIK 28

∂ ˙qk

∂ ˙ Qi

= ∂qk

. (1.3.32)

∂Qi

Wir betrachten nun die neue Lagrange-Funktion ˜ L, die wir durch Ersetzen von

qk(Qi) aus der alten erhalten:

˜L(Qi, ˙ Qi, t) = L(qk(Q, t), ˙qk(Q, ˙ Q, t), t) (1.3.33)

Für die Lagrange-Gleichung benötigen wir die partiellen Ableitungen nach Qj

und ˙ Qj.

und

∂ ˜ L

∂Qj

∂ ˜ L

∂ ˙ Qj

=

=

f�


∂L ∂qk

k

f�

k

∂qk ∂Qj


∂L

∂qk

∂qk ∂ ˙ Qj

+ ∂L

∂ ˙qk

+ ∂L

∂ ˙qk

∂ ˙qk

∂Qj

∂ ˙qk

∂ ˙ Qj

Die Punkttransformation ist geschwindigkeitsunabhängig; somit ist

∂qk

∂ ˙ Qj

und Gleichung (1.3.35) vereinfacht sich zu

∂ ˜ L

∂ ˙ Qj

=

f�

k

∂L

∂ ˙qk

∂ ˙qk

∂ ˙ Qj


. (1.3.34)


. (1.3.35)

= 0 (1.3.36)

=

f�

k

∂L

∂ ˙qk

∂qk

∂Qj

Im zweiten Schritt haben wir die Beziehung (1.3.32) verwendet.

Wir benötigen jetzt die totale Zeitableitung dieses Ausdrucks

d ∂

dt

˜ L

∂ ˙ =

Qj

f�

�� �

d ∂L ∂qk

dt ∂ ˙qk ∂Qj

k

+ ∂L

∂ ˙qk

∂ ˙qk

∂Qj

(1.3.37)


. (1.3.38)

Die Lagrange-Gleichung für die neuen Koordinaten erhalten wir aus der Differenz

von 1.3.38 und 1.3.34:


d ∂

dt

˜ L

∂ ˙ �


Qj

∂ ˜ L

∂Qj

=

=

f�

�� �

d ∂L ∂qk

+

dt ∂ ˙qk ∂Qj

k

∂L


∂ ˙qk

(1.3.39)

∂ ˙qk ∂Qj

f�


∂L ∂qk


+

∂qk ∂Qj

k

∂L


∂ ˙qk

(1.3.40)

∂ ˙qk ∂Qj

f�


d ∂L


dt ∂ ˙qk

∂L


∂qk

= 0, (1.3.41)

∂qk ∂Qj

da der Ausdruck in Klammern verschwindet. Damit folgt aus

k


KAPITEL 1. ANALYTISCHE MECHANIK 29

auch

d.h.

d

dt

� �

∂L

∂ ˙qk

− ∂L

∂qk


d ∂

dt

˜ L

∂ ˙ �


Qk

∂ ˜ L

∂Qk

= 0 (1.3.42)

= 0 (1.3.43)

Die Lagrange-Gleichung ist invariant unter Punktkoordinatentransformationen

Wenn sie in einem Koordinatensystem erfüllt sind, so sind sie es auch in jedem

anderen Koordinatensystem. Dies ist eine der wichtigsten Motivationen für die

Anwendung des Lagrange-Formalismus: Sie erlaubt einem, in beliebigen Koordinatensystemen

(auch in beschleunigten), die Bewegungsgleichungen abzuleiten.

1.3.6 Virialsatz

Wir betrachten die Größe

und ihre zeitliche Änderung

dG

dt

G = �

�pi · �ri

i

(1.3.44)


= �pi · �˙ri + �˙pi · �ri. (1.3.45)

i

Der erste Term ist gerade das Doppelte der kinetischen Energie, der zweite kann,

gemäß Newton’s Theorem, geschrieben werden als Produkt aus Kräften und Vektoren,


�pi · �˙ri + �˙pi · �ri = 2T + �

�Fi · �ri. (1.3.46)

Wir bilden das zeitliche Mittel über eine Zeit τ:

1

τ

� τ

0

dt dG

dt

i

= 1

τ

i

[G(τ) − G(0)] = 2〈T 〉 + 〈

� �� �

lim (τ)→∞=0


�Fi · �ri〉. (1.3.47)

i

Für ein gebundenes System sind Orte und Impulse beschränkt und somit ist G(t)

endlich. Insbesondere gilt dies für G(τ) und G(0). Damit wird

lim

τ→∞ 〈dG

1

〉 =

dt τ

Damit folgt aus Gleichung 1.3.47 der

Virialsatz: 〈T 〉 = − 1

2 〈�

i � Fi · �ri〉.

� τ

0

dt dG

dt

= 0. (1.3.48)


KAPITEL 1. ANALYTISCHE MECHANIK 30

1.3.6.1 Anwendung: Zentralkraftproblem mit einem r k Potenzial:

Das Potenzial sei

Die Kraft ist somit

Somit ist das Produkt

und die kinetische Energie gemäß Virialsatz wird

Wichtige Spezialfälle sind der

V (r) = αr k . (1.3.49)

�F = − � ∇V (r) = −kαr k−2 �r. (1.3.50)

〈 � F · �r〉 = −k〈αr k 〉 = −k〈V (r)〉 (1.3.51)

〈T 〉 = k

〈V 〉. (1.3.52)

2

• harmonische Oszillator mit k = 2 und somit 〈T 〉 = 〈V 〉

• 1/r Potenzial mit k = −1 und somit 〈T 〉 = − 1〈V

〉. 2

1.3.7 Ähnlichkeitstransformation

Wir betrachten eine neue Lagrangefunktion ˜ L, die wir aus der alten Funktion L

durch Skalierung mit einem konstanten Faktor γ erhalten haben:

˜L(qk, t) = γL(qk, t). (1.3.53)

Aus dem Vergleich der entsprechenden Lagrange-Gleichungen

� � �

d ∂L

γ


dt ∂ ˙qk

∂L


=

∂qk

d



dt

˜ �

L


∂ ˙qk

∂ ˜ L

= 0 (1.3.54)

∂qk

für jedes k ist ersichtlich, dass beide Lagrange-Funktionen die gleiche Bewegung

beschreiben. Wir wollen uns diese wichtige Eigenschaft der Lagrangefunktion zu

nutze machen, um Eigenschaften der Lösung der Teilchenbewegung zu finden,

ohne explizit die Bewegungsgleichung lösen zu müssen.

Wir untersuchen Systeme, für die die potenzielle Energie V eine homogene Funktion

vom Grad K der Koordinaten qk ist:

V (αq1, ..., αqf) = α K V (q1, ..., qf) (1.3.55)

und α konstant. Wir definieren jetzt eine Ähnlichkeitstransformation durch die

Skalenfunktion

˜qk = αqk ˜t = βt, (1.3.56)

wobei wir die Konstante β noch bestimmen müssen. Damit erhalten wir


KAPITEL 1. ANALYTISCHE MECHANIK 31

d˜qk

d˜t

Damit ist die neue Lagrangefunktion

= α

β ˙qk

(1.3.57)

˜T = α2

T

β2 (1.3.58)

˜V = α K V (1.3.59)

˜L = ˜ T − ˜ V = α2

β 2 T − αK V (1.3.60)

Sie beschreibt somit das gleiche mechanische System wenn

γ = α2

= αK

β2 (1.3.61)

Somit muss der Skalierungsfaktor für die Zeit folgender Bedingung gehorchen:

β = α 1−K/2 = α δ

(1.3.62)

Dieser Zusammenhang zwischen der Skalierung von Längen und Zeiten charakterisiert

die Art des physikalischen Systems:

K physikalisches

System

2 harmonischer

Oszillator

1 Teilchen im

Gravitati-

onsfeld

-1 Zentralkraftproblem

1.3.8 Eichinvarianz

δ Beschreibung

0 τ unabhängig von

der Auslenkung:

Amplitude und

Frequenz sind

nicht gekoppelt

1/2 τ 2 ∝ z:

Wurfparabel

3/2 τ 2 ∝ ℓ 3 : 3.

Keplersches

Gesetz.

Tabelle 1.1: Arten physikalischer Systeme

Zwei Lagrange-Funktionen L und ˜ L, deren Differenz als totale zeitliche Ableitung

einer Funktion χ(qk, t) geschrieben werden kann,

˜L = L + d

dt χ(qk, t), (1.3.63)

beschreiben die gleiche Dynamik. Die Transformation bezeichnet man als lokale

Eichtransformation: Sie kann an jedem Ort unterschiedlich sein. Allerdings darf

χ nur vom Ort, aber nicht von der Geschwindigkeit abhängen.


KAPITEL 1. ANALYTISCHE MECHANIK 32

Beweis: Wir schreiben den Differenzterm als

d

dt χ(qk, t) = � ∂χ

qk ˙ +

∂qk

∂χ

. (1.3.64)

∂t

Damit wird der erste Term der Lagrange-Gleichung

und der zweite

∂ ˜ L

∂qk

Zusammen erhalten wir

d ∂

dt

˜ L

∂ ˙qk

= ∂L

∂qk

k

= d


∂L

dt ∂ ˙qk

+ ∂ dχ

∂qk dt

+ ∂χ


∂qk

= ∂L

∂qk

(1.3.65)

+ d ∂χ

. (1.3.66)

dt ∂qk

d ∂

dt

˜ L


∂ ˙qk

∂ ˜ L

=

∂qk

d ∂L


dt ∂ ˙qk

∂L

= 0. (1.3.67)

∂qk

Dies ist analog zur Elektrodynamik: Dort waren die Bewegungsgleichungen invariant

unter einer Transformation der Potenziale:

�A → � A ′ = � A + � ∇χ

Φ → Φ ′ = Φ − ∂χ

∂t .

1.3.9 Kanonische Kraft und kanonischer Impuls

Wir betrachten eine Lagrange-Funktion L = T − V , bei der nur der Potenzial-

Term V von den Koordinaten qk abhängt. Dann ist

∂L

=

∂qk

∂(T − V )

= −

∂qk

∂V

. (1.3.68)

∂qk

Die Ableitung eines Potenzials nach einer generalisierten Koordinate kann als

eine generalisierte Kraft verstanden werden.

Umgekehrt hängt nur die kinetische Energie von den Geschwindigkeiten ab, d.h.

Es liegt deshalb nahe,

∂L

∂ ˙qk

= ∂(T − V )

∂ ˙qk

pk = ∂L

∂ ˙qk

= ∂T

∂ ˙qk

= ∂T

. (1.3.69)

∂ ˙qk

(1.3.70)

als einen generalisierten Impuls zu interpretieren. Da er durch Ableitung nach qk

aus L entsteht, gehört er zur Koordinate qk und wird auch als kanonischer Impuls

bezeichnet. Damit erhalten die Lagrange-Gleichungen eine Newton-ähnliche

Form:

˙pk = ∂L

. (1.3.71)

∂qk


KAPITEL 1. ANALYTISCHE MECHANIK 33

1.3.9.1 Beispiel 1 : Freies Teilchen.

Die Lagrange-Funktion eines freien Teilchens ist

Der kanonische Impuls hat somit die Komponenten

L = T = 1

2 m�˙r 2 . (1.3.72)

px = ∂L

∂ ˙x

py = ∂L

∂ ˙y

pz = ∂L

∂ ˙z

= m ˙x

= m ˙y

= m ˙z.

Der kanonische Impuls entspricht hier also dem Standardimpuls.

1.3.9.2 Beispiel 2 : Pendel

Für ein Pendel der Länge ℓ mit Auslenkung ϕ lautet die Lagrange-Funktion

Der entsprechende kanonische Impuls ist somit

Wie eine Dimensionsanalyse

L = m

2 ℓ2 ˙ϕ 2 + mgℓ cos ϕ. (1.3.73)

pϕ = ∂L

∂ ˙ϕ = mℓ2 ˙ϕ. (1.3.74)

kg m2

[pϕ] =

s

zeigt, ist dies nicht gleich dem kinematischen Impuls

sondern gleich dem Drehimpuls

(1.3.75)

mv = mℓ ˙ϕ, (1.3.76)

L = mℓ 2 ˙ϕ. (1.3.77)

1.3.9.3 Beispiel 3 : Teilchen im elektromagnetischen Feld

Für ein Teilchen im elektromagnetischen Feld wird die Lagrange-Funktion

Damit wird der kanonische Impuls

L = T − qΦ + q�v · � A. (1.3.78)

�p = ∂L

∂�v = m�v + q � A, (1.3.79)


KAPITEL 1. ANALYTISCHE MECHANIK 34

d.h. er weicht vom kinematischen Impuls m�v ab, und zwar um das Produkt aus

Ladung und Vektorpotenzial. Er ist damit nicht eichinvariant!

Allgemein ist der kanonische Impuls gleich dem kinematischen Impuls falls die

Bewegung in einem geschwindigkeitsunabhängigen Potenzial stattfindet. Dies ist

z.B. nicht der Fall für geladene Teilchen in einem Magnetfeld. Dort erhält man

den kanonischen Impuls als

�p = m�v + q � A (1.3.80)

aus dem kinematischen Impuls. Umgekehrt erhält man den kinematischen Impuls

als

m�v = �p − q � A. (1.3.81)

1.3.10 Zyklische Koordinaten und Erhaltungsgrößen

Wenn eine Lagrange-Funktion L eine Koordinate qk nicht enthält, sondern nur

˙qk, nennt man qk eine zyklische Koordinate. Für eine solche Variable reduziert

sich ihre Lagrange-Gleichung zu

d ∂L

dt ∂ ˙qk

= d

dt pk = 0. (1.3.82)

Damit ist der kanonische Impuls pk eine Konstante der Bewegung und bleibt

erhalten.

Wenn L nicht von qk abhängt, bedeutet dies, dass die Lagrangefunktion sich unter

der Koordinatentransformation

nicht ändert, d.h.

qk → q ′ k = qk + ak

(1.3.83)

˜L(qk, t) = L(q ′

k, t). (1.3.84)

Das System ist somit translationsinvariant bezüglich dieser Koordinate und der

zugehörige kanonische Impuls ist eine Erhaltungsgröße.

Für ein vollständig translationsinvariantes System gilt V = const und damit sind

alle qk zyklisch. Als Konsequenz erhalten wir die Impulserhaltung. Die Erhaltung

des Gesamtimpules Pi folgt, wenn das Potenzial nur von den relativen Koordinaten

�qk−�qj abhängt und nicht von den Schwerpunktskoordinaten �q. Dies entspricht

dem Trägheitsgesetz von Galilei und Newton.

1.3.11 Kinetische Energie als quadratische Form

Wir betrachten mit N Teilchen und f generalisierten Koordinaten. Dann ist die

kinetische Energie T eine quadratische Funktion der verallgemeinerten Geschwindigkeiten

˙qk:

f�

T = Akl ˙qk ˙ql

(1.3.85)

k,l


KAPITEL 1. ANALYTISCHE MECHANIK 35

falls die Koordinatentransformation von den kartesischen Koordinaten

nicht explizit zeitabhängig ist,

xi = fi(q1, ..., qf) i = 1, ..., 3N (1.3.86)

∂xi(q1, ..., qf)

∂t

Solch ein System nennt man auch skleronom.

1.3.11.1 Beweis:

˙xi = dxi

dt =

f� ∂fi

˙qk =

∂qk

Damit können wir die kinetische Energie umschreiben

T =

=

=

=

3N� 1

2

i

mi ˙x 2 3N�

i =

i

3N�


f�

i

f�

kl

1

2 mi

� 3N�

i

k

f�

Akl ˙qk ˙ql,

k

ai ˙qk

1

2 miaikail


wobei die Matrixelemente Akl definiert sind als

kl

Akl (q1, ..., qf) =

3N�

und die aik durch die Koordinatentransformation:

i

= 0. (1.3.87)

f�

aik ˙qk. (1.3.88)

k

1

2 mi


f�

ai ˙qk

k

� �

f�


l

˙qk ˙ql

ai ˙ql

1

2 miaikail = Alk

�2

(1.3.89)

aik = ∂xi

. (1.3.90)

∂qk

Damit haben wir gezeigt, dass die kinetische Energie quadratisch in den generalisierten

Koordinaten ist, falls die Koordinatentransformation zeitunabhängig

ist.

1.3.12 Energieerhaltung

Für ein abgeschlossenes System sind verschiedene Zeitpunkte äquivalent, d.h. kein

Punkt der Zeitachse ist gegenüber den andern ausgezeichnet. Man sagt, die Zeit


KAPITEL 1. ANALYTISCHE MECHANIK 36

sei homogen. Damit kann auch die Lagrange-Funktion nicht explizit von der

Zeit abhängen,

∂L

= 0. (1.3.91)

∂t

Die totale zeitliche Ableitung einer solchen Funktion ist

dL

dt =

f� ∂L

˙qi +

∂qi

Wir benutzen die Lagrange-Gleichung in der Form

i

f�

i

∂L

¨qi. (1.3.92)

∂ ˙qi

∂L

=

∂qi

d ∂L

. (1.3.93)

dt ∂ ˙qi

Wenn wir diese in Gl. 1.3.92 einsetzen, erhalten wir

dL

dt =

Wir schreiben das um zu

f� d ∂L

˙qi +

dt ∂ ˙qi

i


f�

d

dt

i

Anders ausgedrückt ist die Größe

H =

f�

i

∂L

¨qi =

∂ ˙qi

f�

i

� �

d ∂L

˙qi . (1.3.94)

dt ∂ ˙qi

∂L

˙qi

∂ ˙qi


− L = 0 (1.3.95)

f�

i

∂L

˙qi − L (1.3.96)

∂ ˙qi

in einem geschlossenen skleronomen System eine Konstante. Man bezeichnet sie

als Energiefunktion des Systems. Sie ist offensichtlich additiv, d.h. die gesamte

Energie ergibt sich als Summe der Energien von isolierten Teilsystemen.

Laut Gleichung (1.3.85) ist die kinetische Energie eines skleronomen Systems eine

homogene quadratische Größe der Geschwindigkeiten ˙qi:

Somit ist

und

∂T

∂ ˙qk

T =

=

f� ∂T

˙qk =

∂ ˙qk

k

f�

Akl ˙qk ˙ql. (1.3.97)

k,l

f�

l

f�

kl

˙ql(Akl + Alk) (1.3.98)

˙ql ˙qk(Akl + Alk) = 2T. (1.3.99)


KAPITEL 1. ANALYTISCHE MECHANIK 37

Die potenzielle Energie ist unabhängig von den Geschwindigkeiten,

∂V

∂ ˙qi

Damit wird der erste Term der Energiefunktion (1.3.96)

f�

i

∂L

˙qi

∂ ˙qi

=

f�

Die Energiefunktion wird damit

i

∂(T − V )

˙qi

∂ ˙qi

= 0. (1.3.100)

=

f�

i

∂T

˙qi

∂ ˙qi

= 2T. (1.3.101)

H = 2T − L = T + V (1.3.102)

und entspricht damit unserer Erwartung für die gesamte Energie eines Systems.

1.3.13 Gesamtimpuls

Eine zweite Erhaltungsgröße folgt aus der Homogenität des Raumes: alle

Punkte im Raum sind äquivalent. Dies gilt nur in der Abwesenheit eines äußeren

Potenzials.

Abbildung 1.18: Verschiebung des Koordinatensystems.

Im Gegensatz zur Homogenität der Zeit können wir jetzt nicht schließen, dass

L keine explizite Ortsabhängigkeit besitzt, da bei einem N-Körperproblem viele

Ortskoordinaten berücksichtigt werden müssen. Sie führt aber dazu, dass die

Lagrange-Funktion unter Verschiebungen aller Koordinaten konstant bleibt. Sie

ist somit nicht von den Koordinaten �ri, �rj abhängig, sondern nur von den Differenzen

cij = |�ri − �rj|:


KAPITEL 1. ANALYTISCHE MECHANIK 38

L(�ri − �rj) = L ′ (�r ′ i − �r ′ j) = L(cij). (1.3.103)

Mathematisch lässt sich die Homogenität des Raumes am besten durch Betrachtung

infinitesimaler Verschiebungen des Koordinatensystems um δ�r erfassen. Wir

entwickeln die Änderung der Lagrange-Funktion durch diese Verschiebung in eine

Taylorreihe

0 = δL =

f� ∂L

· δ�ra =

∂�ra

� δr ·

a

∂L

∂x

∂L

∂y

∂L

∂z

f� ∂L

. (1.3.104)

∂�ra

Hier sind die δ�ra die Komponenten von � δr und wir verwenden die Abkürzung

∂L

∂�r =

⎛ ⎞

⎝ ⎠ . (1.3.105)

Da der Verschiebungsvektor � δr beliebig ist, muss

gelten. Zusammen mit der Lagrange-Gleichung

oder

erhalten wir

a

a

N� ∂L

= 0 (1.3.106)

∂�ra

∂L

∂qi

∂L

∂�ra

d � ∂L

dt

a

∂�va

= d ∂L

dt ∂ ˙qi

= d ∂L

dt ∂�va

Offenbar ist in einem mechanischen System der Vektor

(1.3.107)

(1.3.108)

def d

=

dt � P = 0. (1.3.109)

�P = � ∂L

a

∂�va

(1.3.110)

eine Erhaltungsgröße; er wird als Gesamtimpuls des Systems bezeichnet. Der Gesamtimpuls

eines Systems von Teilchen ist immer gleich der Summe der Impulse

der einzelnen Teilchen, unabhängig davon, ob sie in Wechselwirkung treten oder

nicht.

Gleichung (1.3.106) hat eine einfache physikalische Bedeutung: Da nur das Potenzial

von den Koordinaten abhängt, stellt die Ableitung von L nach den Koordinaten

(1.3.106) die gesamte auf das System wirkende Kraft dar. Diese verschwindet

in einem homogenen Raum ohne äußere Felder.


KAPITEL 1. ANALYTISCHE MECHANIK 39

Nicht immer ist der Raum vollständig homogen, z.B. wenn die Lagrange-Funktion

durch das Potenzial von einer einzelnen Koordinate abhängt,

V = V (qk). (1.3.111)

In diesem Fall können wir immer noch Erhaltungssätze für einzelne Komponenten

des Impulses herleiten. Falls qj in der Lagrange-Funktion nicht vorkommt, so folgt

aus der entsprechenden Lagrange-Gleichung

d ∂L

dt ∂ ˙qi

− ∂L

∂qi

= 0 → ∂L

∂ ˙qi

= pi = const, (1.3.112)

d.h. der zugehörige Impuls stellt eine Erhaltungsgröße dar. Für einzelne Teilchen

ist dies offenbar die einfachere Herleitung der Impulserhaltung. Die oben durchgeführte

Herleitung bleibt aber auch bei Systemen von Teilchen gültig, wo das

Potenzial von sämtlichen Koordinaten (z.B. über die Abstände cij) abhängt.

1.3.14 Drehimpuls

In gleicher Weise können wir bei der Herleitung der Drehimpulserhaltung verfahren.

Wir verwenden dabei die Isotropie des Raums, d.h. die Tatsache, dass in

Abwesenheit eines externen Feldes alle Raumrichtungen gleichwertig sind. Damit

darf sich die Lagrange-Funktion nicht ändern, wenn wir das Koordinatensystem

drehen.

Die Drehung kann ausgeführt werden mit Hilfe der Transformationsgleichungen

δ�ri = δ�ϕ × �ri

δ�˙ri = δ�ϕ × �˙ri.

Hier stellt δ�ϕ = δϕ�n eine infinitesimale Drehung um den Winkel ϕ um die Achse

�n dar.

Wir betrachten wie üblich ein abgeschlossenes mechanisches System ohne Reibung.

Die Änderung in der Lagrangefunktion ist

δL = L(�r1 + δ�r1, �r2 + δ�r2, . . . , �rN + δ�rN,

�˙r1 + δ�˙r1, �˙r2 + δ�˙r2, . . . , �˙rN + δ�˙rN)

− L(�r1, �r2, . . . , �rN, �˙r1, �˙r2, . . . , �˙rN)

=

N� ∂L

δ�ri +

∂�ri

i

N� ∂L

δ�˙ri = 0. (1.3.113)

∂�˙ri

Wir müssen diesmal auch die Änderung der Geschwindigkeiten berücksichtigen,

da diese durch eine Rotation ebenfalls transformiert werden. Wir verwenden

�pi = ∂L

∂�˙ri

i

�˙pi = ∂L

∂�ri

(1.3.114)


KAPITEL 1. ANALYTISCHE MECHANIK 40

und erhalten

0 =

N�

�˙pi(δ�ϕ × �ri) +

i

= d

dt

mit dem Gesamtdrehimpuls

N�

�pi(δ�ϕ × �ri)

i

= δ�ϕ d

dt

N�

i

�L =

Da die Drehung δ�ϕ beliebig ist, muss gelten

�L =

N�

�pi(δ�ϕ × �˙ri)

(�ri × �pi) = δ�ϕ d

dt � L

i

N�

(�ri × �pi). (1.3.115)

i

N�

�ri × �pi = const. (1.3.116)

i

Die Rotationsinvarianz kann durch ein äußeres Feld, z.B die Gravitation, eingeschränkt

werden. Angenommen, das äußere Feld besitzt eine Symmetrieachse

(Gravitation: z-Achse), dann bleibt nur die Projektion des Drehimpulses auf diese

Achse erhalten, d.h auf

Ln = �n · � L. (1.3.117)

1.3.14.1 Besispiel 1 : Gravitation.

Die potenzielle Energie V = mgz ist rotationsinvariant um die z-Achse. Damit

bleibt

N�

Lz = �ez �ri × �pi

(1.3.118)

erhalten.

1.3.14.2 Beispiel 2 : Zentralkraft

Hier ist das Potenzial

V = A

. (1.3.119)

r

Es bleibt somit invariant gegenüber Drehungen um eine beliebige Achse durch

den Ursprung. Damit bleiben alle Komponenten von � L erhalten. Das Potenzial

ist jedoch nicht translationsinvariant, so dass der Impuls nicht erhalten bleibt.

i


KAPITEL 1. ANALYTISCHE MECHANIK 41

1.3.15 Das Noether-Theorem

Wir betrachten eine Koordinatentransformation für jede generalisierte Koordinate

qk. Die Transformation soll eine kontinuierliche Abbildung mit einem Parameter

α sein:

qk → ˜qk = hk(q1, ..., qN, α, t). (1.3.120)

Für α = 0 soll sie die identische Abbildung darstellen,

qk = hk(q1, ..., qN, α = 0, t). (1.3.121)

Außerdem soll hk nach α stetig differenzierbar und invertierbar sein.

Beispiele für solche Abbildungen sind die

Translation

und die

Rotation um die z-Achse :



x ′

y ′

z ′



⎠ = ⎝

Wenn jetzt die Lagrange-Funktion ˜ L

sich nur um eine Eichtransformation

�r → �r ′ = �r + α�a (1.3.122)

cos α − sin α 0

sin α cos α 0

0 0 1

⎞ ⎛

⎠ ⎝

x

y

z


⎠ . (1.3.123)

˜L(˜qk, ˜˙qk, t, α) = L(hk( ˜qk, α, t), ˙ hk( ˜qk, α, t), t) (1.3.124)

˜L(˜qk, ˜˙qk, t, α) = L( ˜qk, ˙˜qk, t) + d

dt χ(˜qk, α, t) (1.3.125)

von L unterscheidet, dann ist folgenden Funktion eine Konstante:

Iα(qk, ˙qk, t) =

1.3.15.1 Beweis:

f�

k

∂L

∂ ˙qk

∂qk( ˜qk, α, t)

∂α




� α=0

− ∂χ(˜qk, α, t)

∂α




� α=0

. (1.3.126)

Die beiden Lagrange-Funktionen sind, abgesehen von der Eichtransformation

identisch, falls die Abhängigkeit von α verschwindet, d.h.


d

˜L(˜qk, ˜˙qk, t, α) −


d

dt χ(˜qk,


α, t) = 0 (1.3.127)


KAPITEL 1. ANALYTISCHE MECHANIK 42

sein. Die Lagrangefunktion ˜ L in den neuen Koordinaten ˜qk erhalten wir z.B.

indem wir in der ursprünglichen Lagrangefunktion L die alten Koordinaten qk

durch die neuen ausdrücken:

˜L(˜q, ˜˙q, t, α) = L(q(˜q, t, α), ˙q(˜q, t, α), t). (1.3.128)

Damit können wir die Änderung der Lagrangefunktion mit α schreiben als die

partielle Ableitung nach α, wobei die Variablen ˜q und ˜˙q festgehalten werden:

∂ ˜ L �

� �

∂L ∂qk ∂L ∂ ˙qk

= +

∂α ∂qk ∂α ∂ ˙qk ∂α

k

= �


∂qk d ∂L

+

∂α dt ∂ ˙qk

k

∂L


d ∂qk

∂ ˙qk dt ∂α

= d

� �

� ∂L ∂qk

.

dt ∂ ˙qk ∂α

k

Dies gilt für alle Werte von α. Insbesondere können wir α = 0 setzen. Damit

erhalten wir für die Änderung (1.3.127)


d

˜L(˜qk, ˜˙qk, t, α) −


d

dt χ(˜qk,


α, t) =

= d


� ∂L ∂qk

dt ∂ ˙qk ∂α − ∂χ(˜qk,


α, t)

= 0.

∂α

Damit ist das Noether-Theorem bewiesen. Es

k

• verknüpft kontinuierliche Symmetrien der Lagrange-Funktion mit Erhaltungsgrößen

• gilt daher nicht bei diskreten Symmetrien, z.B Raumspiegelungen.

• Aus der Symmetrie folgt die Erhaltungsgröße, die Umkehrung gilt nicht.

Der Erhaltungssatz, der zu einer zyklischen Koordinate qi gehört, ist ein Spezialfall:

Dann ist die Lagrange-Funktion invariant unter einer Translation der

entsprechenden Koordinate.

Eine weiterer wichtiger Spezialfall ist der, dass die Eichfunktion χ verschwindet.

Dann ist die Erhaltungsgröße

Iα(qk, ˙qk, t) =

f�

k

∂L

∂ ˙qk

∂qk(˜q, t, α)

∂α




α=0

� α=0

. (1.3.129)


KAPITEL 1. ANALYTISCHE MECHANIK 43

1.3.16 Anwendungsbeispiele

1.3.16.1 Impulserhaltung

Das Potenzial (Gravitation) sei nur von z abhängig,

L(x, z, ˙x, ˙z) = m

2 ( ˙x2 + ˙z 2 ) − V (z). (1.3.130)

Somit kann das System beliebig in x-Richtung verschoben werden, d.h. x ist

zyklisch,

˜x = x + αx. (1.3.131)

Die Eichfunktion χ verschwindet in diesem Fall. Damit erhalten wir für die zugehörige

Erhaltungsgröße

Iα(x, z, ˙x, ˙z) = �


∂L ∂qk �

� = −

∂ ˙qk ∂αx

∂L

= −m ˙x, (1.3.132)

∂ ˙x

k

� α=0

also die Impulserhaltung für die x-Komponente, in Übereinstimmung mit der

Diskussion im Zusammenhang mit zyklischen Koordinaten.

1.3.16.2 Drehimpuls

Die Lagrangefunktion

L(�r, �˙r) = m

2 ( ˙x2 + ˙y 2 + ˙z 2 ) − V (x 2 + y 2 , z) (1.3.133)

ist unter Rotationen um die z-Achse invariant. Die Rotation ist gegeben durch

die Koordinatentransformation (1.3.123) und ergibt die transfomierte Funktion

ist offenbar invariant.

Mit

L ′ (�r, �˙r, α) = m

2 ( ˙x’2 + ˙y’ 2 + ˙z’ 2 ) − V (x’ 2 + y’ 2 , z’ ) (1.3.134)

∂x(x ′ , α)

∂α

∂y(y ′ , α)

∂α

finden wir die Erhaltungsgröße

= −x ′ sin α + y ′ cos α = y

= −x ′ cos α − y ′ sin α = −x

∂L ∂L

y +

∂ ˙x ∂ ˙y (−x) = m( ˙xy − ˙yx) = −Lz, (1.3.135)

d.h. die z-Komponente des Drehimpulses.

Wir können die Rechnung auch in symmetrieangepassten Koordinaten durchführen,

d.h. in Zylinderkoordinaten. Damit wird die Lagrangefunktion

L(�r, �˙r) = m

2 ( ˙r2 + r 2 ˙ϕ 2 + ˙z 2 ) − V (r 2 , z). (1.3.136)


KAPITEL 1. ANALYTISCHE MECHANIK 44

Darin taucht die Winkelkoordinate ϕ nur als Ableitung auf. Somit ist die Lagrangefunktion

unter zeitunabhängigen Rotationen

invariant. Damit wird

eine Erhaltungsgröße.

∂L ∂(ϕ

∂ ˙ϕ

′ − α)

∂α

ϕ → ϕ ′ = ϕ + α (1.3.137)

= −mr 2 ˙ϕ = −Lz

1.3.17 Galilei-Invarianz und Schwerpunkt

(1.3.138)

Wir betrachten zwei Inertialsysteme, welche sich relativ zu einander mit der konstanten

Geschwindigkeit �v bewegen, d.h. zwischen ihren Koordinaten gibt es folgende

Beziehung:

�r ′

i = �ri + �vt t ′ = t. (1.3.139)

Man bezeichnet dies als Galilei-Transformation. Dies entspricht dem Grenzfall

niedriger Geschwindigkeit der Lorentz-Transformation.

Die kinetische Energie im ’-Koordinatensystem ist

T ′ = � 1

2

i

mi(�vi + �v) 2

= T + �

mi�vi · �v +

i

1 �

mi�v

2

i

2

= T + d



mi�ri · �v +

dt

1

2 M�v2 �

t .

Hier ist

i

M = �

i

mi

(1.3.140)

die Gesamtmasse des Systems. Damit erhalten wir die neue Lagrangefunktion aus

der Alten:

L ′ = L + d

dt χ(�ri,

durch eine Eichtransformation

t) (1.3.141)

χ(�ri, t) = �

mi�ri · �v + 1

2 M�v2 t. (1.3.142)

i

Aus dem Noether-Theorem können wir somit drei Erhaltungsgrößen gewinnen,

indem wir die Geschwindigkeiten vi in die drei Raumrichtungen i als Parameter

αi verwenden. Dann erhalten wir mit β = x, y, z:

Ivβ =

=

N�


∂L

t −

∂ ˙xiβ


∂vβ

i


mi�ri�v + 1

2 M�v2 t

��

N�

{mi ˙xiβt − mixiβ − Mvβt} = const.

i


KAPITEL 1. ANALYTISCHE MECHANIK 45

Die Schwerpunktskoordinate � R ist durch

�R = 1

M


mi�ri

definiert. Aus dem Noether-Theorem folgt damit

Hier ist

i

(1.3.143)

�P t − M � R − M�vt = −M � R0 = const. (1.3.144)

�P = �

i

mi ˙xiβ

(1.3.145)

der Impuls des Gesamtsystems. Dies bedeutet, dass sich der Schwerpunkt geradlinig

und gleichförmig bewegt,

�R(t) = � �

1

R0 +

M � �

P − �v t. (1.3.146)

Mit einer Transformation in ein bewegtes Bezugsystem mit der Geschwindigkeit

�v = 1

M � P (1.3.147)

wird � R zu einer Erhaltungsgröße. Dieses ausgezeichnete Bezugsystem heißt auch

Schwerpunktsystem.

1.3.18 Zusammenfassung

Wir haben damit folgenden Symmetrien und Erhaltungsgrößen in einem mechanischen

System

• Translationsinvarianz ⇒ Gesamtimpulserhaltung (vektoriell)

• Rotationsinvarianz um die Achse �n ⇒ Gesamtdrehimpulserhaltung für die

entsprechende Komponente

• Galilei-Invarianz ⇒ Freiheit des Ursprungs, bzw. Schwerpunktssystem (vektoriell)

• Translationsinvarianz in der Zeit ⇒ Energieerhaltung (skalar)

Im freien Raum haben wir damit insgesamt 10 Erhaltungsgrößen: 6 Schwerpunktsintegrale,

3 Drehimpuls- und ein Energieintegral, die mit 10 kontinuierlichen

Größen in Zusammenhang stehen.


KAPITEL 1. ANALYTISCHE MECHANIK 46

1.3.18.1 Abzählung der Erhaltungsgrößen

Wir wissen: f Freiheitsgrade benötigen 2f Konstanten. Allgemein haben wir

I : Translationsinvarianz um �a ⇒ Impulserhaltung (vektoriell)

II : Galilei-Invarianz: �ri → �ri +�vt ⇒ Freiheit der Ursprungswahl, z.B. Schwerpunktssystem

(vektoriell)

III : Rotationsinvarianz um Achse �ω ⇒ Drehimpulserhaltung ( vektoriell )

IV : Translationsinvarianz der Zeit ⇒ Energieerhaltung ( skalar )

In Summe haben wir 10 Erhaltungsgrößen. Ein einzelnes Punktteilchen ist klarer

weise in seiner Dynamik ( n = 4 ⇒ 6 Konstanten ) bestimmt. Zwei Punktteilchen

erfordern noch 2 explizite Integrationen.

1.4 Zentralkraftprobleme

1.4.1 Allgemein

Wir betrachten zwei Massenpunkte m1, m2 im Raum, die aufeinander eine Kraft

ausüben, die in Richtung des Relativabstands �r = �r1 − �r2 zeigt und nur vom

Abstand r abhängt. Solch ein Zentralkraftproblem ist konservativ, mit einem

rotationsymmetrischen Potential V (r). Die Lagrangefunktion ist durch

L = m1

2 ˙ �r 2 1 + m1

2 ˙ �r 2 2 − V (|�r1 − �r2|) (1.4.1)

gegeben.

Wegen der Translationsinvarianz im Raum ist der Gesamtimpuls erhalten. Mit

der Galilei-Invarianz transformieren wir ins Schwerpunktsystem

�R = m1�r1 + m2�r2

m1 + m2

(1.4.2)

�r1 = � R + m2

�r (1.4.3)

M

�r2 = � R − m1

�r (1.4.4)

M

mit der Gesamtmasse M = m1+m2. Die transformierte Lagrange-Funktion lautet

dann

L = m1


˙�R m2

+

2 M ˙ �2 �r + m2


˙�R m1


2 M ˙ �2 �r − V (r)

= M ˙�R

2

2 + µ

2 ˙ �r 2 − V (r) , (1.4.5)

wobei wir die reduzierte Masse µ

µ = m1m2

m1 + m2

(1.4.6)


KAPITEL 1. ANALYTISCHE MECHANIK 47

eingeführt haben.

Offensichtlich ist � R zyklisch, woraus folgt, dass der Schwerpunktsimpuls � P = M ˙ � R

erhalten ist. Im Schwerpunktsystem gilt auch noch die Erhaltung des Drehimpulses

Da weiterhin gilt

�L = �r × �p = const. (1.4.7)

�r · � L = �r · (�r × �p) = 0 , (1.4.8)

steht der Ortsvektor immer senkrecht auf dem Drehimpuls und die Dynamik

spielt sich nur in dieser Ebene ab.

Wir betrachten nur die Relativdynamik in der Bewegungsebene und führen Polarkoordinaten

ein:

L = µ � 2 2 2

˙r + r ˙ϕ

2

� − V (r) . (1.4.9)

Wir erkennen, dass ϕ zyklisch ist, so dass gilt

pϕ = ∂L

∂ ˙ϕ = µr2 ˙ϕ = const. (1.4.10)

Dies ist dem Betrag nach nichts Anderes als die Drehimpulserhaltung.

Die Drehimpulserhaltung ist auch die tiefere Erklärung

des 2. Keplerschen Gesetzes, das aussagt, der Fahrstrahl

�r überstreicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen.

Es gilt nämlich

dA = 1

2 r2dϕ = L

µ dt (1.4.11)

unabhängig von der genauen Form des Potentials V (r). Energieerhaltung auf

Grund der Homogenität der Zeit hilft uns weiter:

E = µ � 2 2 2

˙r + r ˙ϕ

2

� + V (r) = const. (1.4.12)

Einsetzen von

˙ϕ = L

µ = const. (1.4.13)

liefert

E = µ


˙r

2

2 + L

µ 2r2 �

+ V (r) = µ

2 ˙r2 + Veff(r) (1.4.14)

Veff(r) =

L

+ V (r)

2µr2 (1.4.15)

Der Zusatzbeitrag L

2µr 2 heißt auch Zentrifugalpotential und divergiert wie 1/r 2 .

Durch Ausnutzen der Drehimpulserhaltung wird das Problem zu einem effektiv

eindimensionalen Problem, da nur noch der Radius in die Differentialgleichung

eingeht.


KAPITEL 1. ANALYTISCHE MECHANIK 48

1.4.2 Keplerproblem

Nun spezialisieren wir uns auf das Keplerprobem im engeren Sinne durch Wahl

des Potentials in der Form

V (r) = − α

r

. (1.4.16)

Solche Potentiale spielen eine bedeutenden Rolle in der Physik. Als Beispiele

sind das statische Coulomb-Potential und das Newtonsche Gravitationspotential

zu nennen. α sei die entsprechende Kopplungsstärke mit der Dimension [α] =

Energie × Länge. So erhalten wir

Veff(r) = L2 α


2µr2 r

was für kleine r positiv und für große r negativ ist.

(1.4.17)

Es gibt drei mögliche Typen von Bahnen:

• E < 0 : gebundene Bewegung,

r ∈ [rP , rA]

• E > 0 : ungebundene Bewegung,

Streubewegung

• E = 0 : Grenzfall, marginal

Wir besprechen zuerst den allgemeinen Fall und dann das eigentliche Keplerproblem.

Es folgt die quantitative Lösung des Problems für allgemeine Potentiale.

E = µ

2 ˙r2 + Veff


2

˙r = ±

µ (E − Veff) = dr

dt

(1.4.18)

Das Vorzeichen richtet sich danach, ob wir gerade eine Annäherung ( ˙r < 0) oder

eine Entfernung ( ˙r > 0) betrachten. Trennung der Variablen liefert

dr

dt = ± �

2

µ (E − Veff)

�r

dr

t − t0 = ±



2

µ (E − Veff)

r0

(1.4.19)

(1.4.20)


KAPITEL 1. ANALYTISCHE MECHANIK 49

Das liefert t(r) und nach Invertierung r(t). Dann fehlt nur noch ϕ(t), das man

aus

˙ϕ = dϕ

dt

�t

ϕ(t) − ϕ0 =

0

= L

µr 2 (t)

L

µr 2 (t ′ )dt ′

(1.4.21)

(1.4.22)

erhält. Oftmals ist die Kenntnis der Bahnkurve r(ϕ) schon ausreichend und leichter

zu gewinnen. Dazu eliminieren wir die Zeit aus (1.4.19) mit Hilfe von (1.4.21)

und integrieren.

Invertierung liefert r(ϕ).

ϕ(r) − ϕ0 = ± L

µ

�r

r0

dr ′

r ′ 2

1


2

µ (E − Veff)

Beispiele: echter Komet, Rutherford-Streuung, Gravitation, Kepler.

Zu lösen:


dr

ϕ(r) = ±

r2 �

2µE 2µ

+

L2 L2 1


r r2 �−1/2 (1.4.23)

(1.4.24)

Wir vereinfachen durch die Wahl dimensionsloser Größen. Wir definieren r0 als

natürliche Längeneinheit bei festem Drehimpuls. Die dimensionslose Länge ϱ ist

damit als

ϱ = r

(1.4.25)

r0


KAPITEL 1. ANALYTISCHE MECHANIK 50

definiert. Die zugehörige natürliche Energieskala

E0 = α

r0

= µα2

L 2

ermöglicht die Einführung eines dimensionslosen Potentials

= −

E0

1 r0

+

ϱ α

= − 1 1 L

+

ϱ αr0

2


����

αr0/2

U(ϱ) = Veff(r)

L 2

2µr 2

(1.4.26)

r2 0 1

= −1 +

r2 ϱ 2ϱ2 . (1.4.27)

Beachten Sie, dass durch Verwendung natürlicher Einheiten das Potential universell

wird. Die Art der Dynamik hängt somit im wesentlich von der dimensionslosen

Gesamtenergie � E = E/E0 und dem Drehimpuls L ab, der sowohl in r0

als auch E0 eingeflossen ist.

Es ist die allgemeine Strategie für die theoretische Beschreibung physikalischer

Systeme, möglichst frei von unnötig spezifischen Skalen zu arbeiten. Daher trachtet

man in einem ersten Schritt danach, die Bestimmungsgleichungen möglichst

dimensionslos zu machen.



ϕ(ϱ) = ±

ϱ2 1


2 � E + 2 1 − ϱ ϱ2 (1.4.28)

Lösung des Integrals durch Substitution:

u = 1 −1

, du = dϱ

ϱ ϱ2 �

1

ϕ(u) = ∓ du�

2 � E + 2u − u2 Die Integraltabelle lehrt:


dx

√ =

ax2 + bx + c 1

� �

2ax + b

√ arccos √

−a b2 − 4ac

(1.4.29)

(1.4.30)

Hier gilt: a = −1, b = 2, c = 2 � E, b2 − 4ac = 4 + 8 � E, damit


ϕ(u) = �ϕ ∓ arccos

1 − u


1 + 2 � �


E

cos(ϕ − �ϕ) �E + 1 = 1 − u

1 r0

=

ϱ r = 1 + ε cos(ϕ − ϕ0) ϕ0 = �ϕ + π (1.4.31)


Die Größe ε = 1 + 2 � E gibt die sogenannte Exzentrizität eines Kegelschnitts

an.

(1.4.31) ist die allgemeine Gleichung eines Kegelschnitts. Vier Bahnformen sind

zu unterscheiden:


KAPITEL 1. ANALYTISCHE MECHANIK 51

1a) ε = 0 ⇒ r = const. ⇒ Kreis,

1b) 0 < ε < 1 ⇒ 1

r > 0 ⇒ Ellipse, � E < 0

2) ε = 1 ⇒ Parabel, � E = 0

3) ε > 1 ⇒ Hyperbel, � E > 0

Das Keplerproblem ist speziell: geschlossene Bahnen und keine Rosetten. Fakt ist,

nahezu alle Potentiale liefern keine geschlossenen Bahnen. Nur zwei Potentiale

haben typischerweise geschlossene Bahnen:

• −α · 1

r

⇒ zusätzliche Erhaltungsgröße Lenz-Runge-Vektor

• −αr 2 ⇒ harmonischer Oszillator, zusätzliche Erhaltungsgröße (r 2 = x 2 +

y 2 + z 2 ,

˙r 2 = ˙x 2 + ˙y 2 + ˙z 2 )

1.4.3 Lenz-Runge Vektor

Es gibt eine weitere Erhaltungsgröße bei einem 1/r Potential. Dazu betrachten

wir den Runge-Lenz Vektor

�A = �p × � L − µ α

�r . (1.4.32)

r


KAPITEL 1. ANALYTISCHE MECHANIK 52

Da

�L · � A = 0 (1.4.33)

gilt, muss der Runge-Lenz Vektor in der Bewegungsebene liegen. Dessen zeitliche

Änderung ist gegeben durch

d

dt � A = ˙ �p × � L + �p × ˙ L�

���� −µ d


α

dt r �r


(1.4.34)

Die Impulsänderung ist durch die äußere Kraft gegeben

Es gilt

Damit leiten wir her

=0

�˙p = − � ∇V (r) = α � ∇ 1

r

α

= −

r3�r . (1.4.35)

�a × ( � b × �c) = (�a · �c) � b − (�a · � b)�c (1.4.36)

˙�p × � L = − α

α

r3�r × (�r × �p) = −µ

r3 Die Ableitung des zweiten Terms ergibt

d


µα

dt r �r


=


1

µα

r ˙ �r − 1


˙r�r

r2 �

(�r ˙ �r)�r − r 2 �

�r) ˙

= µα 1

r3 �

r 2 �

�r ˙ − r ˙r�r

(1.4.37)

(1.4.38)

und wir erhalten damit für die zeitliche Änderung des Runge-Lenz Vektors

d

dt � A = −µ α

r3 �

(�r ˙ �

�r)�r − µ α

(−r ˙r�r)

r3 . (1.4.39)

Da aber

gilt, verschwindet die zeitliche Änderung

2�r ˙ �r = d

dt (�r2 ) = d

dt r2 = 2r ˙r (1.4.40)

d

dt � A = 0 (1.4.41)

d.h. der Runge-Lenz Vektor ist eine Erhaltungsgröße.

Aus dem Skalarprodukt zwischen � A und dem Ortskoordinate �r erhalten wir einen

einfachen Zusammenhang zwischen Radius �r und Winkel ϕ und dem Lenz-Vektor,

der in der Bewegungsebene liegt:

�r � A = rA cos ϕ = �r(�p × � L) − µ α

r

= � L (�r × �p)

� �� �

L

−µ α

r r2

�r · �r

����

r 2

= L 2 − µαr = L 2 − µαr0ϱ = L 2 (1 − ϱ)

ϱ A

cos ϕ = 1 − ϱ (1.4.42)

µα


KAPITEL 1. ANALYTISCHE MECHANIK 53

Nach r aufgelöst ergibt sich eine Ellipsengleichung

ϱ =

1

ϱ

wobei die Exzentrizität ε der Ellipse

1

1 + A cos ϕ µα

(1.4.43)

A

= 1 + cos ϕ = 1 + ε cos ϕ (1.4.44)

µα

ε = A

µα

(1.4.45)

proportional zum Betrag des Lenz’schen Vektors A ist. Der Lenz’sche Vektor

liegt damit (ϕ = 0) parallel zur großen Hauptachse und zeigt in Richtung des

Perihels.

Da

ε 2 = A2

µ 2 α 2

können wir die Exzentrizität über das Quadrieren des Lenz’schen Vektors

�A 2 =


�p × � L − µα

r �r

�2 = (�p × � L)(�p × � L) − 2 µα

r �r(�p × � L)

� �� �

= p 2 L 2 − 2 µαL2

r + µ2α 2

= L 2


p 2 − 2 µα


r

bestimmen. Aus der Gesamtenergie

+ µ 2 α 2

E = p2 α


2µ r

=L 2

+ µ2α2 r2

r2 gewinnen wir den benötigten Ausdruck für das Quadrat des Impulses

welcher in Gl. (1.4.47) eingesetzt

2µE = p 2 − 2µα

r

A 2 = 2µEL 2 + µ 2 α 2

ergibt. Damit erhalten wir für die Exzentrizität

(1.4.46)

(1.4.47)

(1.4.48)

(1.4.49)

(1.4.50)

ε 2 = 1 + 2L2 E

µα 2 = 1 + 2 � E (1.4.51)

Beachte, dass uns der Lenzvektor jegliche Integration erspart hat! Wir können

direkt die Bahnkurve gewinnen.


KAPITEL 1. ANALYTISCHE MECHANIK 54

1.5 Hamiltonsches Prinzip

In den vorangegangene Abschnitten haben wir gelernt, die Lagrange-Gleichungen

aus dem d’Alembertschen Prinzip über virtuelle Verrückungen herzuleiten, und

damit die Zwangskräfte in Folge von Nebenbedingungen zu eliminieren. Ziel der

folgenden Abschnitte ist die Ableitung der selben Gleichungen aus einem Variationsprinzip,

dem Hamiltonschen Prinzip der kleinsten Wirkung.

1.5.1 Variationsrechnung

1.5.1.1 Variation mit Nebenbedingungen

Ziel: Suche Extremum oder Sattelpunkt (allg. stationären Punkte) von

Ohne Nebenbedingungen:

⎛ ⎞

dx1

⎜dx2⎟

dx = ⎜ ⎟

⎝ ... ⎠

F (x1, x2, ..., xn) R n → R

0 ! =dF = ∂x1F dx1 + ∂x2F dx2 + ... + ∂xnF dxn

dxn

� �� �

∂F

∂x 1

(1.5.1)

0 =∇F dx, (1.5.2)

⎛ ⎞

∂x1F


∇F = ⎜ ∂x2F ⎟

⎝ ... ⎠

∂xnF

Da dx beliebig gewählt werden kann, folgt aus (1.5.2) ∇F = 0.

Mit Nebenbedingungen:

g(x1, x2, ..., xn) = 0 ⇒ dg ! = 0 = ∇g dx (1.5.3)

Also sind nur solche dx zulässig, die senkrecht auf dg stehen. Setzen wir allerdings

nur solche dx in (1.5.2) ein, so kann nicht ausgeschlossen werden, dass ∇F

parallel zu ∇g liegt, also setzen wir ∇F = λ ∇g statt ∇F = 0.

Das λ heißt Lagrange-Multiplikator. Zu lösen sind n Gleichungen ∇F = λ ∇g

und 0 = g(x1, x2, ..., xn) für die Variablen x1, x2, ..., xn und λ, so dass die Lösung

im Allgemeinen bestimmt ist.

Für mehrere Nebenbedingungen g1, g2, ..., gn gilt entsprechend:

dx ⊥ ∇g1, ∇g2, ..., ∇gn

∇F ∈ span{∇g1, ∇g2, ..., ∇gn}

∇F = λ1∇g1, λ2∇g2, ..., λn∇gn

(1.5.4)


KAPITEL 1. ANALYTISCHE MECHANIK 55

Häufig wird direkt variiert.

�F = F (x) =

k�

λjgj(x) (1.5.5)

∇ � F ist die Sattelpunktsbedingung. Der Wert von {λj} wird aus {gj(x) = 0}

bestimmt.

j=1

1.5.2 Lagrangegleichungen 1. Art

Vorteile:

- gelten auch bei nicht-holonomen Zwangsbedingungen

- berechnen die Zwangskräfte explizit

Nachteil:

- etwas umständlicher

Wir beginnen aus dem d’Alembertsprinzip mit

3N�


d ∂L

0 =


dt ∂ ˙qj

∂L


δqj

∂qj

j=1

(1.5.6)

Beachte: {qj} sind wegen Zwangsbedingungen nicht unabhängig, so dass die einzelnen

Klammern nicht verschwinden.

Ähnlich wie bei der Variation betrachten wir

mit

DL =

DL · δq = 0 (1.5.7)




d ∂L

dt ∂ ˙q1

.

− ∂L

∂q1

d ∂L ∂L − dt ∂ ˙q3N ∂q3N

Ohne Zwangsbedingung sind alle q zulässig, d.h. DL = 0.

Die Zwangsbedingungen erfordern (differentielle Form):

0 =

3N�

i=1




ajidqi + ajdt j ∈ {1...k} (1.5.8)

Für holonome Zwangsbedingungen kann geschrieben werden:

aji = ∂gj

; aj =

∂qi

∂gi

∂t

Virtuelle Verrückungen sind instantan, d.h. dt = 0. Es folgt

0 = a j · δq j ∈ {1...k}

(a j)i = aji Komponente des Vektors

(1.5.9)


KAPITEL 1. ANALYTISCHE MECHANIK 56

Wie bei Variation mit Nebenbedingungen

DL = λ1a 1 + λ2a 2 + ... + λka k

Lagrangegleichungen 1. Art

Hierbei sind λ die Lagrange-Multiplikatoren.

In Komponenten

d ∂L


dt ∂ ˙qi

∂L

k�

=

∂qi

j=1

λjaji = Zi

(1.5.10)

(1.5.11)

Gedankenexperiment:

Schalte die Zwangsbedingungen aus, dafür aber Zwangskräfte, die genau die selbe

Bewegung erzeugen, ein. Dies sind die Kräfte, die sonst als Zwangskräfte wirken.

Also tauchen sie als rechte Seite der Lagrange-Gleichungen auf! Mit

Zi =

k�

j=1

λjaji

(1.5.12)

haben wir mit den Lagrange-Gleichungen 1. Art die Zwangskräfte explizit berechnet.

Beachte die Unterschiede zu Lagrange-Gleichungen 2. Art:

2. Art: q1...qf, generalisierte Koordinaten frei wählbar

1. Art: q1...q3N, N Massenpunkte in 3 Dimensionen, noch den Zwangsbedingungen

zu unterwerfen.

Beispiel: Teilchen im Kreiskegel in Zylinderkoordinaten

Zwangsbedingung:

Nach Lagrange 1. Art:

∂g

∂z

= − tan α

r = z · tan α


tan α = r


z

g(z, r, ϕ) = r − z tan α = 0

∂g

∂r

= 1

∂g

∂ϕ

= 0

L = m

2 ( ˙z2 + ˙r 2 + (r ˙ϕ) 2 ) − mgz (1.5.13)

Zz = d ∂L ∂L

− = m(¨z + g) = −λ tan α

dt ∂ ˙z ∂z

(1.5.14)

Zr = d ∂L ∂L


dt ∂ ˙r ∂r = m(¨r − r ˙ϕ2 ) = λ · 1 (1.5.15)

Zϕ = d ∂L ∂L

− = m(2 ˙r ˙ϕ + r ¨ϕ) = λ · 0

dt ∂ ˙ϕ ∂ϕ

(1.5.16)


KAPITEL 1. ANALYTISCHE MECHANIK 57

Einsetzen der Zwangsbedingung ¨z = ¨r cot α.

Bewegungsgleichungen sind gegeben durch Glg.(1.5.16) und [Glg.(1.5.15) · tan α + Glg.(1.5.14)].

Der Betrag der Zwangskraft ist gegeben durch



� � �



Z�

= |λ| 1 + tan2 α = |λ|

. (1.5.17)

|cos α|

λ ergibt sich aus

Glg.(1.5.14) − Glg.(1.5.15) · cot α

= −λ(tan α + cot α)

= mg + mr ˙ϕ 2 cot α

λ(1 + tan 2 α) = −m(g tan α + r ˙ϕ)

pϕ = mr

����

erhalten!

2 ˙ϕ ⇒ ˙ϕ = p2ϕ mr2 λ = − cos 2 αm(g tan α + p2 ϕ

m 2 r 3

Damit ist die Zwangskraft als Funktion der Geometrie bekannt!

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aus dem Orginaldokument, Fehlerfreiheit kann nicht gewährleistet

werden

1.5.3 Variationsrechnung im Kontinuum

Betrachte Bahnen g(t) im f-dimensionalen Raum mit:

q(t1) = q 1

q(t2) = q 2

(1.5.18)

(1.5.19)

und ein Zielfunktional.

R ∋ S � q(t) � , die von der Bahn abhängt. Man nennt so etwas ein Funktional,

nicht eine Funktion, da es nicht von diskreten Werten, sondern von einer Funktion

abhängt.


KAPITEL 1. ANALYTISCHE MECHANIK 58

Konkret sei:

Nun variieren wir die Bahn

S � q(t) � = � t2

t1

bei festgelegtem Start- und Endpunkt

Wir bestimmen die führende Ordnung δS ∝ δq.

(Formal δq = ɛ − δ˜q(t) und dann Taylor in ɛ)

δS � q � = � t2

t1

L(q, ˙q, t) dt (1.5.20)

q ′ (t) = q(t) + δq(t) (1.5.21)

δq(t1) = 0 = δq(t2) (1.5.22)

= � t2

t1

� L(q ′ , ˙q ′ , t) − L(q, ˙q, t) � dt (1.5.23)


j

� ∂L

∂qj · δqj + ∂L

∂ ˙qj

Partielle Integration des zweiten Term liefert uns

� t2

t1

∂L

∂ ˙qj

· δ ˙qj dt = ∂L

∂ ˙qj

· δ ˙qj| t2

t1 −

� t2

t1

d

dt

· δ ˙qj


dt (1.5.24)

(1.5.25)

� �

∂L

δqj dt (1.5.26)

∂ ˙qj

wobei die Randterme wegen der festgehaltenen Start- und Endpunkte verschwinden.

Also gilt:

δS � q � = � t2

t1

� �

∂L

j ∂qj

− d

∂L

dt ∂ ˙qj


δqj dt (1.5.27)

Wenn wir nun fordern, dass δS = 0 für alle möglichen Variationen δq gilt, heißt

die Bahn q(t) ein stationärer Punkt.

Das ist genau dann der Fall, wenn die geschweifte Klammer in der obigen Gleichung

verschwindet, weil die δqj(t) beliebig gewählt werden können, bis auf:

Also gilt:

δqj(t1) = 0 = δ�qj(t2) (1.5.28)

δS = 0 ⇔ ∂L

∂qj

− d ∂L

= 0 (1.5.29)

dt ∂ ˙qj


KAPITEL 1. ANALYTISCHE MECHANIK 59

Soweit ist das eine rein mathematische Feststellung: die resultierenden Gleichungen

heißen Euler-Lagrangegleichungen.

1) Einfaches Beispiel:

Kürzeste Verbindung zweier Punkte in zwei Dimensionen

ds = � dx 2 + dy 2 ⇒ ds

dt = � ˙x 2 + ˙y 2 (1.5.30)

S [�r] =

� t2

t1

ds

dt

0 = d ˙x

dt

0 = d

dt

⇒ ˙x

r

dt =

� t2

t1

� ˙x 2 + ˙y 2 dt (1.5.31)

r mit r = � ˙x 2 + ˙y 2 (1.5.32)

˙y

r

= const ,

˙y

r

(1.5.33)

= const (1.5.34)

Eliminieren wir die Zeit, da wir an der Bahn interessiert sind, erhalten wir:

˙y

˙x

= dx

dy

= m = const (1.5.35)

Also ist die Steigung konstant und die Bahnkurve ist eine Gerade

2) Kettenlinie:


KAPITEL 1. ANALYTISCHE MECHANIK 60

Eine Kette der Länge l und der Masse m hängt zwischen zwei Halterungen bei x =

0 und x = x0 < l im Erdschwerefeld. Welche Form nimmt sie im Gleichgewicht

an?

Länge: l =

� l

mit: h ′

:= dh

dx

Potentielle Energie: E = mg

l

0

dl =

� l

0

� l √

� x0

dx2 + dh2 =

0

0

h · dl = mg

l

� x0

0

√ 1 + h 2 dx

h √ 1 + h 2 dx (1.5.36)

Wir wollen E bei gegebenen l minimieren. Das lösen wir durch einen Lagragemultiplikator

λ und variieren L [h] = E [h] − λl [h] was mit

λ = mg

l h0

L [h] =

so aussieht (1.5.37)

mg

� x0

(h − h0)

l x

√ 1 + h ′2 dx

↑ verschiebt nur die Höhe

(1.5.38)

Bevor uns blind in die Lösung der zugehörigen Euler-Lagrange-Gleichung stürzen,

lernen wir noch einen kleinen Trick für eindimensionale Probleme kennen. Wenn

= 0 gilt:

∂L

∂t

0 = ∂L

∂q

0 = ∂L ∂L

· ˙q + · ¨q

∂q ∂ ˙q

� �� �

d ∂L − | ˙q (1.5.39)

dt ∂ ˙q

d

d

L − dt dt

− ∂L

� �

d ∂L

¨q − ˙q

∂ ˙q dt ∂ ˙q


˙q ∂L


∂ ˙q

Also können wir folgende Integrationen schon ausführen und erhalten:

H := L − ˙q ∂L

∂ ˙q

(1.5.40)

(1.5.41)

= const (1.5.42)

Angewandt auf unser Problem mit q → h , t → x erhalten wir:


KAPITEL 1. ANALYTISCHE MECHANIK 61

α = (h − h0) √ 1 + h 2 − h ′

h ′


a + h ′2 (h − h0) (1.5.43)

- Wir setzen h0 = 0 , da das nur den Höhennullpunkt festlegt und erhalten:

� h

0

α =

h

√ 1 + h ′2

⇒ � h

hmin

⇒ h ′ �

� �

h 2

= ± − 1 (1.5.44)

α

⇒ ± dh �

( h

α) 2 −1

d ˜ h

� � ˜h

α

� 2

−1

= dx (1.5.45)

= ±(x − xmin) (1.5.46)

(1.5.47)

˜h = α cosh u d ˜ h = α sinh u du (1.5.48)

α dũ

sinh ũ

sinh ũ = ±(x − xmin) cosh 2 ũ − sinh 2 ũ = 1 (1.5.49)

= α (1.5.50)

⇒ u = ±(x − xmin)/α (1.5.51)

⇒ h(x) = α cosh((x − xmin)/α) (1.5.52)

Damit haben wir ein interessantes und lehrreiches Beispiel der Variationsrechnung

kennengelernt.

c) Hamilton’sches Prinzip

Nachdem wir die Euler-Lagrange-Gleichungen aus einem Variationsprinzip gewonnen

haben, ist es leicht, dass Hamilton’sche Prinzip stationärer Wirkung zu

formulieren.

Def.: Wirkung S � q � = � t2

L(q, ˙q, t) dt

t1

Die physikalisch angenommene Trajektorie q(t) ist diejenige, die die Wirkung

S � q � stationär macht, d.h. δS � q � = 0

1.5.4 Hamilton Gleichungen

Im Abschnitt 1.3.9 haben wir den generalisierten Impuls

pk = ∂L

∂ ˙qk

(1.5.53)


KAPITEL 1. ANALYTISCHE MECHANIK 62

eingeführt. Wir haben auch gesehen, dass der Impuls pk eine Erhaltungsgröße ist,

wenn qk zyklisch ist. Es wäre daher sicherlich hilfreich, wenn wir eine Formulierung

der Mechanik finden könnten, in der man die Variablen qk, pk anstelle von qk, ˙qk

verwendete.

Die Transformation, die die Lagrange-Funktion L(qk, ˙qk) in eine Funktion K(qk, pk)

überführen können, gehören zur Klasse der Legendre-Transformationen. In unserem

Falle werden wir K mit der Hamiltonfunktion identifizieren können.

Um das Grundprinzip zu verstehen, betrachten wir eine Funktion von einer Veränderlichen

f(x) für deren Ableitung

u = df

dx

(1.5.54)

df = udx (1.5.55)

wir eine neue Variable u eingeführt haben. Wir suchen eine neue Funktion g(u),

deren Ableitung nach u wiederum x ergibt, also

x = dg

du

(1.5.56)

dg = xdu . (1.5.57)

Das erscheint wie ein Umkehrung von u = ∂xf. Natürlich kann u nur eine Variable

sein wenn

d 2 f

dx 2 �= 0 (1.5.58)

d.h. die Funktion f muss im Definitionsintervall entweder konkav oder konvex

sein. Dann muss natürlich das Differential

sein und wir können nach dg

auflösen, woraus wir

d(ux) = udx + xdx = dg + df (1.5.59)

dg = d(ux) − df (1.5.60)

g = ux − f (1.5.61)

entnehmen können. Diese kann man auch auf Funktionen mit mehr als einer

Variablen erweitern.

Wir erkennen die Parallelen zu unserem Problem. Anstelle u = ∂xf haben wir

pk = ∂ ˙qk L. Da wir ˙qk eliminieren wollen, können wir das mit Hilfe der Legendre-

Transformierten der Lagrange-Funktion, der Hamilton-Funktion

H(qk, pk, t) = �

˙qkpk − L(qk, ˙qk, t) (1.5.62)

Das Differential von H lautet allgemein

k

k

dH = � ∂H

dqk +

∂qk

� ∂H

dpk +

∂pk

∂H

dt (1.5.63)

∂t

k


KAPITEL 1. ANALYTISCHE MECHANIK 63

aber wegen der Definition (1.5.62) auch

dH = �

˙qkdpk +

k


pkd ˙qk −

k

� ∂L

d ˙qk −

∂ ˙qk k

� �� �

=0

� ∂L

dqk −

∂qk k

∂L

∂t dt

= �

˙qkdpk − �

˙pkdqk − ∂L

dt

∂t

(1.5.64)

k

k

wobei wir die Definition des generalisierten Impuls und die Lagrange-Gleichungen

∂L

∂qk

= d ∂L

= ˙pk

dt ∂ ˙qk

(1.5.65)

verwendet haben. Daraus können wir die Hamiltonschen Gleichungen ablesen:

1.5.5 Poisson Klammern

˙qk = ∂H

∂pk

− ˙pk = ∂H

∂qk

− ∂L

∂t

=

∂H

∂t

(1.5.66)

(1.5.67)

(1.5.68)

Phasenraum: Raum, der durch die zeitliche veränderlichen Variablen aufgespannt

wird. In mechanischen System ist das durch die Kombination von generalisierter

Koordinate qk und Impulse pk gegeben, da das Produkt qkpk invariant

von der Koordinatenwahl immer die Dimension Wirkung [S] = [Es] besitzt.

Sei F (qk, pk, t) eine Observable von Interesse. Dann ist ihre Zeitentwicklung durch

df

dt =

f�


∂F

k=1

∂qk

˙qk + ∂F


˙pk +

∂pk

∂F

∂t

(1.5.69)

gegeben. Den Ausdruck schreiben wir mit Hilfe der Hamiltonschen Gleichungen

zu

df

dt =

f�


∂F ∂H


∂qk ∂pk

∂F


∂H

+

∂pk ∂qk

∂F

∂t

k=1

= {F, H} + ∂F

(1.5.70)

∂t

um.

Im letzten Schritt haben wir eine Abkürzung, die Poisson-Klammern, eingeführt.

Seinen F = F (qk, pk) und G = G(qk, pk) zwei dynamische Variablen. Dann sind

die Poisson-Klammern als

f�


∂F ∂G

{F, G} =


∂qk ∂pk

∂F


∂G

(1.5.71)

∂pk ∂qk

k=1


KAPITEL 1. ANALYTISCHE MECHANIK 64

definiert.

Offensichtlich gelten auch die folgenden einfachen Beziehungen (Übung)

Ebenfall können wir

und die Jakobi-Identität

ableiten.

Wir bemerken, dass

aber

Da

{F, G} = − {G, F } (1.5.72)

{F, F } = 0 (1.5.73)

{F, c} = 0; c = const. (1.5.74)

{F + H, G} = {F, G} + {H, G} (1.5.75)

{F, G · H} = {F, G} H + G {F, H} (1.5.76)

{F, {G, H}} + {G, {H, F }} + {H, {F, G}} = 0 (1.5.77)

{qi, qk} = 0 (1.5.78)

{pi, pk} = 0 (1.5.79)

{qi, pk} = δik (1.5.80)

{qk, G} = ∂G

∂pk

{pk, G} = − ∂G

∂qk

können wir auch die Hamiltonischen Gleichungen

(1.5.81)

(1.5.82)

˙qk = ∂H

= {qk, H}

∂pk

(1.5.83)

˙pk = − ∂H

= {pk, H}

∂pk

(1.5.84)

als Poisson-Klammern mit der Hamilton-Funktion ausdrücken.

Beispiele:

(a) zeitunabhängige H

⇒ Energieerhaltung

dH

dt

= {H, H} = 0 (1.5.85)


KAPITEL 1. ANALYTISCHE MECHANIK 65

(b) Impulserhaltung

d�p

dt

= {�p, H} = 0 (1.5.86)

(c) Kepler-Problem, H = p 2 /(2m) − α/r Lenzsche Vektor

�l = �p × L� α

− m

r �r

d�l dt =

� �

�l, H = 0 (1.5.87)

Diese Eigenschaft wird in der Quantenmechnik einmal sehr wichtig werden, da

man dort im Zuge des Korrespondenzprinzips die Poisson-Klammern zwischen

Funktion durch Kommutatoren zwischen Operatoren ersetzten wird.

Erster Punkt bei kanonischen Trafo

Zur Motivation erhaltender Transfomrationen

Normales Skalarprodukt v ∋ R n u ∋ R n


< u|v > = u T ⎜

v = (u1, u1, . . . , un) ⎜


v1

v2

.

vn




(1.5.88)

Lineare Transformation: v → v ′ − 0 v (1.5.89)

ist erhaltend genau dann, wenn ∀u, v gilt

↑ Matrix

u T v = u ′T v = (0 u) T 0 v = u T 0 T 0 v (1.5.90)

⇔ 0 = u T (� − 0 T 0 )v (1.5.91)

⇔ 0 T 0 = � (1.5.92)

Damit finden wir, dass die othogonalen Matrizen das Skalarprodukt invariant

lassen. Anschaulich sind das Drehungen und Spiegelungen, die die Winkel unverändert

lassen.

Für allgemeine Skalarprodukte gilt analog:

(u|v) = u T M v, wobei M = M T > 0 (1.5.93)

gelten soll, so dass es sich bei (u|v) um ein Skalarprodukt handelt. Die Transformation

T : v → v ′ = T v bewirkt:


KAPITEL 1. ANALYTISCHE MECHANIK 66

(u ′ |v ′ ) = u ′ | T M v ′ = (T u) T M T v (1.5.94)

= u T T M T v ! = (u|v) = u T M v (1.5.95)

Wir sehen: Das Skalarprodukt bleibt invariant unter der Transformation T genau

dann wenn

T T M T = M (1.5.96)

gilt. Diese Gleichung ist eine Anforderung T , wenn es das vom M definierte

Skalarprodukt unverändert lassen soll.

Nun wollen wir diese Überlegung auf kanonische Transformationen übertragen.

Dabei haben wir es nicht nur mit einer konstanten Matrizen zu tun, da die Transformationen

nicht linear sind im Allgemeinen. Aber die Ableitungen stellen eine

lineare Abbildung dar.

1.5.6 Kanonische Transformation

Ganz pragmatisch ist für uns eine kanonische Transformation, was die Hamiltongleichung

erhält

˙qi = ∂H

∂pi

˙pi = − ∂H

∂qi

(q, p) → (Q, P ) (1.5.97)


˙ Qi = ∂H

∂Pi

Pi

˙ = − ∂H

∂Qi

(1.5.98)

Um das möglichst kompakt schreiben zu können, definieren wir � X = (q1, . . . , qn, p1, . . . , pn) T

einen 2n-dimensionalen Vektor und � ∇x ist der dazugehörige Gradient, d.h.

�∇x =




Damit werden die Hamiltongleichungen zu:


∂q1


∂q2

.


∂qn


∂p1

.


∂qn




(1.5.99)

d

dt � X = M ( � ∇xH) (x) (1.5.100)


KAPITEL 1. ANALYTISCHE MECHANIK 67

mit

M =



0 1

−1

����

Dim

0

����

Dim


⎠ }f-Dim

}f-Dim

(1.5.101)

wobei 0 und 1 n × n Matrizen sind. 0 enthält nur Nullen, 1 ist die Identität

Genau das, was (x) erhält, ist kanonisch. Was aber bedeutet das?

1.5.7 Ableitungen mehrdimensionaler Funktionen

a) R → R f(y) : R → R

Nun eine Verkettung: y = g(x) : R → R

b)

⇒ ∂y(g −1 ) = 1

∂xg

df = (∂yf) · dy (1.5.102)

h = f ◦ g , d.h. h(x) = f(g(x)) (1.5.103)

dh = (∂yf)dg = (∂yf) · ∂xdx (1.5.104)

Speziell: f = g −1 ⇒ h = g −1 ◦ g = Id. (1.5.105)

f(�y) : R d → R df =

= ( � ∇yf) T

c) �g(�x) : R d → R d �y = �g(�x)

⇒ dh = dx = (∂yg −1 )(∂xg)dx (1.5.106)

Häufig auch: dg

dx =

� �−1 dx

(1.5.107)

dg

d�

(∂yj )dyj = � ∇yf · d�y (1.5.108)

j=1

d�y = (∂y1 . . . ∂yd )

⎛ ⎞

dy1

⎜ ⎟

⎝ . ⎠ (1.5.109)

dyd

↑ Matrixmultiplikation

(1 × d) mal (d × 1)

- Wir betrachten zuerst gi und haben mit b)

Als Matrixgleichung:

dgi =

d�

(∂xjgi)dxj =

j=1

d�

(J g)ijdxj

j=1

(1.5.110)


KAPITEL 1. ANALYTISCHE MECHANIK 68

J g: Jacobimatrix d�g = J gd�x (J g)ij = ∂gi

∂xj

- Nun betrachten wir die Verkettung mit f : R d → R

Struktur:

df(�g(�x)) = � ∇yf · d�g = ( � ∇f) T J gd�x (1.5.111)


( ) ⎝

Vergleich mit df = ( � ∇xf) T d�x liefert:

⎞ ⎛

⎠ ⎝



(1 × d) (d × d) (d × 1) = (1 × 1)

�∇xf = J T g � ∇yf (1.5.112)

d� ∂gi

(∂yif) · dxj

∂xj

i,j=1

- Nun betrachten wir die Verkettung:

� h : R d → R d , � F ˙ R d → R d

Wie sieht J r als Funktion von J h und J g aus?

∂ri

∂xj

=

d� ∂hi ∂gl

l=1

∂gl ∂xj

(1.5.113)

(1.5.114)

�r = � h ◦ �g (1.5.115)

⇔ J r = J h · J g

- Speziell: h = (g −1 ) ⇒ �r ist die Identität ⇒ J r = 1

1 = J (g−1 ) · J g ⇒ J (g−1 ) = � �−1 J g

Die Jacobimatrix der Umkehrfunktion ist die Inverse der Jacomatrix.

(1.5.116)

(1.5.117)


KAPITEL 1. ANALYTISCHE MECHANIK 69

1.5.8 Kriterium für Kanonizität

Wir betrachen � X =

� q

p


mit d

dt � X = M ( � ∇xH)

M =

� 0 1

−1 0

Die Transformation ist � Y = �g( � X)

Behauptung: Die Transformation ist genau dann kanonisch, wenn für alle � X gilt:

Beweis:


J gM J T g = M (1.5.118)

d

dt � �

d

Y = J g

� �

X

= J M

dt

� ∇X� H

� �� �

J T g � ∇yH

(1.5.119)

= J gM J T g � ∇yH (1.5.120)

!

= M (1.5.121)

Damit haben wir kanonische Transformationen, die sich auf dasselbe H beziehen,

charakterisiert. Der Erhaltung der Matrix M im Phsaenraum wird auch die

symplektrische Struktur des Phasenraums genannt.

� �

q

Beispiel: n = 1 ⇒ d = 2n = 2X =

p

g(x) →

Frage: Wann ist g kanonisch?

J gM J T q =

� 0 α

β 0

J g =


∂g1

∂q

∂g2

∂q

� � 0 1

−1 0

Notwendig und hinreichend ist also

� 0 −αβ

αβ 0


=

� αq

βp

∂g1

∂p

∂g2

∂p


, α, β ∈ R (1.5.122)


� � 0 β

α 0

=

� 0 1

−1 0

� 0 α

β 0


=


� 0 α

β 0

Also α = 1, β = −1 oder α = − 1,

β = 2, usw.

2

Beachte, dass wir die Rolle von q und p vertauschen können!

� � α 0

0 −β


=

(1.5.123)

� 0 −αβ

αβ 0


⇔ αβ = −1 (1.5.124)


KAPITEL 1. ANALYTISCHE MECHANIK 70

1.5.9 Satz von Liouville

Lemma: Bei einer kanonischen Transformation bleibt das Phasenraumvolumen

konstant.

Beweis: Es reicht infinitesimal zu zeigen, dass

|V2| = |V1| mit V2 = �g(V1) (1.5.125)

dq1 . . . dqndp1 . . . dpn = dQ1 . . . dQndP1 . . . dPn

gilt. Aus der Substitutionsregel wissen wir jedoch


� det(J g) � � dq1 . . . dqndp1 . . . dpn = dQ1 . . . dQndP1 . . . dPn


q

mit g

p


=

� Q

P


(1.5.126)

(1.5.127)

(1.5.128)

Wir müssen also die Determinante der Jacobimatrix kennen! Aus J gM J T q folgt:

detJ q · detM det J T g = detM �= 0 (1.5.129)

⇒ 1 = detJ 2 q da detJ g = detJ T g (1.5.130)

⇒ detJg = 1 q.e.d (1.5.131)

Satz von Liouville:

Die zetiliche Entwicklung eines Phasenraumvolumens unter den Hamilton’schen

Bewegungsgleichungen ist so, dass das Phasenraumvolumen konstant bleibt.

Der Beweis ist nach unserer Vorarbeit einfach. Wir betrachen die Transformation:


q

�gt0..

p


|t=0 →

� q

p


|t=t0 Für: ∂H

∂t

= 0 (1.5.132)


KAPITEL 1. ANALYTISCHE MECHANIK 71

Die Transformation propagiert das System in der Zeit.

Die Trafo ist kanonisch, da die Hamilton’schen Bewegungsgleichungen zu jedem

Zeitpunkt gelten - auch für t = t0.

Daher folgt der Satz aus dem Lemma.

Bemerkung:

• Es gibt kein Äquivalent des Liouvillesatzes im Konfigurationsraum, was die

besondere Rolle des Phasenraums unterstricht.

Auf ihm kann später die statistische Physik aufgebaut werden

• Die Form des Phasenvolumens kann sich sehr stark verändern.

1.5.10 Erzeugende von kanonischen Transformationen

Neben der differentiellen Charakterisierung kanonischer Transformationen wollen

wir eine Integrale angeben. Wir starten vom Hamilton’schen Prinzip stationärer

Wirkung. (Stationär = minimal, maximal und Sattelpunkte)

� t2

0 = δ

t1

� t2

L dt = δ

(Erinnerung: H = � n

i=1 (pi ˙qi − L)

(1.5.133) muss äquivalent sein zu

� t2

0 = δ

t1

t1

n�

(pi ˙qi) − H(q, p, t) dt (1.5.133)

i=1

n�

(Pi ˙ Qi) − K(Q, P, t) dt (1.5.134)

i=1

Diese Äquivalenz ist gewährleistet, wenn gilt (hinreichende Bedingung): c ∈ R

Bemerkung:

Da nicht fest liegt, wie K und H zusammenhängen, gibt es mehr solche Trafos;

z.B. q ↔ p und K = −H

� n�

i=1

(pi ˙qi)


− H = c

� �� �

A

�� n�

i=1

(Pi ˙ Qi)


− K


� �� �

B

+ d

F (q, p, Q, P, t) (1.5.135)

dt


KAPITEL 1. ANALYTISCHE MECHANIK 72

Diese Bedingung ist hinreichend, da:

δ

� t2

t1

(A − cB = dt = δ

� t2

da die Endpunkte nicht variert werden.

t1

d

dt F dt = δ(F (t2) − F (t1)) = 0 (1.5.136)

Wir werden sehen, dass wir die kanonische Trafo durch F charakterisieren können.

Wir wollen der Einfachheit halber die kanonischen Trafos etwas einschränken,

nämlich auf c = 1. Diese Trafos heißen kanonisch im engeren Sinne.

Mittels einer einfachen Zusatztransformation, kann jede kanonische Transformation

im weiteren Sinne zu einer im engeren Sinne gemacht werden.

Also betrachten wir:

Qi → ˜ Qi = cQi Pi → ˜ Pi = Pi (1.5.137)

K → ˜ K = cK(c −1 ˜ Q, ˜ P , t) (1.5.138)


n�

� ��

n�

d

F (q, p, Q, P, t) = (pi ˙qi) − H − (Pi

dt

i=1

i=1

˙ � �

Qi) − K

(⋆)(1.5.139)

In F stehen 4n Variablen (plus die Zeit): q, p, Q, P

Da aber die neuen und die alten Phasenraumvariablen durch 2n Transformationsgleichungen

verknüpft sind, kann F neben t nur 2n unabhängige Größen

enthalten.

Im Wesentlichen, d.h. bis auf Mischformen, sind das:

F1(q, Q, t) F2(q, P, t) F3(p, Q, t) F4(p, P ) F5(q, p, t) F6(Q, P, t)

F5 und F6 sind nicht wichtig, da sie die Transformation nicht eindeutig beschreiben.

F1 bis F4 heißen Erzeugende der kanonischen Transformation, die sie sie eindeutig

festlegen.

Wir betrachten das exemplarisch für F1 und F2. Beachte, dass deren Argumente

nun als unabhängig betrachtet werden.

(F1 kann daher keine Punkttransformation beschreiben)

Erzeugende F1

Es gilt:

dF1

dt =

Damit wird (1.5.133) zu:


n�


pi ˙qi − H =

i=1

n�


∂F1

i=1

∂qi

˙qi + ∂F1

∂Qi

n�


Pi ˙ Qi + ∂F1

∂qi

i=1

˙Qi


˙qi + ∂F1

∂Qi

+ ∂F1

∂t

˙Qi


− K + ∂F1

∂t

(1.5.140)

(1.5.141)


KAPITEL 1. ANALYTISCHE MECHANIK 73

Wegen der Unabhängigkeit der q und der Q sind auch ˙q und ˙ Q unabhängig. Daher

ist die obige Gleichung genau dann erfüllt, wenn gilt:

pi = ∂F1

(q, Q, t) (1.5.142)

∂qi

Pi = − ∂F1

(q, Q, t) (1.5.143)

∂Qi

und K = H + ∂F1

∂t

F1 legt die Transformation fest:

Löse pi = ∂F1 (q, Q, t) nach Q auf ⇒ Q(q, p, t)

∂qi

(q, Q(q, p), t) den fehlenden Teil.

Damit ergibt Pi = − ∂F1

∂Qi

Beispiel:

F1(q, Q) = − Q

q

⇒ p = ∂F1

∂q

P = − ∂F1

∂Q

Q

= ⇒ Q = pq2

q2 = 1

q

⇒ P = 1

q

(1.5.144)

(1.5.145)

(1.5.146)

(1.5.147)

Umgekehrt ergibt sich F1(q, Q, t) eindeutig aus den Transformationsgleichungen.

Die Transformationsgleichungen legen pi(q, Q, t) und P (q, Q, t) fest und somit die

partiellen Ableitungen von F1 nach qi und Qi. Somit ist F1 bis auf eine (belanglose)

additive Funktion g(t) festgelegt.

Beispiel:

Betrachte Q = ln p P = −qp , q, p > 0 (1.5.148)

1. Schritt e Q = p = ∂F1

∂q

(1.5.149)

Integration qe Q = F1 + q(Q, t) (1.5.150)

∂F1

= −P (q, Q) = qeQ

∂Q

(1.5.151)

Integration F1(q, Q) = qe Q + ˜g(q, t) (1.5.152)

Vergleich zeigt F1(q, Q) = qe Q + g(t) (1.5.153)

Bemerkung: Der Nutzen der Erzeugenden ist, das sie über ihre partiellen Ableitungen

2n Gleichungen enthält und in diesem Sinne sehr ökonomisch ist.

Erzeugende F2

Nun betrachten wir qi und Pi als unabhängig und setzen an


KAPITEL 1. ANALYTISCHE MECHANIK 74

n� �

i=1

pi ˙qi − Pi ˙ Qi

Mit Qi = Qi(q, P, t) ergibt sich:

n�


n�


∂Qi

i=1

pi ˙qi − Pi

j=1

∂qj


− H + K = d

dt ˜ F2(q, P, t) (1.5.154)

˙qj + ∂Qi

∂Pj

=

˙

Pj

n�

i=1

� �

∂Qi

− Pi

∂t


∂ ˜ F2

˙qi +

∂qi

∂ ˜ F2

∂Pi

− H + K = (1.5.155)

˙

Pi


+ ∂ ˜ F2

∂t

Der Koeffizentenvergleich der ˙qi und ˙

Pi ergibt die 2n Gleichungen

und der Rest

pi =

0 =

n�


j=1

n�


j=1

K = H +

Pj

Pj

n�


i=1


∂Qj

∂qi


∂Qj

∂Pi

Pi

+ ∂ ˜ F2

∂qi

+ ∂ ˜ F2

∂Pi


∂Qi

+

∂t

∂ ˜ F2

∂t

= ∂


˜F2 +

∂qi

= ∂

∂Pi


˜F2 +

n�

j=1

n�

j=1



= ˜F2 +

∂t

Offensichtlich ist die erzeugende nicht ˜ F2 sondern

F2(q, P, t) = ˜ F2(q, P, t) +

PJQJ

PJQJ

n�

j=1



PJQJ

(1.5.156)

(1.5.157)

− Qi (1.5.158)


+ H(1.5.159)

n�

PjQj(q, P, t) (1.5.160)

j=1

Dann gilt: pi = ∂ ˜ F2

∂qi

Qi = ∂ ˜ F2

∂Pi

K = H + ∂ ˜ F2

∂t

(1.5.161)

(1.5.162)

(1.5.163)

Dies sind Gleichungen analogen Typs wie für F1, weshalb wir auf Beispiele verzichten.

Der Zusammenhang zwischen F1 und F2 ist konkret folgender:

n� �

i=1

pi ˙qi − P1 ˙ Qi


− H + K = d

dt F1(q, Q, t) (1.5.164)

= d

dt ˜ F2(q, P, t) (1.5.165)


KAPITEL 1. ANALYTISCHE MECHANIK 75

⇒ F1(q, Q, t) = ˜ F2(q, P, t) bis auf eine unwichtige Konstante, die wir 0 setzen

n�

⇒ F1 = F2 −

(1.5.166)

Wegen

i=1

∂F1

∂Qj

PiQi

= −Pj ist F2(q, P , t) = F1(q, Q, t) −

n� ∂F1

die Legendretransformierte von F1. Analog verhält es sich mit F3 und F4. Ohne

Ableitung stellen wir die Ergebnisse zusammen:

F1(q, Q, t) pj = ∂F1

∂qj

F2(q, P , t) pj = ∂F2

∂qj

F3(p, Q, t) qj = − ∂F3

∂pj

F4(p, P , t) qj = − ∂F4

∂pj

Pj = − ∂F1

∂Qj

Qj = ∂F2

∂Pj

Pj = − ∂F3

∂Qj

Qj = ∂F4

∂Pj

Beispiel: Alle Punkttransformationen sind kanonisch

Die F2-Erzeugende lautet:

j=1

K = H + ∂F1

∂t

K = H + ∂F2

∂t

K = H + ∂F3

∂t

K = H + ∂F4

∂t

∂Qj

Qi(q, t) = fi(q, t) i = 1, ..., n (1.5.167)

F2(q, P , t) =

⇒ pi = ∂F2

∂qi

Damit ist die Trafo vollständig.

f�

fj(q, t)Pj

j=1

Qj

(1.5.168)

Pj = J T

p (1.5.169)

f

⇒ p = (J f ) −1 p (1.5.170)

Bemerkung: Allgemeine kanonische Transformationen sind häufig unanschaulich,

was aber nicht für die Punkttransformationen gilt.

Beispiel: Austausch q ⇔ −p

H0 = 1

2 (q2 + p 2 ) unverändert

H0 = 1

2 (p2 + αq) kann durch Austausch

K = 1

2 (−αp + q2 ) einfach werden


KAPITEL 1. ANALYTISCHE MECHANIK 76

1.5.11 Störungstheorie mit kanonischen Transformationen

Wir betrachten einen dimensionslosen harmonischen Oszillator

H0 = 1

2 p2 + 1

2 q2

(1.5.171)

Das ungestörte System ist einfach lösbar. Betrachten wir nun eine Störung HS =

g

4 q4

H = H0 + HS = 1

2 p2 + 1

2 q2 + g

4 q4

(1.5.172)

mit der ungestörten Frequenz ω0 = 1 und dem Entwicklungsparameter |g| ≪ 1.

Die Hamiltonschen Bewegungsgleichungen lauten

˙q = ∂H

= p

∂p

(1.5.173)

˙p = − ∂H

= −q − gq3

∂q

. (1.5.174)

Für kleine g entwickeln wir die Lösung in Potenzen des Entwicklungsparameters

g,

q(t) = q0(t) + gq1(t) + O(g 2 )

p(t) = p0(t) + gp1(t) + O(g 2 ) (1.5.175)

Diesen Lösungsansatz setzten wir in die Bewegungsgleichungen ein,

˙q0 + g ˙q1 = p0 + gp1 (1.5.176)

˙p0 + g ˙p1 = −q0 − gq1 − gq 3 0 + O(g 2 ) (1.5.177)

und sortieren nach Potenzen der Kopplungskonstante g. Wir erhalten

˙q0 = p0 (1.5.178)

˙q1 = p1 (1.5.179)

˙p0 + q0 = 0 (1.5.180)

˙p1 + q1 = −q 3 0 (1.5.181)

Also hängen p0 und q0 nicht von g ab. Die Gleichungen für q0 und p0 führt auf die

normale Schwingungsgleichung für den harmonischen Oszillator (mögliche Phase

auf null gesetzt)

und erhalten für q1

˙q0 = p0 , ˙p0 = −q0

⇒ ¨q0 + q0 = 0

⇒ q0(t) = a cos(t) (1.5.182)

˙q1 = p1 ⇒ ¨q1 = ˙p1

˙p1 = −q1 − q 3 0 (1.5.183)

¨q1 + q1 = −a 3 cos 3 (t) (1.5.184)


KAPITEL 1. ANALYTISCHE MECHANIK 77

Wir schreiben jetzt cos 3 t zu

cos 3 t = 1

(cos(3t) + 3 cos t) (1.5.185)

4

und suchen somit eine Lösung für die Differentialgleichung

¨q1 + q1 = − a3

4

Durch Differenzieren kann man zeigen, dass

q1(t) = a3

32

(cos(3t) + 3 cos t) (1.5.186)

3a3

(cos(3t) − cos t) − t · sin t (1.5.187)

8

die gesuchte Lösung ist. Dieses Ergebnis ist unbefriedigend, da der letzte Term

mit t divergiert! Terme vom Typ g · t · sin t nennt man auch säkulare Terme; sie

zeigen das Versagen einfacher Störungstheorien auf.

Geschickter ist es, zuerst eine kanonische Transformation durchzuführen, die

durch die Erzeugende

F3(p, Q) = −pQ + g � c1Qp 3 + c2Q 3 p �

(1.5.188)

mit den noch zu bestimmenden Konstanten c1 und c2. Die Transformation erhält

man durch

woraus wir die Quadrate bestimmen

q = − ∂F3

∂p = Q − g � 3c1Qp 2 + c2Q 3�

P = − ∂F3

∂Q = p − g � c1p 3 + 3c2Q 2 p �

q 2 = Q 2 − 2Qg � 3c1Qp 2 + c2Q 3� + O(g 2 )

(1.5.189)

(1.5.190)

P 2 = p 2 − 2gp � c1p 3 + 3c2Q 2 p � + O(g 2 ) (1.5.191)

Jetzt drücken wir die ursprünglichen Hamilton Funktion durch die neuen Koordinaten

aus

1 � 2 2

p + q

2

� + g

4 q4 = 1 � 2 2

P + Q

2



+g P � c1P 3 + 3c2Q 2 P � − Q � 3c1QP 2 + c2Q 3� + 1

4 Q4



= H0 + g c1P 4 + 3(c2 − c1)Q 2 p 2 + ( 1


4

− c2)Q + O(g

4 2 )

mit H0 definiert als

+ O(g 2 )

= H0 + gαH 2 0 + O(g 2 ) (1.5.192)

H0 = 1 � 2 2

P + Q

2


. (1.5.193)


KAPITEL 1. ANALYTISCHE MECHANIK 78

Wir suchen eine transformierte Hamilton Funktion H der Form

H = H0 + gαH 2 0 (1.5.194)

Um die Werte der Konstanten c1, c2 und α eindeutig festzulegen, benötigen wir

H 2 0 = 1 � 4 2 2 4

P + 2P Q + Q

4


Durch Koeffizientenvergleich ergeben sich die Beziehungen

für die wir leicht die Lösungen

(1.5.195)

c1 = 1

α (1.5.196)

4

3(c2 − c1) = 2

α (1.5.197)

4

1

4 − c2 = 1

α (1.5.198)

4

α = 3

8

c1 = 3

32

c2 = 5

32

bestimmen können.

Wir haben die Hamilton Funktion also auf die Form

gebracht. H0 ist eine Erhaltungsgröße

(1.5.199)

(1.5.200)

(1.5.201)

H(Q, P ) = H0 + gαH 2 0 + O(g 2 ) (1.5.202)

{H0, H} ! = 0

{H0, H0} = 0

{H0, H 2 0} = {H0, H0}H0 + H0{H0, H0} = 0 (1.5.203)

die wir auf E0 setzen. Die Bewegungsgleichungen lauten

˙Q = ∂H

∂P

P ˙ = − ∂H

∂Q

= ∂H0

∂P

= ∂H0

∂Q

∂H0

+ 2gαH0

∂P = (1 + 2gαH0)P (1.5.204)

∂H0

+ 2gαH0

∂Q = (1 + 2gαH0)(−Q) (1.5.205)

¨Q = (1 + 2gE0) ˙

P (1.5.206)

¨Q = (1 + 2gE0)(− ˙ Q) (1.5.207)

0 = Q + (1 + 2gE0) ˙ Q (1.5.208)

¨Q + ω ′2 Q = 0 (1.5.209)


KAPITEL 1. ANALYTISCHE MECHANIK 79

mit der Lösung

Q(t) = b cos(ω ′ t + ϕ) (1.5.210)

P (t) = −b sin(ω ′ t + ϕ) (1.5.211)

ω ′ = (1 + 2gE0) (1.5.212)

Wir können jetzt die Lösung einfach durch die Rücktransformation (1.5.189) mit

ϕ = 0

q(t) = b cos(ω ′ t + ϕ) − gb 3


9

32 cos(ω′ t + β) sin 2 (ω ′ t + β) + 5

32 cos3 (ω ′ �

t + β)

gewinnen, in der wir b = √ 2E0 ersetzt haben.

Wir bemerken, das die säkularen Terme eliminiert worden sind. Die Physik wird

auch offensichtlich: der zusätzliche Potentialterm führt zu einer Verschiebung der

Oszillatorfrequenz

ω0 = 1 → ω ′ = 1 + 2gE0 (1.5.213)

welche von der Energie E0 abhängt. Diese nicht-linearen Effekte werden durch

die ursprünglichen Lösung nicht beschrieben. Wenn wir jedoch den cos und den

sin nach g entwicklen, entstehen auch Terme proportional zu t. Wir erkennen,

dass es bei störungstheoretischen Zugängen nicht genügt, nur die führenden Ordnungen

zu betrachten. Manchmal muss man eine ganze Klasse von Beiträgen

aufsummieren, um eine physikalisch sinnvolle Lösung zu erhalten.

Wir fassen zusammen:

• Durch die kanonische Transformation erhalten wir eine Hamilton-Funktion,

die mit H0 noch eine weitere Konstante der Bewegung besitzt. Damit reduziert

sich die Dynamik im Raum der transformierten Koordinaten zu einer

einfachen Dynamik eines harmonischen Oszillators.

• Durch die kanonische Transformation werden die säkularen Terme eliminiert:

die Amplitude q(t) bleibt beschränkt.

• Wir erhalten eine renormierte Oszillatorfrequenz ω ′ = 1 + 2gαE0, die von

E0 und damit von der Amplitude abhängt: je größer die Amplitude, desto

größer die Frequenz. Das stimmt mit unsere physikalischen Erwartung

überein, dass für größere Amplituden der q 4 des Potentials stärker zum

Tragen kommt.

• Die erste störungstheoretische Lösung gewinnt man, wenn man die Terme

cos((1 + 2αgE0)t) linear in g entwicklet. Dadurch entstehen wieder die

säkularen Terme. Das zeigt uns, dass die erst Lösung nur für kleine Zeiten

2gαE0t ≪ 1 Gültigkeit besitzt.


KAPITEL 1. ANALYTISCHE MECHANIK 80

1.5.12 Infinitesimale kanonische Transformationen

Wir betrachten Transformationen, die die alten Koordinaten qk, pk auf neue Koordinaten

Qk, Pk durch eine infinitesimale Verschiebungen abbilden

Qk = qk + δqk (1.5.214)

Pk = pk + δpk (1.5.215)

wobei δq, δp reale Verschiebungen sind. Diese können wir durch eine kanonische

Transformation vom Typ

F2(qk, Pk) = �

qkPk + δεG(qk, Pk) (1.5.216)

mit einem infinitesimalen δε erzeugen. Es gilt dafür

∂F2

∂qk

∂F2

∂Pk

k

∂G

= pk = Pk + δε

∂qk

∂G

= Qk = qk + δε

∂Pk

Daraus erhalten wir die infinitesimalen Verschiebungen

δpk =

∂G(q, P )

Pk − pk = −δε

∂qk

δqk =

∂G(q, P )

Qk − qk = δε

∂Pk

∂G(q, p)

≈ δε

∂pk

. (1.5.217)

(1.5.218)

Im letzten Schritt haben wir ausgenutzt, dass sich Pk und pk nur um einen infinitesimalen

Beitrag unterscheiden. Wir können daher in O(δε) die Erzeugende

G(q, P ) genauso gut als eine Funktion von pk und qk auffassen.

Beispiel: Verschiebung in der Zeit

Die Änderung der Koordinaten werden dann durch ihre Ableitungen mal dt erzeugt,

also

∂qk = ˙qkdt = ∂H

dt

∂pk

(1.5.219)

∂pk = ˙pkdt = − ∂H

dt

∂qk

(1.5.220)

Wir können sofort die Erzeugende dieser infinitesimalen Transformation in der

Zeit identifizieren, denn es gilt

G(q, p) = H(q, p) . (1.5.221)

Die Hamilton-Funktion generiert also eine infinitesimale Verrückung in der Zeit.


KAPITEL 1. ANALYTISCHE MECHANIK 81

Allgemein: G(q, p) heißt infinitesimaler Generator einer Transformation. Im Beispiel

ist H der infinitesimale Generator der Zeitentwicklung. Wie ändert sich eine

allgemeine Funktion u(q, p) unter der Trafo generiert durch G(q,p)?

Bemerkung:

δu = u(q + δq, p + δp) − u(q, p)

=

f�


∂u

δqj +

∂qj

j=1

∂u


δpj

∂pj

=

f�


∂u ∂G

δε


∂qj ∂pj

∂u


∂G

∂pj ∂qj

j=1

= δε {u, G} (1.5.222)

• Die Poisson-Klammern können damit infinitesimalen Veränderungen von

Funktionen als Folge infinitesimaler Trafos beschreiben.

• Diese Verschiebungen werden durch die Erzeugende G generiert.

• Dabei ist H(qk, pk) z.B die Erzeugende für eine Verschiebungen in der Zeit.

Betrachten wir jetzt eine beliebige Erzeugende G und als Funktion u die Hamilton-

Funktion. Die Änderung der Hamilton-Funktion ist damit durch

δH = ε {H, G} (1.5.223)

gegeben. Wir wissen bereits, dass jede Konstante der Bewegung O, z.B Gesamtimpuls,

Drehimpuls, etc gilt

Damit folgt sofort:

{H, O} = 0 (1.5.224)

Konstanten der Bewegung sind Generatoren (Erzeugende)

derjenigen infinitesimalen kanonischen Transformationen,

die die Hamilton-Funktion invariant lassen.

Impulserhaltung:

Sei qj eine zyklische Variable in H. Dann ist H invariant unter der Verschiebung

δqk = εδk,j,

δpk = 0 (1.5.225)

welche durch die Transformation G(qk, pk) = pj erzeugt wird. G ist natürlich der

zu qj konjugierte Impuls, der eine Erhaltungsgröße ist, wenn qj zyklisch ist.

Drehimpuls:


KAPITEL 1. ANALYTISCHE MECHANIK 82

Drehung um die Achse �n um den Winkel ε = dθ. oBdA: �n = ez

G(qk, pk) = �

�n � Li = �

Liz = �

(xi(py)i − yi(px)i) (1.5.226)

Damit erhalten wir

i

i

i

δxi = dθ{xi, G} = dθ ∂G

∂(px)i

= −yidθ (1.5.227)

δyi = dθ ∂G

∂(py)i

= xidθ (1.5.228)

δzi = dθ ∂G

∂(pz)i

= 0 (1.5.229)

δ(px)i = −dθ ∂G

= −(py)idθ

∂xi

(1.5.230)

δ(py)i = −dθ ∂G

= (px)idθ

∂yi

(1.5.231)

Wir erkennen, dass Lz der Generator der infinitesimalen Drehung ist.


KAPITEL 1. ANALYTISCHE MECHANIK 83

1.6 Hamilton-Jacobi Theorie

1.6.1 Drehungen anschaulich

Abbildung 1.19: Infinitesimale Drehung; Herleitung y-Beitrag

Abbildung 1.20: Infinitesimale Drehung; Herleitung x-Beitrag

Beachte:

Die Berechnung von δ�r ist linear in �r, sodass sich der allgemeine Fall:

δx = − ydϕ (1.6.1)

δy =xdϕ (1.6.2)

aus der Summe der beiden obigen Spezialfälle ergibt. Dies kann man auch kompakter

schreiben als:

• Kreuzprodukt:

δ�r = dϕ · �eZ × �r (1.6.3)


KAPITEL 1. ANALYTISCHE MECHANIK 84

• Matrixprodukt:

Dabei ist

die Drehmatrix um die z-Achse.

δ�r = dϕMZ�r (1.6.4)


1.6.2 Phasenraumvolumina


⎜0


MZ = ⎜

⎜1



−1

0

0 ⎟

0



0 0 0

(1.6.5)

Für mechanische Systeme, genauer Systeme, die mittels des Lagrange- oder Hamiltonformalismus

ohne explizite Zeitabhängigkeit beschrieben werden, wissen

wir, dass das Phasenraumvolumen konstant bleibt. Dies wird so durch das Liouvilletheorem

festgelegt.

Wir folgern daher:

Was bedeutet das für das Chaos?

Was gilt für andere Systeme?

Dazu betrachten wir die allgemeine Zeitentwicklung

˙x = F (x) x ∈ R d

(1.6.6)

die von einem mechanischen System (d = 2f) oder einem anderen dynamischen

System herführt.

Zum Zeitpunkt t0 sei das System bei x(t0) in der Nähe des Volumenelements:

∆V = ∆x1 · ∆x2... · ∆xd

(1.6.7)

Da alle ∆xi klein sein sollen -letztlich infinitesimal- reicht es die dynamische

Gleichung zu linearisieren um x0 = x(t0).

So folgt:

mit der Jacobimatrix Jf.

∆x(t) =x(t) − x0

(1.6.8)

∆ ˙x = F (x0 + ∆x) − F (x0) =Jf · ∆x (1.6.9)

Ein Vektor x0 + ∆x(t0) ∈ ∆V (t0) geht also nach Verstreichen der Zeit dt über in:

x0 + ∆x(t0 + dt) ∈ ∆V (t0 + dt) (1.6.10)


KAPITEL 1. ANALYTISCHE MECHANIK 85

Abbildung 1.21: Phasenraumvolumina: Formveränderung, jedoch konstantes Volumen

mit

Also gilt:

∆x(t0 + dt) = ∆x(t0) + Jf∆x(t0)dt = (� + Jfdt)∆x(t0) (1.6.11)

∆V (t0 + dt) = |det(� + Jf)|∆V (t0) = ∆V (t0) + ∆ ˙ V dt (1.6.12)

Für ∆ ˙ V benötigen wir |det(�+Jf)| nur in führender Ordnung in dt. Das bedeutet,

dass von Jfdt nur ein linearer Faktor auftreten darf. Das führt zu:

detM = �

(−1) sqn(Π) ·

Π∈P

=1 +

d�

j=1

MjΠ(j)

d�

(Jf dt + O(dt

jj

2 ) (1.6.13)

j=1

Hierbei ist P die Menge aller Permutationen der Zahlen 1, 2, ..., d.

Also tritt die Spur auf, da nur Beiträge von Π =Identität in linearer Ordnung

auftreten können.

Daher gilt:

∆ ˙ V

∆V = Sp(Jf) (1.6.14)

Andererseits ist

d�

Sp(Jf) =

(1.6.15)

die Summe der Eigenwerte von Jf und diese stellen gerade die Lyapunov-Exponenten

dar. Wir lernen:

• Ein stabiles System mit Reλi < 0 verringert sein Volumen immer

j=1

λi


KAPITEL 1. ANALYTISCHE MECHANIK 86

• Ein instabiles System hat (mindestens ein) Reλi > 0. Das Phasenraumvolumen

mag sich verringern oder vergrößern.

• Ein mechanisches System hat eine verschwindende Summe von Lyapunov-

Exponenten nach Liouville:

0 =

2f�

λi

j=1

Also ist es entweder marginal/(indifferent) mit

(1.6.16)

Reλi = 0 ∀j ∈ 1...2f (1.6.17)

oder instabil, da ein negativer Realteil automatisch die Existenz eines positiven

nach sich zieht.

Nun verstehen wir, warum Attraktoren und Fixpunkte nicht nur in mechanischen,

sondern auch allgemeinen dynamischen Systemen gefunden werden können.

1.6.3 Allgemein

Schön wäre es, durch eine kanonische Transformation, alle Koordinaten zyklisch

zu machen.

a)

b)

∂K

∂Qi

= 0 ⇒ Pi = const. (1.6.18)

Oder auch umgekehrt; gesamte Pi-Abhängigkeit fällt heraus:

∂K

∂Pi

= 0 ⇒ Qi = const. (1.6.19)

Noch besser wäre es, Qi = const. und Pi = const. zu erreichen.

Dies ist die grundsätzliche Idee der Hamilton-Jacobi-Theorie.

1.6.4 Hamilton-Jacobi-Gleichung

Gesucht:

qi → Qi(q(t), p(t), t) = const. (1.6.20)

pi → Pi(q(t), p(t), t) = const. (1.6.21)

Das Ziel ist sicher erreicht, wenn K identisch verschwindet.

K ≡ 0 ⇒ partielle Ableitungen verschwinden (1.6.22)

Wir suchen die Erzeugende gemäß:

K = H + ∂F

∂t

!

= 0 (1.6.23)


KAPITEL 1. ANALYTISCHE MECHANIK 87

Der Einfachheit halber betrachten wir F2:

0 = H(q, p, t) + ∂F2(q, P, t)

∂t

(1.6.24)

Rechts tauchen 3f Variablen q, p, P auf. Tatsächlich sind davon aber nur 2f

unabhängig. Wir ersetzen daher die pi in der Hamiltonfunktion gemäß:

und erhalten:

pi = ∂F2

∂qi

0 = H(q1, ..., qf, ∂F2

, ...,

∂q1

∂F2

, t) +

∂qf

∂F2(q, P , t)

∂t

(1.6.25)

(1.6.26)

Dies ist die Hamilton-Jacobi-Gleichung.

Sie ist eine nichtlineare partielle Differentialgleichung 1. Ordnung mit den Variablen

q1, ..., qf, t für die Erzeugende F2(q, P, t) einer kanonischen Transformation

auf konstante Variablen.

Für F1 ist die Hamilton-Jacobi-Gleichung identisch, nur die Gleichungen für neue

Variablen sind abweichend:

∂F2

∂Pi

∂F1

∂Qi

=Qi bzw. (1.6.27)

= − Pi

(1.6.28)

Nach der Theorie partielle DGL’s enthält eine Lösung S der Hamilton-Jacobi-

Gleichung f + 1 Integrationskonstanten αi für die f + 1 Variablen. Die Lösung S

heißt auch Prinzipalfunktion oder Hamilton’sche Wirkungsfunktion.

S(q1, ..., qf, α1, ..., αf, t) (1.6.29)

Hier haben wir eine Integrationskonstante weggelassen, nämlich eine additive

Konstante α0 : S → S + α. Sie ist aber für alle partiell-differenzierten Ausdrücke

ohne Belang.

Noch deutlicher wird dies bei Betrachtung der totalen Zeitableitung der Wirkungsfunktion

S:

dS

dt

= �

k

∂S

∂qk

����

=pk

˙qk + ∂S

∂t


= pk ˙qk − H = L (1.6.30)

Die Wirkungsfunktion S unterscheidet sich daher nur durch einen Konstante vom

Zeitintegral der Lagrangefunktion

Wir können nun

S =

� t2

t1

k

dt · L + α (1.6.31)


KAPITEL 1. ANALYTISCHE MECHANIK 88

a)

b)

oder:

αi = Qi → S = F1 (1.6.32)

αi = Pi → S = F2 (1.6.33)

setzen. Beachte: Wir transformieren auf konstante neue Variable. Für

a)

b)

oder:

oder auch im Allgemeinen:

1.6.5 Prinzipalfunktional

∂S

∂αi

∂S

∂αi

∂S

∂αi

= −Pi

= βi

= Qi

(1.6.34)

(1.6.35)

(1.6.36)

Normalerweise ist der Weg über die Hamilton-Jacobi-Gleichung sehr kompliziert.

Dies gilt aber nicht, wenn das Problem separiert und auf die Lösung von f eindimensionalen

Integrationen zurückgeführt werden kann. Dann stellt die Hamilton-

Jacobi-Theorie eines der wichtigsten Integrationsverfahren der klassischen Mechanik

dar.

Gerbauchsanweisung:

1) Stelle H(q, p, t) auf

2) Ersetze pi durch ∂S

∂qi

0 = H(q, ∂S

∂q

, t) + ∂S

∂t

und addiere ∂S

∂t

3) Bei Separierbarkeit liefern f 1−dimensionale Integrationen S(q1, ..., qn, α1, ...αn, t)

mit den Integrationskonstanten αi

4) Die Gleichungen ∂S

∂αi (q, α, t) = βi = const. werden nach den qi aufgelöst:

qi = qi(α, β, t)

∂S

∂αi = pi liefert pi = pi(α, β, t)

Zuletzt werden die αi, βi werden nach den Anfangsbedingungen bestimmt.

Schwierig ist lediglich Schritt 3), der aber meist sogar in hohem Maße.

Beispiel: Harmonischer Oszillator


KAPITEL 1. ANALYTISCHE MECHANIK 89

1)

2)

3) Ansatz

0 = 1

2m

H = p2 D

+

2m 2 q2

� �2 ∂S

+

∂q

D

2 q2 + ∂S

∂t

(1.6.37)

(1.6.38)

S(q, α, t) = W (q, α)

� �� �

duch ham. F kt char.

−αt (1.6.39)

separiert die Zeit; d.h. Separierbarkeit bedeutet, dass die verschiedenen Variablen

in verschiedenen additiven Termen auftauchen.

Die Hamilton-Jacobi-Gleichung wird zu:

α = 1

� �2 ∂W

+

2m ∂q

D

2 q2

Offensichtlich ist α = E

∂W


∂q =√ �

2E

Dm

⇒ S =W − Et = √ Dm

ohne Zeit (1.6.40)

D − q2 (1.6.41)

� � 2E

D − q2 dq (1.6.42)

4) Obiges Integral ist leicht lösbar, jedoch auch nicht wirklich benötigt.

Interessanter ist vielmehr:

� �

∂S ∂S m dq

= = β = � mit (1.6.43)

∂α ∂E D 2E − q2

D


m

⇒ t + β =

D arcsin


D

q (1.6.44)

2E


2E

⇒ q(t) =

D sin w0(t


D

+ β) mit w0 = (1.6.45)

m

1.6.6 Winkel- und Wirkungsvariablen: Integrabilität

Wir haben im Hamilton-Jacobi-Formalismus gesehen, wie man Koordinaten und

Impulse konstant machen kann. Für den Satz von Liouville über Integrabilität

gehen wir nur den halben Weg und machen die Impulse Pi konstant. Dabei wollen

wir H(q, p) = const. voraussetzen. Es reicht, die Koordinate zyklisch zu machen,

so dass gelte:

H(q, p) → K(Q, P ) = K(P ) = α0 = const. (1.6.46)


KAPITEL 1. ANALYTISCHE MECHANIK 90

Damit ist

− ∂K

∂Qi

∂K

∂Pi

= 0 = ˙pi → pi = const. (1.6.47)

= ωi(P ) = const. = ˙ Qi

Qi = ωit + ˜ β

(1.6.48)

Solche Q heißen Winkelvariable, die zugehörigen Impulse heißen Wirkungsvariable.

Beachte, dass im Allgemeinen die Kreisfrequenzen ωi von den Wirkungsvariablen

P abhängen. Die Notwendige Erzeugende ist

Die zu erfüllende partielle Differentialgleichung lautet

K = α0 = H

F2(q, P ) = W (q, P ) (1.6.49)

pk = ∂W

∂qk

(1.6.50)

Qk = ∂W

∂Pk

(1.6.51)


q1, ..., qf, ∂W

∂q1

, ..., ∂W

∂qf


. (1.6.52)

Sie ist ähnlich zu den Hamilton-jacobi-Gleichungen, aber nicht explizit zeitabhängig.

Wir können nun Liouvilles Satz zur Integrabilität formulieren:

Dann gilt:

Für ein System H(q, p) mit f Freiheitsgraden und O = ∂H

∂t seien

neben F1 = H noch f − 1 weitere unabhängige Erhaltungsgrößen

Fi = Fi(q, p) (1.6.53)

in Invoulution bekannt, d.h. {Fi, Fj} = 0 ∀i, j ∈ {1, ..., f}

1) Das System bewegt sich im 2f- dimensionalen Phasenraum P auf der fdimensionalen

Menge (Mannigfaltigkeit)

Mf = {x ∈ P|Fi(x) = fi, i ∈ 1...f} (1.6.54)

2) Ist Mf kompakt (d.h. beschränkt und abgeschlossen) und zusammenhängend,

dann kann Mf ” glatt“ auf einen f-dimensionalen Torus abgebildet werden.

3) Die Bewegung auf dem Torus kann durch kanonische Winkel- und Wirkungsvariablen

beschrieben werden.

4) Das System ist nicht chaotisch, seine Bewegung ist regulär.

Bemerkungen:


KAPITEL 1. ANALYTISCHE MECHANIK 91

• ” Unabhängig“ bedeutet, dass die Gradienten ∇ xFi im Phasenraum linear

unabhängige Vektoren sind.

• Involution bedeutet, dass die verschiedenen Erhaltungsgrößen einander

nicht stören.

• Ein f-dimensionaler Torus ist das f-fache Tensorprodukt von 1-dimensionalen

Kreisen (1-dim. Tori):

Tf = S1 ⊗ S2 ⊗ ... ⊗ Sf

(1.6.55)

• Ist Tf durch f Erhaltungsgrößen festgelegt, so heißt er auch invarianter

Torus.

Im Allgemeinen sind die Winkelvariablen ϕ nicht zu den Fi konjugiert, die Fi

sind noch keine Impulse:

{ϕi, Fj} �= δij . (1.6.56)

Es ist aber gerade die Leistung von Liouville zu zeigen, dass man Wirkungsvariablen

Ii(F ) mit

{ϕi, Ij} = δij

(1.6.57)

konstruieren kann. Damit ist das Problem analytisch gelöst und somit integrabel.

1.6.7 Beispiele: Oszillatoren

Beispiel 1: der harmonische Oszillator

Also gilt

H = p2

2

+ q2

2

(1.6.58)

F1(q, Q) = 1

2 q2 cot Q (1.6.59)

p = ∂F1

= q cot Q (1.6.60)

∂q

ϕ = Q = arccot p

(1.6.61)

q

P = − ∂F1

∂Q

= q2

2 (1 + cot2 Q) (1.6.62)

= 1

2 (q2 + p 2 ) = H (1.6.63)

K = P , d.h. Q ist zyklisch, P ist erhalten (1.6.64)

˙Q = ∂K

= 1

∂P

(1.6.65)


KAPITEL 1. ANALYTISCHE MECHANIK 92

Beispiel 2: zwei ungekoppelte Oszillatoren

H1 = p21 +

2m1

D1

2 q2 1

H2 = p22 +

2m2

D2

2 q2 2

ω 2 1 = D1

m1

ω 2 2 = D2

m2

(1.6.66)

(1.6.67)

Wenn ω1 = ω2 wird ein invarianter 2-dimensionaler Torus durch ϕ1 und ϕ2 beschrieben.

Wenn ω1 �= ω2 inkommensurabel, in einem irrationalen Verhältnis sind,

gibt es keine geschlossene Bahn.

Weitere integrable Systeme:

• Alle 1-dimensionalen Systeme, die Zeitunabhängig sind: f = 1, H ist erhalten.

• Alle linearen Systeme, d.h. Systeme deren Bewegungsgleichungen lineare

Differentialgleichungen sind. Sie können auf entkoppelte Oszillatoren

zurückgeführt werden.

• Zentralfeldprobleme in 3 Dimensionen:

F1 = H (1.6.68)

F2 = Lz

F3 = � L 2

Beachte, dass Lx, Lz nicht geht, da sie nicht in Invulotion sind.

(1.6.69)

(1.6.70)

Wir stellen schnell fest, dass es nur sehr wenige, spezielle Systeme gibt, die integrabel

sind.

1.7 Nichtlineare Dynamik

1.7.1 Determinismus vs. Chaos

Wenn wir die Bewewgungsgleichungen eines Systems kennen, können wir grundsätzlich

voraussagen, wie es sich in Zukunft verhalten wird: das System ist deterministisch.

Bei den meisten bisher diskutierten Systemen bedeutet dies auch, dass sich

für zwei Anfangszustände, die sich nur wenig unterscheiden, das Verhalten in der

Zukunft nicht wesentlich unterscheidet.

Diese Beobachtung führt nicht nur in der Physik zu großen philosophischen Debatten.

So schrieb z.B. Laplace 1814 in seinem “Essai philosophique sur les probabilités:

Nous devons envisager l’état présent de l’univers comme l’effet de son

état antérieur, et comme la cause de celui qui va suivre. Une intelligence

qui, pour un instant donné, connaîtrait toutes les forces dont

la nature est animée et la situation respective des êtres qui la composent,

si d’ailleurs elle était assez vaste pour soumettre ces données


KAPITEL 1. ANALYTISCHE MECHANIK 93

à l’analyse, embrasserait dans la même formule les mouvements des

plus grands corps de l’univers et ceux du plus léger atome : rien ne

serait incertain pour elle, et l’avenir, comme le passé, serait présent à

ses yeux. — Pierre-Simon Laplace, Essai philosophique sur les probabilités

(1814).

Vom physkalischen Standpunkt aus muss diese Aussage in 2 Punkten revidiert

werden:

• Bei Systemen, die sich quantenmechanisch verhalten, erhält man aus der

Lösung der Bewegungsgleichungen im Allgemeinen nur Aussagen über die

Wahrscheinlichkeiten bei zukünftigen Messungen, also nur über die Statistik

der Messungen, und keine Aussagen über den Ausgang von einzelnen

Messungen.

Dieser Punkt wird im vierten Semester, im Rahmen der Quantenmechanik, genauer

diskutiert werden. Hier soll der zweite Punkte genauer betrachtet werden:

• Es gibt viele Systeme, bei denen fast identische Anfangsbedingungen völlig

verschiedene Lösungen haben. Da man den Zustand eines Systems (also

die Anfangsbedingung) immer nur mit endlicher Präzision kennt (u.a. auf

Grund der quantenmechanischen Unschärfe), kann deshalb nur über einen

beschränkten Zeitraum eine Voraussage gemacht werden. Das gleiche gilt

für die Vergangenheit: Die Zahl der Anfangszustände, welche zum heute bekannten

Zustand geführt haben können, ist sehr groß. Des gleichen können

sehr kleine äußere Störungen sehr großen Einfluss haben. Solche Systeme

werden häufig als chaotisch bezeichnet.

Abbildung 1.22: Benachbarte Anfangsbedingungen können zu qualitativ unterschiedlichem

Verhalten führen.

Abb. 1.22 zeigt dies schematisch. Ein typisches Beispiel ist das Billardspiel: bei

jedem Stoß führt die Abweichung vom zentralen Stoß zu einer Vergrößerung des

Winkels und damit zu einer größeren Abweichung beim nächsten Stoß. Dies gilt

allgemein für Stöße zwischen harten Kugeln, die auch als gutes Modell für die

Dynamik von Molekülen verwendet werden können.

Weitere Beispiele von Systemen, bei denen benachbarte Anfangsbedingungen zu

sehr unterschiedlichem Verhalten führen, sind gekoppelte nichtlineare Oszillatoren,

Doppelpendel, Federpendel oder Dreikörpersysteme. Dieses Verhalten ist im


KAPITEL 1. ANALYTISCHE MECHANIK 94

Allgemeinen nicht global, sondern es gilt nur für bestimmte Parameterbereiche

und für bestimmte Bereiche von Anfangsbedingungen. Eines der einfachsten Beispiele

ist das einer Kugel auf einem Sattelpunkt: je nach Anfangsbedingungen

rollt sie auf die eine oder andere Seite hinunter oder bleibt dort liegen.

Ein sehr wichtiges Beispiel ist auch die Dynamik des Sonnensystems: Die Keplerschen

Gesetze legen es nahe, zu glauben, die Bahnen der Planeten um die Sonne

seien stabil und leicht zu berechnen. Dies gilt allerdings nur in der einfachsten

Näherung, bei der ein einzelner Planet in großem Abstand um die Sonne kreist.

Berücksichtigt man die Wechselwirkung zwischen mehreren Himmelskörpern, so

erhält man schnell chaotische Trajektorien: Einzelne Körper können aus dem

Sonnensystem herausgeschleudert werden, wobei der Zeitpunkt praktisch nicht

vorhergesagt werden kann.

Wann chaotisches Verhalten auftritt ist im Allgemeinen nicht vorhersagbar. Es

gibt jedoch Kriterien, die einem erlauben, vorherzusagen, dass chaotisches Verhalten

nicht auftritt. Einige Beispiele sind

• Die Bewegungsgleichungen haben analytische Lösungen.

• Die Bewegungsgleichungen eines Systems sind nicht explizit zeitabhängig

und bestehen aus einer einzigen Differentialgleichung (maximal) zweiter

Ordnung.

• Die Lösung der Bewegungsgleichungen kann auf eindimensionale Integrale

zurückgeführt werden.

Wenn eine dieser Bedigungen erfüllt ist, so tritt kein chaotisches Verhalten auf.

Ende des 19. Jahrhunderts gewann Henri Poincaré einen Preis mit dem Lösungsansatz

für die Frage, ob das Sonnensystem stabil ist. Er konnte zeigen, dass dieses nicht

der Fall ist und die Reihen zur Divergenz neigen, die durch interne Resonanzen bedingt

sind. Manche Quellen geben dies als die Geburtsstunde der Chaosforschung

an, es dauerte jedoch bis in die Mitte des 20.Jahrhunderts bis der Lösungsansatz

von Poincaré mit Hilfe von Computern brauchbar umgesetzt werden konnte.

1.7.2 Superpositionsprinzip

Bisher haben wir hauptsächlich lineare Bewegungsgleichungen betrachtet, also

Gleichungen der Art

˙x = ax.

Für die Lösungen solcher Gleichungen gilt allgemein das Superpositionsprinzip:

• Sind x1(t) und x2(t) Lösungen der Bewegungsgleichung, so ist auch die

Linearkombination c1x1(t)+c2x2(t) (mit beliebigen Koeffizienten c1, c2) eine

Lösung.

Der Beweis erfolgt einfach durch Einsetzen. Das einfachste Beispiel ist der harmonische

Oszillator: Hier kann man z.B. beliebige Lösungen als Linearkombination

von

x1(t) = cos(Ωt) und x2(t) = sin(Ωt)


KAPITEL 1. ANALYTISCHE MECHANIK 95

darstellen. Offensichtlich ist in einem solchen System die Vorhersagbarkeit sehr

gut; benachbarte Anfangsbedingungen bleiben auch in der weiteren Zeitentwicklung

”benachbart”.

Das Superpositionsprinzip ist auch sehr wichtig in der Quantenmechanik, da dort

die relevante Bewegungsgleichung (die Schrödingergleichung) linear ist.

Das Superpositionsprinzip gilt nicht mehr wenn die Bewegungsgleichungen nichtlinear

werden. Ein wichtiges Beispiel hatten wir in Kapitel 1.5.11 gesehen: Dort

veränderte sich die Frequenz mit der Amplitude, d.h. sie war abhängig von den

Anfangsbedingungen. Wir betrachten hier einen ähnlichen Fall.

1.7.3 Mathematisches Pendel

Während man beim physikalischen Pendel (≈harmonischer Oszillator) annimmt,

dass die Periode unabhängig von der Auslenkung ist, findet man in Wirklichkeit,

dass die Periode mit der Auslenkung zunimmt.

Abbildung 1.23: Exp. 001 Ebenes Pendel.

Das kann man in der Bewegungsgleichung berücksichtigen, indem man die Rückstellkraft

nicht proportional zur Auslenkung wählt, sondern, genauer, proportional zum sinus,

ℓ¨α = −g sin α.

Anstelle einer direkten Integration dieser Gleichung (was nicht einfach ist) können

wir auch aus der Energieerhaltung eine Beziehung zwischen der Auslenkung und

der Geschwindigkeit herstellen: Die kinetische Energie beträgt

Ekin = m

2 ℓ2 ˙α 2 .

Für die Berechnung der potenziellen Energie wählen wir die maximale Auslenkung

α0 als den Referenzzustand. Damit wird

Epot = mgℓ(cos α − cos α0).

Mit dieser Normierung verschwindet die gesamte Energie,

Ekin + Epot = 0,


KAPITEL 1. ANALYTISCHE MECHANIK 96

unabhängig von der Zeit.

Wir setzen die beiden Beiträge ein

0 = m

2 ℓ2 ˙α 2 + mgℓ(cos α − cos α0)

und lösen die Gleichung auf nach der Geschwindigkeit ˙α:


2g

˙α = ± (cos α − cos α0).


Hier sind beide Vorzeichen der Wurzel physikalisch richtig: Als Funktion des Winkels

kann die Geschwindigkeit für alle α außer α = α0 positiv oder negativ sein.

Die beiden Lösungen werden jeweils während einer halben Periode durchlaufen.

Trennung der Variablen und Integration auf der rechten Seite ergibt



√ cos α − cos α0

=

� 2g

ℓ t.

Damit können wir die Periode bestimmen, indem wir über eine Viertelperiode,

von α = 0 → α0 integrieren,


� α0 ℓ


T = 4 √ .

2g cos α − cos α0

Die Lösung (aus einer Integraltabelle) kann als Reihe dargestellt werden,

0

⎛ ⎞


∞� ℓ ⎜ −1/2

� �2n ⎟

T = 2π ⎜ ⎟

sin α0

g ⎝ ⎠

.

2

n=0 n

Die Fakultät der halbganzen Zahlen wird üblicherweise über die Gammafunktion

� ∞

Γ(z) = t z−1 e −t dt,

welche für ganzzahlige Argumente der Fakultät entspricht,

Damit wird �

− 1


! =

2

√ π,

0

Γ(n + 1) = n!.

� �

1

! =

2

√ π

2 ,

� �

3

! =

2

3√π 4

usw.

Die Periodendauer geht gegen undendlich wenn α → π.

Abbildung 1.25 zeigt die Bewegung des mathematischen Pendels im Phasenraum:

die geschlossenen Kurven stellen die eigentliche Pendelbewegung dar. Bei geringer


KAPITEL 1. ANALYTISCHE MECHANIK 97

Abbildung 1.24: Periodendauer des mathematischen Pendels als Funktion der

Amplitude in Einheiten der Periode des physikalischen Pendels, T0 = 2π � ℓ/g.

Abbildung 1.25: Phasenraumtrajektorien für das mathematische Pendel.

Amplitude sind es Ellipsen, sie sich bei zunehmender Amplitude antlang der horizontalen

(α−) Achse verlängern und bei α = π Spitzen bilden. Bei den horizontal

verlaufenden Kurven ist die Geschwindigkeit groß genug, dass das Pendel rotiert,

also die Bewegungsrichtung konstant ist. Zwischen den beiden Bereichen verläuft

die “Separatrix”. Befindet sich das System auf dieser Kurve, so ist es nicht stabil.

Immer wenn es den Punkt α = π erreicht, also senkrecht nach oben steht, gibt

es zwei mögliche Richtung, in die es sich weiter bewegen kann. Die Annäherung

an diesen kritischen Punkt benötigt jedoch unendlich lange, da ˙α → 0 geht.

1.7.4 Fixpunkte und Trajektorien

Wenn wir ein System mit n Freiheitsgraden mit Hilfe von n Bewegungsgleichungen

zweiter Ordnung diskutieren, ist es natürlich, die Lösung in einem ndimensionalen

Raum zu betrachten. Wie wir oben gesehen haben, ist es aber

auch nützlich, die n Bewegungsgleichungen zweiter Ordnung in 2n Bewegungsgleichungen

erster Ordnung umzuwandeln. Dann ist es auch sinnvoll, die Lösungen

als Funktion dieser 2n Parameter (also z.B. n Ortskoordinaten und n Impulse)

zu diskutieren. Ein Vorteil dieser Phasenraum-Darstellung ist z.B. dass zu jedem

Punkt auch die Ableitung, also die Bewegungsrichtung vorgegeben ist.

Für einen Freiheitsgrad, also eine Ortskoordinate und zugehörigen Impuls, ergibt

eine Differentialgleichung erster Ordnung,

˙x = ax + b


KAPITEL 1. ANALYTISCHE MECHANIK 98

eine Gerade. Das System bewegt sich auf dieser Gerade immer in einer Richtung

(Determinismus). Ist die Steigung a �= 0, so schneidet die Gerade die x-Achse.

Abbildung 1.26: Fixpunkt in einem linearen System erster Ordnung.

An dieser Stelle ist die Geschwindigkeit ˙x = 0, d.h. das System kommt zur Ruhe.

Es handelt sich somit um einen Fixpunkt. Die Nullstelle x0 = −b/a ist stabil,

wenn die Steigung a < 0: Für Werte x < x0 ist dann ˙x > 0, d.h. das System

bewegt sich nach rechts, nähert sich also der Nullstelle. Für x > x0 ist ˙x < 0,

d.h. das System bewegt sich nach links, nähert sich ebenfalls der Nullstelle. In

der Abbildung ist eine instabile Situation dargestellt (a > 0): Am Punkt x0 + δx

hat die Ableitung

˙x(x0 + δx) = aδx

das gleiche Vorzeichen wie δx. Somit wächst die Abweichung.

Abbildung 1.27: Harmonischer Oszillator im Phasenraum.

Sind die Bewegungsgleichungen nicht linear, so sind die Trajektorien keine Geraden

mehr. Im Falle des harmonischen Oszillators, z.B., sind die Trajektorien

geschlossen, ⎛ ⎞ ⎛




x

˙x


⎠ =



a cos(Ωt + ϕ)

−Ω a sin(Ωtϕ)

Dies entspricht einer Ellipse. Unterschiedliche Anfangsbedingungen führen zu unterschiedlichen

Ellipsen. So lange das System deterministisch bleibt, können sich

die unterschiedlichen Trajektorien nicht schneiden: an einem gegebenen Punkt im

Phasenraum ist die zeitliche Entwicklung bestimmt und damit die Richtung, in

die sich das System weiter bewegt.

Dies gilt allerdings nur, solange wir den vollständigen Phasenraum betrachten.

Besitzt das System mehr Freiheitsgrade als der Unterraum, den wir betrachten,

in den wir somit projizieren, können Überschneidungen auftreten.


⎠ .


KAPITEL 1. ANALYTISCHE MECHANIK 99

1.7.5 Duffing Oszillator

Als nächstes betrachten wir einen harmonischen Oszillator, bei dem wir zusätzlich

zum quadratischen Potenzial einen Term vierter Ordnung berücksichtigen:

m¨x + C ˙x + Dx + Ex 3 = F0 cos Ωt.

Dieses System wird als Duffing Oszillator bezeichnet. Der Term C ˙x beschreibt

eine Dämpfung, die rechte Seite eine periodische externe Kraft. Das System liefert

Beispiele für reguläre, wie auch chaotische Dynamik.

Für dieses System existiert keine allgemeine analytische Lösung, lediglich verschiedene

Näherungsmethoden.

• Über eine Fourier-Reihe kann man die Bewegungsgleichung beliebig genau

annähern.

• Für kleine Werte von E kann man das System als gestörten harmonischen

Oszillator behandeln.

• Die Frobenius-Methode liefert eine komplizierte aber brauchbare Lösung.

• Numerische Methoden.

• Für den Spezialfall der verschwindenden Dämpfung (C → 0) und verschwindender

externer Kraft (F0 → 0) erhält man eine Lösung mit Hilfe elliptischer

Funktionen.

Wir betrachten zunächst das System ohne Dämpfung:

m¨x + Dx + Ex 3 = F0 cos Ωt.

Für bestimmte Werte der Parameter und Anfangsbedingungen erhält man wie

beim harmonischen Oszillator eine stationäre Lösung. Ein Näherung dafür erhalten

wir z.B., mit dem Ansatz

Einsetzen ergibt

x(t) = x1 cos(Ωt).

−mx1Ω 2 + Dx1 + Ex 3 1 = F0,

wobei wir Terme höherer Ordnung, wie z.B. ∝ x 3 1 cos 3 (Ωt) nicht berücksichtigt

haben. In dieser Näherung gibt es drei stationäre Lösungen

− 21/3 (D − mΩ2 )

(β + 27E2F0) 1/3

x1,1 = (β + 27E2F0) 1/3

321/3E � √ �

2 1 − i 3 (β + 27E F0)

x1,2 = −

1/3

621/3 � √ �

E

2 1 + i 3 (D − mΩ )

+

2 2/3 (β + 27E 2 F0) 1/3

� √ �

2 1 + i 3 (β + 27E F0)

x1,3 = −

1/3

621/3 � √ �

E

2 1 − i 3 (D − mΩ )

+

2 2/3 (β + 27E 2 F0) 1/3


KAPITEL 1. ANALYTISCHE MECHANIK 100

mit

β =


729E 4 F 2 0 + 108E 3 (D − mΩ 2 ) 3 .

Diese fallen zusammen oberhab einer kritischen Frequenz




ωk = � 1


D +

m

9


2

4 3 EF 2 � �

1/3

0 .

Für Ω < ωk existieren 3 Äste, sofern

D > 9


2

4 3 EF 2 �1/3 0 .

Abbildung 1.28: Stationäre Amplituden des Duffing-Oszillators für die Parameter

F0 = 0.1, E = −10 −3 , m = 1, D = 1.

Eine genauere Betrachtung zeigt, dass die beiden Lösungen x1,2 und x1,3 nicht

stabil sind: Es handelt sich um instabile Fixpunkte. Für Amplituden oberhalb

dieser Werte läuft das System auseinander, d.h. das Potenzial nimmt ab.

1.7.6 Spezialfälle

1.7.6.1 Freier Oszillator ohne Dämpfung

Wir betrachten den Fall ohne Dämpfung und ohne äußere Kraft

Wir können das auch schreiben als

m¨x + Dx + Ex 3 = 0.

¨x + ω 2 0x + 2βx 3 = 0,

d.h. als gestörten harmonischen Oszillator mit

Multiplikation mit ˙x gibt

ω =

� D

m

2β = E

m .

¨x ˙x + ω 2 0x ˙x + 2βx 3 ˙x = 0.


KAPITEL 1. ANALYTISCHE MECHANIK 101

Dies können wir schreiben als

Somit ist die Größe

eine Erhaltungsgröße.

d

dt

� 1

2 ˙x2 + 1

2 ω2 0x 2 + 1

2 βx4

1.7.6.2 Doppelminimumpotenzial

h = ˙x 2 + ω 2 0x 2 + βx 4


= 0.

Eine andere interessante Situation erhalten wir, wenn wir D < 0 und E > 0

wählen: der quadratische Term ist abstoßend, der Term vierter Ordnung anziehend.

Abbildung 1.29: Doppelminimum Potenzial für D = −1, E = 1.

Das resultierede System besitzt am Ursprung ein Maximum und bei


D

x0 = ±

2E

zwei Minima.

Abbildung 1.30: Doppelminimum Potenzial in Abhängigkeit von der Stärke D

des quadratischen Terms. Im Ursprung ist D = 0, hinten ¿ 0, vorne ¡ 0.


KAPITEL 1. ANALYTISCHE MECHANIK 102

1.7.7 Zeitabhängigkeit

Wir schreiben diese Bewegungsgleichung dritter Ordnung als ein System von Differentialgleichungen

erster Ordnung indem wir als Variablen den Ort x, den Impuls

p = m ˙x und eine modifizierte Zeit τ = Ωt verwenden:

˙x = p

m

˙p = − C

m p − Dx − Ex3 + F0 cos τ

˙τ = Ω. (1.7.1)

Diese Gleichungen können z.B. numerisch integriert werden.

Abbildung 1.31: Phasenraum-Trajektorien für den Duffing Oszillator mit D = −1

und E = 0.02, wobei Dämpfung c = 0 und äußere Kraft F0 = 0 zu Null gesetzt

wurden.

In Abb. 1.31 sind Trajektorien dargestellt, welche zu unterschiedlichen Afangsbedingungen

gehören: bei niedriger Amplitude und Geschwindigkeit schwingt es

um eines der beiden Minima. Bei hoher Anfangsgeschwindigkeit oder Auslenkung

oszilliert das System über beide Minima. Dazwischen liegt die Separatrix, welche

durch den Ursprung des Phasenraums bei x = 0, ˙x = 0 läuft.

Abbildung 1.32 zeigt ein Beispiel für den allgemeinen Fall. Das System beginnt

mit der Amplitude x(0) = 25. Damit schwingt es über dem Zwischenmaximum.

Mit abnehmender Amplitude (auf Grund der Dämpfung) erreicht es den kritischen

Punkt, an dem es dieses Maximum nicht mehr überqueren kann. Je nach

Anfangsbedinungungen landet es im linken oder rechten Minimum. Dies ist ein

sehr einfaches Modell für “spontane Symmetriebrechnung”: Damit bezeichnet

man z.B. das spontane Auftreten eines magnetischen Momentes, wenn ein Ferromagnet

beim Durchqueren der Curie-Temperatur magnetisch wird.

1.7.8 Übergang zum Chaos

Der Duffing Oszillator kann auch in einem Parameterbereich betrieben werden, in

dem er chaotisch wird. In Abb. 1.33 ist ein Beispiel gezeigt. Hier wird das System

resonant getrieben. Für F0 = 0.1, also relativ schwache externe Kraft, schwingt


KAPITEL 1. ANALYTISCHE MECHANIK 103

Abbildung 1.32: Links: Zeitabhängigkeit der Oszillatoramplitude. Rechts: Trajektorie

im Phasenraum. In welchem Minimum das System landet, hängt empfindlich

von den Parametern und von den Anfangsbedingungen ab.

das System in der Nähe eines Potenzialminimums. Um welches Minimum es sich

handelt hängt von den Anfangsbedingungen ab. Wird die externe Kraft soweit

erhöht, dass die Schwingungsamplitude den Wert des lokalen Maximums erreicht,

so kann es in das andere Minimum hinüber wechseln. Je nach Phasenlage wird es

daran manchmal reflektiert, manchmal kann es das Maximum überqueren. Unter

den hier gewählten Bedingungen wird das System chaotisch. Wird die Amplitude

weiter erhöht, so erreicht wird die Auslenkung groß genug, dass es nicht mehr

reflektiert wird. Die Bewegung wird dann wieder regulär.

Wie an diesem Beispiel gezeigt, können Bewegungsgleichungen normalerweise relativ

problemlos numerisch integriert werden. Allerdings gibt es hierbei eine Reihe

von Einschränkungen:

• Die Integration muss für jede Anfangsbedingung separat durchgeführt werden.

Damit ist es sehr schwierig, Aussagen über globale Eigenschaften des

Systems, wie z.B. Stabilität zu erhalten.

• Bei chaotischen Problemen laufen die Trajektorien exponentiell auseinander.

Auf Grund der endlichen Präzision der Rechnung und der Kenntnisse

der Anfangsbedingungen nimmt die Voraussagbarkeit damit exponentiall

mit der Zeit ab.

1.8 Stabilität und Chaos

Wie bereits erwähnt ist es nicht einfach, allgemeine Kriterien auzustellen, wann

ein System eine reguläre Dynamik zeigt und wann es sich chaotisch verhält. Insbesondere

hängt dies sowohl von den Systemparameters wie auch von den Anfangsbedingungen

ab. Hier werden zunächst einige Möglichkeiten diskutiert, wie

man die Stabilität von Fixpunkten beurteilen kann.


KAPITEL 1. ANALYTISCHE MECHANIK 104

Abbildung 1.33: Reguläre (links und rechts) und chaotische Dynamik (mitte).

Die drei Fälle wurden mit F0 = 0.1, F0 = 0.3 und F0 = 0.5 berechnet. Der obere

Teil stellt jeweils die Zeitabhängigkeit dar, die obere Hälfte die Trajektorie im

Phasenraum.

1.8.1 Stabilität von Fixpunkten in linearen Systemen

Die Frage, ob ein Fixpunkt stabil ist oder nicht, kann zunächst an linearen Systemen

betrachtet werden. Wir verwenden für die Beschreibung der Dynamik eine

Matrixschreibweise:

�˙x = A�x + � b.

Daraus erhalten wir eine homogene Gleichung, indem wir den Ursprung des Koordinatensystems

um

�v = A −1� b

verschieben:

Durch Einsetzen erhalten wir

�y = �x + �v → �x = �y − �v.

�˙y = A(�y − A −1� b) + � b = A�y,

d.h. eine homogene Differentialgleichung. Damit ist �y = 0 eine zeitunabhängige

Lösung, d.h. ein Fixpunkt.

Ein solcher Fixpunkt wird als stabil bezeichnet, wenn das System bei kleinen

Abweichungen vom Fixpunkt auf diesen zustrebt, als instabil, falls kleine Abweichungen

wachsen, und als indifferent oder marginal, wenn sie zeitunabhängig

sind.

Um die Stabilität zu untersuchen, betrachten wir im neuen Koordinatensystem

die Eigenvektoren, d.h. diejenigen Vektoren, bei denen die Ableitung parallel zum

Vektor selber liegt,

�˙yk = A �yk = λ �yk.

Diese haben offenbar die Lösung

�yk(t) = �yk,0e λkt .


KAPITEL 1. ANALYTISCHE MECHANIK 105

Abbildung 1.34: Stabilitätsbedingung für lineares System. Der Ursprung O ′ des

verschobenen Koordinatensystems ist ein Fixpunkt. �yk stellt einen stabilen Eigenvektor

dar (λk < 0), �yk ′ einen instabilen (λk ′ > 0) .

Ist der Eigenwert λk reell, so erhalten wir somit exponentielles Wachstum (für

λk > 0), resp. exponentielles Abfallen (für λk < 0). Ein System mit n Freiheitsgraden

besitzt i.A. n Eigenwerte und ebensoviele Eigenvektoren. Die entsprechenden

n speziellen Lösungen bilden eine Basis für den gesamten Lösungsraum. Somit

kann jede Lösung geschrieben werden als

�y(t) = �

ck�yk(0)e λkt

.

k

Sind alle Eigenwerte λk negativ, so geht �y(t → ∞) → 0, d.h. der Ursprung des

verschobenen Koordinatensystems ist ein stabiler Fixpunkt. Ist mindestens ein

Eigenwert positiv, so wächst der Lösungsvektor, d.h. das System ist nicht stabil.

Sind die Eigenwerte nicht reell, so wird die Stabilität durch den Realteil bestimmt.

Das ganze gilt nur in einem infinitesimalen Raum in der Nähe des Fixpunktes.

Deshalb sind solche Aussagen mit Vorsicht zu genießen.

Abbildung 1.35: Stabilitätsbedingungen gelten für lokale Umgebung.

Abb. 1.35 zeigt 2 Beispiele: Im linken Beispiel ist das System nach Stabilitätsanalyse

instabil, es entfernt sich aber nie sehr weit vom Fixpunkt. Im rechten Beispiel ist

es nach Stabilitätskriterium stabil, wird aber schon durch geringe Störungen instabil.

1.8.2 Stabilität in nichtlinearen Systemen

In nichtlinearen Systemen ist es schwieriger, Aussagen über die Stabilität von

dynamischen Systemen zu machen, da in den meisten Fällen keine analytischen

Lösungen existieren. Das gleiche Probem besteht in linearen Systemen, für die


KAPITEL 1. ANALYTISCHE MECHANIK 106

keine analytischen Lösungen bekannt sind, oder bei denen bekannt ist, dass keine

existieren. Die Möglichkeiten, die einem zur Verfügung stehen, sind deshalb in

ihrer Allgemeinheit sehr stark eingeschränkt. Sie umfassen u.a.

Analytische Näherung. Diese ist vor allem dann sinnvoll, wenn der Einfluss

einer Störung auf ein integrables System untersucht werden soll. Im Beispiel

(1.7.1) kann man den kubischen Term als Störung betrachten.

Erhaltungsgrößen können globale Aussagen über die Bewegungsgleichungen

liefern, wie z.B. die Keplerschen Gesetze.

Stabilität spezieller Lösungen. Ist eine Lösung für spezielle Anfangsbedingungen

bekannt, so kann man untersuchen, wie sich das System verhält,

wenn die Anfangsbedingungen leicht davon abweichen. Einfache Beispiele

sind ein aufrecht stehender Stab oder ein Kreisel, der um die Symmetrieachse

rotiert. Innerhalb dieses Bereiches kann man das System linearisieren

und die Diskussion von Abschnitt 1.8.1 verwenden.

Wir betrachten dafür ein System mit n Freiheitsgraden, das durch n Lagrange-

Gleichungen 2ter Art oder durch n Differentialgleichungen 2ter Ordnung beschrieben

werden kann. Diese können in 2n Differentialgleichungen erster Ordnung

˙xi = fi(x1, x2, ...)

umgewandelt werden. Daraus bestimmen wir Fixpunkte �x0 = (x0,1, x0,2, ...), mit

fi(x0,1, x0,2, ...) = 0.

In deren Umgebung können wir das System linearisieren, indem wir diese Funktion

in lokalen Koordinaten ui = xi − x0,i als Taylorreihe um den Fixpunkt

entwickeln:

˙ui ≈ fi(x0,1, x0,2, ...) + � ∂fi

uk =

∂xk

� ∂fi

uk.

∂xk

Die Jacobi-Matrix � �

∂fi

∂xk

ist jetzt die Systemmatrix des linearisierten Systems und ui die Koordinaten. Für

diese gelten die gleichen Stabilitätskriterien wie für das lineare System.

Hier haben wir die Stabilität von Fixpunkten untersucht. Man kann dies erweitern

auf allgemeine Trajektorien und erhält damit das Stabilitätskriterium von

Lyapunov.

1.8.3 Lyapunov Exponent

k

= (fi,k)

Nach Lyapunov ist ein System dann stabil, wenn der Abstand zwischen 2 Trajektorien,

deren Anfangsbedingungen benachbart sind, für lange Zeiten nicht über

einen endlichen Wert ɛ hinaus wächst. Auf den ersten Blick scheint dies durch

den Satz von Liouville garantiert zu sein: Die Fläche, welche durch den Kreis mit

Radius ɛ aufgespannt wird, ist ein Volumen in Phasenraum, welches nach dem

Satz von Liuoville erhalten bleibt. Allerdings

k


KAPITEL 1. ANALYTISCHE MECHANIK 107

Abbildung 1.36: Zeitliches Verhalten benachbarter Anfangsbedingungen.

• gilt der Satz von Liouville nur für konservative Systeme und

• der Satz von Liouville sagt nichts aus darüber, wie sich die Form des Volumenelementes

verändert.

Der erste Punkt führt z.B. dazu, dass sich ein dissipatives System auf einen Phasenraumpunkt

zusammenziehen kann (einen stabilen Fixpunkt) oder dass Energiezufuhr

ein System in sehr unterschiedliche Richtungen treiben kann, wie z.B.

beim Duffing Oszillator. Der zweite Punkt erlaubt chaotisches Verhalten in nichtdissipativen

Systemen: in diesem Fall wird das Volumenelement des Phasenraums

zu einer fraktalen Figur verformt.

Wir betrachten den Phasenraumvektor � Γ(t) = (q1, · · · , qf, p1, · · · pf). Die Dynamik

�˙ Γ(t) = � F ( � Γ)

erhalten wir z.B. über die Ableitungen der Hamiltonfunktion

⎛ ⎞

�F ( � Γ) =

⎜ ∂p1H

⎜ .

⎜ ∂pf



H

−∂q1H

.

−∂qf H

⎟ .



KAPITEL 1. ANALYTISCHE MECHANIK 108

Wir fragen, wie sich die Dynamik ändert, wenn wir einen Phasenpunkt betrachten,

der sich infinitesimal, um δ � Γ(t), von einem Referenzpunkt � Γ(t) unterscheidet.

Die zugehörige Dynamik ist

d

� �

�Γ(t) + δ�Γ(t) dt

= � F ( � Γ(t) + δ � Γ(t)).

Mit der Entwicklung von � F erhalten wir in linearer Ordnung

d

dt δ� Γ(t) =

2f�

α=1

∂ � F

δΓα(t) = Mδ

∂Γα

�Γ(t). Die Elemente der Matrix M sind die partiellen Ableitungen

Wir diagonalisieren die Matrix M:

M βα = ∂Fβ

.

∂Γα

Diag(λi) = T MT −1 .

Die Eigenwerte sind λi und die Eigenvektoren sind die Zeilen der Matrix T .

Wir transformieren nun die Bewegungsgleichungen in dieses neue Koordinatensystem:

δ � ξ = T δ � Γ(t))

T −1 δ � ξ = δ � Γ(t)).

Die transformierte Bewegungsgleichung ist somit

d

dt δ� ξ = d

dt T δ�Γ(t)) = T Mδ�Γ(t) = T MT −1

δ

� �� �

� ξ.

Diag(λi)

In diesem Koordinatensystem sind die Bewegungsgleichungen entkoppelt, so dass

wir sie für jede Mode ξα einzeln lösen können:

ξα(t) = ξα(0)e λαt .

Die Eigenwerte λα heißen auch Lyapunov Exponenten und sind wegen der mangelnden

Symmetrie von M in der Regel komplex. Mit deren Hilfe können wir als

Kriterium für die Unterscheidung von regulärer Bewegung und einer chaotischen

Dynamik angeben

1) Gilt für alle Exponenten ℜeλα ≤ 0, dann liegt eine reguläre Dynamik vor.

2) Hat mindestens ein Exponent λα einen positiven Realteil ℜeλα > 0, zeigt

das System ein chaotisches Verhalten.


KAPITEL 1. ANALYTISCHE MECHANIK 109

3) Hat kein Exponent einen positiven Realteil, aber mindestens ein Exponent

einen verschwindenden Realteil, so kann die Stabilität des Systems

mit dieser Methode nicht beurteilt werden. Dieser Fall wird als kritischer

Fall bezeichnet.

Die Methode der Lyapunov-Exponenten liefert lediglich Aussagen über die Stabilität

einzelner Lösungen, nicht über die Stabilität von Bewegungsgleichungen

insgesamt. Wie bei der Analyse der Stabilität von Fixpunkten kann der Bereich,

über den die Aussage gilt, relativ klein sein, wie bei den Beispielen in Abb. 1.35:

Das linke System ist nach Lyapunov instabil, wird sich aber nie weit von den Anfangsbedingungen

entfernen. Das rechte System ist nach Lyapunov stabil, kann

sich aber schon bei geringen Störungen sehr weit von den Anfangsbedingungen

entfernen.

1.8.4 Attraktoren

Eine stabile Lösung �q(�q0, t) wird als asymptotisch stabil bezeichnet, wenn sie alle

benachbarten Trajektorien “anzieht”, d.h. wenn eine Distanz ɛ > 0 existiert, so

dass für alle Anfangsbedingungen �q ′ 0 mit |�q0 − �q ′ 0| < ɛ gilt

lim |�q − �q| = 0.

t→∞

Solche Lösungen werden als Attraktoren bezeichnet. Ein einfaches Beispiel für

ein freies Pendel mit Reibung

¨x = −ω 2 x − c ˙x

ist der Ursprung ˙x = x = 0, also der Gleichgewichtszustand. Dies ist offenbar ein

punktförmiger Attraktor.

Es können jedoch auch nichtpunktförmige Attraktoren existieren, also Kurven,

in die mehrere Trajektorien asymptotisch einmünden. Diese nennt man Grenzzyklen.

Beim getriebenen harmonischen Oszillator

bildet die stationäre Lösung

¨x + ω 2 x − c ˙x = F cos(ωt)

x0(t) = a cos(ωt + ϕ)

einen Grenzzyklus. Bei einem stabilen Attraktor sind alle Lyapunov-Exponenten

negativ.

Neben den “normalen”, stabilen Attraktoren existieren sogenannte “seltsame”

Attraktoren. Dabei handelt es sich nicht um Punkte (d.h. 0-dimensionale Attraktoren)

oder Grenzzyklen (d.h. 1-dimensionale Attraktoren), sondern um fraktale

Gebilde, d.h. Objekte, deren Dimensionalität am Besten mit einer gebrochenen

Zahl beschrieben werden kann. Solche Strukturen haben keine definierte

Größenskala, sondern sie sehen auf allen Größenskalen ähnlich aus. Sie werden

deshalb auch als selbstähnlich bezeichnet.

Da eine Phasenraumtrajektorie in zwei Dimensionen sich nicht mit sich selber

schneiden kann, können solche seltsamen Attraktoren erst ab 3 Dimensionen exisitieren.

Bei einem seltsamen Attraktor ist mindestens ein Lyapunov-Exponent

positiv, die Summe der λi ist hingegen negativ.


KAPITEL 1. ANALYTISCHE MECHANIK 110

Abbildung 1.37: Ei “Julia-set” als Beispiel einer fraktalen Struktur.

1.8.5 Der Lorenz Attraktor

Ein bekanntes Beispiel für einen seltsamen Attraktor ist der Lorenz-Attraktor. Er

ist genau genommen älter als der Begriff des seltsamen Attraktors, der erstmals

1971 so bezeichnet wurde. Er wird beschrieben durch die Differentialgleichung

⎡ ⎤ ⎡


⎢ x ⎥ ⎢ a (y − x) ⎥

⎢ ⎥ ⎢


d ⎢ ⎥ ⎢



dt ⎢ y

⎥ = ⎢ x(b − z) − y

⎥ .

⎢ ⎥ ⎢


⎣ ⎦ ⎣


z xy − cz

Das Gleichungssystem wurde 1963 vom Meteorologen Edward N. Lorenz als Idealisierung

eines hydrodynamischen Systems entwickelt. Lorenz interessierte sich für

die Modellierung der Zustände in der Erdatmosphäre zum Zweck einer Langzeitvorhersage.

Allerdings betonte Lorenz, dass das von ihm entwickelte System allenfalls

für sehr begrenzte Parameterbereiche von a, b, c realistische Resultate liefert.

Es stellt eines der einfachsten Systeme dar, welches chaotische Dynamik zeigen.

Die Tatsache, dass meteorologische Systeme sich chaotisch verhalten können limitiert

die Möglichkeiten der Wettervorhersage. Das Lorenz-System kann auch

als Modell für die Dynamik eines Lasers vewendet werden. Speziell an diesem

System ist u.a. dass es keine Dissipation aufweist und von keiner externen Kraft

getrieben wird.

Abbildung 1.38 zeigt als Beispiel die zugehörige Trajektorie für die Parameter

a = 10, b = 28, c = 8/3, d.h.

⎡ ⎤ ⎡


⎢ x ⎥ ⎢ 10 (y − x) ⎥

⎢ ⎥ ⎢


d ⎢ ⎥ ⎢



dt ⎢ y

⎥ = ⎢ 28x − y − xz


⎢ ⎥ ⎢


⎣ ⎦ ⎣


z

− 8z

+ xy 3


KAPITEL 1. ANALYTISCHE MECHANIK 111

und die Anfangsbedinung ⎡

Abbildung 1.38: Lorenz Attraktor.




⎢ x ⎥ ⎢ −10 ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎢ y

⎥ = ⎢ 10


⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦

z 25

für das Zeitinterval von t = 0..30. Die Dynamik findet im Wesentlichen in zwei

Scheiben statt, wobei das System quasi stochastisch zwischen den beiden hin und

her springt.

Abbildung 1.39: Zeitliche Entwicklung eines anfänglich rechteckigen Phasenraumvolumens

für den Lorenz-Attraktor.

Am Lorenz-Attraktor kann man auch verfolgen, wie sich ein Volumenelement

des Phasenraums verformt. Es wird dabei kleiner, verteilt sich aber über einen

sehr großen Teil des Phasenraums. Abb. 1.39 verfolgt ein anfänglich rechteckiges

Volemenelement (in der xy-Ebene) entlang der Trajektorie. Nach einer genügend

langen Zeit ist das Volumen so stark deformiert, dass es praktisch den gesamten

Teil des zugänglichen Phasenraums abdeckt. Diesen Effekt bezeichnet man auch

als topologische Transitivität oder Mischen. Dies stellt einen wichtigen Aspekt

chaotischer Dynamik dar.


KAPITEL 1. ANALYTISCHE MECHANIK 112

1.8.6 Poincaré-Schnitte

Die Frage nach einer chaotischen Dynamik ist verknüpft mit der Frage nach der

Integrabilität. Wir haben bereits bemerkt, dass ein System von f Freiheitsgraden

integrabel ist, wenn es f Integrale der Bewegung gibt, d. h.

Ii(qk, pk) = Ci = const.

Diese schränken die Bewegung im 2f-dimensionalen Phasenraum auf eine f-dimensionale

Hyperfläche ein.

Die Frage, ob es solche Integral gibt, ist nicht einfach zu beantworten. Poincaré

hat am Ende des 19. Jahrhunderts die sogenannten Poincaré-Schnitte eingeführt,

um die Frage iterativ zu beantworten. Dabei stellt man die Durchstoßpunkte der

Trajektorie mit einem geeigneten Unterraum dar, also z.B. mit einer Ebene im

dreidimensionalen Raum. Damit wird die stetige n-dimensionale Dynamik in eine

diskrete n − 1-dimensionale Dynamik übergeführt.

Wir betrachten ein konservatives System mit zwei Freiheitsgraden, dessen Dynamik

durch die Hamiltonfunktion H(q1, q2, p1, p2) gegeben ist. Diese Funktion ist

das erste Integral der Bewegung und es gilt

H(q1, q2, p1, p2) = E = const.

Damit ist die Bewegung auf eine dreidimensionale Oberfläche in R 4 eingeschränkt.

Lässt sich jetzt noch ein weiteres Integral

I2(q1, q2, p1, p2) = C2 = const

finden?

Wenn es so ein Integral gibt, dann definiert es ebenfalls eine dreidimensionale

Oberfläche im Phasenraum. Für gegeben Werte E, C2 muss daher die Bewegung

auf den Schnitt beider Oberflächen, also eine 2-dimensional Fläche eingeschränkt

werden. Wenn wir jetzt nur die Hyperfläche q2 = 0 des allgemeinen Phasenraums

R 4 betrachten, wird diese 2d-Fläche auf eine Raumdimension projiziert,

d.h die Bewegung muss sich auf einer 1-dimensionalen Kurve bewegen. Um diese

zu finden, können wir numerisch die Bewegungsgleichungen integrieren und die

gefundene Trajektorie mit einer geeigneten Ebene schneiden. Wie können z.B.

die Werte (q2, p2) jedesmal wenn q1 = 0 und p1 > 0 sind als einen Punkt in der

q2, p2 Ebene des Phasenraums plotten. Existiert eine Konstante der Bewegung,

so liegen somit alle Punkte auf einer eindimensionalen Kurve.

Abb. 1.40 zeigt als Beispiel einen Poincaré Schnitt durch den Lorenzattraktor.

Die gelbe Kurve ist eine Projektion des Attraktors auf die xy-Ebene; die blauen

Kreise markieren die Durchstoßpunkte durch die Ebene z = 25 von unten nach

oben, die roten Kreise den Durchstoß von oben nach unten.

Eine weitere typische Anwendung von Poincaré Schnitten ist der Schnitt mit

einer Zeit-Ebene, d.h. das Festhalten von Punkten im Phasenraum zu bestimmten

Zeiten. Ein typisches Beispiel: bei einer periodischen äußeren Kraft werden

die Koordinaten des Systems im Phasenraum jeweils bei der gleichen Phase der

Störung geplottet. Erreicht das System einen stabilen Grenzzyklus, so hat dieser


KAPITEL 1. ANALYTISCHE MECHANIK 113

Abbildung 1.40: Poincaré Schnitt durch den Lorenz Attraktor auf der Höhe z =

25.

die gleiche Frequenz wie die Störung. Das System erscheint somit im Poincaré

Schnitt als einzelner Punkt.

Das Vorgehen kann man auch experimentell verwenden um festzustellen, ob ein

System chaotisch ist: Man misst eine oder mehrere Größen des Systems stroboskopisch

und stellt die Messresultate graphisch dar.

1.8.7 Populationsdynamik

Wir betrachten die Entwicklung von 2 Tierarten, von denen eine eine Raubtierspezies

ist, die andere ihr Beutetier. x stellt die Bevölkerungszahl der Beutetiere

und y die Bevölkerungszahl der Raubtiere dar.

Eine sinnvolle Bewegungsgleichung für die Beute ist z.B.

˙x = x(g1 − s1 − a1x − ry).

Hier bezeichnet g1 die Geburtsrate, s1 die natürliche Sterberate, a1 eine erhöhte

Sterberate bei hoher Population (Begrenzung durch natürliche Resourcen) und

r die Rate, mit der sie von den Raubtieren gerissen werden. Die entsprechende

Bewegungsgleichung für die Raubtiere lautet

˙y = y(g2 − s2 − a2y + bx).

Die Koeffizienten g2, s2 und a2 haben eine analoge Bedeutung wie bei den Beutetieren,

b bezeichnet eine erhähte Fruchbarkeit bei gutem Nahrungsangebot (hoher

Beutepopulation).

Löst man diese Bewegungsgleichungen numerisch, so findet man meist keine kontinuierliche

Zeitentwicklung, sondern ein oszillatorisches Verhalten, welches je

nach Parametern einem stationären Zustand zustrebt. Wir untersuchen das System,

indem wir zunächst nach Fixpunkten suchen. Neben dem trivialen Fixpunkt

x0 = y0 = 0 existieren drei weitere Fixpunkte. Wir finden diese, indem wir die

beiden Ableitungen =0 setzen:

0 = x(g1 − s1 − a1x − ry)

0 = y(g2 − s2 − a2y + bx).


KAPITEL 1. ANALYTISCHE MECHANIK 114

Abbildung 1.41: Oszillationen der Populationen von Raubtier und Beutetier.

Die Lösungen sind

x1 = 0, y1 = g2 − s2

x2 = g1 − s1

a1

a2

,

, y2 = 0,

x3 = a2(g1 − s1) − r(g2 − s2)

a1a2 + br

y3 = b(g1 − s1) + a1(g2 − s2)

.

a1a2 + br

Bei den ersten beiden Lösungen existiert jeweils nur eine der beiden Spezies. Nur

die dritte Lösung entspricht einem Gleichgewicht zwischen den beiden Tierarten.

Das Verhältnis zwischen den beiden Arten ist

x3

y3

= −a2(g1 − s1) + r(g2 − s2)

b(g1 − s1) + a1(g2 − s2) .

Einen vereinfachten Ausdruck erhalten wir, wenn wir die Beschränkung durch die

Umwelt für diese Lösung vernachlässigen, a1 = a2 = 0 :

x3 = − g2

b ; y3 = g1

. (1.8.1)

r

Hier haben wir außerdem die Sterberate eliminiert: es spielt jeweils nur die Netto-

Geburtenrate (=gi − si) eine Rolle.

Diese Lösung ist zwar mathematisch korrekt, aber physikalisch unsinnig: Populationen

können nicht negativ sein. Die Beschränkung durch die Umwelt ist also

notwendig, wenn wir einen Fixpunkt, also eine stationäre Population, haben wollen.

Voraussetzung für eine positive Population der Beutetiere ist

a2 > r g2

.

Dieser Fixpunkt ist über einen weiten Parameterbereich stabil.

g1


KAPITEL 1. ANALYTISCHE MECHANIK 115

1.8.8 Populationsoszillationen

Es gibt allerdings doch eine Möglichkeit, dass Gleichung (1.8.1) einen physikalisch

sinnvollen Zustand beschreibt: wenn g2 < 0, d.h. wenn die Netto-Geburtenrate der

Raubtiere negativ ist. Dies würde zu einem Verschwinden der Raubtierpopulation

führen, wenn nicht die Beutetier-abhängige Geburtenrate bxy wäre. Wir schreiben

die negative Netto-Geburtsrate als Sterberate −y s2 und erhalten

˙x = x(g1 − ry)

˙y = y(−s2 + bx).

Beim Beutetier haben wir die Sterberate s1 = 0 gesetzt (resp. wir betrachten

g1 als die Netto-Geburtenrate). Beim Raubtier sind Geburten nur proportional

zur Population des Beutetiers möglich. Dieses Gleichungssystem wird auch als

Lotka-Volterra Modell bezeichnet. Dieses System hat einen Fixpunkt bei

x = s2

b

y = g1

r .

Weil das System nicht dissipativ ist, laufen Trajektorien in der Umgebung dieses

Fixpunktes nicht darauf zu, sondern bilden Ellipsen um diesen Punkt. Größere

Kurven sind verformte Ellipsen, wie in Abb. 1.42 gezeigt.

Abbildung 1.42: Oszillationen der Populationen von Raubtier und Beutetier im

Lotka-Volterra Modell.

Abb. 1.42 zeigt typische Populationsozillationen im Lotka-Volterra Modell. Wenn

die Population der Raubtiere niedrig ist, steigt die Population der Beutetiere exponentiell

an. Dies führt dann (etwas verzögert) zu einer Zunahme der Population

bei den Raubtieren. Dadurch bricht die Population der Beutetiere ein, und, wiederum

verzögert, die Population der Raubtiere. Danach beginnt der Zyklus von

vorn.

Solche Oszillationen hat man auch tatsächlich in vielen Fällen beobachtet. Abb.

zeigt ein Beispiel.

1.8.9 Verzögerte Rückkopplung

Das hier betrachtete Modell ist stark vereinfacht, und einige Punkte, die bei einem

realistischeren Modell zu berücksichtigen wären, führen auch zu Oszillationen.


KAPITEL 1. ANALYTISCHE MECHANIK 116

Abbildung 1.43: Oszillationen der Populationen von Raubtier und Beutetier;

aus C.B. Huffaker, Experimental studies on predation: dispersion factors and

predator-prey oscillations; Hilgardia 27, 343 (1958).

Dazu gehört z.B. eine zeitliche Verzögerung: So führt eine erhöhte Geburtenrate

jetzt zu einem späteren Zeitpunkt zu geringeren Resourcen, höherem Bedarf an

Beutetieren und höheren Todesraten. Die Bewegungsgleichungen enthalten dann

Terme der Art

˙x = x(t)(1 − x(t − τ)),

wobei τ die Verzögerungszeit darstellt. Wenn wir in diesem System eine dimensionslose

Zeit z = at einführen und c = aτ definieren, erhalten wir

dx

dz

= x(z)(1 − x(z − c)).

Dieses System hat offenbar zwei Fixpunkte: den trivialen x = 0 und außerdem

x = 1. Für c = 0 ist der erste instabil, der zweite stabil. Wir können um diesen

linearisieren, indem wir

x = 1 + u

setzen und erhalten

du

dz

= (1 + u(z))(−u(z − c)) ≈ −u(z − c). (1.8.2)

Ein sinnvoller Lösungsansatz ist somit eine Exponentialfunktion,

Einsetzen in (1.8.2) ergibt

und somit

u(z) = u0e λz .

λu(z) = −u(z − c) = −u(z)e −λc

λ = −e −λc .

Das System hat somit stabile Lösungen (λ < 0) sofern c genügend klein ist (d.h.

sofern die Verzögerung genügend kurz ist). Betrachten wir auch komplexe Raten

λ, so erhalten wir oszillatorische Lösungen mit ℜ{λ} = 0 für c = π/2 und λ = i.

In diesem Fall ist das System periodisch, mit der Periode T = 4τ. Diese Art von

Dynamik findet man in sehr unterschiedlichen Systemen, u.a. in der Elektronik,

wo zeitlich verzögerte Rückkopplungen oft zu Oszillationen führen.


KAPITEL 1. ANALYTISCHE MECHANIK 117

1.8.10 Chemische Kinetik

Ähnlich wie die Populationen von Organismen verhalten sich auch die Populationen

von Molekülen. Hier werden die Konzentrationen durch chemische Reaktionen

verändert, welche eine Spezies in eine oder mehrere andere überführen.

Während die meisten Reaktionen auf ein Gleichgewicht zulaufen, gibt es auch eine

Reihe von Reaktionen, welche oszillatorische Lösungen erlauben. Dies geschieht

vor allem wenn eine Rückkopplung existiert, z.B. wenn ein Reaktionsprodukt die

Reaktion beschleunigt. Dadurch entstehen nichtlineare Bewegungsgleichungen.

Ein klassisches Beispiel ist die Bjeloussow-Zhabotinski-Reaktion (BZ-Reaktion):

bei ihr oszillieren die Kozentrationen der beteiligten Moleküle, und diese Änderungen

kann man über einen Farbumschlag beobachten. Dabei wird Malonsäure CH2(COOH)2

in Gegenwart von Bromat (BrO3) teils durch CO2-Abspaltung zu Ameisensäure

HCOOH, teils zu Brom-Malonsäure. Anwesende Metallionen wie Ce 3+/4+ ändern

dabei periodisch Wertigkeit und Farbe, oft dramatisch von violett zu gelb oder

rot zu blau. Diese Periodizität, die im Reagenzglas nach vielen Minuten erlischt,

lässt sich unbegrenzt aufrechterhalten, wenn man immer wieder frische Reaktanten

zu- und Produkte abführt. Die Reaktion strebt keinem Fixpunkt zu, sondern

einem Grenzzyklus.

Abbildung 1.44: Bjeloussow-Zhabotinsky Reaktion in einem gerührten (homogen

gemischten) Gefäß.

Ist die Reaktion nicht homogen, also nicht an allen Orten im Reaktionsgefäß

gleich weit fortgeschritten, so können auch räumliche Muster entstehen.

Inzwischen kennt man Dutzende oszillierende Reaktionen, in denen sich auch

verblüffende räumliche Muster entwickeln und verändern. Alle laufen fern vom

Gleichgewicht (im Durchflussreaktor) und setzen mindestens eine Rückkopplung

(Autokatalyse) voraus.

1.8.11 Stabilität von Bahnen im Sonnensystem

Ein wichtiger Beitrag zu empfindlicher Abhängigkeit von den Anfangsbedingungen

sind Resonanzeffekte. Diese treten z.B. dann auf, wenn zwei Freiheitsgrade

aneinander gekoppelt werden, deren natürliche Resonanzfrequenzen gleich oder

fast gleich sind. Darüber hinaus können auch Resonanzen auftreten, wenn die


KAPITEL 1. ANALYTISCHE MECHANIK 118

natürlichen Resonanzfrequenzen der beiden gekoppelten Systeme in einem einfachen

Verhältnis stehen, wie z.B. 1:2 oder 2:3. Diesen Effekt kann man z.B.

in unserem Sonnensystem beobachten wenn man den Asteroidengürtel zwischen

Mars und Jupiter beobachtet.

Abbildung 1.45: Häufigkeitsverteilung der Asteroiden als Funktion des Abstandes

von der Sonne.

Umlaufbahnen, deren Umlauffrequenzen in einem rationalen Verhältnis zur Jupiter-

Umlauffrequenz liegen, werden nicht beobachtet. Die wichtigsten Lücken entsprechen

3:1, 5:2, 7:3 und 2:1 Resonanzen. Bei diesen Resonanzen wurden die Bahnen

der Asteroiden zu stark gestört.

Abbildung 1.46: Saturnringe.

Damit eng verwandt sind die Teilungen der Saturnringe: Sie entsprechen rationalen

Verhältnissen der Umlauffrequenz der Saturn-Monde Mimas (Umlaufzeit

0.9 Tage) und Enceladus (1.4 Tage). Die Cassini Teilung ist bei ω ≈ 2ωMimas

zu finden. Der Radius des Orbits von Mimas beträgt 185520 km, derjenige der

Cassini Teilung 120000 km.


KAPITEL 1. ANALYTISCHE MECHANIK 119

Abbildung 1.47: Lagrange-Punkte.

Lagrange konnte beweisen, dass das im Allgemeinen analytisch nicht lösbare

Dreikörperproblem für einige Spezialfälle doch analytisch lösbar ist: Für zwei umeinander

kreisende Körper gibt es für einen dritten Körper – mit im Verhältnis zu

den anderen beiden verschwindend kleiner Masse – fünf solcher Lagrangepunkte.

Die Punkte nennt man Lagrange-Punkte 1 bis 5 oder kurz L1 bis L5. Nur in

den Punkten L4 und L5 liegt ein stabiles Gleichgewicht vor, bei L1 bis L3 dagegen

ein labiles. Daher können sich in der Umgebung von L1 bis L3 natürliche

Himmelskörper nicht auf Dauer halten.

Der L2-Punkt des Systems Erde-Sonne befindet sich ca. 1.5 Mio km außerhalb

der Erdbahn. Er wird gerne für Weltraumteleskope verwendet. Da ein Körper

im L2 dieselbe Orientierung in Bezug auf Sonne und Erde beibehält, ist dort die

Abschirmung (vor Sonnenstrahlung) und Kalibrierung des Satelliten wesentlich

einfacher. Dort befinden sich z.B. die Satelliten WMAP, Herschel und Planck.

1.8.12 Bifurkationen

Wie bereits diskutiert, kann der Charakter der Lösungen einer Bewegungsgleichung

sich qualitativ ändern, wenn ein Systemparameter eine bestimmte Grenze

überschreitet. So kann z.B. die Zahl der stabilen Trajektorien sich ändern. Man

spricht in einem solchen Fall von “Bifurkation”.

1.8.12.1 Sattelpunkt-Bifurkation

Wir betrachten als Beispiel die Bewegungsgleichung

˙x = λ − x 2

(1.8.3)

und suchen nach Fixpunkten, d.h. nach Punkten, bei denen ˙x = 0. Offenbar hängt

die Zahl der Lösungen vom Parameter λ ab: Für λ < 0 existiert keine Lösung.

Für λ > 0 existieren 2 Lösungen

x0 = ± √ λ.

Die beiden Lösungen unterscheiden sich bezüglich ihrer Stabilität. Wir untersuchen

die Stabilität, indem wir die Bewegungsgleichung in der Nähe der Fixpunkte

linearisieren. Für x0 = + √ λ setzen wir

ɛ = x − √ λ


KAPITEL 1. ANALYTISCHE MECHANIK 120

und erhalten die linearisierte Differentialgleichung

mit der Lösung

˙ɛ = −2ɛ √ λ

ɛ(t) = ɛ(0)e −2√ λt .

Für x0 = + √ λ wird die Auslenkung ɛ somit gedämpft, d.h. es handelt sich um

einen stabilen Fixpunkt.

Für den anderen Fixpunkt, x0 = − √ λ setzen wir analog

Die linearisierte Differentialgleichung

hat die Lösung

ɛ = x + √ λ.

˙ɛ = 2ɛ √ λ

ɛ(t) = ɛ(0)e 2√ λt .

Hier handelt es sich somit um einen instabilen Fixpunkt.

1.8.12.2 Heugabel-Bifurkation

Abbildung 1.48: Sattelpunkt-Bifurkation.

Wenn wir in der Gleichung 1.8.3 die rechte Seite mit x multiplizieren,

˙x = λx − x 3 ,

erhalten wir einen ersten Fixpunkt bei x0 = 0 und, für λ > 0 zusätzlich die beiden

Fixpunkte bei x0 = ± √ λ.

In diesem Fall sind die Fixpunkte bei x0 = ± √ λ stabil, der Fixpunkt bei x0 = 0

ist stabil für λ < 0, aber instabil für λ > 0.

Das gleiche erkennt man auch, wenn man das entsprechende Potenzial betrachtet.

Abbildung 1.50 zeigt eine Darstellung des Potenzials: entlang der Achse x = 0

verschwindet es. Für λ < 0 findet man ein einzelnes Minimum bei x = 0, für

λ > 0 zwei Minima bei ± √ λ sowie ein Maximum, d.h. einen instabilen Fixpunkt,

bei x = 0.


KAPITEL 1. ANALYTISCHE MECHANIK 121

1.8.13 Wege ins Chaos

Abbildung 1.49: Heugabel-Bifurkation.

Abbildung 1.50: Heugabel-Bifurkation.

Obwohl es keine allgemeinen Kriterien für das Auftreten von Chaos gibt, haben

wir doch einige Hinweise gefunden, wann wir Chaos erwarten können: mehrere

gekoppelte Freiheitsgrade und nichtlineare Dynamik. Das Wetter ist das bekannteste

Beispiel für deterministisches Chaos, wo trotz strenger Abhängigkeit des

Folgezustandes vom vorhergehenden keine langfristige Vorhersage möglich ist.

Winzige Änderungen in den Anfangsbedingungen wachsen exponentiell, bis die

entsprechenden Trajektorien weit auseinander gelaufen sind. Auch dann könnten

sie noch in einen gemeinsamen Fixpunkt oder Grenzzyklus münden. Chaos liegt

vor, wenn das Phasenporträt keinen solchen gewöhnlichen Attraktor enthält, sondern

einen seltsamen Attraktor.

In vielen Systemen kann man, je nach Parameterbereich, sowohl reguläre wie

auch chaotische Dynamik beobachten. Außerdem gibt es Zwischenschritte. Einige

Szenarien treten in unterschiedlichen Systemen auf, so dass sie auch allgemein

diskutiert wurden. Dazu gehört z.B. das Szenario der wiederholten Periodenverdoppelung:

Ein System ist z.B. bei kleiner Störung periodisch, d.h. es besitzt

einen Grenzzyklus als stabilen Attraktor.

Mit zunehmender Stärke der Störung kann das System vom periodischen Verhalten

abweichen; in diesem Fall verdoppelt sich die Periode, d.h. das System kehrt

erst nach 2 Umläufen wieder zum Ausgangszustand zurück. Die Periode kann

dann noch mehrfach verdoppelt werden, so dass sie nach k Verdopplungen

Tk = T12 k−1

beträgt.

Die Periodenverdopplung kann man schön anhand von Poincaré Schnitten verfolgen.

Bei einem periodischen System, welches wir stroboskopisch beobachten,


KAPITEL 1. ANALYTISCHE MECHANIK 122

Abbildung 1.51: Periodenverdopplung, dargestellt im Phasenraum.

Abbildung 1.52: Periodenverdopplung, dargestellt als eine Reihe von Poincaré

Schnitten als Funktion eines Kontrollparameters.

erhalten wir nur einen einzelnen Punkt. Nach der Periodenverdopplung findet man

2 Punkte, nach k Periodenverdopplungen 2 k Punkte. Feigenbaum konnte zeigen,

dass in vielen Systemen die Abstände zwischen den Verdopplungen inem einfachen

Gesetz folgen. Dieser Weg zum Chaos wird deshalb auch als “Feigenbaum-

Szenario” bezeichnet. Feigenbaum konnte zeigen, dass der Abstand zwischen zwei

Verdopplungspunkten exponentiell abnimmt, so dass die Periodendauer bei einem

endlichen Wert des Kontrollparameters undendlich wird. Eine unendliche Periodendauer

entspricht einem chaotischen System.

1.8.14 KAM-Theorem

” Chaos tritt bei und in der Nähe von resonanten Tori auf.“

K steht für A.N. Kolmogorov

A steht für W.I. Arnold

M steht für J. Moser


KAPITEL 1. ANALYTISCHE MECHANIK 123

Def: Resonanter Torus

∃m1, m2, ..., mf ∈ Z m �= 0 (1.8.4)

mit m1ω1 + m2ω2, ..., mfωf = 0 (1.8.5)

{ωk} sind die Kreisfrequenzen des integrablen Systems.

Beispiel: 0 = ω1 − 2ω2

Gegenbeispiel: ω1 = √ 5−1

2 ω2 ist nicht resonant.

Def: Ein nicht-resonanter Torus liegt vor, wenn aus

folgt, dass mi = 0 ∀i ist.

0 =

f�

i=1

miωi

Das sogenannte KAM-Theorem macht die folgenden Aussagen:

(1.8.6)

1) Fas alle invarianten Tori integrabler Systeme werden durch eine kleine

Störung nur verformt, nicht zerstört. Das bedeutet, dass die Bewegung regulär

bleibt und nicht chaotisch wird.

2) Invariante Tori bei und in der Nähe von Resonanzen werden instabil.

3) Das Maß der Menge instabiler Tori kann beliebig klein gemacht werden

dadurch, dass die Störung kleingemacht wird.

Wir starten vom integrablen System H0(I), in dem die ϕk zyklisch sind und die

Bewegung durch

˙ϕk = ∂H0

∂Ik

= ωk(I) (1.8.7)

bestimmt ist. Nun schalten wir eine Störung

H(ϕ, I) = H0(I) + εH1(ϕ, I) (1.8.8)

hinzu, wobei |ε| ≪ 1 ein kleiner Parameter ist, in dem wir bis lineare Ordnung

entwickeln. Wir suchen nun eine kanonische Trafo (ϕ, I) → (ϕ ′ , I ′ ), so dass

K(ϕ ′ , I ′ ) = H(ϕ(ϕ ′ , I ′ ), I(ϕ ′ , I ′ )) (1.8.9)

= K(I ′ ) + O(ε 2 ) (1.8.10)

zunächst bis auf O(ε 2 ) Terme nur von den Wirkungsvariablen abhängt. Wir suchen

F2(ϕ, I ′ ) mit

Ik = ∂F2

∂ϕk

Damit wird (1.8.10) zur Bedingung

, ϕ ′ k = ∂F2

∂Ik

. (1.8.11)

H(ϕ, ∇ϕF2(ϕ, I ′ )) = K(I ′ ) + O(ε 2 ) (1.8.12)


KAPITEL 1. ANALYTISCHE MECHANIK 124

Auch die gesuchte Trafo geht für ε → 0 in die Identität über. Daher ist der Ansatz

für F2

F2(ϕ, I ′ ) = F (0) + εF (1) + O(ε 2 ) (1.8.13)

naheliegend mit

F (0) =

f�

k=1

da das die Identität erzeugt. Einsetzen in (1.8.12) liefert

ϕkI ′ k , (1.8.14)

K(I ′ ) = H0(∇ ϕF2) + εH1(ϕ, ∇ ϕF2) + O(ε 2 ) (1.8.15)

= H0(I ′ + ε∇ ϕF (1) ) + εH1(ϕ, I ′ ) + O(ε 2 ) (1.8.16)

= H0(I ′ ) + ε

f� ∂H0 ∂F (1)

k=1

∂Ik

∂ϕk

+ εH1(ϕ, I ′ ) + O(ε 2 ) (1.8.17)

worin wir noch ωk = ∂H0 einsetzen können. Die Abhängigkeit von den Winkelva-

∂Ik

riablen ist immer 2π-periodisch:

H(ϕ + 2πn, I) = H(ϕ, I) (1.8.18)


nf


⎜n1⎟

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎜n2⎟

mit n = ⎜ ⎟

⎜ ⎟ , ni ∈ Z (1.8.19)

⎜ .


⎜ ⎟

⎝ ⎠

Also entwickeln wir H1 und F (1) in einer Fourierreihe:

H1(ϕ, I ′ ) = �

H1(m, I ′ �

f�

) exp i

F (1) (ϕ, I) =

{m∈Z}


{m∈Z,m�=0}

F (m, I ′ ) exp

k=1


i

mkϕk

f�

k=1


mkϕk


(1.8.20)

(1.8.21)

Hierbei haben wir den explizit winkelunabhängigen Anteil bei m = 0 weggelassen,

da er keine Veränderung der I erzeugt. Mit den obigen Ansätzen lassen sich die

partiellen Ableitungen in (1.8.17) leicht ausrechnen. (1.8.17) ergibt:

K(I ′ ) − H0(I ′ ) = εH1(0, I ′ )

+ �

{m∈Z,m�=0}

+ O(ε 2 )


H1(m, I ′ ) + iF (m, I ′ )

f�

k=1

mkωk


exp


i

f�

k=1

mkϕk


KAPITEL 1. ANALYTISCHE MECHANIK 125

Nun muss zwingend jede geschweifte Klammer verschwinden, damit auf der rechten

Seite keine Abhängigkeit von ϕ übrig bleibt. Also muss gelten:

F (m, I ′ ) = i H1(m, I ′ k)

� f

k=1 mkωk

Die Konstruktion von F scheitert für ein m mit

0 =

f�

k=1

mkωk

(1.8.22)

Fazit: resonante Tori lassen sich nicht verformen, sie gehen kaputt!

Selbst für nicht-resonante Tori gilt:

��

���� f�

��



inf mkωk�

= 0 (1.8.23)

{m�=0}


k=1

Also muss H1(m, I ′ ) genügend schnell abnehmen, damit der Ansatz funktioniert.

Die genauere mathematische Analyse überlassen wir der Fachliteratur. Wir können

aber verstehen, warum kommensurable Frequenzen anfälliger für Chaos als inkommensurable

sind.

Anschaulich können sich solche Bewegungen gegenseitig hochschaukeln, weil sie

eben in Resonanz sind. Das ist analog zu einem getriebenen Oszillator, der bei

seiner Resonanzfrequenz am stärksten reagiert.

Tatsächlich findet man im Asteroidengürtel zwischen Mars und Jupiter keine

Umlaufbahn, die mit der Umlauffrequenz von Jupiter kommensurabel sind. Die

Häufigkeit einer Umlauffrequenz ωAsteroid ist besonders gering, wenn ωAst/ωJupiter

in der Nähe einfacher rationaler Zahlen liegt. Ebenso korrelieren die Teilungen

der Saturnringe mit rationalen Verhältnissen zu den Umlauffrequenzen der Monde

Mimas Und Enceladus. Die Cassini-Teilung, die die Größte ist, ist bei ω = 2ωMimas

zu finden.

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