Einschub – krummlinige Koordinaten.

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Einschub – krummlinige Koordinaten.

Einschub krummlinige Koordinaten.

Felder

Skalare Felder: Φ(x,y,z) ordnen jedem Raumpunkt (x,y,z) ein Skalar

Φ zu. Beispiel: Temperaturfelder T(x,y,z), Dichtefelder ρ(x,y,z) usw.

Vektorielle Felder: � A(x,y,z) ordnen jedem Raumpunkt (x,y,z) ein

Vektor � A zu. Beispiel: Fließgeschwindigkeitsfelder �v(x,y,z), elektrische

und magnetische Felder � E(x,y,z), bzw. � B(x,y,z) usw.

Tensoren: Â(x,y,z)

Nabla-Operator, Laplace-Operator, Gradient, Divergenz und

Rotation

Nabla-Operator

∇ = ∂

∂x �er + ∂

∂y �ey + ∂

∂z �ez

Gradient eines Skalar-Feldes (ist ein Vektor-Feld)

grad Φ = ∇Φ = ∂

∂x Φ�ex + ∂

∂y Φ�ey + ∂

∂z Φ�ez

Divergenz eines Vektor-Feldes (ist ein Skalar-Feld)

div � A = ∇ · � A = ∂

∂x Ax + ∂

∂y Ay + ∂

∂z Az

Rotation eines Vektor-Feldes ergibt wieder ein Vektor-Feld:

rot � A = ∇ × � � �

� �ex �ey �ez �

� �

A = � ∂ ∂ ∂ �

� ∂x ∂y ∂z �

� Ax Ay Az




=

∂y Az − ∂

∂z Ay

� �


�ex +

∂z Ax − ∂

∂x Az

� �


�ey +

∂x Ay − ∂

∂y Ax


�ez

Der Gradient eines Skalar-Feldes gibt in jedem Punkt Betrag und Richtung

der größten Steigung an.

Die Divergenz eines Vektor-Feldes ist ein Maß für den Fluss der Vektorgröße

in jedem Raumpunkt, d.h. die Divergenz mißt die Quell- bzw. Senkkenstärke

eines Vektorfeldes (div � A > 0 → Quelle, div � A < 0 → Senke).

1


Die Rotation eines Vektor-Feldes ist ein Maß für die Wirbelstärke eines

Vektorfeldes.

Einige nützliche Formelm:

∇ ∗ (A + B) = ∇ ∗ A + ∇ ∗ B (1)

wobei ∗ für Divergenz, Gradient oder Rotation steht und A,B sowohl

für Skalarfunktionen (beim Gradienten), als auch für Vektorfunktionen (bei

Rotation unbd Divergenz) steht.

∇ · (Φ � A) = (∇Φ) · � �

A + Φ ∇ · � �

A

∇ × (Φ � A) = (∇Φ) × � �

A + Φ ∇ × � �

A

(3)

� �

∇ · �A × B�

= � �

B · ∇ × � �

A − � �

A · ∇ × � �

B

� �

∇ × �A × B�

=

� � �

�B · ∇ �A − B�

∇ · � � � � �

A − �A · ∇ �B + A�

∇ · � �

B

� �

∇ �A · B�

=

� � � � �

�B · ∇ �A + �A · ∇ �B + B � × ∇ × � �

A + � �

A × ∇ × � �

B

Mehrfachanwendung des Nabla-Operators und Laplace-Operator

Laplace-Operator (Skalar)

∆ = ∇ · ∇ = ∂2

∂x

∂y

∂2 ∂2

+ + 2 2

Weitere Mehrfachausführungen des Nabla-Operators sind:

div(grad Φ) = ∇ · (∇Φ) = ∆Φ = ∂2 ∂2 ∂2

∂x2Φ +

∂y2Φ +

∂z2Φ (2)

∂z 2� �a (4)

⇒ (Skalar)

grad (div � A) = ∇(∇ · � A) ⇒ (Vektor)

rot(rot � A) = ∇ × (∇ × � A) = ∇(∇ · � A) − ∆ � A ⇒ (Vektor)

Als sehr nützlich erweisen sich die verschwindenden Kombinationen siehe

z.B. Herleitung der Balance-Gleichungen für Energie und Ladung, sowie

2


auch der Wellengleichung in der E-Dynamik:





rot(grad Φ) = ∇ × (∇Φ) = �



�ex


∂x

�ey


∂y

�ez


∂x

Φ ∂

∂y


∂z

Φ ∂

∂z Φ





� ≡ 0 (5)



div(rot � A) = ∇ · (∇ × � A) ≡ 0 (6)

Zylinderkoordinaten

Definitionen der Koordinaten, Einheitsvektoren und des Nabla-Kalküls:

x = r cos φ y = r sin φ z = z

�er = cos φ�ex + sin φ�ey + �ez

∂ �eφ ∂ ∂

∇ = �er + + �ez

∂r r ∂φ ∂z

; �eφ = − sin φ�ex + cos φ�ey ; �ez = �ez

Gradient, Divergenz und Rotation

grad Φ = ∇Φ = ∂

∂r Φ�er + 1

r

div � A = ∇ · � A = 1

r


∂r (r Ar) + 1

r


∂φ Φ�eφ + ∂

∂z Φ�ez


∂φ Aφ + ∂

∂z Az

rot � A = ∇ × � A = 1



� �er r�eφ �ez �



� ∂ ∂ ∂ �

r � ∂r ∂φ ∂z �

� Ar r Aφ Az


= 1

��


r ∂φ Az − ∂


(r Aφ) �er +

∂z


+ r ∂

∂z Ar − r ∂

∂r Az


�eφ +

+ 1



r ∂r (r Aφ) − ∂

∂φ Ar

� �

�ez

mit � A = Ar �er + Aφ �eφ + Az �ez.

Der Laplace-Operator:

3


∆Φ = 1

r


∂r


r ∂Φ


+

∂r

1

r2 ∂2Φ ∂φ2 + ∂2Φ ∂z2 Komponenten von ( � A · ∇ � B) ⇒ wird in der Hydrodynamik (Konvektionsterme)

gebraucht.


( � A · ∇ � �

B)


( � A · ∇ � �

B)


( � A · ∇ � �

B)

r

φ

z


= Ar

∂r Br + Aφ ∂

r ∂φ Br


+ Az

∂z Br − AφBφ

r


= Ar

∂r Bφ + Aφ ∂

r ∂φ Bφ


+ Az

∂z Bφ + AφBr

r


= Ar

∂r Bz + Aφ ∂

r ∂φ Bz


+ Az

∂z Bz

Divergenz eines Tensors � � Π ⇒ Kontinuumsmechanik (Spannungs-

Gleichgewicht) oder Hydrodynamik (Effekte der Zähigkeit/Reibung):

(∇ · � Π)r

� = 1 ∂

r ∂r (rΠrr) + 1 ∂

r ∂φ (Πφr) + ∂

∂z (Πzr) − 1

(∇ · � Π)φ

� = 1 ∂

r ∂r (rΠrφ) + 1 ∂

r ∂φ (Πφφ) + ∂

∂z (Πzφ) + 1

(∇ · � Π)z

� = 1 ∂

r ∂r (rΠrz) + 1 ∂

r ∂φ (Πφz) + ∂

∂z (Πzz)

Kugelkoordinaten

Gradient, Divergenz und Rotation

4

r (Πφφ)

r (Πφr)


x = r sin θ cos φ ; y = r sinθ sin φ ; z = r cos θ (7)

�er = sinθ (cos φ �ex + sinφ �ey) + cos θ �ez

�eφ = − sinφ�ex + cos φ�ey

�eθ = cos θ (cos φ�ex + sin φ�ey) − sin θ�ez

∇ = �er


∂r

+ �eθ

r


∂θ

+ �eφ

r sin θ

grad Φ = ∇ Φ = ∂

∂r Φ�er + 1

r

div � A = ∇ · � A =

= 1

r 2


∂r (r2 Ar) +

1

r sin θ


∂φ


∂θ Φ�eθ +


∂θ (sin θ Aθ) +

1

r sin θ

1

r sinθ

rot �A = ∇ × �A

1

=

r2 �



� �er r�eθ r sin θ�eφ





� ∂ ∂ ∂ �

sin θ � ∂r ∂θ ∂φ �



� Ar r Aθ r sin θ Aφ �

=

1

r2 ��


sin θ ∂θ (r sin θAφ) − ∂


(r Aθ) �er+

∂φ



+

∂φ Ar − ∂


(r sin θAφ) r�eθ +

∂r

+



∂r (r Aθ) − ∂

∂θ Ar


mit � A = Ar �er + Aθ �eθ + Aφ �eφ.

r sin θ�eφ


(8)

(9)

(10)

(11)


∂φ Φ�eφ (12)


∂φ Aφ

(13)

(14)

Der für uns in der Quantenmechanik entscheidende Ausdruck ist mit

Laplace-Operator in Kugelkoordinaten

∆Φ = 1

r2 � �

∂ 2 ∂ 1

r +

∂r ∂r r2 �


sin θ

sin θ ∂θ




+

∂θ

2

∂φ2 (15)

gegeben.

5

1

r 2 sin 2 θ


Der Vollständigkeit halber werden auch noch die Komponenten der Wirkung

des Laplace-Operators auf einen Vektor,

divgrad � �

A = ∇ · ∇ � �

A

angegeben:


∆ � �

A

r = ∆Ar − 2Ar 2


r2 r2 �

∆ � �

A

θ = ∆Aθ + 2

r2 ∂Aθ

∂θ


∆ � �

A

φ = ∆Aφ − Aφ

r 2 sin 2 φ +

∂Aθ

∂θ − 2Aθ cos θ

r2 2


r2 ∂Aφ

sin θ ∂φ



r2 sin2 θ

2

r2 ∂Aφ

sinθ ∂φ

2cos θ


r2 sin2 ∂Aφ

θ ∂φ

Ausdrücke, die ebenfalls in der Hydrodynamik bzw. Kontiuumsmechanik

benötigt werden.

Divergenz eines Tensors � � Π

(∇ · � Π)r

� = 1

r2 ∂

∂r (r2Πrr) + 1 ∂

r sinθ ∂θ (Πθr sin θ) + 1 ∂

r sinθ ∂φ Πφr − Πθθ − Πφφ

r

(∇ · � Π)θ

� = 1

r2 ∂

∂r (r2Πrθ) + 1 ∂

r sinθ ∂θ (Πθθ sinθ) + 1 ∂

r sinθ ∂φ Πφθ + Πθr cot θ

+

r r Πφφ

(∇ · � Π)φ

� = 1

r2 ∂

∂r (r2Πrφ) + 1 ∂

r sinθ ∂θ (Πθφ sinθ) + 1 ∂

r sin θ ∂φ Πφφ + Πφr cot θ

+

r r Πφθ

Integralsätze

Satz von Gauß

Satz von Stokes



V

C

div � �

A dV =


�A · d�r =

F

F

�A · �n dF

�n · rot � A dF

6

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