thesis - Computer Graphics Group - Charles University - Univerzita ...

Contents
1 Introduction 1
1.1 Background . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Goals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2 Differential Equations 7
2.1 Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2 Numerical Solvers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2.1 Euler Solver . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2.2 Higher Order Solvers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.2.3 Step Size Control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.3 Abstraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3 Particle Dynamics 15
3.1 Concepts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.2 Equations of Motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.3 Abstraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.4 Penalty Forces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4 Constrained Particle Dynamics 23
4.1 Lagrange Multiplier Method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.1.1 Method Background . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.1.2 Constraint Formulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4.1.3 Constraint Force Basis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4.1.4 Lagrange Multipliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4.1.5 An Example . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4.2 Constraint Abstraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.2.1 Combining Constraints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.2.2 Abstraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
4.3 Constraint Stabilization . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
5 Rigid Body Dynamics 35
5.1 Concepts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
5.1.1 Mass Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
5.1.2 Position and Orientation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
5.1.3 Linear and Angular Velocity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
5.1.4 Force and Torque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
5.1.5 Linear and Angular Momentum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
5.2 Equations of Motion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
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