Allgemeine Spiele in Normalform ¨Uberblick

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Allgemeine Spiele in Normalform ¨Uberblick

Allgemeine Spiele in Normalform

Yves Breitmoser, EUV Frankfurt (Oder)

Überblick

Mehrere Entscheider agieren simultan, vollständige Information, beliebige

Auszahlungen

In allgemeinen Spielen mit simultanen Zügen können wir zwei Phänomene

beobachten

Themen

Zusammenspiel von strategischen und sozialen Entscheidungskomponenten

Gleichgewichtsauswahl bei Existenz mehrerer Nash-Gleichgewichte

Öffentliche Güter

Individuelles Verhalten: Logit-Gleichgewichte mit sozialen Präferenzen

Beiträge im Zeitablauf: Bedingte Kooperation

Vorhersagen: Das Blanco-Engelmann-Normann-Puzzle

Koordinationsspiele: Gleichgewichtsauswahl, Risikodominanz

1


Öffentliche Güter

Das Öffentliche-Gut-Spiel

Es gibt vier Spieler. Jeder Spieler hat 20 Euro zur Verfügung, die er beliebig auf

ein privates Gut (eigener Konsum) und ein öffentliches Gut (bspw.

Haushaltskasse, GEZ-Gebühren) aufteilen kann. Vom privaten Gut profitiert er

allein. Vom öffentlichen Gut profitieren alle: Pro beigetragenem Euro erhält jeder

der Vier den Gegenwert von 0.40 Euro. Wenn s = (s 1 , s 2 , s 3 , s 4 ) die vier Beiträge

sind, ist das Netto-Konsumniveau (“Auszahlung”) von Spieler i

π i (s) = 20 − s i + 0.4 · (s 1 + s 2 + s 3 + s 4 ).

Auszahlungen: (Eigene, Durchschnitt Andere)

Durchschnitt

Eigener Beitrag

der anderen 0 4 8 12 16 20

0 (20, 20) (17.6, 21.6) (15.2, 23.2) (12.8, 24.8) (10.4, 26.4) (8, 28)

4 (24.8, 20.8) (22.4, 22.4) (20, 24) (17.6, 25.6) (15.2, 27.2) (12.8, 28.8)

8 (29.6, 21.6) (27.2, 23.2) (24.8, 24.8) (22.4, 26.4) (20, 28) (17.6, 29.6)

12 (34.4, 22.4) (32, 24) (29.6, 25.6) (27.2, 27.2) (24.8, 28.8) (22.4, 30.4)

16 (39.2, 23.2) (36.8, 24.8) (34.4, 26.4) (32, 28) (29.6, 29.6) (27.2, 31.2)

20 (44, 24) (41.6, 25.6) (39.2, 27.2) (36.8, 28.8) (34.4, 30.4) (32, 32)

2

Was passiert

Strikte Einkommensmaximierer tragen nichts bei:

Ableitung der Auszahlung π i (s) = 20 − s i + 0.4 · (s 1 + s 2 + s 3 + s 4 ) nach s i

ist negativ (−0.6)

Egal was die anderen machen, man sollte immer so wenig wie möglich

beitragen

Das machen aber nur ca. 20% der Personen

Der Rest trägt bei, vielleicht aufgrund sozialer Präferenzen

Bspw. Cobb-Douglas:

u 1 (π) = π1 0.4 · π2 0.2 · π3 0.2 · π4

0.2

Damit kann es optimal sein, selbst beizutragen.

3


Cobb-Douglas: u 1 (π) = π1 0.4 · π2 0.2 · π3 0.2 · π4

0.2

Beiträge der

Eigener Beitrag

anderen 0 4 8 12 16 20

0, 0, 0 20 19.9 19.6 19 18.2 17

4, 4, 4 22.3 22.4 22.3 22 21.6 20.8

8, 8, 8 24.5 24.7 24.8 24.7 24.5 24

12, 12, 12 26.6 26.9 27.1 27.2 27.1 26.9

16, 16, 16 28.6 29 29.3 29.5 29.6 29.5

20, 20, 20 30.6 31.1 31.5 31.8 31.9 32

Wenn alle gleich viel beitragen, sollte man genauso viel beitragen: Viele Ggws,

Koordinationsproblem; Beste Antwort robust, wenn Gegner asymmetrisch beitragen

Beiträge der

Eigener Beitrag

anderen 0 4 8 12 16 20

0, 0, 0 20 19.9 19.6 19 18.2 17

12, 0, 0 21.7 21.9 21.9 21.7 21.2 20.6

20, 4, 0 23 23.4 23.7 23.7 23.6 23.3

20, 16, 0 25.5 26 26.3 26.4 26.4 26.3

20, 20, 8 28.1 28.6 29 29.2 29.3 29.3

20, 20, 20 30.6 31.1 31.5 31.8 31.9 32

4

Cobb-Douglas: u 1 (π) = π1 0.5 · π2 0.17 · π3 0.17 · π4

0.17

Kleine

Änderung der Nutzenfunktion

Beiträge der

Eigener Beitrag

anderen 0 4 8 12 16 20

0, 0, 0 20 19.5 18.8 17.8 16.6 15

4, 4, 4 22.7 22.4 21.9 21.2 20.3 19.2

8, 8, 8 25.3 25.1 24.8 24.3 23.7 22.8

12, 12, 12 27.8 27.7 27.5 27.2 26.7 26.1

16, 16, 16 30.2 30.2 30.1 29.9 29.6 29.1

20, 20, 20 32.5 32.6 32.7 32.6 32.3 32

Nun ist das eindeutige Nash-Ggw wieder, nichts beizutragen.

Unterschied zu Einkommensmaximierung

Nutzendifferenzen zwischen den Optionen geringer

Bei zufälligen Nutzenschwankungen daher größere Neigung, beizutragen

Dies ließe sich durch Logit-Gleichgewichte mit sozialen Präferenzen

modellieren – passen die

5


Goeree, Holt und Laury (2002)

Untersuchung der Eignung von Logit-Gleichgewichten: 32 Individuen, je 10

ÖG-Entscheidungen (ohne Feedback), bei variierenden Parametern

260 J.K. Goeree et al. / Journal of Public Economics 83 (2002) 255 –276

Die Öffentliches-Gut-Spiele

were not given any information about the nature of the second experiment.

Es Participants gibt 2 oder were4 paid Spieler, their earnings jeder from hat the 25treatment Token. selected, Jederalong Token withkann a $6 privat genutzt

participation payment and earnings for the subsequent experiment. Earnings

werden

ranged(Wert from about

5) oder

$14 to

zum

$26 inöffentlichen sessions that lasted

Gutnobeigetragen more than 90 minutes,

werden. Dort hat er

einen including “internen subject Return” payment. (für den beitragenden Spieler) von τ I und einen

“externen Return” (für jeden der anderen) von τ E . Wenn s i der eigene Beitrag ist

und s −i die Summe der anderen Beiträge, dann ist die eigene Auszahlung

3. Data patterns

π i (s i , s −i ) = (25 − s i ) · 5 + s i · τ i + s −i · τ E .

In this section, J.K. weGoeree examine et al. the/ primary Journal treatment of Public Economics effects using 83 non-parametric

(2002) 255 –276 259

tests. Econometric estimates of a structural model are presented in the next section.

The Table final 1 two rows of Table 1 present summary statistics for the data in terms of

number Summary of of tokens treatments contributed out of 25. It is immediately apparent that the highest

contributions are for treatments 3 and 10 with high external returns, and the lowest

Treatment

contributions are for treatment 4 with low internal and external returns. Fig. 1

shows average contributions 1 ordered 2 by3treatment. 4 Treatments 5 6with an 7 internal 8 9 10

return of 2 cents are shown on the left of this graph, while treatments with an

Group size 4 2 4 4 2 4 2 2 4 2

internal return of 4 cents are shown on the right. For each internal return, bars

Internal return 4 4 4 2 4 4 2 4 2 4

from

External

left

return

to right reflect

2

contributions

4

in

6

treatments

2

ordered

6

from

4

low

6

to high

2 6 12

external return. The bars in the front row correspond to treatments with a group

size Mean ofcontribution two, and bars in10.7 the back 12.4 row are 14.3treatments 4.9 with 11.7a group 10.6 size7.7 of four. 6.7 10.5 14.5

Median The cost contribution of making 10 a contribution 14 17 has the 5strongest 14 effect 11on contribution 7 5 10 16.5

decisions. When the internal return increases from 2 to 4 cents (reflecting a

decrease in the net cost of contributing from 3 cents to 1 cent), contributions

increase, order inboth which for groups the decisions of size of two were andlisted four. Tonseethe thisdecision in the figure, sheets compare follows Table 1,

the three bars on the left side with the corresponding three bars on the right side

Überblick

and was such that at least two treatment variables changed between adjacent

decisions. All ten decisions were distributed in the same handout, so the order of

treatments in Table 1 is not necessarily the order in which the subjects made their

choices. In fact, the majority of subjects changed one or more of their decisions

before submitting them; overall, 18% of the choices were changed (57 of 320 total

8

choices).

Notice that the value of a token kept (5 cents) is greater than the individual’s

internal return from a token contributed in all treatments. Thus, the single-round

dominant strategy for a selfish participant is to contribute no tokens. However, it is

also the case that the total return to participants from a token contributed is greater

than the value of a token kept. Thus, full contribution by all would maximize

group earnings. Even though the setup decomposes internal and external returns,

9

the basic social dilemma structure of the standard public goods game is preserved.

The participants were recruited from undergraduate classes at the Universities of

South Carolina Fig. 1. Average and contributions Virginia, by and treatment none(number had participated of tokens contributed). in a previous public goods

experiment. The 32 subjects each made ten decisions with no feedback, so there

are 32 individual sets of ten decisions. Groups of eight subjects were in the same

room, but were visually isolated from other participants by the use of ‘blinders.’

The Jeinstructions größer derininterne Appendix Return, A weredesto distributed höher and der read Beitrag aloud by the experiment

monitor. Je größer After der participants externe Return, made contribution desto höher decisions der Beitrag for all ten scenarios, the

record Je mehr sheetsTeilhaber were collected am öffentlichen and the relevant Gut, treatment desto höher was selected der Beitrag by the throw

ofnicht a ten-sided einfach die. “Warm Matchings Glow” (in groups (Beitragen of size two als or Selbstzweck), four) were done sondern with draws CES

of marked ping-pong balls, and the contribution decisions were used to calculate

earnings, which were recorded and subsequently returned to participants. Subjects

were told in advance that the experiment would be followed by a different decision

making experiment, which helped augment their earnings. They were told that

Komparative Statik passt zu sozialen Präferenzen

Außerdem: hohe Varianz, geringe Konzentration auf einzelne Zahlen . . .

6

7


Größere Varianz im Vergleich zu den Diktatorspielen

Diktatorspiele Andreoni/Miller

Öffentliche Güter, Goeree et al.

Treatment 1 (1:3, m=7.7, s=6.5)

Treatment 2 (2:1, m=6.7, s=6.1)

Frequency

0 20 60 100

Treatment 1 (3:1, m=8, s=11.6)

Frequency

0 20 60 100

Treatment 2 (1:3, m=12.8, s=13.1)

Frequency

0 5 10

0 5 10 15 20 25

Donation

Treatment 3 (1:1, m=12.4, s=7)

Frequency

0 5 10

0 5 10 15 20 25

Donation

Treatment 4 (2:3, m=11.7, s=7.9)

0 10 20 30 40

0 10 20 30 40

Frequency

0 20 60 100

Donation

Treatment 3 (2:1, m=12.7, s=15.7)

Frequency

0 20 60 100

Donation

Treatment 4 (1:2, m=19.4, s=17.5)

Frequency

0 5 10

0 5 10 15 20 25

Donation

Treatment 5 (1:3, m=14.5, s=9.1)

Frequency

0 5 10

0 5 10 15 20 25

Donation

Treatment 6 (1:1, m=4.9, s=4.4)

0 10 20 30 40 50 60

Donation

Treatment 5 (2:1, m=15.5, s=19.8)

0 10 20 30 40 50 60

Donation

Treatment 6 (1:2, m=22.7, s=21.1)

Frequency

0 5 10

Frequency

0 5 10

Frequency

0 20 60 100

0 20 40 60 80

Donation

Treatment 7 (1:1, m=14.6, s=14.3)

Frequency

0 20 60 100

0 20 40 60 80

Donation

Treatment 8 (1:1, m=23, s=24.2)

Frequency

0 5 10

0 5 10 15 20 25

Donation

Treatment 7 (1:3, m=10.5, s=8)

0 5 10 15 20 25

Donation

Frequency

0 5 10

0 5 10 15 20 25

Donation

Treatment 8 (2:1, m=10.7, s=6.9)

0 5 10 15 20 25

Donation

Frequency

0 20 60 100

0 10 20 30 40 50 60

Donation

Frequency

0 20 60 100

0 20 40 60 80 100

Donation

Frequency

0 5 10

Treatment 9 (1:1, m=10.6, s=7.1)

0 5 10 15 20 25

Donation

Frequency

0 5 10

Treatment 10 (2:3, m=14.3, s=8.7)

0 5 10 15 20 25

Donation

8

Logit-Gleichgewicht mit sozialen Präferenzen

Definition ist wie zuvor, nun nur mit Nutzenfunktionen.

Der Einfachheit halber: zwei Spieler, gleiche Nutzenfunktion u i (π i , π j )

Im Experiment war die Aktionsmenge jedes Spielers: S i = {0, . . . , 25}

Strategie σ i weist jeder Aktion s i ∈ S i eine Wahrscheinlichkeit σ i (s i ) zu

Auszahlung π i (s i , s j ) für i, wenn die Beiträge s i und s j sind

Nutzen u(s i , s j ) = u i

(

πi (s i , s j ), π j (s j , s i ) ) für i, wenn Beiträge s i und s j sind

Erwartungsnutzen ũ(s i , σ j ), wenn man selbst s i beiträgt und gegnerische

Strategie σ j ist: ũ i (s i , σ j ) = ∑ s j ∈S j

σ j (s j ) · u i (s i , s j )

Logit-Gleichgewicht mit sozialen Präferenzen

Das Strategieprofil (σ 1 , σ 2 ) ist ein Logit-Ggw, wenn es ein λ ≥ 0 gibt, so

dass für beide Spieler i und alle Aktionen s i ∈ S i gilt:

σ i (s i ) =


s ′ i ∈S i

exp{λ · ũ i (s i , σ j )}

exp{λ · ũ i (s ′ i , σ j)} . 9


Modellierung 268

264

J.K.

J.K.

Goeree

Goeree

et

et

al.

al. /

Journal

Journal

of

of

Public

Public als Economics

Economics

83

83 Logit-Ggw (2002)

(2002)

255

255

–276

–276 mit soz. Präferenzen

exp(U

i(x i)/m)

P(x

i) 5 ]]]]]]

25

(1)

Ox50

exp(U

i(x)/m)

where the denominator ensures that the probabilities add up to 1. The error

parameter, m, determines the sensitivity of decisions to payoffs. When m is very

large, payoff differences get washed out, and behavior is close to being random.

For a small value of m, however, the decision with the highest payoff is very likely

to be selected, i.e. behavior is close to being rational.

The particular parameterization in Eq. (1), with Ui

determined by the linear

altruism model, can be used to estimate the effects of altruism and error. The

probability that individual i contributes xi

tokens is given by (1) and assuming that

decisions are independent, the likelihood function is simply given by a product of

16

these decision probabilities. Hence, ln(L) 5 oi

ln(P(x

i)) and estimates of m and a

can be obtained by maximizing the log-likelihood function with respect to these

parameters. The top row of Table 2 gives the results for this linear model. It is

clear that the Nash prediction of no error (i.e. m 50) can be rejected at very low

significance levels. The interpretation of the linear altruism parameter, a 50.1, is

that a person is willing to give up 10 cents to give $1 to another person.

Fig. 3. Average token contributions: data and predictions. Key: Data averages (thick line), linear

Palfrey and Prisbrey (1997) estimate a significant ‘warm-glow’ altruism effect

altruism model (thin line), and Cobb–Douglas model (filled squares).

Table 2

4.9 in the second, despite the fact that the linear model predicts the same

Maximum-likelihood estimates (standard errors in parentheses)

contribution of 6.4 in both cases. A similar pattern is observed in the other two

Altruism parameter Error parameter Log(L) M.S.D.

treatments: contributions are higher when an amount of money is given to one

person Homogeneous than linear whenmodel the same total a 50.10 is (0.01) divided among m 519 three (3) others. 21011.3 Notice that 2.98 the

Homogeneous Cobb–Douglas warmmodel glow model predictions g50.11 in (0.02) the last column m 526 (6) capture21020.2 the decline 5.79in

Combined homogeneous model a 50.14 (0.04) m 522 (5) 21010.4 2.62

contributions for each treatment pair, although the predicted differences are

g520.10 (0.10)

generally less than the observed differences.

a

Heterogeneous In order tolinear test model the robustness a50.12 ¯ of our (0.24) predictions, min517 particular (3) with 2847.1 respect to3.58

the

Cobb–Douglas Linear model model’s predictions a 50.10 for (0.02) larger group m 517 sizes, (3) we apply 21006.9 the estimates 2.69

0

reported Distributionabove of a values to a new set of sa

50.14 data using (0.04) groups of size two,

bfour and 12. Fig. 4

Non-linear Cobb–Douglas model b 50.13 (0.03) m 50.12 (0.02) 21010.6 2.37

gives data together with out-of-sample predictions for the linear and Cobb–

a

This is the average of the individual altruism parameter estimates (standard deviation of the

estimates is in parentheses). Ranked from low to high, the individual altruism parameters were

estimated Table 3 to be: 20.5, 20.34, 20.25, 20.24, 20.22, 20.21, 0.05, 0.08, 0.1, 0.12, 0.14, 0.14, 0.14,

0.14, Comparison 0.15, 0.16, of contributions 0.16, 0.18, 0.2, with0.23, constant 0.25, total 0.26, return 0.32, 0.33, 0.36, 0.39, 0.41, 0.43, 0.45, where the

three Treatment perfect NashData players are have Homogenous been omitted since Cobb–Douglas

their behavior is consistent with a range of

altruism (n, m

I,m parameter

E) average levels. Including linear themmodel at 0 would reduce model the average to 0.11.

b

The m estimate for the Cobb–Douglas is of a different order of magnitude because the payoffs have

been (2,2,6) transformed using 7.7 the natural 6.4 logarithm.

6.7

(4,2,2) 4.9 6.4 5.6

(2,4,6) 11.7 11.3 12.3

(4,4,2) 16 There is, of course, 10.7 the possibility 11.3 that the ten choices 10.9 made by one individual are drawn from a

(2,4,12) different distribution 14.5 than the choices 13.1 made by someone 14.0else, which we accommodate below by

(4,4,4) allowing for heterogeneity 10.6 among 13.1 individuals. 11.9

Oben Logit-Ggw passt gut zum Durchschnittsverhalten

Unten Parameterschätzung (µ = 1/λ)

Linear U i = π i + α (n − 1) π −i

Warm Glow U i = π i + g · s i

Combined U i = π i +α (n−1) π −i +g ·s i

CD U i = (1−β) ln π i +β ln ( (n−1)π −i

)

starke Hetero-

Fazit Viel Rauschen,

genität der Teilnehmer

Daneben ist die Form der Nutzenfunktion

(linear, Cobb-Douglas) nicht so

wichtig

10

Keser und van Winden (2000)

Experiment über 25 Wiederholungen des folgenden Spiels

Basisspiel

Öffentliches Gut, vier Spieler, jeder mit 10 Token. Wert eines Tokens bei privatem

Konsum: 10 Cent. Wert eines Tokens beigetragen zum ÖG: 5 Cent für jeden

Spieler. Auszahlung (in Groschen) bei Beiträgen s = (s 1 , s 2 , s 3 , s 4 )

π i (s) = 10 − s i + 0.5 ∑ j≤4

s j .

Endliche Anzahl von Wiederholungen mit bekanntem Ende: TSP-Ggw bei

Einkommensmaximierung ist weiterhin, nichts beizutragen.

Nach jeder Runde erfährt man die Beiträge der anderen

Partners condition Alle 25 Runden in der gleichen Gruppe

Strangers condition Zufällig wechselnde Gruppenzusammensetzung nach

jeder Runde

11


strangers condition, respectively ± how often a subject could observe that

his or her own contribution was above (situation 1), below (situation 2) or

Bedingte Kooperation

Wie reagieren die Teilnehmer, wenn sie in der vorhergehenden Runde mehr

Table 3. Partners condition: number of times that a subject observed his

oder weniger als der Durchschnitt der anderen beitrugen

contribution above (situation 1), below (situation 2) or equal to (situation 3)

the average contribution of the others, and subjects' reactions in these

Oben Partners condition. Unten Strangers condition.

situations

34 C. Keser and F. van Winden

Own No. of

Situation contribution observations Increase Decrease No change

Conditional cooperation and voluntary contributions to public goods 27

Table 4. Strangers condition: number of times that a subject observed his

1 . others' 387 42 188 157

Major 2 contribution Results , above others' (situation 379 1), below 161 (situation 2) 32 or equal to 186 (situation 3)

3the average ˆcontribution others' 194 of the others, 30 and subjects' 10 reactions 154 in these

Figure 1 shows the time paths of the average contributions to the public good

(activity situations Y) in the strangers condition and in the partners condition. We see

that on average subjects in both conditions make signi®cant contributions to

the 5 Further public good. support Moreover,

Own

is providedpartners No. of

by Cotterell contribute et al. (1992, more than p. 658): strangers ``It hasinbeen each

Situation contribution observations Increase Decrease found No change that more

period. resources The are average allocated contribution, to partnersover withall whom repetitions future interaction and all subjects, is expected.'' is 4.53

tokens 1 (standard . deviation others' 3.95) 926 in the partners 111condition and 5081.90 tokens 307

(standard 2 deviation , 3.05) others' in the strangers 1491 condition. # The

320editors of the Scandinavian

58

Journal

1113

of Economics 2000.

To 3 show that ˆthis others' difference 463 in the combinations 69 levels 15statistically

379

signi®cant, consider Table 1. The second column reports, for each independent

subject group, the average contributions to the public good over all 25

repetitions. Applying a two-tailed Mann±Whitney U-test, we can reject the

null Inequal beiden hypothesis to (situation Treatments: that average 3) contribution the “mehr” averagelevels ⇒contribution senken, are the same “weniger” of at the theothers. 5 percent ⇒ erhöhen The last three

signi®cance columnslevel. showWe howconclude often athat subject the contribution reacted with levels anof increase, strangersaand

decrease or no

partners change arein signi®cantly each situation. different. To test our simple qualitative decision rule, which

Figure predicts 1 further direction suggests of thata already changeinifthe a change ®rst period, is intended partners start at all, out we consider

with a higher contribution level than strangers. Applying a Mann±Whitney

the reactions increase and decrease in situations 1 and 2. If the decision rule

makes the right predictions, we should observe relatively more increases

than decreases in situation 2 and vice versa in situation 1. Applying the ÷ 2

10

test for the null hypothesis that right and wrong predictions are equally

likely, 9 we may reject the null hypothesis for each condition at the 1 percent

signi®cance 8 level. We conclude that reactive behaviour in this simple form

of reciprocity is an important behavioural aspect.

7

Interestingly, this evidence of reciprocity appears to be equally strong in

the 6 two conditions. About 80 percent of the observed changes are in the

predicted 5 direction. 6 According to Gouldner (1960), also cited in Pruitt

(1968), reciprocity can be attributed to norm reciprocity and/or tactical

4

reasoning. In the latter case, reciprocity is regarded as serving a strategic

purpose, 3 which is to encourage others to provide more. Pruitt tested both

hypotheses 2 and found experimental evidence for norm reciprocity only. Our

results seem to support Pruitt's ®ndings. If the reciprocity observed in our

1

experiment was mainly due to tactical reasoning, then it should have been

more 0 apparent in the partners than in the strangers condition.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10111213141516171819202122232425

A noticeable difference between partners and strangers concerns the

Period

number of times that subjects are observed to change their contributions.

Partners change their contributions almost equally often in situation 1 (230

Hauptunterschied times) and situation zwischen Partners

2 (193 times). beiden Strangers, Treatments: however, Verhalten changeintheir Runde contributions

“Partners” muchBedingung more situation weckt mglw. 1 (619) motivierende, than in situation kognitive2 Prozesse (378). An

1

Fig. obvious 1. Time paths reason of average is the contributions relativelyto the large public number activity Y of (partners/strangers)

free riders in the strangers

Frage Was verursacht den Abwärtstrend

Kooperation im Zeitablauf (Oben: Partners; Unten: Strangers)

Average contribution to activity Y

6

# The editors of the Scandinavian Journal of Economics 2000.

12

13


Fischbacher, Gächter und Fehr (2001)

Basisspiel

Öffentliches Gut, vier Spieler, jeder mit 20 Token. Wert eines Tokens bei privatem

Konsum: 10 Cent. Wert eines Tokens beigetragen zum ÖG: 4 Cent für jeden

Spieler. Auszahlung (in Groschen) bei Beiträgen s = (s 1 , s 2 , s 3 , s 4 )

π i (s) = 20 − s i + 0.4 ∑ j≤4

s j .

400 U. Fischbacher et al. / Economics Letters 71 (2001) 397 –404

Zwei Entscheidungen: “Unkonditionaler” Beitrag und Beitragstabelle

and this was known to the subjects. The reason for this is that we are interested in eliciting

preferences and therefore did not want to complicate matters by ‘intertemporal’ considerations of

Beitragstabelle strategy choices. For example, Wieviel if a subject würden choosesSie a contribution beitragen, table that wenn is increasing Sie in wüssten, the dass die

average contribution of others, this cannot be due to reputation formation or any kind of repeated

anderen im Durchschnitt x ∈ {0, 1, . . . , 20} beitragen (gerundet)

game consideration. Instead, it can be taken as an unambiguous measure of the subject’s willingness

to be conditionally cooperative.

The experiments were conducted in the computerized experimental lab of the University of Zurich.

We used the experimental software ‘z-Tree’ developed by Fischbacher (1999). Subjects were first and

second-semester undergraduates from various fields (except economics). We conducted two experimental

sessions in which 44 subjects participated. These subjects formed a total of 11 groups of

four subjects. Since all subjects played only once, all 44 decisions are independent observations. To

Für drei in jeder Gruppe wird der (unkonditionale) Beitrag genommen, für

den Vierten dann der entsprechende Beitrag aus der Beitragstabelle

Wie give subjects würde an incentive Ihre to Beitragstabelle take the experiment seriously aussehen we chose a relatively Bspw.: highWas stake level. wären On Ihre

average subjects earned 27.6 Swiss Francs (about $21).

Beiträge, wenn die anderen im Durchschnitt x = 10 und x = 20 beitrügen

3. Results

14

Our main interest concerns subjects’ contribution decisions in the ‘contribution table’, i.e. their

elicited willingness to contribute given the average contribution level of others. Fig. 1 contains our

main result.

Ergebnis

Fig. 1. Average own contribution level for each average contribution level of other members (diagonal5perfect conditional).

Drei relevante Typen, die meisten wollen knapp unter dem Durchschnitt der

anderen bleiben. Die Freifahrer ziehen den Durchschnitt und damit alle anderen

nach unten. Erklärung für “Hump-Shaped” Beitragstabelle

15


Individuelles Verhalten

402 U. Fischbacher et al. / Economics Letters 71 (2001) 397 –404

16

Fig. 2. The contribution schedules of all subjects.

Neugebauer, Perote, Schmidt und Loos (2009)

Experiment über 10 Runden des folgenden Spiels (Partners design)

Basisspiel

Öffentliches Gut, drei Spieler, jeder mit 50 Token. Wert eines Tokens bei

privatem Konsum: 10 Cent. Wert eines Tokens beigetragen zum ÖG: 5 Cent für

jeden Spieler. Auszahlung (in Groschen) bei Beiträgen s = (s 1 , s 2 , s 3 , s 4 )

π i (s) = 50 − s i + 0.5 ∑ j≤3

s j .

In jeder Runde: Gleichzeitige Abfrage der Beiträge und der Beliefs über

Summe der anderen Beiden in dieser Runde

INFO Treatment Nach jeder Runde: Information über tatsächliche

Beiträge der anderen (und die eigene Auszahlung)

NoINFO Treatment Keine Information über Beiträge der anderen oder

eigene Auszahlung

17


Hypothesen und Fragen

H1 Beiträge fallen langsamer im NoINFO Treatment

Da man nicht von den Freifahrern heruntergezogen wird

H2 Anfangsbeiträge sind niedriger im NoInfo Treatment

Hohe Beiträge bei INFO haben u.a. die Funktion, andere hoch zu ziehen

Da man bei NoInfo nicht auf Freifahrer reagieren kann, ist es sicherer, gleich

niedrig anzufangen

F1 Gibt es den Abwärtstrend in INFO, da

A die Teilnehmer zwar genauso viel beitragen wollen wie die anderen (im

Durchschnitt), sie den Durchschnitt aber unterschätzen, oder

B sie etwas weniger geben wollen als die anderen (im Durchschnitt), und sie

den Durchschnitt zumindest nicht stark überschätzen

F2 Haben sie rationale Erwartungen (Belief = Durchschnitt) oder ergibt

sich Konvergenz zu rationalen Erwartungen

18

Author's personal copy

Relation von Beiträgen und Beliefs

56 T. Neugebauer et al. / Journal of Economic Psychology 30 (2009) 52–60

Contribution, Guess %

100

75

50

25

NoINFO

INFO

0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Period

Contribution Guess

Fig. 1. Contributions and guesses relative to endowment.

tributions and the lagged average contribution of the other two group members (denoted by –i). 16 The Eq. (2) models subjects’

guesses as a function of their lagged guesses and their partners’ contributions. The two models are estimated by the

generalized method of moments (GMM) to ensure the consistency of the parameter estimates of the corresponding dynamic

Durchschnitt panel data structures. 17 Indaher particular, signifikant we used the Arellano-Bond mehr estimator als implemented in INFO. in the STATA software package. The

results, as recorded in Table 2, 18 support the following observation which is in line with the conditional-cooperation-adaptive-learning

hypothesis.

Zu Anfang ungefähr gleich in beiden Treatments, kein Abfall in NoINFO, im

Beliefs Observationüberschätzen 4. In both treatments, contributions die Beiträge depend significantly der anderen on guesses. In the (keine INFO treatment, rationalen guesses depend Erwartungen) –

significantly on the lagged partners’ contributions supporting the adaptive-learning-hypothesis.

“self-serving Bias” in den Beliefs, Überoptimismus, keine Besserung mit Erfahrung

Support: see Observation 2 and Table 2. 19 The regressions were run on the individual choices stratified by subject (i.e.,

N (T 1) = 18 9 observations per treatment).

As pointed out above, Fischbacher et al. (2001) observed a selfish bias in conditional cooperation when they studied the

one-shot game with the strategy method. Our data reveal a similar pattern of spontaneous decisions in the repeated

game.

Observation 5. Subjects’ guesses exceed their own contributions and also exceed, on average, the contributions of the

others. The difference between guesses and others’ contributions does not decline over time. Hence, the hypotheses of

errors-equilibrium learning (in beliefs) and unbiased or rational expectations must be rejected.

Beliefs korrelieren mit den eigenen Beiträgen, sind aber auch drüber – im

Durchschnitt wollen die Teilnehmer etwas weniger als die anderen geben.

Support: In each treatment, the average contributions of three subjects (i.e., 16.7%) exceed their guessed average con-

19


Author's personal copy

Ökonometrische Analyse

Table 2

Panel data regression models

Model NoINFO INFO

Contit Guessit Contit Guessit

A B C D A 0 B 0 C 0 D 0

Intercept 22.404 ** 0.631 (0.379) 50.237 ** 0.277 (0.671) 17.674 ** (2.931) 0.210 (0.286) 44.459 ** (6.174) 1.457 * (0.581)

(2.829)

(5.153)

Period t 0.311

0.143

0.995 ** (0.295) 2.149 ** (0.488)

(0.263)

(0.462)

Guess it 0.100 * (0.051) 0.336 ** (0.046)

Cont i,t 1 0.044 (0.100) 0.227 ** (0.084)

Guess i,t 1 0.061 (0.102) 0.038 (0.101)

Av. Cont i,t 1 0.206 (0.316) 0.320 (0.558) 0.057 (0.107) 0.572 ** (0.218)

Sargan test 59.76 [0.006] 35.94 [0.424] 37.01 [0.376] 39.49 [0.276]

m1 6.59 [0.000] 6.65 [0.000] 5.68 [0.000] 6.04 [0.000]

m2 0.50 [0.621] 2.44 [0.015] 1.52 [0.129] 0.17 [0.864]

** p < 0.01, * p < 0.05; standard errors are in parenthesis and p-values in brackets.

T. Neugebauer et al. / Journal of Economic Psychology 30 (2009) 52–60 57

Hier Fokus auf INFO:

5. Concluding remarks

Eigener Beitrag (“Cont”) ist abhängig vom Belief (“Guess”) und vom

eigenen Beitrag in Vorperiode (Cont i,t−1 ), nicht vom Durchschnitt der

The present paper contributes to the resolution of the declining-contributions puzzle in repeated public goods experiments.

Due to the experimental design, we were able to test several hypotheses regarding the formation of beliefs and

the relation

anderen

betweenincontributions Vorperiode

and beliefs. Our data show that beliefs are adapted according to past observations,

and contributions are highly significantly correlated to beliefs. Therefore we can reject the hypothesis that subjects’ contributions

are random or due to errors (see Observation 2). If contributions were due to errors as has been brought to mind in

the literature (see Andreoni, 1988, 1995; Palfrey & Prisbey, 1997) then, according to our data, the errors must be in the beliefs.

We Vorperiode found evidence that (Av. subjects’ Cont beliefs −i,t−1 are biased ) in a self-serving way; subjects overoptimistically believe that the

others contribute more then themselves. This error in beliefs does not decrease or disappear in the repeated game. At least

with respect to belief learning, thus, we must reject the adaptive-equilibrium-learning hypothesis on the basis of our data

(for an overview of learning models see Camerer, 2003). Strategic play as the driving force behind the decay of contributions

in the experiment (Andreoni, 1988; Sonnemans et al., 1999) must also be rejected, since contributions were greater in our

benchmark treatment (NoINFO) in which strategic play was impossible.

Bedingte Kooperation: etwas weniger als die anderen

The only viable hypothesis according to our data is the one of conditional cooperation and adaptive belief learning. As a

matter of fact, adaptive learning was incomplete as the error in beliefs did not seize. Our result that individual contributions

were smaller than the believed contributions of the others encourage the statement of Fischbacher et al. (2001) that

Daher Abwärtstrend der (überoptimistischen) Beliefs

subjects do not want to contribute more to the public good than their partners. In other words (see Isaac, Schmidtz, &

Walker, 1989), although subjects do not free ride, they apparently try to ‘cheap ride’ on the others. Based on our data

we may conclude that the contributions appear to ‘spiral downwards’ in the repeated setting with feedback information

due to selfish-biased conditional contribution and downward adaptation of beliefs which, compared to contributions, are

overoptimistic. Without the persisting overoptimism in the belief formation the decline of contributions would probably

be steeper.

Eigener Belief ist aber stark abhängig vom Durchschnitt der anderen in

Erklärung für Abwärtstrend: kein Free-Riding, sondern Cheap-Riding

Blanco, Engelmann und Normann (2011)

Acknowledgements

Vier verschiedene Spiele, die zum Teil in mehreren Rollen gespielt werden

The authors thank Jordi Brandts, Simon Gächter, Charles Holt, Martin Kocher, Vittoria Levati, Stefan Traub, Frans van Winden,

the participants of the IMEBE conference 2008 in Alicante and two anonymous referees for helpful comments. Tibor

Neugebauer Insgesamt thanks the University sechs of Entscheidungen Bari for hospitality and provision pro of Teilnehmer

the experimental laboratory. Funding of the experiments

by the EU-TMR research network ENDEAR (FMRX-CT98-0238) is gratefully acknowledged.

Ohne Feedback, d.h. unabhängig von einander

Appendix A. A.1. Instructions (translated from Italian)

Kann man nach Beobachtung einiger Entscheidungen die anderen

vorhersagen

(1) You are about to participate in 10 Periods of a Group Decision-Making Experiment, in which you will interact with

(always the same) two partners, whose identity will not be revealed to you at any time.

(2) In every Period you (as well as your partners) will receive an initial endowment of 50 ECU (1 ECU = 25 Lire), and you

have to decide how much of this amount to contribute to a Group Project and a remainder to an Individual Project. Any

ECU contributed to the Group Project will generate Payoff for you as well as for each of your partners. The remainder of

your endowment that you do not contribute to the Group Project will be saved in your Individual Project, which generates

payoff only to you.

Vorgehensweise

Kalibrierung der Nutzenparameter jedes Teilnehmers an zwei (geeigneten)

Entscheidungen

Vorhersage der anderen Entscheidungen, basierend auf

Ggw-/Rationalitätsannahmen unter Nutzung der beiden Parameter

20

Nutzenfunktion Unabhängigkeitsaversion (nach Fehr und Schmidt)

u i (π i , π j ) =

{

πi − α · (π i − π j ), falls π i ≥ π j

π i − β · (π j − π i ), falls π i < π j

21


Modifiziertes Diktatorspiel

Modifiziertes Diktatorspiel

Wahl zwischen Allokation (20, 0), in Pfund, und folgenden:

(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), . . . , (18, 18), (19, 19), (20, 20)

Ab welcher Allokation (x, x) präferieren Sie (x, x) über (20, 0)

Was würden Sie wählen

Dieses Spiel ermöglicht Kalibrierung des Schuld-Parameters α. Beim

gewählten (x, x) ist man (ungefähr) indifferent zwischen (x, x) und (20, 0).

20 − α · (20 − 0) = x − α · (x − x) ⇔ α = 20 − x

20

Frage an Sie: Warum ist ein Standard-Diktatorspiel ungeeignet, um α zu

schätzen

22

Ultimatumspiel

Ultimatumspiel

Spieler 1 (Proposer) macht Vorschlag zur Aufteilung von 20 Pfund, Spieler

2 (Responder) kann annehmen oder ablehnen. Bei Annahme gilt die

vorgeschlagene Aufteilung, bei Ablehung (0, 0).

Teilnehmer geben Proposer- und Responderstrategie an, letztere in

Strategiemethode (Annahme/Ablehnung für jeden potentiellen Vorschlag).

Responderstrategie ermöglicht Kalibrierung des Neid-Parameters β. Beim

ersten angenommenen Vorschlag (20 − x, x) ist man (ungefähr) indifferent

zu (0, 0).

x − β · (20 − x − x) = 0 − α · (0 − 0) ⇔ β =

x

20 − 2 x

23


Vorschläge im Ultimatumspiel

Vorhersage

1 Teilnehmer mit α ≥ 0.5 sollten (10, 10) vorschlagen

2 Teilnehmer mit α < 0.5 können (C − x, x) mit x ≤ 10 vorschlagen, in

Abhängigkeit von ihren Beliefs über das Responderverhalten.

Ergebnisse

1 33 Teilnehmer mit α > 0.5, von denen wählten 18 den Vorschlag x = 10,

15 wählten x < 10 (kein signifikanter Unterschied)

2 26 Teilnehmer mit α < 0.5, von denen wählten 11 den Vorschlag x = 10

(nicht signifikant seltener als die mit α > 0.5)

Auch sonst keine Korrelation zwischen α und dem vorgeschlagenen x

Angenommen Teilnehmer haben rationale Erwartungen bzgl. gegnerischer

β (bzw. ihrer Annahmewahrscheinlichkeiten)

dann sollten alle 10 vorschlagen, erklärt Verhalten auch nicht

24

Beiträge zu einem öffentlichen Gut

ÖG-Spiel

Zwei Spieler, 10 Pfund, Auszahlung π i = 10 − s i + 0.7 · (s 1 + s 2 )

Vorhersage

1 Teilnehmer mit α < 0.3 sollten s i = 0 beitragen

2 Teilnehmer mit α ≥ 0.3 sollten genau das beitragen, was sie vom

Gegner erwarten – jedes (s, s) ist ein Nash-Ggw wenn beide α > 0.3

Ergebnisse

1 von 20 Teilnehmer mit α < 0.3 trugen 13 etwas bei (größer als 50%)

2 von 41 Teilnehmer mit α ≥ 0.3 trugen 31 etwas bei (nicht häufiger als oben)

Keine signifikante Korrelation der Beiträge mit α oder β

Als beste Antwort auf die tatsächliche (α, β)-Verteilung sollte niemand

etwas beitragen, aber 44/61 trugen etwas bei

25


Sequentielles Gefangenendilemma

SGD-Spiel

Erst wählt Spieler 1 c oder d, dann erfährt 2 die Wahl und wählt selbst (c oder

d). Die Auszahlungen sind:

(c, c) (14, 14) (d, c) (17, 7) (c, d) (7, 17) (d, d) (10, 10)

Vorhersage für Spieler 2

Nach d immer d spielen. Nach c sollte man c spielen wenn α > 0.3

Ergebnis Das passt. Korrelation zwischen Vorhersagen und Beobachtungen

ist signifikant positiv (r = 0.341, p < 0.01)

Vorhersage für Spieler 1

Gegen die wahre Verteilung der α sollte man kooperieren, wenn β > 0.52

Ergebnis Keine Korrelation zwischen Vorhersagen (oder β) und

Beobachtungen

26

Diskussion

Vorhersage funktionierte nur in einem von vier Fällen: Spieler 2 im SGD

Liegt das an der gewählten Nutzenfunktion Andere geeignete Kandidaten

(die auf die gleiche Weise kalibriert werden können) führen zu ähnlichen

Ergebnissen.

Heißt das, eine Anwendung spieltheorischer Modelle mit sozialen

Präferenzen ist nicht möglich Nein.

Was haben die drei nicht-funktionierenden Situationen gemeinsam

Man benötigt Beliefs – und die gewählten Belief-Modelle passen nicht

Ultimatum-Vorschlag benötigt Belief über fremdes β – und korreliert mit

eigenem β (false consensus, FC, bei Präferenzen)

SGD-1-Entscheidung korreliert mit eigener SGD-2 Entscheidung, lässt sich

erklären als optimale Entscheidung wenn Gegner so wie ich in SGD-2 (FC)

ÖG-Spiel hat viele Nash-Ggws – Modellierung über Logit-Ggw (ist eindeutig

bei moderatem λ), bei Annahme Gegner hat gleiche (α, β), klappt (FC)

Entscheidend ist die richtige Belief-Modellierung, dann klappt das auch

27


Koordinationsspiele

Angenommen, es gibt mehrere Nash-Gleichgewichte. Wofür entscheiden

wir uns

Zwei Kriterien: höhere Auszahlung und weniger Risiko

Risiko: Wieviel verliere ich, wenn sich die anderen anders entscheiden

Angenommen, die höhere Auszahlung ist nur mit höherem Risiko zu haben:

Wie wird zwischen Auszahlung und Risiko abgewogen

Zentral: Zwei Experimente von van Huyck, Battalio und Beil (1990,

1991), mit insgesamt fünf Treatments

28

Minimum-Effort Koordinationsspiel A

14–16 Spieler, jeder wählt Einsatz (e 1 , e 2 , . . . , e n ), der geringste Einsatz

aller entscheidet über Gesamterfolg. Einsatz kostet b pro Einheit.

Auszahlung ist π i = a · min j≤n e j − b · e i + c, mit a = 0.2 und b = 0.1.

Jedes symmetrische Strategieprofil (e, . . . , e) ist ein (reines) Nash-Ggw

Koordinationsproblem

(7, . . . , 7) brächte allen am meisten und wäre selbst-erfüllend (da Ggw)

Kleinere Einsätze mindern aber das Risiko, e = 1 bringt sichere Auszahlung

Treatment C Das gleiche mit n = 2 Spielern; Treatment A ′ ist A nach B

29


Minimum-Effort Koordinationsspiel B

14–16 Spieler, jeder wählt Einsatz (e 1 , e 2 , . . . , e n ), der geringste Einsatz

aller entscheidet über Gesamterfolg. Keine Einsatzkosten. Auszahlung ist

π i = a · min j≤n e j + c, mit a = 0.2 und c = 0.6.

Auch hier: Jedes (e, . . . , e) ist ein (reines) Nash-Ggw, aber

einseitige Abweichung zu höherem Einsatz kosten nichts, sind schwach

dominant, Koordinationsproblem weitgehend ausgeräumt

30

Median-Effort Koordinationsspiel Γ

9 Spieler, jeder wählt Einsatz (e 1 , e 2 , . . . , e n ), der Median M aller Einsätze

entscheidet über Gesamterfolg. Abweichungen vom Median sind kostspielig

in beide Richtungen. Auszahlung ist π i = a M − b (M − e i ) 2 + c.

890 QUARTERLY JOURNAL OF ECONOMICS

r

PAYOFF TABLE

Median value of X chosen

Your 7 1.30 1.15 0.90 0.55 0.10 -0.45 -1.10

choice 6 1.25 1.20 1.05 0.80 0.45 0.00 -0.55

of 5 1.10 1.15 1.10 0.95 0.70 0.35 -0.10

X 4 0.85 1.00 1.05 1.00 0.85 0.60 0.25

3 0.50 0.75 0.90 0.95 0.90 0.75 0.50

2 0.05 0.40 0.65 0.80 0.85 0.80 0.65

1 -0.50 -0.05 0.30 0.55 0.70 0.75 0.70

Jedes (e, . . . , e) ist ein (reines) Nash-Ggw, aber jetzt ist die sicherste

Strategie the seven in Mitte strict equilibrium (e = 3). Effizientes points. Hence, Ggw payoffs (e = range 7) istfrom riskant. 1.30

in the payoff-dominant equilibrium (7, . . . , 7), to 0.70 in the least

efficient equilibrium (1,. . . , 1). The secure equilibrium is

(3, . . .,31, which pays 0.90 in equilibrium and insures a payoff of

31


Median-Effort Koordinationsspiel Ω

9 Spieler, jeder wählt Einsatz (e 1 , e 2 , . . . , e n ), der Median M aller Einsätze

entscheidet über Gesamterfolg. Median Abweichungen value of X chosen vom Median führen zu

Auszahlung von Null.

Your 7 1.30

AVERAGE OPINION GAMES

0 0 0 0 0

891

0

choice 6 0 1.20 0 0 0 0 0

of 5 0 0 PAYOFFTABLEn 1.10 0 0 0 0

X 4 0 0 0 1.00 0 0 0

Median value of X chosen

3 0 0 0 0 0.90 0 0

2 0 0 0 0 0 0.80 0

1 0 0 0 0 0 0 0.70

Your 7 1.30 0 0 0 0 0 0

choice 6 0 1.20 0 0 0 0 0

of 5 0 0 1.10 0 0 0 0

X payoffs associated 4 0 with 0 the equilibrium 0 1.00 points 0 are 0 no longer 0

increasing 3 in the 0 median. 0 In game 0 @, 0 unlike 0.90 game T, 0 all strict 0

equilibria 2 are included 0 0 in the set 0 of payoff-dominant 0 0 0.80 equilibria. 0

1 0 0 0 0 0 0 0.70

Jedes (e, . . . , e) ist ein (reines) Nash-Ggw, aber alle Strategien sind gleich

sicher Fokus auf Relevanz der Auszahlungshöhe

Median-Ratespiel Φ

9 Spieler, jeder wählt Einsatz (e 1 , e 2 , . . . , e n ). Abweichungen vom Median

sind kostspielig in beide Richtungen. Auszahlung π i = 0.7 − b (M − e i ) 2 .

B. Inductive Selection Principles

AVERAGE OPINION GAMES 891

PAYOFFTABLEn

Hence, payoff-dominance cannot be a salient equilibrium selection

principle. Security selects (4, . . .,4), which insures a payoff of

0.25. Hence, security is a potentially salient equilibrium selection

payoffs principle associated for game @. with the equilibrium points are no longer

increasing Our discussion in the median. of deductive In game selection @, unlike principles game has T, focused all strict on

the equilibria simple are principles included of in efficiency the set of and payoff-dominant security that are equilibria. directly

applicable Hence, payoff-dominance to the average opinion cannot games be a salient T, R,and equilibrium @. Our experimen- selection

tal principle. research Security attempts selects to determine (4, . . .,4), how which people insures actually a payoff use the of

0.25. strategic Hence, details security of their is environment a potentially to salient solve equilibrium selection

principle problems. for game @.

Our discussion of deductive selection principles has focused on

B. the Inductive simple principles Selection Principles of efficiency and security that are directly

applicable If decision to the average makers opinion fail to games coordinate T, R,and on @. an Our equilibrium, experimental

repeated research interaction attempts may to allow determine decision how makers people to actually learn to use coordi- the

strategic details of their environment to solve equilibrium selection

problems.

PAYOFFTABLEQ,

Median value of X chosen

If decision makers fail to coordinate on an equilibrium,

repeated interaction may allow decision makers to learn to coordi-

Your 7 0.70 0.65 0.50 0.25 -0.10 -0.55 -1.10

choice 6 0.65 0.70 0.65 0.50 0.25 -0.10 -0.55

of 5 0.50 0.65 PAYOFFTABLEQ, 0.700.65 0.50 0.25 -0.10

X 4 0.25 0.50 0.65 0.70 0.65 0.50 0.25

Median value of X chosen

3 -0.10 0.25 0.50 0.65 0.70 0.65 0.50

2 -0.55 -0.10 0.25 0.50 0.65 0.70 0.65

1 -1.10 -0.55 -0.10 0.25 0.50 0.65 0.70

Your 7 0.70 0.65 0.50 0.25 -0.10 -0.55 -1.10

choice 6 0.65 0.70 0.65 0.50 0.25 -0.10 -0.55

of 5 0.50 0.65 0.700.65 0.50 0.25 -0.10

X 4 0.25 0.50 0.65 0.70 0.65 0.50 0.25

alle reinen

3

Ggws

-0.10

sind effizient,

0.25 0.50

keine

0.65

Auszahlungsdominanz

0.70 0.65 0.50

2 -0.55 -0.10 0.25 0.50 0.65 0.70 0.65

mittlere 1 Strategien -1.10 am-0.55 wenigsten -0.10 riskant 0.25 0.50 0.65 0.70

Jedes (e, . . . , e) ist ein (reines) Nash-Ggw, aber

Fokus auf Relevanz der Risikovermeidung

32

33


“EVOLUTIONARY” INTERPRETATION 55

Ergebnisse in Runde 1 TABLE (Zsfg. I aus Crawford, 1991)

Minimum

treatment

A (%) B (%) A’ (%) Cd (%I cr (%)

Subject’s 7 33 (31) 76 (84) 23 (25) 11 (37)

initial 6 10 (9) I (I) 1 (1) 1 (3)

effort 5 34 (32) 2 (2) 2 (2) 2 (7)

4 18 (17) 5 (5) 7 (8) 5 (17)

3 5 (3 1 (1) 7 (8) 3 (IO)

2 5 (5) I (1) 17 (19) 1 (3)

I 2 (2) 5 (5) 34 (37) 7 (23)

Totals 107 (101) 91 (99) 91 (100) 30 (100)

13 (42)

0 (0)

6 (19)

2 (6)

1 (3)

1 (3)

8 (26)

31 (99)

Median

treatment

r, I’dm (%) 0 (%) @ (%)

Subject’s 7

initial 6

effort 5

4

3

2

I

Totals

8 (15)

4 (7)

I5 (28)

19 (35)

8 (15)

0 (0)

0 (0)

54 (100)

14 (52)

I (4)

9 (33)

3 (II)

0 (0)

0 (0)

0 (0)

27 (100)

2 (7)

3 (II)

9 (33)

II (41)

2 (7)

0 (0)

0 (0)

27 (99)

ment, and, with three minor exceptions, each subject’s effort converged

to the Nash equilibrium determined by the initial treatment median.

The history-dependence in the results for the median treatments

TABLE I TABLE I

(and,

to a lesser extent, in minimum treatment C,) makes a full explanation Minimum Minimum treatment of

VHBB’s results depend on understanding their subjects’ choices in initial

treatment stages. There were strong regularities in subjects’ initial

choices throughout the experiments. In the median treatments, for instance,

no subject ever began with an effort below ei = 3. These regularities

are not explained by evolutionary stability or by traditional equilibrium

refinements. PAYOFF TABLE I now r consider whether they can be understood as

sensible responses to strategic uncertainty.

Median value of X chosen

Median

VHBB’s subjects’ initial effort choices can be summarized in Table I

(the median table, which is adapted from Table

Subject’s

II in

7

VHBB (1991),

8 (15)

ininitial

6

4 (7)

Subject’s 7

8 (15)

cludes only the first treatments in each sequence). effort 5

I5 (28)

initial 6

4

4 (7)

19 (35)

As far as I am aware, the only systematic effort attempt 5

3 to make I5 (28) precise

8 (15)

4

2

19 (35) 0 (0)

predictions of behavior in coordination games 3 is Harsanyi

I

and 8 (15) Selten’s

0 (0)

2 Totals

0 (0) 54 (100)

(1988) (henceforth “HS”) general theory of equilibrium selection. HS’s

I

0 (0)

theory follows the traditional approach of Totals assuming that players’ 54 (100) beliefs

about each other’s strategy choices always converge ment, and, with to three a particular minor exceptions, Nash

890 QUARTERLY JOURNAL OF ECONOMICS

Your 7 1.30 1.15 0.90 0.55 0.10 -0.45 -1.10

choice 6 1.25 1.20 1.05 0.80 0.45 0.00 -0.55

of 5 1.10 1.15 1.10 0.95 0.70 0.35 -0.10

X 4 0.85 1.00 1.05 1.00 0.85 0.60 0.25

3 0.50 0.75 0.90 0.95 0.90 0.75 0.50

2 0.05 0.40 0.65 0.80 0.85 0.80 0.65

1 -0.50 -0.05 0.30 0.55 0.70 0.75 0.70

34

“EVOLUTIONARY” INTERPRETATION 55

“EVOLUTIONARY” INTERPRETATION 55

treatment

A B A’ (%) Cd (%I cr (%)

A (%) B (%) A’ (%) Cd (%I cr (%)

Subject’s 7 33 (31) 76 (84) 23 (25) 11 (37)

Subject’s 7 33 (31) 76 (84) 23 (25) 11 (37) 13 (42)

initial 6 10 (9) I (I) 1 (1) 1 (3)

initial 6 10 (9) I (I) 1 (1) 1 (3) 0 (0)

effort 5 34 (32) (2) 2 (2) 2 (7)

effort 5 34

4

(32)

182 (17)

(2)

5

2

(5)

(2)

7

2 (7) 6 (19)

5 (17)

4 183 (17) 5 (5) (3 71 (1)(8) 7 5 (8)(17)

3 (IO)

3 52 (3 51 (1) (5) 7 I (1)(8) 17 3 (19)(IO)

1 1 (3) (3)

2 5 I (5) 2 I (1) (2) 17 5 (5) (19) 34 1 (37) (3) 7 (23) 1 (3)

I Totals 2 (2) 1075 (101) (5) 91 34 (99) (37) 91 (100) 7 (23) 30 (100) 8 (26)

Totals 107 (101) 91 (99) 91 (100) 30 (100) 31 (99)

Median treatment

13 (42)

0 (0)

6 (19)

2 (6)

1 (3)

1 (3)

8 (26)

31 (99)

treatment

r, I’dm (%) 0 (%) @ (%)

r, I’dm (%) 0 (%) @ (%)

14 (52)

I (4)

9 (33)

3 (II)

0 (0)

0 (0)

0 (0)

27 (100)

2 (7)

3 (II)

9 (33)

II (41)

2 (7)

0 (0)

0 (0)

27 (99)

each subject’s effort converged

to the Nash equilibrium determined by the initial treatment median.

ment, and, with The three history-dependence minor exceptions, in the each results subject’s for the median effort converged treatments (and,

to the Nash to equilibrium a lesser extent, determined minimum by treatment the initial C,) treatment makes a median. full explanation of

The history-dependence VHBB’s results depend in the on results understanding for the median their subjects’ treatments choices (and, in initial

to a lesser extent, treatment in stages. minimum There treatment were C,) strong makes regularities a full explanation in subjects’ of initial

VHBB’s results

choices

depend

throughout

on understanding

the experiments.

their

In

subjects’

the median

choices

treatments,

in initial

for instance,

no subject ever began with an effort below ei = 3. These regularitreatment

stages. There were strong regularities in subjects’ initial

ties are not explained by evolutionary stability or by traditional equilibchoices

throughout the experiments. In the median treatments, for inrium

refinements. I now consider whether they can be understood as

stance, no subject

sensible

ever

responses

began

to

with

strategic

an effort

uncertainty.

below ei = 3. These regularities

are not explained VHBB’s subjects’ by evolutionary initial effort stability choices or can by be traditional summarized equilib- in Table I

rium refinements. (the median I now table, consider which is whether adapted they from can Table be II understood in VHBB (1991), as insensible

responses cludes only to strategic the first treatments uncertainty. in each sequence).

VHBB’s subjects’ As far as initial I am effort aware, choices the only can systematic be summarized attempt to in Table make 35 precise I

(the median predictions table, which of behavior is adapted in coordination from Table games II in is VHBB Harsanyi (1991), and in- Selten’s

cludes only (1988) the first (henceforth treatments “HS”) in each general sequence). theory of equilibrium selection. HS’s

A, A ′ Anfänglich Tendenz zu Effizienz, dann rapide Konvergenz zu Sicherheit

the seven strict equilibrium points. Hence, payoffs range from 1.30

in the payoff-dominant B Effizienz durchweg equilibrium (7, (Anm.: .. . , 7), kein to 0.70 Koordinationsrisiko)

the least

efficient Cequilibrium Anfänglich (1,. gemischt, . . , 1). The nur secure langsame equilibrium Konvergenz is (Anm.: Spiel wie A, 2 Spieler)

(3, . . .,31, which pays 0.90 in equilibrium and insures a payoff of

Γ, Ω, Φ Anfänglich gemischt, dann Konvergenz zum Median der ersten Runde

at least 0.50. In game r both payoff-dominance and security select a

unique equilibrium point, and hence, both are potentially salient.

In game T there is a tension between efficiency and security.

Mögliche Erklärungen

This tension may undermine the salience of both selection principles

unless it is common knowledge which selection principle takes

priority in average opinion games, which seems unlikely. A plausible

conjecture is that payoff-dominance is more likely to be salient

14 (52)

I (4)

9 (33)

3 (II)

0 (0)

0 (0)

0 (0)

27 (100)

2 (6)

2 (7)

3 (II)

9 (33)

II (41)

2 (7)

0 (0)

0 (0)

27 (99)


Auszahlungsdominanz vs. Risikodominanz

L R

L R

O 7, 7 0, 4

U 4, 0 2, 2

O 5, 5 0, 4

U 4, 0 2, 2

L

R

L

R

O 4.1, 4.1 0, 4

U 4, 0 2, 2

O 4 + x, 4 + x 0, 4

U 4, 0 2, 2

Was würden Sie wählen Bei welchem x wechseln Sie von Effizienz zu

Sicherheit Wechseln Sie wirklich von einem Paradigma zum anderen

Auszahlungsdominanz Wähle Pareto-dominantes Ggw (wenn vorhanden)

Risikodominanz Wähle die Strategie, die bei 50-50 Verteilung des Gegners

profitabler ist

Oben: wähle A, wenn (4 + x)/2 + 0/2 ≥ 4/2 + 2/2 ⇔ x ≥ 2

empfiehlt manchmal Auszahlung, manchmal Sicherheit – passt ganz gut

Definition funktioniert so nur in 2 × 2–Spielen, kann verallgemeinert werden

36

Limiting Logit Gleichgewichte

Wohin konvergieren die Logit-Ggws, wenn Präzision gegen unendlich geht

In 2 × 2–Spielen: zum Risikodominanten Gleichgewicht (Turocy, 2005)

Risikodominanz ist auch eindeutig evolutionär stabil und passt empirisch

In Minimum-Effort-Spielen mit linearen Kosten

A, A ′ Konvergenz zur sicheren Strategie e = 1 (wie beobachtet)

B Konvergenz zur effizienten Strategie e = 7 (wie beobachtet)

C Konvergenz zur mittleren Strategie e = 4 (passt auch)

Allgemein: Maximierung des “stochastischen Potentials” in diesen Spielen

(Anderson et al., 2001), mglw. auch Beziehung zu p-Dominanz

In Median-Effort-Spielen mit quadratischen Kosten

Konvergenz ist Pfad-abhängig und lässt sich so nicht erklären

Soviel zur Konvergenz. Wie lässt sich das Verhalten in Runde 1 erklären

37


Costa-Gomes, Crawford, Iriberri (2009)

LQRE Logit-Ggw; Level-k Levels 1 und 2; CH Cognitive Hierarchy (ähnlich zu

Level-k, mit bestimmten Proportionen der Level); NI Noisy Introspection

Model

treatment

Empirical

frequencies

(Modal effort)

Random

frequencies

(Modal effort)

Table 1. Log-likelihood comparisons for alternative models.

Maximin

(Modal effort)

PDE

(Modal effort)

A −172.1785 −208.2124 −208.2124 −186.9741

(5) (1–7) (1) (7)

B −63.8718 −177.0778 −177.0778 −100.3950

(7) (1–7) (1–7) (7)

C d −49.3084 −58.3773 −58.3773 −57.8714

(7) (1–7) (1) (7)

Ɣ −41.0777 −52.5396 −52.5396 −46.8985

(5) (1–7) (3) (7)

Independent RDE

(Modal effort)

Correlated RDE

(Modal effort)

Independent LQRE

(Modal effort)

Correlated LQRE

(Modal effort)

Independent level-k

(Modal effort)

Correlated level-k

(Modal effort)

Independent CH

(Modal effort)

Correlated CH

(Modal effort)

Independent NI

(Modal effort)

Correlated NI

(Modal effort)

−208.2124 −208.2124 −208.2124 −208.2124 −208.2124

(1) (1–7) (1–7) (1–7) (1–7)

−207.8228 −208.1302 −207.8228 −207.9439 −208.1302

(4) (4) (4) (4) (4)

−100.3950 −172.0179 −69.7289 −67.6081 −172.0179

(7) (4,5–7) (7) (7) (4,5–7)

−100.3950 −111.8437 −98.0386 −67.6081 −111.8437

(7) (7) (7) (7) (7)

−58.3773 −58.3773 −58.3773 −58.3108 −58.3773

(4) (1–7) (1–7) (4) (1–7)

−58.3773 −58.3773 −58.3773 −58.3108 −58.3773

(4) (1–7) (1–7) (4) (1–7)

−46.8985 −44.1974 −48.3459 −50.4512 −44.1808

(7) (5) (4) (4) (5)

−46.8985 −49.8153 −49.8153 −50.4512 −49.8153

(7) (4) (4) (4) (4)

−41.9893 −52.5396 −52.5396 −52.5396 −52.5396

−28.9699 −52.5396 −52.5396 −41.9893 (7) (7) (1–7) (1–7) (1–7)

(1–7) (7) (1–7) (1–7)

−41.9893 −41.0017 −37.6399 −41.9894 −37.8427

(7) (7) (7) (7) (7)

Note: The modal and median efforts are the same in all treatments, except Cd where the median is 4 and Ɣ where the median is 4 or 5.

Im Allgemeinen kaum Unterschiede zwischen den Konzepten. Ausnahme CH in B

(Asymm Logit Ggw würde wohl noch besser passen). Interessant: “Korrelation”

passt gut in B und Ω (illusionäres Clustering der Gegner).

374 Journal of the European Economic Association

38

Zusammenfassung

Logit-Gleichgewichte und ähnliche Konzepte (wie Level-k und NI) lassen

sich leicht mit sozialen Nutzenfunktionen erweitern

Bspw. in ÖG-Spielen, wo Verteilungsaspekte (“wer wieviel”) zentral sind

Es ist unklar, wie stark Verteilungsaspekte/soziale Präferenzen in

unterschiedlichen Interaktionen wirken – vermutlich nicht immer gleich stark

Außerdem in ÖG-Spielen: Überschätzung der Beiträge anderer und

bedingte Kooperation (“Cheap-Riding”)

Logit-Ggw tendiert Richtung Risikodominanz im Falle mehrerer Ggw

Dies ist auch evolutionär stabil und empirisch passend

Es finden sich aber auch wieder die systematischen Abweichungen

False-Consensus-Effekte in Beliefs über Strategien und Präferenzen

Illusionäres Clustering der Gegner bei hoher Anzahl

Tendenz zu Asymmetrie wie in Level-k (bspw. Asymm Logit Ggw)

39

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