Mathematics

edegiorgi

Enrico G. De Giorgi

Mathematics

Second Edition

2014

Chair of Mathematics

University of St.Gallen

This version: August 2014.


©2014, Enrico De Giorgi, University of St. Gallen, All Rights Reserved. Commercial use or publication

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i


“Formal mathematics is like spelling and grammar - a matter of the correct application of local

rules. Meaningful mathematics is like journalism - it tells an interesting story. But unlike some

journalism, the story has to be true. The best mathematics is like literature - it brings a story to life

before your eyes and involves you in it, intellectually and emotionally.”

Courant, Robbins, and Stewart (1996)

iii


Contents

Preface

xii

I Introduction 1

1 Why Mathematics for Economics? 3

2 Mathematical Logic 5

2.1 Logical operations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.1.1 Negations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.1.2 Conjunctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.1.3 Disjunctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.1.4 Implications or hypothetical propositions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.1.5 Equivalences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.1.6 Compound propositions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

3 Set Theory 11

3.1 Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

3.2 Operations with sets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3.3 Cartesian product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

4 Combinatorics 21

4.1 Permutations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4.1.1 Permutations without repetition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4.1.2 Permutations with repetition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4.2 Variations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

4.2.1 Variations without repetition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

v


vi

CONTENTS

4.2.2 Variations with repetition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

4.3 Combinations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4.3.1 Combinations without repetition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

4.3.2 Combinations with repetition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4.3.3 Binomial theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4.4 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

5 Numbers 35

5.1 Real numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

5.1.1 Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

5.1.2 Inequalities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

5.1.3 Absolute value . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

5.2 Complex numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

5.2.1 Definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

5.2.2 Polar form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

Solutions Part I 51

II Fundamentals 65

6 Sequences 67

6.1 Definition and examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

6.2 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

7 Series 79

7.1 Definition and examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

7.2 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

7.3 The Euler number . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

8 Financial Mathematics 95

8.1 Interest rates and present value . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

8.2 Evaluation of investment projects . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

8.3 Pricing of annuities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

8.4 Repayment of loans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112


CONTENTS

vii

Solutions Part II 117

III Univariate Calculus 131

9 Basic notions 133

9.1 Relations and mappings . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

9.2 Functions of a real variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

9.3 Properties of functions of a real variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

9.4 Special functions of a real variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

9.4.1 Polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

9.4.2 Exponential and logarithmic functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

9.4.3 Trigonometric functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

9.5 Functions of real variables in economics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

9.5.1 Demand and supply functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

9.5.2 Engel functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

9.5.3 Utility functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

9.5.4 Cost functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166

10 Continuity and Differentiability 169

10.1 Limits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

10.2 Continuity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

10.2.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

10.2.2 Types of discontinuity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174

10.2.3 Properties of continuous functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179

10.3 Differentiability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

10.3.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180

10.3.2 Derivatives of special functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184

10.3.3 Rules of differentiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

10.3.4 High order derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190

10.3.5 Limits and differentiability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191

10.4 Differential, rate of change and elasticities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

10.4.1 Differential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

10.4.2 Rate of change . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197


viii

CONTENTS

10.4.3 Elasticity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

10.5 Graphs of differentiable functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

10.5.1 Monotonicity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

10.5.2 Convexity and concavity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204

10.5.3 Extreme points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

10.6 Taylor polynomials . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

10.6.1 Definition and examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

10.6.2 Remainder term and asymptotic behaviour . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218

Solutions Part III 225

IV Multivariate Calculus 239

11 Functions of Several Variables 241

11.1 Basic notions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241

11.2 Partial derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249

11.2.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249

11.2.2 Higher-order partial derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252

11.2.3 Taylor expansion for functions of several variables* . . . . . . . . . . . . . . . . 253

11.2.4 Generalized chain rule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255

11.3 Total differential and partial elasticities . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257

11.3.1 Total differential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257

11.3.2 Partial elasticity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259

11.4 Implicit functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260

11.5 Homogeneous functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262

12 Optimisation of Functions of Two Variables 265

12.1 Unconstrained optimisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265

12.2 Constrained optimisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273

12.2.1 Optimisation with substitution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274

12.2.2 Lagrange multipliers method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278

Solutions Part IV 285


CONTENTS

ix

V Integration 289

13 The definite integral 295

13.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295

13.2 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301

14 The indefinite integral 305

14.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305

14.2 Integration rules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306

14.2.1 Basic rules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307

14.2.2 Integration by parts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308

14.2.3 Integration by substitution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313

14.3 Fundamental theorem of calculus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315

14.4 Improper integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322

15 Applications of integration 327

15.1 Marginal and total functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327

15.2 Present value of a continuous payment flow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329

15.3 Probability distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330

15.3.1 Discrete random variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331

15.4 Continuous random variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335

VI Linear algebra 343

16 Matrices and determinants 349

16.1 Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349

16.1.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349

16.1.2 Operations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354

16.1.3 Inverse matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 366

16.2 Determinants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371

16.3 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382

17 Vectors 385

17.1 Properties of vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385


x

CONTENTS

17.1.1 Properties of 2– and 3–dimensional vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385

17.1.2 Vector equations of straight lines and planes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397

17.1.3 Higher dimensions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402

17.2 Application of vectors: gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406

17.2.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407

17.2.2 Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 409

17.2.3 Necessary conditions for extreme points revisited . . . . . . . . . . . . . . . . . 414

18 Systems of linear equations 417

18.1 Linear independence of vectors and rank of a matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 420

18.1.1 Linear independence of vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 420

18.1.2 Rank of a matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432

18.2 Solutions of systems of linear equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 440

18.2.1 Solvability of systems of linear equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 440

18.2.2 Cramer’s rule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 448

18.2.3 Gaussian elimination method . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452

19 Eigenvalues and quadratic forms 475

19.1 Eigenvalues and eigenvectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475

19.1.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475

19.1.2 Decomposition of matrices* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485

19.2 Quadratic forms* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 494

VII Dynamic models 501

20 Difference equations 505

20.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 506

20.2 Linear difference equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 507

20.2.1 First order linear difference equations with constant coefficients . . . . . . . . . 507

20.2.2 Linear difference equations: general case* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 517

20.2.3 Second order difference equations* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 528

21 Differential equations* 535

21.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 536


CONTENTS

xi

21.2 Solutions of first order differential equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 538

21.2.1 Existence of solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 538

21.2.2 Derivation of solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 539

21.2.3 Analytical methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 546

Bibliography 557

Index 559


xii

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