Cubic Spline & Least Square

Interpolation 

Cubic Spline & Least Square 

1 

สรุปวิธีการหา Spline ก าลังสามขอบยึด 

ขั้นตอนที่ 1 : แบ่งฟังก์ชัน S ออกเป็นฟังก์ชันย่อยๆ ที่นิยามในแต่ละช่วงย่อย 

นั่นคือ S S0 S2 

... 

Sn 

1 

เมื่อ S(x) 

S i(x), 

x[xi,xi1] 

2 

3 

สมมติให้ Sj x a j b j(x 

x j) 

c j(x 

x j) 

d j(x 

x j) 

------*** 

ส าหรับทุก j 0,1, ,n 1 

ขั้นตอนที่ 2 : หา a 

j จาก a 

j f (x 

j) 

, j 0,1, , 

n 

และให้ h 

j 

x 

j 1 

x 

j 

(j 0,1,...,n 1) 

ขั้นตอนที่ 3 : หา b 

0 

และ b n 

จากเงื่อนไขขอบยึดที่โจทย์ก าหนดนั่นคือ 

b 

x 

f 

 

และ b Sx 

fx 

 

0 

S 

0 

x0 

n 

n 

1 

j 

ใช้สมการที่ 4.6 คือ b a 

a 

2c 

c ส าหรับ j 0,1,...,n 1 

j 

h 

j 

j1 

j 

พร้อมทั้งแทนค่าที่หาก่อนหน้าลงไปจะได้ระบบสมการเชิงเส้น (1) 

ใช้สมการที่ 4.5 คือ b 

j1 

b 

j 

h 

jc 

j 

c 

j1 

ส าหรับ j 0,1,...,n 1 

พร้อมทั้ง 

แทนค่าที่หาก่อนหน้าลงไปจะได้ระบบสมการเชิงเส้น (2) 

ขั้นตอนที่ 4 : หา b1,..., 

b n 

โดยการแทนค่ากลับในระบบสมการที่ (1) หรือ (2) 

1 

รวมกับเงื่อนไขขอบยึด f '(x ) 

b 0 0 

h 

3 

n 

j 

j1 

ขั้นตอนที่ 5 : หา d0, 

d1, 

..., dn 1 

จากสมการที่ 4.3 คือ 

เตรียมค่าที่ทราบให้กับตัวแปร 

ต่างๆ ในสมการ 

รวมระบบสมการเชิงเส้น (1) และ (2) เข้าด้วยกัน โดยก าจัดตัวแปร b 

j 

จะเหลือเพียงตัวแปร c จากนั้นแก้ระบบสมการเชิงเส้นหาค่า 

j 

c 

j 

d 

c 

j 1 

j 

 

3h 

c 

j 

j 

1

Interpolation 


2 

ตัวอย่าง (Sheet) จงหา Spline ก าลังสามขอบยึดที่ใช้ประมาณฟังก์ชัน 

f 

x 

x 2x 

3xe e ที่จุด x 1. 03 

วิธีท า สร้างชุดข้อมูลดังตาราง 

x 1.0 1.02 1.04 1.06 

f x 

0.76578939 0.79536678 0.8226817 0.8475226 

f 1.5315787 1.1754977 

x 

วิธีท า ในที่นี้ n 3 

ขั้นตอนที่ 1 : ให้ S S0 S1 

S2 

S 

j 

เมื่อ 

2 

x a b x 

x 

c x 

x d x 

x 3 

โดยที่ x 0 

1. 0, 1. 02 1. 

ขั้นตอนที่ 2 : h x x 0. 02 

a f 

0 

j 

j 

j 

x 1 , x 2 04, x 3 

1. 06 

j 

( j 0, 1 

x 

0. 7657894 

0 

 

a f 1 

x 

0. 7953668 

1 

a f 2 

x 

0. 8226882 

2 

a f 3 

x 

0. 8475226 

3 

j 

1 

j 

j 

j 

j 

) และ 

จากเงื่อนไขขอบยึด ที่ว่า S x 

f และ S x 

f เราให้ 

0 f (x 

) 1.5315787 

b 0 

3 f(x 

) 1.1754977 

b 3 

0 

x 0 

n x n 

j 

2

Interpolation 


3 

1 

j 

จากสมการ 4.6 b a 

a 

2c 

c เมื่อ j 0,1, 2 

j 

h 

j 

j1 

แทนค่า a 

0,a1,a2, 

a3 

และ , b 0 3 

j 

h 

3 

j 

j1 

b ได้ระบบสมการ (1) คือ 

0.0133333c 

0 

0.0066667 

1 

1.5315787 

b 

 

b 

b 

0 

1.47887 

c 

1 1.36607 0.0133333c 1 0.0066667 c2 

2 

1.241722 0.0133333c 

2 

0.0066667 c3 

จากสมการ 4.5 คือError! Reference source not found. b b h c 

c ส าหรับ 

j 0,1,2 

และแทนค่า b , b ได้ระบบสมการ (2) 0 3 

1 

j1 

j 

j 

j 

ระบบสมการเชิงเส้น 1 

j1 

b 

b 

1 

1.5315787 0.02c0 

0.02c 

2 b1 

0.02c1 

0.02c2 

1.1754977 

b 

 

3 

b2 

0.02c2 

0.02c3 

แก้ระบบสมการ (1) และ (2) จะได้ระบบสมการ (3) ที่มีแต่ตัวแปร c 

jคือ 

c 0.5c1 

0 

 

4.2687857 

c 0.33333c1 

0.33333c2 

0 

 

c c3 

2 

 

c 2c c 

2 3 

0 

 

9.9305985 

17.80405 

8.275435 

แก้ระบบสมการที่ (3) ได้ 46. 109654 

ระบบสมการเชิงเส้น 2 

c 0 

, c 1 100. 75688 

c 2 12.745401 , c 3 

2. 814803 

ขั้นตอนที่ 4 : แทนค่ากลับในระบบสมการ (2) รวมกับเงื่อนไขขอบยึด เราได้ 

b 0 

1.5315787 , b 1 2. 6245232 ได้ค่า จากการแทนค่ากลับ 

3

Interpolation 


4 

b 2 0.8642936, b 3 

1. 1754977 

ขั้นตอนที่ 5 : จากสมการที่ 4.3 คือ 

d 

c 

j 1 

j 

 

3h 

c 

d 0 

2447.7756 , d 1 1891. 7047 , d 2 165. 50997 

ดังนั้น S S S 

S 

0 1 2 

โดยที่ 

S 

เมื่อ1 

x 1. 

02 

x 0.7657894 1.5315787 x 1 46.409654 x 1 2 2447.7756 x 

3 

0 1 

x 0.7953668 2.6245232 x 

1.02 100.75688 x 

1.02 2 1891.704x 

1. 

3 

S1 02 

j 

j 

เมื่อ1.02 

x 1. 04 

x 0.8226882 0.8642936 x 

1.04 12.745401x 

1.04 2 165.50997 x 

1. 

3 

S2 04 

ดังนั้น (1.03) S (1.03) 

S 1 

0.7953668 

2.6245232 1.03 

เมื่อ1.04 

x 1. 06 

1.02 

1.02 2 1891.7041.03 

1. 02 3 

100.75688 1.03 

 

0.8134281 

เมื่อเปรียบเทียบกับค่าจริงคือ f(1.03) 

0. 8093236 

จะได้ค่าคลาดเคลื่อนจากการประมาณคือ f (1.03) S(1.03) 0. 0041045 

นั่นคือค่าประมาณที่ได้มีความถูกต้อง 2 D.P จะได้ค าตอบคือ . 81 

0 # 

4

Interpolation 


5 

การประมาณก าลังสองน้อยสุดเต็มหน่วย 

พิจารณาปัญหาการประมาณค่าฟังก์ชัน ที่มีข้อมูลจากการทดลองเป็นดังตาราง 

x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 

i 

y 1.3 3.5 4.2 5.0 7.0 8.8 10.1 12.5 13.0 15.6 

i 

พล็อตจุดต่างๆลงในระนาบ xy แล้วพบว่าความสัมพันธ์ระหว่าง x และ y 

เป็นแบบเชิงเส้น หรือ เส้นตรง 

แต่ไม่สามารถสร้างเส้นตรงที่ผ่านทุกจุดของข้อมูลได้ ซึ่งอาจจะเกิดจาก 

ความคลาดเคลื่อนในการเก็บข้อมูล หรือ การวัดค่า ดังนั้นการพยายามท าให้ 

ฟังก์ชัน ณ จุดของข้อมูล มีค่าเท่ากับข้อมูลที่วัดได้ จึงไม่สมเหตุสมผล 

กลยุทธ์ที่ดีกว่าคือการหาเส้นตรงที่ประมาณได้ดีที่สุด (ในบางลักษณะ) 

โดยไม่จ าเป็นจะต้องผ่านจุดข้อมูลทุกจุด 

16 

14 

12 

10 

8 

6 

4 

2 

0 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 

5

Interpolation 


6 

ให้ ax i b เป็นค่าที่ i ของเส้นตรงที่ใช้ประมาณ และ y i เป็นค่าจริงของ 

ฟังก์ชันที่ถูกประมาณ 

ปัญหาว่าด้วยการหาสมการแบบเชิงเส้นที่ดีที่สุดในเชิงค่าสัมบูรณ์ที่จะเป็น 

ตัวแทนฟังก์ชัน y ก็คือ การหาค่า a และ b ที่ท าให้ 

E 

a,b maxyi 

axi 

b 

; i 1, ,10 

มีค่าต่ าสุด 

‣ เรียกปัญหาประเภทนี้ว่า ปัญหามินิแมกซ์ (Minimax) 

ซึ่งแก้ปัญหาไม่ได้ด้วยวิธีพื้นฐาน 

อีกกลยุทธ์หนึ่งในการประมาณเชิงเส้นที่ดีที่สุดคือการหาค่า a และ b ที่ท า 

ให้ค่าเบี่ยงเบนสัมบูรณ์ (Absolute derivation) 

E a,b y ax 

b 


l 

 

10 i1 

i 

i 

‣ การหาค่าต่ าสุดของฟังก์ชันสองตัวแปรจะต้องหาอนุพันธ์ย่อยของ 

ฟังก์ชัน ซึ่งในกรณีค่าเบี่ยงเบนสัมบูรณ์ ความยากล าบากเกิดจากการหา 

อนุพันธ์ของฟังก์ชันค่าสัมบูรณ์ 

วิธีที่เหมาะกว่าคือใช้กลยุทธ์ก าลังสองน้อยสุด (Least square Method)โดยการ 

หาเส้นตรงที่ใช้ประมาณดีที่สุดโดยหาค่า a และ b โดยท าให้ความผิดพลาด 

ก าลังสองน้อยสุดรวม (Total Square Error) 

10 2 

E 2 a, b yi 

axi 

b 


i1 

6

Interpolation 


7 

‣ นั่นคือต้องแก้สมการ 

m 

m 

0 i i i i 

a 

i1 

i1 

m 

m 

2 

0 yi 

axi 

b 2 

yi 

axi 

b 1 

b 

และ 

และ 

i1 

2 

y 

ax 

b 2 y 

ax b x 

 

‣ ลดทอนรูปสมการข้างต้นเป็น 

a 

a 

m 

 

i1 

m 

 

i1 

x 

x 

2 

i 

i 

b 

m 

 

i1 

x 

bm 

i 

 

m 

 

i1 

m 

 

i1 

y 

i 

x 

i 

y 

i 

i1 

‣ แก้สมการข้างต้นจะได้ค่า a และ b คือ 

a 

b 

m 

m 

 

i 

1 

x 

i 

m 

y 

i1 

i 

 

m 

2 

m 

xi 

i1 

m m 

2 

xi 

yi 

i 

1 i1 

m 

 

x 

 

 

 

2 

i 

m 

 

i1 

 

m 

 

x 

i1 

m 

 

i 

m 

i i 

i1 

2 

x 

i1 

 

 

 

x 

m 

 

i1 

 

 

 

 

i 

x 

y 

i 

y 

m 

i 

i1 

2 

 

 

 

 

x 

i 

และผลเฉลยของระเบียบวิธีก าลังสองน้อยสุดเชิงเส้น ส าหรับข้อมูล x i, 

y i เมื่อ 

i 1, , 

m คือ 

y ax b 

i 

7

Interpolation 


8 

ตัวอย่าง (Sheet) จงหาเส้นตรงก าลังสองน้อยสุดที่ประมาณข้อมูลที่ก าหนดให้ 

x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 

i 

y 1.3 3.5 4.2 5.0 7.0 8.8 10.1 12.5 13.0 15.6 

i 

สร้างตารางเพื่อค านวณได้ดังนี้ 

x i 

y i 

2 

x i 

x Px 

1.538x 0. 360 

1 1.3 1 1.3 1.18 

2 3.5 4 7.0 2.72 

3 4.2 9 12.6 4.25 

4 5.0 16 20.0 5.79 

5 7.0 25 35.5 7.33 

6 8.8 36 52.8 8.87 

7 10.1 49 70.7 10.41 

8 12.5 64 100.0 11.94 

9 13.0 81 117.0 13.48 

10 15.6 100 156.0 15.02 

iyi 

x i 55 y i 81 xi 2 385 x y 572. 4 

i 

i 

E 

i 

y 

P 

 

10 i1 

i 

i x i 

2.34 

2 

8

Interpolation 


9 

จะได้ว่า 

10 

a 

10 

385 81 

b 

572.4 5581 

2 

385 55 

 

55572.4 

2 

10385 

55 

1.538 

0.360 

จะได้เส้นตรงที่เป็นตัวแทนของการประมาณค่าแบบเชิงเส้นก าลังสองน้อยสุด 

เทียบกับค่าของข้อมูล ดังกราฟต่อไปนี้ 

16 

14 

12 

10 

8 

6 

4 

2 

0 

-2 

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 

9

Interpolation 


10 

‣ จากข้างต้นเราประมาณชุดข้อมูลด้วยเส้นตรงหรือพหุนามดีกรี 1 ใน 

ท านองเดียวกันเราสามารถประมาณชุดข้อมูลด้วยพหุนามดีกรีสูงกว่า 1 ได้ 

เช่นกัน 

‣ สมมติชุดข้อมูลคือ 

x , y ;i 

1, ,m 

ต้องการสร้างพหุนาม 

P 

n 

i 

x 

i 

 

n k0 

a 

k 

ที่มีดีกรี n m 1 

ด้วยระเบียบวิธีก าลังสองน้อยสุด 

‣ วิธีการคือหา a , , เพื่อท าให้ค่าผิดพลาดก าลังสองน้อยสุดรวม 

0 an 

m 2 

E yi 

Pn 

xi 

 


i1 

x 

k 

E 

a 

ในกรณีนี้จ าเป็นต้องได้ว่า 0 ส าหรับ 

ซึ่งได้ระบบสมการ n 1 สมการใน a j 

j 

i 0,1,2,..., n 

m m m 

m m 

0 1 2 

n 0 

0 xi 

a 1 x i a 2 xi 

a n xi 

yixi 

i1 

i1 

i1 

i1 

i1 

m m m 

m m 

1 2 3 

n1 

1 

0 x i a1 

xi 

a 2 xi 

a n xi 

y i x i 

i1 

i1 

i1 

i1 

i1 

a 

a ---- (**) 

 

m m 

m 

m m 

n n1 

n2 

2n n 

0 xi 

a1 

xi 

a 2 xi 

a n xi 

yixi 

i1 

i1 

i1 

i1 

i1 

a 

แก้ระบบสมการข้างต้น(ซึ่งมีผลเฉลยเพียงหนึ่งเดียวตราบเท่าที่ x i 

แตกต่างกัน) a , , 

จะได้ค่า ตามต้องการ 

0 an 

10

Interpolation 


11 

ตัวอย่าง (Sheet) จากข้อมูลในตารางที่ก าหนดให้ จงประมาณค่าฟังก์ชันด้วยพหุ 

นามดีกรีสอง ด้วยระเบียบวิธีก าลังสองน้อยสุดเต็มหน่วย 

x 0 0.25 0.50 0.75 1.00 

i 

y 1.0000 1.2840 1.6487 2.1170 2.7183 

i 

วิธีท า ในที่นี้ต้องการสร้างพหุนามดีกรี 2 ดังนั้น n 2 

และโจทย์ก าหนดชุดข้อมูลมา 5 จุดดังนั้น m 5 

2 

ให้ P2 (x) a0 

a1x 

a 2x 

จากสูตร (**) จะได้ระบบสมการ 

a 

a 

a 

แทนค่าต่างๆไปจะได้ 

5 5 5 5 

0 1 2 0 

0 xi 

a 1 x 

i a2 

xi 

yixi 

i1 

i1 

i1 

i1 

5 5 5 5 

1 2 3 1 

0 x 

i a1xi 

a2 

xi 

y 

i x i 

i1 

i1 

i1 

i1 

5 5 5 5 

2 3 4 2 

0 xi 

a1xi 

a2 

xi 

yixi 

i1 

i1 

i1 

i1 

5a 

2.5a1 

1.875a 

2 

0 

2.5a 

1.875a 1 1.5625a 

2 

8.7680 

0 

1.875a 

1.5625a 1 1.3828a 

2 

0 

5.4514 

4.4015 

แก้ระบบสมการจะได้ a 0 1. 0052 , 0. 8641 a 3 

2 

พหุนามที่ได้คือ P x 1.0052 0.8641x 0.8437 

a 1 , 0. 8437 

# 

2 x 

11

Cubic Spline & Least Square

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?