The spectrum of delay-differential equations: numerical methods - KTH

Zusammenfassung
In dieser Arbeit werden drei verschiedene Problemklassen im Bezug zu time-delay
Systemen behandelt. Unter einem time-delay System, oder manchmal delaydifferential
equation (DDE), verstehen wir die Verallgemeinerung einer gewöhnlichen
Differentialgleichung (ODE) mit konstanten Koeffizienten. Wobei im Gegensatz
zu ODEs, bei DDEs die Ableitung zu jedem Zeitpunkt nicht nur vom
aktuellen, sondern auch von einem oder mehreren vorhergehenden Zuständen
abhängig ist.
Als erstes gehen wir auf die numerischen Berechnung der Eigenwerte von
DDEs ein. Das heißt es sind Lösungen der charakterischen Gleichung zu finden.
Dieses Problem wird im Folgenden als Delay-Eigenwertproblem (DEP) bezeichnet.
Im Gegensatz zu ODEs enthält die charakteristische Gleichung einer DDE
einen exponentiellen Term. Aufgrund des nichtlinearen Terms gehört das Delay-
Eigenwertproblem zur Klasse der nichtlinearen Eigenwertprobleme. Ein wichtiger
Beitrag dieser Arbeit ist die Anwendung einer Projektionsmethode für nichtlineare
Eigenwertprobleme, welche bisher noch nicht auf DEPs angewendet wurde. Wir
vergleichen diese Projektionsmethode mit anderen in der Literatur vorgeschlagenen
und in Softwarepaketen verwendeten Verfahren. Dieser Vergleich schliesst
Methoden der Diskretisierung des Lösungsoperators sowie der Diskretisierung
des äquivalenten Randwertproblems ein. Dabei betrachten wir auf Diskretisierung
basierende Methoden, wie lineare Mehrschrittverfahren, Runge-Kutta Verfahren
und spectral collocation, näher. Es stellt sich heraus, dass die hier vorgestellte
Projektionsmethode bedeutend bessere numerische Eigenschaften für die hier
verwendeten großen Beispiele, als sämtliche andere getestete Verfahren besitzt.
Zusätzlich treffen wir Aussagen über Diskretisierungsmethoden zur rationalen
Approximation der Exponentialfunktion bzw. des Logarithmus. Des weiteren betrachten
wir einen Spezialfall, bei welchem das Spektrum explizit mit Hilfe einer