THÈSE Koléhè Abdoulaye COULIBALY-PASQUIER

Chapitre 1IntroductionLa première partie de cette introduction sera informelle, elle présentera le cadrede notre étude. Partant d’exemples naturels et de certains résultats connus sur lesliens entre géométrie et probabilité, nous glisserons peu à peu vers le sujet centralde notre étude. Dans la deuxième partie, nous présenterons la problématique surlaquelle nous nous sommes attardés. Puis, nous présenterons de façon condensée lesrésultats que nous avons obtenus. Ces résumés respecteront l’ordre des chapitres.Il y a de nombreuses équations d’évolutions qui font intervenir la géométrie.Dans un premier cas, on pourrait parler de l’équation de la chaleur, qui est uneéquation de diffusion modélisant l’évolution de la chaleur sur un objet, disons unevariété sans bord que l’on notera M. On le chauffe à une température modéliséepar une fonction f 0 à un instant que l’on prendra pour origine. Cette fonctionrenvoie en tout point la température qu’il y fait. On supposera qu’il n’y a pasd’échange avec l’extérieur. L’équation régissant l’évolution au cours du temps dela température, la bien nommée “équation de la chaleur”, est donnée par :∂∂t f(t, x) = 1 ∆f(t, x).2On peut, par expérience ou même par intuition, penser que son évolution est trèsliée à la géométrie de l’objet sur lequel elle évolue. S’il est compact, la températureaura tendance à s’uniformiser au cours du temps et si l’on attend assez longtemps,la température sera quasiment uniformément distribuée. Comme il n’y apas d’échange avec l’extérieur, cette température asymptotique vaudra la moyennespatiale de la température à l’intant initial.Mais la géométrie de la variété, que l’on supposera désormais compacte, a aussison importance, par exemple sur le temps que l’on devrait attendre pour voir latempérature s’uniformiser. Par exemple, prenons deux os, disons deux fémurs ; lepremier sera supposé “normal”, le deuxième sera presque comme le premier à la seule77