FINITUDE GÉOMÉTRIQUE EN GÉOMÉTRIE DE HILBERT

FINITUDE GÉOMÉTRIQUE EN GÉOMÉTRIE DE HILBERT 134. parabolique lorsque τ(γ) = 0 et cet inmum n'est pas atteint.Théorème 3.3. Soient Ω un ouvert strictement convexe et à bord C 1 de P n et γ ∈Aut(Ω). On est dans l'un des trois cas exclusifs suivants :1. L'automorphisme γ est elliptique.2. L'automorphisme γ est hyperbolique. Il a exactement deux points xes p + , p − ∈ ∂Ω,l'un répulsif et l'autre attractif : la suite (γ n ) n∈N converge uniformément sur lescompacts de Ω {p − } vers p + , et la suite (γ −n ) n∈N converge uniformément sur lescompacts de Ω {p + } vers p − .3. L'automorphisme γ est parabolique. Il a exactement un point xe p ∈ ∂Ω et préservetoute horosphère basée en p. De plus, la famille (γ n ) n∈Z converge uniformément surles compacts de Ω {p} vers p. Mais p n'est pas un point attractif au sens de laremarque ci-dessous.En particulier, l'automorphisme γ n'est pas quasi-hyperbolique.Figure 4.Isométries hyperbolique et paraboliqueRemarque 3.4. Un point x est dit attractif pour un homéomorphisme γ lorsqu'ilexiste un voisinage U de x tel que (γ n (U)) n∈N converge vers le singleton {x} en décroissant.Un point est répulsif pour un homéomorphisme γ s'il est attractif pour γ −1 .3.2. Petites dimensions. Dimension 1. Le lemme suivant est un exercice laissé au lecteur.Lemme 3.5. Tout ouvert proprement convexe de P 1 est projectivement équivalent àΩ 0 = R ∗ +. De plus, Aut(Ω 0 ) = R ∗ + via l'action de R ∗ + sur lui-même par homothétie.Remarque 3.6. L'action par homothétie γ de rapport λ sur R ∗ + est une action partranslation de force ln(λ), c'est-à-dire ∀x ∈ R ∗ +, d R ∗+(x, γ · x) = ln(λ).