FINITUDE GÉOMÉTRIQUE EN GÉOMÉTRIE DE HILBERT

FINITUDE GÉOMÉTRIQUE EN GÉOMÉTRIE DE HILBERT 15Figure 5.Dégénérescence des boulescomme les (γ n ) n∈N sont des isométries, elles forment en particulier une famille équicontinued'applications.Lemme 3.11. Soit Ω un ouvert proprement convexe. Tout point d'accumulation dans∂Ω de la suite (γ n · x) n∈N qui est un point extrémal de Ω est un point xe de γ.Démonstration. Soit p un point d'accumulation de la suite (γ n · x) n∈N qui est dans∂Ω. Il existe une extractrice (n i ) i∈N tel que lim i→∞ γ ni · x = p. Le lemme 3.8 montre quela suite (γ 1+ni · x) converge vers p car p est extrémal. L'application γ est continue surP n ⊃ Ω, il vient que γ(p) = p.3.4. Démonstration du théorème de classication 3.3. Nous aurons besoin dela proposition suivante :Proposition 3.12 (Lemme 3.2 de [Ben05]). Si un élément γ ∈ SL n+1 (R) préserveun ouvert proprement convexe alors le rayon spectral ρ(γ) (c'est-à-dire le module de la plusgrande valeur propre de γ) est une valeur propre dont la droite propre appartient à Ω. Enparticulier, tout automorphisme d'un ouvert proprement convexe possède un point xedans Ω.Démonstration du théorème 3.3. D'après la proposition 3.12, l'homéomorphisme γ :Ω → Ω possède un point xe dans Ω. S'il existe un point x ∈ Ω xé par γ, alors γ estelliptique et il n'y a rien à montrer. On peut donc supposer que tout point xe de γ estdans ∂Ω. Nous allons à présent distinguer 3 cas.1. Il existe au moins trois points distincts x, y, z ∈ ∂Ω xés par γ.2. Il existe exactement deux points distincts x, y ∈ ∂Ω xés par γ.3. L'automorphisme γ xe un et un seul point de ∂Ω.Commençons par montrer que le premier cas est exclu. Les points x, y, z ne sont pasalignés car le convexe Ω est strictement convexe. Le plan projectif P engendré par lespoints x, y, z est préservé par γ, tout comme l'ouvert proprement convexe P ∩ Ω de P.Comme P est un espace projectif de dimension 2, le lemme 3.7 montre que le bord duconvexe P ∩ Ω contient un segment non trivial. Par conséquent, Ω n'est pas strictementconvexe, ce qui contredit l'hypothèse.