FINITUDE GÉOMÉTRIQUE EN GÉOMÉTRIE DE HILBERT

FINITUDE GÉOMÉTRIQUE EN GÉOMÉTRIE DE HILBERT 17à Ω en p. Comme le bord du convexe est de classe C 1 , on en conclut que d Ω (x n , γx n ) tendvers 0.Figure 7.La distance de translation est nulleIl reste à montrer que γ préserve toute horosphère basée en p. Voyons d'abord que lesfonctions de Busemann basées en p sont invariantes par γ : pour tous o, x ∈ Ω,b p (γo, γx) = limz→pd Ω (γo, z) − d Ω (γx, z)puisque, si z tend vers p, γz également. Ainsi, pour tout x ∈ Ω,= limz→pd Ω (γo, γz) − d Ω (γx, γz)= limz→pd Ω (o, z) − d Ω (x, z)= b p (o, z),H p (γx) = {y ∈ Ω, b p (γx, y) = 0} = {y ∈ Ω, b p (x, γ −1 y) = 0} = γH p (x);autrement dit, γ préserve l'ensemble des horosphères basées en p. Maintenant, pour tousx, y ∈ Ω, on ab p (x, γx) = b p (x, y) + b p (y, γy) + b p (γy, γx) = b p (y, γy) := a ∈ R.Or, |b p (x, gx)| d Ω (x, gx), ce qui implique que pour tout x ∈ Ω, d Ω (x, γx) |a|. Deτ(g) = 0, on déduit que a = 0, c'est-à-dire que γx ∈ H p (x).En fait, la classication du théorème 3.3 reste valable lorsque l'ouvert est seulementsupposé strictement convexe. Pour montrer que la distance de translation d'un automorphismeparabolique γ est nulle, on utilise alors le lemme suivant, dû à McMullen, et lefait que le rayon spectral de γ est nécessairement 1 (sinon, γ aurait plus d'un point xe).Pour des résultats plus généraux, on pourra consulter [CLT11].Lemme 3.13 (Curtis McMullen, Théorème 2.1 de [McM02])Soient Ω un ouvert proprement convexe de P n et γ ∈ Aut(Ω). On a(1(2 ln max ρ(γ), ρ(γ −1 ), ρ(γ)ρ(γ )) ) ( () )−1 τ(γ) ln max ρ(γ), ρ(γ −1 )En particulier, si ρ(γ) = ρ(γ −1 ) alors τ(γ) = ln(ρ(γ)) ; et si ρ(γ) = 1 alors τ(γ) = 0.