FINITUDE GÉOMÉTRIQUE EN GÉOMÉTRIE DE HILBERT

FINITUDE GÉOMÉTRIQUE EN GÉOMÉTRIE DE HILBERT 19hyperboliques, le deuxième point de la proposition 3.14 montre que Γ est isomorphe àZ.On dira par la suite qu'un sous-groupe discret de Aut(Ω) est elliptique si tous ses éléments sont elliptiques et xent le même point ; parabolique s'il contient un sous-groupe d'indice ni dont tous les éléments sontparaboliques et xent le même point ; hyperbolique s'il contient un sous-groupe d'indice ni engendré par un élément hyperbolique.Le corollaire précédent montre qu'un sous-groupe discret de Aut(Ω), qui est virtuellementnilpotent et inni, est soit parabolique, soit hyperbolique.On remarquera qu'un sous-groupe parabolique contient nécessairement uniquement deséléments paraboliques alors qu'un sous-groupe hyperbolique peut contenir des élémentselliptiques d'ordre 2 qui échange les deux points xes des éléments hyperboliques dugroupe en question.4. Les notions classiques vues dans le monde projectifLe but de cette partie est de rappeler les dénitions d'ensemble limite, de domaine dediscontinuité, d'action de convergence et de domaine fondamental ; cela nous permettrade montrer dans le cadre des géométries de Hilbert des propositions bien connues degéométrie hyperbolique.4.1. Ensemble limite et domaine de discontinuité. Comme en géométrie hyperbolique,on peut dénir l'ensemble limite et le domaine de discontinuité d'un sous-groupediscret de Aut(Ω) de la façon suivante.Dénition 4.1. Soit Γ un sous-groupe discret de Aut(Ω) et x ∈ Ω. L'ensemble limiteΛ Γ de Γ est le sous-ensemble de ∂Ω suivant :Λ Γ = Γ · x Γ · x,où x est un point quelconque de Ω. Le domaine de discontinuité O Γ de Γ est le complémentairede l'ensemble limite de Γ dans Ω.L'ensemble limite Λ Γ , s'il n'est pas inni, est vide ou consiste en 1 ou 2 points, auxquelscas Γ est respectivement elliptique, parabolique ou hyperbolique. On dit que Γ est nonélémentaire si Λ Γ est inni. Dans ce dernier cas, l'ensemble limite Λ Γ est le plus petitfermé Γ-invariant non vide de ∂Ω. Ainsi, Λ Γ est l'adhérence des points xes des élémentshyperboliques de Γ. Le lemme suivant décrit grossièrement l'ensemble limite.Lemme 4.2. Soit Γ un sous-groupe discret non élémentaire de Aut(Ω). L'ensemblelimite Λ Γ est un compact parfait. De plus, si Λ Γ ≠ ∂Ω alors Λ Γ est d'intérieur vide.Démonstration. On commence par montrer par l'absurde que Λ Γ est un compact parfait.Puisque Λ Γ est l'adhérence des points xes des éléments hyperboliques de Γ, s'ilexiste un point isolé x ∈ Λ Γ alors le point x est xé par un élément hyperbolique γ. Onpeut supposer que x est point xe attractif de γ. Comme Γ n'est pas élémentaire, il existeun point y ∈ Λ Γ qui n'est pas xé par γ. La suite (γ n · y) n∈N converge donc vers le point