FINITUDE GÉOMÉTRIQUE EN GÉOMÉTRIE DE HILBERT

FINITUDE GÉOMÉTRIQUE EN GÉOMÉTRIE DE HILBERT 21élément γ de P(End(R n+1 )) dénit une application de P n N(γ) vers P n , où N(γ) est leprojectivisé du noyau de n'importe quel relevé de γ à End(R n+1 ).De plus, la proposition suivante permet de décrire cette compactication.Proposition 4.6. Soient (γ n ) n∈N une suite d'éléments du groupe PGL n+1 (R) et γ ∞un élément de P(End(R n+1 )). La suite (γ n ) n∈N converge vers γ ∞ dans P(End(R n+1 )) si etseulement si la suite (γ n ) n∈N converge vers γ ∞ sur tout compact de P n N(γ ∞ ).Cette proposition et des détails sur la compactication du groupe PGL n+1 (R) sontdonnés dans [Gol].Action de convergence. Dénition 4.7. Soit Γ un groupe agissant par homéomorphisme sur un compact parfaitX. L'action de Γ sur X est une action de convergence si, pour toute suite (γ n ) n∈Nde Γ, il existe une sous-suite (γ ni ) i∈N de Γ et deux points a, b ∈ X tels que (γ ni ) i∈N ∈ Γ Nconverge uniformément vers b sur X {a}.Proposition 4.8. Soient Ω un ouvert proprement convexe de P n et (γ n ) n∈N une suited'un sous-groupe Γ de Aut(Ω). On suppose que la suite (γ n ) n∈N converge vers γ ∞ dansP(End(R n )) et que l'application γ ∞ est singulière.Alors les sous-espaces Im(γ ∞ ) et N(γ ∞ ) rencontrent Ω mais ne rencontrent pas Ω.En particulier, si le convexe Ω est strictement convexe à bord C 1 alors Im(γ ∞ ) est réduiteà un point z qui est inclus dans ∂Ω et N(γ ∞ ) est un hyperplan dont l'intersection avec Ωest réduite à un point x ∈ ∂Ω. De plus, le point z est dans l'ensemble limite de Γ.Démonstration. L'action du groupe Aut(Ω) sur Ω est propre. Par conséquent, pourtout point x ∈ Ω, tout point d'accumulation de la suite (γ n (x)) n∈N est sur le bord ∂Ωde Ω. Mieux, si un point x 0 ∈ Ω est tel que la suite (γ n (x 0 )) n∈N converge vers un pointy x0 ∈ ∂Ω, la proposition 3.9 montre qu'il existe une facette S de Ω incluse dans ∂Ωcontenant y x0 telle que, pour tout x ∈ Ω, la suite (γ n (x)) n∈N sous-converge vers un pointy x ∈ S.Remarquons ensuite que, par construction de la compactication, l'ensemble N(γ ∞ )n'est pas vide et n'est pas P n tout entier. Il existe donc un point x 0 ∈ Ω tel que x 0 /∈ N(γ ∞ ).Le paragraphe précédent montre qu'alors aucun point de Ω n'est dans N(γ ∞ ) et qu'il existeune facette S de Ω incluse dans ∂Ω et telle que γ ∞ (Ω) ⊂ S. Comme Ω est un ouvert deP n , on a Im(γ ∞ ) ⊂ E, où E est le support de S. Ce qui montre le résultat pour Im(γ ∞ ).Un raisonnement par dualité permet de montrer le second point. Le noyau de γ ∗ = t γ −1n'est rien d'autre que le dual de l'image de γ. On obtient ainsi le résultat pour N(γ ∞ ) enutilisant le convexe dual Ω ∗ de Ω déni au paragraphe 2.3.Les améliorations dans le cas strictement convexe à bord C 1 sont évidentes.Théorème 4.9. Soient Ω un ouvert strictement convexe à bord C 1 de P n et Γ un sousgroupediscret et irréductible de Aut(Ω). Les actions de Γ sur les compacts ∂Ω et Ω sontdes actions de convergence.Démonstration. La proposition 4.8 montre que tout point d'accumulation d'une suite(γ n ) n∈N d'automorphismes de Ω qui n'est pas stationnaire est de la forme