FINITUDE GÉOMÉTRIQUE EN GÉOMÉTRIE DE HILBERT

FINITUDE GÉOMÉTRIQUE EN GÉOMÉTRIE DE HILBERT 25Remarque 5.7. La dimension cohomologique d'un groupe discret Γ sans torsion estun entier n Γ tel que, pour toute action libre et propre de Γ sur une variété contractiblede dimension n, on a n n Γ , avec égalité si et seulement si l'action est cocompacte. Si legroupe Γ est virtuellement sans torsion, alors on peut montrer que tous ses sous-groupesd'indice ni sans torsion ont la même dimension cohomologique et on appelle ce nombrela dimension cohomologique virtuelle de Γ. On pourra consulter [Ser71].Remarquons que si x est un point parabolique borné alors Stab Γ (x) est parabolique,c'est-à-dire quà indice ni près, il est composé uniquement d'éléments paraboliques quixent le même point.5.2.2. Points limites coniques. En géométrie hyperbolique, on trouve la dénitionsuivante, qui convient à notre cadre :Dénition 5.8. Soit Γ un sous-groupe discret de Aut(Ω). On dit qu'un point x ∈ Λ Γest un point limite conique lorsqu'il existe une suite d'éléments (γ n ) n∈N de Γ, un pointx 0 ∈ Ω, une demi-droite [x 1 , x[, et un réel C > 0 tel que :1. γ n · x 0 →n→∞x2. d Ω (γ n · x 0 , [x 1 , x[) CRemarque 5.9. Un point x ∈ Λ Γ est un point limite conique si et seulement si laprojection d'une (et donc de toute) demi-droite terminant en x sur Ω/ Γ retourne uneinnité de fois dans un compact de Ω/ Γ .Cette dénition de point conique ne convient pas à un espace métrique X Gromovhyperbolique,et on en trouve une autre dans ce contexte : un point x ∈ ∂X est un pointlimite conique pour l'action d'un groupe Γ sur X lorsqu'il existe deux points distinctsa, b ∈ ∂X et une suite d'éléments (γ n ) n∈N de Γ tel que γ n · x → a et γ n · y → b pourn→∞ n→∞tout y ≠ x.Bien sûr, cette dernière dénition est équivalente à la précédente lorsqu'on l'applique àla géométrie hyperbolique. L'avantage de cette dernière dénition est sa nature purementtopologique et non géométrique. Cela reste vrai dans notre cas, et cela nous permettra demontrer la proposition 5.14 :Lemme 5.10. Soit Γ un sous-groupe discret de Aut(Ω). Un point x ∈ Λ Γ est un pointlimite conique si et seulement s'il existe deux points a et b distincts de ∂Ω et une suited'éléments (γ n ) n∈N de Γ tels que γ n x tend vers a ; pour tout y ∈ ∂Ω {x}, γ n y tend vers b.Démonstration. Commençons par montrer que cette condition est susante. S'il existedeux points distincts a, b ∈ ∂Ω et une suite (δ n ) n∈N d'éléments de Γ tel que δ n · x → an→∞et δ n · y → b pour tout y ≠ x. On pose γ n = δn −1 et on se donne x 0 ∈ Ω.n→∞La suite (γ n · x 0 ) n∈N → x car sinon la suite de termes δ n (γ n · x 0 ) = x 0 sous-convergeraitvers b. Il faut à présent montrer que la quantité suivante : d Ω (γ n · x 0 , [x 0 , x[) est majoréeindépendamment de n. Mais, les automorphismes γ n sont des isométries, on a donc d Ω (γ n ·x 0 , [x 0 , x[) = d Ω (x 0 , δ n ([x 0 , x[)) → d Ω (x 0 , ]b, a[) < ∞ car δ n·x 0 → b. La dernière inégalitén→∞est stricte car Ω est strictement convexe.