FINITUDE GÉOMÉTRIQUE EN GÉOMÉTRIE DE HILBERT

FINITUDE GÉOMÉTRIQUE EN GÉOMÉTRIE DE HILBERT 27d'aucune de ces propriétés géométriques, et on ne saurait qualier sa géométrie de nie.Nous espérons ainsi justier notre terminologie.5.4. Dualité. Si γ ∈ Aut(Ω) est hyperbolique, les seuls hyperplans projectifs tangentsà ∂Ω préservés par γ sont les hyperplans T x+γ∂Ω et T x−γ∂Ω tangents à ∂Ω en ses deuxpoints xes. L'élément correspondant γ ∗ ∈ Γ ∗ est donc aussi hyperbolique, ses points xessont (x + γ ) ∗ = T x+γ∂Ω et (x − γ ) ∗ = T x−γ∂Ω. De même, on voit que si γ ∈ Aut(Ω) est un élémentparabolique xant p ∈ ∂Ω alors son dual γ ∗ ∈ Γ ∗ est parabolique de point xe p ∗ . Celaimplique en particulier qu'étant donné un sous-groupe discret Γ ⊂ Aut(Ω), l'applicationduale x ↦−→ x ∗ de ∂Ω dans ∂Ω ∗ envoie Λ Γ sur Λ Γ ∗.Proposition 5.14. Soit Γ un sous-groupe discret de Aut(Ω). L'action de Γ sur ∂Ωest géométriquement nie si et seulement si l'action de Γ ∗ sur ∂Ω ∗ est géométriquementnie.Démonstration. Bien sûr, il sut de prouver une seule implication. Supposons doncque l'action de Γ sur ∂Ω est géométriquement nie. Il sut de montrer que l'applicationx ↦−→ x ∗ de ∂Ω dans ∂Ω ∗ envoie un point limite conique pour Γ sur un point limiteconique pour Γ ∗ et un point parabolique borné pour Γ sur un point parabolique bornépour Γ ∗ .Soit donc x ∈ Λ Γ un point limite conique. Il existe donc, d'après le lemme 5.10, deuxpoints a et b distincts de ∂Ω et une suite d'éléments (γ n ) n∈N de Γ tels que γ n x tend versa et pour tout y ∈ ∂Ω {x}, γ n y tend vers b. Le convexe Ω étant supposé strictementconvexe à bord C 1 , cela implique la convergence de γ n x ∗ vers a ∗ et de γ n y ∗ vers b ∗ pourtout y ≠ x, puisque ces points s'identient aux plans tangents T γnx∂Ω, T a ∂Ω, T γny∂Ω etT b ∂Ω. Le point x ∗ est donc un point limite conique.Soit maintenant x ∈ Λ Γ un point parabolique borné. Le groupe Stab Γ ∗(x ∗ ) n'est riend'autre que le groupe (Stab Γ (x)) ∗ . Or, Stab Γ (x) agit cocompactement sur Λ Γ {x}, doncsur {T y ∂Ω, y ∈ Λ Γ {x}} qui s'identie à Λ Γ ∗ {x ∗ }. Cela montre que Stab Γ ∗(x ∗ ) agitcocompactement sur Λ Γ ∗ {x ∗ }.Remarque 5.15. Le corollaire 10.5 montrera que l'action de Γ sur Ω est géométriquementnie si et seulement si l'action de Γ ∗ sur Ω ∗ l'est.6. Décomposition du quotient6.1. Lemme de Zassenhaus-Kazhdan-Margulis. Les auteurs ont montrédans [CM11] le lemme suivant qui est le premier pas vers la description des actionsgéométriquement nies.Lemme 6.1. En toute dimension n, il existe une constante ε n > 0 tel que : pour toutouvert proprement convexe Ω de P n , et tout point x ∈ Ω, tout groupe discret engendré pardes automorphismes γ 1 , ..., γ p ∈ Aut(Ω) qui vérient d Ω (x, γ i · x) ε n est virtuellementnilpotent.Une telle constante ε n sera appelé constante de Margulis.