FINITUDE GÉOMÉTRIQUE EN GÉOMÉTRIE DE HILBERT

FINITUDE GÉOMÉTRIQUE EN GÉOMÉTRIE DE HILBERT 29Figure 12.Parties ne et épaisseLemme 6.2. Soit Γ un sous-groupe discret de Aut(Ω).1. La partie ne de M est la réunion disjointe des parties M ε (G) où G parcourt lessous-groupes virtuellement nilpotents maximaux de Γ, c'est-à-dire les sous-groupeshyperboliques et paraboliques maximaux de Γ.2. Les parties M ε (G), où G parcourt les sous-groupes virtuellement nilpotents maximauxde Γ, sont connexes, et d'adhérences disjointes.3. Lorsque G est un sous-groupe hyperbolique de Γ, la partie M ε (G) est relativementcompacte dans M.4. Lorsque G est un sous-groupe parabolique de Γ xant p ∈ ∂Ω, la partie Ω ε (G) estétoilée dans Ω en p, et p est le seul point de ∂Ω adhérent à Ω ε (G).5. La partie cuspidale est la réunion disjointe des parties M ε (G), où G parcourt lessous-groupes paraboliques maximaux de Γ.6. La partie ne de la partie non cuspidale, c'est-à-dire Mεnc = M ε Mε, c est la réuniondisjointe des parties M ε (G), où G parcourt les sous-groupes hyperboliques maximauxde Γ.Démonstration. 1. Par dénition, M ε (G) ⊂ M ε pour tout sous-groupe G de Γ. Maintenant,si x ∈ M ε , il existe un élément non elliptique γ ∈ Γ tel que d Ω (x, γx) < ε.Le groupe engendré par γ est nilpotent et inni, et donc x ∈ M ε (〈γ〉). De plus, lesparties M ε (G) sont disjointes. En eet, s'il y avait un point x qui était à la fois dansM ε (G) et dans M ε (G ′ ), le groupe discret engendré par G et G ′ serait nilpotent parle lemme de Margulis, contredisant le fait que G et G ′ sont maximaux.2. Soit G un groupe virtuellement nilpotent maximal, que l'on peut supposer sanstorsion. On va montrer que M ε (G) est ouvert et fermé dans M ε . L'ouverture de